trabajo de isotropia resistencia de materiales

1. Isotropía anisotropía
1
PRESENTACIÓN
Un medio es denominado isótropo si sus propiedades físicas son idénticas en todas las
direcciones. Un sistema será calificado de isótropo si sus propiedades físicas (macroscópicas) son
invariantes en relación con una dirección particular, y por lo tanto, si ninguna de ellas posee
dependencia direccional. En el caso en que una sola de sus propiedades sea direccional, el
sistema cesa de ser isótropo; es anisótropo. Se dirá también que una magnitud física es
anisótropa, o isótropa, según que dependa o no de la dirección según la cual se mide. En el
sentido primitivo y restringido del término, la isotropía y la anisotropía son propiedades de los
cuerpos o conjuntos macroscópicos. En esta acepción general, al ser el tiempo y el espacio
magnitudes físicas, y por ello medibles, se habla frecuentemente de su isotropía o de su
anisotropía.

2. Isotropía anisotropía
2
CONCEPTOS DE ANISOTROPÍAY DEISOTROPÍA
Anisotropía:
Laanisotropíaes unacaracterísticasegúnlacual, determinadas propiedades deuncristal dependen
delaorientaciónquese considere.Así,laconductividadeléctrica,calorífica, dilatacióntérmica,
velocidad depropagación delaluz,etc.,sonmuydiferentessegúnladirecciónquesetomeen cuenta. En
elcasodela propagacióndela luz en elinterior de un cristaldecuarzo,por ejemplo,su velocidad
dependerádela direcciónquelosrayossiganensuinterior. Estructuralmente,ladistancia
entrelosnudosvecinosdeunaredcristalinanoesconstante,ydependendeladirección,deahí que
dependiendodeladirecciónvaríenlas propiedadesdelcristal.Engeneralloscristalesson
anisótropos;loquecaracteriza el estadocristalinoes laanisotropíadiscontinua.
La anisotropía es unaconsecuencia delaestructura internadelmineral. Sicarecedeorganización
interna(mineralesamorfos)osipresentaunaorganizaciónmuyregularsonisótropos,losdemás
sonanisótropos.
Lospertenecientes alrestodelossistemas cristalinos(hexagonal,trigonal, tetragonal,rómbico,
monoclínicoy triclino) son anisótropos,las disposiciones desus elementos constituyentes
varíancon la direcciónypor tantosuelasticidadparalas ondasluminosas tambiénes diferente.
Anisotropía, propiedadquepresentaciertoscuerposconsistentes en ladependencia desus
propiedades deladirecciónqueenellos seconsidere.
Elfenómeno dela anisotropíaes debidoalaordenaciónespacialdelosátomosenlaredcristalinay
afectaalas propiedades mecánicas,eléctricas yópticas delosmateriales.
Enlamayoríadelas aplicacionesdelasaleacionesnoesprecisotenerencuentaelhechodeque tantolas
propiedadeselásticascomolas plásticas están determinadas por elcomportamientode muchos
granos individuales,cada uno deloscualeses anisótropo. Las aleaciones corrientes están
constituidaspormillonesdepequeñoscristalesy,siestánorientadosalazar,laspropiedades
mediassonlasmismasentodaslasdirecciones.Sinembargo,comoresultadodelosprocesosde
colada,laminadootratamientos térmicos,esposible quelos granosde una barrapolicristalina adopten

3. Isotropía anisotropía
3
una orientación casi idéntica en cuyo caso la barra presentará un comportamiento
anisótropoque,por ejemplo, puedehacer aumentarengranmedidasurigidezen una dirección.
Encuanto alas propiedadeseléctricas, un aspectointeresante delaresistividad essu dependencia
deladireccióndelacorriente eléctrica enlos monocristalesdemetales nocúbicos.
Estaanisotropíadelaresistividadseutilizaen dispositivos eléctricosespeciales.
Algunosmaterialesson ópticamenteanisótropos,es decir,lavelocidad delaluzdependedela
direcciónenqueéstase propague atravésde ellosyestodalugar alfenómenodeladoble refracción.
Otros materiales anisótropos, como la turmalina o la materia plástica transparente llamada
polaroid, sólo transmiten la luz orientada en ciertas direcciones de manera que convierten la luz
nopolarizadaenluzpolarizadaypuedenfuncionarcomo polarizadores.
Lassustanciasisotrópicas presentansiempre el mismocomportamientoindependientementedela
dirección,mientras queenlasanisotrópicaslas propiedades varíanconla dirección.Enel casodela
luz,loscristales anisótropos presentan distintos valores desus índicederefracción enfunción dela
direcciónenquesobre laluz al atravesar el cristal.
Posición general:
anisotropía
Paralaluzquellegueencualquierotradireccióndepropagaciónelmineral secomportacomo
anisótropoyel valordel índice derefracciónvariaconla dirección.
En la siguiente figura se representaen negro la posición de isotropía, ya considerada. Laflecha
rayadarepresentaladirecciónde propagaciónmientras quelosdiámetroshorizontalesrepresentan
lasdirecciones devibración,convalordelíndiceconstante,iguala"nomega"(parasimplificarel
diagramalosíndicessehanrepresentadocomo"omega"y"épsilon" envez de"n omega"y"n épsilon"
comoenrealidadcorresponde).

4. Isotropía anisotropía
4
Sienvez de propagarselaonda enla direcciónvertical,lohace ahoraenposiciónhorizontal,
perpendicularalplano del dibujo,segúnlaflecharoja,lasondasqueviajanporesterayoyque
habránsufridoladoblerefracciónpresentaunosvaloresde"n"correspondientesalossemiejesde
lasecciónperpendicular aestapropagación.Estasecciónserála dibujadaenrojo,convalores para
cadaondade"nepsilón"y "nomega",losejesprincipalesdelelipsoideyportantoconlosvalores
extremos.Serálatallade máximaanisotropía,cualquierdireccióndepropagaciónperpendicular al
ejeóptico(cualquierdirecciónde propagacióncontenida enel planohorizontal).
Silaluz incidedemanera inclinada(decolor azul, enlafigura),las ondas quevibranen direcciones
perpendicularestendránunosvalores de"n"representados por elcorteal elipsoideendirección
perpendicular. Losvalores delosíndicessonenestecaso"n epsilónprima"y "nomega".Esta
posiciónpresentaunaanisotropíamedia(epsilónprima- omega<epsilón- omega).
Paraconocerelvalor delosíndicesderefraccióndelasdosondasquesepropagansegún una
determinadadirección(recordemos,vibrandoperpendicularmente,entresíyala delapropagación)
enuncristaluniáxicobastatrazarunplanoperpendicularaestadireccióndepropagaciónquecorte
alaindicatrizópticaporsucentro.Lossemiejesdelasecciónresultanterepresentalosvaloresde los"n"
delas dos onda
Un material es anisótropo cuandosuspropiedadesdependende la orientaciónsegún la cualse hace
la medición de ellas.
Tomemos el ejemplo de un cristalCCCydesusdirecciones [100] y
[110].Nótesequeelordenamiento atómicoalolargodeestasdirecciones
esmuydiferente.Porello,simedimos el módulo elástico E según una dirección [100], se obtiene
un valor muy distintodeaquelqueseobtiene según una dirección [110]. Y esto ocurrecon
cualquierpropiedad que consideremos, tal como resistividad eléctrica, susceptibilidad magnética,
coeficiente de dilataciónlineal,etc.Tal diferentecomportamiento tambiénse da para
losplanoscristalinos;porejemplo, sólo losplanos{111}son planosde deslizamiento en un
cristalmetálico CCC.
Así, los monocristales son esencialmenteanisótropos.
Texturasno cristalinas
En materialescomo la madera o bien un material compuesto formado por una
resinareforzada confibrasde vidrioalineadas,se tendránpropiedades muydiferentessegún
sisemidealo largode lasfibrasobienenotra dirección.Ahíhay unaformade anisotropía que se debea
textura por fibras.
Isotropía:
Un materiales isótropo cuando suspropiedadesnodependende la dirección según la cual
ellas son
Medidas. Es decir, cuando una propiedad tiene elmismovalor independiente de la direcciónsegún
la cual sehacelamedida.
Los materialesamorfos(o no cristalinos) sonestrictamente isótropos. Ellose debe a que
nopresentan direccionesque difieranentre síensu tipode ordenatómicolineal,por no haberorden
cristalino.

5. Isotropía anisotropía
5
Isotropíaporcompensación en policristales:
Frecuentemente en ingeniería, particularmente para aplicaciones estructurales,seemplean
policristales. En ocasiones,los policristales formados por muchosgranos (granosque son
monocristales anisótropos), pueden ser considerados,en promedio, como isótropos, según severá.
Particularmentecuando la estructura de un policristal está recocida,se pueden
tenergranoscon las siguientes trescaracterísticas de estos:
Finos: el tamañode granoes suficientemente pequeño como para que,en la
secciónconsiderada haya muchos granos.
De formaequiaxial: enelmaterialno hay direccionespreferencialesalmirar losgranos,por
ejemplo,enun microscopio óptico.
Con orientaciones cristalinas al azar: por ejemplo,en unpolicristalde cobre, de estructura CCC,
losejesOX-OY-OZ de distintos granos, ejes correspondientesa lasaristasde las celdas cristalinas
respectivas, están orientados al azar.
Consideremos un policristalpara el cualsecumplen las tres condiciones anteriores.Ahora
midamosalguna propiedad según dos direcciones diferentes del policristal, bajo la
Condiciónde que talesdirecciones consideren muchosgranosa lo largoy que
ellasnoseancristalográficamente equivalentes. Entonces,las medidas demódulode Young,por
ejemplo, corresponderána unpromediosobre muchos granos en cadacaso, dando un
valorresultante,unpromedio,queserá el mismo según lasdosdireccionesdel material.Asíse
tendráisotropía por compensación.
Anisotropíaportextura, en policristales:
Cuando un monocristales sometido,por ejemplo,aunesfuerzode tracciónodecompresiónque
genere deformaciónplástica pordeslizamiento, suestructura cristalina se reorienta respectodeleje
delesfuerzo,buscando ciertas orientaciones determinadas, ya noalazar. Cabe recordar elcasode
la probeta monocristalina deZn, apropiadamenteorientaday sometidaa tracciónvista enclase.Esa
muestra, presenta deslizamiento,pero,además, rota enrelaciónconla máquina de tracción;estoes,se
orienta preferencialmente.
Nótese que cadagranode unpolicristal estambiénun monocristal,de modoque cadagranode
unpolicristaltambiénse reorientará. En consecuencia, cuando un policristalde granosorientados
inicialmente alazar esdeformado plásticamente, con ladeformación plástica losgranos tenderána
orientarse de unacierta manera.De modoquela estructuracristalina finalnoserá alazar. Porotra
parte, la formaexterna de los granos tambiénseveráafectada por la deformaciónen frío: en
particular, un grano inicialmente equiaxial,deformado por deformaciónplástica,quedará
alargadoenelsentidodelalaminación ymás planoen el plano delaminación.
Por loanterior,unmaterial policristalino que inicialmente cumpla lastres condiciones
anteriores, yque, por ende,fueseisótropo por compensación,al deformarlo plásticamenteen
fríoadquiriráuna texturapordos factores:
- lasestructurascristalinastendrán orientacionespreferenciales,ya noal azar;estose
puededeterminarpor difracción de rayosX.
- la forma de los granos quedará alargada segúneleje de deformación (forma
noequiaxial);estose puede determinarpormicrosopíaóptica.
Por losdosfactoresanterioresde textura, elmaterialdeformado plásticamente en frío será
anisótropo.
Hay muchasaplicacionesenque interesa la isotropía. Por ejemplo,para obtener productos
adecuadospor embutido profundo, proceso empleado parahacerollas,vainillas,etc,apartir de
planchas, se requiere que las planchas presentes similares propiedadesmecánicasalolargoy alo

6. Isotropía anisotropía
6
anchode la plancha.Una forma de controlar la isotropía enplanchas,es realizando
ensayosmecánicos, empleandoprobetascortadasa0º,45ºy
90º con el ejedelaminación. Homogeneidad
Otra propiedadrelevantede un material es su homogeneidad oheterogeneidad. Un materiales
homogéneo cuando el valor de una propiedadesel mismo independientemente dellugardonde se
hace la medida.Nóteseque un material puedeserhomogéneoy anisótropo;por ejemplo, es el caso
de una buena madera.Lo contrario ahomogéneo es heterogéneo.
En cursos de Mecánica de Sólidos, comounode Resistenciade Materiales, frecuentemente se
supone que los materiales son isótropos (por compensación)yhomogéneos.
Lassustanciasisotrópicas presentansiempre el mismocomportamientoindependientementedela
dirección,mientras queenlasanisotrópicaslas propiedades varíanconla dirección.Enel casodela
luz,loscristales anisótropos presentan distintos valores desus índicederefracción enfunción dela
direcciónenquesobre laluz al atravesar el cristal.
Laisotropía es lacaracterística de poseer iguales propiedades encualquier dirección.Cuandola
propiedad elasticidadsemanifiestaenigualmedida cualquierasealadirecciónenlaqueseha
producidoladeformaciónola direcciónenla quesedeforma, el material sedenominaisótropo.
Losminerales quecristalizanenelSistemaCúbico(o Regular),esdecir,eldemáximasimetría,con
susátomosoionesigualmentedistribuidosenlastresdirecciones principalesdel espacio,son isótropos.
Unmaterialesisótropocuandosuspropiedades no dependen deladirecciónsegúnlacualellas son
medidas.Esdecir,cuandounapropiedadtieneelmismovalorindependientedeladirecciónsegún lacual
se hacelamedida. Losmateriales amorfos(o nocristalinos)sonestrictamenteisótropos. Ello
sedebeaquenopresentandireccionesquedifieranentresíensutipodeorden atómicolineal,por nohaber
ordencristalino.Isotropíapor compensaciónenpolicristales
Frecuentementeeningeniería,particularmente paraaplicacionesestructurales,seemplean
policristales.En ocasiones,lospolicristalesformadospormuchosgranos (granosqueson
monocristalesanisótropos),puedenserconsiderados,en promedio,comoisótropos,segúnseverá.
Particularmentecuandolaestructura de unpolicristalestárecocida,sepuedentenergranosconlas
siguientestrescaracterísticasdeestos:Finos:eltamañodegranoessuficientementepequeño comopara

7. Isotropía anisotropía
7
que,enlasecciónconsi-deradahayamuchosgranos.De formaequiaxial:en elmaterial
nohaydirecciones preferencialesalmirarlosgranos, porejemplo,enunmicroscopioóptico.Con
orientacionescristalinas al azar:porejemplo,enun policristaldecobre,de estructuraCCC,los ejes OX-
OY-OZde distintos granos, ejescorrespondientesalas aristas delasceldascristalinas respectivas,
están orientadosalazar.Consideremos unpolicristalparaelcualsecumplenlastres condiciones
anteriores.Ahora midamos alguna propiedad segúndos direcciones diferentesdel
policristal,bajolacondicióndequetalesdireccionesconsiderenmuchosgranosalolargoyque ellas
noseancristalográficamenteequivalentes.Entonces,las medidas demódulo deYoung,por
ejemplo,corresponderán aunpromediosobremuchos granos encadacaso,dandounvalor resultante,
un promedio,queseráelmismosegúnlasdos direccionesdelmaterial.Asísetendrá
isotropíaporcompensación.
Posición
deisotropía
Laluz quese propagaverticalmente, enla dirección deleje óptico(quecoincidecon elejedemayor
simetríacristalográfica, cuaternario en lafigura)vibraencualquiera delas direccionesrepresentadas
porlosdiámetrosdelacircunferencia ecuatorial,yportantoconigual"n"siempre(convalor "omega").
Unmedioes denominadoisótroposisuspropiedades físicassonidénticasentodaslasdirecciones.
Unsistemaserácalificado deisótroposisus propiedadesfísicas(macroscópicas) soninvariantesen
relaciónconuna dirección particular, y por lotanto,si ninguna de ellas posee dependencia
direccional. En elcaso en que unasola desuspropiedadessea direccional,elsistemacesadeser
isótropo;esanisótropo.Sedirátambiénqueunamagnitudfísicaesanisótropa,oisótropa,según
quedependaonodela direcciónsegúnlacualse mide.Enelsentido primitivoyrestringidodel
término,laisotropíaylaanisotropíasonpropiedadesdeloscuerposoconjuntos macroscópicos.En
estaacepcióngeneral,alser eltiempoy elespaciomagnitudes físicas,y por ello medibles,se habla
frecuentementedesuisotropíaodesuanisotropía.
Elespaciogeográficoes heterogéneoy anisótropo.Lasnociones de heterogeneidady anisotropía
sonpróximas enestecaso. Lanocióndehomogeneidaddescribelamayoromenorigualdaddelos
valoresde unavariable o deunacombinacióndecaracterísticas enunconjuntogeográfico.La
heterogeneidad del espacio geográfico reside, por lo tanto, en el hecho de que sus partes,
elementosolugares,son diferenciados. Suanisotropíahacereferenciaalas orientacionesenel
espacio,alas diferenciaciones que provienen de dependenciasdireccionalesconstitutivasdesu
estructuración.Nudos yejesjerarquizados queorganizanlosflujos decirculación,y gradientes y
disimetrías dantestimonio de estaanisotropía.
Encuantoal espacio geográfico,laisotropía(anisotropía)se definesiempre respecto de uncierto nivel
deresolucióno degeneralizacióndelas unidadesgeográficas.Observadaa unaciertaescalay
paraunnúmerolimitadodecriterios,esunamedida, siemprerelativa,delaindependenciadelas

8. Isotropía anisotropía
8
direcciones. Lacuestióndelaisotropíadelespacio geográficoseha planteadoendiferentes
contextosdereflexiónyde acciónque dependendelregistrodelaespacialización.Deestemodo,
todareflexiónsobrelaconstruccióndelaunidadde unterritoriotropiezaconla noción deisotropía
cuandolaunidadestásubtendidaporlanecesariareduccióndelasdiscontinuidades.Labúsqueda
delaunidadterritorial pasa engeneral,por ejemplo,porlanecesidaddepensarydepromoverun espacio
homogéneodecirculaciónsolamentecontrastado porladistancia,oinclusoporlavoluntad
dedaralasmallaspolítico-administrativaslamayorregularidadyneutralidadposibles.Porotra parte,la
nocióndeisotropíaseencuentratambién en elfondodelaproblemáticadela“equidad
territorial”,odimensiónespacialdelajusticiasocial.Estadimensióndesignaría unaconfiguración
geográficasusceptiblede aseguraratodoslasmismascondiciones de accesoalosservicios
públicos,alempleoyalasdiversasventajasdelavidaensociedad.Equidadterritorialeisotropía
delespaciosevinculancuandolacuestión essaber sialgunas dimensiones dela anisotropíason
portadorasde diferenciaciones injustas delaaccesibilidad.
Ecuaciones constitutivas
Para materiales elásticos:
Si la relación es lineal:
Enestaexpresión:EltensordecuartoordenCijkldelaspropiedadesdelmaterialomódulo elástico
(¿cuántas constantes materiales?). Utilizando la simetría del tensor de esfuerzo:
Prueba mediante ejemplo (generalizable):
loquegeneralizaelenunciado.Estoreduceelnúmerodeconstantesdematerialde81 a 54. De
modo similar, podemos utilizar la simetría del tensor de deformación.

9. Isotropía anisotropía
9
Estoreducedenuevoelnúmerodeconstantesdemateriala36.Parareduciraúnmás
elnúmerodeconstantesdematerialconsidere la conclusión de la primera ley para los materiales
elásticos, ecuación (1):
Estovuelveareducirelnúmerodeconstantesdemateriala21.Porlotanto,el material elástico lineal
anisotrópico más general tiene 21 constantes de material. Vamos a adoptar la notación
de Voigt:
Cuando el material tiene simetrías en su estructura, el número de constantes de material
se reduce aún más (véase Tratamiento unificado de este material). Vamos a concentrarnos
en el caso isotrópico:
Materiales elásticos lineales isotrópicos
El tensor isotrópico de cuarto orden más general:
Sustituyendo en:

10. Isotropía anisotropía
10
da:
Ejemplos:
Matrizde cumplimiento de un material elástico isotrópico
A partir de los experimentos descubrimos:

11. Isotropía anisotropía
11
En estas expresiones, E es el módulo de Young, v el ratio de Poisson yG el módulo de rigidez.
Se denominan constantes técnicas, ya que se obtienen de experimentos. En
Tratamiento unificado demostramos que G =
escribir en la siguiente forma de matriz:
E
2(1+v)
. Estas expresiones se pueden

12. Isotropía anisotropía
12
Deformación de plano
En este caso consideramos situaciones en las que:
La inversión da la relación entre los esfuerzos y las deformaciones para ladeformación de plano:

13. Isotropía anisotropía
13
Conclusiones:
Bueno yo creo que tanto la isotropía como la homogeneidad son importantes, ya que tratan
de temas relacionados, con esto me refiero a que la isotropía como su prefijo lo dice es la
característica de tener elementos iguales, entonces se puede concluir que la esta,
constituye una de las propiedades fundamentales del espacio. Y pues la homogeneidad es
la característica que tiene una construcción en el cual sus partes no se ven, es decir, si se
ven, pero forman parte del todo y resaltan en conjunto.