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- 1. Tabla de Contenido CAPÍTULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS Introducción....................................................................... 7 1.1 PROPOSICIONES................................................................... Proposición.................................................................. Valor de verdad................................................................... Tabla de verdad................................................................... 8 9 10 10 1.2 OPERADORES LÓGICOS........................................................ Negación............................................................................ Conjunción....................................................................... Disyunción.................................................................... Disyunción exclusiva............................................................ Condicional..................................................................... Recíproca, inversa, contrarrecíproca....................................... Condiciones necesarias y suficientes...................................... Bicondicional..................................................................... 11 12 13 14 14 15 16 17 19 1.3 PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS.......................... Proposiciones simples y compuestas...................................... 20 20 1.4 FORMAS PROPOSICIONALES................................................ Variables proposicionales...................................................... Formas proposicionales........................................................ Tautología, contradicción, contingencia.................................... Implicación lógica................................................................ Equivalencia lógica.............................................................. 22 22 22 23 24 25
- 2. 1.5 PROPIEDADES DE LOS OPERADORES LÓGICOS....................... Leyes de los operadores fundamentales Conjunción y Disyunción........ Leyes de los operadores Negación, Condicional y Bicondicional..... Leyes de las Implicaciones Lógicas........................................... 25 26 26 27 1.6 RAZONAMIENTOS................................................................. Razonamientos.................................................................... Validez de un razonamiento....................................................... 29 29 30 1.7 DEMOSTRACIONES............................................................... 1.7.1 Demostraciones directas................................................... 1.7.2 Demostraciones por contraposición.................................... 1.7.3 Demostraciones por contraejemplo.................................... 1.7.4 Demostraciones por reducción al absurdo........................... 33 33 34 35 36 1.8 CONJUNTOS.......................................................................... Conjunto........................................................................... Cardinalidad...................................................................... 1.8.1 Conjuntos relevantes................................................. 39 39 40 40 1.9 CUANTIFICADORES.............................................................. Cuantificador Universal........................................................ Cuantificador Existencial...................................................... Subconjunto....................................................................... Conjunto Potencia................................................................ 1.9.1 Relaciones entre conjuntos........................................... Igualdad entre conjuntos............................................. Conjuntos disjuntos e intersecantes.............................. 41 42 42 42 43 44 44 44 1.10 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS..................................... Unión entre conjuntos.......................................................... Intersección entre conjutos................................................... Diferencia entre conjuntos.................................................... Diferencia simétrica entre conjuntos...................................... Complementación de conjuntos............................................. 44 45 45 45 46 46 1.11 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Leyes de las operaciones fundamentales Unión e Intersección Otras leyes........................................................................ 47 47 48
- 3. 1.12 PREDICADOS...................................................................... Predicados de una variable................................................... Conjunto de verdad de un predicado....................................... Leyes de los conjuntos de verdad de predicados....................... Valor de verdad de proposiciones con cuantificadores............... 1.12.1 Leyes de los Cuantificadores........................................ 53 53 54 55 56 57 1.13 PARES ORDENADOS Y PRODUCTO CARTESIANO............ Par Ordenado....................................................................... Producto Cartesiano.............................................................. Plano Cartesiano................................................................... Cardinalidad del producto cartesiano....................................... Propiedades del producto cartesiano....................................... 58 59 59 59 60 61 1.14 RELACIONES....................................................................... Relación.............................................................................. Dominio de una Relación...................................................... Rango de una Relación......................................................... Representación sagital de una relación................................... 61 62 65 65 66 1.15 FUNCIONES....................................................................... Función........................................................................... Variable independiente....................................................... Variable dependiente......................................................... 1.15.1 Tipos de funciones................................................... Función Inyectiva...................................................... Función Sobreyectiva................................................. Función Biyectiva...................................................... Función Inversible..................................................... Función Inversa........................................................ Función Compuesta................................................... 67 68 68 68 70 70 71 72 72 73 73 EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 79 CAPÍTULO 2 NÚMEROS REALES Introducción.......................................................................... 111 2.1 REPRESENTACIÓN DECIMAL................................................. 113 Representación decimal de números racionales................... 114 Representación decimal de números irracionales................. 115
- 4. 2.2 OPERACIONES BINARIAS.................................................... 117 Operación binaria............................................................... 117 2.2.1 Propiedades de las operaciones binarias ....................... 117 2.3 OPERACIONES ENTRE NÚMEROS REALES............................ 119 Adición............................................................................ 120 Multiplicación.................................................................... 120 2.4 RELACIÓN DE ORDEN............................................................ 2.4.1 Relación de orden de números enteros.......................... Orden en ................................................................ 2.4.2 Relación de orden de números reales............................ Tricotomía de los Números Reales................................ 121 121 121 122 122 2.5 CONCEPTOS ASOCIADOS AL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS............................................................................. Divisores y Múltiplos de un número entero............................. Número Primo.................................................................... Número Compuesto............................................................ Teorema fundamental de la Aritmética.................................. Máximo Común Divisor........................................................ Mínimo Común Múltiplo....................................................... Números Pares e Impares................................................... 123 123 124 124 125 125 126 127 2.6 EXPRESIONES ALGEBRAICAS............................................... Expresión algebraica........................................................... 2.6.1 Propiedades de las fracciones....................................... 2.6.2 Propiedades de los exponentes.................................... 2.6.3 Productos notables..................................................... 2.6.4 Factorización............................................................. 2.6.5 Racionalización.......................................................... 129 129 130 133 137 139 144 2.7 VALOR ABSOLUTO................................................................ Tipos de intervalo.............................................................. Intervalo cerrado............................................................... Intervalo abierto................................................................ Intervalo semiabierto/semicerrado....................................... Intervalo con extremos infinitos.......................................... Valor absoluto.................................................................... Propiedades del valor absoluto............................................ 146 147 147 147 147 147 148 149
- 5. 2.8 ECUACIONES........................................................................ Identidad........................................................................ Ecuación.......................................................................... Propiedades de las igualdades............................................. 2.8.1 Ecuaciones lineales.................................................... 2.8.2 Ecuaciones cuadráticas.............................................. Fórmula general................................................................. Suma Algebraica de las Raíces de la Ecuación Cuadrática. Producto Algebraico de las Raíces de la Ecuación Cuadrática. 2.8.3 Ecuaciones con valor absoluto..................................... 2.8.4 Ecuaciones con radicales............................................ 2.8.5 Planteo de ecuaciones............................................... 154 154 155 155 156 159 161 166 166 167 168 170 2.9 INECUACIONES.................................................................... Desigualdad..................................................................... Inecuación..................................................................... 2.9.1 Inecuaciones lineales................................................. 2.9.2 Inecuaciones cuadráticas............................................ Propiedades de las desigualdades................................. 2.9.3 Inecuaciones con valor absoluto.................................. 2.9.4 Planteo de inecuaciones.............................................. 178 178 178 179 181 182 183 187 2.10 INDUCCIÓN MATEMÁTICA.................................................. 2.10.1 Axiomas de Peano.................................................... 2.10.2 Teorema de inducción............................................... Teorema de Inducción.............................................. 190 190 191 191 2.11 TÉCNICAS DE CONTEO........................................................ Factorial............................................................................ Combinatoria..................................................................... Propiedades de las Combinatorias........................................ 2.11.1 Principio de la suma................................................ 2.11.2 Principio de la multiplicación..................................... 2.11.3 Permutaciones y combinaciones................................ Permutaciones........................................................ Combinaciones........................................................ 196 196 197 198 199 200 202 203 204 2.12 TEOREMA DEL BINOMIO..................................................... 206 Teorema del Binomio........................................................ 207 2.13 SUCESIONES..................................................................... Sucesión......................................................................... Progresiones Aritméticas..................................................... Progresiones Geométricas................................................... 210 211 212 218 EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 225
- 6. CAPÍTULO 3 FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Introducción......................................................................... 251 3.1 FUNCIONES DE VARIABLE REAL............................................ Función de una variable real............................................... Dominio de una función de variable real.............................. Rango de una función de variable real................................. 251 252 253 254 3.2 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES............................. 256 Gráfica de una función de variable real................................... 257 Criterio de la recta vertical.................................................... 257 3.3 TIPOS DE FUNCIONES ........................................................... 3.3.1 Funciones Inyectivas.................................................. Función Inyectiva....................................................... Criterio de la recta horizontal...................................... 3.3.2 Funciones Sobreyectivas............................................ Función Sobreyectiva................................................. 3.3.3 Funciones Crecientes................................................. Función Creciente...................................................... Función Estrictamente Creciente.................................. 3.3.4 Funciones Decrecientes.............................................. Función Decreciente................................................... Función Estrictamente Decreciente.............................. Función Monótona.............................................................. 3.3.5 Funciones Pares o Impares.......................................... Función Par............................................................... Función Impar........................................................... 3.3.6 Funciones Periódicas.................................................. Función Periódica....................................................... 3.3.7 Funciones Acotadas................................................... Función Acotada........................................................ 259 260 260 260 261 261 261 262 263 264 264 265 266 266 266 267 267 267 269 269 3.4 ASÍNTOTAS DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL............................................................................... 271 Asíntota Horizontal............................................................ 272 Asíntota Vertical................................................................ 272 3.5 FUNCIONES DEFINIDAS POR TRAMOS............................... 273 Aplicaciones de funciones definidas por tramos..................... 275 3.6 TÉCNICAS DE GRAFICACIÓN DE FUNCIONES..................... Desplazamientos............................................................... Reflexiones...................................................................... Compresiones o alargamientos............................................ Valores absolutos.............................................................. 275 276 278 280 282
- 7. 3.7 FUNCIONES LINEALES....................................................... Funciones Lineales............................................................. Rango de una Función Lineal............................................... Aplicación de funciones lineales........................................... 284 285 286 287 3.8 FUNCIONES CUADRÁTICAS................................................ Funciones Cuadráticas........................................................ 3.8.1 Forma canónica de la función cuadrática....................... 3.8.2 Rango de la función cuadrática................................... 3.8.3 Forma Factorizada de la Función Cuadrática.................. 3.8.4 Gráfica de la Función Cuadrática.................................. Aplicación de funciones cuadráticas..................................... 289 289 290 290 291 292 295 3.9 OPERACIONES CON FUNCIONES DE VARIABLE REAL............. Operaciones con Funciones................................................ Propiedades de las operaciones sobre los tipos de funciones....... Composición de Funciones de Variable Real........................... 296 296 297 302 3.10 FUNCIONES ESPECIALES.................................................... Función Valor Absoluto....................................................... Función Signo................................................................... Función Escalón................................................................ Función Máximo Entero o Entero Mayor................................ 304 305 305 306 306 3.11 FUNCIÓN INVERSA DE UNA FUNCIÓN BIYECTIVA................ 311 Función Biyectiva............................................................... 312 3.12 FUNCIONES POLINOMIALES.............................................. Función Polinomial............................................................ 3.12.1 Gráficas de Funciones Polinomiales............................ Función Potencia........................................................... Cero de Multiplicidad m................................................. Teorema del Valor Intermedio.......................................... 3.12.2 Operaciones con funciones polinomiales..................... Función racional............................................................ División Sintética.......................................................... Teorema del Residuo...................................................... Teorema del Factor........................................................ Forma anidada de una función polinomial....................... 3.12.3 Raíces de una ecuación polinómica............................ Teorema del Número de Ceros........................................ Regla de los Signos de Descartes.................................... Teorema de los Ceros Racionales..................................... 314 315 315 315 317 319 320 322 322 324 326 327 328 328 328 329
- 8. 3.13 FUNCIONES EXPONENCIALES.............................................. Función Exponencial........................................................... 3.13.1 Función Exponencial Natural...................................... Aplicación de la función exponencial............................ 332 333 338 340 3.14 FUNCIONES LOGARÍTMICAS............................................... Función Logarítmica........................................................... 3.14.1 Función Logaritmo Natural........................................ 3.14.2 Función Logaritmo Común........................................ 3.14.3 Propiedades de los logaritmos.................................. 3.14.4 Ecuaciones e inecuaciones exponenciales................... 3.14.5 Ecuaciones e inecuaciones logarítmicas...................... 342 343 347 347 352 354 359 EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 367 CAPÍTULO 4 TRIGONOMETRÍA Introducción.............................................................................. 397 4.1 ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS..................................................... Semirrecta....................................................................... Ángulo............................................................................. 4.1.1 Unidades angulares.................................................... Ubicación de los ángulos respecto a su medida............. 4.1.2 Clases de ángulos........................................................ Coterminales....................................................... Consecutivos............................................................. Adyacentes............................................................... Complementarios....................................................... Suplementarios......................................................... Opuestos por el vértice................................................ 4.1.3 Relación entre grados sexagesimales y radianes.............. 398 398 398 400 401 402 402 402 402 403 403 403 403 4.2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTALES..................... 406 Funciones trigonométricas................................................... 407 Valores de las funciones trigonométricas de ángulos notables........ 411 4.3 GRÁFICAS Función Función Función Función Función Función DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS...................... Seno.................................................................... Coseno................................................................. Tangente.............................................................. Cotangente........................................................... Secante................................................................ Cosecante............................................................. 412 413 414 422 423 429 429 4.4 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS........................... 430 Función seno inverso........................................................... 430 Función coseno inverso........................................................ 431
- 9. Función Función Función Función tangente inversa.................................................... cotangente inversa................................................. secante inversa...................................................... cosecante inversa.................................................. 431 431 432 432 4.5 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS....................................... Identidades Cocientes........................................................ Identidades Recíprocas....................................................... Identidades Pitagóricas....................................................... Identidades Pares o Impares............................................... Identidades de suma y diferencia de medidas de ángulos...... Identidades de ángulo doble................................................ Identidades de ángulo mitad............................................... Identidades de suma a producto........................................... Identidades de producto a suma.......................................... 436 436 436 437 437 440 446 447 451 452 4.6 ECUACIONES E INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS............... 455 Ecuaciones trigonométricas................................................. 456 Inecuaciones trigonométricas.............................................. 463 EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 467 CAPÍTULO 5 MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES Introducción....................................................................... 475 5.1 MATRICES.......................................................................... Matriz ............................................................................... Igualdad entre matrices...................................................... 5.1.1 Clases de matrices...................................................... Matriz fila.................................................................. Matriz columna.......................................................... Matriz rectangular...................................................... Matriz cuadrada......................................................... Matriz triangular superior............................................ Matriz triangular inferior.............................................. Matriz nula................................................................ Matriz diagonal.......................................................... Matriz escalar............................................................. Matriz identidad......................................................... 5.1.2 Operaciones con matrices............................................. Suma entre matrices................................................... Propiedades........................................................... Multiplicación de una matriz por un escalar..................... Propiedades........................................................... Multiplicación entre matrices....................................... Propiedades........................................................... Transposición de una matriz......................................... Matriz simétrica......................................................... 476 476 478 478 478 478 479 479 479 480 480 480 480 480 481 481 481 482 483 485 486 488 488
- 10. Matriz antisimétrica.................................................... Propiedades de la transposición de matrices............. Inversa de una matriz................................................. Propiedades de la inversa de una matriz.................... 488 489 491 492 5.2 DETERMINANTES.................................................................. Teorema 5.1...................................................................... Teorema 5.2...................................................................... Propiedades de los determinantes...................................... 495 496 496 499 5.3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.................................... Sistemas de ecuaciones lineales........................................... Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales......... Representación de un sistema de ecuaciones lineales en forma de matriz aumentada................................................................... S. E. L. homogéneos............................................................ Solución de un S. E. L.......................................................... Métodos de Gauss y de Gauss Jordan................................... S. E. L. consistentes e inconsistentes........................................ Regla de Cramer................................................................. Teorema resumen.............................................................. 506 507 507 508 508 508 510 510 519 523 5.4 SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES EN EL PLANO (S.E.N.L.).......................................................................... 524 Sistemas de ecuaciones no lineales..................................... 524 5.5 SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES EN EL PLANO (S.I.L.) 528 Conjunto factible............................................................... 529 Programación lineal............................................................ 532 5.6 SISTEMAS DE INECUACIONES NO LINEALES (S.I.N.L.)............ 535 Sistemas de inecuaciones no lineales.................................. 535 EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 539 CAPÍTULO 6 NÚMEROS COMPLEJOS Introducción.............................................................................. 555 6.1 NÚMEROS COMPLEJOS........................................................... 556 Números complejos............................................................ 557 6.2 OPERACIONES...................................................................... Suma entre números complejos.......................................... Propiedades...................................................................... Multiplicación de un número complejo por un valor real............... Propiedades...................................................................... Multiplicación entre números complejos................................ Propiedades...................................................................... División entre números complejos........................................ 560 561 561 561 561 562 562 563
- 11. 6.3 REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA............................................ 565 Módulo y argumento de un número complejo......................... 566 6.4 NOTACIÓN DE EULER............................................................. Multiplicación entre números complejos............................... División entre números complejos....................................... Potenciación de números complejos..................................... Radicación de números complejos....................................... 566 568 568 568 573 6.5 APLICACIONES..................................................................... Funciones hiperbólicas........................................................ Funciones polinomiales....................................................... Teorema fundamental del Álgebra........................................ Otras aplicaciones.............................................................. 577 577 579 579 580 EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 583 CAPÍTULO 7 GEOMETRÍA PLANA Introducción.............................................................................. 589 7.1 FIGURAS GEOMÉTRICAS........................................................ Punto............................................................................. Recta.............................................................................. Plano............................................................................... Puntos colineales............................................................... Puntos coplanares.............................................................. Semirrecta o rayo............................................................... Segmento de recta............................................................. Semiplano...................................................................... Convexidad...................................................................... Figuras autocongruentes..................................................... Figuras no autocongruentes................................................. 590 590 590 591 591 591 591 591 591 591 592 593 7.2 RECTAS EN EL PLANO............................................................ Perpendicularidad.......................................................... Propiedades de la perpendicularidad entre rectas................ Paralelismo...................................................................... Propiedades del paralelismo entre rectas............................. Propiedades de la perpendicularidad, paralelismo e intersección entre rectas................................................................................. Rectas oblicuas.................................................................. 593 594 594 595 595 7.3 ÁNGULOS.............................................................................. Ángulos opuestos por el vértice............................................ Ángulos externos............................................................... Ángulos internos................................................................ Ángulos correspondientes................................................... Ángulos alternos externos................................................... 596 596 597 597 597 597 596 596
- 12. Ángulos alternos internos.................................................... Ángulos conjugados externos.............................................. Ángulos conjugados internos............................................... Propiedades de los ángulos.................................................. 597 597 597 598 7.4 POLIGONALES Y POLÍGONOS................................................. Poligonal...................................................................... Polígono Simple.................................................................. Diagonal.......................................................................... Nombres de polígonos de acuerdo a su número de lados............... Propiedades de los polígonos................................................ Polígono regular................................................................. 599 599 600 600 601 601 602 7.5 TRIÁNGULOS........................................................................ Triángulos........................................................................ Clasificación de triángulos por la longitud de sus lados.................. Clasificación de triángulos por la medida de sus ángulos.............. Propiedades de los triángulos.............................................. Rectas y puntos notables en el triángulo.............................. Bisectriz........................................................................ Incentro........................................................................ Circunferencia inscrita.................................................... Mediatriz....................................................................... Circuncentro.................................................................. Circunferencia circunscrita............................................... Altura........................................................................... Ortocentro.................................................................... Mediana...................................................................... Baricentro................................................................. Centro de gravedad........................................................ 603 604 604 604 605 605 606 606 606 606 606 606 606 606 607 607 607 7.6 SEMEJANZA Y CONGRUENCIA................................................ Teorema de Thales............................................................. Corolario del Teorema de Thales............................................ Semejanza y Congruencia de Polígonos.................................. Polígonos semejantes..................................................... Polígonos congruentes.................................................... Congruencia y semejanza de Triángulos.................................. Criterios para la congruencia de triángulos......................... Criterio LAL (Lado-Ángulo-Lado).................................. Criterio ALA (Ángulo-Lado-Ángulo)............................... Criterio LLL (Lado-Lado-Lado)..................................... Criterios para la semejanza de triángulos.......................... Criterio AA (Ángulo-Ángulo)....................................... Criterio ALL (Ángulo-Lado-Lado)................................. Criterio LLL (Lado-Lado-Lado)..................................... 608 609 609 610 611 611 612 612 612 612 612 612 612 613 613
- 13. 7.7 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS............................................... Teorema 7.2: De Pitágoras.................................................... Teorema 7.3....................................................................... Teorema 7.4....................................................................... Teorema 7.5: Ley de los Senos............................................. Teorema 7.6: Ley de los Cosenos.......................................... 7.7.1 Triángulos Rectángulos............................................... Ángulo de elevación y ángulo de depresión.................... 7.7.2 Triángulos Acutángulos u Obtusángulos........................ 617 618 618 618 619 620 621 622 628 7.8 CUADRILÁTEROS................................................................... Cuadrilátero............................................................... Paralelogramo................................................................. Propiedades de los paralelogramos.................................. Paralelogramos más utilizados............................................. Rectángulo................................................................... Cuadrado..................................................................... Rombo..................................................................... Romboide.................................................................... Trapecio.......................................................................... Trapezoide....................................................................... 635 635 635 635 636 636 636 636 636 636 636 7.9 PERÍMETRO Y ÁREA DE UN POLÍGONO................................... Perímetro de un polígono................................................... Superficie y área................................................................. Perímetro y área de polígonos más conocidos....................... Cuadrado.................................................................... Rectángulo................................................................... Triángulo................................................................. Paralelogramo............................................................ Rombo.................................................................... Trapecio.................................................................... 638 638 638 639 639 639 639 639 639 639 7.10 CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO.............................................. Circunferencia y círculo ...................................................... Elementos de la circunferencia y el círculo........................... Radio....................................................................... Cuerda........................................................................ Diámetro.................................................................... Arco.......................................................................... Secante........................................................................ Tangente..................................................................... Ángulos en la circunferencia................................................. Ángulo central................................................................ Ángulo inscrito............................................................... Ángulo interior................................................................ Ángulo exterior............................................................... Ángulo semi-inscrito........................................................ 645 645 645 646 646 646 646 646 646 648 648 649 649 649 649
- 14. 7.11 POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIAS........................................ 654 Polígono inscrito o circunscrito............................................ 655 Apotema.......................................................................... 655 7.12 FIGURAS CIRCULARES......................................................... Sector circular.................................................................... Segmento circular............................................................... Corona o anillo circular......................................................... Área del círculo................................................................... Área del sector circular......................................................... Área del segmento circular................................................... Área de la corona circular..................................................... 657 657 658 658 659 660 661 661 EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 673 CAPÍTULO 8 GEOMETRÍA DEL ESPACIO Introducción............................................................................... 681 8.1 FIGURAS EN EL ESPACIO....................................................... 682 Figuras no contenidas en el plano.......................................... 682 8.2 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO......................................... Rectas alabeadas............................................................... Posiciones de una recta respecto a un plano......................... Planos paralelos................................................................ Ángulo diedro.................................................................... Ángulo poliedro.................................................................. 683 683 684 684 685 685 8.3 CUERPOS GEOMÉTRICOS....................................................... Poliedro.......................................................................... Propiedades de un poliedro convexo............................. Diagonal del poliedro ....................................................... Nombre de poliedros según el número de caras.................. Poliedro Regular................................................................. Tipos de poliedros regulares .............................................. Tetraedro regular....................................................... Hexaedro regular....................................................... Octaedro regular........................................................ Dodecaedro regular.................................................... Icosaedro regular....................................................... 686 686 687 688 688 688 688 688 688 689 689 689
- 15. 8.4 PRISMAS............................................................................... Prisma ................................................................ Generatriz.................................................................. Altura del prisma............................................................ Prisma recto.................................................................. Prisma recto regular....................................................... Prisma oblicuo............................................................... Paralelepípedo............................................................... Ortoedro.................................................................. 689 690 690 690 690 690 691 691 691 8.5 PIRÁMIDES........................................................................... Pirámide......................................................................... Pirámide recta.................................................................... Pirámide regular................................................................. Apotema de la pirámide....................................................... Pirámide truncada.............................................................. 693 693 693 693 694 694 8.6 ÁREAS DE POLIEDROS........................................................... Tipos de áreas de prismas y pirámides................................. Área de poliedros regulares............................................... Áreas de las superficies de un prisma recto............................. Áreas de las superficies de una pirámide regular..................... Áreas de las superficies de una pirámide truncada regular........ 694 695 695 695 695 696 8.7 VOLUMEN DE POLIEDROS...................................................... Volumen del paralelepípedo recto rectangular.......................... Volumen del cubo............................................................... Volumen de una pirámide ................................................... Volumen de una pirámide truncada....................................... 701 701 701 702 703 8.8 CUERPOS DE REVOLUCIÓN.................................................... Superficie de revolución..................................................... Sólido de revolución............................................................ Cuerpos de revolución......................................................... Cilindro recto................................................................. Cono recto.................................................................... Cilindro de revolución...................................................... Cono de revolución......................................................... Área de la superficie lateral y de la superficie total de un cilindro recto Área de la superficie lateral y de la superficie total de un cono recto Cono truncado................................................................... Cono truncado de revolución................................................ Esfera sólida y superficie esférica........................................... Esfera sólida de revolución.................................................... Elementos de la esfera sólida y la superficie esférica............... Radio......................................................................... Diámetro..................................................................... Casquete esférico........................................................... 707 707 708 708 708 708 709 709 709 709 713 713 714 714 714 715 715 715
- 16. Huso esférico................................................................ Plano secante............................................................... Plano tangente.............................................................. Volúmenes de cuerpos de revolución..................................... Cilindro................................................................. Cono............................................................................ Cono truncado............................................................... Esfera (sólida)............................................................... 715 715 715 715 715 716 716 716 EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 739 CAPÍTULO 9 VECTORES EN EL ESPACIO Introducción................................................................................ 745 9.1 VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO.............................. Magnitudes escalares ....................................................... . Magnitudes vectoriales....................................................... Vector en el espacio............................................................. Magnitud de un vector..................................................... Vector cero.................................................................... Vectores iguales................................................................. 745 746 746 747 749 749 749 9.2 OPERACIONES ENTRE VECTORES........................................... Suma vectorial................................................................... Propiedades................................................................. Resta vectorial................................................................... Multiplicación de un vector por un escalar................................ Propiedades................................................................. Vectores paralelos.............................................................. Combinación lineal.............................................................. Espacio vectorial................................................................. Producto escalar................................................................. Propiedades................................................................. Medida del ángulo entre dos vectores...................................... Teorema 9.1: Ángulo formado entre dos vectores....................... Vectores ortogonales.......................................................... Teorema 9.2: Desigualdad de Cauchy-Schwarz......................... Desigualdad triangular........................................................ Norma de un vector............................................................. 750 750 751 752 753 753 754 756 756 759 759 760 760 760 762 763 764 9.3 VECTORES UNITARIOS.......................................................... Vector unitario................................................................... Proyecciones escalares y vectoriales...................................... Proyección vectorial............................................................ Proyección escalar.............................................................. 765 765 765 765 766
- 17. 9.4 PRODUCTO VECTORIAL......................................................... Producto vectorial................................................................ Propiedades............................................................... Teorema de la Norma del Producto Cruz.................................. Producto cruz de vectores i, j, k........................................... 769 769 770 771 771 9.5 APLICACIONES GEOMÉTRICAS DEL PRODUCTO VECTORIAL........... Área de la superficie de un paralelogramo............................. Volumen de un paralelepípedo............................................... Producto mixto.................................................................... 773 773 778 779 EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 781 CAPÍTULO 10 GEOMETRÍA ANALÍTICA Introducción.......................................................................... 785 10.1 RECTAS EN EL PLANO........................................................... Recta............................................................................ 10.1.1 Distancia entre dos puntos.......................................... Distancia entre dos puntos........................................... 10.1.2 Punto medio de un segmento de recta........................ Teorema de: Punto medio de un segmento de recta.................. 10.1.3 Ecuación de la recta................................................... Ecuaciones paramétricas de la recta.............................. Forma simétrica de la ecuación de la recta....................... Forma general de la ecuación de la recta....................... Vector normal........................................................... 10.1.4 Pendiente de una recta............................................... Pendiente de una recta............................................... Ecuación de la recta punto – pendiente.......................... Rectas paralelas........................................................ Rectas coincidentes................................................... Rectas secantes........................................................ Teorema de: Pendiente de rectas paralelas ......................... Teorema de: Pendiente de rectas perpendiculares ................. 10.1.5 Distancia de un punto a una recta................................. 786 786 787 788 789 790 793 794 795 795 796 798 798 800 804 804 804 804 806 807 10.2 SECCIONES CÓNICAS........................................................... 10.2.1 Circunferencia.......................................................... Circunferencia.......................................................... Forma canónica de la ecuación de una circunferencia.... Forma general de la ecuación de una circunferencia...... Cálculo de los elementos de una circunferencia............ Ecuación de la recta tangente a una circunferencia...... 811 813 813 813 814 817 819
- 18. 10.2.2 Parábola................................................................. Parábola.................................................................. Eje de simetría................................................... Vértice...................................................... Lado recto.......................................................... Forma canónica de la ecuación de la parábola.................... Forma general de la ecuación de una parábola................. 834 834 834 834 834 834 837 10.2.3 Elipse...................................................................... Elipse................................................................... Eje mayor........................................................... Semieje mayor y semidistancia focal...................... Centro......................................................... Vértices............................................................. Lado recto.......................................................... Semieje menor.................................................... Excentricidad................................................... Cálculo de la longitud del eje menor.............................. Forma canónica de la ecuación de una elipse................. Ecuación de una elipse con ejes paralelos a los ejes de coordenadas............................................................ Eje mayor horizontal............................................ Eje mayor vertical............................................... Forma general de la ecuación de una elipse................. 844 844 844 844 844 844 844 844 844 844 845 10.2.4 Hipérbola................................................................ Hipérbola........................................................... Eje transverso.................................................... Eje conjugado.................................................... Centro............................................................ Distancia focal................................................... Vértices........................................................ Semieje conjugado............................................. Lado recto......................................................... Excentricidad................................................... Forma canónica de la ecuación de una hipérbola ........... Ecuación de la hipérbola con ejes paralelos a los ejes de coordenadas........................................................... Eje horizontal.................................................... Eje vertical........................................................ Asíntotas oblicuas de una hipérbola.............................. Hipérbola cuyo centro es O(0, 0)............................ Hipérbola cuyo centro es O(h, k)........................... Eje transverso horizontal................................. Eje transverso vertical.................................... Hipérbolas conjugadas.............................................. Rectángulo auxiliar.............................................. Hipérbolas equiláteras............................................... Forma general de la ecuación de una hipérbola.............. 851 851 851 851 852 852 852 852 852 852 852 846 846 846 846 853 853 854 854 855 855 855 855 855 855 855 856
- 19. 10.2.5 Lugares geométricos.................................................. 862 10.2.6 Excentricidad............................................................ 868 EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 869 CAPÍTULO 11 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES Introducción............................................................................... 875 Primera fase: (Los censos)................................................. 875 Segunda fase: (De la descripción de los conjuntos a la aritmética política)..................................................................... 875 Tercera fase: (Cálculo de probabilidades).............................. 876 11.1 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA................................................. Estadística descriptiva........................................................ Estadística inferencial......................................................... Método estadístico............................................................. Errores estadísticos comunes............................................. Sesgo.......................................................................... Datos no comparables.................................................... Proyección descuidada de tendencias................................ Muestreo incorrecto........................................................ Conceptos básicos.............................................................. Elemento o ente................................................................. Población......................................................................... Población finita.............................................................. Población infinita............................................................ Muestra.......................................................................... Variable.......................................................................... Variables Cuantitativas....................................................... Discretas.................................................................... Continuas................................................................... Variables Cualitativas o Atributos........................................ Ordinales.................................................................... Nominales................................................................... Clasificación de las variables............................................... Variables unidimensionales............................................. Variables bidimensionales............................................... Variables multidimensionales.......................................... Escala de medición de variables.......................................... Tipos de medidas.......................................................... 876 877 877 877 878 878 878 878 878 878 878 879 879 879 879 879 879 879 879 879 879 880 880 880 880 880 880 880
- 20. 11.2 ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS..................................... Tablas de frecuencia........................................................... Tabla de tipo I................................................................ Tabla de tipo II.............................................................. Tabla de tipo III (Tabla de intervalos)............................. Tabla de distribución de frecuencias...................................... Frecuencia absoluta........................................................ Frecuencia absoluta acumulada........................................ Frecuencia relativa......................................................... Frecuencia relativa acumulada........................................ Modelos de tablas estadísticas............................................. 881 881 881 881 883 884 884 884 884 884 885 11.3 GRÁFICOS DE REPRESENTACIÓN................................... Histograma............................................................. Poligonal de frecuencias................................................. Diagrama de tallo y hojas.............................................. 890 890 891 892 11.4 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y NO CENTRAL............ 894 Media aritmética............................................................ Mediana....................................................................... Moda.......................................................................... Medidas de tendencia no centrales........................................ Cuartiles................................................................... Deciles........................................................................ Percentiles................................................................ 894 895 896 898 898 898 898 11.5 MEDIDAS DE DISPERSIÓN................................................ 900 Rango......................................................................... 900 Varianza................................................................. 900 Desviación Típica............................................................ 900 11.6 PROBABILIDADES.............................................................. Experimento aleatorio......................................................... Espacio muestral................................................................ Evento o suceso.................................................................. Eventos mutuamente excluyentes........................................ Eventos complementarios..................................................... Probabilidad clásica............................................................ 901 902 902 903 903 904 904 11. 7 CONJUNTOS Y PROBABILIDADES....................................... 907 Unión......................................................................... Intersección............................................................... Complemento............................................................. Subconjunto............................................................. Propiedades............................................................ Diagrama de árbol............................................................. Triángulo de Pascal............................................................ 907 907 908 908 910 912 920
- 21. EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 927 Apéndice A Postulados de Euclides................................................ 933 Apéndice B Postulados.............................................................. 935 Postulados de Cavalieri............................................... 935 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS.................................................. 937 GLOSARIO DE TÉRMINOS.................................................... 945 BIBLIOGRAFÍA................................................................ 949