Este documento presenta una introducción a la lógica y los conjuntos. Explica conceptos clave como razonamiento, lógica, proposiciones, términos esenciales y operadores lógicos. También describe el logicismo, la doctrina que sostiene que las matemáticas pueden reducirse a la lógica, y los intentos de Gottlob Frege y Bertrand Russell por completar este proyecto a través de sus obras.

1. Unidad 1
Lógica y Conjuntos

2. Lógica
¿Qué es el Razonamiento?
¿Qué es Lógica?
División de la Lógica
Proposiciones
Términos Esenciales
Proposiciones Simples
Proposiciones Compuestas

3. Es la doctrina que sostiene que la Matemática es en
algún sentido importante reducible a la lógica.
Logicismo
La doctrina logicista tuvo su primer antecedente en
Gottfried Leibniz. Sin embargo, el primer intento
serio y detallado de reducir la matemática a la lógica
tuvo que esperar hasta el siglo XIX, cuando Richard
Dedekind y Giuseppe Peano articularon los principios
básicos de la matemática, y Gottlob Frege desarrolló
el primer sistema de lógica de predicados.

4. Gottlob Frege dedicó gran parte de su carrera al proyecto
logicista. Sus dos obras principales al respecto se
titularon Conceptografía (1879) y Los fundamentos de la
aritmética (1884). Sin embargo, a principios del siglo
XX, Bertrand Russell descubrió una inconsistencia grave
en los principios de los que Frege había partido, hoy
conocida como la Paradoja de Russell. Esto desanimó a
Frege, quien terminó abandonando el proyecto.
Logicismo

5. Logicismo
Entre 1910 y 1913, Bertrand Russell y Alfred North Whitehead
publicaron Principia Mathematica, un intento monumental de
reparar los problemas en el sistema de Frege y completar el
proyecto logicista. Sin embargo, el sistema de Principia
Mathematica tuvo sus propios problemas. En particular, dos de
sus axiomas fueron muy cuestionados: por un lado el axioma de
infinitud, que afirma que existe un número infinito de objetos,
fue criticado por parecer más una proposición empírica que una
verdad lógica. Por otro lado, el axioma de reducibilidad, que
resuelve algunas dificultades técnicas del sistema, fue criticado
por ser demasiado ad hoc como para estar filosóficamente
justificado.

6. ¿Qué es el Razonamiento?
 Operación mental por la cual a partir de una o
varias premisas se deduce una nueva premisa,
también llamada conclusión.
Premisas:
a) Cristian es mayor que Verónica
b) Verónica nació dos años antes que Silvana.
Conclusión: “Cristian es mayor que Silvana”

7. ¿Qué es la Lógica? 1er intento
 La ciencia de las leyes del pensamiento
 Pensamiento es “materia” de los psicólogos
 No todos los pensamientos son “materia” de la lógica
 Todo razonamiento es un pensamiento pero no todo pensamiento es
un razonamiento
 Recordar, lamentarse, imaginarlo
 Asociación libre – una imagen remplaza a otra sin orden lógico
 El sueño

8. ¿Qué es la Lógica? 2do intento
 La ciencia del razonamiento
 Gracias a un razonamiento se resuelve un problema, a través de un
proceso que extrae conclusiones a partir de premisas
 Este proceso es :
 Extremadamente complejo
 Emotivo
 Compuesto de un ciclo de prueba-error
 “Iluminado” por momentos de comprensión o intuición

9. ¿Qué es la Lógica? 3er intento
 Es el estudio de los métodos y principios que se usan
para distinguir el razonamiento bueno (correcto) del
malo (incorrecto)
 ¿Un arte o una ciencia?
 La práctica llevará al perfeccionamiento
 Análisis de las falacias
 errores frecuentes del razonamiento

10. ¿Qué es la Lógica?
 Es el análisis formal de los razonamientos, es decir
si la conclusión del razonamiento deriva de una
secuencia lógica de las premisas que la
fundamentan.
Premisas:
a) Cristian es mayor que Verónica
b) Verónica nació dos años antes que
Silvana.
Conclusión: “Cristian es mayor que Silvana”
¿La conclusión es Verdadera o Falsa?

11. La Lógica
 ¿Tiene solución el problema?
 ¿Se sigue la conclusión de las premisas que se han afirmado o
supuesto?
 Si el problema queda resuelto, si las premisas proporcionan las
bases adecuadas para afirmar la verdad de la conclusión,
entonces el razonamiento es correcto. De lo contrario es
incorrecto.
La distinción entre razonamiento correcto e incorrecto es el
problema central con el que trata la lógica

12. División de la Lógica
L
O
G
I
C
A
G
E
N
E
R
A
L
Lógica
Dialéctica
Lógica
Formal
(Lógica Matemática)
Estudia el contenido
Estudia la forma
Lógica Proposicional

13. Proposiciones
 Proposición es el contenido de una oración el cual puede
ser verdadero o falso
 Difieren de las preguntas, órdenes y exclamaciones
 Éstas no pueden ser verdaderas o falsas
 Dos oraciones pueden emplearse para afirmar la misma proposición
 Juan ama a María
 María es amada por Juan
 Usamos el término proposición para referirnos al contenido que ambas
oraciones afirman

14. ¿Qué es una Proposición?
 Es toda frase con sentido completo y que puede ser valorada
como verdadera o falsa.
 Es una afirmación que comunica una idea verdadera o falsa
 Expresión de la que tiene sentido decir si es verdadera o falsa
Una proposición es una sentencia (oración) correctamente
formada que puede ser verdadera o falsa
 Es una sentencia declarativa.
 Representa un hecho de la realidad.
 Es una oración del lenguaje que consta de un sujeto y un
predicado, tiene un valor afirmativo.
 Las oraciones interrogativas, exclamativas, imperativas, no
afirman nada y no pueden ser considerados enunciados.

15.  Una proposición puede identificarse a través de una
variable proposicional (letras minúsculas)
Ejemplos: Variables Proposicionales
Letras minúsculas de la “p” a la “z”
– p: Los perros siempre tienen tres patas.
– q: Miriam se casará con Ricardo.
Proposiciones

16. Proposiciones
 Una proposición se interpreta en un contexto
 El presidente actual es del partido de la U
 Dependiendo del momento, esta oración
corresponde a un enunciado verdadero (Juan
Manuel Santos) o a un enunciado falso (Andrés
Pastrana)
 Los términos enunciado y proposición no son
exactamente sinónimos

17.  1 + 4 = 5
(Verdad)
 La Pampa es una
nación. (Falso)
 8 + 23 (no es
proposición)
 María (no es
proposición)
Ejemplos
Analiza si son o no
proposiciones
Luís y Marta van de pesca.
Luis llamó a Marta para salir.
El autobús pasa a las seis
Mañana lloverá.
¡siéntate!
¿cuándo sale el autobús?
¿fueron a pescar Luis y Marta
finalmente?

18. Términos esenciales
 Inferencia es el proceso por el cual se llega a una
proposición y se afirma sobre ella en base de una o
más proposiciones aceptadas como punto inicial del
proceso

19. Argumento
 En correspondencia a cada inferencia existe un
argumento
 Un argumento es cualquier conjunto de
proposiciones de las cuales se dice que una se
sigue de las otras, que pretenden apoyar o
fundamentar su verdad

20. Premisa-Conclusión
 Un argumento tiene una estructura: premisa-
conclusión
 La conclusión de un argumento es la proposición
que se afirma con base en las otras proposiciones
del argumento
 Las otras proposiciones afirmadas o supuestas
para aceptar la conclusión son las premisas del
argumento.

21. Hay dos tipos de
proposiciones
Simples o Atómicas: Son aquellas que constan
de sólo una proposición, como las
mencionadas anteriormente:
“La ventana es rectangular”, “el disco es
redondo”, etc.
Compuestas o Moleculares: Son aquellas que
constan de dos o más proposiciones, unidas
mediante las llamadas conectivas lógicas: la
conjunción, la disyunción, la condicional y la
bicondicional:
“La ventana es rectangular y el marco es de
madera”
“Si hoy es lunes entonces mañana es martes”
Clases de proposiciones

22. Proposiciones Atómicas o Simples
 Una proposición Simple es una afirmación
conformada por una sola oración gramatical.
 Una proposición es simple o atómica si no puede
ser descompuesta en proposiciones más simples.
 Las proposiciones simples o atómicas son indicadas
de manera afirmativa.

23. Ejemplos:
r: Un triángulo equilátero es aquel cuyos lados tienen la
misma medida
Es una proposición simple, puesto que está conformada por
una sola oración.
 La casa es grande. (es atómica)
 La casa no es grande. ( no es atómica)
 Hoy es viernes y tenemos clase. (no es atómica)
Proposiciones Atómicas o Simples

24. Proposiciones Moleculares o Compuestas
 Una proposición es compuesta o molecular
si no es atómica, es decir, si puede ser
descompuesta en proposiciones más
simples.
 Una proposición compuesta o molecular se
forma al unir proposiciones atómicas
utilizando conectivos lógicos o términos de
enlace.

25.  Ejemplos
 Vamos en bicicleta o vamos a pie.
 No es cierto que Juan llegó temprano
 Juan no llegó temprano
 Luis es arquitecto y Martín es médico.
 La medalla no es de plata y el diploma parece falso.
 Matías aprobó pero Lucas no.
Proposiciones Moleculares o Compuestas

26.  Son términos funcionales que enlazan las proposiciones
simples para formar proposiciones compuestas.
Monádicos
Diádicos
Negador
Conjuntor
Disyuntor Débil
Disyuntor Fuerte
Implicador
Replicador
Biimplicador
Operadores o Conectivos Lógicos

27. Operadores o Conectivos Lógicos
Los conectivos lógicos o conectores son
palabras que vinculan las ideas expresadas en dos
o más proposiciones simples, para comunicar
algo más complejo. Los conectivos lógicos están
identificados con un símbolo especial y un
nombre que representan la función que cumplen.

28. Conectivo
Lógico
Notación Nombre
O
 Disyunción
Y
 Conjunción
Sí…entonces
 Implicación
Sí y sólo sí
 Equivalencia
No
 Negación
Operadores o Conectivos Lógicos

29. 
Operadores o Conectivos Lógicos

30. Negación ~
 Definición: Negación de la proposición p es la
proposición –p (no p), cuya tabla de valores de
verdad es:
 Se trata de una operación unitaria, pues a partir de
una proposición se obtiene otra, que es su negación
p

p
p
V F
F V
 p

31. Negación
 Cambia el valor de verdad de una proposición
simple.
~
Ejemplo:
p: Ricardo juega en el patio
q: Eduardo estudia matemática
Aplicando el operador lógico resulta:
~p: Ricardo no juega en el patio
~q: Es falso que Eduardo estudia matemática

32.  La negación de
 p: Todo hombre es honesto.
 Es:
 -p: no todo hombre es honesto.
 O bien:
 -p: no es cierto que todo hombre es honesto.
 -p: hay hombres que no son honestos.
 -p: Existen hombres deshonestos.
 La cual es V, ya que la primera es falsa
Negación ~

33. Conjunción
 Definición: Conjunción de las proposiciones p y q es la
proposición p q, cuya tabla de valores de verdad es:
 La tabla que define la operación establece que la
conjunción sólo es verdadera si lo son las dos
proposiciones componentes. En todo otro caso es falsa


p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F

34. Conjunción
 La Conjunción es una operación lógica que usa el conectivo
“Y” para relacionar dos proposiciones simples y construir
una proposición compuesta.
Ejemplo:
p: Ricardo juega en el patio
q: Eduardo estudia matemática
Aplicando el operador lógico resulta:
pq: Ricardo juega en el patio y Eduardo
estudia matemática.
qp: Eduardo estudia matemática mientras
 que Ricardo juega en el patio.


35. p: Ocho es un numero par (V)
q: Es divisible entre cuatro (V)
p  q :Ocho es un número par y es divisible entre
cuatro (V)
‘’’’’’’’’
r: Colombia es un país de Suramérica (V)
s: Fidel Castro es el Presidente de Colombia (F)
r  s : Colombia es un país de Suramérica y Fidel
Castro es su presidente (F)

36. p: Simón Bolívar es el libertador de Estados Unidos (F)
q: Caracas es la capital de Venezuela (V)
p  q : Simón Bolívar es el libertador de Estados Unidos
y Caracas es la capital de Venezuela (F)
‘’’’’’’’’
r: Bogotá es la capital de Suráfrica (F)
s: La Tierra es el centro del sistema solar (F)
r  s: Bogotá es la capital de Suráfrica y la tierra es el
centro del sistema solar (F)

37. Disyunción 
 Definición: Disyunción de las proposiciones p y q es la
proposición p  q (p o q), cuya tabla de valores de
verdad es:
p q p v q
V V V
V F V
F V V
F F F

38. Disyunción 
La Disyunción de dos proposiciones simples se obtiene
usando el conectivo lógico “o”. Si r y s son dos
proposiciones simples la disyunción se escribe r  s y se
lee r o s.
La Disyunción O es utilizada en sentido incluyente, ya
que la verdad de la disyunción se da en el caso de que al
menos una de las proposiciones de V. En el lenguaje
ordinario la palabra O es utilizada en sentido excluyente o
incluyente.

39. Disyunción 
La ambigüedad se elimina con la elección del símbolo
adecuado.
En matemática se utiliza la disyunción definida por la
tabla precedente, la cual agota la posibilidad.
La disyunción solo es F en el caso en que las dos
proposiciones componentes sean falsas.

40.  Afirma que una de las proposiciones puede ser verdadera.
Ejemplo:
p: Ricardo juega en el patio
q: Eduardo estudia matemática
Aplicando el operador lógico resulta:
p  q: Ricardo juega en el patio o Eduardo
estudia matemática.
Disyunción 

41. p: Putumayo es un Departamento de Colombia (V)
q: El río Amazonas es el más caudaloso del mundo (V)
p  q : Putumayo es un Departamento de Colombia o el
río Amazonas es el más caudaloso del mundo (V)
///////////
r: Gabriel García Márquez es un escritor (V)
s: Shakira no es una cantante colombiana (F)
r  s : Gabriel García Márquez es un escritor o Shakira
no es una cantante colombiana (V)

42. p: Camilo Villegas no es un Golfista (F)
q: Edgar Rentería es un beisbolista (V)
p  q : Camilo Villegas no es golfista o Edgar Rentería
es un beisbolista (V)
///////////
r: Leonel Messi es un cantante famoso (F)
s: Radamel Falcao es un futbolista peruano (F)
r  s : Leonel Messi es un cantante famoso o Radamel
Falcao es un futbolista peruano (F)

43. Implicación 
La implicación de dos proposiciones simples se obtiene
utilizando el conectivo lógico si… entonces. La
implicación entre dos proposiciones simples t y k se
escribe t  k y se lee si t entonces k.
t k t  k
V V V
F V V
V F F
F F V

44. En la implicación t  k, t es condición necesaria y
suficiente para que ocurra k, por esta razón, a t se le
denomina antecedente y a k consecuente.
Por ejemplo, sean t y k las proposiciones:
t: Camilo estudia
k: Aprobará el año
Se escribe t  k y se lee
Si Camilo estudia, entonces, aprobará el año

45. Implicación 
 Indica una relación de causa-efecto.
 La proposición de la izquierda condiciona a la de la
derecha.
 Admite más de un condicionante.
Ejemplo:
p: Eduardo estudia matemática
q: Eduardo juega en el patio
Aplicando el operador lógico resulta:
p→q: Si Eduardo estudia matemática
entonces Eduardo jugará en el patio.

46. Ejemplos de Implicación
Establece el valor de verdad de cada proposición
simple. Luego determina el valor de verdad de cada
implicación.
p: La Tierra está en el sistema solar (V)
r: La Tierra gira alrededor del Sol (V )
q: La Tierra no es un planeta (F)
s: La Tierra es una estrella (F)
p  r : Si la Tierra está en el sistema solar, entonces,
la Tierra gira alrededor del sol (V)

47. q  s : Si la Tierra no es un planeta, entonces, la
Tierra es una estrella (V)
s  p : Si la Tierra es una estrella, entonces, la Tierra
está en el sistema solar (V)
p  q : Si la Tierra está en el sistema solar, entonces,
la Tierra no es un planeta (F)
p  s: Si la Tierra está en el sistema solar, entonces, la
Tierra es una estrella (F)
r  q : Si la Tierra gira alrededor del Sol, entonces, la
Tierra no es un planeta (F)

48. s  q
r  s
r  p

49. Equivalencia 
La Equivalencia entre dos proposiciones simples se
establece utilizando el conectivo lógico “sí y sólo sí”.
Para representar la equivalencia entre dos
proposiciones m y v se escribe m  v y se lee m si y
solo sí v.
m v m  v
V V V
V F F
F V F
F F V

50. La equivalencia entre dos proposiciones simples
es verdadera cuando ambas son verdaderas, o
cuando ambas son falsas.
Cuando dos proposiciones m y v son
equivalentes, se da a entender que m es
condición necesaria y suficiente para que se
cumpla v, y a su vez, v es condición necesaria y
suficiente para que se cumpla m. Es decir, se
cumple que m  v y v  m

51. Ejemplo
Sean las proposiciones m y v
m: Los estudiantes ganarán el año escolar
v: Los estudiantes estudian juiciosamente
m  v: Los estudiantes ganarán el año
escolar, si y sólo sí, los estudiantes estudian
juiciosamente.

52. Ejemplo
Sean las proposiciones p, q, s y t
p: Cartagena es la capital del departamento de
Bolívar
q: Colombia es un país de Suramérica
s: Bolívar es un Departamento de Colombia
t: Simón Bolívar no es Libertador de Colombia
p  q: p  t:
p  s: q  t:
s  q:
q  p: t  p:
s  p:

53. Ideas Claves - Proposiciones
Proposición
Frase que es cierta o
falsa.
No ambos
Simple
Formada por un sujeto
o término y un
predicado
Abierta
El término es variable y de él depende el valor de verdad
X es par
Cerrada
El término es constante. Es verdadera o falsa.
2 es par
Compuesta
Formada por 2 o más
proposiciones simples
unidas por un
conectivo lógico
Conjunción
El conectivo es «y», se simboliza . Solo es verdadera cuando
las proposiciones simples que la forman son verdaderas
Disyunción
El conectivo lógico es «o», se simboliza . Sólo es falsa cuando
las proposiciones que la forman son falsas
Implicación
El conectivo lógico es «si… entonces». Se simboliza  . Sólo
es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente falso
Equivalencia (Doble Implicación)
El conectivo es «si y sólo si». Se simboliza  . Es verdadera si
las proposiciones que la forman tienen igual valor de verdad

54. Conjuntos
Noción de Conjuntos
a. Determinación de Conjuntos
b. Representación gráfica de Conjuntos
c. Clasificación de Conjuntos
Relaciones entre Conjuntos
Operaciones entre Conjuntos
a. Unión entre Conjuntos
b. Intersección entre conjuntos
c. Complemento de un Conjunto
d. Diferencia entre Conjuntos
e. Diferencia Simétrica

55. Introducción
La teoría de conjuntos que conocemos hoy día la
debemos principalmente al matemático alemán
George Cantor (1845-1918). Algunas de las cosas
que él demostró se contrapuso a la teoría aceptada
en su época.
Tuvo un largo debate sobre el concepto del infinito y
trabajó el concepto de cardinalidad de un conjunto.

56. Los conjuntos se aplican en muchas áreas de la
vida diaria ya que la mayor parte de lo que
observamos a nuestro alrededor se compone de
elementos de un conjunto.
Hay conjuntos que son subconjunto de otros, hay
conjuntos que son finitos y otros que son infinitos.
Introducción

57. Noción de Conjuntos
En matemáticas el concepto de conjunto es
considerado primitivo y no se da una definición de
este, por lo tanto la palabra CONJUNTO debe
aceptarse lógicamente como un término no definido.
Un conjunto se puede entender como una colección
o agrupación bien definida de objetos de cualquier
clase. Los objetos que forman un conjunto son
llamados miembros o elementos del conjunto.

58. Ejemplo:
En la figura adjunta
tienes un Conjunto de
Personas
Noción de Conjuntos

59. 59
 Un conjunto es una colección de objetos considerada
como un todo.
 Los objetos de un conjunto son llamados elementos o
miembros del conjunto.
 Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier
cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc.
 Un conjunto no posee elementos repetidos.
Noción de Conjuntos

60. ¿Qué entendemos por Conjunto?
Un conjunto es una agrupación o
colección bien definida de objetos,
llamados elementos, con un criterio
que permite identificar cuándo un
objeto determinado pertenece o no
a la agrupación

61. ¿Qué entendemos por Elemento?
Llamaremos elemento, a cada uno de
los objetos que forman parte de un
conjunto, estos elementos tienen
carácter individual, tienen cualidades
que nos permiten diferenciarlos, y cada
uno de ellos es único, no habiendo
elementos duplicados o repetidos

62. Todo conjunto se escribe entre llaves { } y se le
denota o designa mediante letras mayúsculas A,
B, C, ...,sus elementos se separan mediante
punto y coma.
Ejemplo:
El conjunto de las letras del alfabeto; a, b, c, ...,
x, y, z. se puede escribir así:
L={ a; b; c; ...; x; y; z}
Notación de Teoría de Conjuntos

63. Notación de Teoría de Conjuntos
Los elementos que forman el conjunto se
simbolizan o denotan con letras minúsculas: a, b,
c, d, a menos que dichos elementos sean a su
vez conjuntos.
En teoría de conjuntos no se acostumbra
repetir los elementos por ejemplo:
El conjunto {x; x; x; y; y; z }
simplemente será { x; y; z }.

64. Notación de Teoría de Conjuntos
Ejemplo:
A= {a;b;c;d;e} su cardinal n(A)=
B= {x;x;x;y;y;z} su cardinal n(B)=
Al número de elementos que tiene un conjunto
Q se le llama CARDINAL DEL CONJUNTO y se
le representa por n(Q).
5
3

65. Determinación de Conjuntos
Cuando se expresa un conjunto es importante
determinarlo de tal forma que se pueda decir si un
elemento le pertenece o no. Hay dos formas de
determinar conjuntos:
 Por extensión o forma tabular: Se dice que un
conjunto es determinado por extensión (o
enumeración), cuando se da una lista que
comprende a todos los elementos del conjunto y
sólo a ellos. En un conjunto determinado por
extensión no se repite un mismo elemento. Por
ejemplo: B = { 2, 4, 6, 8 }

66. Determinación de Conjuntos
I) POR EXTENSIÓN (Enumerando sus elementos)
A) El conjunto de los números pares mayores que 5 y
menores que 20.
A = { 6;8;10;12;14;16;18 }
Ejemplos:
B) El conjunto de números negativos impares
mayores que -10.
B = {-9;-7;-5;-3;-1 }

67. Determinación de Conjuntos
 Por comprensión o forma constructiva: Se dice
que un conjunto es determinado por comprensión,
cuando se da una propiedad que la cumpla en
todos los elementos del conjunto y sólo a ellos.
Este implica usar la notación siguiente para
determinar un conjunto dado A.
A = { x tal que x es un objeto que verifica una
condición dada }
O en forma más simple:
A = { x / x es un objeto que verifica una condición dada }
El símbolo / se lee «tal que»

68. Determinación de Conjuntos
Ejemplos:
II) POR COMPRENSIÓN (Indicando alguna caracterización de
sus elementos)
se puede entender que el conjunto P esta formado
por los números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
P = { los números dígitos }
Otra forma de escribir es: P = { x / x = dígito } se lee
“ P es el conjunto formado por los elementos x tal
que x es un dígito “

69. Representación Gráfica de Conjuntos
Un conjunto se puede representar gráficamente en
un diagrama conocido como Diagrama de Venn; en
el caso e los conjuntos numéricos también se
pueden expresar mediante un diagrama lineal. Por
ejemplo, el conjunto N = { 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5……}
Diagrama Lineal

70. Diagramas de Venn: Los diagramas de Venn que se deben al
filósofo inglés John Venn (1834-1883). Son esquemas que nos
permiten hacer la representación grafica de los conjuntos
mediante dibujos ó diagramas que pueden ser círculos,
rectángulos, triángulos o cualquier curva cerrada.
A cada conjunto se le considera encerrado dentro de una
curva (plana) cerrada. Los elementos del conjunto considerado
pueden ser específicamente dibujados o pueden quedar
(implícitamente) sobreentendidos. Los diagramas son
empleados, para representar tanto a los conjuntos como a sus
operaciones, y constituyen una poderosa herramienta
geométrica, desprovista de validez lógica.
Representación Gráfica de Conjuntos

71. A
MT
7
2
3
6
9
ae
i
o
u
(1;3) (7;6)
(2;4) (5;8)
84
1 5
Representación Gráfica de Conjuntos
El conjunto universo U, se representa por un rectángulo o
por un cuadrado.
U

72. Los conjuntos que se encuentran en el universo, se
representan por líneas curvas cerradas que demarcan
los elementos del conjunto.
2
3 5
4 1
A U
Representación Gráfica de Conjuntos

73. Clasificación de Conjuntos
Los Conjuntos se clasifican según su cantidad de
elementos.
CONJUNTO UNIVERSAL O REFERENCIAL
Es el conjunto que sirve de referencia para otros
conjuntos; contiene a todos los elementos de una
situación particular, generalmente se le representa por
la letra U. Ejemplo:
Si el conjunto P se define como P = {x/x es una vocal},
el conjunto referencial correspondiente es U = {x/x es
una letra del abecedario}

74. Clasificación de Conjuntos
CONJUNTO UNITARIO
Es un conjunto formado por un solo elemento.
Ejemplo:
L = {x / x es el doble de 3}
L = {6}

75. Clasificación de Conjuntos
A =  o A = { } se lee: “A es el conjunto vacío” o “A
es el conjunto nulo “
CONJUNTO VACÍO
Es un conjunto que no tiene elementos, también se
le llama conjunto nulo. Generalmente se le
representa con la letra griega  que se lee «fi», o con
un par de llaves sin elementos en su interior { }
Ejemplo:
M = { números mayores que 9 y menores que 5 }

76. Clasificación de Conjuntos
CONJUNTO FINITO
Es un conjunto que está formado por un
número determinado de elementos, y por
tanto, que se puede contar.
Ejemplo:
E = { x / x es un número impar positivo menor que 10 }

77. CONJUNTO INFINITO
Es un conjunto que está formado por un número
indeterminado de elementos, por tanto, no se
puede contar.
Ejemplo:
S = { x / x es un número par }
Clasificación de Conjuntos

78. Relaciones entre Conjuntos
Cuando se habla de conjuntos se puede dar
dos tipos de relaciones: una entre un elemento
y un conjunto, y otra entre conjuntos.
Relación entre un Elemento y un Conjunto
La relación que se establece entre un elemento
y un conjunto se conoce con el nombre de
Relación de Pertenencia.

79. Relación de pertenencia
Para indicar que un elemento pertenece a un
conjunto se usa el símbolo:
Si un elemento no pertenece a un conjunto se
usa el símbolo:
Ejemplo: Sea M = {2;4;6;8;10}
2 M ...se lee 2 pertenece al conjunto M
5 M ...se lee 5 no pertenece al conjunto M



80. 80
Ejemplo
 a  A (a pertenece a A)
 b  A (b no pertenece a A)
a
Relación de pertenencia
e
i
b
c
o
u
V

81. Relación entre Conjuntos
Dados dos conjuntos A y B, entre ellos se pueden
presentar las siguientes relaciones:
INCLUSIÓN
Un conjunto A esta incluido en otro conjunto B ,sí y
sólo sí, todo elemento de A es también elemento de
B. Es decir para todo x  A  x  B, se representa
como A  B, y se lee A esta incluido en B, A es
subconjunto de B, A esta contenido en B , A es
parte de B.

82. NOTACIÓN :
REPRESENTACIÓN GRÁFICA :
B
A
A B
Relación entre Conjuntos - Inclusión

83. PROPIEDADES
I ) Todo conjunto está incluido en si mismo. A A
II ) El conjunto vacío se considera incluido en cualquier
conjunto.   A
III ) A está incluido en B ( ) equivale a decir que
B incluye a A ( )
A B
B A
IV ) Si A no está incluido en B o A no es subconjunto de
B significa que por lo menos un elemento de A no
pertenece a B. ( )A B
V ) Simbólicamente:      A B x A x B
Relación entre Conjuntos - Inclusión

84. Relación entre Conjuntos - Igualdad
IGUALDAD DE CONJUNTOS
Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si todos los
elementos de A son elementos de B y todos los
elementos de B son elementos de A. La igualdad entre
dos conjuntos se simboliza A = B y se lee A es igual a B.
Ejemplo:
A = { x / x2 = 9 } y B = { x / (x – 3)(x + 3) =0 }
Resolviendo la ecuación de cada conjunto se obtiene
en ambos casos que x es igual a 3 o -3, es decir : A = {-
3;3} y B = {-3;3} ,por lo tanto A=B
Simbólicamente :     A B (A B) (B A)

85. Ejemplos:
A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 1, 2} entonces A = B
C = {1, 2, 3, 3, 4, 1} y D = 1, 2, 2, 3, 4, 4} entonces C = D
E = {vocal de la palabra mundo} y F = {u, o } entonces E = F
Relación entre Conjuntos - Igualdad
A = B
A

86. Relación entre Conjuntos - Intersecantes
INTERSECANTES
Dos conjuntos A y B son intersecantes cuando tienen
elementos comunes pero A  B y B  A. Es decir, A
no está contenido en B y B no está contenido en A.
A B

87. Relación entre Conjuntos - Disyuntos
DISYUNTOS
Dos conjuntos A y B son Disyuntos cuando no tienen
ningún elemento en común.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
A B
1
7
5 3
9
2
4
8
6
Como puedes
observar los conjuntos
A y B no tienen
elementos comunes,
por lo tanto son
CONJUNTOS
DISJUNTOS

88. 88
Operaciones entre Conjuntos
Las operaciones entre conjuntos permiten
combinar dos o más conjuntos para producir
otros conjuntos bajo reglas bien definidas.
Si se tiene el conjunto referencia o universal U, y
los conjuntos A y B, se pueden definir entre ellos
las siguientes operaciones: Unión, Intersección,
Complemento, Diferencia y Diferencia Simétrica.

89. 89
A  B = {x / x  A  x  B }
Unión entre Conjuntos
La unión de los
conjuntos A y B es el
conjunto formado por
todos los elementos que
pertenecen tanto al
conjunto A como al
conjunto B. Se denota:
A U B.

90. Unión entre Conjuntos
Cuando no tienen
elementos comunes
Cuando tienen algunos
elementos comunes

91. Unión entre Conjuntos
Cuando todos los
elementos de un conjunto
pertenecen al otro
conjunto

92. Propiedades de la Unión entre
Conjuntos
1.A  B = B  A. La Unión es conmutativa.
2.(A  B)  C = A  (B  C). La Unión es
asociativa.
3.A   = A , para todo A.
4.A  U = U, para todo A.

93. 93
A  B = { x / x  A  x  B }
Se define la intersección
de dos conjuntos A y B
al conjunto formado por
los elementos que
pertenecen al conjunto A
y al conjunto B. Se
denota por A  B, que
se lee: A intersección B.
Intersección entre Conjuntos

94. Intersección entre Conjuntos
Cuando no tienen
elementos comunes
Cuando tienen elementos
comunes

95. Intersección entre Conjuntos
Cuando todos los
elementos de un conjunto
pertenecen al otro
conjunto

96. Propiedades de la Intersección
entre Conjuntos
1. A  B = B  A. La Intersección de conjuntos es
conmutativa
2. (A  B)  C = A  (B  C). La intersección de
conjuntos es asociativa
3. A  (B  C) = (A  B)  (B  C). La intersección de
conjuntos es distributiva con respecto a la unión.
4. A  (B  C) = (A  B)  (B  C). La Unión de
conjuntos es distributiva con respecto a la intersección
5. A   = , para todo A
6. A  U = A, para todo A

97. Complemento de un Conjunto
Ac = {x / x  U  x  A }
U A
El complemento de un
conjunto A contenido en
un conjunto Universal U
es el conjunto formados
por todos los elementos
que están en el conjunto
U pero no están en el
conjunto A. El
complemento de A se
escribe Ac.

98. Leyes de Morgan
Dados dos conjuntos A y B, se verifican las
siguientes propiedades conocidas como Leyes
de Morgan:
1.(A  B)c = Ac  Bc
2.(A  B)c = Ac  Bc

99. 99
B – A = {x / x  B  x  A }
La diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto
formado por todos los elementos que pertenecen al
conjunto A y que no pertenecen al conjunto B. La
diferencia se denota por: A – B que se lee: A diferencia
B o A menos B.
Diferencia entre Conjuntos

100. Diferencia entre Conjuntos
Cuando no tienen
elementos comunes
Cuando tienen
elementos comunes

101. Diferencia entre Conjuntos
Cuando todos los
elementos de un
conjunto pertenecen al
otro conjunto

102. Propiedades de la Diferencia
entre Conjuntos
1. Si A  B, entonces, A – B = 
2. Si B  A, entonces, A – B = Bc
A (complemento de
B con respecto a A)
3. A -  = A , para todo A
4. A – U = 
5. U – A = Ac

103. Diferencia Simétrica
La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el
conjunto formado por todos los elementos que
pertenecen a la unión de A y B y no pertenecen a la
intersección entre A y B. La diferencia simétrica entre
los conjuntos A y B se simboliza A  B.

104. Diferencia Simétrica
También es correcto afirmar que:
A B (A B) (B A)    
A B
A-B B-A

105. A B (A B) (A B)    
A B
Diferencia Simétrica

106. Propiedades de la
Diferencia Simétrica
1. A  B = B  A. La diferencia simétrica es conmutativa
2. A y B son conjuntos disyuntos, entonces, A  B = A  B
3. A   = A, para todo A
4. A  U = U – A = Ac

107. PROBLEMA 1
PROBLEMA 2
PROBLEMA 3
PROBLEMA 4
PROBLEMA 5
FIN

108. Dados los conjuntos:
A = { 1; 4 ;7 ;10 ; ... ;34}
B = { 2 ;4;6;...;26}
C = { 3; 7;11;15;...;31}
a) Expresar B y C por comprensión
b) Calcular: n(B) + n(A)
c) Hallar: A  B , C – A
SOLUCIÓN

109. Expresar la región sombreada en
términos de operaciones entre los
conjuntos A,B y C.
A B
C
A
B
C
SOLUCIÓN

110. Según las preferencias de 420
personas que ven los canales A,B
o C se observa que 180 ven el
canal A ,240 ven el canal B y 150
no ven el canal C, los que ven por
lo menos 2 canales son
230¿cuántos ven los tres canales?
SOLUCIÓN

111. 111
Ejercicios
 Dados los conjuntos
A = { 1, 2, 3} , B = {1, 2, 4, 5} y C = { 2, 3, 4}
Calcular
 A  B =
 A  B =
 A – B =
 B – A =
 A  B  C =
 A – ( B – C) =
{ 1,2 }
{ 1, 2, 3, 4, 5 }
{ 3 }
{ 4, 5 }
{ 2 }
{ 2, 3 }

112. 112
Ejercicio
Colorear la parte que representa el conjunto
(A  B) – ( A  C)

113. 113
Ejercicio
Colorear la parte que representa el conjunto
(A  B) – ( A  C)