El documento trata sobre polinomios, ecuaciones lineales y ecuaciones cuadráticas. Explica que los polinomios son expresiones algebraicas formadas por variables y constantes unidas mediante sumas, restas y multiplicaciones. También define ecuaciones lineales como aquellas que involucran sumas y restas de una variable a la primera potencia, mientras que las ecuaciones cuadráticas tienen la variable elevada a la segunda potencia. Finalmente, detalla los pasos para resolver ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula general o factorizando.
2. POLINOMIOS
• Las expresiones algebraicas que se forman a partir de la unión de dos o más variables y constantes,
vinculadas a través de operaciones de multiplicación, resta o suma, reciben el nombre de polinomios. El
adjetivo polinómico, por su parte, se aplica a la cantidad o las operaciones que se pueden expresar como
polinomios.
• Polinomio
• Gracias a los polinomios, es posible desarrollar diferentes cálculos y acercarse a una función derivable.
Numerosas ciencias utilizan los polinomios en sus estudios e investigaciones, desde la química y la física
hasta la economía.
• Para realizar la suma o la resta de polinomios, es necesario agrupar los diferentes monomios y simplificar
los que resulten semejantes. La multiplicación, por su parte, se desarrolla multiplicando los términos de un
polinomio por los términos del otro, simplificando finalmente los monomios que sean semejantes.
• Es importante resaltar que los polinomios no son infinitos, es decir, no pueden estar formados por una
cantidad infinita de términos. Por otra parte, la división es una operación que nunca forma parte de los
polinomios.
• Una propiedad de los polinomios es que, al sumarlos, restarlos o multiplicarlos, el resultado siempre será
otro polinomio. Cuando el polinomio cuenta con dos términos, se lo denomina binomio. Si tiene tres
términos, por otra parte, recibe el nombre de trinomio.
• Otro concepto relevante al trabajar con polinomios es la noción de grado. El grado del monomio es el
exponente mayor de su variable: el grado del polinomio, por lo tanto, será el grado de su monomio que
tenga el valor más alto.
4. ECUACIONES LINEALES
• El concepto que nos ocupará a continuación está vinculado al ámbito de las
matemáticas, en tanto, para esta ciencia, una ecuación es aquella igualdad en la
cual aparece como mínimo una incógnita, dado que pueden ser más, que deberá ser
revelada para arribar a su resolución.
• Ahora bien, la ecuación dispone de elementos como ser: los miembros, que son
cada una de las expresiones algebraicas, o sea los valores conocidos, y por otra
parte las incógnitas, que son justamente aquellos valores a descubrir. A través de
diferentes operaciones matemáticas podremos conocer los datos desconocidos.
• Los valores conocidos que se enuncian en una ecuación pueden consistir en
números, variables, constantes o coeficientes, mientras que los valores
desconocidos o incógnitas serán simbolizados a partir de letras que hacen las veces
del valor que más tarde se conocerá.
• Con un ejemplo lo veremos más claro: 10 + x = 20. En esta ecuación simple los
números 10 y 20 son los valores que conocemos y la x el que desconocemos y
tenemos que averiguar. La resolución sería de esta manera: x = 20 – 10, entonces x
= 10. La incógnita de la ecuación será 10.
• Existen diversos tipos de ecuaciones, en las ecuaciones algebraicas se ubica el tipo
de nos ocupa, que es el de Ecuación de Primer Grado o Ecuación Lineal. Se trata de
un tipo de ecuación que solamente involucrará sumas y restas de una variable a la
primera potencia.
• Una de las formas más sencillas de este tipo de ecuación es: y = mx + n (en el
sistema cartesiano se representan con rectas), entonces m será la pendiente y n el
punto en el cual la recta corta al eje y… 4 x + 3 y = 7.
6. ECUACIONES CUADRATICAS• Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es aquella en la cual el mayor exponente de la incógnita (en este caso x) es dos.
• La forma general de la ecuación cuadrática es:
• ax2+ bx + c = 0
• Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo
sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general
para hallar las soluciones.
• 2. Ecuaciones Cuadráticas Completas e Incompletas.
• 1."Completas":
• Una ecuación cuadrática se denomina completa si sus coeficientes son no nulos.
• •Completa General
• Es general porque es mas de 1 osea como ejemplo: aX2=2X2 o 5X2 u otros que sean mayor a 1...
• ax²+bx+c=0
• ejemplo: 3x²+5x+7
• •Completa Particular
• Una ecuación de segundo grado es completa particular si el coeficiente a es igual a 1 (a=1) ejemplo: x² + 3x + 1 = 0
• 2. "Incompletas"
• Una ecuación cuadrática se llama incompleta si carece del termino de primer grado, termino libre o ambos.
• •Incompleta Binomial
• Si el término libre es cero (aX"2" es al cuadrado) aX2 +bX +c=0 ------> C=0
• ejemplo: 4X2 -5x=0
• Incompleta Pura
• ¿Si el coeficiente de x es cero. por ejemplo ax2(el 2 significa al cuadrado)entonces: ax2+c = 0?
• bx=0
• ejemplo: 5x2-1=0
• 3. Formas de las Ecuaciones Cuadráticas
• Todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones (una a veces, que se repite con la otra). Para la resolución de
ecuaciones de segundo grado tenemos que distinguir entre tres tipos distintos de ecuaciones:
• •Ecuaciones de la forma ax² + c = 0
• Este tipo de ecuaciones son las más sencillas de resolver, ya que se resuelven igual que las de primer grado. Tengamos por ejemplo:
• x² - 16 = 0
• Pasamos -16 al segundo miembro:
• x² = 16
• Ahora pasamos el exponente al segundo miembro, haciendo la operación opuesta; en este caso, raíz cuadrada:
• x = "+,-" la raiz cuadrada de 16
• x1 = 4
• x2 = -4
7. • Y la ecuación ya estará terminada
• •Ecuaciones de la forma ax² + bx = 0
• Tengamos:
• x² + 9x = 0
• En este tipo de ecuaciones, lo primero que hacemos es declarar x como factor común de ambas expresiones:
• x ( 3x + 9) = 0
• Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0; por lo tanto, uno de los factores tiene que ser igual a 0. Así que,
o el primer factor (x) es igual a cero (ésta es la primera solución), o:
• 3x + 9 = 0
• 3x = -9
• x= -9 /3 = -3
• Por lo tanto, las dos soluciones válidas para esta ecuación son 0 y -3.
• x1 = 0
• x2 =-3
• Ecuaciones de la forma ax² + bx + c = 0
• Si tenemos la ecuación cuadrática:
• x² + 5x + 6 = 0
• Para resolver ecuaciones cuadráticas utilizamos la fórmula general:
• x = -b "+,-" Raiz cuadrada de b² -4ac Sobre 2a "Con esta formula se puede resolver cualquier ecuacción llase completa o
incompleta.
• Si sustituimos las letras por los números, siendo:
• a = coeficiente de la incógnita elevada al cuadrado con su signo.
• b = coeficiente de la incógnita elevada a uno.
• c = coeficiente de la incógnita elevada a cero (el número libre).
• x = -5 "+,-" raiz cuadrada de 25-24 sobre 2 = -5"+,-"1 sobre 2
• A partir de esta fórmula obtenemos las soluciones de esta ecuación, que son: -2 y -3
• Si el resultado obtenido dentro de la raíz es un número negativo, las soluciones son números imaginarios.
• Método II
• También podemos resolver ecuaciones cuadráticas del siguiente modo:
• Si hallamos dos números que sumados resultan igual a b, y multiplicados son igual a c, la expresión:
8. • siendo m y n los dos valores (o raíces) de la expresión.
• En el ejemplo anterior, m = -2 y n = -3, puesto que: 2 + 3 = 5 y 2 x 3 = 6.
• luego, la igualdad:
• x² + 5x + 6 = 0
• es equivalente a:
• (x + 2) (x + 3) = 0
• Demostración
• Partiendo de la igualdad:
• (x - m) (x - n) = 0
• operando, obtenemos:
• x² - (m + n)x + (mn) = 0
• Luego, para a = 1, resulta:
• b= - (m + n)
• c= (mn)
• m y n son dos números que sumados resultan igual a b, y multiplicados son igual a c.
• 4. "Pasos para resolver una ecuación cuadrática"
• 1. Se despeja el término independiente
• 2. Se completa el trinomio cuadrado perfecto
• 3. Se factorizar
• 4. Se saca la raíz cuadrada de la ecuación
• 5. Se despeja la incógnita
