algebra

1. Alumna:
Dignauris Odreman.
Barcelona, marzo 2017.
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO
¨SANTIAGO MARIÑO¨
EXTENSIÓN-BARCELONA
Profesora:
Milagros Maita

2. TRANSFORMACIÓN LINEAL
La transformación lineal es una función utilizada para la
asignación de un espacio vectorial a otro espacio vectorial con la
ayuda de los escalares, la cual satisface la expresión f(a*x+b*y)
=a*f(x)+b*f(y).
En otras palabras, se consideran 2 espacios vectoriales, V y W.
Una transformación lineal es una gráfica T: V→ W que satisface
dos condiciones:
1). T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2) donde v1 y v2 son vectores en V.
2). T (xV) = x T (v) donde x es una escala
Una transformación lineal puede ser sobreyectiva o inyectiva. En
el caso que, W y V tengan dimensiones idénticas, entonces T
puede llegar a ser invertible, esto es, se encuentra T-1 el cual
satisface la condición TT-1 = I. Asimismo, T (0) será siempre 0.

3. MÉTODOS DE ELIMINACIÓN DE GAUSS JORDAN
El Método de Gauss – Jordan o también llamado eliminación de
Gauss – Jordan, es un método por el cual pueden resolverse
sistemas de ecuaciones lineales con n números de variables
encontrar matrices y matrices inversas, en este caso
desarrollaremos la primera aplicación mencionada.
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este
método, se debe en primer lugar anotar los coeficientes de las
variables del sistema de ecuaciones lineales en su notación
matricial:

4. Entonces, anotando como matriz (también llamada matriz
aumentada):
Una vez hecho esto, a continuación se procede a
convertir dicha matriz en una matriz identidad, es decir una
matriz equivalente a la original, la cual es de la forma:

5. Esto se logra aplicando a las distintas filas y columnas de las
matrices simples operaciones de suma, resta, multiplicación y
división; teniendo en cuenta que una operación se aplicara a todos
los elementos de la fila o de la columna, sea el caso.
Obsérvese que en dicha matriz identidad no aparecen los términos
independientes, esto se debe a que cuando nuestra matriz original
alcance la forma de la matriz identidad, dichos términos resultaran
ser la solución del sistema y verificaran la igualdad para cada una de
las variables, correspondiéndose de la siguiente forma:
d1 = x
d2 = y
d3 = z

6. EJEMPLO
Procedemos al primer paso para encontrar su solución, anotarlo en su
forma matricial

7. Una vez hecho esto podemos empezar a operar con las distintas
filas y columnas de la matriz para transformarla en su matriz
identidad, teniendo siempre en cuenta la forma de la misma:
Lo primero que debemos hacer es transformar el 2 de la 1ª fila de
la matriz original en el 1 de la 1ª fila de la matriz identidad; para
hacer esto debemos multiplicar toda la 1ª fila por el inverso de 2,
es decir ½.

8. Luego debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la
matriz identidad, para lograr esto, buscamos el opuesto de los
números que se ubicaron por debajo del 1 de la primera columna, en
este caso el opuesto de 3 que será -3 y el opuesto de 5 que será -5.
Una vez hecho esto, se procederá a multiplicar los opuestos de
estos números por cada uno de los elemento de la 1ª fila y estos se
sumaran a los números de su respectiva columna. Por ej.: en el caso
de la 2º fila, se multiplicara a -3 (opuesto de 3) por cada uno de los
elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el numero que
le corresponda en columna de la segunda fila. En el caso de la 3ª fila
se multiplicara a -5 (opuesto de 5) por cada uno de los elementos de
la 1º fila y se sumara su resultado con el número que le corresponda
en columna de la tercera fila.

9. Nuestro siguiente paso es obtener el 1 de la 2ª fila de la matriz
identidad, y procedemos de igual forma que antes, es decir
multiplicamos toda la fila por el inverso del numero que deseamos
transformar en 1, en este caso -13/2, cuyo inverso es -2/13

10. Ahora queremos obtener el 0 que se ubica en la 3ª fila, 2ª
columna de la matriz identidad, para hacer esto buscamos el
opuesto del numero que se ubica en la 3ª fila, 2ª columna de la
matriz con la cual estamos operando, en este caso -17, cuyo
opuesto será 17; lo que hacemos ahora es multiplicar este
número por todos los elementos de la 2ª fila y sumar esos
resultados con el numero que le corresponde en columna de la
3ª fila.

11. Se observar como la matriz con la cual estamos operando empieza a
parecerse a la matriz identidad.
Nuestro siguiente paso es obtener el 1 correspondiente a la 3ª fila, 3ª
columna de la matriz identidad, ahora bien, aplicamos el mismo
procedimiento con el que estábamos trabajando, es decir que vamos
a multiplicar toda la 3ª fila por el inverso del numero que se
encuentre en la posición de la 3ª fila, 3ª columna, en este caso
96/13, cuyo inverso será 13/96.

12. Luego debemos obtener los dos ceros de la tercera columna de la
matriz identidad, para lograr esto, buscamos el opuesto de los
números que se ubicaron por encima del 1 de la 3ª columna de la
matriz con la cual estamos operando, en este caso 11/13 y ½ cuyos
opuestos serán - 11/13 y -½, respectivamente.

13. Una vez hecho esto, se procederá a multiplicar los opuestos de estos
números por cada uno de los elemento de la 3ª fila y estos se sumaran a
los números de su respectiva columna. Por ej.: en el caso de la 2º fila, se
multiplicara a - 11/13 (opuesto de 11/13) por cada uno de los elementos
de la 3º fila y se sumaran sus resultados con el número que le
corresponda en columna de la segunda fila. En el caso de la 1ª fila se
multiplicara a -½ (opuesto de ½) por cada uno de los elementos de la 3º
fila y se sumaran sus resultados con el número que le corresponda en
columna de la primera fila.

14. •El último paso que debemos realizar es obtener el 0 de la 1ª
columna, 2ª fila de la matriz identidad, para hacer esto
buscamos el opuesto del numero que se ubica en la 1ª columna,
2ª fila de la matriz con la que estamos operando, en este caso
es 3/2, cuyo opuesto será - 3/2, lo que hacemos ahora es
multiplicar este número por todos los elementos de la 2ª fila y
sumar esos resultados con el numero que le corresponde en
columna de la 1ª fila.

15. •Como podemos observar hemos llegado al modelo de la matriz
identidad que buscábamos, y en la cuarta columna hemos
obtenido los valores de las variables , correspondiéndose de este
modo:
x= 1
y= -1
z= 2
•Luego, el sistema de ecuaciones está resuelto y por último lo
verificamos.
2x + 3y + z = 1 3x – 2y – 4z = -3 5x – y – z = 4
2*1+3*(-1)+2=1 3*1- 2*(-1)-4*2=-3 5*1-(-1)-2 =4
2 -3 +2 =1 3 +2 - 8= -3 5 +1 - 2 = 4
1 = 1 -3 = -3 4= 4

16. El núcleo de una TL esta formado por el conjunto de vectores pertenecientes
al conjunto de partida (en este caso R2), que al transformarlos se obtiene el
nulo del conjunto de llegada, o sea:
T:R2-->R2 / T(x,y) = (0,0)
en el caso anterior, el vector (x,y) pertenece al núcleo de la TL.
NÚCLEO:
NULIDAD: Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo.
IMAGEN. La imagen de una transformación lineal está formada por el
conjunto de todos los vectores del condominio que son imágenes de al
menos algún vector del dominio.
•La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
•RANGO: l rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

17. EJEMPLO: SI SE CONOCE EL EFECTO DE UNA
TRANSFORMACIÓN LINEAL SOBRE LOS VECTORES DE LA BASE,
SE CONOCE EL EFECTO SOBRE CUALQUIER OTRO VECTOR.
SEA T UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL DE R3 EN R2 Y SUPONGA
QUE

18. La teoría de la matriz entra en la teoría de las transformaciones lineales
porque es posible representar cada transformación lineal como matriz.
La multiplicación de matrices puede considerarse como el ejemplo
principal que puede demostrar el concepto de transformación lineal. Una
matriz A de dimensión n x m define que T (v) = Av y aquí v es
representado como un vector columna. Veamos un ejemplo:
Aquí, la transformación lineal t es definida como T (x, y) = (y, −2x + 2y,
x). En el caso que, V y W sean de dimensión finita, la transformación
lineal está mejor representada con la multiplicación de matrices en lugar
de estableciendo la base del espacio vectorial, tanto para W y V. En el
caso que, W y V incluyan un producto escalar y también los espacios
vectoriales correspondientes y que W y V sean ortonormales, será simple
representar la matriz correspondiente como .
Mientras que w y v son de dimensión infinita, la transformación lineal
puede ser continua. Por ejemplo, considera que un espacio polinómico
de 1 variable sea v y T una derivada. Entonces, T (xn) = nxn-1, una no
continua como xn/n = 0 mientras que T (xn)/n no converge.
RELACION ENTRE MATRIZ Y TRANSFORMACIÓN LINEAL

19. CONCLUSIÓN
En un sistema lineal, el número de variables es igual al número de
variables libres más el número de variables angulares, quedando
una transformación lineal final T: V→ W en la identidad dim V = dim
ker(T) dim im(T). Si dim ker(T) = 0 y dim im(T) = dimW, entonces t
esta sobre y uno a uno. En este caso, esto se denomina un
isomorfismo.
El método de eliminación de Gauss-Jordan es de gran utilidad para
resolver sistemas de ecuaciones de varias incógnitas.
Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el
álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran
variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales
tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas
de la matemática.

20. BIBLIOGRAFÍA
http://mitecnologico.com/igestion/Main/IntroduccionALasTransformac
ionesLineales
http://itsavbasicas.blogspot.com/2012/05/52-nucleo-e-imagen-de-
una.html
http://matematica.laguia2000.com/general/metodo-de-gauss-jordan