Trigono

Ecuaciones y sistemas de ecuaciones
trigonométricas
Juan José Isach Mayo

7/01/2007

Contents

I Ecuaciones y sistemas ecuaciones trigonométricas 1
1 Ecuaciones trigonométricas 1
1.1 Ejemplos de ecuaciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Ejercicios ecuaciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Sistemas de ecuaciones trigonométricas 21
2.1 Ejemplos de sistemas de ecuaciones trigonométricas . . . . . . . . 21
2.2 Ejercicios sistemas de ecs. trigonométricas . . . . . . . . . . . . . 28

Part I
Ecuaciones y sistemas ecuaciones
trigonométricas
1 Ecuaciones trigonométricas
Para resolver las ecuaciones trigonométricas no existen procedimientos especí…-
cos. A veces tendremos que:
a) Factorizar utilizando adecuadamente las fórmulas que conocemos.
Veamos algunos ejemplos:
b) Intentar que en la ecuación trigonométrica , tan solo aparezca una sola
razón trigonométrica del mismo ángulo
c) Aislar una razón trigonométrica y elevar al cuadrado. Cuando utilicemos
este procedimiento; es conveniente comprobar las soluciones (alguna puede que
no lo sea).
d) Combinando los procedimientos explicados con anterioridad etc,etc,etc...

1

1.1 Ejemplos de ecuaciones trigonométricas
Ejemplo 1 Resuelve la ecuación 2 sin x cos x = sin x

2 sin x cos x = sin x
2 sin x cos x sin x = 0
sin x(2 cos x 1) = 0
8 8
>
> < 2k
>
> sin x = 0 ! x = k2Z
>
>
>
> :
< + 2k8
>
> 3 + 2k
>
> 1 <
>
> 2 cos x
>
> 1 = 0 ! cos x = ! x = k2Z
>
> 2 > 5
>
: : + 2k
3
Ejemplo 2 Resuelve la ecuación cos 3x + cos x = cos 2x

Para resolver esta ecuación utilizaremos la fórmula:
C +D C D
cos C + cos D = 2 cos cos
2 2

para transformar cos 3x + cos x en forma de producto.
Fíjate que:
cos 3x + cos x = 2 cos 2x cos x
Así pues ; resolver la ecuación cos 3x+cos x = cos 2x es lo mismo que resolver
la ecuación:

2 cos 2x cos x = cos 2x
2 cos 2x cos x cos 2x = 0
cos 2x(2 cos x 1) = 0
8 8
> >
< 2 + 2k
> < 4 +k
>
cos 2x = 0 ! 2x = !x= k2Z
> 3
> > 3
>
: + 2k : +k
2 8 4
1 < + 2k
2 cos x 1 = 0 ! cos x = ! x = 3 k2Z
2 : 5
+ 2k
3
El conjunto solución de esta ecuación trigonométrica es :

5 3
S= + 2k ; + 2k ; + k ; + k con k 2 Z
3 3 4 4

2

Observación 3 Vamos a resolver esta ecuación de otra manera. Para ello;
vamos a escribir cos 3x en función sólo del cos x y cos 2x en función del cos x

cos 3x = cos(2x + x) = cos 2x cos x sin 2x sin x =
= (cos2 x sin2 x) cos x 2 sin x cos x sin x =
= cos3 x sin2 x cos x 2 sin2 x cos x =
= cos3 x 3 sin2 x cos x = cos3 x 3(1 cos2 x) cos x =
= cos3 x 3 cos x + 3 cos3 x =
= 4 cos3 x 3 cos x

cos 2x = cos2 x sin2 x = cos2 x-sin29 = cos2 x (1 cos2 x) = 2 cos2 x
8 x 1
< cos 3x = 4 cos3 x 3 cos x =
Como y entonces resolver la ecuación
: ;
cos 2x = 2 cos2 x 1

cos 3x + cos x = cos 2x

Es equivalente a resolver la ecuación

cos 3x + cos x = cos 2x
4 cos x 3 cos x + cos x = 2 cos2 x
3
1
4 cos x 2 cos2 x 2 cos x + 1 = 0
3

Si llamamos a cos x = X: Tendremos que resolver la ecuación:

4X 3 2X 2 2X + 1 = 0

Para ello; factorizamos aplicando la regla de Ru…nni

8
> 1 1
>
> X =0!X=
>
> 2 8 2 p
< > 1
X
1
4X 2 2 =0! > p = 2
<
2 > 4X 2
> 2=0!X= 2
p 2
>
> >
>
: >
: 2
2
Deshaciendo el cambio de variable, el problema ha quedado reducido a re-
solver las tres ecuaciones trigonométricas siguientes:

3

8
>
> 3 + 2k
1 <
1. cos x = !x= k2Z
2 > 5
>
: + 2k
3
8
p >
> 4 + 2k
2 <
2. cos x = !x= k2Z
2 > 7
>
: + 2k
4
8 3
>
p
2 < 4 + 2k
>
3. cos x = !x= k2Z
2 > 5
>
: + 2k
4
3 5 7
Puedes comprobar que el conjunto + 2k ; + 2k ; + 2k ; + 2k con k 2 Z
4 4 4 4
3
coincide con el conjunto siguiente +k ; + k con k 2 Z
4 4
Con lo que; el conjunto solución de la ecuación trigonométrica es:

5 3
S= + 2k ; + 2k ; + k ; + k con k 2 Z
3 3 4 4

Las soluciones en [0; 2 ) son :
5 5 3 7
; ; ; ; ;
3 3 4 4 4 4
Ejemplo 4 Resuelve cos2 x + 2 sin x = 2

Tendremos que expresar el cos2 x en función del sin x: Para ello; utilizamos
la fórmula fundamental de trigonometría (cos2 x = 1 sin2 x): Con lo que :

cos2 x + 2 sin x = 2
1 sin2 x + 2 sin x = 2
sin2 x + 2 sin x 1 = 0
sin2 x 2 sin x + 1 = 0

La ecuación obtenida, es una ecuación de segundo grado cuya incógnita a
determinar es sin x:
p
2 4 4
sin x = = 1 ! x = + 2k con k 2 Z
2 2
1 x
Ejemplo 5 Resolver la ecuación + cos2 x + cos2 = 0
2 2

4

A 1 + cos A x 1 + cos x
Sabemos que cos2 = ! cos2 =
2 2 2 2
1 x
Por lo tanto, resolver la ecuación + cos2 x + cos2 = 0 es lo mismo que
2 2
resolver:
1 1 + cos x
+ cos2 x + = 0
2 2
2 cos2 x + cos x = 0

Factorizando; tendremos:
8 8
>
> >
> 2 + 2k
>
> <
>
> cos x = 0 ! x =
>
> con k 2 Z
>
> > 3
>
>
> : + 2k
>
< 2
cos x (2 cos x + 1) = 0 ! 8 2
>
>
>
> >
>
> < 3 + 2k
>
>
> cos x = 1 ! x =
>
> con k 2 Z
>
> 2 > 4
>
>
: : + 2k
3
La solución es el conjunto

2 4 3
S= + 2k ; + 2k ; + 2k ; + 2k con k 2 Z
3 3 2 2

que coincide con éste:

2 4
S= + 2k ; + 2k ; + k ; con k 2 Z
3 3 2
1 x
Observación 6 También se puede resolver la ecuación +cos2 x+cos2 = 0
2 2
x
si expresamos el cos2 x en función del cos
2
x x x x
Como cos x = cos 2 = cos2 sin2 = 2 cos2 1
2 2 2 2
entonces:
x 2 x x
cos2 x = 2 cos2 1 = 4 cos4 4 cos2 +1
2 2 2
1 x
Resolver + cos2 x + cos2 = 0 es lo mismo que resolver:
2 2
1 x x x
+ 4 cos4 4 cos2 + 1 + cos2 =0
2 2 2 2
x x
8 cos4 6 cos2 +1=0
2 2

5

x
Si llamamos a cos 2 = T tendremos que resolver la ecuación bicuadrada
siguiente: 8 1
>
> 2
< 1
8T 4 6T 2 + 1 = 0 ! T = p
1
2
>
> 2 p2
: 1
2 2

Deshaciendo el cambio de variable; el problema queda reducido a resolver las
ecuaciones trigonométricas elementales:
8
>
> + 2k
x 1 x < 3
1. cos 2 = 2 ! = con k 2 Z
2 > 5
>
: + 2k
3
Multiplicando por 2
8 2
>
< 3 + 4k
>
x= con k 2 Z
> 10
>
: + 4k
3
8 2
>
> + 2k
x 1 x < 3
2. cos 2 = 2 ! = con k 2 Z
2 > 4
>
: + 2k
3
Multiplicando por 2
8 4
>
< 3 + 4k
>
x= con k 2 Z
> 8
>
: + 4k
3
Las soluciones de las ecuaciones 1 y 2 se pueden expresar conjuntamente
asÍ: 8
> 2 + 2k
>
< 3
x= con k 2 Z
> 4
>
: + 2k
3
8
>
> + 2k
x
p
2 x < 4
3. cos 2 = 2 ! = con k 2 Z
2 > 7
>
: + 2k
4
Multiplicando por 2
8
>
> 2 + 4k
<
x=
> 7
>
: + 4k
2

6

8 3
>
> + 2k
x
p
2 x < 4
4. cos 2 = 2 ! 2 => con k 2 Z
> 5
: + 2k
4
Multiplicando por 2
8 3
>
< 2 + 4k
>
x=
> 5
>
: + 4k
2
Las soluciones de las ecuaciones3 y 4se pueden agrupar así:
n o
+ k con k 2 Z
2
Por lo tanto; la solución de la ecuación inicial es el conjuntoo:
2 4
S= + 2k ; + 2k ; + k + 2k con k 2 Z
3 3 2
Ejemplo 7 Resolver la ecuación sin x + cos x = 1
Aislamos el sin x
sin x = 1 cos x
Elevamos los dos miembros de la ecuación al cuadrado
sin2 x = 1 2 cos x + cos2 x
Utilizamos la F.F.T para expresar el sin2 x en función del cos2 x:Como
2
sin x = 1 cos2 x; entonces:
1 cos2 x = 1 2 cos x + cos2 x
2
2 cos x 2 cos x = 0
8 8
>
> < + 2k
< 2
cos x = 0 ! x = con k 2 Z
cos x(cos x 1) = 0 ! : 3 + 2k
>
> 2
:
cos x = 1 ! x = 2k con k 2 Z
3
Comprobemos ahora si los valores ; ; 0 son soluciones de la ecuación
2 2
Para x = ! cos + sin = 0 + 1 = 1 ! x = + 2k con k 2 Z si que
2 2 2 2
es solución
3 3 3 3
Para x = ! cos + sin =0 1= 1!x= + 2k con k 2 Z
2 2 2 2
no es solución
Para x = 0 ! cos 0 + sin 0 = 1 + 0 = 1 ! x = 2k con k 2 Z si que es
solución
El conjunto solución de la ecuación es :
n o
+ 2k ; 2k con k 2 Z
2

7

Observación 8 Vamos a resolver esta ecuación de otra manera
Como cos x = sin( x) entonces:
2
sin x + cos x = 1 , sin x + sin( x) = 1
2
C +D C D
Si utilizamos la fórmula sin C + sin D = 2 sin cos
2 2
La ecuación nos quedará así:
0 1 0 1
x+ x x x
2 sin @ 2 A cos @ 2 A = 1
2 2

2 sin cos(x + ) = 1
4 4
p
2
Como sin = ;entonces:
4 2
8
p >
> 4 + 2k
1 2 <
cos(x )= p = !x = con k 2 Z
4 2 2 4 > 7
>
: + 2k
4
Aislando x
8
>
< + 2k
2
x= con k; k 0 2 Z
>
:
2 + 2k = 2 (k + 1) = 2 k 0
Observación 9 Resuelve tú la ecuación sin x + cos x = 1 considerando que
C +D C D
sin x = cos( x) y que cos C + cos D = 2 cos cos :
2 2 2
p
Ejemplo 10 Resuelve la ecuación 3 sin x + cos x = 1
Aislamos el cos x p
cos x = 1 3 sin x
Elevando al cuadrado:
p
cos2 x = 1 2 3 sin x + 3 sin2 x
Utilizamos la F.F.T para expresar el cos2 x en función del sin2 x:Como
cos x = 1 sin2 x; entonces:
2
p
1 sin2 x = 1 2 3 sin x + 3 sin2 x
p
4 sin2 x 2 3 sin x = 0
8
> sin x = 0 ! x =
> 2k
>
> con k 2 Z
p < 8 + 2k
2 sin x(2 sin x 3) = 0 ! p < + 2k
> sin x = 3 ! x =
>
> 3 con k 2 Z
>
: 2 : 2 + 2k
3

8

2
Comprobemos ahora si los valores 0; ; ; ; son soluciones de la ecuación
p 3 3
Para x = 0 ! 3 sin 0 + cos 0 = 0 + 1 = 1 ! x = 2k con k 2 Z si que es
solución p
Para x = ! 3 sin + cos = 0 1 = 1 ! x = + 2k con k 2 Z no
es solución
p 3 1
Para x = ! 3 sin + cos = + = 2 ! x = + 2k con k 2 Z no
3 3 3 2 2 3
es solución
2 p 2 2 3 1 2
Para x = ! 3 sin + cos = =1!x= + 2k con k 2 Z
3 3 3 2 2 3
si que es solución
El conjunto solución de la ecuación es :

2
+ 2k ; 2k con k 2 Z
3
p
Observación 11 3 sin x + cos x = 1 .
p
3 1 1
Divido la ecuación por 2! sin x + cos x =
p 2 2 2
3 1
Como = cos y = sin entonces la ecuación queda así:
2 6 2 6
p
3 1 1
sin x + cos x =
2 2 2
1
sin x cos + cos x sin =
6 6 2 8
1 < + 2k
sin(x + ) = !x+ = 6 con k 2 Z
6 2 6 : 5
+ 2k
6
Aislando x (
2k
x= 2 con k 2 Z
+ 2k
3
Fíjate bien; que este procedimiento es más corto que el anterior
p
Ejemplo 12 Resuelve cos x + 3 sin x = 0
p
3
Sugerencia : Determina los ángulos tales que tan x =
3

9

1.2 Ejercicios ecuaciones trigonométricas
p
Ejercicio 13 Resuelve 4 sin(x ) cos(x )= 3
6 6
p p
4 sin(x ) cos(x )= 3 ! 2 2 sin(x ) cos(x )= 3
6 6 6
p 6
3
2 sin(x ) cos(x )=
6 6 2
Como 2 sin A cos A = sin 2A entonces la ecuación se reduce a:
p
3
sin(2x ) =
3 82
< + 2k
2x = 3 con k 2 Z
3 : 2
+ 2k
3
Aislando x; tendremos:
8
< +k
x= 3 con k 2 Z
: +k
2
x
Ejercicio 14 4 sin + 2 cos x = 3
2

x x x
Fíjate que cos x = cos2 sin2 =1 2 sin2 : Por lo tanto; la
2 2 2
ecuación quedará así:

x x
4 sin + 2 1 2 sin2 = 3
2 2
x x
4 sin2 + 4 sin 1 = 0
2 2
x x
4 sin2 4 sin +1 = 0
2 2

El, problema queda reducido a resolver una ecuación de segundo grado
x
cuya incógnita es sin . con lo que:
2
p
x 4 16 16 1
sin = =
2 8 8 2
x < + 2k
= 6 con k 2 Z
2 : 5
+ 2k
6

10

Aislando x 8
< + 4k
x= 3 con k 2 Z
: 5 + 4k
3
Ejercicio 15 Resuelve sin 2x = cos 120o
1
sin 2x = cos 120o ! sin 2x =
2
8
> 7
< + 2k
2x = 6 con k 2 Z
> 11
: + 2k
6
Aislando x 8
> 7
< +k
x= 12 con k 2 Z
> 11
: +k
12
sin x p
Ejercicio 16 Resuelve cot x + = 2
1 + cos x
En primer lugar, vamos a transformar la expresión que queda a la derecha
de la ecuación
sin x cos x sin x cos x + cos2 x + sin2 x
cot x + = + =
1 + cos x sin x 1 + cos x sin x(1 + cos x)
Como cos2 x + sin2 x = 1, entonces:
sin x cos x + cos2 x + sin2 x 1 + cos x 1
cot x + = = =
1 + cos x sin x(1 + cos x) sin x(1 + cos x) sin x
Así pues; la ecuación inicial quedará como:
p
1 p 1 2
= 2 ! sin x = p =
sin x 2 2
8
> 5
< + 2k
x = 4 con k 2 Z
> 7
: + 2k
4
cos x
Ejercicio 17 Resuelve tú la ecuación tan x + = 2
1 + sin x
Ejercicio 18 Resuelve cos2 (x + ) sin2 (x + )=1
6 6
Como cos2 A sin2 A = cos 2A; la ecuación cos2 (x + ) sin2 (x + )=1
6 6
queda:

cos 2x + = 1
3
2x + = 2k
3
x = + k con k 2 Z
6

11

5 5 5
Como +k = + +k = + (k 1) = + k 0 con k 0 2 Z
6 6 6 6
1
Ejercicio 19 Resuelve tú la ecuación cos2 (x ) sin2 (x )=
6 6 2
Ejercicio 20 Resuelve cos 2x cos 6x = sin 5x + sin 3x
8 9
> cos C cos D = 2 sin C + D sin C D >
>
> >
>
>
< 2 2 >
=
Como y
>
> >
>
> sin C + sin D = 2 sin C + D cos C D
>
:
>
>
;
8 2 2 9
< cos 2x cos 6x = 2 sin(4x) sin( 2x) = 2 sin 4x sin 2x =
entonces y
: ;
sin 5x + sin 3x = 2 sin 4x cos x
Con lo que; la ecuación se transforma así:

2 sin 4x sin 2x = 2 sin 4x cos x
sin 4x sin 2x sin 4x cos x = 0

Sacando factor comun sin 4x
sin 4x = 0
sin 4x(sin 2x cos x) = 0 !
sin 2x cos x = 0
8
k >
<
a 2k 2
1 sin 4x = 0 ! 4x = !x= k con k 2 Z
+ 2k >
: +
4 2
2a sin 2x cos x = 0 *

Resolvamos ahora la ecuación * sin 2x cos x = 0
Teniendo presente que sin 2A = 2 sin A cos A

sin 2x cos x = 0
2 sin x cos x cos x = 0
8 8
>
> >
> + 2k
>
> < 2
> cos x = 0 ! x =
> con k 2 Z
>
>
< >
> 3
: + 2k
cos x(2 sin x 1) = 0 ! 8 2
>
>
>
> < + 2k
> 1
> sin x = ! x = 6
>
> 5 con k 2 Z
: 2 : + 2k
6
x x
Ejercicio 21 Resuelve cos2 sin2 = sin x
2 2

12

x x h x i
cos2 A sin2 A = cos 2A ! cos2 sin2 = cos 2 = cos x
2 2 2
Luego
x x
cos2 sin2 = sin x
2 2
cos x = sin x

Dividiendo por cos x ,y teniendo presente que la función y = tan x es una
función periódica de periodo

tan x = 1 ! x = + k con k 2 Z
4
Ejercicio 22 Resuelve cos 2x + sin x = 4 sin2 x

cos 2A = cos2 A sin2 A = 1 2 sin2 A

cos 2x + sin x = 4 sin2 x
1 2 sin2 x + sin x = 4 sin2 x
6 sin2 x sin x 1 = 0

El, problema queda reducido a resolver una ecuación de segundo grado
(cuya incógnita es sin x). con lo que:
8
p > 1
1 25 < 2
sin x = =
12 > 1
:
3
El problema queda reducido a resolver las ecuaciones trigonométricas ele-
mentales:
8
>
> 6 + 2k
<
1
1. sin x = 2 ! x = con k 2 Z
> 5
>
: + 2k
6
8
< arcsin 1 + 2k
3
1
2. sin x = 3 ! x = con k 2 Z
:
2 arcsin 1 + 2k
3

Ejercicio 23 Resuelve tú sin 2x + 2 cos2 x 2=0

Sugerencia sin 2x = 2 sin x cos x y cos2 x = 1 sin2 x;
p
Ejercicio 24 Resuelve cos x 3 sin x = 0
p
3
Sugerencia: Determina los ángulos tales que tan x =
3

13

p
Ejercicio 25 Resuelve cos x + 3 sin x = 0
p
3
Sugerencia: Determina los ángulos tales que tan x =
3
x
Ejercicio 26 Resuelve 8 tan2 = 1 + sec x
2
x 1 cos x 1
Como tan2 = y sec x= entonces, la ecuación queda así:
2 1 + cos x cos x
8 (1 cos x) 1
= 1+
1 + cos x cos x
8 (1 cos x) 1 + cos x
=
1 + cos x cos x
8 cos x 8 cos2 x = 1 + 2 cos x + cos2 x
0 = 9 cos2 x 6 cos x + 1
2
0 = (3 cos x 1)
8
>
> 1
1 < arccos + 2k
3
cos x = !x= con k 2 Z
3 >
> 2 1
: arccos + 2k
3
Ejercicio 27 Resuelve tan 2x = tan x
2 tan x
Como tan 2x = ; entonces, la ecuación queda así:
1 tan2 x
2 tan x
= tan x
1 tan2 x
2 tan x = tan x + tan3 x
0 = tan3 x 3 tan x
Factorizando:
8
>
>
< 8 x = 0 ! p = k con k 2 Z
tan x
< tan x = 3 ! x = + k con k 2 Z
tan x(tan2 x 3) = 0 ! 3
> tan2 x = 3 !
> p 2
: : tan x = 3!x= + k con k 2 Z
3
p
2
Ejercicio 28 Resuelve sin 3x + cos 3x =
2
Transformemos en primer lugar la suma sin 3x + cos 3x como producto
Para ello; utilizaremos que:

cos 3x = sin( 3x)
2
y
C +D C D
sin C + sin D = 2 sin cos
2 2

14

Con lo que

sin 3x + cos 3x = sin 3x + sin( 3x)
2
0 1 0 1
3x + 3x 3x + 3x
sin 3x + sin( 3x) = 2 sin @ 2 A cos @ 2 A
2 2 2

Por lo tanto:
p
sin 3x + cos 3x = 2 sin cos 3x = 2 cos 3x
4 4 4
p
2
Después de todo esto, la ecuación inicial sin 3x + cos 3x = queda:
2
p
p 2
2 cos 3x =
4 2 8
> 2
<
1 + 2k
cos 3x = ! 3x = 3 con k 2 Z
4 2 4 > 4 + 2k
:
3
Si aislamos3x 8
>
<2
+
+ 2k
3x = 3 4 con k 2 Z
> 4
: + + 2k
4 3
Aislando x; tendremos la solución
8
>
< 2 2k
+ +
x = 12 9 3 con k 2 Z
> 4 2k
: + +
8 12 9 3
> 11
< 2k
36 + 3
x = con k 2 Z
> 19 + 2k
:
36 3
Las soluciones de esta ecuación entre 0 y 2 son:

11 2 4
36 ; 35
36
11
36 + ; 59
36
11
36 +
3 3
19 2 4
36 ; 43
36
19
36 + ; 67
36
19
36 +
3 3
Observación 29 Fíjate en como la resolvemos ahora
p
2
sin 3x + cos 3x =
2
Aislamos sin 3x

15

p
2
sin 3x = cos 3x
2
Elevamos al cuadrado
p !2
2 2 p 1
sin 3x = cos 3x ! sin2 3x = cos2 3x + 2 cos 3x +
2 2

Expresamos el sin2 3x en función del cos2 3x utilizando la F.F.T
p 1
1 cos2 3x = cos2 3x + 2 cos 3x +
2
Transponiendo términos;obtenemos la siguiente ecuación de segundo grado:
p 1 p
2 cos2 3x + 2 cos 3x = 0 ! 4 cos2 3x + 2 2 cos 3x 1=0
2
Resolviéndola:
p p p
1 1
p
2 2 24 4 p6 4 p2
cos 3x = = 1 1
8 4 6 4 2
p p
Si determinas los ángulos tales que su coseno vale 1 6 1 2 verás que son
5 19 5
4 4 p p
12 ; 12 2 12 y analogamente los ángulos cuyo coseno vale 4 6 1 2
1
4
son : 11 ; 13
12 12
1
+ 12 :
Perdona; pero como no lo comprobarás. Te lo voy a calcular:
5
p p
cos 12 = cos + = cos cos sin sin = 2 1 3 14 4
4 6 4 6 4p 6 p
cos 19 = cos(2
12
5
12 ) = cos 12 = 2 1 3 1
5
4 4

11 5 p 1p 1
cos = sin = sin + = sin cos cos sin = 2 3+
12 12 4 6 4 6 4 6 4 4
13
p p
cos 12 = cos 11
12 = 2 1
4 3+ 1
4

Con lo que podemos a…rmar con todo rigor; que el ángulo 3x valdrá:
8 5
> 12 + 2k
> 19
<
3x = 12 + 2k con k 2 Z
> 11 + 2k
> 12
: 13
12 + 2k

Aislando x 8
> 5 2k
>
> 36 +
>
> 3
>
> 2k
< 19
+
36 3
x= 2k con k 2 Z
>
> 11
+
>
> 36
>
> 3
>
: 13 2k
36 +
3

16

Como has elevado al cuadrado, algunas de las soluciones obtenidas no verif-
ican la ecuación.
Comprueba tú que los valores 36 ; 13 no son solución
5
36
Conclusión : las soluciones de la ecuación son
8
> 11
< 2k
36 + 3
x= con k 2 Z
> 19 + 2k
:
36 3
Ejercicio 30 Resuelve la ecuación sin 3x 2 sin x = 0

Fíjate en la siguiente transformación:

sin 3x sin x = sin x

Teniendo presente que sin(C) sin(D) = 2 cos C+D sin
2
C D
2 tendremos
sin 3x sin x = 2 cos 3x+x sin 3x2 x = 2 cos 2x sin x
2
Con lo que la ecuación nos queda así:

2 cos 2x sin x = sin x
2 cos 2x sin x sin x = 0

Sacando factor común sin x
8
>
> 1a sin x = 0 ! x = 2k
< con k 2 Z
+ 2k
sin x(2 cos 2x 1) = 0 !
> a
> 2 cos 2x = 1 ! 2x = 3 + 2k
: 2 5 con k 2 Z
3 + 2k
2k
1a sin x = 0 ! x = con k 2 Z
+ 2k
1 + 2k +k
2a cos 2x = ! 2x = 5
3 x= 5
6 con k 2 Z
2 3 + 2k 6 +k

Las soluciones de la ecuación en [0; 2 ) son:

0; ; 6 ; 56 ; 76 6 + ; 11
6
5
6 +

Observación 31 Vamos a resolver la misma ecuación; pero, expresando el
sin 3x en función del sin x

sin 3x = sin(2x + x) = sin 2x cos x + cos 2x sin x

sin 2x = 2 sin x cos x
Como entonces:
cos 2x = 1 2 sin2 x

sin 2x cos x + cos 2x sin x = 2 sin x cos2 x + (1 2 sin2 x) sin x

17

Sustiituyendo cos2 x por (1 sin2 x) F.F.T
sin 3x = 2 sin x(1 sin2 x) + (1 2 sin2 x) sin x
Operando y reduciendo términos semejantes
sin 3x = 3 sin x 4 sin3 x (a)
Resolvamos ahora la ecuación
sin 3x 2 sin x = 0
Usando la expresión (a), la ecuación se transforma en:
3 sin x 4 sin3 x 2 sin x = 0
Reduciendo términos semejantes
sin x 4 sin3 x = 0
Factorizando la ecuación:

1a sin x = 0
sin x(1 4 sin2 x) = 0 !
2 4 sin2 x 1 = 0
a

2k
1a sin x = 0 ! x = con k 2 Z
+ 2k
8
>
> sin x = 1 ! x =
< 6 + 2k
1 2 5
a 2
2 sin x = ! 6 + 2k con k 2 Z
7
4 >
> sin x = 1 ! x = 6 + 2k
: 2 11
6 + 2k

+k
Las soluciones de la 2a ecuación se pueden agrupar así x = 5
6 con
6 +k
k2Z
Las soluciones de la ecuación en [0; 2 ) son:
0; ; 6 ; 56 ; 76 ; 11 56 +
6 6 +
p p
Ejercicio 32 Resuelve la ecuación cos x + 3 sin x = 2
Divido la ecuación por 2
p p
1 3 2
cos x + sin x =
2 2 2
2 1 3
2= cos 3
Como 4 p y 5 la ecuación queda:
3
2 = sin 3
p
2
cos x cos + sin x sin =
3 3 2

18

Como cos A cos B + sin A sin B = cos(A B)
p 3
2 4 + 2k
cos(x )= !x = 5 k2Z
3 2 3 4 + 2k
Aislando x
3 13
3 + 4 + 2k 12 + 2k
x= 5 k2Z!x= 19
3 + 4 + 2k 12 + 2k

Conclusion nal : Las soluciones de la ecuacion entre 0 y 2 son :
13 19
;
12 12
Observación 33 Vamos a resolver la misma ecuación con otro procedimiento

Aislamos de la ecuación cos x
p p
cos x = 2 3 sin x

Elevamos los dos miembros de la ecuación al cuadrado
p p 2
cos2 x = 2 3 sin x
p
cos2 x = 2 + 2 6 sin x + 3 sin2 x

Sustiituyendo cos2 x por (1 sin2 x) F.F.T
p
1 sin2 x = 2 + 2 6 sin x + 3 sin2 x

Transponiendo términos, obteneemos una ecuación de segundo grado (la
incógnita es sin x) p
0 = 4 sin2 x + 2 6 sin x + 1
Resolviéndola
p p p p
2 6 2 2 1 1
4 p2 4 p6
sin x = = 1 1 (b)
8 4 2 4 6

1
p p
1
sin x = 4 p 2 4 p6
El problema se reduce a resolver las ecuaciones elementales 1 1
sin x = 4 2 4 6
Nota: Para poder conseguirlo, lee detenidamente estas notas enumeradas
que vienen a continuación (Si tienes problemas al trabajar en radianes ,considera
su equivalente en grados)
1o Vamos a calcular el sin 13 considerando que sin 13 = sin + 12 =
12 12
sin 12
p p p
2 3 21 1p 1p
sin = sin = sin cos cos sin = = 6 2
12 4 6 4 6 4 6 2 2 2 2 4 4

19

p p p p
Por lo tanto: sin 13 = sin 12 =
12
1
4 6
1
4 2 = 4 2
1 1
4 6
2o Vamos a calcular el sin 23
12
Hemos de tener presente que sin 23 = sin 12 puesto que 23 = 2
12 12 12 y
sin 2 12 = sin 12
Así pues:
23 1p 1p
sin = sin = 2 6
12 12 4 4
p p
Conclusión 1a : Los únicos ángulos entre [0; 2 ) tales que sin x = 1 2 1 6
4 4
son 13 ; 23
12 12
3o Vamos a calcular el sin 17 considerando que sin 17 = sin + 5 =
12 12 12
sin 5
12
p p p
5 1 2 3 2 1p 1p
sin = sin + = sin cos +cos sin = + = 6+ 2
12 6 4 6 4 6 4 2 2 2 2 4 4
p p p p
Por lo tanto: sin 17 = sin 5 =
12 12
1 1
4 6+ 4 2 =
1
4 2
1
4 6
4 Vamos a calcular el sin 19
o
12
Hemos de tener presente que sin 19 = sin 5 puesto que
12 12
19
12 =2 5
12 y
5
sin 2 12 = sin 512
Así pues:
19 5 1p 1p
sin = sin = 2 6
12 12 4 4
p
Conclusión 2a : Los únicos ángulos entre [0; 2 ) tales que sin x = 1 2
1
p 17 19
4
4 6 son 12 ; 12
Utilizando las dos conclusiones anteriores podemos determinar las soluciones
de la ecuaciones trigonométricas eleementales:

1
p 1
p 13
+ 2k
1. sin x = 4 2 4 6!x= 12
23 con k 2 Z (por la 1a concl. )
12 + 2k

1
p 1
p 17
+ 2k
2. sin x = 4 2 4 6!x= 12
19 con k 2 Z (por la 2a concl. )
12 + 2k

Observación importante: Al elevar al cuadrado la ecuación, puede ocurrir
que no todas las soluciones sean válidas. Comprueba tú que los ángulos 23 y
12
17
12 no veri…can la solución inicial
Conclusion nal : Las soluciones de la ecuacion entre 0 y 2 son :
13 19
;
12 12
Después de explicar todo este procedimiento, es evidente que este último
procedimiento es muy complejo. Así que: querido alumno, evítalo en la medida
de lo posible.

20

2 Sistemas de ecuaciones trigonométricas
2.1 Ejemplos de sistemas de ecuaciones trigonométricas
8 p
>
< sin(x 2
y) =
Ejemplo 34 Resuelve el sistema 2
p
>
: cos(x + y) = 2
2
De la 1a ecuación deducimos que:
8
< + 2k
x y= 4 con k 2 Z
: 3
+ 2k
4
De la 2a ecuación deducimos que:
8
> 3
< + 2k 0
x+y = 4 con k 0 2 Z
> 5 + 2k 0
:
4
Combinándolas, el sistema queda reducido a resolver los cuatro sistemas de
ecuaciones lineales siguientes:
8
< x y= + 2k
Primer sistema 4 con k y k 0 2 Z
: 3
x+y = + 2k 0
8 4
< x y= + 2k
Segundo sistema 4 con k y k 0 2 Z
: 5 0
x+y = + 2k
8 4
>
< 3
x y= + 2k
Tercer sistema 4 con k y k 0 2 Z
> 3
: x+y = + 2k 0

8 4
>
< 3
x y= + 2k
Cuarto sistema 4 con k y k 0 2 Z
> 5
: x+y = + 2k 0
4
Resolvámoslos:
8
< x y = + 2k
1. 4 con k y k 0 2 Z
: x + y = 3 + 2k 0
4
Sumando ambas ecuaciones obtenemos! 2x = + 2(k + k 0 )
Aislando x ! x = + (k + k 0 )
2
Si llamamos a k + k 0 = k 00 ! x = + k 00
2

21

Restando la segunda ecuación de la primera obtenemos
2y = + 2(k k 0 )
2
Aislando y ! y = + (k k 0 )
4
0
Si llamamos a k k 0 = k 000 ! y = + k 000
4
Las soluciones del sistema son los siguientes puntos del plano
n o
S = ( + k 00 ; + k 000 ) con k 00 y k 000 enteros
2 4
Si k 00 = 0 y k 000 = 0 ! ( ; )
2 4
00 000 5
Si k = 0 y k = 1 ! ( ; + ) = ;
2 4 2 4
3
Si k 00 = 1 y k 000 = 0 ! ( + ; ) = ;
2 4 2 4
3 5
Si k 00 = 1 y k 000 = 1 ! ( + ; + ) = ; etc, etc....
2 4 2 4
Estos son los puntos del plano; cuyos valores de x e y están comprendidos
entre 0 y 2
8
< x y = + 2k
2. 4 con k y k 0 2 Z
: x + y = 5 + 2k 0
4
3
2
3
4
3
Si denominamos al entero k + k 0 como el entero k 00 ! x = + k 00
4
2y = + 2(k k 0 )
2
0
Si llamamos a k k 0 = k 000 ! y = + k 000
2
3
S= ( + k 00 ; + k 000 ) con k 00 y k 000 enteros
4 2
3
Si k 00 = 0 y k 000 = 0 ! ( ; )
4 2
00 000 3 3 3
Si k = 0 y k = 1 ! ( ; + ) = ;
4 2 4 2
3 7
Si k 00 = 1 y k 000 = 0 ! ( + ; )= ;
4 2 4 2
3 7 3
Si k 00 = 1 y k 000 = 1 ! ( + ; + )= ; etc, etc....
4 2 4 2
entre 0 y 2

22

8
>
< x 3
y= + 2k
3. 4 con k y k 0 2 Z
> x + y = 3 + 2k 0
:
4
3
2
3
4
3
4
2y = 0 + 2(k k 0 )
Aislando y ! y = (k k 0 )
0
Si llamamos a k k 0 = k 000 ! y = k 000
3
S= ( + k 00 ; k 000 ) con k 00 y k 000 enteros
4
3
Si k 00 = 0 y k 000 = 0 ! ( ; 0)
4
00 000 3 3
Si k = 0 y k = 1 ! ( ; ) = ;
4 4
3 7
Si k 00 = 1 y k 000 = 0 ! ( + ; 0) = ;0
4 4
3 7
Si k 00 = 1 y k 000 = 1 ! ( + ; )= ; etc, etc....
4 4
entre 0 y 2
8
< x y = 3 + 2k
>
4. 4 con k y k 0 2 Z
> 5
: x+y = + 2k 0
4
Sumando ambas ecuaciones obtenemos! 2x = 2 + 2(k + k 0 )
2
2
2y = + 2(k k 0 )
2
4 0
Si llamamos a k k 0 = k 000 ! y = k 000
n o
S = ( + k 00 ; + k 000 ) con k 00 y k 000 enteros
2 4
Si k 00 = 0 y k 000 = 0 ! ( ; )
2 4
00 000 5
Si k = 0 y k = 1 ! ( ; + ) = ;
2 4 2 4

23

3
Si k 00 = 1 y k 000 = 0 ! ( + ; ; )=
2 4
2 4
3 5
Si k 00 = 1 y k 000 = 1 ! ( + ; + ) = ; etc, etc....
2 4 2 4
entre 0 y 2
8 p
>
< sin x cos y = 3
Ejemplo 35 Resuelve el sistema p4
>
: cos x sin y = 3
4
Sumando ambas ecuaciones tendremos:

sin x cos y + cos x sin y = 0

Como sin(A + B)=sin A cos B + cos A sin B la ecuación anterior queda re-
ducida a:
sin(x + y) = 0
Lo que nos permite a…rmar que

2k
x+y = con k 2 Z (1)
+ 2k

Restando ambas ecuaciones tendremos:
p
3
sin x cos y cos x sin y =
2
Como sin(A B)=sin A cos Bcos A sin B la ecuación anterior queda re-
ducida a: p
3
sin(x y) =
2
Lo que nos permite a…rmar que
8
> 4
< + 2k 0
x y= 3 con k 0 2 Z (2)
> 5 + 2k 0
:
3
De las relaciones (1) y (2) anteriores; podemos concluir que el sistema inicial

24

es equivalente a resolver los cuatro sistemas de ecuaciones lineales siguientes:
(
x + y = 2k
Primer sistema 4 con k y k 0 2 Z
x y= + 2k 0
3
(
x + y = 2k
Segundo sistema 5 con k y k 0 2 Z
x y= + 2k 0
3
(
x + y = + 2k
Tercer sistema 4 con k y k 0 2 Z
x y= + 2k 0
3
(
x + y = + 2k
Cuarto sistema 5 con k y k 0 2 Z
x y= + 2k 0
3
Resolvámoslos:
(
x + y = 2k
1. 4 con k y k 0 2 Z
x y= + 2k 0
3
4
3
2
3
2
3
Restando la primera ecuación de la segunda obtenemos
4
2y = + 2(k k 0 )
3
2
3
2 4
Como = 2 entonces:
3 3
4 4
y= 2 + (k k 0 ) = + (k k 0 2)
3 3
11 0
Si llamamos a k k 0 2 = k 000 ! y = + k 000
6
2 4
3 3
2 4
Si k 00 = 0 y k 000 = 0 ! ( ; )
3 3
2 4 2
Si k 00 = 0 y k 000 = 1 ! ( ; )= ;
3 3 3 3
2 4 5 4
Si k 00 = 1 y k 000 = 0 ! ( + ; )= ;
3 3 3 3
2 4 5
Si k 00 = 1 y k 000 = 1 ! ( + ; )= ; etc, etc....
3 3 3 3
entre 0 y 2

25

(
x + y = 2k
2. 5 con k y k 0 2 Z
x y= + 2k 0
3
5
3
5
6
5
Si denominamos al entero k + k 0 como el entero k 00 ! x = + k 00
6
5
2y = + 2(k k 0 )
3
5
6
5 7
Como = 2 entonces:
6 6
7 7
y= 2 + (k k 0 ) = + (k k 0 2)
6 6
7 0
6
5 7
6 6
5 7
Si k 00 = 0 y k 000 = 0 ! ( ; )
6 6
5 7 5
Si k 00 = 0 y k 000 = 1 ! ( ; )= ;
6 6 6 6
5 7 11 7
Si k 00 = 1 y k 000 = 0 ! ( + ; )= ;
6 6 6 6
00 000 5 7 11
Si k = 1 y k = 1 ! ( + ; )= ; etc, etc....
6 6 6 6
entre 0 y 2
(
x + y = + 2k
3. 4 con k y k 0 2 Zcon k y k 0 2 Z
x y= + 2k 0
3
7
3
7
6
7
6
2y = + 2(k k 0 )
3
6
11
Como = 2
6 6

26

11 11
entonces; y = 2 + (k k0 ) = + (k k0 2)
6 6
11 0
6
7 11
6 6
7 11
Si k 00 = 0 y k 000 = 0 ! ( ; )
6 6
7 11 7 5
Si k 00 = 0 y k 000 = 1 ! ( ; )=( ; )
6 6 6 6
7 11 11
Si k 00 = 1 y k 000 = 0 ! ( ; )= ;
6 6 6 6
7 11 5
Si k 00 = 1 y k 000 = 1 ! ( ; )= ; etc, etc....
6 6 6 6
Estos son los puntos del plano; cuyos valores de x e y están comprendidos entre
0y2
(
x + y = + 2k
4 5 con k y k 0 2 Zcon k y k 0 2 Z
x y= + 2k 0
3
8
3
4
3
4
3
2
2y = + 2(k k 0 )
3
3
5
Como = 2
3 3
5 5
entonces; y = 2 + (k k 0 ) = + (k k 0 2)
3 3 0
Si llamamos a k k 0 2 = k 000 ! y = k 000
4 5
3 3
4 5
Si k 00 = 0 y k 000 = 0 ! ( ; )
3 3
4 5 4 2
Si k 00 = 0 y k 000 = 1 ! ( ; )= ;
3 3 3 3
4 5
Si k 00 = 1 y k 000 = 0 ! ( ; )= ;
3 3 3 6
4 5 2
Si k 00 = 1 y k 000 = 1 ! ( ; )= ; etc, etc....
3 3 3 3

27

entre 0 y 2

2.2 Ejercicios sistemas de ecs. trigonométricas
( p
3+1
sin x + sin y = 2
Ejercicio 36 Resuelve el sistema ,
x+y =
2
De la 2a ecuación aislamos x

x= y
2
Y sustituimos dicha expresión en la 1a ecuación:
p
3+1
sin y + sin y = (3)
2 2
C +D C D
Nota a) : Como sin C + sin D = 2 sin cos ; entonces
2 2
podemos transformar la expresión que hay a la izquierda de la igualdad de la
siguiente manera:
0 1 0 1
y+y y y
sin y + sin y = 2 sin @ 2 A cos @ 2 A=
2 2 2
p
= 2 sin cos y = 2 cos( y)
4 4 4
Quedando la ecuación (3) así:
p
p 3+1
2 cos( y) =
4 2

Aislando cos( y)
4
p p p p p
3+1 3+1 2 6+ 2
cos( y) = p = p p =
4 2 2 2 2 2 4

Nota b) Como cos A = cos ( A) la ecuación anterior se transforma en:
p p
6+ 2
cos(y )= (4)
4 4
p p
6+ 2 _
Nota c) El ángulo agudo cuyo coseno vale es (15o ) .1
4 12
p p
1 cos 2+ 6
= cos = cos cos + sin sin =
12 3 4 3 4 3 4 4

28

Por la nota anterior; la solución de la ecuación (4) es:
8 8
< + 2k < + 2k
y = 12 con k 2 Z ! y = 3
4 : 23 : 13
+ 2k + 2k
12 6
13 13
Como = +2 ! + 2k = + 2 + 2k = + 2 (k + 1) .
6 6 6 6 6
Entonces, las soluciones de la incógnita y se pueden expresar :
8
< + 2k
y= 3 con k 2 Z
: + 2(k + 1)
6
Obtenidos todos los valores de la incógnita "y" , vamos a calcular los corre-
spondientes valores de la incógnita "x": (recuerda que x = y)
2
2 3
Si y = + 2k ! x = 2k = 2k con k 2 Z
4 3 2 3 6 5
Si y = + 2 (k + 1) ! x = 2 (k + 1) = 2 (k + 1) con k 2 Z
6 2 6 3
El conjunto solución del sistema es:
n o n o
S= 2k ; + 2k con k 2 Z [ 2 (k + 1) ; + 2 (k + 1) con k 2 Z
6 3 3 6
( p
sin x + cos y = 3
Ejercicio 37 Resuelve el sistema
x y=
2
De la 2a ecuación aislamos x

x= +y
2
Y sustituimos dicha expresión en la 1a ecuación:
p
sin + y + cos y = 3 (5)
2

Nota a) : Como sin + y = sin cos y + cos sin y = 2 cos y ;
2 2 2
entonces, podemos transformar la expresión que hay a la izquierda de la igualdad
de la siguiente manera:

sin + y + sin y = 2 cos y
2
Quedando la ecuación (5) así:
p
p 3
2 cos y = 3 ! cos y =
2
2 sin = 1 y cos =0
2 2

29

Los valores de y que se obtienen son

6 + 2k
y= 11 con k 2 Z
6 + 2k

Obtenidos todos los valores de la incógnita "y" , vamos a calcular los cor-
respondientes valores de la incógnita "x":(recuerda que x = + y)
2
2 3
2
6 Si y = + 2k ! x = + + 2k = + 2k con k 2 Z 7
4 6 2 6 3 5
11 11 7
Si y = + 2k ! x = + + 2k = + 2k = + 2 (k + 1) con k 2 Z
6 2 6 3 3
El conjunto solución del sistema es:
2 11
S= + 2k ; + 2k con k 2 Z [ + 2 (k + 1) ; + 2k con k 2 Z
3 6 3 6
(
x y=
Ejercicio 38 Resuelve el sistema 3 p
sin x + sin y = 3
(
x y=
Ejercicio 39 Resuelve el sistema 2
sin x = sin y
( 2
x y=
Ejercicio 40 Resuelve el sistema 3 1
cos x + cos y = 2
( 1
sin x + sin y =
Ejercicio 41 Resuelve el sistema 2
3
sin x sin y = 2

Sumando y restando ambas ecuaciones obtenemos:
(
2 sin x = 2 sin x = 1
! 1
2 sin y = 1 sin y =
2
Los ángulos que veri…can cada una de las ecuaciones anteriores son:
8
< x = 2 + 2k
5
: y= 6 + 2k con k 2 Z
11
6 + 2k

La solución del sistema es el conjunto:
5 11
S= + 2k ; + 2k con k 2 Z [ + 2k ; + 2k con k 2 Z
2 6 2 6
Resuelve tú, los 2 sistemas siguientes

30

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