Manejo de algunas herramientas del Ábaco de Smith

1. Sistema de Comunicaciones
Ábaco de Smith
5
1

2. 2

3. Aplicaciones del ábaco de Smith
El radioaficionado que busca en su actividad algo más que un
pasatiempo y encara la afición en forma creativa, al intentar obtener una
mejor comprensión de los fenómenos que involucra la radio, encuentra a
menudo limitaciones teóricas que le cierran el camino a su objetivo.
Ciertos conocimientos que habitualmente son propios de la ingeniería de
radio se encuentran en libros universitarios que presumen conocimientos
teóricos previos, lo que desalienta el intento y frustra sus iniciativas. El
presente trabajo es un intento para acercarle algunos elementos que le
permitan encarar algunos de los desafíos cotidianos
Existen herramientas muy potentes que, si bien se enseñan en los
últimos años de las carreras de ingeniería, pueden comprenderse muy
bien con los conocimientos propios de un aficionado avanzado, aunque
no profesional. Tal es el caso del Ábaco de Smith el cual abre las
puertas a cuestiones que parecen oscuras e insalvables. aunque precisa
de algunas nociones previas de mediana dificultad para el hobbista
emprendedor. Este artículo pretende explicar su uso con ejemplos,
haciendo uso del mejor esfuerzo de su autor para no sobreestimar la
capacidad del lector. La intención está centrada en soslayar la brecha
que suele producir la falta de una base universitaria en la teoría de los
circuitos y las matemáticas del campo complejo.
Lamentablemente no se puede encarar una explicación útil de las
posibilidades del ábaco sin conceptos previos tales como: Resistencia,
Reactancia, Impedancia, Conductancia, Susceptancia, Admitancia,
longitud de onda, velocidad de propagación, relación de ondas
estacionarias, coeficiente de reflexión, fase, etc. Felizmente, estas
cuestiones abundan en numerosos libros de electrónica básica de radio
y también en los radio handbooks.
El ábaco de Smith es un formidable instrumento que de manera
relativamente simple y con métodos principalmente geométricos
resuelve (y permite comprender mejor) complicados procesos que se
producen en las líneas de transmisión y los dispositivos adaptadores de
impedancia los cuales, de otro modo, requerirían herramientas
matemáticas relativamente complicadas. Fue creado por Phillip H. Smith
de la RCA (1.905-1.987).
Son tantas y tan variadas las posibilidades que brinda este nomógrafo,
que solo tratar de mencionarlas haría extender esta introducción mucho
más allá de lo que ha ocupado, por lo que apostaremos al lector
paciente capaz de esperar hasta llegar al final de camino para que paso
3

4. a paso vaya descubriendo sus posibilidades e infiriendo en cada uno
todas las posibilidades que se abren a cada paso.
Indice:
Descripción geométrica del ábaco
• Escalas de Resistencia y Reactancia.
• Círculos de resistencia constante y de reactancia
constante.
• Escalas exteriores.
• Los números normalizados.
Algunos usos del ábaco
• Representando impedancias en el ábaco.
• El círculo de Gamma constante.
• La línea como transformador de impedancia.
• Convirtiendo Impedancias en Admitancias y viceversa.
• Cálculo de la Impedancia vista por el generador.
• Inductores y capacitores realizados con secciones de línea.
• Medición de la impedancia de carga con un voltímetro y un
medidor de ROE
Descripción geométrica del ábaco
Antes de comenzar dejaremos en claro que el ábaco puede operar (y de
hecho eso se hace constantemente) con las inversas. En los ejemplos
emplearemos Reactancia, Resistencia e Impedancia, pero debe
comprenderse que cualquier operación que pueda hacerse con estas
magnitudes podrá efectuarse con Susceptancia, Conductancia y
Admitancia. Todas las líneas de referencia son duales: pueden
representar la magnitud y su inversa tal como está expresamente
señalado en el mismo ábaco.
El ábaco se presenta como un círculo que en su periferia contiene varias
escalas circulares (dibujadas en esta página con celeste y amarillo) y en
su interior tiene dibujadas otras escalas. Es importante que observe
cuidadosamente la geometría del ábaco lo que también destacará lo
ingenioso de esta construcción.
Escalas de Resistencia y Reactancia
La recta horizontal que pasa a través del centro del ábaco se denomina
"Eje de los reales". Es una escala en la que se representará la parte
real de una impedancia compleja, es decir su resistencia. Observe
4

5. que ésta es la única línea recta que posee.
El valor de resistencia cero esta sobre la izquierda del eje y el valor de
resistencia infinita sobre la derecha.
La escala no es lineal y en su centro, que coincide con el centro del
ábaco, se representa la impedancia característica de la línea de
trasmisión que estemos analizando. Habitualmente será 50 Ohm pero
puede ser cualquier otro, 5 Ohm, 75 Ohm, 600 Ohm, etc. Muy
frecuentemente este valor será 1 (uno) sin que esto signifique que la
línea de transmisión tenga una Zo = 1, sino que este valor será "la
impedancia normalizada de la línea" concepto que explicaremos muy
pronto. Hay muchas operaciones que podemos realizar con el ábaco y
que no emplean líneas de transmisión, en este caso el centro será
simplemente un punto de referencia.
Círculos de Resistencia y Reactancia constante
Dentro del ábaco encontraremos un grupo de varios círculos completos
(aunque por legibilidad no se dibujen completamente sobre el lado
derecho), cuyos centros están situados sobre el eje de los reales. Se
denominan "Círculos de resistencia constante"; cortan al eje de los
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6. reales en dos puntos: uno sobre el borde derecho correspondiente a
resistencia infinita y otro en distintos puntos del eje que identificarán
con su valor de resistencia al círculo correspondiente. Así
tendremos el círculo de resistencia constante de 10 Ohm, de 100 Ohm,
etc. Pronto veremos que quiere decir esto de "Resistencia Constante".
Estos círculos están dibujados en color rojo en la figura de ejemplo.
También se dibujan porciones de círculos cuyos centros están fuera del
ábaco y que se intersectan siempre en dos puntos con la circunferencia
exterior, uno de ellos sobre el valor infinito del eje de los reales y el otro
en el borde exterior calibrado en reactancia. Cada uno de estos círculos
representa un valor de reactancia y se denominan "círculos de
reactancia constante".
Los que están arriba del eje de los reales corresponden a valores de
reactancia inductiva/ susceptancia capacitiva (dibujados en color
verde) y los que están debajo a reactancia capacitiva/ susceptancia
inductiva (dibujados en color azul).
Estas porciones de circulo intersectan la circunferencia exterior de forma
perpendicular y así como los círculos de resistencia constante eran
todos tangentes al borde derecho del ábaco, estos son tangentes al eje
de los reales en R igual a infinito.
Observe que los círculos de reactancia y resistencia constante también
se intersectan entre si perpendicularmente, por esta razón estas familias
de círculos se denominan "Familias de círculos ortogonales".
Las escalas circulares exteriores
Pobre servicio nos prestaría el ábaco si no contara con los círculos
exteriores. Estos círculos nos permitirán averiguar valores de
impedancia y otros que dependen de la posición sobre la línea de
transmisión porque, como ya sabemos, a medida que nos desplazamos
por una línea el valor de impedancia en cada punto considerado será
diferente (siempre y cuando la impedancia de carga no coincida con el
valor de Zo).
Las dos escalas exteriores están calibradas en términos de longitudes
de onda a lo largo de una línea de trasmisión marcadas como:
WAVELENGHT TOWARD GENERATOR (longitudes de onda hacia el
generador) y WAVELENGHT TOWARD LOAD (longitudes de onda
hacia la carga) (círculo amarillo de la figura). La escala del primero y
más externo tiene su cero sobre el cero del eje de los reales y se
incrementa en sentido horario. El segundo lo hace en sentido antihorario
y su cero está donde la escala corta al eje de los reales en R es igual a
infinito.
Note que son escalas iguales pero opuestas. Los valores de esta escala
corresponden a posiciones físicas en la línea medidas desde el
generador o la carga en términos de longitudes de onda: Suponiendo
una longitud de onda de 1m, un punto de la misma que esté situado 10
cm de la carga se encuentra a 0,1 λ "hacia el generador". Debe tenerse
cuidado con esta escala, ella es de lectura directa únicamente con
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7. valores puramente resistivos de impedancia de carga (o generador).
Luego veremos cómo se emplean.
Si observamos con cuidado, veremos que en el punto en que la escala
"WAVELENGHT TOWARD GENERATOR" intersecta al eje de los reales
en infinito se lee 0,25 λ que corresponderá, naturalmente, a un punto
alejado 1/4 λ de la carga. Ambas escalas finalizan cuando alcanzan
nuevamente el punto de partida en el valor 0,5 λ y que corresponde a un
punto alejado 1/2 λ de la carga o el generador según la escala que
estemos considerando.
Vemos entonces que la circunferencia completa del ábaco representa
1/2 onda. Debe quedar claro a partir de aquí que un grado sexagesimal
en el ábaco corresponde a 0,5 grados eléctricos sobre la línea de
transmisión y por lo tanto 360 grados sexagesimales corresponden a
180 grados eléctricos. Recordemos esto cuando hagamos uso del
transportador en el trabajo cotidiano.
Hay una tercer escala muy importante denominada "ANGLE OF
COEFICIENTE OF REFLECTION IN DEGREES" (Angulo, o fase, del
coeficiente de reflexión en grados, en color celeste sobre la figura) cuyo
cero está a la altura del valor infinito del eje de los reales. Sobre el
semicírculo superior se cuenta en sentido antihorario desde 0 grados a
180 grados y sobre semicírculo inferior en sentido horario desde 0
grados a –180 grados. Recordemos siempre que son "Grados
eléctricos".
Fuera del gráfico suelen agregarse escalas rectas auxiliares
denominadas "Nomógrafos radiales" que ayudarán a obtener lecturas
directas de algunos parámetros según se verá luego.
Los números normalizados
Puesto que las líneas de transmisión pueden tener cualquier valor de
impedancia característica, podría pensarse que es necesario un ábaco
diferente para cada tipo de línea, de hecho existen ábacos específicos
para las líneas más usuales tales como las de 50 Ohm pero lo usual es
recurrir a un simple truco para emplear siempre un mismo modelo
independientemente de la Zo de la línea que nos interesa. Para ello se
recurre al procedimiento de "normalización de unidades". El truco
consiste en referir todas las impedancias del problema al valor de
impedancia característica de la línea que estemos considerando.
En este tipo de ábaco (el más común por cierto) el centro del gráfico
corresponde al valor real 1 (uno) el que, a su vez, corresponderá al valor
de la Zo de la línea usada.
Entonces:
• Si la línea empleada es de 50 Ohm el valor "1" corresponderá a
50 Ohm. Si la línea empleada es de 75 Ohm el valor "1"
corresponderá a 75 Ohm y así sucesivamente.
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8. • Cualquier de impedancia puede "normalizase" con el simple
trámite de dividirla por la impedancia característica de la línea
considerada.
Ejemplos: Llamaremos Z al valor que estamos normalizando y ZN al
normalizado. La Zo de la línea es de 50 Ohm.
Normalizar Z = 50 Ohm (resistiva pura)
Z 50 Ohm 50 Ohm
Z = 50 Ohm ; ZN = ---- = --------- = ---------- = 1
Zo Zo 50 Ohm
Normalizar Z = 100 + j100 Ohm (inductiva)
Z = 100 + j100 ; ZN = Z / Zo = 100/ Zo + j(100/ Zo)
= 200 / 50 + j200/50) = 2 + j2.
Normalizar Z = 25 - j50 Ohm (capacitiva)
Z = 25 - j50 ; ZN = Z/ Zo = (25 - j50)/50 = 25/50 - j(50/50)
= 0,5 - j1
Para desnormalizar los valores obtenidos con nuestros trabajos sobre el
gráfico y obtener los valores verdaderos basta con el procedimiento
inverso: Z = Zo x ZN, es decir que multiplicamos por Zo al valor
normalizado Zn obtenido mediante alguna operación el ábaco.
Por ej. Al realizar cierta operación sobre el ábaco obtenemos un punto
en el gráfico ZN = 1,5 + j1,5, ¿qué valor de impedancia representa si la
línea es de 50 Ohm?
Z = Zo x ZN = 50 (1,5 + j1,5) = 50 x 1,5 + j0 x 1,5 = 75 + j75
Algunos usos del ábaco
• Representando impedancias en el ábaco
Para representar un valor cualquiera de impedancia, basta buscar la
intersección del círculo de resistencia constante que corresponde al
valor resistivo de la impedancia, con el círculo de reactancia constante
correspondiente al valor reactivo de la misma (advierta que la superficie
del ábaco es el lugar geométrico de todos los valores posibles de
impedancia que pueden existir).
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9. Una de las aplicaciones comunes de esta manera de graficar consiste
en la representación de valores de impedancia que varíen conforme a
algún parámetro de los que un sistema sea dependiente tal como la
frecuencia, potencia, temperatura, etc. Es una forma frecuente de
representar características de transistores de radiofrecuencia en los
manuales, como se ve en la figura.
Ejemplo:
Conectamos al extremo de una línea de Zo = 50 Ohms una carga
ZL = 40 - j30 Ohms y deseamos representar su valor en el ábaco.
La normalizamos para trabajar sobre un ábaco estándar:
ZN = Z/Zo = (40 - j30) / 50 = 0,8 - j0,6
Para dibujar este punto en el ábaco se busca el valor 0,8 sobre el
eje de los reales (correspondiente a valores resistivos) por este
punto pasará un círculo de resistencia constante correspondiente
a este valor que señalaremos de un modo conveniente.
Inmediatamente buscamos el valor 0,6 sobre borde del gráfico en
la escala de reactancias capacitivas (“-j ” denota reactancia
capacitiva y “+j ” inductiva) y al que también señalaremos de
algún modo.
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10. La impedancia 0,8 - j0,6 quedará representada en el punto de
intersección de los dos círculos que hemos señalado.
El círculo de Gamma constante
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11. Ahora tracemos un círculo con centro en el centro del ábaco y que pase
por el punto que representa la impedancia. El círculo que hemos
dibujado se denomina "Círculo de Gamma constante", Con él se
puede averiguar el valor del coeficiente de reflexión, para ello se mide el
radio de este círculo y se lo divide por el radio del ábaco, En nuestro
caso el resultado debería ser aproximadamente 0,33 (recordemos que el
coeficiente de reflexión se puede definir como: β= (Pr/ Pi)1/2
, en donde
Pr = Potencia reflejada y Pi = potencia incidente).
Vemos que este círculo corta al eje de los reales en dos puntos: En el
que está a la derecha del centro (en rojo) se puede leer directamente la
Relación de Ondas Estacionarias, que en este ejemplo será igual a 2 : 1.
Si se midiera la tensión en este punto sobre la línea de transmisión, se
vería que la tensión es máxima (la corriente medida sería la mínima).
Igualmente, en el punto de intersección del círculo de Gamma constante
distante 1/4 de onda, sobre el eje leeremos la inversa del valor de la
ROE (0,5 en verde) y, si se midiera la tensión sobre la línea en este
punto resultaría ser un mínimo (la corriente un máximo).
Dibujemos ahora una semirrecta que parta del centro del gráfico, que
pase por el punto que representa la impedancia del ejemplo anterior y se
prolongue hasta el borde del ábaco, el punto de intersección de la recta
trazada desde centro al borde sobre la escala marcada "ángulo del
coeficiente de reflexión" representa la fase del coeficiente de reflexión
(el ángulo con que la onda reflejada atrasa o adelanta respecto de la
incidente) que en nuestro ejemplo será de -90° y que está indicado en
azul.
Cuando estas ondas se suman en fase dan un máximo de tensión, la
impedancia es puramente resistiva y mayor que cero y el ángulo del
coeficiente de reflexión es cero.
De aquí en adelante iremos viendo distintos ejemplos explicados con
más detalle para comprender el funcionamiento del ábaco.
La línea como transformador de impedancia
Nuestro ejemplo nos ha dado una información quizás más importante
que la que buscamos originalmente:
Los puntos situados sobre el círculo de Gamma constante representan
todas las impedancias posibles de encontrar a lo largo de la línea
de transmisión para esa carga. Esto también nos advierte que todas
esas impedancias se corresponden con uno y solo un valor de ROE,
lo cual es otra muestra de que la ROE no varía a lo largo de una
línea de transmisión (y que de nada sirve buscar, a estos efectos,
algún punto "privilegiado" recortando el cable, aunque también es
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12. cierto que en una línea con pérdidas la ROE va disminuyendo
lentamente a medida que nos alejamos de la carga debido a ellas)
Pero reflexione en lo siguiente:
“Si la impedancia en la línea a 10 cm de la carga tiene un dado valor,
podemos imaginar que si la cortáramos en ese punto e instaláramos allí
una carga con una impedancia igual al valor leído en el ábaco para ese
punto, el resto de la línea no se enteraría del "fraude", de esto podemos
deducir otro dato fundamental: los valores que atraviesa el círculo de
gamma constante son todos los valores (y los únicos), de
impedancia posibles capaces producir una ROE de 2 : 1 en una
línea de 50 Ohm ...”
Observe que ningún punto del círculo de Gamma constante pasa por R
= 1 (el centro del ábaco que correspondería, desnormalizando, a 50
Ohm). Esto nos muestra que no existe ningún punto a lo largo de la línea
que presente 50 Ohm puramente resistivos (lo que también echa por
tierra cualquier fantasía acerca de adaptar la impedancia recortando el
cable) pero ¡el c;irculo de Gamma constante si corta al círculo de
resistencia constante = 1, por lo que si es posible obtener 50 +/- jX
siempre!, lo cual ya nos está insinuando una manera correcta de
adaptar una impedancia de carga cualquiera a un generador cuya ZG
sea de 50 Ohms, como veremos en otro ejemplo. En el actual esto se
produce en los puntos Z = 1 + j0,7 (indicados en amarillo) que equivalen
(desnormalizando) a una impedanciade 50 + j35, por lo tanto, si
logramos cancelar los 35 Ohms capacitivos o inductivos con un
elemento con una reactancia igual pero de signo opuesto ¡ya habremos
logrado la adaptación...!
Puesto que la ROET es la misma, es el mismo también el coeficiente de
reflexión por lo tanto la relación entre la potencia incidente y la reflejada
en todos los puntos de una línea sin pérdidas.
Convirtiendo Impedancias en Admitancias y viceversa
Es muy fácil convertir Impedancias en Admitancias y viceversa con el
ábaco. Una vez graficado el punto correspondiente a la Impedancia,
basta trazar una línea que, partiendo desde él y pasando por el centro,
intersecte al círculo de Gamma constante sobre el lado opuesto. En
dicha intersección podremos leer directamente el valor de Conductancia
y Susceptancia.
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13. Ejemplo:
Tenemos una impedancia Z = 50 + j50 Ω
¿cuál es su Admitancia?
Normalizamos ZN = (50 + j50) / 50 = 1 + j1 y lo marcamos en el
gráfico.
Trazamos el círculo de Gamma constante que pasa por él y
dibujamos la línea que pasando por el centro intersecte al círculo
de Gamma constante sobre el lado opuesto, allí leemos
directamente:
Y = 0,5 -j0,5 [Mho]
Teniendo la Admitancia, podemos expresar nuestra impedancia
en su equivalente paralelo de la forma Zp = Rp + Xp, para ello
basta con obtener las inversas de G y B, entonces:
Rp = 1 / G = 1 / 0,5 = 2 Ω ; Xp = 1 / B = 1 / 0,5 = 2 Ω, que
desnormalizado corresponderá a Rp = 100 ; Xp = 100 Ω.
Esto nos será muy útil como veremos en los párrafos siguientes
para adaptar impedancias en la práctica y construir Stubs.
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14. Cálculo de la impedancia vista por el generador
Ejemplo:
Una línea con Zo = 50 Ohms, 6 m de longitud y velocidad de fase
= 0,66 se conecta a una carga ZL = 50 + j50 Ω.
¿Cuál es la impedancia vista en los bornes correspondientes del
generador en 14,1 MHz?. (Ver la figura que se encuentra más
abajo).
1) Se normaliza la impedancia de carga:
50Ω+ j50Ω
---------- = 1 + j1Ω
50Ω
2) Se calcula la longitud de onda en el vacío correspondiente a
14,1 MHz
λ = 3 x 108
[m/s] / 14,1 x 106
[Hz] = 21,3 [m]
3) Se determina la longitud de onda en el coaxil (cuya velocidad
de fase de 0,66).
λc = 0,66 x 21,27 m = 14,03 m (que naturalmente corresponderán
a una longitud eléctrica de 360°).
4) Se averigua la cantidad de longitudes de onda en coaxil que
representan los 6 m de línea:
l = 6 m / 14,03 m = 0,428 de landa
4 bis) Se calcula la longitud eléctrica correspondiente a los 6 m de la
línea.
= 360° * 6m / 14 m = 154,28 grados eléctricos que en grados
sexagesimales del gráfico serán 308,56°.
5) Se representa en el gráfico la impedancia Z = (1+ j1)Ω.
6) Se traza el círculo de Gamma constante que pasa por el punto Z (nos
indicará una ROET = 2,6 : 1)
7) Se traza una semirrecta desde el centro hasta la escala
WAVELENGHT TOWARD GENERATOR que pase por el punto Z (cae
aprox. en el valor 0,161 landas hacia el generador).
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15. 8) A partir de este valor se suma el valor de longitud de la línea
expresada en longitudes de onda calculado (0,428), entonces 0,161 +
0,428 = 0,589, pero 0,589 no es un valor que esté indicado en la escala
que solo alcanza hasta 0,5, entonces simplemente se resta 0,5 y
obteniendo 0,089
9) Se dibujar otra semirrecta desde el centro hasta la escala en el punto
0,089.
10) La intersección de esta semirrecta con el círculo de Gamma
constante da la impedancia buscada.
Z = 0,5 + j0,5 que desnormalizada (multiplicando por Zo) es:
Z = 25 + j25 Ω
El proceso realizado se denomina rotación pues en el ábaco se realiza
una rotación geométrica con centro en el mismo.
Es muy interesante advertir que es posible proceder a la inversa, es
decir, que conociendo la impedancia en los bornes de entrada de
nuestra línea de transmisión, podremos averiguar la impedancia de la
antena, dicho de otro modo: si la impedancia medida sobre el lado del
generador fuera Z = 125 - j27Ω (que es el resultado anterior),
obviamente la impedancia de carga sería ZL = 50 - j50 Ω que justamente
fue el dato de nuestro problema.
Nótese que si se realiza una rotación de 0,5 Ω que corresponde a 360
grados en el gráfico se llega exactamente al mismo punto del gráfico lo
que significa que cada 1/2 se repite la impedancia. Este fenómeno es
muy útil pues si se corta la línea de alimentación de una antena en
múltiplos de media onda (en coaxil) podemos efectuar mediciones
directas en el lado del generador sin tener que transformarlas para
averiguar el verdadero valor, (siempre con la reserva de que en FME
normalmente una longitud de línea normal representa muchos "largos
de onda" y el error en la velocidad de fase supuesta del coaxil puede
producir mediciones absolutamente erradas por la acumulación de
errores). Si este procedimiento le resulta confuso en términos de
longitudes de onda, es posible proceder empleando grados eléctricos y
sexagesimales para la construcción gráfica:
1) Se normaliza la impedancia de carga
50 - j50
------------------- = 1 - j1Ω
50
2) Se calcula la longitud de onda correspondiente a 14,1 MHz
λ = 3 x 108
[m/s] / 14,1 x 106
[Hz] = 21,3 m
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16. 3) Se determina la longitud de onda en el coaxil (velocidad de
fase de 0,66).
λc = 0,66 x 21,27 m = 14,03 m (que naturalmente corresponderán
a una longitud eléctrica de 360 grados).
4) Se calcula la longitud eléctrica correspondiente a los 6 m de
línea.
β= 360° * 6 m / 14 m = 154 grados eléctricos que en grados
sexagesimales del gráfico serán 308°.
5) Representamos en el gráfico nuestra impedancia Z = (1+ j1)Ω.
6) Se traza el círculo de Gamma constante que pasa por el punto
Z (indicará una ROET = 2,6 : 1).
7) Colocar un transportador con su centro en el centro del gráfico
y su 0 en el punto Z, medir 308° (correspondiente a los los 154
grados eléctricos de la línea) y marcar ese punto en el círculo
de Gamma constante, allí se encuentra el valor de impedancia
que ve el generador: Z = 0,5 + j0,5 que desnormalizada
(multiplicando por Zo) es Z = 25 + j25 Ω
Inductores y capacitores realizados con secciones de línea
Las líneas de transmisión que tienen el extremo correspondiente a la
carga en cortocircuito o abierto, tienen interesantes propiedades, entre
ellas la de permitir la obtención de reactancias tanto inductivas como
capacitívas. En general:
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17. 1. Toda sección de línea de longitud menor que 1/4 λ
cortocircuitada en un extremo, presenta reactancia
puramente inductiva en el otro.
2. Toda sección de línea de longitud menor que 1/4 λ en
circuito abierto en un extremo, presenta reactancia
puramente capacitiva en el otro.
3. Toda sección de línea menor que 1/2 λ pero mayor que 1/4λ
cortocircuitada en un extremo, presenta reactancia
puramente capacitiva en el otro.
4. Toda sección de línea menor que 1/2 λ pero mayor que 1/4 λ
en circuito abierto en un extremo, presenta reactancia
puramente inductiva en el otro.
Normalmente en FME o FUE la calidad de los inductores obtenidos
con este método es superior a elementos de constantes
concentradas (bobinas solenoide comunes).
En el ábaco un cortocircuito queda representado en el punto 0 (cero)
del eje de los reales, si nos dirigimos hacia el generador las
longitudes de línea que caen sobre todo el semicírculo inferior nos
darán reactancias capacitivas, esto corresponde a longitudes
eléctricas menores que 1/4 λ. Si seguimos recorriendo, superando el
cuarto de onda nos encontramos, en el semicírculo superior, y la
línea nos presentará reactancias inductivas.
Dejando la línea a circuito abierto, vemos que un circuito abierto se
representa sobre el extremo derecho del eje de los reales que
corresponde al valor de resistencia infinito; igual que antes,
dirigiéndose hacia el generador a partir del circuito abierto, todas las
longitudes de línea que se representan sobre el semicírculo inferior
corresponden a reactancias capacitivas y longitudes menores que
1/4 λ y todo el semicírculo superior corresponde a reactancias
inductivas y longitudes mayores que 1/4 λ pero menores que 1/2 λ.
Debe tenerse en cuenta que la escala calibrada en longitudes de
onda tiene indicado el valor 0,25 donde coincide con el eje real en
infinito, de manera que no hay que olvidarlo en el momento de
usarla.
Ejemplo: Se necesita en 144 MHz, un inductor de de 0.11 µHy
¿con qué longitudes de una línea de Zo = 50 Ω, velocidad de
fase = 0,66, lo puedo obtener y en qué condiciones?.
1) Se calcula la reactancia correspondiente a 0,11 uHy pF en 144
MHz
XL = 2 x π x f x L = 2 x 3,14 x 144 x 106
[Hz] x 0,11 x 10-6
[Hy] =
100 Ω
2) Se normaliza el valor de XL dividiéndolo por la Zo de la línea
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18. XLN = 100Ω / 50Ω = 2
3) Partiendo de una sección de línea con el extremo en
cortocircuito, recorriendo la escala calibrada en longitudes de
onda hacia el generador (sentido horario), partiendo del valor en
el eje real que corresponde a 0 Ohms, buscamos el circulo de
reactancia constante XL = 2Ω (que corresponde al semicírculo
superior). Observamos que corresponde a una longitud de línea
de 0,176 Ω 3 bis). Partiendo de una sección de línea con el
extremo abierto, recorriendo la escala calibrada en longitudes de
onda hacia el generador (sentido horario) partiendo del valor en
el eje de los reales que corresponde a resistencia infiinita,
buscamos el círculo de reactancia constante XL = 2Ω (que
corresponde al semicírculo superior). Observamos que
corresponde a una marcación 0,176, pero en este caso habrá que
agregar los 0,25Ω que recorrimos desde el valor infinito hasta el
cero para alcanzar el valor buscado, por lo tanto el resultado será
0,25Ω + 0,176Ω= 0,426Ω
4) Calculamos la longitud física de una longitud de onda en el
coaxil:
λc = (3 x 108
[m/s] / 144 x 106
Hz) x 0,66 = (300 / 144) x 0,66 =
1,375 m
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19. 5) Multiplicamos los valores obtenidos en el punto 3 y 3 bis por la
longitud de onda física que acabamos de calcular obteniendo:
Longitud de línea en cortocircuito: 0,176 x 1,375 m = 0,242 m
Longitud de línea a circuito abierto = 0,426 x 1,375 m = 0,585 m
Nota: En general conviene emplear secciones a circuito abierto
pues es más sencillo ajustarlas cortándolas y porque es mucho
más sencillo lograr un buen circuito abierto que un buen
cortocircuito en FME y FUE.
Adaptación de impedancias mediante secciones de línea
Según se dijo en la sección correspondiente al cálculo de la ROET, dada
una carga cualquiera siempre será posible encontrar algún punto en la
línea que presente una parte resistiva igual a Zo con alguna componente
reactiva asociada (ello se desprende de ver que el círculo de Gamma
constante siempre intersecta al círculo de resistencia normalizada
unitario, que desnormalizada correspondería a R = Zo). Si canceláramos
la parte reactiva en ese punto y lo conectáramos al generador,
tendríamos una adaptación perfecta... Pero nada impide conectar en ese
punto otra línea de trasmisión de la misma impedancia y de largo
arbitrario que llegue hasta el generador, algo así como un "prolongador",
visto de ese modo, el punto de la línea que presenta una resistencia
igual a Zo pero con la componente reactiva que cancelamos de alguna
manera, se convierte en la "carga" para la línea prolongadora y ella verá
una carga perfectamente adaptada por lo que no presentará ondas
estacionarias ni producirá ninguna variación de impedancia posterior.
En la práctica, una vez localizado el punto apropiado sobre la línea, se
procede a intercalar allí el componente encargado de cancelar la
reactancia y continuar la misma línea hasta el generador.
En general el procedimiento es como sigue:
1. Normalizar la impedancia de carga y graficarla en el ábaco.
2. Trazar una línea del centro que pase por ese punto y que
intersecte la escala WAVELENGHT TOWARD
GENERATOR anotando a continuación el valor en
longitudes de onda que indique la escala (lo llamaremos
λL).
3. Dibujar el círculo de Gamma constante.
4. Marcar sobre el círculo de Gamma constante los puntos
(dos) donde intersecta al círculo de componente resistiva
unitaria, los llamaremos P1 y P2, respectivamente .
5. Trazar sendas líneas que, pasando por P1 y P2 intersecten
la escala WAVELENGHT TOWARD GENERATOR. Leer
en ella el valor de longitud de onda correspondiente a P1 y
P2 que llamaremos λ1 y λ2.
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20. 6. Averiguamos la distancia sobre las escala de longitudes de
onda que separa λ1 de λL y λ2 de λL, a estos resultados
los llamamos L1 y L2, representando cada uno de ellos la
distancia de la carga a la que se encuentran puntos de
impedancia con componente resistiva igual a Zo,
(expresada en longitudes de onda). En cualquiera de esos
puntos podremos intercalar un elemento en serie que
cancele la reactancia existente en ellos para obtener la
adaptación deseada.
7. Encontrar para P1 y P2 el círculo de reactancia constante
que pasa por él (será uno de reactancia inductiva y el otro
de reactancia capacitiva). Estos valores de reactancia son
los que intercalados en los lugares hallados en el punto
anterior permiten adaptar la impedancia a la línea. Pero
atención, la reactancia debe ser de caracter opuesto a
la leída.
8. Elegir P1 o P2 de acuerdo a la conveniencia física del
problema (a veces el primer punto está muy cerca de la
carga y resulta incómodo para intercalar el componente
reactivo).
Ejemplo:
Tenemos una impedancia de 20 - j10 (capacitiva) alimentada por una
línea de 50Ω ¿A qué distancia de la carga, qué tipo de elemento y de
20

21. qué valor hay que intercalar para que a partir de ese punto la línea
quede adaptada?
Normalizamos la impedancia de carga
ZN = ZL / Zo = (20 - j10) / 50 = 0,4 - j0,2
Trazamos la semirrecta que pasa por ZL y obtenemos λL = 0,462
Trazamos las semirrectas que pasan por P1 y P2 y obtenemos:
λ1 = 0,161 ; λ2 = 0,338
Aqui hay que tener cuidado pues en todos los casos hemos indicado las
lecturas sobre la escala WAVELENGHT TOWARD GENERATOR que
aumenta en sentido antihorario, pero no debemos simplemente restarlas
sino determinar la distancia que las separa sobre la escala. Esto es
sencillo:
Si observa el gráfico v que que resulta de ver qué distancia le falta a L
para alcanzar 0,5 (que coincide con el cero de la escala), es decir
0,5 - λL y a ese valor se le suma la lectura de λ1 y λ2, podemos evitar
esta cuenta con solo leer la lectura que muestra λL sobre la escala
WAVELENGHT TOWARD LOAD (verífiquelo). Entonces:
0,5 - λL = 0, 5 - 0,462 = 0,038
L1 = λ1 + 0,038 = 0,161 + 0,038 = 0,199
L2 = λ2 + 0,038 = 0,338 + 0,038 = 0,376
A estas distancias de la carga encontraremos los puntos en los cuales
intercalando una rectancia en serie del valor adecuado lograremos la
transformación que resulte en los 50 Ohms deseados. Leyendo en el
gráfico vemos que para el punto P1 será: -j1 y para P2 +j1, es decir la
reactancia del signo opuesto a la que presenta la línea en esos puntos.
Desnormalizando, el elemento en serie será para P1, 50 Ohms
capacitivos y para P2 50 Ohms inductivos (el valor 50, que coincide con
Zo, es simple coincidencia)
Variante en paralelo
El procedimiento explicado es correcto, pero adolece de un
inconveniente: Ha resuelto el problema de la adaptación pero supone
que la cancelación de la reactancia se efectuará con un elemento en
serie. En la práctica, especialmente con cables coaxiles y por
conveniencias mecánicas, resulta mejor realizar la cancelación con
elementos conectados en derivación (en paralelo). Esto también es fácil
resolver:
21

22. En vez de utilizar el concepto de Impedancia utilizaremos el de
Admitancia, de esa manera nuestra carga de 20 - j10 la convertimos a
su equivalente en Admitancia según lo visto en "Convirtiendo
Impedancias en Admitancias y viceversa".
ZL = 20 - j10 Normalizando
ZN = (20 - j10) / 50 = 0,4 - j0,2 Convirtiendo a Admitancia con el
ábaco obtenemos:
YN = 2 + j1 que desnormalizado es
YL = (2 + j1) x 0,02 = 0,04 + j0,02 Mho
(Recordando que, si Zo = 50 Ohms => Yo = 1 / Zo = 1 / 50 Ohms
es igual a 0,02 Mho que será la Admitancia correspondiente de la
línea de 50 Ohms y que emplearemos para normalizar o
desnormalizar nuestras Admitancias, Conductancias y
susceptancias).
Trazamos una semirrecta que partiendo del centro pase por el
punto Y = 2 + j1 y corte la escala WAVELENGHT TOWARD
GENERATOR donde leemos λ = 0,211.
Nuestra meta ahora será encontrar un par de puntos en el círculo
de Gamma constante en que la Conductancia sea 1 (que
22

23. desnormalizada representa una Conductancia de 0,02 Mho que, a
su vez, equivale a una Resistencia de 50 Ohms).
Vemos en el gráfico que, al igual antes, encontramos dos puntos
(P1 y P2) con G = 1, P1 tiene asociada una Susceptancia
capacitiva (B = +j1) y P2 una inductiva (B = -J1). Igual que en el
ejemplo anterior, trazando sendas líneas que pasando por esos
puntos alcancen la escala WAVELENGHT TOWARD
GENERATOR, leemos sobre ellas dos valores: λ1 = 0,161 y λ2 =
0,338 ; calcularemos la distancia para para el P2 dejando la que
corresponda a P1 como ejercicio para el lector.
Para obtener la distancia en longitudes de onda entre λ2 y λ,
simplemente los restamos:
λ2 - λ = 0,338 - 0,211 = 0,127
entonces, en el punto que se halla a 0,127 λ de la carga
podremos conectar en paralelo una Susceptancia inductiva de -
jB1 con lo cual nuevamente hemos logrado adaptar nuevamente
la línea. De esta forma, con una simple "T" podríamos conectar
en un coaxil un trozo de cable que a la frecuencia produzca ese
valor de Inductancia. Tenemos asi conformado un "Stub" a toda
regla. Y lo más interesante de todo, gracias al ábaco de Smith...
23

24. Medición de la impedancia de carga con un voltímetro y un medidor
de ROE
La medición de una impedancia en RF generalmente requiere
instrumental que no está al alcance del aficionado medio, especialmente
en FME. Los instrumentos sencillos habitualmente producen más
problemas de los que solucionan y la tarea se torna insegura, sin
embargo con un medidor de ROE, unas secciones de línea, un
elemental medidor de tensión de radiofrecuencia (que hasta puede ser
simplemente una lámpara de Neón), una cinta métrica (y cierta dosis de
paciencia indispensable) pueden efectuarse mediciones muy precisas de
impedancia. Para ello recordemos la distribución de tensión en una línea
para casos extremos.
En la figura, el lado de la carga es el derecho y el del generador el
izquierdo).
Vemos en la figura que para una carga que sea un cortocircuito, el
primer mínimo de tensión se halla a 1/2 λ medido desde la carga hacia
el generador (sin contar el mínimo que se produce justo sobre la carga).
Para una carga que fuera un circuito abierto el primer mínimo se
encuentra exactamente a 1/4λ medido hacia el generador, pero si
observamos cuidadosamente notaremos que el segundo mínimo se
encuentra a 3/4 λ (1/4 + 1/2) hacia el generador, si lo midiéramos
contando a partir del mínimo de cortocircuito, encontraremos que está a
1/4 λ de este hacia el generador. Tengamos en cuenta esto pues luego,
en los ejemplos, emplearemos como punto de referencia un mínimo
de cortocircuito.
(La figura muestra la tensión para carga capacitiva o inductiva pura de
valor normalizado 1).
En el caso de una carga capacitiva el primer mínimo se encuentra a una
distancia menor de 1/4 λ medida desde la carga hacia el generador (y
por ende también menor de 1/4 λ de cualquier mínimo de cortocircuito).
En el caso de una carga inductiva el mínimo se hallará a una distancia
algo mayor de 1/4 λ pero menor que 1/2 λ hacia generador, medido
desde la carga o desde un mínimo de cortocircuito.
Este comportamiento es muy importante pues nos permite conocer el
carácter de una carga con solo conocer a qué distancia se halla del
primer mínimo de cortocircuito.
Desde luego que es posible trabajar midiendo distancias directamente
desde la carga, pero preferimos emplear un mínimo de referencia pues
servirá para conocer la impedancia de una antena estando alejados de
ella, entonces una vez que obtenemos un mínimo de cortocircuito
cercano a nuestro lugar de trabajo lo señalaremos y tomaremos las
medidas a partir de él; no obstante esto es correcto hacerlo así solo si
24

25. las pérdidas de la líneas son bajas pudiéndosela considerar sin pérdida
para los fines prácticos. Se puede tomar como una base razonable que
la atenuación sea menor a 1 dB.
Los gráficos de tensión sobre la línea de la figura son para casos
extremos: cortocircuito, circuito abierto, reactancias puras, etc. por eso
los mínimos de tensión alcanzan 0 V, pero lo más normal será encontrar
impedancias de carga complejas, es decir que poseen tanto resistencia
como reactancia, en estos casos la posición de los mínimos y los
máximos son muy semejantes a los que hemos visto pero serán
simplemente "mínimos" que no necesariamente alcanzarán 0V;
entonces:
Si la posición del mínimo no nulo es la que correspondería a un circuito
abierto es porque la impedancia tiene un valor mayor que Zo y es
puramente resistiva.
Si la posición del mínimo no nulo es la que correspondería a un
cortocircuito es debido a que la impedancia de carga tiene un valor
menor que Zo y es puramente resistiva.
Del mismo modo se razona para cargas capacitvas e inductivas.
Analicemos el siguiente ejemplo:
Tenemos una carga desconocida y deseamos conocer su impedancia
para ello:
1. Medimos la ROE de la línea y obtenemos ROE = 3 : 1
2. Trazamos el círculo de Gamma constante que pasa por
este valor.
3. Cortocircuitamos la línea en el extremo de la carga y
ubicamos un mínimo en la línea que nos resulte cómodo
para trabajar, el cual tomaremos como referencia.
4. Conectamos nuevamente la carga y buscamos con el
voltímetro o sonda de RF el primer mínimo de tensión que
se encuentre partiendo desde el punto de referencia en
dirección a la carga. Supongamos que lo encontramos a
0,069 λ de longitud de onda respecto del mínimo de
referencia.
5. Puesto que está a menos de 1/4 λ de distancia, ya estamos
en condiciones de inferir que la carga es de naturaleza
capacitiva.
Entonces:
A. Sabemos que la impedancia desconocida debe hallarse en
algún punto del círculo de Gamma constante que hemos
dibujado.
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26. B. Sabemos que siendo capacitiva el punto estará situado en
la porción de círculo de Gamma constante inferior, que es
donde se hallan en el ábaco las reactancias capacitivas.
C. Sabemos, por lo ya visto, que podemos trazar en el ábaco
una semirrecta cuyo origen sea el valor 1 (el centro) que
pase por el punto que representa a la impedancia hasta
cortar a la escala exterior calibrada en longitudes de onda.
Entonces, si nos desplazamos por la escala exterior desde
ese punto hacia el generador hasta llegar al eje de los
reales en el punto 0 obtenemos la distancia en longitudes
de onda desde la carga hasta un mínimo de tensión.
Entonces, en nuestro problema, solo será cuestión de hallar sobre el
semicírculo de Gamma constante correspondiente a reactancias
capacitivas un punto tal que cumpla con la condición de que yendo
0,069 λ (en coaxil) hacia el generador alcance justo al eje de los reales
en el punto 0 (cortocircuito). Ese punto será entonces el valor de la
impedancia que nos interesa conocer.
Naturalemente, una vez coprendida la idea, en la práctica procedemos a
la inversa, es decir: midiendo sobre la escala periférica calibrada en
longitudes de onda 0,069 contando desde el punto 0 hacia la carga
del lado de las reactancia capacitiva y desde ese punto trazamos una
línea hacia el centro del ábaco. Donde la línea corta al círculo de
Gamma constante obtendremos el valor de la impedancia normalizado
correspondiente a esa carga.
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27. ZN = 0,4 - j0,4 desnormalizándolo obtenemos
Z = ZN x Zo = (0,4 - j0,4) x 50 = 20 - j20 Ω
Este procedimiento que es fácil de comprender se aplica
directamente con líneas abiertas, pero empleando el ingenio
puede emplearse algún trozo de coaxil, construido al efecto, con
"perforaciones" destinadas a tocar el conductor central con el
voltímetro. Para un "instrumento" tan capaz no es una inversión
muy cara... En FME se emplean líneas coaxiles ranuradas,
conocidas como "slotted lines" que permiten un desplazamiento
contínuo de la punta del voltímetro.
Bibliografía consultada:
• "Ingeniería de radio". Frederick Emmons Terman.
• Application Note AN671. Motorola.
• "How to use the Smith Chart". James R. fisk, W1HR, Ham
Radio Magazine, Marzo 1978
Autor
Ghezzi ,Miguel R. /LU 6ETJ (2000)
Búsqueda por internet el 24 de Octubre de 2003
SOLVEGJ Comunicaciones
Compilador y corrección: Prof. Faletti, Edgardo (Disciplinas
Industriales/ Gestión y Organización Escolar (2003)
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