1. Tablas de dispersión (hash tables)
La dispersión es una técnica empleada para realizar insercio-
nes, eliminaciones y búsquedas en un tiempo promedio cons-
tante.
La estructura de datos ideal para la tabla de dispersión es sim-
plemente un vector de tamaño fijo N que contiene las claves.
• Cada clave se hace corresponder con algún número en el
intervalo entre 0 y N −1, y se coloca en la celda correcta.
• A la correspondencia se le denomina función de dispersión
que, idealmente, debe ser simple de calcular y debe asegu-
rar que dos claves distintas cualesquiera caigan en celdas
diferentes.
◦ Esto es imposible, así que se busca una función de dis-
persión que distribuya homogéneamente las llaves entre
las celdas.
• Resta elegir una función, decidir qué hacer cuando dos cla-
ves caen en el mismo valor (lo que se llama colisión) y
decidir el tamaño de la tabla.
Un uso común de las tablas hash lo representan los dicciona-
rios. Un diccionario almacena objetos formados por una clave,
por la cual se busca en el diccionario, y su definición, que es lo
que se devuelve.

2. Función de dispersión
Si las claves de entrada son enteros, la función clave mod N
resulta una buena estrategia, a menos que clave tenga algunas
propiedades indeseables.
• Por ejemplo, si N es 10 y todas las claves terminan en cero,
la función de dispersión estándar es una mala opción.
◦ Es buena idea asegurarse de que el tamaño de la tabla
sea un número primo.
Si las claves de entrada son enteros aleatorios, esta función es
muy simple y distribuye las claves con uniformidad.
Toda función de dispersión debe ser sencilla de computar, pero
también ha de distribuir uniformemente las claves.
Por lo regular, las claves son cadenas de caracteres.

3. • Una opción es sumar los valores ASCII de los caracteres
de la cadena.
función Dispersión1 (Clave, TamañoClave): Índice
valor := ascii(Clave[1]);
para i := 2 hasta TamañoClave hacer
valor := valor + acii(Clave[i])
fin para
devolver valor mod N
fin función
◦ Es una función fácil de implementar, y se ejecuta con
rapidez.
◦ No obstante, la función no distribuye bien las claves si el
tamaño de la tabla es grande. Por ejemplo, si N = 10007
(un número primo), y todas las claves tienen una longi-
tud de ocho o menos, la función de dispersión sólo toma
valores entre 0 y 1016 que es 127∗8.

4. • En la siguiente función de dispersión se supone que la clave
tiene al menos tres posiciones.
función Dispersión2 (Clave, TamañoClave): Índice
devolver (ascii(Clave[1]) + 27*ascii(Clave[2])
+ 729*ascii(Clave[2])) mod N
fin función
◦ Esta función examina sólo los primeros tres caracteres,
pero si son aleatorios y el tamaño de la tabla es 10007,
esperaríamos una distribución bastante homogénea.
◦ Desafortunadamente, los lenguajes naturales no son alea-
torios. Aunque hay 273
= 17576 combinaciones posi-
bles de tres caracteres, en un diccionario el número de
combinaciones diferentes que nos encontramos es me-
nor que 3000. Sólo un porcentaje bajo de la tabla puede
ser aprovechada por la dispersión.

5. • En la función de dispersión que sigue intervienen todos los
caracteres en la clave y se puede esperar una buena distri-
bución.
función Dispersión3 (Clave, TamañoClave): Índice
valor := ascii(Clave[1]);
para i := 2 hasta TamañoClave hacer
valor := (32*valor + acii(Clave[i])) mod N
fin para
devolver valor
fin función
◦ El código calcula una función polinómica con base en la
regla de Horner. ∑Tama noClave−1
i=0 32i
·clave[Tama noClave−i]
◦ La multiplicación por 32 no es realmente una multipli-
cación, sino el desplazamiento de cinco bits.
◦ Para lenguajes que permiten el desbordamiento el bucle
se debería escribir sin operación mod; se aplicaría mod
justo antes de volver.
◦ Si las claves son muy grandes, se acostumbra a no utili-
zar todos los caracteres.
La longitud y las propiedades de las claves influirán en la elec-
ción de una buena función de distribución.
Queda la resolución de colisiones. Si al insertar un elemento
se dispersa en el mismo valor que un elemento ya insertado,
tenemos una colisión y hay que resolverla.

6. Dispersión abierta
La estrategia consiste en tener una lista de todos los elementos
que se dispersan en el mismo valor.
Para efectuar buscar, usamos la función de dispersión para de-
terminar qué lista recorrer.
Para efectuar un insertar, recorremos la lista adecuada para re-
visar si el elemento ya está en la lista. Si el elemento resulta ser
nuevo, se inserta al frente o al final de la lista.
Además de las listas enlazadas, se podría usar cualquier esque-
ma para resolver colisiones, como un árbol binario de búsque-
da.
El factor de carga, λ, de una tabla de dispersión es la relación
entre el número de elementos en la tabla y su tamaño.
λ =
Número de claves en la tabla
N
La longitud media de una lista es λ. Y la regla general de una
dispersión abierta es hacer el tamaño de la tabla casi tan grande
como el número de elementos esperados (λ = 1).
El esfuerzo necesario para realizar una búsqueda es el tiempo
constante necesario para evaluar la función de dispersión O(1)
más el tiempo necesario para recorrer la lista.
• En una búsqueda infructuosa el promedio de nodos por re-
correr es O(λ)
• En una búsqueda con éxito, O(λ/2)

7. Dispersión cerrada
La dispersión abierta tiene la desventaja de que requiere apun-
tadores.
En un sistema de dispersión cerrada, si ocurre una colisión, se
intenta buscar celdas alternativas hasta encontrar una vacía.
• Se busca en sucesión en las celdas d0(x),d1(x),d2(x)...
donde di(x) = (dispersion(x)+ f(i)) mod N, con f(0) = 0.
• La función f es la estrategia de resolución de las colisiones.
Como todos los datos se meten en la tabla, ésta tiene que ser
más grande para la dispersión cerrada que para la abierta.
En general, para la dispersión cerrada el factor de carga debe
estar por debajo de λ = 0,5
La eliminación estándar no se puede realizar en una tabla de
dispersión cerrada, porque la celda pudo haber causado una
colisión en el pasado.
• Las tablas de dispersión cerrada requieren eliminación pe-
rezosa, aunque en este caso no haya realmente “pereza”
implicada.

8. Exploración lineal
En la exploración lineal, f (la estrategia de resolución de las
colisiones) es una función lineal de i, por lo general f(i) = i.
Esto equivale a buscar secuencialmente en el vector (con cir-
cularidad) hasta que encontremos una posición vacía.
En tanto que la tabla sea suficientemente grande, siempre se
puede encontrar una celda vacía, pero ello puede tomar dema-
siado tiempo.
Si se supone independencia entre intentos, el número medio de
celdas que se examinan en una inserción con exploración lineal
es 1/(1−λ)
• En una tabla con factor de carga λ, la probabilidad de que
una celda esté vacía es 1−λ. Como consecuencia el núme-
ro esperado de intentos independientes hasta encontrar una
celda vacía es 1/(1−λ).
Desgraciadamente, la independencia asumida no se cumple. Lo
peor, aún si la tabla está relativamente vacía, es que se empie-
zen a formar bloques de celdas ocupadas (agrupamiento pri-
mario).
• Cualquier clave que se disperse en el agrupamiento necesi-
tará varios intentos para resolver la colisión, y después se
agregará al agrupamiento.
• En la agrupación primaria, la falta de eficiencia no está sólo
provocada por los elementos que colisionan por tener el

9. mismo valor hash, sino también por aquéllos que colisionan
en las posiciones alternativas de otros.
Teniendo todo esto en cuenta, el número medio de celdas exa-
minadas en una inserción con exploración lineal es cercano a
1
2
(1+
1
(1−λ)2
)
λ Número medio de celdas examinadas
0,5 2,5
0,75 8,5
0,9 50,5
El coste de una búsqueda sin éxito es el mismo que el coste de
una inserción. Y el coste de una búsqueda con éxito es la media
de los costes de las inserciones en tablas con factores de carga
más pequeños.
1
2
(1+
1
1−λ
)
Exploración cuadrática
Su resolución de colisiones elimina el problema del agrupa-
miento primario que padece la exploración lineal.
La función de colisión es cuadrática. La elección común es
f(i) = i2
. Se examinan las celdas 1, 4, 9 y sucesivas a partir
de la posición inicial.
En la exploración lineal es mala idea dejar que la tabla de dis-
persión esté casi llena, porque se degrada el rendimiento. Para
la exploración cuadrática, la situación es aún más drástica.

10. • No hay garantías de encontrar una celda vacía una vez que
la tabla se llena a más de la mitad, o aún antes si el tamaño
de la tabla no es primo.
• Se demuestra que si la tabla está medio vacía y su tama-
ño es primo, podemos contar siempre con la seguridad de
poder insertar un elemento nuevo.
Aunque la exploración cuadrática elimina el agrupamiento pri-
mario, los elementos que se dispersan a la misma posición pro-
barán en las mismas celdas alternas. Eso se llama agrupamien-
to secundario.
• Éste es un pequeño defecto teórico. Los resultados prácti-
cos indican que se producen, en general, menos de medio
intento adicional por búsqueda.
Exploración doble
En este método para la resolución de colisiones aplicamos una
segunda función de dispersión.
La elección común es f(i) = i·h2(x)
La función nunca debe evaluarse a cero. Y es importante que
todas las celdas puedan ser intentadas.
Una función como h2(x) = R − (x mod R), con R un primo
menor que el tamaño de la tabla, funcionará bien.
Hay que asegurarse de que el tamaño de la tabla sea primo.