metodos numericos

1. AJUSTE DE CURVAS
Compilado por: Jorge B.
• Los datos que son resultado de mediciones se dan
como valores discretos.
• Se puede necesitar la estimación de un punto
comprendido entre los valores obtenidos.
• Se podría requerir una curva que ajuste los datos
para obtener estimaciones intermedias.
• Podría ser necesario una versión simplificada de
una función simplificada.
• Estas necesidades se solucionan con el ajuste de
curvas

2. REGRESIÓN
Si los datos exhiben un grado significativo de
error o ruido, entonces la estrategia será
obtener una sola curva que represente la
tendencia general de los datos.

3. INTERPOLACIÓN
Si se conoce de antemano que los datos son muy
precisos, entones la estrategia será colocar una
curva o una serie de curvas que pasen por cada
uno de los puntos.

4. REGRESIÓN LINEAL
Se desea ajustar una serie de puntos (xi, yi) a una
línea recta dada por:
y = a0 + a1x + e
Donde a0 y a1 son coeficientes que representan la
intersección con el eje y la pendiente, y e es el error,
o diferencia, entre el modelo y las observaciones.
e = y – a0 – a1x

5. CRITERIO DEL MEJOR AJUSTE
En el método de mínimos cuadrados se desea
minimizar la suma de los cuadrados de los residuos.
( ) ( )


 =
=
=
−
−
=
−
=
=
n
i
i
i
n
i
modelo
i
medida
i
n
i
i
r x
a
a
y
y
y
e
S
1
2
1
0
1
2
,
,
1
2

6. AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS
( ) ( )


 =
=
=
−
−
=
−
=
=
n
i
i
i
n
i
modelo
i
medida
i
n
i
i
r x
a
a
y
y
y
e
S
1
2
1
0
1
2
,
,
1
2
( )
( )
 


−
−
−
=


−
−
−
=


i
i
i
r
i
i
r
x
x
a
a
y
a
S
x
a
a
y
a
S
1
0
1
1
0
0
2
2
Obtenemos
Igualando a 0






−
−
=
−
−
=
2
1
0
1
0
0
0
i
i
i
i
i
i
x
a
x
a
x
y
x
a
a
y
Resolviendo para a0 y a1
( )
x
a
y
a
x
x
n
y
x
y
x
n
a
i
i
i
i
i
i
1
0
2
2
1
−
=
−
−
=





Derivando respecto a a0 y a1

7. ( )
 −
=
2
y
y
S i
t
( )

=
−
−
=
n
i
i
i
r x
a
a
y
S
1
2
1
0
Error en la regresión lineal
Medición
a0 + a1x
yi – a0 – a1x
2
/
−
=
n
S
S r
x
y
La desviación estándar de la línea de
regresión es:
La magnitud del error residual antes
de la regresión es:
El coeficiente de determinación es:
t
r
t
S
S
S
r
−
=
2
El coeficiente de correlación es:
( )( )
( ) ( )2
2
2
2
2







−
−
−
=
=
i
i
i
i
i
i
i
i
y
y
n
x
x
n
y
x
y
x
n
r
r
En ajuste perfecto Sr = 0 y r = r2 = 1.
Si r = r2 = 0, Sr = St, el ajuste no
representa alguna mejora.
x
y

8. Ejemplo
Ajustar con mínimos cuadrados los siguientes datos
X Y
0 5
2 6
4 7
6 6
9 9
11 8
12 7
15 10
17 12
19 12

9. Linealización de relaciones no lineales
x
e
y 1
1


=
x
y
x
y
2
2

 x
y =
x
y
x
x
y
+
=
3
3


x
ln y
log x
log y
1/x
1/y
Pendiente = 1
Pendiente = 2
Pendiente = 3/3
Intersección = ln 1 Intersección = log 2
Intersección = 1/3

10. Ejemplo
2
2

 x
y =
x y
1 0.5
2 1.7
3 3.4
4 5.7
5 8.4
Ajustar los siguientes datos a

11. Regresión Polinomial
( )

=
−
+
−
=
n
i
i
i
i
r x
a
x
a
a
y
S
1
2
2
2
1
0
Ajuste a un polinomio cuadrático
y = a0 + a1x + a2x2 + e
La suma de los cuadrados de los
residuos es:
De aquí obtenemos: ( )
( )
( )



−
+
−
−
=


−
+
−
−
=


−
+
−
−
=


2
2
1
0
2
2
2
2
1
0
1
2
2
1
0
0
2
2
2
i
i
i
i
r
i
i
i
i
r
i
i
i
r
x
a
x
a
a
y
x
a
S
x
a
x
a
a
y
x
a
S
x
a
x
a
a
y
a
S

12. Reordenando se obtiene
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 










=
+
+
=
+
+
=
+
+
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
y
x
a
x
a
x
a
x
x
y
a
x
a
x
a
x
y
a
x
a
x
na
2
2
4
1
3
0
2
2
3
1
2
0
2
2
1
0
3
/
−
=
n
S
S r
x
y
El error estándar es:






−
−
=
−
−
=
2
1
0
1
0
0
0
i
i
i
i
i
i
x
a
x
a
x
y
x
a
a
y

13. Ejemplo
x 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
y 17 24 31 33 37 37 40 40 42 41
Ajustar a un polinomio de segundo grado.

14. TALLER

15. Ejemplo
x
x
y
+
=
3
3


x 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
y 17 24 31 33 37 37 40 40 42 41
Usar regresión de mínimos cuadrados para ajustar a una
ecuación de taza de crecimiento de saturación.
3
3
3
3
3
1
1
1
1





+
=
+
=
x
x
x
y