Teoria de grafos

1. Tecnicatura Superior en Desarrollo de Software Prof. Cesar Garau
1
Matemática
Apunte Teórico:
Teoría de Grafos
Docente: César Adrián Garau

2. Tecnicatura Superior en Desarrollo de Software Prof. Cesar Garau
2
Teoría de Grafos
A. Relaciones en un conjunto. Dígrafos
Par Ordenado
Un par ordenado es una par de objetos matemáticos, en la que se distingue un primer elemento y
un segundo elemento. El par ordenado cuyo primer elemento es “x” y cuyo segundo elemento es “y” se
denota como (x, y).
Dos pares ordenados son iguales si: “Dos pares ordenados  yx, y  zw, son iguales si y solo si
coinciden su primer y segundo elemento respectivamente:     zywxzwyx  ,,
Los elementos de un par ordenado también se denominan componentes.
Producto Cartesiano
El producto cartesiano A x B, siendo A y B conjuntos, se forma con todos los pares ordenados
conformados por elementos del conjunto A, como primer componente del par ordenado y elementos del
conjunto B, como segunda componente del par ordenado
Ejemplo:
Dado un conjunto  baA , y un conjunto  2,1B
        2,;1,;2,;1, bbaaBxA 
Relación Binaria de un conjunto A en otro conjunto B
Se llama relación al subconjunto R definido: AxBRBAR : . A este subconjunto R incluido en
AxB se llama relación.
Por ejemplo:
Sean    8,4,1;4,3,2  BA
 )8,4(),4,4(),1,4(),1,3(),8,2(),4,2(),1,2(AxB
 babaRBAR  /),(/:
 (4,8)(4,4),(3,8),(3,4),(2,8),(2,4),R
Se puede observar que: (2,4)R ; (2,1) R…
Relación Inversa de R es el subconjunto de BxA definido por:
 RyxxyR 
),/(),(1
En el ejemplo anterior:  (8,4)(4,4),(8,3),(4,3),(8,2),(4,2),1

R
Representación de Relaciones:
Sea R una relación entre A y B, es decir R  AxB. En el caso de conjuntos finitos se utilizan los siguientes
tipos de representación:
1) Mediante diagramas de Venn
2) Mediante un gráfico cartesiano.
3) Mediante una matriz, llamada también matriz de adyacencia (Ma): Es una matriz de clase n x n dada
por:
R 1 4 8
2 0 1 1
3 0 1 1
4 0 1 1

3. Tecnicatura Superior en Desarrollo de Software Prof. Cesar Garau
3
En nuestro ejemplo, se tiene:
Se ubican en columnas los elementos de A y en la primera fila los elementos de B. Se asigna a cada
elemento del producto cartesiano AxB un 1, si el par ordenado pertenece a la relación y un 0 si no
pertenece.
B. Grafos y Multigrafos
En 1736 Leonhard Euler, Matemático y Físico Suizo (1707-1783), resolvió el problema de los puentes
königsberg, que consiste en recorrer 7 puentes que conectan 4 porciones de tierra, bajo la condición de
pasar por cada puente una sola vez.
Vértices: 1,2,3,4.
Lados: 12,21,23,32,14,24,34.
Definición: Se llama GRAFO a un par G = (V, A), donde V es un conjunto no vacío de puntos, llamados
VERTICES, y A es un conjunto de pares de vértices (no necesariamente, pares ordenados), llamados
LADOS.
Llamaremos grado o valencia de un vértice al número de lados o aristas que incidan en él.
En cualquier grafo se verifica:

4. Tecnicatura Superior en Desarrollo de Software Prof. Cesar Garau
4
 La suma de todos sus grados es igual al doble del número de sus aristas.
 El número de vértices de grado impar es par.
Grafo Dirigido
Si G = (V, A) y A  V2
, entonces, G es un DIGRAFO o GRAFO DIRIGIDO. En este caso, los elementos de
A son pares ordenados de elementos de V.
 Si G es un dígrafo, sus lados se denominan ARCOS.
 Si G no es un dígrafo, sus lados se denominan ARISTAS.
Elementos de un grafo
Sean a y b dos vértices. Se llaman EXTREMOS si {a,b} A  (a,b) A.
 Si G contiene un arco ó arista cuyos extremos son el mismo vértice se denomina BUCLE o LAZO.
Por ej: el par {a,a} ó (a,a).
 Dos lados que tienen los mismos extremos se llaman MULTILADOS O LADOS PARALELOS.
Tipos de Grafos
 G=(V,A) es un GRAFO SIMPLE, si G no posee lados paralelos ni bucles.
 G=(V,A) es un MULTIGRAFO, si G posee lados paralelos.
Grafo Bipartido
Es decir, cada vértice de un conjunto V está unido con todos los vértices de un conjunto U, pero entre los
vértices de un mismo conjunto no existe arista que los una.

5. Tecnicatura Superior en Desarrollo de Software Prof. Cesar Garau
5
Grafo Completo
Un grafo simple de n vértices es completo y de orden n, si cada vértice es adyacente a los n – 1 restantes.
 Notación: Kn
 El número de lados es: n.(n – 1)/2
 Kn puede representarse mediante un n–ágono y sus diagonales.
Grafo Vacío: Un grafo es vacío si no posee aristas.
Grafos Regulares
Un grafo G = (V, A) es regular de grado k o k-regular si cada vértice tiene grado k; es decir, un grafo es
regular si todos los vértices tienen el mismo grado.
Por ejemplo: Los siguientes son grafos regulares de grado 2. (2-regulares)
Camino: Es una sucesión de lados que van de un vértice u a otro v. Dicha sucesión puede incluir lados
repetidos.
Longitud de un camino: es el nº de lados de un camino.
Circuito: Es un camino que comienza y termina en el mismo vértice.
Grafo Conexo
Un grafo es conexo si para dos vértices distintos, u y v, existe un trayecto para ir de u a v.
Lado puente es aquel que si se lo elimina, el grafo al que pertenece deja de ser conexo.

6. Tecnicatura Superior en Desarrollo de Software Prof. Cesar Garau
6
Camino Euleriano: Es un camino que recorre todos los vértices de G, pasando por todos los lados una
única vez.
TEOREMA:
 Si un grafo G es conexo y tiene exactamente dos vértices de grado impar, entonces existe
camino de Euler.
 Si un grafo G tiene más de dos vértices de grado impar, entonces no existe camino de Euler.
Circuito Euleriano: Es el circuito que recorre todos los vértices, pasando por todos los lados una única
vez.
TEOREMA:
 Un grafo G tiene circuito de Euler si y sólo si es conexo y todos sus vértices tienen grado
par.
 Si un grafo G tiene un vértice de grado impar, entonces no existe circuito de Euler.
Representación Matricial
Matriz de adyacencia (Ma): Es una matriz de clase n x n dada por:
Donde se escribe un 1 si la ubicación en la matriz coincide con el par ordenado y 0 cuando no coincide.