Representación y Grafos

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio de Poder Popular para la Educación
Instituto Universitario “Politécnico Santiago Mariño”
Municipio Bolívar – Edo. Anzoátegui
Profesor: Estudiante:
ING. JOSÉ CASTILLO GONZALEZ PRESILLA, GRECIA. A
C.I.30.203.532
Ing. Sistemas
Barcelona, Julio de 2020

2. Introducción ………..…………………………………………………………………………………………… 4
Relaciones y Grafos ……………………………………………………………………………………………….. 5
Producto Cartesiano ……………………………………………………………………………………………... 12
Relación Binaria ………………………………………………………………………………………………….. 14
Representaciones de Relaciones …………………………………………………………………………………. 16
Diagrama de Fechas ……………………………………………………………………………………………..... 20
Propiedades de las Relaciones ……………………………………………………………………………………. 21
Reflexiva ................................................................................................................................................. 21
Irreflexiva ............................................................................................................................................... 21
Simétrica ................................................................................................................................................ 23
Assimétrica ............................................................................................................................................. 23
Antisimétrica ......................................................................................................................................... 25
Transitiva ............................................................................................................................................... 27

3. Relaciones de Equivalencia ……………………………………………………………………………………… 29
Cerraduras …………………………………………………………………………………………….. 30
Clases de equivalencias …………………………………………………………………………………... 31
Particiones …………………………………………………………………………………………….. 32
Funciones ………………………………………………………………………………………………………... 33
Inyectiva ……………………………………………………………………………………………… 33
Suprayectiva ……………………………………………………………………………………………………… 34
Biyectiva …………………………………………………………………………………………….... 35
Conclusión …………………………………………………………………………………………………….. 36
Bibliografía …………………………………………………………………………………………………….. 37

4. La intención de esta presentación es mostrar información referente a la teoría de Grafos y las
relaciones ya que, los grafos son importantes porque son una representación natural de redes y que
permiten expresar de forma visualmente sencilla las relaciones que se dan entre los elementos de x
estudio, es decir facilitan la resolución de problemas de una manera práctica, confiable y que permite
obtener resultados confiables que son de mucha ayuda a la hora de tomar decisiones en la solución de y
problema. Los grafos aparte de facilitar la resolución de problemas nos permiten prevenir y dar
solución a problemas futuros de una manera exacta.
De igual manera se estarán estudiando las funciones, tipos de funciones, productos cartesianos
entre otros aspectos de gran importancia.

5. Un grafo, G, es un par ordenado de V y A, donde V es el conjunto de vértices o nodos
del grafo y A es un conjunto de pares de vértices, a estos también se les llama arcos o ejes del
grafo. Un vértice puede tener 0 o más aristas, pero toda arista debe unir exactamente a dos
vértices. Los grafos representan conjuntos de objetos que no tienen restricción de relación entre
ellos. Un grafo puede representar varias cosas de la realidad cotidiana, tales como mapas de
carreteras, vías férreas, circuitos eléctricos, etc. La notación G = A (V, A) se utiliza comúnmente
para identificar un grafo. Los grafos se constituyen principalmente de dos partes: las aristas,
vértices y los caminos que pueda contener el mismo grafo.

6. Teoría de los Grafos
Los Grafos se componen por:
Aristas : Son las líneas con las que se une un grafo y con la que se
construyen también caminos. Si la arista carece de dirección se denota
indistintamente {a, b} o {b, a}, siendo a y b los vértices que une. Existen Aristas
adyacentes que son aquellas que se convergen en el mismo vértice; aristas
paralelas cuando el vértice inicial y el final son el mismo; aristas cíclicas, que
parte de un vértice para entrar en el mismo; y aristas de cruce las cuales se
cruzan en un punto.

7. Vértices : Son los puntos o nodos con los que esta conformado un grafo. Llamaremos
grado de un vértice al número de aristas de las que es extremo. Se dice que un vértice es `par' o
`impar' según lo sea su grado.
Además existen vértices adyacentes, si tenemos un par de vértices de un grafo (U, V) y si
tenemos un arista que los une, entonces U y V son vértices adyacentes y se dice que U es el
vértice inicial y V el vértice adyacente; vértices aislados, estos son vértice de grado cero; y
vértices terminales que son de grado 1.
Teoría de los Grafos

8. , de forma que y representan dos arcos diferentes. s y arcos se pueden representar de la siguiente
Podemos clasificar los grafos en dos grupos: dirigidos y no dirigidos.
Un grafo no dirigido es aquel en el cual el
par de vértices que representa un arco no está
ordenado. Por lo tanto, los pares (v1, v2) y (v2,
v1) representan el mismo arco.
.
Un grafo dirigido es aquel en el cual
cada arco está representado por un par
ordenado de vértices, de forma que y
representan dos arcos diferentes.
Teoría de los Grafos

9. En un grafo no dirigido el par de vértices que representa un arc
Los grafos pueden ser representados en:
Matrices:
Matriz de adyacencia: Dado un grafo G = (V, E) con n vértices {v1, ..., vn}
su matriz de adyacencia es la matriz de orden n×n, A(G)=(aij) donde aijes el
número de aristas que unen los vértices vi y vj. La matriz de adyacencia de un
grafo es simétrica. Si un vértice es aislado entonces la correspondiente fila
(columna) esta compuesta sólo por ceros. Si el grafo es simple entonces la
matriz de adyacencia contiene solo ceros y unos (matriz binaria) y la diagonal
esta compuesta sólo por ceros.
Teoría de los Grafos

10. entonces
Matriz de incidencia Dado un grafo simple G = (V, E) con n=|V| vértices
{v1, ..., vn} y m=|E| aristas {e1, ..., em}, su matriz de incidencia es la matriz de
orden nxm, B(G)=(bij), donde bij=1 si vi es incidente con ej ybij=0 en caso
contrario. La matriz de incidencia sólo contiene ceros y unos (matriz binaria).
Como cada arista incide exactamente en dos vértices, cada columna tiene
exactamente dos unos. El número de unos que aparece en cada fila es igual al
grado del vértice correspondiente. Una fila compuesta sólo por ceros
corresponde a un vértice aislado.
Teoría de los Grafos

11. Representación Matemática de los grafos:
En matemáticas y ciencias de la
computación, la teoría de grafos, también
llamada teoría de loas graficas estudia las
propiedades de los grafos (también llamados
graficas) Un grafo es un conjunto, no vacío, de
objetos llamados vértices (o nodos) y una
selección de partes de vértices llamados aristas.
Representación Computacional de los
grafos:
Existen diferentes formas de almacenar
grafos en una computadora. La estructura de
datos, usada depende de las características del
grafo y el algoritmo usado para manipularlo.
Entre las estructuras más sencillas y usadas se
encuentran las listas y las matrices y aunque
frecuentemente se usa una combinación de
ambos.
Teoría de los Grafos

12. La noción de producto cartesiano se emplea en el ámbito de la matemática, más precisamente
en el campo del álgebra. El producto cartesiano revela una relación de orden entre dos conjuntos,
constituyéndose como un tercer conjunto.
El producto cartesiano de un conjunto A y de un conjunto B es el conjunto constituido por la
totalidad de los pares ordenados que tienen un primer componente en A y un segundo
componente en B.

13. , de forma que y representan dos arcos diferentes. s y arcos se pueden representar de la siguiente
Producto Cartesiano
Ejemplo:
Si el conjunto A está formado por los elementos 3, 5, 7 y 9, mientras que el conjunto B
alberga los elementos m y r, el producto cartesiano de ambos conjuntos es el siguiente:
A x B = {(3,m), (3,r), (5, m), (5,r), (7,m), (7,r), (9,r), (9,r)}
El producto cartesiano, por lo tanto, está formado por todos los pares ordenados que se
pueden formar a partir de dos ciertos conjuntos. Cada par ordenado se constituye por dos
elementos: el primer elemento pertenece a un conjunto y el segundo elemento, al otro

14. Llamamos relación binaria a la relación R existente entre dos elementos a y b, de dos conjuntos A y B
respectivamente. Indicando que el elemento a está relacionado con b. Esta relación se puede denotar de diversas
formas:
1- Como pares ordenados (a, b).
2- Indicando que aRb.
3- Como una mezcla entra los dos anteriores R(a,b).
Al conjunto de todos los elementos relacionados mediante la relación R en un conjunto lo denotamos como R(M).
Está relación dependiendo del conjunto puede referirse a cualquier concepto referido con el conjunto.

15. , de forma que y representan dos arcos diferentes. s y arcos se pueden representar de la siguiente
Relación Binaria
Ejemplo:
Sea el conjunto A={el conjunto de los números naturales}, una relación binaria del conjunto
de A sobre sí mismo puede ser, R= ser múltiplo de tal forma que, por ejemplo 4 está relacionado
con 2 (es decir, 4 es un múltiplo de 2), por tanto escribimos 4R2 o (4,2).
En el caso de no estar relacionados escribiremos a no está relacionado con b tachando la R.
Un ejemplo de dos elementos que no están relacionados con esta relación son 3 y 5.
Observación: El conjunto R(AxB) de todos los elementos que están relacionados es un subconjunto
del producto cartesiano AxB.

16. La forma más directa de expresar una relación entre elementos de dos conjuntos es usando pares
ordenados, por lo que de manera abstracta se puede definir una relación es como un conjunto de pares
ordenados. En este contexto se considerará que el primer elemento del par ordenado está relacionado
con el segundo elemento del par ordenado.
Representación n°1: Si A y B son dos conjuntos no vacíos
el producto cartesiano AxB será el conjunto de pares
ordenados (a, b), donde a A y b B, es decir:
A B = {(a, b) | a A y b B}
Se usa la notación a R b para denotar que (a, b) R
y a b para denotar que (a, b) R .
Ejemplo:
Sean A = {1, 2, 3} y B = {r, s} entonces:
A B = {(1, r), (1, s), (2, r), (2, s), (3, r), (3, s)}
B A = {(r, 1), (r, 2), (r, 3), (s, 1), (s, 2), (s, 3)}
Se puede ver que que AxB es diferente de BxA

17. .
Representaciones de relaciones
Representación n°2 : Una relación binaria, o
simplemente relación, R de un conjunto A en un
conjunto B es un subconjunto del producto
cartesiano A x B. Si (a, b) R se escribe a R b y
significa que a esta en relación con b.
Si A = B se dice que R es una relación
binaria sobre A
Ejemplo:
Sea A = {1, 2, 3, 4} ¿Cuáles pares ordenados
están en la siguiente relación?
R = {(a, b) | a divide a b}
Nota: La división debe ser entera.
R= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2),(2, 4), (3, 3), (4,
4)}, en ese caso R es una relación binaria sobre A

18. Representaciones de relaciones
Representación n°3 : Sí R (A x B) es una
relación de A en B, el dominio de , se escribe
Dom(R), y es el conjunto de los elementos de A
que están relacionados con B, es decir:
Dom(R) = {a A | (a, b) R , para algún b B}
Ejemplo:
Sean A = {1, 2, 3, 4} y B = {r, s} y sea R=
{(1, r), (1, s), (2, s), (3, s)}, entonces Dom(R )
= {1, 2, 3}

19. Representaciones de relaciones
Las relaciones además de ser representadas como conjuntos de pares ordenados, se pueden
representar de las siguientes maneras:
a) Tablas
b) Diagramas
c) Matriz de Relación
d) Por medio de Grafos Dirigidos (digrafos).
Ejemplo:
Sean A = {1, 2, 3} y B = {r, s} y sea R = {(1, r), (1, s), (2, r), (3, s)}
a) b) c) d)

20. El Diagrama de Flechas indica el orden en que deben ser ejecutadas las
actividades de un proyecto, permitiendo planificar y controlar su desarrollo.
Para este fin, identifica las actividades que lo componen y determina su ruta
crítica, mediante una representación de red.
El diagrama de flechas también es conocido bajo otras denominaciones,
como: actividad diagrama de red, diagrama de red, red de actividades,
diagrama de nodo, o método de la ruta crítica

21. Relaciones Reflexivas e Irreflexivas:
Una relación R en un conjunto A es reflexiva si (a, a) £ R para todas las a £
A, esto es, si a R e para todas las a e A. Una relación R en un conjunto A
es irreflexiva si a R a para toda a £ A. Por consiguiente, R es reflexiva si cada
elemento a e A está relacionado consigo mismo y es irreflexiva si ningún
elemento está relacionado consigo mismo.

22. Propiedades de las relaciones
Ejemplo:
a) Sea Δ = [(a, a) a £ A], de modo que A es la relación de igualdad en el conjunto A. Entonces A es reflexiva,
ya que (a, a) £ Δ para todas las a e A.
b) Sea R = {(a, b) e A x A | a + b}, R es la relación de desigualdad en el conjunto A. Entonces R es irreflexible,
ya que (a, a) £ R para todas las x € A.
c) Sean A = {1, 2, 3}. y Jí = {(1, 1), (1, 2)}. Entonces A es reflexiva ya (2,2) R y (.3,3) € R. Por otra parte, R no
es irreflexiva, ya que (1, l) € R.
d) Sea A un conjunto no vacío. Sea R = Ǿ A x A, la relación vacía. Enlaces R no es reflexiva, ya que (a, a) € R
para todas las a € A (el conjunto vacío tiene elementos). Sin embargo, R es irreflexiva.

23. Presentaciones de relaciones
Relaciones Simétricas y Asimétrica
Una relación R en un conjunto A es simétrica si cuando a R b, entonces b R a. De esto se sigue
que R no es simétrica se tiene a y b € A con a R b, pero b R a. Una relación R en un conjunto A es
asimétrica si cuando a R b, entonces b Ra. De esto se sigue que R no es simétrica si se tiene a y b e A
con ambos a R b y b R a.
Una relación R en un conjunto A es asimétrica si cuando a R b y b R a, entonces a = b. Otra
forma de expresar esta definición es diciendo que R es anti simétrica si cuando a ≠ b, se tiene a R b o
b R a. De esto se sigue que R no es anti simétrica si se tiene a y b en A. a ≠ b, y ambas a R b y b R a.

24. Presentaciones de relaciones
Ejemplo
Sea A «= [a, b, c, d, e} y sea R la relación simétrica dada por:
R = {(a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b), (b, e), (e, b), (e, a), (a, e), (c,a), (a,c)}
El grafo dirigido de R se muestra en la figura 2(a), mientras que en la figura.

25. Presentaciones de relaciones
Relaciones Antisimetricas
Una relación binaria R sobre un conjunto A es antisimétrica cuando se da que
si dos elementos de A se relacionan entre sí mediante R, entonces estos elementos
son iguales. Es decir,
Para todo a, b de A, si se cumple que a está relacionado con b y b está
relacionado con a, entonces a es igual a b. En tal caso, decimos que R cumple con
la propiedad de antisimetría.

26. Presentaciones de relaciones
Representación:
La aplicación de cualquier relación R sobre un conjunto A, se representa con el par ordenado (A, R).
Sea R una relación antisimétrica aplicada sobre un conjunto A, entonces R tiene una representación
particular para cada forma de describir una relación binaria.
*Como pares ordenados,
*Como matriz de adyacencia M, la matriz no tiene ningún 2 salvo, a lo sumo, en la diagonal.
*Como grafo, dos nodos no podrán estar conectados por dos aristas dirigidas en ambas direcciones. Sin
embargo, sí podría tener bucles.

27. Ejemplo:
Sea A un conjunto cualquiera:
*Sea , ("mayor o igual que") es antisimétrica, al igual que >, ("mayor estricto que"),
pues en este último caso, el antecedente de la definición nunca se cumple.
*Sea , ("menor o igual que") es antisimétrica, al igual que <, ("menor estricto que"),
pues en este último caso, el antecedente de la definición nunca se cumple.
*La relación "ser más alto que" es antisimétrica, pues el hecho que a sea más alto que b y b
sea al mismo tiempo más alto que a, es imposible.
Presentaciones de relaciones

28. Presentaciones de relaciones
Relaciones Transitivas
Se dice que una relación R en un conjunto A es transitiva si
cuando a R b y b R e, entonces a R c. Se sigue que R no es transitiva
si y sólo si se puede encontrar elemento a, b y c en A tal que a R b y
b R c, pero a R c.

29. Las relaciones de equivalencia son relaciones entre los elementos de un elemento cualquiera. Se caracterizan por
abstraer el concepto de igualdad. Su definición formal es la siguiente:
Sea “K” un conjunto dado no vacío y “R” una relación binaria definida sobre “K”.
Se dice que “R” es una relación de equivalencia si cumple las siguientes propiedades:
Reflexividad: Todo elemento de “K” está relacionado consigo mismo. Es decir,
Simetría: Si un elemento de “K” está relacionado con otro, entonces ese otro elemento también se relaciona con el
primero. Es decir,
Transitividad: Si un elemento de “K” está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces
el primero estará relacionado también con este último. Es decir,

30. Relaciones de equivalencia
Cerraduras
Cerradura reflexiva: En este caso se agrega a la relación R la relación identidad para obtener
una relación que sea reflexiva. La relación identidad es una matriz cuadrada cuyos elementos
de la diagonal son únicamente unos y los elementos restantes son ceros.
Cerradura simétrica: A la relación R se le agrega la relación inversa R-1 para que la relación
resultante tenga la propiedad de simetría.
Cerradura transitiva: A la relación R se agrega la matriz que resulta de multiplicar la relación
por ella misma.

31. Relaciones de equivalencia
Clases de equivalencias
Una relación de equivalencia es aquella que tiene las tres propiedades: reflexiva,
simétrica y transitiva. Una relación de equivalencia tiene clases de equivalencia y éstas
forman particiones. Una partición es un subgrafo completo. Las clases de equivalencia son
conjuntos que contienen a todos los elementos y que están relacionados con A.
Una partición es un conjunto de clases de equivalencia, deberán estar contenidos
todos los elementos del conjunto A y la intersección entre las clases de equivalencia deberá
ser vacía

32. Relaciones de equivalencia
Particiones:
La partición de un conjunto es tan simple como dividir el
mismo en conjuntos más pequeños formados por elementos de él
mismo, es decir, en subconjuntos. Aquí no se toma en cuenta el
conjunto vacío.

33. Función Inyectiva:
En matemáticas, una función es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le
corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de . Es decir, a cada elemento del conjunto
A le corresponde un solo valor tal que, en el conjunto A no puede haber dos o más elementos que
tengan la misma imagen.
Así, por ejemplo, la función de números reales , dada por no es inyectiva, puesto que el valor
4 puede obtenerse como f(2) y f( − 2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos,
obteniendo así una nueva función entonces sí se obtiene una función inyectiva.

34. Funciones
Función Sobreyectiva:
En matemática, una función es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva
o exhaustiva), si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando la imagen , o
en palabras más sencillas, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como
mínimo un elemento de "X".

35. Funciones
Función Biyectiva:
En matemática, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva.
formalmente, para ser más claro se dice que una función es biyectiva cuando todos los elementos del
conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la
regla de la función inyectiva. sumándole que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un
elemento del conjunto de llegada, en este caso (y) que es la norma que exige la función sobreyectiva.

36. Dentro de las cosas importantes que podemos destacar de la aplicabilidad de la teoría de Grafos en el
mundo moderno resalta el hecho de que se aplica en el almacenamiento de grandes cantidades de
información, como por ejemplo la almacenada en una red social. Debido a la cantidad de datos hay que
buscar formas de obtener la información deseada sin tener que esperar mucho tiempo. Es por ello que la
información se almacena en bases no-SQL, que pueden ser las orientadas a grafos.
De igual manera en las ciencias de la computación hay una serie enorme de fenómenos que se
pueden modelar como grafos. Por lo tanto, pueden aprovecharse las propiedades matemáticas de los grafos
para estudiarlos desde un punto de vista teórico preciso. Y luego, aplicar mecanismos de optimización
sobre esos fenómenos.

37. 2014): Blogger. Relaciones y grafos. http://matematicasdiscretas8.blogspot.com/2014/11/elementos-y-caracteristicas-de-
los.html
Definición de. Producto Cartesiano. https://definicion.de/producto-cartesiano/
LAURA. (2013): La Guía. https://matematica.laguia2000.com/general/relaciones-binarias#:~:text=En%20el%20caso%20de
%20no,subconjunto%20del%20producto%20cartesiano%20AxB.
El Discretini. Representación de relaciones. https://eldiscretini.wordpress.com/representacion-de-relaciones/
Aiteco. Diagrama de Flechas. https://www.aiteco.com/diagrama-de-flechas/#:~:text=El%20Diagrama%20de%20Flechas%20
indica,mediante%20una%20representaci%C3%B3n%20de%20red.