Este documento presenta un proyecto final sobre álgebra lineal realizado por tres estudiantes. Resume varios temas clave como matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y métodos para resolverlos. El proyecto explica conceptos matemáticos importantes y cómo aplicarlos para resolver problemas de la vida real.

1. Universidad Mariano Gálvez de Guatemala
Facultad de Ingeniería en Sistemas
Algebra Lineal
Raúl Rendón Padilla
Tema:
Proyecto Final
Integrantes: Carnet:
Dallana Dennis Palacios Gómez 0904-14-5786
Norberto Antonio Alba Castillo 0904-14-12139
Juan Eduardo Lorenzo 0904-12-4564
Fecha: 08/11/2014

2. Introducción:
El presente trabajo contiene un breve resumen de varios temas como lo son
las matrices y sus principales funciones matemáticas como sumas, resta y
multiplicaciones, así como inversa de una matriz, determinantes de una
matriz, métodos aplicados como lo es el método de Gauus, Krammer,
L places, así también como se puede resolver problemas de la vida real
atravez de un sistema de ecuaciones lineales, vectores en R2, R3, ecuaciones
lineales, paramétricas, cinéticas, vectoriales, ecuaciones de planos,
paralelepípedos, muchos otros temas de gran importancia.
Sabemos que será de mucha utilidad para los futuros profesionales en
formación.

4. Para las operaciones básicas como suma o diferencia, es importante q las
dos tengan las mismas dimensiones(Filas y Columnas), un ejemplo seria:
Si sumamos una matriz A de 2 filas y de 2 columnas, con una matriz B esta
debe tener las mismas dimensiones caso contrario no tienen solución.
Tiene solución no tiene solución
5 3
4 2
+
5 3
4 2
1 3
2 4
+
1
2
3
=
10 6
8 4
= No tiene solución
La segunda no tiene solución porque se tienen que sumar los numero de las
mismas posiciones.
En la resta es lo mismo.

5. 5 3
4 2
−
4 1
1 2
1 3
2 4
−
1
2
3
=
1 2
3 0
= No tiene solución
Es igual porque se restan los números de las mismas posiciones.
5 3
4 2
+
5 3
4 2
1 3
2 4
+
1
2
3
=
10 6
8 4
= No tiene solución
Como se muestra anteriormente en el segundo ejemplo no se ubica cual es
el numero a sumar.

6. Para poder multiplicar dos matrices se tiene que mirar que las columnas de
la primera matriz sean igual a las filas de la segunda después se multiplican
de la forma siguiente:
2 3 4
4 2 3
∗
2 3
3 4
4 2
1. 2 3 4 ∗ 2 3 4 = 4 9 12
2. 2 3 4 ∗ 3 4 2 = 6 12 8
Se multiplica el primer numero de la columna con el primer numero de la fila
y se sigue con los demás, y después se hace con la segunda .
2 3 4
4 2 3
∗
2 3
3 4
4 2

7. El Método de Gauss:
El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz
triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de
transformación hasta obtener una matriz diagonal.
1. Cualquier fila del Sistema puede ser intercambiada una con otra sin
cambiar el valor de las variables.
2. Cualquier fila podrá ser multiplicado por un número diferente de
0, esto tampoco alteraría el valor de la variable
3. Se pueden sumar filas o restar filas entre si.
4. Si se van a reducir a ceros elementos de la columna uno, la fila
pivote será la fila uno, si se van a reducir a ceros elementos de la
columna dos, la fila pivote será la fila dos, así sucesivamente

8. Para convertir una matriz en inversa todas las columnas se convierten en
filas, y las filas en columnas.
2 42
30 50
=
2 30
42 50
Inversa de una matriz
La inversa consiste en encontrar una matriz tal que al multiplicarse
con la matriz original tiene que dar por resultado la matriz identidad.
Se utilizará el método de reducción de reglones (Gauss) para la
resolución de matrices inversas.
Ejemplo:

9. 2 3 1 0
-1 4 0 1 F2 = 2F2 + F1
2 3 1 0 F1 = 11F1 - 3F2
0 11 1 2
22 0 8 -6 F1 = F1 / 22
0 11 1 2 F2 = F2 / 11
1 0 4/11 -3/11
0 1 1/11 2/11
4/11 -3/11
A་ =
1/11 2/11

10. Determinante de una matriz
En Matemáticas se define el determinante como una forma matrilineal
alternada de un cuerpo.
Las determinantes se sacan de una matriz y sirven para el calculo de inversas
y resolución de sistemas lineales.
La determinante se encuentra de la siguiente forma:
Determinante de 2 * 2
2
3
= (2)(5) – (4)(3) = 10 – 12= -2 La determinante es -2
4
5
La de tres es casi igual pero, en esta se copian las dos primeras filas, cuando
se multiplica para arriba se hace ley de signos.

11. _ _ _ _ _
-2 4 3 -2 4 3
1 0 4 1 0 4
3 1 2 3 1 2
-2 4 3 -2 4 3
1 0 4 1 0 4
3 1 2 3 1 2
Lo que salga se suma= l A l = 0 + 48 + 3 + 0 + 8 – 8

12. Desarrollo de Laplace (Mat. n*n)
Para utilizar el método de Laplace se debe identificar la fila o la
columna que más ceros tenga y esas se trabaja elemento por
elemento.
Inversa por el Método de Cofactores
Para calcular la inversa por este método se realiza atreves de la
forma siguiente:
Matriz A Inversa de A = A⁻¹ = 1 ⁻¹ adj (A)
l A l
Adjunta de A

13. A =
- - -
l A l =
1 -2 --4 1 -2
4 7 2 4 7
-2 -3 -4 -2 -3
+ + +
l A l = (-56 + 6 – 32 – 28 + 8 + 48)
l A l = - 54
Primero se buscar la determinate de la matriz

14. B =
A11 A12 A13
A21 A22 A23
A31 A32 A33
7 2
Después se busca la adjunta de la
matriz
-2 -4
A11 = -A21 = A31 =
-3 -4
-3 -4
4 2
1 -4
-A12 = A22 = -A32 =
-2 -4
-2 -4
A13 = -A23 = A33 =
-2 -4
7 2
1 -4
4 2
4 7
-2 -3
1 -2
-2 -3
1 -2
4 7
A11 = -22 -A21 = -4 = 4 A31 = 24
-A12 = -12 = 12 A22 = -12 -A32 = 18 = -18
A13 = 2 -A23 = -7 = 7 A33 = 15

15. B =
Adj (A) = B ་
B ་ =
1 =
-54
A⁻¹ =
-22 12 2
4 -12 7
24 -18 15
-22 4 24
12 -12 -18
2 7 15
-22 4 24
12 -12 -18
2 7 15
11/27 -2/27 -4/9
-2/9 2/9 1/3
-1/27 -7/54 -15/54

16. Método de Krammer
Se utiliza para resolver sistemas lineales a través de determinantes.
Se calcula el determinante principal a través de una matriz que
contiene los elementos numéricos de los coeficientes o variables, esta
determinante principal será el denominador para cada uno de los
elementos del Sistema. Si la determinante del Sistema es cero, esto
quiere decir que el Sistema es Trivial, ósea que tiene infinitas
soluciones.

18. Como su nombre lo indica es una forma de poder resolver problemas de la vida real
tomando como base las ecuaciones.
Ejemplo
Si se tiene un presupuesto de Q 63.00 para elaborar un pastel, la mezcla de todos
los ingredientes tiene que sumar 14 libras, el azúcar y la harina cuestan lo mismo,
azúcar Q 10.00 la harina Q 3.00 y el Q 3.00. determine las cantidades que cuesta
cada cosa si el monto total del azúcar deber ser igual al de la harina.
Primero debemos identificar cada producto y representarlo con una variable.
Azúcar Harina Royal
X Y Z

19. Es una magnitud física definida por un
punto del espacio donde se mide dicha
magnitud, además de
un módulo (o longitud), su dirección
(u orientación) y su sentido (que distingue
el origen del extremo).

20. Los vectores en R2 son aquellos que están ubicados
en un plano cartesiano de ejes X e Y.
Un vector es aquel que tiene un inicio (X0; Y0) y
un fin (X1; Y1), lo cual, que determina su sentido en
el plano.
Un vector fijo es un segmento orientado que va del
punto A (origen) al punto B (extremo).
Un vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo
coinciden.
Módulo del vector
Es la longitud del segmento AB, se representa por .
Dirección del vector
Es la dirección de la recta que contiene al vector o de
cualquier recta paralela a ella.
Sentido del vector
El que va del origen A al extremo B.

21. Vector Unitario:
Consiste en convertir un vector dado a una sola unidad o al numero 1 el vector
unitario es representado con una letra U.
Ejemplo
Dado el vector = 7j -4i
1. Se saca la raíz cuadrada de cada termino en invertimos la posición de los valores..
 ( 7j -4i )  ( 16 + 49 ) Vu = 65
2. Despues de resolver el procedimiento procedemos a dividir cada termino dentro
del ventor resultante.
7 4 65 = 1
65 65 65

22. Vectores en R3.
Un sistema de coordenadas
tridimensional se construye trazando un
eje Z, perpendicular en el origen de
coordenadas a los ejes X eY.
Cada punto viene determinado por tres
coordenadas P(x, y, z).
Los ejes de coordenadas determinan tres
planos coordenados: XY, XZ e YZ. Estos
planos coordenados dividen al espacio en
ocho regiones llamadas octantes, en el
primer octante las tres coordenadas son
positivas.

23. Ejemplo de vector en R3
Para encontrar la distancia se hace de la siguiente forma:
sea P (x1, x2, x3)
Q (y1, y2, y3)
Se resta Q – P y lo elevamos al cuadrado
PQ  (x1 - y1) + (x2 – y2) + (x3-y3)
Ejemplo:
Sea P ( -1,0,3) Q (-2, 4, 0)
PQ  (-2-(-1)) + (4-0)+ (0-3)
PQ  (1)+ (-4) + (3) Respuesta: 18.84
PQ  1+16+9
PQ  26
PQ 5.1

24. Paralelepípedo
Se pueden dar tres definiciones equivalentes de un paralelepípedo:
1. Es un poliedro de seis caras (hexaedro), cada una de las cuales es un
paralelogramo.
2. Es un hexaedro con tres pares de caras paralelas.
3. Es un prisma cuya base es un paralelogramo.

25. Volumen de un paralelepípedo
En el caso más sencillo en que todas las caras sean perpendiculares entre
sí, el volumen se calcula multiplicando los vectores. Por lo tanto, si los tres
vectores concurren a un vértice su volumen se calcula a través de la
fórmula:
V = a * b * c

27. Ecuación Paramétrica
Permite representar una o varias curvas en el plano o en el espacio,
mediante valores arbitrarios o una constante, llamada PARAMETRO,
en lugar de una variable independiente de cuyos valores se
desprenden las variables dependientes, un ejemplo es cundo se usa el
tiempo para determinar la posición y velocidad de un móvil.
Para encontrar la Paramétrica se utiliza la siguiente formula:
X = x1 + (x2 – x1)t
Y = y1 + (y2 – y1)t
Z = z1 + (z2 – z1)t
EJEMPLO: A = (2,-5,6) & B = (3,2,-1)
X1 = 2 + (3 - 2)t 2 + t
Y1 = -5 + (2 – (-5))t R -5 + 7t
Z1 = 6 + (-1 -6)t 6 -7t

28. Ecuación Simétrica
La ecuación simétrica usa la siguiente formula:
x – x1 = y – y1 = z – z1
x2 – x1 y2 – y1 z2 – z1
Ejemplo: A = (2,-4,3) & B = (5,1,-2)
X – 2 = Y – (-4) = Z – 3
(5 - 2) (1-(-4)) (-2 - 3)
Se operan las de abajo:
X – 2 = Y – (-4) = Z – 3
3 5 -5
Una vez con estos datos se convierte en una ecuación paramétrica y se le asigna un valor
a t por ejemplo 3.
X1 = 2 + 3t 2 + 3(3)
Y1 = -4 + 5t R -4 + 5(3) La respuesta es R// X = 11, Y = 11, Z = -12
Z1 = 3 - 5t 3 - 5(3)

30. Los pasos para hallar un punto simétrico P´ de otro P respecto a
una recta r son los siguientes:

31. Observa en la imagen que la recta r
es perpendicular al plano π. El punto
M es el punto medio o punto
proyección. Las coordenadas del
punto simétrico las hallamos
despejando de la expresión del
punto medio.