Funciones 2

1. FUNCIONES
Las funciones tienen un papel importante en la modelación de las
situaciones de la vida real.
Así en las aplicaciones prácticas el valor de una magnitud suele
depender de los valores que toman otras magnitudes. Por
ejemplo, el tiempo que invierte una persona en trasladarse desde
su casa al trabajo depende de la distancia que deba recorrer, el
salario de un trabajador depende de su número de años de
estudio, el tiempo de cocción de un alimento depende de la
temperatura del agua en que está sumergido. Así vemos también
que el área de un circulo está dada por 𝜋𝑟2, para valores
diferentes de radio r, se obtienen distintos valores del área, o las
funciones de una célula que son nutrición(metabolismo),
señalización( Quimiotaxis, ser una célula especializada, neurona,
epitelial etc.), reproducción (reparación de roturas, crecimiento
reproducción).
O en la ecuación y+x=2, a cada valor de x le corresponde un valor
de y.
Notas de clase Ing. Xavier Silva
Matematicas Superiores Galindo

2. Se debe tener en cuenta que no toda
correspondencia es una funcion. Por ejemplo, la
relacion que a cada mes del ano se le asocia su
numero de dias no es una funcion ya que la
variable mes no es numerica y ademas a febrero se
le puede asociar dos valores, dependiendo si el
ano es bisiesto o no.

3. Dominio es el conjunto de valores que toma la
variable x para los que la función esta definida.
Contradominio conjunto de valores posibles de la
variable y
Rango es el conjunto de valores del Contradominio
que son imágenes de x.

4. Representacion de funciones
Una funcion se puede expresar mediante un texto,
mediante una formula algebraica, por una tabla de
valores o a traves de un grafico.
Representacion mediante un texto
Es una descripcion escrita en la que se indica de
manera cuantitativa como se relacionan dos
cantidades.
Por ejemplo, la expresion el salario de un obrero
es 15 dolares diarios define una funcion que
relaciona el numero de dias trabajados y el salario
percibido.

5. Representacion algebraica
Una funcion se puede representar algebraicamente si
las magnitudes estan relacionadas entre si por una
formula. Dicha formula contiene las magnitudes y las
operaciones aritmeticas que se deben realizar para
obtener el resultado: sumas, restas, productos,
divisiones, logaritmos, potencias etc.
Para expresar algebraicamente una funcion debe
escribir la regla de correspondencia en la forma
y =f(x)
Que se lee y en funcion de x
A x se le denomina la variable independiente mientras
que a y se le denomina variable dependiente.

6. Ejemplo
La expresion el salario de un obrero es de 15 dolares
diarios se puede representar mediante la formula
Y=15x
Donde x es el numero de dias de trabajo y y es la
cantidad de dinero que el obrero recibira por trabajar
los x dias.
Esta funcion tambien se puede representar asi:
F:x ---> 15 x
La expresion del area del circulo es:
𝐴 = 𝜋𝑟2

7. Las ventajas de esta forma de representar estan
dadas por su brevedad y por la posibilidad de
calcular valores de la funcion para cualquier valor
de la variable en el dominio de definicion; por
ejemplo:
Si el obrero trabajo 10 dias entonces recibira
15x10= 150 dolares.
Si un circulo tiene radio igual a 2m, su area es 𝐴 =
𝜋(2𝑚)2
= 12,6𝑚2
.
Una desventaja de la representacion algebraica es
que no se visualiza el comportamiento de la
funcion con respecto de la variable independiente.

8. Representacion tabular
Esta manera de representar una funcion consiste
en elaborar una tabla en la que se escribe una
pequena cantidad de valores de la variable
independiente y de la funcion.
La representacion tabular se utiliza cuando se
recolectan datos empiricos, en las ciencias
naturales y en ingenieria.
Por ejemplo, una representacion tabular de la
funcion que relaciona el salario de un obrero y el
numero de dias de trabajo se ilustra en la siguiente
tabla:
x(dias) 1 2 13 15 29
y(dolares) 15 30 195 225 435

9. Representacion grafica
En fisica , medicina, economia y otras ciencias, las
funciones se representan generalmente en forma
grafica y en muchos casos es esta la unica posibilidad
de definirlos.
El grafico de una funcion es el conjunto de todos los
puntos (x,y) del plano cartesiano que satisfacen a una
ecuacion y=f(x).
La ventaja de la representacion grafica es que se
puede visualizar la informacion sobre la funcion y es
posible analizar directamente las caracterisiticas de su
variacion. Asi mismo no todo conjunto de puntos
representado en el plano es una funcion y esto
graficamente permite determinar si es o no una
funcion.

10. Para determinar si un grafico representa a una
funcion se emplea el siguiente criterio:
Si en el grafico la linea recta corta en un solo punto
a la linea que representa la interaccion es una
funcion, si la corta en mas de un punto no lo es.

11. Veamos un ejemplo de funcion en trozos o segmentos
Los valores a cancelar en un parqueadero pueden darse de la siguiente
manera:
En este caso no se puede dar la expresion algebraica de la funcion en
forma global, pero si distintas expresiones en dependencia del tiempo
empleado.
Cuando se define una funcion con expresiones parciales y se especifica el
intervalo de validez de cada una de ellas estamos definiendo una funcion
a trozos.
La funcion que nos da el valor a cancelar en el parqueadero es
Tiempo Valor $
0-1h 0,5
1-2h 1,0
2-4h 2,0
4-8h 4,0
8-24h 10,0
0,5 si 0<x<1h
1,0 si 1<x<2h
2,0 si 2<x<4h
4,0 si 4<x<8h
10,0 si 8<x<24h

12. Aunque generalmente se usa f para denominar
una funcion y x se emplea para indicar la variable
independiente se pueden emplear otras letras.
Por ejemplo, las siguientes funciones asignan a
cada numero su cuadrado:
f(t)= 𝑡2
, f(y)= 𝑦2
, g(s)= 𝑠2
, q= 𝑟2
.

13. INTERVALOS
Los conjuntos que se visualizan como un segmento de recta,
o como una semirrecta, o como la entera recta(conjuntos
que no dejan huecos) se llaman intervalos.
Un intervalo puede definirse como un conjunto I, de infinitos
numeros reales, tal que si x1 y x 2 son dos puntos de I y x es un
punto comprendido entre x1 y x 2 , entonces tambien x es un punto
de I.
Dados dos numeros reales a<b, se llaman intervalo de
extremos a y b a la totalidad de los numeros reales
comprendidos entre a y b. Si los extremos se consideran
incluidos en el intervalo diremos que el intervalo es cerrado
y lo indicaremos con el simbolo[a,b]; si no diremos que es
abierto y escribiremos (a,b). Los puntos del intervalo
distintos de los extremos se llaman puntos interiores al
intervalo: en el caso de un intervalo abierto (a,b), todos los
puntos son interiores.

14. Todos los tipos de intervalos se veran claramente
en los que cuadros que siguen, donde se indica
con x un punto generico del intervalo
correspondiente. Se supone siempre a<b, a menor
que b.
INTERVALOS ACOTADOS
[a,b] cerrado a< x< b al________lb
(a,b) Abierto a< x< b ao_______ob
(a,b] abierto a la izquierda a< x< b ao_______lb
[a,b) abierto a la derecha a< x< b al________ob

15. .
INTERVALOS NO ACOTADOS
[a,b) cerrado x>a al__________
(a,b) abierto x>a ao_________
(-a,b] cerrado a< x< b _________lb
(-a,b) abierto a< x< b _________ob
(-a,b) abierto Es el conjunto de todos lo números
reales, y su visualización es la entera
recta. Se llama eje real o eje de las x,
si sus puntos se indican con x.
Los simbolos ∞ y - ∞ se leen infinito y menos infinito, respectivamente.
Son simbolos convencionales (no son numeros reales) que permiten seguir usando para los
intervalos no acotados una notacion analoga a la usada para los acotados. Usaremos
convencionalmente el parentesis (no el corchete) donde aparezca uno de estos simbolos.
Pero se considerara cerrado un intervalo no acotado cuando pueda ser visualizado como
una semirrecta que contenga su extremo.

16. EJEMPLO La totalidad de los numeros reales
positivos constituye un intervalo llamado semieje real
positivo. Con la notacion usada para los intervalos, se
indica con el simbolo (0,ꝏ).
El punto medio o centro, de un intervalo acotado de
extremos a y b se define como el punto (a+b)/2.
Si I es un intervalo abierto y acotado de centro xo, se
dice que I es un entorno de xo.
Un entorno de xo, privado del punto xo, se llama
entorno reducido de xo.
EJERCICIOS
Representar graficamente:
1. Un entorno del punto xo= π
2. Un entorno reducido de xo= -4

17. MAXIMO Y MINIMO.EXTREMO SUPERIOR E INFERIOR
Si en un conjunto E de numeros reales hay un numero M mayor que
todos los otros, se dice que M es el maximo del conjunto; analogamente
se habla de minimo m.
Todo conjunto finito tiene m y M, pero no puede asegurarse lo mismo si el
conjunto es infinito. Por ej, el conjunto R de todos los numeros reales no
tiene ni m ni M.
El intervalo cerrado [2,3] tiene m=2 y M=3; el intervalo abierto (2,3) no
tiene ni m ni M M (Notese en efecto que no existe el maximo numero real inferior a 3, porque
cualquiera sea α<3 hay siempre un numero mas cercano a 3 que α (por ej. La semisuma ( α +3)/2.
Analogamente, no existe el minimo numero superior a 2).
El intervalo [2,3) tiene m=2 pero no tiene M; el conjunto de los números
irracionales comprendidos entre 4 y 7 no tiene ni m ni M.
Notese que, en el caso del intervalo(2,3), si bien no se puede hablar de m
y M, se dice sin embargo que 2 y 3 son los extremos del intervalo. Notese
tambien que 2 y 3 son respectivamente la cota inferior maxima y la cota
superior minima del intervalo, definiendo los reales a partir de sus
representaciones decimales es posible demostrar que todo conjunto
acotado superiormente tiene una cota superior minima y todo conjunto
acotado inferiormente tiene una cota inferior maxima. ( Si los reales se definen
axiomaticamente, la existencia de estas cotas es un axioma o bien consecuencia de un axioma
equivalente).

18. En vez de cota superior se usa decir tambien extremo superior, y en vez de cota
inferior maxima se usa tambien extremo inferior.
Con esta terminologia podemos enunciar entonces el siguiente Teorema I. Todo
conjunto E de numeros reales, acotado superiormente, tiene un extremo superior, que indicaremos con el simbolo sup E. Todo
conjunto E, acotado inferiormente, tiene un extremo inferior que indicaremos con el simbolo inf. E. Todo onjunto E, acotado, tiene un
extremo superior y un extremo inferior.
Tengase presente que inf. E y sup E son respectivamente la cota inferior maxima y
la cota superior mínima de E, de modo que el numero Λ= Sup E resulta
caracterizado por las siguientes propiedades:
Ningun numero de E es mayor que Λ ( porque Λ es una cota superior de E);
Pero cualquiera sea Ɛ > 0 existe siempre E por lo menos un numero x> Λ – Ɛ (
porque Λ (lambda) es la cota superior minima de E, de modo que ningun numero
menor que Λ puede ser cota superior de E).
Propiedades analogas caracterizan a (lambda minúscula) λ=inf E
En el caso de que sup E sea un punto del conjunto E, entonces sup E resulta el
mayor de todos los números de E y por lo tanto E tiene un máximo M =sup E.
Analogamente, si inf E pertenece a E, entonces E tiene un mínimo m=inf E.
En conclusion, un conjunto acotado superiormente puede no tener maximo, pero
siempre tendra extremo superior. Un conjunto acotado inferiormente puede no
tener mínimo, pero siempre tendra extremo inferior. Un conjunto acotado puede
no tener máximo o mínimo, pero siempre tendra extremo superior y extremo
inferior.

19. EJEMPLOS el numero 0 es el extremo inferior de los reales positivos
(conjunto que no tiene minimo) y el extremo superior de los reales
negativos ( conjunto que no tiene maximo).
El numero 5 es el extremo superior de todos los numeros racionales (o
irracionales, o reales) menores que 5. Si un conjunto contiene un solo
punto xo, resultara xo = m=M= λ = Λ.
Indicando nuevamente con λ, Λ, respectivamente el extremo inferior y el
extremo superior de un conjunto acotado, es obvio que resultara λ < Λ. El
signo = vale solamente si el conjunto esta formado por un solo numero.
Excluido este caso, resulta λ < Λ y se puede afirmar que el intervalo (λ, Λ)
es el intervalo cerrado mas estrecho que contiene todos los puntos del
conjunto.
EJERCICIOS
1. Escribir las dos propiedades caracteristicas del extremo inferior λ de
un conjunto E acotado interiormente.
2. Representar graficamente el conjunto E de todas las fracciones l/n,
con n entero positivo. Examinar la existencia de sup E inf E, M, m.
3. Sea E el conjunto de todos los enteros l<x<8. Examinar la existencia
de sup E, inf E,M,m.

20. FUNCIONES Y CURVAS PLANAS
Generalidades
Dado un conjunto E de números reales, asociemos a cada punto x de E un nuevo número
real mediante un criterio cualquiera, con tal de que sea preciso.
Por ej., si E es todo el eje real, podriamos asociar a todo punto x al numero x2; si E es el
intervalo x>0, podriamos asociar a todo punto x el num log x.
Se dice entonces que se ha construido, o definido , una función (o sea una
correspondencia) sobre el conjunto E, y dicho conjunto E toma el nombre de dominio de
definición de la función, o simplemente dominio de la función.
Los valores asociados a los distintos puntos de E se llaman valores de la función y
constituyen todos ellos un nuevo conjunto de numeros reales, que sera llamado
codominio de la funcion(recorrido), y se representa con un simbolo del tipo f(E) ( o
tambien g ( E), etc); el valor de la función asociado a un punto generico x de E se
representa con el simbolo f(x) ( o bien g (x), etc.).
EJEMPLO Si E es el intervalo (-∞, ∞) y f(x)= x2, entonces el conjunto de valores f(E ) es el
intervalo (O, ∞). Simbolicamente escribiremos
f (-∞, ∞)= (O, ∞). Si en cambio E=[2,3] y f(x)= x2, resulta f([2,3])=[4,9].

21. Para indicar la función ( osea, la correspondencia entre E y
f(E ), se usa el mismo símbolo f( x) ( si bien seria mas
correcto indicar con f la funcion y con f( x) el valor que
toma la funcion en correspondencia al punto x).
A menudo se pone y=f( x) y se dice que y es función de x,
para dar a entender que el valor de y depende del valor de
x. Por esta razón se dice tambien que x es la variable
independiente, o argumento de la función, mientra que y
es la variable dependiente o función.
Una función y =f (x) puede ser representada gráficamente
mediante un sistema de ejes cartesianos x y. Sobre el eje x
se marcan los puntos de E y sobre el eje y se marcan los
puntos f(E).

22. Las paralelas a los ejes , trazadas por dos puntos correspondientes x y f(x),
se intersecan en un punto O, de coordenadas x y = f(x) ( recordemos que
x y se llaman respectivamente abscisa y ordenada de P).
Queda asi determinado un conjunto de puntos P del plano xy, llamado
gráfica de la función, que en general será un conjunto de puntos
desparramados sobre el plano xy, pero que en muchos casos que
interesan en las aplicaciones está constituido por una o mas curvas, en el
sentido intuitivo de la palabra.
Llamamos la atención sobre el hecho que ademas de estar representados
por los correspondientes puntos del codominio f( E) son las ordenadas
de los distintos puntos P de la grafica, y por lo tanto pueden interpretarse
tambien como las elevaciones de los puntos P sobre el eje x ( positivas
cuando la grafica se encuentra arriba del eje x, negativas cuando la grafica
se encuentra debajo del eje x, y nulas cuando la grafica corta el eje x).

23. Una curva cualquiera del plano xy no podrá, en
general, ser considerada como gráfica de una función
f(x).
Es necesario que las paralelas al eje y no la corten en
mas de un punto, ya que si, por ejemplo en
correspondencia a un valor de x la paralela al eje y
cortara la curva en dos o mas puntos, el valor f(x) no
estaria univocamente determinado.
Con la palabra función sobreentendemos función que
toma un solo valor para cada punto de su dominio. La
correspondencia entre E y f(E) debe ser, univoca.
.

24. Una función del tipo f(x) = a, que asigna a todo x de E un
mismo valor a, se llama función constante; se dice que la
función es constante en E. En particular la función f(x)= 0 es
una función costante que asigna a todo x de E el valor de 0;
para subrayar un hecho se escribe también f(x) =0 y se dice
que la función es identicamente nula en E( osea toma el
valor 0 para todo x de E).
Algunas propiedades del codominio f(E) son consideradas
como propiedades de la función. Por ej, si el codominio
tiene máximo, se dice que la función tiene máximo; si el
codominio es acotado, se dice que la función es acotada.
Decir entonces que por ejemplo una función f(x) es acotada
en E, significa que existe un numero K>0 tal que para todo x
de E resulta If(x)l <K.

25. Si una f(x) esta asignada mediante un conjunto de operaciones que hay que
efectuar con la variable independiente x, sin especificar el dominio de
definicion, se sobreentiende que este es el mas amplio posible, es decir, la
totalidad de los numeros x para los cuales es posible efectuar las operaciones
indicadas.
Por ejemplo si se habla de la función V x (raiz cuadrada de x ) sin especificar el
dominio se sobreentiende x >0, osea el dominio es el intervalo [0, ∞] porque
solo para x >0 se puede calcular raiz de x.
La función 1/x esta definida para x no es igual a 0, es decir su dominio de
definicion está constituido por los dos intervalos (-∞,0), (0, ∞); debe ser x no es
igual a 0 porque no se puede dividir para 0: los denominadores deben
sobrentenderse siempre no es igual a 0.
Cualquier polinomio en x ( en particular una constante) define una función en
todo el eje real, se habla por ejemplo de la funcion x2, sobreentendiendo la
correspondencia x -> x2 osea la funcion f tal que f(x)=x2.
Para indicar que x puede tomar cualquier valor real, se escribe
-∞< x < ∞

26. Las funciones puede especificarse de varias
formas, nos enfocamos en las dadas por
ecuaciones que contienen variables dependientes
e independientes. Por ejemplo , la ecuacion
x2+2y=1
Ecuacion implicita
Despejamos y no queda y=1/2(1- x2)
En notación de funciones se escribe f(x)= 1/2(1- x2)
Lo cual indentifica la variable dependiente como
f(x), informando al mismo tiempo que la variable
independiente es x y que la function se denota “f”.

27. Evaluacion de funciones
El proceso de evaluacion de una funcion consiste
en la sustitucion del argumento de la funcion por
un valor numerico o una expresion algebraica y la
simplificacion de los terminos resultantes para
hallar una expresion final reducida.
Ejemplo. Dada la funcion
f(x)=-𝑥2
+ 4x + 1, hallar a) f 2 ; b)f t − 1 ; c)f 𝑥 ); d f(2 − 5)
a) Reemplazando x por 2 en f(x)=-𝑥2 + 4x + 1 se obtiene
f(2)=-22
+ 4(2) + 1 =5

28. b)Reemplazando x por (t-1)
en f(t-1)=-(𝑡 − 1)2
+4(t − 1) + 1 se obtiene
f(t-1)=-(𝑡2
−2𝑡 + 1) + 4t − 4 + 1
=-𝑡2
+ 6𝑡 −4
Reemplazando x por 𝑥 en f(x)=-𝑥2
+ 4x + 1 se
obtiene
f( 𝑥)=-( 𝑥)2
+4( 𝑥) + 1
=-x+ 4( 𝑥) + 1
a) Reemplazando x por 2 5 en lugar de x, da:
f(2- 5)= -(2 5)2
+ 4(2 − 5) + 1 =
= -9+4 5 + 8 − 4 5) + 1

29. Dominio y recorrido de una funcion
Existen funciones que no estan definidas para todos
los valores de sus variables; por ejemplo, el valor del
salario de un obrero no esta definido cuando el
tiempo toma valores negativos.
Definicion de dominio de una funcion .- Dada la
funcion f:E→F, el dominio de f es el conjunto de todos
los valores que puede tomar la variable
independiente.
El dominio de una funcion f se denota por Dom(f).
Para determinar el dominio de una funcion se debe
tener en cuenta las siguientes reglas.

30. Las expresiones polinomicas estan definidas para
todos los numeros reales.
Por ejemplo si f(x)=𝑥3
-𝑥2
+7, Dom(f)=R.
Las expresiones que contienen la variable
independiente en el denominador no estan
definidas cuando el denominador se anula.
Por ejemplo , si la ley de correspondencia es
y=
𝑥
𝑥−2
, siempre se tendra que
x = 2 por lo que Dom f = R/{2}

31. Las raices cuadradas estan definidas solo para
numeros no negativos.
Por ejemplo , si y= 5 + 1 esta funcion tiene
sentido solo si x+1>0, o sea, x>-1.
El dominio es Dom(f)=[1,∞]

32. Ejemplos
1.-La funcion f(x) =
3𝑥
((𝑥−2)(𝑥+5)
denota un numero
real si (x-2)(x+5)=0
Por tanto el dominio de f consta de los numeros
reales excepto x+2 y x=-5.
2.-El dominio de la funcion definida
por y= 1 − 𝑥2 es el intervalo −1,1 .
Puesto que y es un numero real entonces cada
valor de 1-𝑥2
debe ser un numero no negativo; es
decir, 1-𝑥2
>0, lo que significa:

33. 1-[𝑥]2
> 0
[𝑥]2
< 1
[𝑥] < 1
Asi el dominio de la funcion es el intervalo [-1,1]

34. Definicion de recorrido El recorrido de una
funcion es el conjunto de todos los valores que
toma la variable dependiente.
Al recorrido tambien se le suele denominar rango
o imagen de la funcion.
El recorrido de una funcion f se denota por R(f)
Para determinar el recorrido de una funcion se
debe tener en cuenta las siguientes reglas:

35. 1.-El valor absoluto de cuaquier numero es no
negativo.
Por ejemplo, si f(x)=-[𝑥2
+7], Ran(f)=[0,ꝏ[.
2.-La raiz cuadrada de cualquier numero positivo
es positiva.
Por ejemplo, si y=
𝑥 + 1, el recorrido es Ran f = [0, ∞[.

36. Ejemplos:
1.- La funcion f(x)=𝑥2
solo toma valores positivos,
por lo que Ran h=[0,ꝏ[.
2.- Hallar el recorrido de h (x)=
𝑥2
𝑥2+1
Solucion: como 𝑥2
>0, entonces 𝑥2
+1>0, De
manera que
𝑥2
𝑥2+1
>0.
Tambien, 𝑥2
< 𝑥2
+1, luego
𝑥2
𝑥2+1
< 1.
Por tanto, 0<
𝑥2
𝑥2+1
< 1; es decir, Rab h=[0,1[.

37. La funcion lineal tiene una ecuacion general que es
F(x)=ax+b
b->R
a->R
F(x)=y
y es la variable dependiente
x es la variable independiente
b es la ordenada al origen(punto del plano cartesiano
en donde se corta con el eje y)
a es el coeficiente de la variable independiente, esta
es igual a la pendiente

38. Dependiendo de su valor la recta va a presentar una
particularidad.
Asi la funcion lineal siempre va a estar representada
por una recta.
Asi si aumentamos le valor de b esto refleja una
traslacion del eje y si aumentamos va a estar cortando
al eje y cada vez mas arriba.
Si modificamos el valor de a la pendiente aumenta es
decir se inclina mas.
a>0 la pendiente es hacia arriba
Cuando a <0 vamos a tener una pendiente hacia
abajo.
Cuando x les cero la recta es paralela al eje x.
A esta funcion se la denomina funcion constante.

39. Cuando b es cero es perpendicular al eje x esta es
una funcion constante.