1. POLINOMIOS
Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica,
son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función
derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones
en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra hasta
áreas como la física,química, economía y las ciencias sociales.
DEFINICIÓN ALGEBRAICA
Los polinomios están constituidos por un conjunto finito de variables (no determinadas o
desconocidas) y constantes (llamadas coeficientes), con las operaciones aritméticas de
suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos. Pueden
ser de una o de varias variables.
Polinomios de una variable
Para a0, …, an constantes en algún anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo,
como o , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) conan distinto
de cero y , entonces un polinomio, , de grado n en la variable x es un objeto de
la forma
Un polinomio no es más que una sucesión matemática finita tal
que .
Representado como:
el polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como:
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica es un conjunto de cantidades numéricas y literales
relacionadas entre sí por los signos de las operaciones aritméticas como sumas,
diferencias, multiplicaciones, divisiones, potencias y extracción de raíces.
Algunos ejemplos de expresiones algebraicas son:
o

2. Si x es una variable, entonces un monomio en x es una expresión de la forma axn
, en
donde a es un numero real y n es un entero no negativo. Un binomio es la suma de
dos monomios que no se pueden simplificar y un trinomio es la suma de tres
monomios que no se pueden simplificar.
monomio binomio trinomio
Recuerda siempre que un monomio tiene solo un término, un binomio dos términos y un
trinomio tres términos.
EXPONENCIACION EN UNA EXPRESION ALGEBRAICA
La exponenciación es una operación definible en un álgebra sobre un cuerpo normada
completa o álgebra de Banach (espacio vectorial normado completo que además es un
anillo) que generaliza la función exponencial de los números reales.
Cuando a y b son dos números enteros la operación puede definirse en
términos algebraicos elementales como equivalente a la potenciación. Sin embargo
cierto número de problemas físicos concretos llevaron a tratar de generalizar la fórmula
anterior a valores de b no enteros. Cuando b = 1/2 la operación equivale a una raíz
cuadrada. Finalmente la exponenciación trata de generalizar la operación a valores
de b cualesquiera. Usualmente dicha operación puede reducirse al cálculo de la
operación . Este artículo generaliza esta operación a casos donde
el exponente no es necesariamente un número real, sino un número complejo, un
número cuaterniónico o más generalmente un elemento de un espacio de Banach.
Dado un elemento de un álgebra de Banach tenemos definidas una operación
conmutativa de suma y otra de multiplicación, lo cual permite definir el anillo de
polinomios sobre dicha álgebra. Además por tener una norma puede definirse para
algunas series formales de potencias una noción de convergencia y por tanto de límite.
En esas condiciones puede definirse la siguiente operación:
MONOMIOS
Monomio se llaman así a las expresiones algebraicas en la que se combinan
exponentes naturales y numerales. Las únicas operaciones que aparecen entre las
letras son el producto y la potencia de exponentes naturales. Se denomina polinomio a

3. la suma de varios monomios. Un monomio es una clase de polinomio con un único
término. pero solo si lo utilizamos así:
Ejemplos:
TERMINOS SEMEJANTES
Los términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal, o dicho de otra
forma aquellos que tengan las mismas letras y con igual exponente. Ejemplo:
a^{2} y 5a^{2} son términos semejantes, además -4a^{2} y frac{3}{5}a^{2} también son
términos semejantes, pues su parte literal es decir a^{2} es la misma.
Algunos ejemplos más:
3ab^{2} y -frac{8}{3}ab^{2}, a^{3}b^{m+1} y -8a^{3}b^{m+1}, etc. En estos casos
las parejas de términos tienen términos semejantes, la primer pareja tiene
a ab^{2} como término semejante y en la segunda pareja lo es a^{3}b^{m+1}. El hecho
de que tengamos términos semejantes en una expresión algebraica nos permite reducir
dichos términos haciendo las operaciones que sean posibles entre ellos.
Imaginemos que tenemos la siguiente expresión algebraica:
-8a^{3}b^{5}+3a^{3}b^{5}+a^{3}b^{5}
Si queremos reducirla tendremos que realizar las operaciones que se nos piden. Es
decir sumas y restas. Es mas fácil si la reacomodamos de la siguiente forma:
3a^{3}b^{5}+a^{3}b^{5}-8a^{3}b^{5}
Ahora para reducir términos semejantes tendremos que operar con los coeficientes de
cada término. Los coeficientes en cada término son 3,1 y -8 respectivamente. Ahora
vamos a sumar todos los coeficientes y al final agregar la parte literal.
3+1+(-8) = 4-8 = -4 y agregamos la parte literal "a^{3}b^{5}", el resultado final es:
3a^{3}b^{5}+a^{3}b^{5}-8a^{3}b^{5} = -4a^{3}b^{5}

4. ADICION ALGEBRAICA
"La suma (algebraica) es la operación binaria que tiene por objetivo el reunir dos o mas
sumandos (expresiones algebraicas), en una sola expresión llamada SUMA o
ADICION." (Dr. A. Baldor)
CARACTERISTICA DE LA ADICION FINAL
En una suma algebraica, la operación se dice FINALIZADA o completa si todos los
términos semejantes entre los sumandos, han sido simplificados totalmente.
Algunos pueden considerar un requisito la ordenación de los términos finales en forma
alfabética, o por las potencias descendentes de una letra llamada LETRA PRINCIPAL.
Esta será lógicamente la escritura final preferida por los algebristas mas hábiles, pero
no es un requisito en las etapas de aprendizaje inicial.
PROPIEDADES DE LA SUMA ALGEBRAICA
1. PROPIEDAD DE CERRADURA: la suma de dos o mas polinomios dará como
resultado otro polinomio.
2. PROPIEDAD CONMUTATIVA: el orden de los sumandos no altera el resultado de
la suma.
Sean A y B dos polinomios, entonces se cumple que A+B=B+A
3. PROPIEDAD ASOCIATIVA: la suma es una operación binaria, que se realiza
tomando dos sumandos, de una serie de ellos, obteniendo un resultado parcial, y
éste sumándolo con el siguiente sumando, y así sucesivamente, hasta agregar
todos los sumandos al resultado final. Esto puede hacerse comenzando desde la
izquierda (lo usual) o desde la derecha (a causa de la propiedad conmutativa).
Sean A, B, C tres polinomios, entonces se cumple que (A+B)+C=A+(B+C)
4. PROPIEDAD DE NEUTRO ADITIVO: existe un polinomio, llamado NEUTRO que al
sumarse con cualquier otro polinomio no lo altera. Este NEUTRO es el 0.
Sean A y 0 dos polinomios entonces se cumple que: A+0=A
5. PROPIEDAD DEL INVERSO ADITIVO: para cada polinomio queda definido otro
que se llama su INVERSO ADITIVO, al sumarse ambos dan como resultado el
NEUTRO ADITIVO de los polinomios.
Sean A y -A dos polinomios que son inversos aditivos entre si, entonces se cumple
que: A+(-A)=0

5. CONCEPTOS DE RESTA ALGEBRAICA
"La resta (algebraica) es la operación binaria que tiene por objetivo hallar el sumando
desconocido (DIFERENCIA, RESTA O SUSTRACCION), cuando se conocen la SUMA
O ADICION (el MINUENDO) y uno de los sumandos (el SUSTRAENDO)." (Dr. A.
Baldor)
Otra definición dice que la resta es la operación inversa de la suma. y hay quienes van
a afirmar que la resta es el resultado de sumar a un polinomio dado llamado minuendo,
el inverso aditivo de otro polinomio que en tal caso se llamará sustraendo.
Las tres explicaciones son válidas, y tendrán que coincidir en un hecho fundamental: la
resta, adición o sustraccion es una operacion de comparacion, en la que se establece la
diferencia entre dos polinomios, o bien lo que le falta a un polinomio para llegar a ser
igual al otro.
PROPIEDADES DE LA RESTA ALGEBRAICA
1. PROPIEDAD DE CERRADURA: la RESTA O DIFERENCIA de dos polinomios
dará como resultado otro polinomio.
2. NO HAY PROPIEDAD CONMUTATIVA: el orden de MINUENDO Y
SUSTRAENDO si altera el resultado de la RESTA.
Sean A y B dos polinomios, entonces se cumple que A-B¹B-A
3. NO HAY PROPIEDAD ASOCIATIVA: la resta solo puede hacerse entre dos
POLINOMIOS.
CONSECUENCIAS DE LA PROPIEDAD DE CERRADURA EN LA RESTA
ALGEBRAICA
Sean tres polinomios M (MINUENDO), S (SUSTRAENDO) Y D (LA RESTA O
DIFERENCIA), es posible verificar las siguientes situaciones:
M-S = D, la DIFERENCIA es el resultado de restar el SUSTRAENDO AL MINUENDO.
M = D+S, el MINUENDO será el resultado de sumar la DIFERENCIA con el
SUSTRAENDO, o bien que EL SUSTRAENDO ES LO QUE LE FALTA A LA
DIFERENCIA PARA SER IGUAL AL MINUENDO.
S = M - D, el SUSTRAENDO será el resultado de restar la DIFERENCIA al MINUENDO,
o bien que LA DIFERENCIA ES LO QUE LE FALTA AL SUSTRAENDO PARA SER
IGUAL AL MINUENDO.
MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA
La multiplicación es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas
multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto, que sea
respecto del multiplicado, en valor absoluto y signo, lo que el mutiplicador es respecto
de la unidad positiva.
El multiplicando y el multiplicador son llamados factores del producto.
El orden de los factores no altera el producto

6. Observa la ley de los signos, exponentes, coeficientes para la Multipliación.
La ley de los signos para la multiplicación es: Signos iguales dan + y signos
doferentes dan -
O sea:
+ por + da +
- por - da +
+ por - da -
- por + da -
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
DIVISIÓN ALGEBRAICA
La división es una operación que tiene por objeto, hallar el factor (cociente) del producto
de dos factores (el dividendo entre el divisor)
Observa la ley de los signos, exponentes, coeficientes para la division.
La ley de los signos para la división es: Signos iguales dan + y signos doferentes
dan -
O sea:
+ entre + da +
- entre - da +
+ entre - da -
- entre + da -
Ejemplo:

7. Ejemplo:
Ejemplo:
La ley de los exponentes para la división es: Se deja la misma base y se restan los
exponentes (el dividendo menos el divisor)
Ejemplo:
PRODUCTOS NOTABLES
Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones
algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante
simple inspección, sin verificar la multiplicación.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la
factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dosbinomios
conjugados, y recíprocamente.
Factor común
por un término se obtiene aplicando la propiedad distributiva:
En la figura adjunta se observa que área del rectángulo es , es decir, el
producto de la base por la altura , y también puede obtenerse como la suma
de las dos áreas coloreadas: y
Ejemplo: