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Ejercicios cap 004

Bleakness
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467pág.
4.1 Ángulos y medidas
1.	 Un ángulo es la unión de dos semirrectas de origen común.
	 a) Verdadero 				 b) Falso
2.	 Un ángulo queda determinado de manera única por su vértice.
	 a) Verdadero 				 b) Falso
3.	 Dos ángulos son adyacentes si son consecutivos y son suplementarios.
	 a) Verdadero 				 b) Falso
4.	 Dos ángulos suplementarios son siempre agudos.
	 a) Verdadero 				 b) Falso
5.	 Dos ángulos opuestos por el vértice siempre son complementarios.
	
	 a) Verdadero 				 b) Falso
6.	 Transformar cada ángulo dado de grados a radianes.
a) 30º b) 135º c) -120º d) 450º e) -540º f ) 60º
a) π/6 b) -5π/4 c) 4π/3 d) π/2 e) π/12 f ) 4π
7.	 Transformar cada ángulo dado de radianes a grados.
8.	 Complete la siguiente tabla:
Radianes 0
π
6
π
4
π
2
2π
3
Grados
sexagesimales
60º 135º 112º 150º 15º
9.	 El extremo del minutero de un reloj recorre
7π
10
cm en tres minutos. ¿Cuál
es la longitud del minutero?
10.	Determine la medida del ángulo, en el cual la medida de su suplemento es
4 veces la medida de su complemento.
11.	Si la suma de las medidas de ocho ángulos congruentes es 180º. ¿Cuánto
mide dicho ángulo en radianes?
12.	La medida del ángulo suplementario de x es igual a 123º. Hallar la medida
del ángulo x y la medida de su ángulo complementario.
CAPÍTULO CUATRO4 Ejercicios propuestos
468pág.
4.2 Funciones trigonométricas elementales
13.	Calcule el valor de las expresiones siguientes y represéntelas como una
fracción o radical simplificado:
a) sen(30º) cos
π
2
-cos
7π
6
tan
3π
4
d) tan2 π
6
-cos2 2π
3
-tan
3π
4
b) sen
5π
6
cos
4π
3
-tan
π
6
tan(330º) e)
sen(120º) + cos(240º)
tan(60º) + tan(330º)
c) 3cos
π
6
+ sen
5π
6
-tan
π
3 f )
2sen2 π
6
cos2
(π)
4tan
π
4
sen2 3π
4
14.	Hallar el valor de cada expresión dada:
c) 3sen(45º) - 4tan
π
6
a) tan(π) + sen(π) d)
sen(-40º)
cos(50º)
b)
sen(50º)
cos(40º)
e) 6cos
3π
4
+ 2tan -
π
3
4.3 Gráficas de funciones trigonométricas
15.	Parte de la gráfica de y= p + qcos(x) aparece a continuación. La gráfica
contiene los puntos (0,3) y (π,-1). Determine cuál de los siguientes
enunciados es verdadero:
a)	 p2 	
+	 q2 	
= 	 9
b)	 p2 	
-	 q2 	
= 	 3
c)	 p2 	
-	 q2 	
= 	-9
d)	 p	
+	 q 	
= 	-3
e)	 p2 	
-	 q2 	
= 	-3
y
x
3
2
1
0
-1
2ππ
16.	Si se tiene la función f : [0,π]→ , tal que f (x)= 2-1
cos(2x), entonces su
gráfica es:
a)
f
-1
1
π
2
π 3π
2
2π
y
x
b)
f
y
x
1/2
-1/2
π
2
3π
2
2ππ
469pág.
18.	Graficar:
a) y = 2cos x -
π
4
+ 1
b) y = |sen(2x) -1| - 1
c) y = 1-tan(π - x)
d) y = 0.5 - sen(x/2)
e) y = sgn(cos(2x))
17.	El siguiente diagrama muestra parte de la gráfica de una curva senoidal
f(x)= p + qsen(kx). El período es 4π, el valor mínimo es 3 y el valor máximo
es 11 (esta gráfica no está a escala). Halle el valor de:
a) p
b) q
c) k
y
x
0
e)
f
y
x
1/2
-1/2
π
2
π
4
3π
4
π
c) y
x
f
2
-2
π
4
π
2
3π
4
π
d) y
x
f
2
-2
π
4
π
2
3π
4
π
470pág.
4.4 Funciones trigonométricas inversas
20.	Sea α = arccos(-1/2), π/2 < α < π y β = arcsen(- 3/2), 3π/2 < β < 2π;
encuentre el valor de sen(α) + tan(β).
21.	Encuentre el valor de cos(x) si x = arctan (4/7), x ∈ π,
3π
2
.
4.5 Identidades trigonométricas
23. ∀x, y ∈ , [sen-1
( x + y) = sen-1
(x) + sen-1
(y)]		
	 a)	 Verdadero					 b) Falso
22.	Simplificar las siguientes expresiones:
d) sen arctan -
5
3
b) cos(arctan(x))
c) arccos cos -17
5 πa) cos(arcsen(x))
La altura h puede tener como modelo a la función h(t) = acos(bt) + 3.
a)	Use la gráfica anterior para hallar los valores de las constantes a y b.
b)	A partir del resultado anterior, calcule la altura de la marea a las 13:00.
c)	¿A qué hora estará la marea en su mínimo durante el segundo período de
8 horas?
19.	La gráfica muestra la altura h de las mareas en metros, a las t horas
pasadas la media noche en la isla de Tahini.
h
t
5
3
1
0
Altura de las mareas en Tahini
Número de horas pasada la media noche
4 8 12
471pág.
24.	El valor de la expresión 8cos(10º)cos(20º)cos(40º) es:
	 a) 8cos(70º) 	 b) 1 	 c) tan(10º) 	 d) cot(10º) 	 e) 8
27.	Si π/2<x<π y sen(x)= 5/13, entonces el valor de sen(2x), es:
a) -10/13 b) 12/13 c) -12/13 d) 120/169 e) -120/169
28.	La expresión:
1 + sec(3x)
2sec(3x)
, es equivalente a:
	 a) sec(3x) 	 b) sec(2x) 	 c) -1	 d) cos(3x/2)	 e) sec(3x/2)
30.	Hallar el valor de: tan(19π/12).
25.	El valor de cos(π/12) es:
a)
4
3 - 1
b)
4
3 + 2
c)
4
2 + 1
d)
4
6 + 2
e)
4
3 + 1
26.Si π/2<x<π y sen(x)= 5/13, entonces el valor de cos(x+π/3) es:
a) -
26
12 + 5 3
b)
74
5 3 + 7
c)
74
3 3 - 1
d)
26
3 - 7 3
e)
74
5 - 7 3
29.	La expresión que no representa una identidad trigonométrica es:
c) tan(x) cos(x) =
1
csc(x)
b) cos(4x) = cos2
(2x) - sen2
(2x) e) tan(2x) =
2tan(x)
1 - tan2
(x)
a) sen x
2
cos x
2 =
1
2
sen(x) d) sen2
(2x) + cos2
(2x) = 2
31.	Hallar (gof ) (x) si f y g están definidas por las siguientes reglas de
correspondencia:
f (x) =
cos(x) ; x ≥ 0
ln(-x) ; x < 0
y g(x) =
x ; |x| ≤ 1
ex
; |x| > 1
32.	Si tan(25º)= a, representar en términos de a la siguiente expresión:
tan(245º) + tan(335º)
tan(205º) - tan(115º)
472pág.
33.	Simplificar y hallar el valor de las siguientes expresiones:
a)
2sen(10º)
1
- 2sen(70º)
b) sen π
12
cos π
12
c) tan(55º) - tan(35º)
d) cos π
5
cos 3π
5
e)
sen
3π
2
+ α tan
π
2
+ β
cos(π - α) cot
3π
2
- β
-
sen 3π
2
- β + cot π
2
+ α
cos(2π - β) tan(π - α)
f) cos π
65
cos 2π
65
cos 4π
65
cos 8π
65
cos 16π
65
cos 32π
65
34.	Demuestre:
cos-1
10
3 + cos-1
5
2
=
π
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35.	Demuestre:
a)
sen3
(α - 270º) cos(360º - α)
tan3
α - π
2
cos3
α - 3π
2
= cos(α)
b)
cos2
(α )
cot α
2
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2
=
1
4
sen(2α)
c)
tan2
(2x) - tan2
(x)
1 - tan2
(2x) tan2
(x)
= tan(3x)tan(x)
d) sen(ω)sen(60º - ω) sen π
3 + ω =
1
4
sen(3ω)
e) sen(47º) + sen(61º) - sen(11º) - sen(25º) = cos(7º)
f)
1 + sen(β) + cos(β)
1 + sen(β) - cos(β)
=
1 + cos(β)
sen(β)
36.	Una de las siguientes expresiones no constituye una identidad trigonométrica,
identifíquela:
a) sen2
(θ)(1 + cot2
(θ)) = 1
b) 1 - csc2
(θ) = -cot2
(θ)
c) sen(θ)(cot(θ) + tan(θ)) = sec(θ)
d) (1 - sen2
(θ))(1 + tan2
(θ)) = -1

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Ejercicios cap 004

  • 1. 467pág. 4.1 Ángulos y medidas 1. Un ángulo es la unión de dos semirrectas de origen común. a) Verdadero b) Falso 2. Un ángulo queda determinado de manera única por su vértice. a) Verdadero b) Falso 3. Dos ángulos son adyacentes si son consecutivos y son suplementarios. a) Verdadero b) Falso 4. Dos ángulos suplementarios son siempre agudos. a) Verdadero b) Falso 5. Dos ángulos opuestos por el vértice siempre son complementarios. a) Verdadero b) Falso 6. Transformar cada ángulo dado de grados a radianes. a) 30º b) 135º c) -120º d) 450º e) -540º f ) 60º a) π/6 b) -5π/4 c) 4π/3 d) π/2 e) π/12 f ) 4π 7. Transformar cada ángulo dado de radianes a grados. 8. Complete la siguiente tabla: Radianes 0 π 6 π 4 π 2 2π 3 Grados sexagesimales 60º 135º 112º 150º 15º 9. El extremo del minutero de un reloj recorre 7π 10 cm en tres minutos. ¿Cuál es la longitud del minutero? 10. Determine la medida del ángulo, en el cual la medida de su suplemento es 4 veces la medida de su complemento. 11. Si la suma de las medidas de ocho ángulos congruentes es 180º. ¿Cuánto mide dicho ángulo en radianes? 12. La medida del ángulo suplementario de x es igual a 123º. Hallar la medida del ángulo x y la medida de su ángulo complementario. CAPÍTULO CUATRO4 Ejercicios propuestos
  • 2. 468pág. 4.2 Funciones trigonométricas elementales 13. Calcule el valor de las expresiones siguientes y represéntelas como una fracción o radical simplificado: a) sen(30º) cos π 2 -cos 7π 6 tan 3π 4 d) tan2 π 6 -cos2 2π 3 -tan 3π 4 b) sen 5π 6 cos 4π 3 -tan π 6 tan(330º) e) sen(120º) + cos(240º) tan(60º) + tan(330º) c) 3cos π 6 + sen 5π 6 -tan π 3 f ) 2sen2 π 6 cos2 (π) 4tan π 4 sen2 3π 4 14. Hallar el valor de cada expresión dada: c) 3sen(45º) - 4tan π 6 a) tan(π) + sen(π) d) sen(-40º) cos(50º) b) sen(50º) cos(40º) e) 6cos 3π 4 + 2tan - π 3 4.3 Gráficas de funciones trigonométricas 15. Parte de la gráfica de y= p + qcos(x) aparece a continuación. La gráfica contiene los puntos (0,3) y (π,-1). Determine cuál de los siguientes enunciados es verdadero: a) p2 + q2 = 9 b) p2 - q2 = 3 c) p2 - q2 = -9 d) p + q = -3 e) p2 - q2 = -3 y x 3 2 1 0 -1 2ππ 16. Si se tiene la función f : [0,π]→ , tal que f (x)= 2-1 cos(2x), entonces su gráfica es: a) f -1 1 π 2 π 3π 2 2π y x b) f y x 1/2 -1/2 π 2 3π 2 2ππ
  • 3. 469pág. 18. Graficar: a) y = 2cos x - π 4 + 1 b) y = |sen(2x) -1| - 1 c) y = 1-tan(π - x) d) y = 0.5 - sen(x/2) e) y = sgn(cos(2x)) 17. El siguiente diagrama muestra parte de la gráfica de una curva senoidal f(x)= p + qsen(kx). El período es 4π, el valor mínimo es 3 y el valor máximo es 11 (esta gráfica no está a escala). Halle el valor de: a) p b) q c) k y x 0 e) f y x 1/2 -1/2 π 2 π 4 3π 4 π c) y x f 2 -2 π 4 π 2 3π 4 π d) y x f 2 -2 π 4 π 2 3π 4 π
  • 4. 470pág. 4.4 Funciones trigonométricas inversas 20. Sea α = arccos(-1/2), π/2 < α < π y β = arcsen(- 3/2), 3π/2 < β < 2π; encuentre el valor de sen(α) + tan(β). 21. Encuentre el valor de cos(x) si x = arctan (4/7), x ∈ π, 3π 2 . 4.5 Identidades trigonométricas 23. ∀x, y ∈ , [sen-1 ( x + y) = sen-1 (x) + sen-1 (y)] a) Verdadero b) Falso 22. Simplificar las siguientes expresiones: d) sen arctan - 5 3 b) cos(arctan(x)) c) arccos cos -17 5 πa) cos(arcsen(x)) La altura h puede tener como modelo a la función h(t) = acos(bt) + 3. a) Use la gráfica anterior para hallar los valores de las constantes a y b. b) A partir del resultado anterior, calcule la altura de la marea a las 13:00. c) ¿A qué hora estará la marea en su mínimo durante el segundo período de 8 horas? 19. La gráfica muestra la altura h de las mareas en metros, a las t horas pasadas la media noche en la isla de Tahini. h t 5 3 1 0 Altura de las mareas en Tahini Número de horas pasada la media noche 4 8 12
  • 5. 471pág. 24. El valor de la expresión 8cos(10º)cos(20º)cos(40º) es: a) 8cos(70º) b) 1 c) tan(10º) d) cot(10º) e) 8 27. Si π/2<x<π y sen(x)= 5/13, entonces el valor de sen(2x), es: a) -10/13 b) 12/13 c) -12/13 d) 120/169 e) -120/169 28. La expresión: 1 + sec(3x) 2sec(3x) , es equivalente a: a) sec(3x) b) sec(2x) c) -1 d) cos(3x/2) e) sec(3x/2) 30. Hallar el valor de: tan(19π/12). 25. El valor de cos(π/12) es: a) 4 3 - 1 b) 4 3 + 2 c) 4 2 + 1 d) 4 6 + 2 e) 4 3 + 1 26.Si π/2<x<π y sen(x)= 5/13, entonces el valor de cos(x+π/3) es: a) - 26 12 + 5 3 b) 74 5 3 + 7 c) 74 3 3 - 1 d) 26 3 - 7 3 e) 74 5 - 7 3 29. La expresión que no representa una identidad trigonométrica es: c) tan(x) cos(x) = 1 csc(x) b) cos(4x) = cos2 (2x) - sen2 (2x) e) tan(2x) = 2tan(x) 1 - tan2 (x) a) sen x 2 cos x 2 = 1 2 sen(x) d) sen2 (2x) + cos2 (2x) = 2 31. Hallar (gof ) (x) si f y g están definidas por las siguientes reglas de correspondencia: f (x) = cos(x) ; x ≥ 0 ln(-x) ; x < 0 y g(x) = x ; |x| ≤ 1 ex ; |x| > 1 32. Si tan(25º)= a, representar en términos de a la siguiente expresión: tan(245º) + tan(335º) tan(205º) - tan(115º)
  • 6. 472pág. 33. Simplificar y hallar el valor de las siguientes expresiones: a) 2sen(10º) 1 - 2sen(70º) b) sen π 12 cos π 12 c) tan(55º) - tan(35º) d) cos π 5 cos 3π 5 e) sen 3π 2 + α tan π 2 + β cos(π - α) cot 3π 2 - β - sen 3π 2 - β + cot π 2 + α cos(2π - β) tan(π - α) f) cos π 65 cos 2π 65 cos 4π 65 cos 8π 65 cos 16π 65 cos 32π 65 34. Demuestre: cos-1 10 3 + cos-1 5 2 = π 4 35. Demuestre: a) sen3 (α - 270º) cos(360º - α) tan3 α - π 2 cos3 α - 3π 2 = cos(α) b) cos2 (α ) cot α 2 - tan α 2 = 1 4 sen(2α) c) tan2 (2x) - tan2 (x) 1 - tan2 (2x) tan2 (x) = tan(3x)tan(x) d) sen(ω)sen(60º - ω) sen π 3 + ω = 1 4 sen(3ω) e) sen(47º) + sen(61º) - sen(11º) - sen(25º) = cos(7º) f) 1 + sen(β) + cos(β) 1 + sen(β) - cos(β) = 1 + cos(β) sen(β) 36. Una de las siguientes expresiones no constituye una identidad trigonométrica, identifíquela: a) sen2 (θ)(1 + cot2 (θ)) = 1 b) 1 - csc2 (θ) = -cot2 (θ) c) sen(θ)(cot(θ) + tan(θ)) = sec(θ) d) (1 - sen2 (θ))(1 + tan2 (θ)) = -1
  • 7. 473pág. 37. Si π < α < 3π/2 y sen(α) = -3/5, hallar el valor de tan(2α). 38. Si tan(α)=1/7; sen(β)=1/ 10; α ∈(0,π/2) y β ∈(0,π/2), determine sen(α + 2β). 39. Si f (x) = 2tan(x/2); x ∈ [0, π/2], hallar el valor de f (2π/3) - f (π/2). 40. Si sen(x) = -12/13; 3π/2 ≤ x ≤ 2π, hallar el valor de cos(x + π/3). 41. Encuentre una expresión para tan(3α) en términos de tan(α). 42. Si tan(α)= -7/24 y cot(β)=3/4, π/2 < α < π, π < β < 3π/2, encuentre el valor de cos(α + β). 44. Dado que sen(x) = 1 3 , donde x es un ángulo agudo, halle el valor de: a) cos(x) b) cos(2x) c) sen(2x) 43. Demostrar las siguientes identidades trigonométricas: a) (2sen2 (θ) - 1)2 sen4 (θ) - cos4 (θ) = 1 - 2cos2 (θ) b) 2tan(x) 1 - tan2 (x) + 1 2cos2 (x) - 1 = cos(x) + sen(x) cos(x) - sen(x) c) tan(α) + 1 cos3 (α) - 1 sec(α) - tan(α) = sen2 (α) cos3 (α) d) 3cos2 (z) + 5sen(z) - 5 cos2 (z) = 3sen(z) - 2 1 + sen(z) e) 2sen2 (ω) + 3cos(ω) - 3 sen2 (ω) = 2cos(ω) - 1 1 + cos(ω) f) sen2 (t) + 4sen(t) + 3 cos2 (t) = 3 + sen(t) 1 - sen(t) g) sec( y) - cos( y) 1 + sen( y) = tan( y)
  • 8. 474pág. 4.6 Ecuaciones e inecuaciones trigonométricas 45. Sea p(x): 2sen2 (x) - 7sen(x) + 3 = 0 y x ∈ [0, π], la suma de los elementos de Ap(x) es: a) π b) π/3 c) 5π/3 d) 7π/6 e) 2π 46. Sea p(x): sen(x) > 1 2 , x ∈(0, 2π), hallar Ap(x). 47. Sea q(x): cos(x) < 1 3 , x ∈(0, 2π), hallar Aq(x). a) Halle el valor de R y la medida del ángulo α. b) Halle el rango de f. c) Es inversible f, ¿por qué? d) Halle el valor de x que satisface la ecuación f (x) = 2. 48. La función f de dominio 0, π 2 se define como f (x) = cos(x) + 3 sen(x). Esta función puede también expresarse de la forma f (x) = Rcos(x - α), donde R > 0 y 0 < α < π 2 . 49. Considere el predicado p(x): 2sen2 (x) = 1 - cos(x), x ∈[0, 2π]. La suma de los elementos de Ap(x) es: a) 8π 3 b) 3π c) 4π 3 d) 4π e) 7π 3 50. Resuelva la ecuación 2cos2 (x) = sen(2x), siendo 0 ≤ x ≤ π.