Formulación variacional Poisson bidimensional

Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o

´ ´
FORMULACION DEBIL Y DE GALERKIN DE LA
´
ECUACION DE POISSON BIDIMENSIONAL.

EIDER YESID PERDOMO
UNIVERSIDAD DEL CAUCA
´
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES EXACTAS Y DE LA EDUCACION
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

o

Formulaciń variacional y de Galerkin de la ecuaciń de
o o
Poisson

1 Condiciones frontera Dirichlet.
2 Formulaciń de Galerkin.
o

o

Condiciones de frontera Dirichlet
Inicialmente consideremos el siguiente problema con valor en la
frontera (pvf):
−∆u = f en Ω,
u = 0 en ∂Ω,
donde Ω es un conjunto abierto acotado del espacio R2 y la
funci´n f ∈ L2 (Ω).
o

o

La formulaciń variacional para estudiar (pvf) de deduce da la
o
siguiente forma.
Paso 1. Obtenciń de la formulaciń variacional.
o o
Haciendo uso de la primera identidad de Green se deduce
∂u
−(∆u)v = u · v dxdy − v ds
Ω Ω ∂Ω ∂ν

= u· v dxdy
Ω
∞
= fv dxdy ∀v ∈ C0 (Ω)
Ω

o

o
siguiente forma.
o o
∂u

= u· v dxdy
Ω
∞
Ω

1 ∞
Dado v ∈ H0 (Ω) existe φm ∈ C0 (Ω) tal que
φm → v en H 1 (Ω).

o

o
siguiente forma.
o o
∂u

= u· v dxdy
Ω
∞
Ω

1 ∞
Dado v ∈ H0 (Ω) existe φm ∈ C0 (Ω) tal que
φm → v en H 1 (Ω).

As´ a partir de la igualdad anterior, cuando m → ∞ se deduce
ı,

( u· φm )dxdy → ( u· v )dxdy
Ω Ω

o

y
f φm dxdy → fvdxdy .
Ω Ω

o

y
f φm dxdy → fvdxdy .
Ω Ω

De las anteriores dos convergencias la formulaci´n variacional
o
para (pvf) queda determinada de la siguiente forma:
1
Encontrar u ∈ H0 (Ω) tal que
1
(fvd) ( u· v ) dxdy = fv dxdy ∀u, v ∈ H0 (Ω).
Ω Ω
B(u,v ) L(v )

o

Paso 2. Existencia y unicidad de la formulaci´n variacional.
o
Haciendo uso del teorema de Lax-Milgram:
Sea B : H × H → R una forma bilineal acotada y el´
ıptica.
Para todo f ∈ H , existe un unico u ∈ H tal que
´

B(u, v ) = f (v ) ∀v ∈ H.

Adem´s,
a
1
u ≤ f H
α
donde α > 0 es la constante de elipticidad de B.

o

B es acotada.

|B(u, v )| = ( u· v )dxdy
Ω

≤ | u· v | dxdy
Ω
∂u ∂v ∂u ∂v
= + dxdy
Ω ∂x ∂x ∂y ∂y
∂u ∂v ∂u ∂v
≤ + dxdy
Ω ∂x ∂x Ω ∂y ∂y
∂u ∂v ∂u ∂v
≤ +
∂x L2 (Ω) ∂x L2 (Ω) ∂y L2 (Ω) ∂y L2 (Ω)
≤ u H 1 (Ω) v H 1 (Ω) .

o

Para probar la elipticidad de B es necesario el uso de la
1
desigualdad de poincar´ para funciones de H0 (Ω).
e

o

1
e

Lema (Desigualdad de poincar´ para funciones suaves)
e

Sea Ω un subconjunto abierto de R2 , acotado. Entonces, existe
una constante C > 0 tal que para toda funci´n v ∈ C 1 (Ω) que
o
satisface v = 0 en ∂Ω se tiene,

|v |2 dxdy ≤ C | v |2 dxdy
Ω Ω

o

1
e

e

o

Ω Ω

Demostraci´n (esquema)
o
Tomamos v ∈ C 1 (Ω) y denotamos por v la extensi´n por cero
˜ o
de v a todo R 2.

o

1
e

e

o

Ω Ω

o
Tomamos v ∈ C 1 (Ω) y denotamos por v la extensi´n por cero
˜ o
de v a todo R 2.

Veriﬁcamos que v es continua en ∂Ω. Sea ε > 0 cualquiera.
˜
Dado que v ∈ C 1 (Ω) y v (x0 , y0 ) = 0, entonces existe δ > 0
tal que

o

contin´a demostraci´n
u o

(x, y ) ∈ Ω ∧ (x, y ) − (x0 , y0 ) < δ ⇒ v (x, y )
⇒ v (x, y )
˜
< ε.

o

u o

(x, y ) ∈ Ω ∧ (x, y ) − (x0 , y0 ) < δ ⇒ v (x, y )
⇒ v (x, y )
˜
< ε.

Se deduce adem´s que
a

(x, y ) ∈ R2 Ω ∧ (x, y ) − (x0 , y0 ) < δ ⇒ v (x, y ) = 0
˜
⇒ v (x, y ) < ε
˜

o

u o

(x, y ) ∈ Ω ∧ (x, y ) − (x0 , y0 ) < δ ⇒ v (x, y )
⇒ v (x, y )
˜
< ε.

Se deduce adem´s que
a

(x, y ) ∈ R2 Ω ∧ (x, y ) − (x0 , y0 ) < δ ⇒ v (x, y ) = 0
˜
⇒ v (x, y ) < ε
˜

Tomamos z = (x1 , y1 ) ∈ Ω. As´ por ser v continua
ı, ˜
x1
∂v
v (z) = v (z) =
˜ (t, y1 )dt.
a ∂x

o

u o
Haciendo uso de la desigualdad de Cauchy-Schwarz se obtiene
x1 x1 2
2 ∂v
|v (z)| ≤ dt (t, y1 ) dt
a a ∂x
x 2
∂v
= (x1 − a) (t, y1 ) dt
a ∂x
b 2
∂v
≤ (b − a) (t, y1 ) dt.
a ∂x

o

u o
Haciendo uso de la desigualdad de Cauchy-Schwarz se obtiene
x1 x1 2
2 ∂v
|v (z)| ≤ dt (t, y1 ) dt
a a ∂x
x 2
∂v
= (x1 − a) (t, y1 ) dt
a ∂x
b 2
∂v
≤ (b − a) (t, y1 ) dt.
a ∂x

Se integra sobre Ω en ambos lados de la desigualdad anterior
y se obtiene
b 2
∂v
|v (z)|2 dz ≤ (b − a) (t, y1 ) dtdz.
Ω Ω a ∂x

o

u o
Haciendo uso del teorema de Fubini se deduce
b 2
∂v
|v (z)|2 dz ≤ (b − a) (t, y1 ) dz dt
Ω a Ω ∂x
∂v
= (b − a)2 | (z)|2 dz
Ω ∂x

≤ (b − a)2 | v (z)|2 dz .
Ω

o

u o
Haciendo uso del teorema de Fubini se deduce
b 2
∂v
|v (z)|2 dz ≤ (b − a) (t, y1 ) dz dt
Ω a Ω ∂x
∂v
= (b − a)2 | (z)|2 dz
Ω ∂x

≤ (b − a)2 | v (z)|2 dz .
Ω

Por lo tanto se deduce que

|v (z)|2 dz ≤ C | v (z)|2 dz,
Ω Ω

donde C = (b − a)2 y as´ concluye la demostraci´n.
ı o

o

Proposici´n (Desigualdad de Poincar´)
o e

Sea Ω un conjunto abierto de R2 acotado. Entonces, existe una
1
constante C > 0 tal que para toda funci´n v ∈ H0 (Ω)
o
2 2
∂v ∂v
|v |2 dxdy ≤ C dxdy + dxdy .
Ω Ω ∂x Ω ∂y

o

Proposiciń (Desigualdad de Poincar´)
o e

Sea Ω un conjunto abierto de R2 acotado. Entonces, existe una
1
constante C > 0 tal que para toda funciń v ∈ H0 (Ω)
o
2 2
∂v ∂v
|v |2 dxdy ≤ C dxdy + dxdy .
Ω Ω ∂x Ω ∂y

Observaciń o
A partir de la desigualdad de Poincar´ se deduce que la norma
e
1
· H 1 (Ω) y la seminorma · L2 (Ω)2 son equivalentes en H0 (Ω). Es
decir
u L2 (Ω)2 ≤ u H 1 (Ω) ≤ C 2 + 1 u L2 (Ω)2 ,

o

B es el´
ıptica. Haciendo uso de la desigualdad de Poincar´,
e
1
para todo v ∈ H0 (Ω) se tiene que

B(u, u) = ( u· u)dxdy = u L2 (Ω)2
Ω
1 2
≥ u H 1 (Ω)
C2 +1

o

B es el´
ıptica. Haciendo uso de la desigualdad de Poincar´,
e
1
para todo v ∈ H0 (Ω) se tiene que

B(u, u) = ( u· u)dxdy = u L2 (Ω)2
Ω
1 2
≥ u H 1 (Ω)
C2 +1

L es acotado.

|L(v )| = fvdxdy ≤ |fv | dxdy
Ω Ω
≤ f L2 (Ω) v L2 (Ω) .

o

Paso 3. Equivalencia de ecuaciones. Supongamos que
u ∈ H 2 (Ω).
1
Para todo v ∈ H0 (Ω) y aplicando la primera identidad de
Green en (fvd) se deduce

− v ∆udxdy = fvdxdy .
Ω Ω

o

u ∈ H 2 (Ω).
1

Ω Ω

De lo anterior se obtiene

(f + ∆u)vdxdy = 0 ∀v ∈ C ∞ (Ω),
Ω

lo cual implica

−∆u = f c.t.p en Ω.

o

u ∈ H 2 (Ω).
1

Ω Ω

De lo anterior se obtiene

(f + ∆u)vdxdy = 0 ∀v ∈ C ∞ (Ω),
Ω

lo cual implica

1
Adem´s, puesto que u ∈ H0 (Ω) se tiene que u = 0 en ∂Ω.
a

o

Se presenta a continuaciń el Teorema cuya demostraciń se
o o
obtiene teniendo en cuenta los tres pasos anteriores.
Teorema
Sean Ω un conjunto abierto acotado de R2 y f ∈ L2 (Ω). Existe una
´ o 1
unica soluciń u ∈ H0 (Ω) que satisface la formulaciń variacional
o

1
( u· v )dxdy = fvdxdy ∀v ∈ H0 (Ω).
Ω Ω

Adem´s, u satisface
a


Ahora, si asumimos que Ω es de clase C 1 , entonces u es soluciń
o
del problema de valor en la frontera

−∆u = f en Ω,
u = 0 en ∂Ω.

o

Formulaciń de Galerkin
o
Sea Hm ⊆ H un subespacio de dimensiń finita m.
o
Consideramos el problema variacional de encontrar u ∈ H tal
que
B(u, v ) = L(v ) ∀v ∈ H.

o

o
o
que
B(u, v ) = L(v ) ∀v ∈ H.

El esquema de Galerkin de la formulaci´n variacional anterior
o
queda determinado como: Encontrar um ∈ Hm tal que

B(um , vm ) = L(vm ) ∀vm ∈ Hm (fvg )

o

o
o
que
B(u, v ) = L(v ) ∀v ∈ H.

El esquema de Galerkin de la formulaci´n variacional anterior
o
queda determinado como: Encontrar um ∈ Hm tal que

B(um , vm ) = L(vm ) ∀vm ∈ Hm (fvg )

La soluci´n de (fvg) se calcula resolviendo un sistema
o
matricial como se demuestra en el siguiente lema.

o

Lema
Sea H un espacio de Hilbert y Hm ⊆ H un subespacio de
dimensiń finita. Adem´s, sea B una forma bilineal acotada el´
o a ıptica
sobre H y L un operador lineal acotado sobre H. Entonces, el
esquema de Galerkin (fvg) tiene soluciń unica. Adem´s, esta
o ´ a
soluciń puede obtenerse resolviendo un sistema lineal con una
o
matriz definida positiva.

o

Lema
Sea H un espacio de Hilbert y Hm ⊆ H un subespacio de
dimensiń finita. Adem´s, sea B una forma bilineal acotada el´
o a ıptica
sobre H y L un operador lineal acotado sobre H. Entonces, el
esquema de Galerkin (fvg) tiene soluciń unica. Adem´s, esta
o ´ a
soluciń puede obtenerse resolviendo un sistema lineal con una
o
matriz definida positiva.

o
Sea {e1 , ..., em } una base de Hm . El problema (fvg) se reduce
a encontrar α1 , ..., αm ∈ R tales que
 
m m
B αj ej , vm  = αj B(ej , vm ) = L(vm ) (∗)
j=1 j=1

∀vm ∈ Hm .

o

u o
En particular para ei donde i ∈ {1, .., m}, el problema queda
determinado como: Hallar α1 , ..., αm ∈ R tales que
m
αj B(ej , ei ) = L(ei ) ∀i ∈ {1, .., m} .
j=1

Se deﬁne la matriz A = (aij )m×m y los vectores α = (αj )m×1 ,
L = (lj )m×1 , donde

aij = B(ej , ei ) y lj = L(ej ).

As´ la formulaci´n variacional (∗) se puede escribir como:
ı, o
Hallar α ∈ Rn tal que:

Aα = L (∗∗).

o

Se prueba que la matriz A es deﬁnida positiva, lo cual es
posible gracias a la elipticidad de la forma bilineal B(u, v ). En
efecto,
  
a11 a12 . . . . . . a1m α1
 a21 a22 . . . . . .   α2
a2m   
α Aα = (α1 , α2 , ..., αm )  .
 
. .
. .
.  .
 .

 . . . . 
am1 am2 . . . . . . amm αm
  2
m m m
=B αj ej , αj ej  ≥ ν αj ej ≥ 0.
j=1 j=1 j=1

o

Se prueba que la matriz A es deﬁnida positiva, lo cual es
posible gracias a la elipticidad de la forma bilineal B(u, v ). En
efecto,
  
a11 a12 . . . . . . a1m α1
 a21 a22 . . . . . .   α2
a2m   
α Aα = (α1 , α2 , ..., αm )  .
 
. .
. .
.  .
 .

 . . . . 
am1 am2 . . . . . . amm αm
  2
m m m
=B αj ej , αj ej  ≥ ν αj ej ≥ 0.
j=1 j=1 j=1

Se prueba que si α Aα = 0 entonces α = 0, con lo cual se
garantiza la soluci´n unica de (∗∗).
o ´

o

Lema (Lema de Cea)

Sean H un espacio de Hilbert y {Hm }m∈Z+ una familia numerable
de subespacios de dimensiń finita de H. Adem´s, sea L : H → R
o a
un operador lineal acotado y B : H × H → R una forma bilineal
acotada el´
ıptica, es decir existen M > 0, ν > 0 tales que

|B(v , w )| ≤ M v w ∀v , w ∈ H

y
2
B(u, u) ≥ ν u ∀u ∈ H.
Si u es la soluciń de (16) y um la soluciń de (16). Entonces,
o o

M
u − um ≤ inf u − vm . (1)
ν vm ∈Hm

o

o
Sea Hm ⊆ H. De las formulaciones variacionales (16) y (16)
se tiene:

B(u, vm ) = L(vm ) , B(um , vm ) = L(vm ) ∀vm ∈ Hm .

De lo anterior se deduce que

B(u − um , vm ) = B(u, vm ) − B(um , vm ) = L(vm ) − L(vm )
= 0 ∀vm ∈ Hm .

En particular,

B(u − um , vm − um ) = 0 ∀vm ∈ Hm .

o

u o
Haciendo uso de la elipticidad de B se obtiene
2
ν u − um ≤ B(u − um , u − vm ) ∀vm ∈ Hm .

o

u o
2

De lo anterior y puesto que B es acotada se deduce
2
ν u − um ≤ M u − um u − vm .

As´ suponiendo que u − um = 0 se tiene que
ı,

M
u − um ≤ u − vm ∀vm ∈ Hm .
ν

o

u o
2

De lo anterior y puesto que B es acotada se deduce
2
ν u − um ≤ M u − um u − vm .

As´ suponiendo que u − um = 0 se tiene que
ı,

M
u − um ≤ u − vm ∀vm ∈ Hm .
ν

ınﬁmo respecto vm ∈ Hm en la desigualdad
Se toma el ´
anterior.

o

Lema
Asumiendo que existe un subespacio Q ⊂ H denso en H, adem´s a
de un operador Im : H → Hm (llamado operador interpolaciń) tal
o
que
ım v − Im (v ) = 0 ∀v ∈ Q.
l´ (2)
m→∞

Entonces, la soluciń um del esquema de Galerkin (16) converge a
o
la soluciń u de la formulaciń variacional (16), es decir,
o o

ım u − um = 0.
l´
m→∞

o

Lema
o
que
ım v − Im (v ) = 0 ∀v ∈ Q.
l´ (2)
m→∞

o
o o

ım u − um = 0.
l´
m→∞

Demostraciń (Esquema)
o
Tomamos u ∈ H la soluciń de la formulaciń variacional (16)
o o
y ε > 0. Adem´s, sean ν, M > 0 tales que (1) se verifica.
a

o

Lema
o
que
ım v − Im (v ) = 0 ∀v ∈ Q.
l´ (2)
m→∞

o
o o

ım u − um = 0.
l´
m→∞

Demostraciń (Esquema)
o
Tomamos u ∈ H la soluciń de la formulaciń variacional (16)
o o
y ε > 0. Adem´s, sean ν, M > 0 tales que (1) se verifica.
a
Argumentando por densidad de Q en H se garantiza la
existencia de v ∈ Q tal que

o

u o
ν
u−v < ε. (3)
2M

De (2) existe N > 0 tal que m ≥ N implica
ν
v − Im (v ) < ε. (4)
2M

o

u o
ν
u−v < ε. (3)
2M

De (2) existe N > 0 tal que m ≥ N implica
ν
v − Im (v ) < ε. (4)
2M

As´ del lema de C´a y de (3), (4) se tiene que para m ≥ N se
ı, e
cumple
M
u − um ≤ inf u − v
ν v ∈Hm
M
≤ u − Im (v ) ∀v ∈ Q
ν
M
≤ [ u − v + v − Im (v ) ] < ε.
ν

o

BIBLIOGRAF´
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