ejemplos de calculo

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Ingeniería de Fluidos
Antonio Valiente Barderas
2016
UNAM

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Contenido
Capítulo I.- Introducción e historia del flujo de fluidos.
Capítulo II.- Unidades y variables en flujo de fluidos.
Capítulo III.- Hidrostática.
Capítulo IV.- Viscosidad.
Capítulo V.- Bernoulli.
Capítulo VI.- El flujo de fluidos por el interior de las tuberías y las Perdidas
por fricción
Capítulo VII.-Caídas de presión en tuberías comerciales.
Capítulo VIII.- Flujo de fluidos a régimen transitorio.
Capítulo IX.- Medidores de flujo.
Capítulo X.- Flujo de fluidos incompresibles a través de sistemas complejos.
Capítulo XI.- Bombas.
Capítulo XII.- Flujo de fluidos compresibles.
Capítulo XIII.- Fluidos no newtonianos.
Capítulo XIV.- Flujo de fluidos sobre objetos sumergidos.
Capítulo XV.- Flujo en canales.
Capítulo XVI.- Agitación.
Capítulo XVII.- Flujo a dos fases gas-líquido.
Capítulo XVIII.- Flujo a dos fases líquido-sólido.
Capítulo XIX.- Flujo a dos fases gas-sólido.
Capítulo XX.- Filtración.
Apéndice.- Capa límite.

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Capítulo I
Introducción e historia del flujo de fluidos.
El hombre al hacerse sedentario y convertirse en agricultor debió enfrentarse al
manejo del agua, primer fluido que le interesó. Existen todavía trazas de los
canales de irrigación que desde tiempos prehistóricos existían en Egipto y Meso-
potamia. Se sabe que se hicieron embalses del Nilo a la altura de Menfis hace ya
más de seis mil años, para proveer el agua necesaria para las cosechas y que el
río Tigris fue desviado con el mismo propósito por la misma época. Se han encon-
trado pozos antiguos de gran profundidad y aun acueductos subterráneos en
Tierra Santa. En lo que es ahora Pakistán, en las ruinas de Mojenjo- Daro se ha
descubierto que las casas tenían tuberías de cerámica para el agua y para el
drenaje. También se han encontrado enormes trabajos hidráulicos en la antigua
China, así como en la península de Yucatán.
Los mayas construyeron canales y desagües en sus ciudades, en algunos de
ellos utilizaron tuberías hechas a partir de ductos cerámicos como se pueden ver
en las ruinas de Cosoleacaque en Tabasco.
En la antigua Tenochtitlán, según cuenta la leyenda, el rey Netzahualcóyotl
mandó construir el albarradón que separaba las aguas dulces del lago de
Xochimilco de las salobres del de Texcoco, así como inició la construcción del
primer acueducto que traía agua dulce de Chapultepec al centro de la gran urbe.
Como se ve, el estudio de flujo de fluidos tuvo su inicio en la prehistoria y
algunos de los factores que estimularon su crecimiento fueron las necesidades ya
mencionadas de la distribución del agua para la irrigación y el consumo humano,
el desalojo de las aguas negras, los diseños de los barcos comerciales y de
guerra.
Aunque los diseños eran empíricos y no utilizaban conceptos de mecánica o
matemáticas, sirvieron para el desenvolvimiento de muchas civilizaciones.
Los escritos más antiguos sobre la mecánica de fluidos son los de Arquímedes
(287-212 a.C.) en los que se describen por primera vez los principios de la
hidrostática y la flotación. A principios de nuestra era, un ingeniero romano, Sextus
Julius Frontinus (40-103 d.C.) escribió sobre los conocimientos hidráulicos de sus
compatriotas, conocimientos que los llevaron a construir acueductos como los que
todavía subsisten en España y Francia.
No fue sino hasta finales de la Edad Media en que los principios aristotélicos
sobre la no existencia del vacío y la velocidad de caída de los cuerpos como
función de su masa se empezaron a cuestionar en las universidades y a
establecerse relaciones mecánicas simples entre la velocidad y la aceleración.
Mientras que los griegos tendían a razonar sin observación, Leonardo da Vinci
(1452-1519) dio énfasis a la importancia de la observación, lo que plasmó en
dibujos sobre olas, ondas, chorros, remolinos, etcétera. Se atribuye también a
Leonardo la primera formulación del principio de la hidráulica conocido como
principio de la continuidad:” la velocidad de un flujo varía inversamente con la
sección transversal del área de flujo de la corriente". Desgraciadamente la mayoría
de sus observaciones pasaron inadvertidas para sus contemporáneos.

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La segunda gran contribución la efectuó el ingeniero hidráulico holandés Simón
Stevin (1548-1620), quien demostró que la fuerza ejercida por un líquido sobre la
base recipiente es igual al peso de la columna de líquido que se extiende desde la
base hasta la superficie libre. Esta no depende de la forma del recipiente.
Si Leonardo fue el primer científico observador, Galileo (1564-1642) adicionó
la experimentación a la observación aclarando los conceptos de la aceleración
gravitacional. En el estudio de ese fenómeno, se dio cuenta de que un cuerpo
(que se desliza libremente en un plano inclinado obtiene una cierta velocidad
después de un tiempo, independientemente de la pendiente. Mientras que
Leonardo era un solitario, Galileo reunió a un grupo de estudiantes a su alrededor.
Uno de sus estudiantes, el abad Benedectto Castelli (1577redescubrió el principio
de la continuidad. Su más joven colega Evangelista Torricelli (1608-1647) aplicó el
análisis de las trayectorias parabólicas de los objetos a la geometría de los
chorros de los líquidos. Torricelli experimentó también con el barómetro y encontró
que el vacío se producía sobre la columna de líquido empleado en sus
barómetros, en otras palabras, que la naturaleza no aborrece el vacío.
El científico francés Edme Mariotte (1620-1684)es llamado el padre de la
hidráulica en Francia por estudiar la presión de los vientos y el agua, y la
elasticidad del aire, un científico a quien se le asocia con el inglés Robert Boyle
(1627-1691) mediante la ley Boyle-Mariotte.
En Italia se considera que Doménico Guglielmini (1655-1710) fue el fundador
del estudio de la hidráulica: mientras que Mariotte era un experimentador de
laboratorio, Guglielmini hizo muchas mediciones en los ríos.
Casi al mismo tiempo, el sabio francés Blaise Pascal 3-1662) experimentó con el
barómetro de Torricelli y completó finalmente el principio de la hidrostática. No
sólo aclaró la transmisión de la presión de un punto a otro y sus aplicaciones en la
prensa hidráulica, sino que demostró que la presión barométrica debe variar con la
altura y que el barómetro debería dar una lectura de cero en el vacío.
_René Descartes (1596-1650), el científico a quien se deben las coordenadas
cartesianas, tratando de unificar los conocimientos aristotélicos con la mecánica
del sistema solar indicó que los planetas se movían en sus órbitas por un sistema
de gigantescos vórtices que contenían una cantidad fija de movimiento. El inglés
Isaac Newton (1642-1727) usó correctamente el concepto de momentum para
evaluar las órbitas e indicó que si hubiera vórtices en el espacio se retardaría el
movimiento de los planetas. Newton llevó a cabo también una serie de
experimentos sobre la resistencia que encontraban los cuerpos en movimiento
para probar que nada de eso ocurre en el espacio. En el curso de esos estudios
formuló la velocidad del sonido en el aire, las bases de la viscosidad y la ecuación
que ahora lleva su nombre. También inventó lo que ahora conocemos como
cálculo.
Un alemán contemporáneo de Newton, Gottfried Wilhelm von Leibnitz (1646-1716)
concibió el concepto de energía cinética. Leibnitz también desarrolló el cálculo
diferencial e integral.
Daniel Bernoulli (1700-1782), descendiente de una ilustre familia de científicos,
trabajó en numerosas ramas de la física y de la matemática. Daniel fue miembro
de la academia rusa en san Petersburgo, en donde se le unió Leonhard Euler (83).
En 1738 Daniel publicó su tratado sobre Hidráulica; en su trabajo Daniel indica el

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uso de manómetros, la teoría cinética de los gases y la propulsión a chorro. Al
igual que Leibnitz, en la ecuación de Bernoulli se consideraban sólo las energías
potencial y cinética. En realidad, la primera ecuación verdadera de Bernoulli fue
derivada por un extraordinario matemático, a partir de sus ecuaciones de -
aceleración, para las condiciones a régimen permanente del flujo irrotacional bajo
el efecto de la aceleración gravedad.
Jean Lerond d'Alembert (17)7-1783) más conocido por ser coeditor de la
Enciclopedia demostró que no hay resistencia al movimiento cuando un cuerpo se
mueve a través de un fluido ideal (es decir, con viscosidad cero), conclusión que
no es válida cuando los cuerpos se mueven a través de fluidos reales. La
inconsistencia entre la teoría y la práctica se conoce como la "paradoja de
D'Alembert" y sirvió para demostrar las limitaciones de la teoría en la resolución de
problemas de flujo. D'Alembert es también conocido por haber sido el primero que
hizo ensayos sobre la fuerza de arrastre en tanques de prueba con modelos de
barcos.
Después de los conocimientos alcanzados en el siglo XVIII, los estudiosos se
dividieron en dos grupos que se desenvolvieron en forma separada: los que se
dedicaron a la hidrodinámica, un término dado al estudio teórico y matemático, y al
análisis de los fluidos perfectos, y los que se dedicaron a la hidráulica que se
centraban en los aspectos experimentales del comportamiento real de los fluidos.
Esta falta de comunicación entre los dos grupos explica el desenvolvimiento lento
de la mecánica de los fluidos como ciencia hasta fines del siglo XIX.
A principios del siglo XIX, a pesar de las contribuciones de ingleses e italianos,
el liderazgo en hidráulica pertenecía a los franceses debido a la influencia de la
Corporación de Puentes y Caminos que funcionaba desde 1719.
En 1822 Louis Marie Heri Navier (1785-1836), un ingeniero de puentes, fue el
primero de incluir en las ecuaciones de Euler el flujo de una sustancia viscosa.
Navier (1827) y Stokes (1845), en trabajos independientes, generalizan las
ecuaciones de movimiento con la inclusión del concepto de viscosidad y con
ecuaciones que se aplican a una determinada clase de fluidos, llamados
newtonianos.
A fin del siglo XIX, los experimentos realizados por Reynolds comenzaron a
mostrar las posibles aplicaciones de las ecuaciones de Navier-Stokes para el
establecimiento del concepto de dos diferentes tipos de regímenes, el laminar y el
turbulento.
Al convertirse la hidráulica en una ciencia aplicada, las matemáticas se fueron
desarrollando y con ellas lo que se conoce como hidrodinámica.
Por fortuna, Ludwig Prandtl (1875-1953) un ingeniero mecánico alemán creó
una nueva ciencia, la de la mecánica de los fluidos, mediante sus enseñanzas en
la universidad de Gottingen. Hacia 1904 pensó que el movimiento relativo entre un
fluido y la separación de las líneas de flujo se podrían analizar en dos partes: una
pequeña capa de separación que produce la resistencia viscosa al movimiento y
una capa externa, que se conduce de acuerdo con los principios del flujo
irrotacional. Como en esa época comenzaron a elevarse los primeros aviones,
Prandtl y muchos de sus estudiantes se dieron a la tarea de formular los principios
del funcionamiento de las alas y las hélices.
Paul Richard Heinrich Blasius (1873-1970), uno de los primeros estudiantes de

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Prandtl, puso las bases matemáticas de la teoría de la capa de separación y
mostró en 1911 que la resistencia al flujo a través de tubos lisos puede expresarse
en términos del número de Reynolds para flujo laminar y turbulento. Otro
estudiante, Johann Nikuradse (1894-1979), hizo notables experimentos sobre la
resistencia en tubos lisos y rugosos.
Para mediados del siglo XX los estudios de Mach y Von Karman sobre el flujo
supersónico sentaron las bases para el diseño de los aviones de propulsión a
chorro y posteriormente para el de los cohetes teledirigidos y las naves espaciales
que llevaron al hombre a la Luna en 1969.
A los científicos desde hacía mucho tiempo les interesaba el flujo sobre objetos
sumergidos; Fraude y Stokes estudiaron el arrastre y la resistencia que producía el
movimiento de cuerpos sobre los fluidos o el flujo de fluidos sobre objetos
inmóviles. Sus estudios los llevaron al perfeccionamiento de naves y a la medida
de la viscosidad. Ergung posteriormente estudió el flujo en lechos empacados, lo
que se utilizó para el diseño de filtros y el movimiento de fluidos en torres de
separación. Estudios posteriores permitieron aclarar el comportamiento de
agitadores y mezcladores.
Fue también en el siglo XX cuando se comenzaron a estudiar otro tipo de
fluidos en los que la viscosidad a temperatura constante depende del gradiente de
velocidades; esos fluidos resultaron ser muy comunes en los seres vivos, en la
naturaleza, en los fluidos de perforación y en los polímeros. A partir de los
estudios de Bingham, Ostwald, Nutting, De Waale, Dodge y Metzner comenzó la
nueva ciencia de la reología. Este término fue sugerido en 1929 por Eugene Cook
Bingham para definir la rama de la Física que tiene por objeto el conocimiento de
la deformación o flujo de la materia.
Sin embargo, desde un punto de vista histórico, el origen de la reología se
remonta a la segunda mitad del siglo XVII, época en la que Robert Hook e Isaac
Newton dieron a conocer sus ideas acerca del sólido elástico y del fluido viscoso
ideales_ respectivamente. La reología moderna estudia el comportamiento de
todos los fluidos y en especial de aquellos que no siguen la ley de Newton, tales
como los fluidos de Bigham, los pseudoplásticos, los dilatantes, los tixotrópicos,
los reopécticos, y otros. Estudia también sistemas complejos que presentan
simultáneamente propiedades elásticas y viscosas, 'es decir sustancias visco
elásticas. Así, son objeto de la reología materiales tales como plásticos, fibras
sintéticas, pastas, lubricantes, cremas, suspensiones, emulsiones, y otros más, los
cuales constituyen la materia prima de las industrias farmacéutica, cosmética,
agroalimentaria, cerámica, de pinturas, de barnices y otras.
Por esa época también llamó la atención de los científicos el movimiento de
sistemas fluidos que presentan dos fases, tal como sucede con las mezclas de
líquido y gas, de líquido y sólidos; y de gas y sólidos. Esos sistemas son muy
comunes en el transporte hidráulico y neumático, y en el diseño de filtros, ciclones,
secadores, columnas de destilación y absorción, reactores fluidizados, entre otros.
Asociados al estudio de estos sistemas están los nombres de Baker, Robert Kern,
Lockart y Martinelli.

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Biografías de algunos investigadores y científicos relacionados con el flujo
de los fluidos
Arquímedes (287-212 a.C.).
Nace en Siracusa, Sicilia. Tras recibir su primera formación de su padre, un as-
trónomo de nombre Fidias, Arquímedes se dirigió a Alejandría desde Egipto para
completar su formación científica. Tiene como maestro a Canon de Sarnas, gran
matemático y discípulo de Euclides. Concluidos sus estudios regresa a Siracusa,
aunque vuelve a regresar a Egipto para realizar obras de ingeniería tendientes a
regular las aguas del Nilo. Durante ese tiempo se cree que perfeccionó su famoso
tomillo-sin-fin con el que se podía bombear agua. En Siracusa se dedica a las
matemáticas y a la mecánica y construye máquinas y naves de guerra. Entre sus
aportaciones matemáticas destacan tratados sobre esferas, cilindros, espirales y
cuerpos flotantes. Resuelve el problema de la corona de Hieron, develando el
fraude del orfebre que había sustituido una parte de oro por otra de plata y con
motivo de ello descubre el principio que lleva su nombre.
Al ser Siracusa atacada por los romanos se le confía la defensa de la ciudad, y
gracias a su ingenio y a la construcción de máquinas militares consigue rechazar
por ocho meses los ataques; sin embargo, la ciudad fue finalmente tomada por los
enemigos y es durante ese episodio que muere a manos de un soldado enemigo.
Leonardo da Vinci (1452-1539).
Genio italiano, dibujante, pintor, escultor y científico. Fue el primero que hizo
énfasis en el estudio de la naturaleza, lo que lo llevó a planear la construcción de
un canal en el río Amo de manera que fuera navegable entre Pisa y Florencia. Las
observaciones hidráulicas de Leonardo quedaron grabadas en numerosos dibujos
que incluyen ondas, olas, chorros, remolinos y el vuelo de las aves. En particular,
fue Leonardo el primero que formuló correctamente el principio básico de la
hidráulica conocido como principio de la continuidad: "la velocidad de un flujo varía
inversamente con el área seccional de la corriente". También hizo diseños para
máquinas y molinos movidos por la fuerza del agua. Desgraciadamente sus
observaciones las transcribía con escritura de espejo (probablemente para
guardar el secreto) y además estuvieron pérdidas por mucho tiempo, así que sus
descubrimientos tuvieron poco efecto en el desarrollo de la ciencia.
Simón Stevin (1548-1620).
Matemático e ingeniero holandés fundador de la ciencia de la hidrostática al de-
mostrar que la presión ejercida por un líquido sobre una superficie depende de la
altura del líquido y del área de la superficie. Stevin era auxiliar contable en
Amberes, luego oficinista en la Casa de Impuestos de Brujas; más tarde se movió
a Leiden en donde asistió a la escuela primaria y luego entró a la Universidad de
Leiden en 1583 a la edad de 35 años. Al formar parte del ejército holandés, Stevin
inventó una forma de inundar las partes bajas del país abriendo diques
seleccionados y causando grandes perjuicios a la armada española invasora. Fue
un gran ingeniero que construyó molinos de viento, puertos y esclusas. Como
autor de 11 libros hizo aportaciones importantes en trigonometría, geografía,
fortificaciones y navegación. Inspirado por Arquímedes, Stevin escribió varios

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libros sobre mecánica. Aunque no fue el inventor de la notación decimal (habían
sido inventadas por los chinos y los árabes hacía mucho tiempo) introdujo su uso
en las matemáticas. Su notación fue seguida por Clavius y Napier. Stevin indicó
que el uso universal de los decimales en las monedas, medidas y pesos era sólo
cuestión de tiempo. La noción de Stevin sobre los números reales fue aceptada
por los demás científicos, así como el concepto de número negativo. En sus libros
utilizó las notaciones +, -y -r En 1583, tres años antes que Galileo informó que
pesos diferentes caen desde una altura dada al mismo tiempo.
Galileo Galilei (1564-1642).
Físico, matemático y astrónomo italiano. Fue un genio prolífico que destacó en
numerosos campos, sobre todo en mecánica y astronomía. Es uno de los
constructores de los primeros telescopios y desde luego el primero que lo utilizó
para la observación de los astros. Al defender las teorías de Copérnico entró en
conflicto con la Iglesia. Se le acredita además la invención del termoscopio (un ter-
mómetro primitivo), de una máquina para bombear agua mediante un caballo y de
una brújula militar. Las contribuciones de Galileo a la mecánica son
fundamentales, en especial las relacionadas con la caída de los cuerpos sobre
planos inclinados, la formulación de la ley de la caída libre, el isocronismo del
movimiento del péndulo y el movimiento de los proyectiles.
Evangelista Torricelli (1608-1647).
Evangelista Torricelli entró al colegio jesuita de Faenza en 1624, después al
Colegio Romano en Roma en donde mostró un gran talento ante su maestro,
Castelli. Mientras recibía lecciones, Torricelli se convirtió en su secretario, puesto
que ocupó desde 1626 a 1632. De 1641 a 1642 se convirtió en secretario de
Galileo y fue su sucesor como matemático de la corte del Gran Duque Fernando II
de Toscania. Ocupó ese puesto hasta su muerte en la ciudad de Florencia.
Torricelli fue el primer hombre que creó el vacío y que descubrió el principio del
barómetro. En 1643 Torricelli propuso un experimento, que posteriormente llevó a
cabo su colega Vicenzo Viviano para demostrar que la presión atmosférica
determina la altura a la cual un fluido Evangelista Torricelli (1608-1647) se eleva
en un tubo invertido sobre el mismo líquido. Este concepto lo llevó a la
construcción del barómetro. Fue tan hábil pulidor de lentes (construyó telescopios
y un microscopio) que obtenía la mayor parte de sus entradas a partir de este
oficio. Probó también que el flujo de un líquido a través de un orificio es
proporcional a la raíz cuadrada de la altura del líquido, resultado que se conoce
como teorema de Torricelli. También encontró la longitud del arco de la cicloide, o
sea, aquella curva trazada por un punto sobre la circunferencia de un círculo en
rotación. Al hacer uso de los métodos infinitesimales determinó el punto en el
plano de un triángulo tal que la suma de sus distancias a los vértices es un mínimo
(centro isogónico). Torricelli también estudió el movimiento de los proyectiles. Su
trabajo Opera Geométrica, (1664) incluye importante material sobre este tópico.

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Blaise Pascal (1623-1662).
Filósofo, matemático y físico francés. A los diecisiete años escribió un magnífico
tratado de las cónicas, que contiene además, el teorema de su nombre sobre el
hexágono, En 1642 construyó la primera calculadora, "la Pascalina" para ayudar a
su padre con los cálculos contables que hacía. En el campo de la física es notable
por descubrir la utilidad' del barómetro, como altímetro, e investigar la estática de
los fluidos, comprobando que la presión en el interior de un fluido es proporcional
a la altura de la columna del fluido que hay sobre ese punto y a la densidad del
mismo. El principio de Pascal indica que "la presión que se ejerce sobre un fluido
se distribuye en todos los sentidos y con la misma intensidad". En 1654, después
de una visión religiosa, se retiró de la vida mundana, recluyéndose en un
convento. En sus Pensamientos de 1669, se esforzó en encontrar un camino entre
el estado filosófico y la verdad religiosa.
En su tratado de triángulos aritméticos, de 1665, que fue publicado después de su
muerte, desarrolla la combinatoria y el cálculo de probabilidades.
Isaac Newton (1643-1727).
Matemático y físico inglés, famoso por la ley de la gravitación universal, por el
estudio de la luz y por la invención del cálculo diferencial e integral. Fue el
constructor del primer telescopio de reflexión. Estudió entre otras cosas el
movimiento de los fluidos, enunciando la ley que hoy lleva su nombre. A pesar de
sus numerosos estudios sobre alquimia no hizo contribución importante en ese
campo.
Daniel Bernoulli (1700-1782).
Nació el 29 de enero de 1700 en Groningen, Holanda. Era hijo de Jean Bernoulli y
sobrino de Jacques Bernoulli, dos investigadores que hicieron aportaciones
importantes en el desarrollo del cálculo. En 1721 obtuvo el título de médico y fue
profesor de matemáticas en la academia Rusa de
San Petersburgo en 1725.
En ese lugar, junto con su hermano Nicolás, comenzó
a trabajar en matemáticas junto con Euler, incluyendo
problemas de estadística de la salud. Dos años
después regresó a Basilea, Suiza, en donde fungió
como profesor de anatomía, botánica, filosofía y
física. Sus trabajos más importantes están
relacionados con la hidrodinámica, en la que
considera las relaciones que existen entre los di-
ferentes tipos de energía, potencial, cinética y de
presión, lo que dio origen al Principio de Bernoulli o
teoría dinámica de los fluidos. Entre 1725 y 1749
obtuvo diez premios por sus trabajos en astronomía,
gravitación, mareas, magnetismo, corrientes oceánicas y comportamiento de
embarcaciones.

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Leonhard Euler (1707-1783).
Matemático, físico y astrónomo suizo, nacido en Basilea. Desde 1927 vivió en San
Petersburgo donde fue profesor en 1730; allí mismo estudió matemáticas con Jo-
hann Bernoulli, teología y lenguas orientales. De 1741 a 1766'fue llamado por
Federico II el Grande de Prusia para que fuera director de la Academia de Berlín.
Tiene muchas fórmulas y teorías con su nombre, que demuestran su enorme
fecundidad y Leonhard Euler (1707-1783) actividad en matemáticas y física. Su
memoria excepcional le permitió seguir sus trabajos científicos aún después de
quedarse ciego. A su muerte dejó unas 900 obras. Existe un número adimensional
que lleva su nombre.
Robert Boyle (1627-1691).
Químico inglés (1627--1691) por sus trabajos sobre la iatroquímica y la alquimia es
considerado el padre de la química. Boyle demostró que la química era una cien-
cia en la que la experimentación rigurosa y los métodos cuantitativos daban
resultados reproducibles. Él fue el "primero que dio una definición moderna de los
elementos químicos. Efectuó numerosas investigaciones utilizando una bomba de
vacío, notando que al extraer el aire de una cámara se extinguía el fuego y se
morían los animales que estaban dentro, y que durante estos experimentos la
columna de mercurio del barómetro descendía. Boyle presentó su famosa ley en la
que indica que la presión varía inversamente con el volumen a temperatura
constante. Su libro El químico escéptico, publicado en 1661, tenía por misión
eliminar de la química el lenguaje intrascendente. Boyle fue el primero que usó
indicadores que cambiaban de color con la acidez.
Jean Charles de Borda (1733-1795).
Investigador, marinero e inventor francés. En su juventud tomó parte en la guerra
de Independencia de Norteamérica y luego participó en misiones navales técnicas;
sus investigaciones le hicieron acreedor a la entrada a la Academia de Ciencias.
Es autor de numerosas invenciones, como el perfeccionamiento de las ruedas
hidráulicas y las bombas, y la mejora de los instrumentos de navegación. Fue
nombrado inspector de construcciones navales. Sus trabajos se relacionan
también con el estudio de la resistencia de los fluidos y sobre la medida del arco
del meridiano terrestre con Delambre y Mechain. Con Lavoisier y Monge contribu-
yó a la creación del sistema métrico.
Henry Philibert Gaspard Darcy (1803-1858).
A Henry Darcy se le acredita la invención del tubo Pitot moderno. Fue el primer
investigador que sospechó la existencia de la capa de separación en flujo de
fluidos y contribuyó al desarrollo de la ecuación Darcy-
Weisbach para obtener las pérdidas por fricción en
tuberías. Hizo también grandes contribuciones al flujo
en canales abiertos y desarrolló la ley de Darcy para el
flujo en medios porosos. Su ley puso los cimientos para
varios campos de estudio que incluyen la hidrología del
agua subterránea, la física de suelo y la ingeniería
petrolera.

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Jean Leonard Poseuille (1799-1869).
Nació en París en 1799. Médico Y físico que realizó diversos estudios sobre el
corazón y la circulación de la sangre. Sus trabajos más importantes son una serie
de experimentos que le permitieron en 1844 formular las leyes de la circulación a
flujo laminar y publicar la ley que lleva su nombre. En su honor una de las
unidades de viscosidad lleva el nombre de Poise.
Claude Louis Marie Henry Navier (1785-1836).
Ingeniero francés especialista en puentes que estudió bajo Fourier en la Ecole
Polythecnic. Navier es recordado hoy en día no por sus puentes sino por la
ecuación de dinámica de fluidos llamada de Navier-Stokes. Trabajó en
matemáticas aplicadas en tópicos tales como ingeniería, elasticidad y mecánica de
fluidos; además, hizo contribuciones a las series de Fourier y las aplicó a la
resolución de problemas físicos. En 1821 publicó la ecuación Navier-Stokes para
flujos incompresibles y en 1822 publicó otra ecuación "para fluido viscoso". Navier
derivó su ecuación sin comprender completamente la situación física que estaba
modelando. No sabía en aquel tiempo acerca del esfuerzo cortante en los fluidos y
por ello se basó en una modificación de la ecuación de Euler para tomar en cuenta
las fuerzas intermoleculares de los fluidos. Navier recibió en vida muchos honores;
el más importante fue la entrada a la Academia de las Ciencias de París en 1824.
Desde 1830 trabajó como consultor.
Osborne Reynolds (1842-1912).
Ingeniero británico nacido en Belfast en 1842. Trabajó en su juventud en un taller
mecánico y_ posteriormente realizó estudios en Cambridge. En 1868 se hizo
cargo de una cátedra especial para ingenieros que acababa de crear la
universidad de Manchester, puesto que desempeñó hasta 1905. Sus trabajos ver-
saron principalmente sobre hidrodinámica. Llevó a cabo ensayos sobre la
propulsión por hélice y estudió el comportamiento dinámico de los fluidos viscosos.
Como resultado de sus investigaciones en este campo demostró la importancia del
número de Reynolds, que interviene en muchas aplicaciones de flujo de fluidos,
transferencia de calor y de masa. Elaboró también una teoría sobre la lubricación,
introdujo perfeccionamientos en las turbinas y los frenos hidráulicos, y estableció
los diagramas de las máquinas de expansión múltiple.
William Froude (1810-1879).
Ingeniero naval inglés, notable por la investigación sobre los efectos de las
corrientes y el oleaje en modelos y en tanques experimentales. Esto era
particularmente importante en su época porque la máquina de vapor estaba
reemplazando a las velas como la fuerza motriz y se necesitaba un diseño más
científico de los cascos y las propelas para utilizar las ventajas de la propulsión a
vapor. Con el resultado de sus experimentos se pudieron construir Duques más
seguros, eliminando muchos errores de diseño mediante la aplicación de pruebas
rigurosas sobre modelos precisos y a escala de las naves. Sus investigaciones, y
descubrimientos fueron prontamente aplicados en todo el mundo para el diseño y
las pruebas experimentales. En sus empresas fue apoyado por su hijo Robert

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Froude, otro gran ingeniero.
George Gabriel Stokes (1819-1903).
Físico y matemático inglés. Desde 1849 fue profesor en Cambridge. Tiene muchos
trabajos sobre análisis (teorema de la integral de Stokes); sobre todo, en la
aplicación a campos eléctricos e hidrodinámicos, absorción, espectros,
luminiscencia y éter. En 1849 fue profesor de matemáticas en Cambridge y en
1851 elegido como miembro de la Royal Society, de la que llegó a ser secretario
en 1854. Los trabajos de Stokes sobre el movimiento pendular en los fluidos lo
llevaron a publicar un artículo fundamental sobre hidrodinámica en 1851, en el que
se describía su ley de la viscosidad y la velocidad a la que cae una esfera a través
de un fluido viscoso.
La fórmula de Stokes describe la resistencia de rozamiento en el movimiento de
esferas en medios viscosos. Una esfera que se mueve en un líquido de viscosidad
 a la velocidad v y que tiene un radio r, tiene una resistencia de:
W= 6n/lvr
En su honor la unidad de viscosidad cinemática es el Stokes (1 St = IQ-4 m2/s).
John William Strutt, Lord Rayleigh (1842-1919).
Físico inglés. Fue catedrático de física en Cambridge entre los años 1879 y 1884,
Y a partir de 1887 se movió al Instituto Real de Londres. Entre los años 1905 y
1908 fue presidente de la Royal Society. Dominaba por igual todos los campos de
la ciencia, si bien centró su actividad investigadora en la acústica y los fenómenos
relacionados con las radiaciones, en cuyo campo descubrió nuevas leyes y
métodos de medición. Durante los trabajos de determinación de la densidad de
diversos gases halló la existencia del argón, o sea el primer gas noble conocido, lo
que permitió ampliar el sistema periódico de los elementos. En el campo de la
destilación es conocida su famosa ecuación que permite calcular la destilación de
mezclas en los alambiques. Implementó también un método de análisis
dimensional que lleva su nombre y con el cual se pueden encontrar los números
adimensionales que controlan un proceso. Rayleigh fue galardonado con el
Premio Nobel de Física en el año de 1904.
Ludwig Prandtl (1875-1953).
Nació en Freisig, Bavaria en 1875. Físico alemán
famoso por sus trabajos sobre aeronáutica. Fue
profesor de mecánica aplicada en Gottingen por 49
años. En 1925, Prandlt se convirtió en director del
Instituto Káiser Wilhelm para Mecánica de Fluidos.
Su descubrimiento en 1904 sobre la Capa Límite
llevó al entendimiento de la fuerza de arrastre. Sus
trabajos en la teoría de las alas dieron lugar al
mejoramiento de estos aditamentos aeronáuticos.
Hizo también importantes contribuciones a las teorías
de flujo supersónico y sobre la turbulencia, y
contribuyó al desarrollo de los túneles de viento.

13. 13
Theodore von Karman (1881-1963).
Físico húngaro nacido en Budapest. Fue profesor en la universidad de Gottingen y
en Aquisgrán y, desde 1930, en Pasadena (EUA). Es el impulsor del desarrollo de
la investigación en aerodinámica. Trabajó preferentemente sobre las turbulencias
y sobre la teoría de la capa límite. En 1912 fue nombrado profesor y director de la
Institución Aeronáutica de Aachen, puesto en que
permaneció hasta 1930. Durante la Primera Guerra
Mundial estuvo trabajando para el imperio
austrohúngaro en el desarrollo de los primeros
helicópteros. En 1926 estuvo involucrado en la
creación de una escuela de aeronáutica en California
que fue apoyada por la compañía Douglas fabricante
de aviones. Desde 1936 se refugió en los Estados
Unidos en donde trabajó en el desarrollo de los
modernos cohetes y del helicóptero, y tomó la
dirección de la Institución de Ciencias Aeronáuticas y
fue uno de los fundadores de la NASA. Tiene
importantes trabajos sobre el flujo de fluidos a
velocidades subsónicas, sónicas y supersónicas. Fue
una persona ingeniosa, políglota, amigable y que pertenecía a numerosos círculos
de científicos. La línea de remolinos de Karman es la línea de turbulencias que se
forman detrás de un cuerpo que se desplaza en una corriente de fluido; se
resuelven periódicamente con un giro contrario o son causa de la pérdida de
energía del cuerpo que se desplaza.
Bibliografía consultada.
-The turbulent history of Fluid Mechanics. http://www.engr.sju.edu/nikos/
courses/me 11l/pdfl poem-Naomi.pdf
-Hydraulics Collection http://www.lib.uiowa.edu/spec-call/Bai/hydraul.htm
-Desenvolvimento histórico da mecánica dos fluidos
http://www.ime.eb.br/webde 1/ gloria/Projfinal/ Profinal99/grupo 15/historico.html
-Álvarez Sánchez, J., Forjadores de la ciencia, Diccionario Ríoduero, Madrid,
1983. 1500 nuevas biografías. Editorial América, Panamá, 1989.
-Munson, Young & Okushi. Fundamentos de mecánica de fluidos. México: Limusa.
1990.

14. 14
Capítulo 2
Unidades y variables en flujo de fluidos

15. 15
Para clasificar a los materiales que se encuentran en la naturaleza se pueden
utilizar diversos criterios. Desde el punto de vista de la ingeniería, uno de los más
interesantes lo constituye aquel que considera el comportamiento de los
elementos frente a situaciones especiales. De acuerdo a ello se definen los
estados básicos de sólido, plástico, fluidos y plasma. De aquí la de definición que
nos interesa es la de fluidos, la cual se clasifica en líquidos y gases.
La clasificación de fluidos mencionada depende fundamentalmente del estado y
no del material en sí. De esta forma lo que define al fluido es su comportamiento y
no su composición. Entre las propiedades que diferencian el estado de la materia,
la que permite una mejor clasificaron sobre el punto de vista mecánico es la que
dice la relación con la forma en que reacciona el material cuando se le aplica una
fuerza.
Los fluidos reaccionan de una manera característica a las fuerzas. Si se compara
lo que ocurre a un sólido y a un fluido cuando son sometidos a un esfuerzo de
corte o tangencial se tienen reacciones características que se pueden verificar
experimentalmente y que permiten diferenciarlos.
Con base al comportamiento que desarrollan los fluidos se definen de la siguiente
manera: "Fluido es una sustancia que se deforma continuamente, o sea se
escurre, cuando está sometido a un esfuerzo de corte o tangencial". De esta
definición se desprende que un fluido en reposo no soporta ningún esfuerzo de
corte.
Un fluido es pues, una sustancia o medio continuo que se deforma continuamente
en el tiempo ante la aplicación de una presión o tensión tangencial sin importar la
magnitud de ésta.
La parte de la física que se ocupa de la acción de los fluidos en reposo o en
movimiento, así como de las aplicaciones y mecanismos de ingeniería que utilizan
fluidos se llama Mecánica de fluidos. La mecánica de fluidos es fundamental en
campos tan diversos como la aeronáutica, la ingeniería química, civil e industrial,
la meteorología, las construcciones navales y la oceanografía.
La mecánica de fluidos puede subdividirse en dos campos principales: la estática
de fluidos, o hidrostática, que se ocupa de los fluidos en reposo, y la dinámica de
fluidos, que trata de los fluidos en movimiento. El término de hidrodinámica se
aplica al flujo de líquidos o al flujo de los gases a baja velocidad, en el que puede
considerarse que el gas es esencialmente incompresible. La aerodinámica, o
dinámica de gases, se ocupa del comportamiento de los gases cuando los
cambios de velocidad y presión son lo suficientemente grandes para que sea
necesario incluir los efectos de la compresibilidad.
Entre las aplicaciones de la mecánica de fluidos están la propulsión a chorro, las
turbinas, los compresores y las bombas. La hidráulica estudia la utilización en
ingeniería de la presión del agua o del aceite.
Los principios básicos del movimiento de los fluidos se desarrollaron lentamente a
través de los siglos XVI al XIX como resultado del trabajo de muchos científicos
como Da Vinci, Galileo, Torricelli, Pascal, Bernoulli, Euler, Navier, Stokes, Kelvin,

16. 16
Reynolds y otros que hicieron interesantes aportes teóricos a lo que se denomina
hidrodinámica. También en el campo de hidráulica experimental hicieron
importantes contribuciones Chezy, Ventura, Hagen, Manning, Pouseuille, Darcy,
Froude y otros, fundamentalmente durante el siglo XIX. Hacia finales del siglo XIX
la hidrodinámica y la hidráulica experimental presentaban una cierta rivalidad. Por
una parte, la hidrodinámica clásica aplicaba con rigurosidad principios
matemáticos para modelar el comportamiento de los fluidos, para lo cual debía
recurrir a simplificar las propiedades de estos. Así se hablaba de un fluido real.
Esto hizo que los resultados no fueran siempre aplicables a casos reales. Por otra
parte, la hidráulica experimental acumulaba antecedentes sobre el
comportamiento de fluidos reales sin dar importancia a la formulación de una
teoría rigurosa.
La Mecánica de Fluidos moderna aparece a principios del siglo XX como un
esfuerzo para unir estas dos tendencias: experimental y científica. Generalmente
se reconoce como fundador de la mecánica de fluidos moderna al alemán L.
Prandtl (1875-1953). Esta es una ciencia relativamente joven a la cual aún hoy se
están haciendo importantes contribuciones.
En ingeniería es necesario cuantificar los fenómenos que ocurren y para ello se
requiere expresar las cantidades en unidades convencionales. Los sistemas de
unidades utilizados están basados en ciertas dimensiones básicas, o primarias,
apartar de las cuales es posible definir cualquier otra utilizando para ello leyes
físicas, dimensionalmente homogéneas que las relacionan. Las dimensiones
básicas más usadas son: longitud, tiempo, masa y temperatura. La forma en que
se seleccionan las dimensiones básicas apartar de las se pueden definir las
restantes, y las unidades que se les asignan, da origen a diferentes sistemas de
unidades. Desde 1971 se ha intentado universalizar el uso del denominado
Sistema Internacional de Unidades, SI, el cual corresponde a la extensión y el
mejoramiento del tradicional sistema MKS.
Magnitudes Definición Dimensiones MASA
CGS, SI o MKS
FUERZA
MKS,SI, Ingles
Longitud
Tiempo
Masa
Fuerza
L
θ
M
F = M a
L
θ
M
MLS
-2
1cm 1m
1 seg 1seg
1g 1kg
1 dina=10-5N 1N
1 m 1 ft
1 seg 1 sec
1 utm 1 slug
1kgf=9,81lbf=4,448N
Energía
Trabajo
Calor
W=F L ML
2
S
-2
1 erg 1Joule
1 cal
1 kgfxm 1 ft-lbf
1 cal
Potencia P=W/θ M L
2
S
-2
θ
-1
1 erg/seg 1Watt 1kgf.m/s 1lbf.ft/sec

17. 17
Viscosidad
Presión
Temperatura
µ
p = F/A
T
ML
-1
θ
-1
ML
-1
θ
-2
T
1poise, 1kg/m.s
1baria 1Pa=1N/m2
1 kelvin 1 kelvin
1kgf.s/m2 1lbf.sec/ft2
1 kgf/m2 1lbf/ft2
1 kelvin , 1°Rankine
En los procesos industriales y en los laboratorios se necesita medir, es decir,
encontrar el tamaño y la cantidad de las variables que se están manejando:
temperatura, concentración, pH, cantidad de materia, etc.
Una dimensión es una propiedad que puede medirse, como la longitud, el tiempo o
la masa. Las variables fundamentales suelen llamarse dimensiones básicas.
Estas son la masa (M), el espacio (L), el tiempo (), y la temperatura (T); cada una
de éstas se puede representar por un símbolo. Otras propiedades dependen de
las dimensiones básicas y pueden ponerse en función de ellas tal como el
volumen (L3
), la velocidad (L /) y la densidad (M / L3)
.
Cualquiera que sea la naturaleza de una cantidad física, se emplea para medirla
otra cantidad fija de la misma especie, a la que se llama unidad. Toda cantidad
medida o contada tiene un valor numérico (2, 0.007, 3x 105
, etc.) y una unidad
(metro, gramos, kilocalorías, etc.). En los cálculos químicos resulta indispensable,
escribir tanto el valor numérico como la unidad de la medición.
Las unidades pueden tratarse como entidades algebraicas, de manera que las
cantidades que tienen una misma unidad pueden sumarse o restarse.
Ejemplo 1.
5kg + 7 kg = 12 Kg ; 3560 kcal - 1340 kcal =2220 kcal
Sin embargo a veces es necesario especificar lo que se suma o se resta, ya que
como dice el dicho “no se pueden sumar peras con manzanas”
Ejemplo 2.
5kg de manzanas + 7 kg de peras = 12 kg (de peras + manzanas o de mezcla).
Por otro lado los valores numéricos y sus correspondientes unidades pueden
combinarse por medio de la multiplicación o división.
Ejemplo 3.
5 N x 7 m = 35 Nm= 35 J
30 kcal / 3 h = 10 kcal / h
70 4 280
75
1
3
1
25
2 2
km
h
h km
kcal
h m
kcal
h m
 
  

18. 18
Una cantidad medida puede expresarse en términos de cualquier unidad que
tenga la dimensión apropiada.
Ejemplo 4.
Una cierta cantidad de frijoles se puede expresar en gramos, kilogramos, libras,
toneladas o con cualquier otra unidad de masa. Obviamente el valor numérico de
la masa dependerá de la variable seleccionada. Lo que no puede hacerse es
sumar o restar cantidades que tengan diferentes unidades aunque pertenezcan a
la misma dimensión.
Por ejemplo; NO se pueden sumar 6 kg de frijoles con 10 libras de frijoles. Para
hacer la suma se deberá emplear equivalencias entre las unidades, la
equivalencia llamada factor de conversión suele expresarse mediante una
igualdad o un cociente.
Ejemplo 5.
2.2 libras = 1 kg.
2 2
1
1
. libras
kg

Para convertir una cantidad expresada en términos de una unidad en su
equivalente en términos de otra unidad se debe utilizar el factor de conversión
partiendo del hecho de que en álgebra, multiplicar por 1 no afecta al resultado.
Así:
6 10
1
2 2
10545
kg frijoles libras frijoles
kg
libras
kg frijoles
  
.
.
Con frecuencia en los cálculos químicos hay que efectuar la operación de
conversión varias veces, empleando varios factores de conversión, por lo que al
hacer las operaciones se parecen estas a las de los eslabones de una cadena.
Ejemplo 6.
Convertir 5 cm / s a pies por hora
Solución
5
1
100 0305
3600
5901638
cm
s
m
cm
pie
m
s
h
pie
h
   
.
.
Resultado.
5 cm /s equivalen a 590.1638 pies / h
Por lo tanto, al hacer una transformación lo que se requiere es multiplicar tantas
veces por uno como transformaciones se requieran. La mejor manera de evitar el
error común de multiplicar cuando se tiene que dividir y viceversa, es escribir las
unidades en los cálculos de este tipo. El procedimiento será el correcto cuando se
cancelen las unidades viejas y sólo resulten al final las unidades nuevas.

19. 19
Los sistemas de unidades más empleados en los cálculos químicos son el SI
(sistema internacional de unidades), el MKS (absoluto y gravitacional) y el sistema
Inglés (gravitacional y absoluto) de unidades. Algunos factores de conversión
pueden obtenerse del apéndice.
En los sistemas absolutos, las unidades fundamentales son la longitud, la masa
y el tiempo y de ellas se derivan las demás. Por ejemplo, en el Sistema
Internacional y el MKS absoluto las unidades fundamentales son el metro, el
kilogramo masa y el segundo. En esos sistemas la aceleración está dada en
m / s2
y la fuerza es el Newton (aquella fuerza que a la unidad de masa le
imprime la unidad de aceleración kg m / s2
). En los sistemas absolutos las
unidades fundamentales son la longitud, el tiempo y la fuerza. Por ejemplo en el
sistema MKS gravitacional la unidades son el metro, el segundo y el kilogramo
fuerza o kilopond (la fuerza que al kilogramo masa le provoca una aceleración de
9.81 m /s2
), siendo la masa una unidad derivada llamada geokilo.
De manera que para convertir la fuerza en Newtons a kilogramos fuerza
(abreviado kg

) se debe utilizar un factor de conversión que en este caso se
denomina por gc y que es igual a:
g
N
kg
kgm
s
kg
km
s
N
lb ft
s
lb
c    
981
981 1 32 2
2 2 2
.
. .
  
El peso de un objeto es la fuerza que ejerce sobre el objeto la atracción
gravitacional.
Peso = F = masa x g
En donde g es la aceleración de la gravedad. En la Tierra la aceleración debida a
la gravedad en promedio es de 9.81 m/ s2
Ejemplo 7.
Supongamos que una persona tenga una masa de 50 kg. ¿Cuál sería su peso?
Solución.
El peso sería de:
Peso = 50 kg x 9.81 m /s2
= 490.5 N = 490.5 / gc = 50 kg

Resultado.
Una persona que tiene una masa de 50 kg en la Tierra pesa 50 kg

o 490.5 N
Congruencia de una relación matemática.
Cualquier igualdad matemática válida requiere que ambos términos sean
congruentes dimensionalmente, es decir, que cuando se sustituyan las literales de
la ecuación matemática por las dimensiones correspondientes (masa, longitud,
tiempo y temperatura) ambos términos de la ecuación tengan las mismas
dimensiones.
Una ecuación puede ser dimensionalmente correcta, pero no serlo en cuanto al
tipo de unidades que se emplean para medir las diferentes dimensiones, por lo
que es necesario asegurarse de que se emplea el mismo tipo de sistema de

20. 20
unidades en los dos lados de la ecuación. Cuando no se tiene lo anterior se
deberán hacer las conversiones necesarias.
Ejemplo 8.
La densidad de todos los cuerpos varía con la temperatura. En algunos líquidos
esa variación puede expresarse por medio de la siguiente fórmula:
 = o + A t
Donde  = kg / m3
a una temperatura t en º C
o = kg /m3
a la temperatura base to
¿Cuáles deben ser las unidades de A?
Solución:
Recordando que, para que una ecuación sea correcta desde el punto de vista de
las unidades, ambos lados de la ecuación deben tener las mismas unidades, por
lo que:
 
 
 
 
 
o At
kg
m
kg
m
A C
kg
m
kg
m
A C
A
kg
m C
3 3
3 3
3
º
º
º
Resultado.
Las unidades de A deben ser kg / m3
ºC. Este factor se llama coeficiente de
dilatación.
Mol.
La masa atómica de un elemento es la masa de un átomo en relación con la masa
del isótopo del carbono 12
C a la que se da un valor de 12.
La masa molecular (usualmente llamada peso molecular) de un compuesto es la
suma de las masas atómicas de los átomos que constituyen la molécula del
compuesto. Por ejemplo la masa molecular o peso molecular del CH4 se
obtendría mediante la suma de 4 x 1+12= 16.
Un gramo mol o mol de una sustancia es la cantidad de esa sustancia cuya masa
en gramos es numéricamente igual a su masa molecular. Si se trata de un átomo
se hablará de átomo gramo.
Se pueden utilizar otras unidades derivadas del mol tales como el kg mol, la libra
mol, que se definen de manera semejante.
Si el peso molecular de una sustancia es PM, entonces hay PM en kg / kg mol,
PM en g / mol y PM en lb /lb mol de esa sustancia.
Ejemplo 9.
¿Cuántas moles hay en 56 kg de CH4?
Solución:

21. 21
56
16
1000
1
3500
4
4
4
kg de CH
kgmol de CH
kg de CH
mol
kgmol
mol
  
Resultado.
En 56 kg de metano hay 3500 mol
Gastos.
En los procesos de la industria se debe tener un estricto control sobre la materia
y energía que entra y sale de ellos. Los procesos continuos involucran el
movimiento de sustancias de un punto a otro del sistema, algunas veces entre los
equipos del proceso, otras desde las instalaciones de producción hasta el almacén
o viceversa. La rapidez a la que se transporta una sustancia a través de una línea,
proceso o equipo se denomina gasto y puede medir tanto gases, líquidos o sólidos
como a sus mezclas. El gasto se puede expresar como:
Gasto másico
Gasto volumétrico o caudal
Gasto molar.
Las dimensiones correspondientes a cada caso son:
Gasto másico = Masa / Tiempo = M / 
Gasto volumétrico = Volumen / Tiempo = L3
/ 
Gasto molar = moles / tiempo = M / 
El gasto se utiliza para medir gases, líquidos, sólidos o mezclas. Es conveniente
identificar cada uno de los casos con literales especiales:
Tabla 3 Distintos tipos de gastos.
Gasto
másico
Gasto volumétrico o
caudal
Gasto
molar
De gases G Ca ~
G
De
líquidos
L Ca ~
L
De sólidos S Ca ~
S
De
mezclas
M Ca ~
M
Para medir los gastos se pueden utilizar muchos dispositivos colocados en las
líneas de proceso, para que den lecturas continuas de la cantidad de materia que
está procesándose. En sus gran mayoría estos dispositivos son caudalímetros
(miden flujos volumétricos) o medidores de velocidad, siendo menos frecuentes
los aparatos que miden la masa (masimétros).
Entre los caudalímetros podemos citar al rotámetro que es un tubo vertical que
contiene un flotador; cuanto mayor sea el caudal, tanto mayor será la altura que
alcanza el flotador en el tubo (Figura 1.-3).

22. 22
Figura 3. Rotámetro
Otro caudalímetro muy usado es el medidor de discos, el cual es un aparato
provisto de discos giratorios que se instala en la línea, el paso del fluido hace
mover los discos, cada giro es equivalente a un cierto caudal el cual se registra
en una carátula (Figura 4).
Figura 4. Medidor de discos

23. 23
Entre los medidores de velocidad están el medidor de orificio que es una
obstrucción en el ducto que tiene una abertura estrecha, a través de la cual pasa
el fluido. La presión del fluido disminuye al pasar por esta obstrucción y esta caída
de presión (que se mide con un manómetro) varía con la velocidad del fluido
(Figura 5).
Figura 5. Medidor de orificio
Otro medidor de velocidad es el tubo Pitot.
Figura 6. Tubo de Pitot
Si lo que se obtiene es la velocidad, el caudal puede obtenerse por:
Ca = v (A)
En donde v es la velocidad media en la línea y A es el área de la sección
transversal.
Con el caudal puede obtenerse el gasto másico ya que:
L = Ca 
Donde  es la densidad de la sustancia que se está procesando.
Para obtener el gasto molar bastará con dividir el gasto másico entre el peso
molecular de la corriente.

24. 24
~
L = L / PM
Ejemplo 10.
Por una línea de 2 pulgadas de diámetro interno viaja agua a la velocidad media
de 1 m / s ¿Cuál es el caudal que está pasando? ¿Qué gasto másico y molar de
agua pasa por la línea? Dato: la densidad del agua puede tomarse como de 1000
kg / m3
.
Solución.
El diámetro de la línea en m es:
2
254 1
100
00508
pu adas
cm
pu ada
m
cm
m
lg
.
lg
.
  
Por lo tanto el área de paso o área transversal es:
A=  R2
= 3.14 x (0.0254 m)2
=0.0020258 m2
El caudal es:
Ca = v A = 1 m /s (0.002058) m 2
= 0.002058 m3
/s = 7.2928 m3
/ h
El gasto másico es:
L = Ca  = 7.29928 m3
/ h (1000 kg / m3
)=7299.28 kg /h = 2.0258 kg / s
El gasto molar es:
~
.
. .
L
L
PM
kg
h
kg
kgmol
kgmol
h
kgmol
s
   
7299 28
18
40551 01126
Resultados.
El caudal es de 7.2928 m3
/ h, el gasto másico es de 2.0258 kg / s y el gasto molar
es de 0.1126 kg mol de agua / s.
Propiedades de los fluidos.
En la naturaleza se presentan cuatro estados de agregación de la materia, a
saber: sólido, líquido, gaseoso y plasma.
La diferencia principal entre los gases, los líquidos y los sólidos consiste en que
los primeros tienen fluidez, o sea cohesión pequeña entre las moléculas, falta de
fuerzas de rozamiento entre las moléculas en reposo, en virtud de la cual el
líquido acepta con facilidad la forma del recipiente donde está contenido. En los
recipientes los líquidos forman una superficie libre y si el líquido se echa sobre un
plano se desparrama sobre este formando una película fina. El gas también tiene
la propiedad de fácil movilidad de las partículas, es decir fluidez, pero a diferencia
del líquido es compresible, no forma superficie libre y ocupa todo el volumen del
recipiente que lo contiene. La fluidez de las partículas del líquido y del gas los
reúne bajo el nombre de fluidos. Los fluidos, como todos los materiales, tienen
propiedades físicas que permiten caracterizar y cuantificar su comportamiento así
como distinguirlos de otros. Algunas de estas propiedades son exclusivas de los
fluidos y otras son típicas de todas las sustancias. Características como la
viscosidad, tensión superficial y presión de vapor solo se pueden definir en los
líquidos y gases. Sin embargo la densidad, el peso específico y la densidad
relativa o (gravedad específica) son atributos de cualquier materia.

25. 25
Densidad.
Como se ha observado la densidad es una variable necesaria para obtener los
gastos de las corrientes. La densidad es una variable que relaciona la masa con
el volumen de un cuerpo.
 = M / V = M / L3
Las unidades de la densidad pueden ser kg / m 3
, kg / l, Libras / ft3
, libras / galón,
etc.
Una variable relacionada con la densidad es la llamada densidad relativa que es la
relación de la densidad de una sustancia con respecto a la densidad de una
sustancia tomada como referencia. La sustancia de referencia en el caso de
sólidos y líquidos suele ser el agua; en los gases se toma el aire.
R
densidad de una sustancia
densidad del agua

Como se puede deducir, la densidad relativa no tiene dimensiones
Debido a la dilatación que sufren los cuerpos al aumentar la temperatura, la
densidad de los cuerpos varia con la temperatura, por lo que al hablar de
densidades y de densidades relativas se debe especificar la temperatura a la cual
se hace la medición, es costumbre entonces decir:
Densidad  a 20 ºC
Densidad relativa R a 15 /4
Indicándose que la densidad de la sustancia se midió a 15 ºC y la del agua se
tomó a 4 º C.
La densidad de los líquidos y sólidos más comunes puede encontrarse en la
bibliografía clásica (manuales)
La densidad de las sustancias sólidas poco conocidas puede obtenerse
fácilmente mediante una probeta y una báscula.
Figura 7. Balanza de Morh-Westphal para obtención de densidades.
La densidad de los líquidos y sus mezclas también se puede obtener mediante
ese procedimiento, aunque con mucha frecuencia se emplean densímetros o
aerómetros para medirla. La determinación de la densidad de un líquido puede
efectuarse tanto pesándola directamente, como utilizando la ley de Arquímedes
con la ayuda de los densímetros o aerómetros.

26. 26
El densímetro se sumerge en el líquido y flota
en éste. Cuanto mayor es la densidad de un
líquido, tanto menos se sumerge el tubo del
densímetro. En la escala del tubo están
indicadas las densidades.
Figura 8. Densímetro o aerómetro
En la industria alimentaria se suelen usar aerómetros calibrados en grados para
obtener la densidad, estos grados no son de temperatura por lo que no hay que
confundirlos. Las escalas más empleadas son en grados Baumé, grado Gay
Lussac, grados Proof, etc.
Figura 9. Tipos de areómetros
La forma más conocida de densímetro es la que se usa para medir la densidad de
leche, llamado lactómetro, que sirve para conocer la calidad de la leche. La
densidad específica de la leche de vaca varía de 1,027 hasta 1,035. Como la
leche contiene otras sustancias, aparte de agua (87%), también se puede saber la
densidad específica de albúmina, azúcar, sal, y otras
sustancias más ligeras que el agua.
Para comprobar el estado de carga de una batería se utiliza
variedad de densímetro. Está constituido por una probeta de
cristal, con una prolongación abierta, para introducir por ella

27. 27
el líquido a medir, el cual se absorbe por el vacío y el asado interno que crea una
manzana de goma situada en la parte superior de la probeta. En el interior de la
misma va situada una ampolla de vidrio, cerrada y llena de aire, equilibrada con un
peso a base de perdigones de plomo. La ampolla va graduada en unidades
densimétricas, de 1 a 1,30.
 Lactómetro - Para medir la densidad específica y calidad de la leche.
 Sacarómetro - Para medir la cantidad de azúcar de una melaza.
 Salímetro - Para medir la densidad específica de las sales.
 Areómetro Gay –Lussac – Para medir concentraciones de alcohol en las
bebidas alcohólicas.

Densidad relativa.
Se denomina densidad relativa o gravedad específica a la relación que exista
entre la densidad de una sustancia cualquiera y una sustancia de referencia. Para
los líquidos se utiliza la densidad del agua a 4°C como referencia, que
corresponde a 1 g/cm3 y para los gases se utiliza al aire con densidad a 20°C y la
presión de 1,013 bar es 1.204 kg/m3.
La densidad relativa es el cociente de la densidad de una sustancia a la densidad
de la sustancia de referencia. La sustancia de referencia en el caso de sólidos y
líquidos es el agua, en los gases se suele tomar el aire.
Debido a que la densidad de una sustancia y la del agua se afectan con la
temperatura, pero no en el mismo grado, es necesario especificar la temperatura
cuando se habla de densidad relativa. Así que:
Significa que la densidad relativa de la sustancia es de 0.7 cuando la densidad de
la sustancia y la del agua se midieron a 60 ° F. Entre las escalas de densímetros
que utilizan a la densidad relativa están:
a escala Baumé que se basa en considerar el valor de 10ºBé al agua destilada.
Existen fórmulas de conversión de ºBé en densidades:
 Para líquidos más ligeros que el agua:
 Para líquidos más densos que el agua:
En donde es la densidad relativa a 60°F/60°F.

28. 28
La densidad en grados API (American Petroleum Institute) es la escala más usada
para medir la densidad relativa de los productos derivados del petróleo. Se usa
para medir líquidos más ligeros que el agua.
En donde es la densidad relativa a 60°F/60°F.
Los petróleos se suelen clasificar de acuerdo a su densidad en grados °API:
Crudo liviano API>31,
Crudo medio 22 a 31 ° API,
Crudo pesado 10 a 23 ° API,
Crudo extra pesado < 10° API
EL petróleo mexicano se divide en tres crudos:
Crudo Istmo con 33.6 ° API que es un crudo liviano; Crudo Maya con 22°
API lo que lo hace un crudo medio y el crudo Olmeca con 39.3°API que es
el crudo más liviano y con menos contenido de azufre.
Ejemplo 11.Un camión transporta 8000 litros de gasóleo cuya densidad es de
26°API ¿Cuántas toneladas de gasóleo son las que transporta?
2.- Planteamiento.
2.1.- Densidad.
2.2.- Masa.
=
3.-Cálculos.
3.1.- Densidad
=0.8984

29. 29
3.2.- Masa.
4.- Resultado.
El camión transporta 7.18 toneladas.
Ejemplo 12.
Encuentre la densidad del benceno a 50 ° C.
La densidad del benceno se puede obtener mediante un densímetro o mediante el
nomograma del apéndice, ya que con las coordenadas X=32.7, Y =63 y la
temperatura de 50 ° C se obtiene la densidad relativa de 0.885 o de 885 kg / m3
.
Resultado: Mediante el nomograma la densidad es de 885 kg /m3
.
Densidades de los gases.
La densidad de un gas ideal se puede obtener mediante la aplicación de la ley de
los Gases Ideales.
En donde p es la presión, T la temperatura absoluta, m la masa, V el volumen, PM
el peso o masa molecular y R la constante de los gases.
Si el gas no es ideal entonces:

30. 30
En donde z es el factor de compresibilidad que es función de la presión y
temperatura críticas del gas.
Ejemplo 13.
Encuentre la densidad del CO2 a la temperatura de 23 º C y a 586 mm de Hg.
Si el gas se comporta como ideal:
Solución
 =
 
586 44
760
1
0082 23 273
1397
3 3
mmHg
kg
kgmol
mm Hg
atm
m atm
kgmol K
K
kg
m

  

.
º
º
.
Otros densímetros y escalas
Grados Gay Lussac.
Estos densímetros miden el porciento de alcohol en volumen en una muestra.
Peso específico
°GL= % de alcohol en volumen
Otras escalas relacionadas son:
Los grados Proof ingleses también miden el contenido de alcohol
°GL= Grados (Proof ingleses x 4) /7
Los grados Proof norteamericanos
°GL= (Grados Proof norteamericanos)/2
Grados Brix.
Son densímetros empleados para medir la cantidad de azúcar en una solución.
°Brix = (gramos de sacarosa)/ (100g de líquido)
Otras escalas semejantes son, los grados Balling y los grados Plato que se utilizan
para lo mismo y que son iguales a los Brix.
Grados Twaddell
°Tw =200(ρR-1)(10)
Una propiedad relacionada con la densidad, es el peso específico, el cual se
define como el peso de la unidad de volumen.
Pe = Peso / Volumen = N /m3
, Kg fuerza / m3
Las dimensiones de peso específico son = M / (2
L2
)
Debido a la relación que existe entre el kilogramo masa y el kilogramo fuerza, si se
sabe el valor numérico de la densidad de una sustancia en kg / m3
, se podrá
obtener el peso específico de la misma, el cual tendrá el mismo valor numérico
pero ahora sus unidades serán de kg fuerza / m3

31. 31
El peso específico corresponde a la fuerza con que la tierra atrae a una unidad de
volumen. Se designa por Pe. El peso específico es una magnitud vectorial, su
valor depende de la aceleración de la gravedad en el punto determinado. La
densidad y el peso específico están relacionados por:
Pe =ρg
Donde g representa la intensidad del campo gravitacional que en la Tierra se toma
comúnmente como 9.81 m / s2
.
Volumen específico.
El volumen específico es el recíproco de la densidad absoluta.
Es decir el volumen específico es el volumen que ocupa 1 kg de masa de una
sustancia. El volumen específico del agua destilada a la presión atmosférica y a
4°C es aproximadamente igual a . Es interesante observar que la
densidad del aire a la presión atmosférica y a 4 ° C es aproximadamente 1.3 kg /
m3
, y su volumen específico es de 1 / 1.3 m3
/ kg; es decir, 1 kg de aire a la
presión atmosférica ocupa aproximadamente 800 veces más espacio que 1 kg de
agua.
Coeficiente térmico de dilatación.
La dilatación de un cuerpo durante el calentamiento se caracteriza por el
coeficiente térmico de dilatación volumétrica β que expresa la variación relativa
del volumen de un cuerpo al variar la temperatura un grado.
En donde Vt2 es el volumen del líquido a la temperatura t2 ; Vt1, el volumen del
líquido a t1.
El coeficiente térmico de dilatación volumétrica del agua a T 0 20 ° C es igual a
0.00015 °C-1
. El coeficiente volumétrico de los gases es 1 /273.
Compresibilidad.
La compresibilidad es la propiedad que tienen los cuerpos de reducir su volumen,
bajo la acción de fuerzas externas. El volumen de los líquidos varía muy poco con
la presión, mientras que el de los gases ideales varía de acuerdo con:
P1V1=P2 V2
Cohesión, adhesión y tensión superficial.
La primera propiedad permite a las partículas fluidas resistir a pequeños esfuerzos
de tensión. La formación de una gota se debe a la cohesión. Cuando un líquido

32. 32
está en contacto con un sólido, la atracción ejercida por las moléculas del sólido
puede ser mayor que la atracción existente entre las moléculas del propio líquido.
Ocurre entonces la adhesión.
En la superficie de un líquido en contacto con el aire, se tiene la formación de una
verdadera película elástica debida a que la atracción entre las moléculas del
líquido es mayor que la ejercida por el aire y las moléculas superficiales son
atraídas hacia el interior del líquido y tienden a volver el área de la superficie un
mínimo. Es el fenómeno de tensión superficial.
Las propiedades de adhesión, cohesión y tensión superficial son responsables de
los fenómenos de capilaridad. La elevación de un líquido, dentro de un tubo de
pequeño diámetro, es inversamente proporcional al diámetro. Como son
frecuentemente empleados tubos de vidrio y de plástico para medir presiones
(piezómetros), es aconsejable el empleo de tubos con diámetro superiores a 1 cm,
para que los efecto de la capilaridad sean despreciables. En un tubo de 1 mm de
diámetro, el agua puede subir hasta 3.5 cm.
Tensión de vapor.
En la superficie libre de un
líquido a cualquier
temperatura hay un
constante movimiento de
moléculas que escapan de
dicha superficie, es decir, el
líquido se evapora. Si el
líquido se encuentra en un
recipiente cerrado, y sobre su
superficie queda un espacio
libre, este espacio se llega a
saturar de vapor y ya no se
evaporará más líquido. Si se
aumenta la temperatura, aumenta la presión de saturación y se evaporará más
líquido. Es decir, todo fluido tiene para cada temperatura una presión Po
llamada
presión de saturación del vapor a esa temperatura, o lo que es lo mismo, a cada
presión corresponde una temperatura Ts llamada temperatura de saturación del
vapor. Esta propiedad es fundamental para el estudio de la cavitación.

33. 33
La viscosidad.
La viscosidad de los fluidos es una propiedad importantísima que se manifiesta
durante su movimiento. Al moverse un fluido las capas que se mueven a mayor
velocidad arrastran a las capas contiguas. La propiedad de los fluidos de oponer
resistencia a las fuerzas tangenciales que tratan de desplazar unas partículas con
respecto a otras se llama viscosidad. Esta propiedad se abordará con mayor
detalle en otro capítulo.
Fluido ideal.
En mecánica de fluidos se define a un fluido ideal como aquel cuya viscosidad es
nula es decir μ=0. En ningún fluido real la viscosidad es nula. Los dos fluidos más
importantes para un ingeniero, el aire y el agua, son poco viscosos, pero ninguno
es un fluido ideal. Un fluido ideal circulando por una tubería no experimentaría
perdida alguna de energía. Un avión volando en un aire ideal y un submarino
navegando en agua ideal no experimentarían resistencia a o arrastre alguno. La
experiencia contradice, pues la hipótesis de que el agua o el aire sean fluidos
ideales, paradoja de D’Alambert. Sin embargo, Prandtl con su teoría de la capa
límite transformó la hidrodinámica de fluido ideal en una mecánica de fluidos muy
aprovechable para los fluidos reales de pequeña viscosidad, como el aire y el
agua.

34. 34

35. 35

36. 36

37. 37
Problemas de autoevaluación
1.-Calcule la presión que existe dentro de un cilindro de 400 l que contiene 80 kg
de CO2 a 50 ° C. Haga primero el cálculo como gas ideal y luego como gas real.
R.-La presión si es gas ideal es de 120 atm, como gas real sería de 75 atm.
2.- El gas natural saliente de un pozo petrolero está a 100 atm de presión y 80 °C
y tiene la siguiente composición:
metano 40% En mol
etano 2% En mol
nitrógeno 58 % En mol
Calcule el volumen ocupado por 1000 kg de ese gas ¿Cuál será su densidad
absoluta?
R.-El volumen es de 1.95 m3
y la densidad de 83.65 kg / m3
.
3.- La densidad relativa de un petróleo es de 0.907. Determine su densidad en
grados API.
4.- En una destilería se deben tratar 10 000 l /h medidos a 20 °C de una mezcla
alcohólica que contiene 18% en peso de alcohol. ¿Qué cantidad en kg /h de
líquido se debe procesar?
R.- La masa sería de 9527 kg /h
5.-Encuentre la densidad del tolueno a 65 ° C.
R.- La densidad es de 0.83 kg /L
6.-La viscosidad del agua a 15 °C es de:
¿Cuál será la viscosidad del agua a la misma temperatura en Sistema
internacional de unidades (SI)?
R.-
7.- ¿Cuál es la densidad de la acetona a 25 ° C?
R.-785 kg /m3
.
8.- Calcule la presión que existe dentro de un cilindro de 400L que contiene 80 kg
de CO2 a 50 ° C. Haga primero el cálculo como gas ideal y luego como gas real.
R.-La presión de acuerdo con la teoría de los gases ideales sería de 120 atm. La
presión de acuerdo con los gases reales sería de 73 atm.

38. 38
Capítulo III
Hidrostática

39. 39
Hidrostática
La hidrostática es una parte de la hidráulica que estudia las leyes de los líquidos
en reposo, las fuerzas que en estos casos actúan y la flotación de cuerpos.
Todas las partículas de un cuerpo líquido en reposo experimentan la acción de las
partículas que están sobre ellas y además las fuerzas exteriores que actúan sobre
la superficie libre del líquido.
La acción de que esas fuerzas provocan dentro del líquido una presión llamada
presión hidrostática.
Las fuerzas superficiales son las fuerzas de presión en la superficie libre que
pueden deberse a la presión atmosférica o a una presión exterior diferente.
Presión.
Cuando una fuerza obra sobre un área determinada, se dice que ejerce una presión.
A
F
P 
La presión se puede medir en .
;
;
;
; 2
2
2
2
etc
m
N
ft
b
l
cm
g
k
m
g
k



Los N /m2
reciben el nombre de Pascales, abreviados Pa.
La presión puede ser ejercida por sólidos, líquidos o gases.
Ejemplo 3.1
¿Cuál es la presión que ejerce una fuerza de 100 kg sobre una superficie de 50
m2
?
P= F /A = 100 kg / 50 = 2 kg / m2
= 19.62 N / m2
= 19.62 Pa
Presión hidrostática.
La presión ejercida por un líquido recibe el nombre de presión hidrostática y es
proporcional a la altura de líquido.
Ph= Pe h
En donde:
Ph es la presión hidrostática, Pe el peso
específico del líquido y h la altura de líquido.
Nótese que la presión P no es una fuerza
sino el cociente de una fuerza por una
superficie. Fig. 1.- Blaise Pascal es uno de los
grandes genios de la humanidad (1623-1662), efectuó
numerosos experimentos sobre los efectos de la
presión atmosférica y el vacío.
Ejemplo 3.2.
¿Cuál será la presión que ejercerá una

40. 40
columna de agua de 150 m de altura?
Ph= Pe h = 1000kg /m3
(150 m2
)=150 000 kg/m2
=1, 471,500 Pa= 14.567 atm
Principio de Pascal.
El principio de Pascal o ley de Pascal, es una ley enunciada por el físico y
matemático francés Blaise Pascal (1623–1662) que se resume en la frase:
“La presión ejercida por un fluido incompresible y en equilibrio dentro de un
recipiente de paredes indeformables, se transmite con igual intensidad en todas
las direcciones y en todos los puntos del fluido”.
Este es el llamado principio fundamental de la hidrostática que en otras palabras
indica que:
Cuando un fluido que está en reposo se le aplica una presión en alguna parte de
su superficie, esta presión se transmite por igual a todas las partes del fluido.
El principio de Pascal puede comprobarse utilizando una esfera hueca, perforada
en diferentes lugares y provista de un émbolo. Al llenar la esfera con agua y
ejercer presión sobre ella mediante el émbolo, se observa que el agua sale por
todos los agujeros con la misma velocidad y por lo tanto con la misma presión.
Fig.2.- Demostración del principio de pascal.
Tomando en cuenta el principio de Pascal se pueden identificar las cinco
propiedades siguientes de un fluido en reposo.
Primera propiedad.
Se enuncia así:

41. 41
“En cualquier punto en el interior de un líquido en reposo la presión es la misma en
todas las direcciones”. Ley de Pascal
Segunda propiedad.
“La presión en todos los puntos situados en un mismo plano horizontal en el seno
de un fluido en reposo es la misma.”
Tercera propiedad.
“En un fluido en reposo la fuerza de contacto que ejerce en el interior de un fluido
una parte de un fluido sobre la otra contigua al mismo, tiene la dirección normal a
la fuerza de contacto”.
Cuarta propiedad.
“La fuerza de la presión de un fluido en reposo se dirige siempre hacia el interior
del fluido, es decir, es una compresión, jamás una tracción. Tomando como
positivo el signo de compresión, la presión absoluta no puede ser jamás negativa”.
Quinta propiedad.
“La superficie libre de un líquido en reposo es siempre horizontal”.
Ley de Stevin o presión debida a una columna líquida.
Fig. .3.- Simón Stevín distinguido ingeniero hidráulico, físico
matemático e inventor holandés (1548-1620)
Si tomamos, dentro del interior de un fluido en reposo,
un prisma ideal y considerando todas las fuerzas que
actúan sobre ese prisma, según la vertical, se debe
tener que:
=0, Y por lo tanto:
A+
En donde Pe es el peso específico.
Por lo tanto
La ley de Stevin se enuncia así:
“La diferencia de presiones entre dos puntos situados
dentro de un líquido en reposo es igual a la diferencia de la
profundidad por el peso específico del líquido”.
Para el agua Pe = 1000 kg fuerza / m3
Por lo tanto: el número de metros de profundidad equivale al
número de kilogramos por metro cuadrado de diferencia de
presiones. Cada diez metros de profundidad equivalen
aproximadamente a una atmósfera de presión.
Presión atmosférica
En un gas, las moléculas están muy separadas, moviéndose a
gran velocidad, chocando y rebotando caóticamente. Esta
agitación frenética hace que los gases se expandan hasta ocupar todo el lugar
disponible en un recipiente. Nuestro planeta está envuelto por una capa de gases
a la que llamamos atmósfera, compuesta en su mayor parte por nitrógeno (78%) y

42. 42
oxígeno (21%). Las moléculas de aire activadas enérgicamente por el Sol no
escapan al espacio porque el campo gravitatorio de la Tierra restringe su
expansión. Estamos sumergidos en un “océano de aire”, una capa gaseosa que,
como una cáscara de manzana (tan fina es), recubre el planeta. En forma similar a
como lo hace un líquido, el peso del aire sobre la superficie terrestre ejerce una
presión, la presión atmosférica. A diferencia de los líquidos, los gases son
compresibles: como su densidad puede variar, las capas superiores de la columna
de aire comprimen a las más bajas.
En los lugares más profundos de la atmósfera, es decir a nivel del mar, el aire es
más denso, y a medida que subimos se va enrareciendo, hasta que se desvanece
a unos 40 Km. de altura. La capa baja, la troposfera, presenta las condiciones
necesarias para la vida y es donde se producen los fenómenos meteorológicos.
Mide 11 Km. y contiene el 80 % del aire total de la atmósfera.
La presión atmosférica ha sido determinada en más de un kilo por centímetro
cuadrado de superficie pero, sin embargo, no lo notarnos (motivo por el cual, por
miles de años, los hombres consideraron al aire sin peso). ¿Cómo es que los
animales y las personas que están en la Tierra pueden soportar tamaña presión?
El aire ejerce su presión en todas direcciones (como todos los fluidos y los gases),
pero los líquidos internos de todos esos seres ejercen una presión que equilibra la
presión exterior. En este hecho se basa el mecanismo de esterilización por vacío:
para eliminar los microorganismos de una muestra (alimento, instrumental, etc.),
se la coloca en un recipiente del cual se extrae el aire. La presión exterior es
reducida y los fluidos internos de las bacterias, que estaban sometidas a la presión
atmosférica, se expanden, haciendo que éstas “revienten".
Si se extrae el aire de un recipiente, la presión atmosférica lo aplastará, a menos
que el recipiente sea suficientemente rígido.
Al apretar un destapacaños (el aparato empleado para destapar cañerías) contra
una superficie pulida se aplasta y queda sin aire. Cuando, por acción de las
fuerzas elásticas, el destapacaños recupera su forma inicial, queda un vacío
parcial en el interior y la presión atmosférica exterior la mantiene adherida a la
pared. Del mismo modo, las patas de las moscas tienen pequeñas ventosas que
les permiten caminar por paredes y techos sin caer al piso.
El funcionamiento del gotero obedece al mismo fenómeno. Al apretar la perilla de
goma creamos un vacío parcial. Cuando sumergimos el tubito en el líquido y
soltamos la perilla, la presión atmosférica que se ejerce sobre la superficie libre del
líquido lo obliga a subir por el tubo hasta la región de menor presión dentro de la
perilla.
Experiencia de Torricelli.
En 1643, el físico italiano Evangelista Torricelli (1608-1647) ideó un procedimiento
para medir la presión atmosférica.

43. 43
¿Por qué el mercurio no descendió más?
El tubo no se vació porque el aire exterior presionaba sobre el mercurio de la
cubeta (en cambio, en la parte superior del tubo se produjo vacío). La presión
ejercida por la atmósfera en el punto Q es igual a la presión en R, ya que ambos
puntos están al mismo nivel en el mismo fluido. Es decir que la presión que la
columna de aire de casi 40 km de altura (la atmósfera) ejerce sobre la superficie
libre del mercurio (pQ) es igual a la que ejerce la columna de 76 cm de mercurio
(pa), entonces:
Patm= Pe Hg x hHg = 13.6 g/cm3x 0. 76cm = 1.033.6 g/cm2 = 101.293 N/m2 = 101, 293 Pa
Este valor, que corresponde a la presión atmosférica normal, se llama atmósfera
(atm). También se acostumbra a dar la presión atmosférica en milímetros de
mercurio (Torr) o en milibares (1mb = 0,75 Torr).
1 atm = 760 mm Hg = 760 Torr
Esta experiencia logró explicar por qué había un límite de profundidad para extraer
el agua de las minas: la atmósfera no ejerce una presión ilimitada, sólo alcanza a
sostener una determinada altura de agua.
La presión atmosférica varía según la altitud y también debido a los vientos y
tormentas. Suele tomar valores entre 720 y 770 mm Hg. Una presión alta
generalmente pronostica buen tiempo; y una baja presión atmosférica promete lo
contrario. El aparato que permite medirla se llama barómetro.
Poco después de la experiencia de Torricelli, Blaise Pascal predijo que la presión
atmosférica debe disminuir cuando se asciende por una montaña, ya que la
columna de aire soportada es cada vez menor. Su cuñado se encargó de hacer la
experiencia y comprobar la hipótesis en 1658. A medida que ascendía al monte
Puy-de Dome observó el descenso de la columna mercurial del barómetro (que
desde entonces pudo ser usado también como altímetro).
Pero, ¿cuál es la relación entre la presión atmosférica y la altura? Si la densidad
del aire fuera uniforme, la presión disminuiría proporcionalmente con la altura.
Podríamos afirmar, por ejemplo, que “la presión disminuye 1 Torr por cada 11
metros que nos elevamos”. Pero tengamos presente que las capas más bajas de
la atmósfera están más comprimidas por lo que, conforme subimos, el aire se va

44. 44
enrareciendo (se hace menos denso). Por lo tanto, cuanto más alto estemos, más
se necesitará subir para que la presión disminuya 1 Torr.
A nivel del mar la presión atmosférica es de 760 mm de Hg o 1.033 kg / cm2
o
101 000 Pa. A la altura de la Cd. De México (2500 m sobre el nivel del mar) la
presión atmosférica es de sólo 586 mm de Hg.
La presión atmosférica se mide con los aparatos llamados barómetros.
Presión manométrica.
Usando la presión atmosférica como referencia, la presión manométrica es la
presión que ejerce un fluido por arriba de la presión atmosférica del lugar. Esta
presión se mide con aparatos llamados manómetros.
Presión de vacío.
Es una presión menor que la presión atmosférica, se mide con aparatos llamados
facómetros.
Presión absoluta.
Es la fuerza total por unidad de área ejercida por un fluido y es igual a:
vacio
a
atmosféric
Absoluta
a
atmosféric
a
manométric
absoluta
P
P
P
P
P
P




A continuación se muestra una gráfica en la que se expresan los diferentes tipos
de presiones medidas en los equipos industriales.
Fig.4. Diferentes tipos de presiones medidas en los equipos industriales.
El dispositivo más simple para medir presiones es el tubo piezométrico o
simplemente piezómetro. Consiste en la inserción de un tubo transparente en la
tubería o recipiente donde se quiere medir la presión. El líquido subirá en el tubo
piezométrico hasta una altura h, correspondiente a la presión interna.

45. 45
Figura 5. Tubo Piezométrico
Otro dispositivo empleado es el tubo en U, que se aplica para medir presiones
muy pequeñas o demasiado grandes para los piezómetros.
Figura 6. Tubo en U

46. 46
Para la determinación de la diferencia de presiones se emplean manómetros
diferenciales.
Figura 7. Manómetro diferencial
La mayoría de los manómetros utilizados en la industria son de carátula tipo C de
Bourdon. En ellos el fluido hace que se expanda o contraiga un tubo flexible C,
que a su vez está conectado a un puntero.
Figura 8.Manómetro de Bourdon
Todos los manómetros deben estar calibrados de tal manera que marquen cero a la presión del
lugar. En el caso de los manómetros que miden presión de vacío, llamados vacuómetros, también

47. 47
deben marcar cero a la presión atmosférica del lugar.
Ejemplo 3.3.
Un manómetro tipo Bourdon se utiliza para medir la presión de un recipiente
indicando 5 kg / cm2
. Si la presión atmosférica es de 710 mm de Hg ¿Cuál será la
presión absoluta que reina en el interior del recipiente?
1. Traducción
P = 5 kg / cm2
P atm = 710 mm de Hg
P abs =?
2.- Planteamiento.
2.1.- Presión absoluta
vacio
a
atmosféric
Absoluta
a
atmosféric
a
manométric
absoluta
P
P
P
P
P
P




3.- Cálculos.
2
2
965
.
0
760
033
.
1
710
cm
g
k
Hg
mm
cm
g
k
Hg
mm
P a
atmosféric





2
2
2
965
.
5
965
.
0
5
cm
g
k
cm
g
k
cm
g
k
Pabsoluta






4.-Resultado.
La presión absoluta es de 5.965 kg / cm2
.
Ejemplo 3.4.
La presión estática correspondiente a un fluido que se desplaza por un tubo se
mide con un manómetro como el que se muestra. Si la densidad del fluido es de
860 kg / m3
, ¿Cuál será la presión estática en el punto A?

48. 48
1.- Planteamiento.
Para resolver el problema se deberá hacer un balance presiones.
1.2.- Balance de presiones.
A
fluido
Hg
a
atmosféric P
Pe
h
Pe
Z
P 



2.- Cálculos.
2.1.- Presión estática.
2
2
6
.
9571
10333
760
1
704
m
g
k
atm
m
g
k
Hg
mm
atm
Hg
mm
Patm




















A
P
m
kg
m
kg
m
cm
g
k














 3
3
2
860
282
.
0
13600
103
.
0
6
.
9571

PA=10729.88 kg / m2
3.- Resultado.
La presión estática es de 10729.88 kg /m2
o de 1.0729 kg / cm2
.
Prensa hidráulica.
Los principios y propiedades antes citados han servido para la construcción de las
llamadas prensas hidráulicas. Una prensa hidráulica es un mecanismo conformado
por vasos comunicantes impulsados por pistones de diferente área que, mediante
pequeñas fuerzas, permite obtener otras mayores. Los pistones son llamados
pistones de agua, ya que son hidráulicos. Estos hacen funcionar conjuntamente a
las prensas hidráulicas por medio de motores

49. 49
Fig. 9- Antigua prensa hidráulica.
En el siglo XVII, en Francia, el matemático y filósofo Blaise Pascal comenzó una
investigación referente al principio mediante el cual la presión aplicada a un líquido
contenido en un recipiente se transmite con la misma intensidad en todas
direcciones. Gracias a este principio se pueden obtener fuerzas muy grandes
utilizando otras relativamente pequeñas. Uno de los aparatos más comunes para
alcanzar lo anteriormente mencionado es la prensa hidráulica, la cual está basada
en el principio de Pascal.
El rendimiento de la prensa hidráulica guarda similitudes con el de la palanca,
pues se obtienen presiones mayores que las ejercidas pero se aminora la
velocidad y la longitud de
desplazamiento, en similar proporción.
En donde:
En un sistema en equilibrio:
P1= P2 o
En donde:
F1= fuerza aplicada; F2= fuerza
obtenida; A1 = sección del émbolo
menor; A2 = sección del émbolo
mayor.
Fig.10

50. 50
Ley de Arquímedes.
Fig.11.-Arquímedes (287-212 a.C) fue uno de los grandes
científicos de la antigüedad en el área de los fluidos se le
acredita el principio de la flotación de los cuerpos y la
invención del tornillo sin fin con el que se podían bombear
los líquidos.
El principio de Arquímedes es un principio físico
que afirma que:
«Un cuerpo total o parcialmente sumergido en un
fluido en reposo, recibe un empuje de abajo hacia
arriba igual al peso del volumen del fluido que
desaloja».
Esta fuerza recibe el nombre de empuje
hidrostático o de Arquímedes, y se mide en
newtons (en el SI). El principio de Arquímedes se formula así:
Donde E es el empuje , ρf es la densidad del fluido, V el «volumen de fluido
desplazado» por algún cuerpo sumergido parcial o totalmente en el mismo, g la
aceleración de la gravedad y m la masa, de este modo, el empuje depende de la
densidad del fluido, del volumen del cuerpo y de la gravedad existente en ese
lugar. Este principio es la base para la construcción de los densímetros o
aerómetros. Otras aplicaciones incluyen la flotación de barcos y la flotación de los
globos aerostáticos. En mecánica de fluidos existe ahora un número adimensional
que lleva el nombre de Arquímedes. Dicho número relaciona las fuerzas
gravitacionales con respecto a las fuerzas friccionantes.
En donde d es el diámetro de la partícula, ρs es la densidad del sólido; ρ la
densidad del líquido, μ la viscosidad del líquido y g la constante gravitacional.
El empuje (en condiciones normales y descrito de modo simplificado ) actúa
verticalmente hacia arriba y está aplicado en el centro de gravedad del fluido
desalojado por el cuerpo; este punto recibe el nombre de centro de carena.
Los cuerpos flotantes son aquellos cuyos pesos son inferiores a los pesos de los
volúmenes de líquidos que ellos puedan desalojar. Para que un cuerpo flote, su
densidad aparente media debe ser menor que la del líquido. Se llama carena a la
porción sumergida del cuerpo flotante.

51. 51
Ejemplo 3.5.
Un objeto pesa 54 kg en el aire y 24 kg cuando está sumergido en agua. Calcule
el volumen y la densidad relativa de dicho objeto.
1.- Traducción.
2.- Planteamiento.
2.1.- Discusión
Para la resolución de este problema se debe emplear el principio de Arquímedes.
Peso del objeto en el aire= Peso del objeto en el agua + empuje
Por lo tanto:
Empuje = peso del volumen del agua desalojada.
2.2 Densidad
Densidad ρ=Masa / volumen; Empuje = PeH2O (volumen)
3.- Cálculos.
3.1.- Empuje
54 kg 0 24 + empuje; empuje = 30 kg
30 kg = 1kg/L X volumen; volumen =30 L
3.2.-Densidad
Densidad ρ = 54 kg / 30 L = 1.8 kg /L
4.- Resultados.
El volumen del objeto es de 30 L. La densidad del objeto es de 1.8 kg / L o de
1800kg /m3
Presión de un fluido sobre una superficie plana
La presión en el interior de un líquido siempre está dirigida por la normal al plano
en que actúa y se calcula por
P = P ext + ρgh
En donde h es la profundidad.
La fuerza o empuje ejercida por un fluido sobre una superficie es igual al
producto del área por la presión que se ejerce en el centro de gravedad del
sistema.

52. 52
Ejemplo 3.6.
¿Cuál es el empuje ejercido por el agua en una compuerta vertical de 3 x 4 m se
cuyo tope encuentra a 5 m de profundidad?
La densidad del agua ρ es igual a 1000 kg /m3
yD es 5 + 3 /2 = 6.5 m
La fuerza es F = 1000 x 6.5 x 12 = 78 000 kg fuerza.
Ejemplo 3.7.
En un dique de concreto está instalada una compuerta circular de fierro fundido
con 0.2 m de radio y a la profundidad de 4 m. Determine el empuje que actúa
sobre la compuerta.
Resultado.
La fuerza es: F = ρ yD A
Pe = 1000 kg / m3
, yD= 4.2
A = π x 0.22
=0.1256 m2
F= 1000 x 4.2x 0.1256 = 527 kg fuerza.
Presión hidrostática sobre una superficie plana sumergida.
Sobre una superficie plana que se encuentra sumergida en un fluido se ejerce una
fuerza causada por el peso del fluido que está sobre esa superficie.
En general
F = P A = Pe h A
Por fuerza de presión hidrostática F de un líquido sobre una superficie, se
entiende la fuerza que ejerce el líquido exclusivamente, es decir, sin tomar en
cuenta la presión Po o presión
exterior.
Fig.- 12
En donde:
F= g ρ yc A cos α= g ρ hc A
3.0
4.
5.0 m
yD CG
4m
0.2m

53. 53
En donde C es el centroide de superficie A; D Centro de presión (punto de
aplicación de F); Ix Momento de inercia de A con respecto al eje x; IC Momento de
inercia de A con respecto a un eje que pasa por C y es paralelo al eje x; Ixy
Producto de inercia de A con respecto a los ejes x, y.
Presión de un líquido sobre una superficie curva.
La fuerza de presión que ejerce un líquido sobre la superficie curva se
descompone en una componente horizontal FH y otra vertical FV. La componente
FV es igual al peso del líquido contenido en el volumen V en (a) o en (b). La línea
de acción pasa por el centroide del volumen.
La componente FH es la fuerza debida a la presión del líquido sobre la proyección
de la superficie 1-2 sobre el plano perpendicular a FH.
Fig. 12.
Con frecuencia el ingeniero se encuentra problemas en los que un equipo o una
estructura deben resistir las presiones ejercidas por los fluidos, tal como sucede
con válvulas, diques, tanques, tuberías, compuertas, columnas empacadas, etc.
Consideremos la fuerza que se ejerce sobre un área de forma irregular situada
bajo un fluido en reposo tal como el que se presenta en la figura siguiente y que
está sobre un plano inclinado que forma un ángulo θ con la horizontal (la superficie
del fluido):

54. 54
Fig.- 13
Para determinar la fuerza que actúa sobre esa área se la subdivide en elemento
diferenciales dA, localizado a la profundidad h y a una distancia y de la línea
inclinada O O’ que intersecta al plano de la superficie del fluido .La fuerza que
actúa en dA será:
dF= P dA= Pe hdA = Pe y senθ dA
cada una de las fuerzas dF será normal al área correspondiente. La resultante de
la fuerza ejercida sobre todo el área, también normal será:
La integral
Se conoce como el momento del área con respecto a la intersección O; por lo
tanto:
Dónde:
es la distancia desde el centro de gravedad1
del área hasta O O’, y A es el área
total.
Entonces:
Y resulta:
Se ha demostrado experimentalmente que la resultante de las presiones no está
aplicada en el centro de gravedad del área, si no en un punto denominado centro
de presión. La posición del centro de presión puede determinarse aplicando el
1
El centro de gravedad es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas
porciones materiales de un cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de
gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo. En otras palabras, el
centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que
constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo.

55. 55
teorema de los momentos, es decir, el momento de la resultante con respecto a la
intersección O debe igualar a los momentos de las fuerzas diferenciales dF.
Si
y
Sustituyendo:
Entonces:
En la ecuación anterior I es el momento de inercia2
con relación al eje de
intersección, aunque también se le conoce como momento de inercia relativo al
eje que pasa por el centro de gravedad.
= coordenada y del centro de gravedad
= coordenada y del centro de presión.
El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el
momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el
centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por
el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia
entre los dos ejes:
Dónde: I es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de
masa; I0 es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el
centro de masa; A (Masa Total), (Distancia entre los dos ejes paralelos
considerados).
En donde:
Por lo tanto:
+
2
El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los
ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. El
momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración angular. Dado un sistema de partículas y un eje
arbitrario, el momento de inercia del mismo se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la
distancia r de cada partícula a dicho eje.

56. 56
Si hacemos : , cuadrado del área de giro , se tiene que: +
El centro de presión se encuentra siempre abajo del centro de gravedad a una
distancia igual a
En la tabla siguiente se presentan los momentos de inercia de las principales
figuras geométricas

57. 57
Fig. 13

58. 58
Ejemplo 3.8.
Si se tiene un tanque lleno de agua de 1 m x 1 m x 0.8 m, ¿Cuál será la fuerza
ejercida sobre una de las paredes laterales y en qué punto se aplica la presión?
1.- Traducción.
2.- Planteamiento y cálculos.
Fuerza ejercida
F = Pe A = 1000 x 0.4 x 1.00 x 0.80 = 320 kg
Sitio donde se ejerce la presión
+
=0.4 m , b = 1 m y d= 0.80 m
Por lo tanto:
4.- Resultado.- El empuje es de 320 kg y el centro de presión está situado a 0.534
por debajo de la superficie.
Ejemplo 3.9.
Determine la fuerza de presión del agua sobre una compuerta circular inclinada
con un diámetro de 0.5 m y el punto de aplicación de la resultante si a = 1m, α=
60°.
1.- Traducción.

59. 59
2.- Planteamiento y cálculos.
2.1 –Fuerza
F = Pe A
A = 0.785 π d2
= 0.785 x 0.52
= 0.196 m2
hc = = ( a + d/2) sen α = ( 1+0.5/2) sen 60° = 1.08 m
F = 1000x 1.08 x 0.196 = 211.68 kg fuerza.
2.2.- Coordenada del centro de presión.
+ ;
A partir de los datos de la tabla
Io = πd4
/ 64 ; A =πd2
/4
Y = a +r = 1+0.25 = 1.25
Io = π(0.5)4
/64 =0.00306 ; A = 0.196 m2
Yp= 1.25+ (0.00306/0.196x1.25)= 1.25+0.024=1.262 m
4.- Resultado.
La presión es de 211.68 kg, el punto de presión está a 1.262 m por debajo de la
superficie del líquido.
Ejemplo 3-10

60. 60
¿Cuál será la presión dentro de la tubería, si se mide la presión con un manómetro
como el que se muestra en la figura?
Balance de fuerzas
PA+ Pe hH2O = PeHg ΔZ + Patm
PA+ 1000(0.2)=13600(0.15)+10333
PA=12173 kg/m3
=1.178 atm
Ejemplo 3.11.
El émbolo menor de una prensa hidráulica tiene 10 cm2
y el émbolo mayor 300
cm2
. Si sobre el primero se aplica una fuerza de 50 kg, ¿Qué fuerza se produce
sobre el émbolo mayor?
1.- Traducción.
2.- Planteamiento.
2.1- Fuerzas

61. 61
Por el principio de Pascal.
3.- Cálculos.
3.1.- Fuerza
= =
Problema 3.12.
Un tanque cerrado está parcialmente ocupado por tetracloruro de carbono. La
presión sobre la superficie del líquido es de 0.703 kg /cm2
y el peso específico del
líquido es de 1 558 kg / m2
. El tanque es cilíndrico y tiene una altura total de 10 m.
A la mitad de la altura tiene una boquilla donde se alimenta el tetracloruro y a 1 m
de la base se encuentra la descarga. El medidor de nivel del tanque marca un
contenido equivalente a 8 m de altura del líquido. Calcule la presión a que se debe
inyectar el tetracloruro de carbono y la presión a que se descarga.
2.- Planteamiento.
2.1- Presiones
P1 = Ps + Pe CCl4 (hs-h1)
P2 = Ps + Pe CCl4 (hs-h2 )
3.- Cálculos.
3.1.- Presiones
P1 = 7030 kg /m2
+1558 kg / m3
(8-5) = 11 704 kg / m2
P2 = 7030 kg / m2
+ 1558 kg / m3
(8-1) m= 17936 kg / m2
Ejemplo 3.13.
La altura del nivel del ácido sulfúrico en un recipiente es de 7.6 m. A la altura de
0.8 m sobre el fondo el recipiente tienen una escotilla redonda de 760 mm de
diámetro cuya tapa se fija por pernos de 10 mm de diámetro. Si la presión de
ruptura de los pernos es de 700 kg / cm2
determine el número de pernos
necesarios.

62. 62
1.- traducción.
2.- Planteamiento.
2.1- Fuerzas
Patm + Pe h = Patm + Psobre los pernos
Psobre los pernos= Pe h
2.2.- Fuerza sobre la plca
Psobre los pernos=Fuerza / Área
2.3.- Número de pernos
Número = Fuerza / Fuerza / perno
Fuerza / perno = P ruptura (Área del perno)
3.- Cálculos.
3.1.- Presión sobre la escotilla
La densidad del ácido es de 1831 kg / m3
P = 1831 kg / m3
(7.6-0.8)= 12450.8 kg / m2
3.2.- Fuerza sobre la escotilla
Fuerza = 12450.6 (0.76)2
(0.785)= 5645.39 kg.
3.3.- Número de pernos
Fuerza / perno = 700 kg /cm2
(1)2
(0.785) = 549.5 kg / perno
Número = 5645.39/549.5 = 10.274
4.- Resultado.- se requieren al menos 12 pernos.
Volúmenes de tanques parcialmente llenos.
Es fácil calcular los volúmenes de tanques totalmente llenos. Sin embargo no lo
es tanto cuando estos están parcialmente llenos.
Consideremos por ejemplo un tanque cilíndrico de longitud L y radio R, relleno
hasta una altura H. Si se desea obtener el volumen del líquido que llena
parcialmente el tanque se deberá indicar si el tanque está en posición horizontal
o vertical.
Si el tanque estuviera colocado en posición vertical.

63. 63
Fig. 13.- Cilindro vertical.
El volumen del líquido en ese tanque sería:
H
D
H
R
V 2
2
4

 

(1)
Si es tanque estuviera en posición horizontal entonces se encuentra que no hay
una variación lineal del volumen con respecto a la altura.
Fig. 14.- Un cilindro acostado.
Por ello debe calcularse el área del segmento relleno de líquido y multiplicarlo por
la longitud del tanque.
A partir de la geometría analítica:
Fig.-15 Esferas y segmentos
R

S
T
L
D
H
L
D
H
R

64. 64
Área del segmento = Área del sector- área del triángulo
Área del sector = 
2
2
1
2
1
R
SR  (2)
En donde
R
H
R
R
S 

 1
cos
2
 (3)
Área del segmento = 2
1
2
2
2
)
(
cos
)
(
2
1
H
RH
H
R
R
H
R
R
sen
R 




 

 (4)
Por lo tanto el volumen de líquido será:










  2
1
2
2
)
(
cos H
RH
H
R
R
H
R
R
L
V (5)
En donde el coseno se da en radianes.
También el volumen se puede obtener mediante la fórmula







 


cos
3
.
57
2
sen
LR
V (6) en donde
2

  (7) y
R
H

 1
cos (8)
Es costumbre, también, obtener también el volumen mediante tablas o gráficas en
las que se presenta H/D en función del % de volumen.
Tabla 1.- Volúmenes de cilindros horizontales parcialmente llenos. Fuente Perry –Manual del
Ingeniero Químico. Sexta edición.-México-2001

65. 65
Relación de H /R contra % de volumen lleno
% del recipiente que está lleno
H/R
Ejemplo 3.14
Sea un tanque cilíndrico horizontal con tapas planas que tiene las siguientes
dimensiones:
L=7.62m D= 2.54 m H=0.762 m
¿Cuál es el volumen de líquido contenido en el tanque?
159
.
1
42
.
66
)
4
.
0
(
cos
4
.
0
27
.
1
762
.
0
27
.
1
1







R
H
R
V=   3
2
2
74
.
9
)
762
.
0
(
762
.
0
54
.
2
)
762
.
0
27
.
1
(
159
.
1
27
.
1
62
.
7 m






También
9165
.
0
;
42
.
66
4
.
0
1
cos








sen
R
H
3
2
74
.
9
4
.
0
9165
.
0
3
.
57
42
.
66
)
27
.
1
(
62
.
7 m
V 










66. 66
También:
Volumen total del tanque
VT =0.785(2.54)2
(7.62)=38.59m3
Porcentaje del tanque lleno de líquido H/D =0.762/2.54=0.3 de las tablas o de las
gráficas % =25
Vol. =0.25 (38.59)=9.64 m3
Volumen contenido en un tanque parcialmente lleno y con tapas toriesféricas con
radio de curvatura R = D
Fig. 16.- Tanque cilíndrico acostado y con tapas toriesféricas.
Volumen de las dos tapas llenas= 0.0513HD2
= H
D2
6

(9)
Volumen de una tapa parcialmente llena =0.215 H2
(3R-H) m3
(10)
También se puede obtener esto mediante tablas en que se representa H/D contra
% de volumen.
Tabla 2.- Volumen de cabezas parcialmente llenas sobre tanques horizontales.
Basados en la ecuación (10). Fuente Perry –Manual del Ingeniero Químico.-Sexta
edición.-México-2001
D
R=D
H