METODO DE REGRECION LINEAL

1. Ajuste de una recta por mínimos
cuadrados
• Los datos y su interpretación
• Los parámetros que mejor ajustan.
• Estimación de la incertidumbre de los
parámetros.
• Coeficiente de correlación lineal.
• Presentación de los resultados. Ejemplo.
Técnicas experimentales de Física General 1/7

2. Los datos y su interpretación
Razones teóricas: y = mx + n
N pares de medidas (x , y );(x , y ); ;(x , y ) 1 1 2 2 " N N
Antes de tomar las medidas:
El intervalo elegido para la variable independiente,
¿abarca todo el rango de interés?
¿Están los puntos uniformemente distribuidos en este
intervalo?
Ordenación y representación gráfica de los datos
xi yi
1 1.5
2 2.0
3 4.0
5 4.6
6 4.7
8 8.5
9 8.8
10 9.9
12
10
8
6
4
2
0
0 2 4 6 8 10 12
x(unidades)
y(unidades)
¿Se comportan los pares de medidas visualmente según una línea
recta?
¿Hay algún punto que presente un comportamiento anómalo?
Técnicas experimentales de Física General 2/7

3. Los parámetros que mejor ajustan
¿Cuál es la recta que mejor se ajusta a las N medidas?
N
=Σ − −
2 2
χ n m y mx n
( , ) ( )
1
i i
i
=
12
10
8
6
4
2
0
( y i -mx i -n)
0 2 4 6 8 10 12
X(
y
NS −
S S
NS S S
xy x y
−
xx x x
S S −
S S
NS S S
xx y x xy
−
xx x x
m
n
=
=
¿Qué valores de m y n hacen mínimo χ 2 ?
N N
( ) ( )
( )
2
2
Σ Σ
Σ
y mx nx yx mx nx
0 0 2 2
= → = − − − = − − −
i i i ii i i
i i
N
1 1
∂
χ
m
2
= =
0 0 2
= → = − − −
1
y mx n
i i
i
∂
∂
χ
n
=
∂
Definiendo
N
N
N
N
Σ Σ Σ 2
Σ
1 1
S x S y S x S xy x i
i = = = =
i
y i
i
xx i
i
xy i
i
1 1
= = = =
Técnicas experimentales de Física General 3/7

4. Estimación de la incertidumbre de los
parámetros
y
¿σCuál es el mejor estimador de las incertidumbres de m y
de n?
Suponemos que:
• Solo los valores yi tienen error: δyi
• Los errores en y son todos iguales: δyi = δy = y se
estima a partir de la varianza de los datos:
1 2 2
y mx n n m
( )
( , )
2
N
= Σ=
σ
y i i
2
1
2
−
− − =
−
χ
N
N
i
Aplicando propagación de errores:
2
N
σ mσ ;
2 Σ=
m y
1

 


∂
 

∂
=
j
y
j
2
N
σ n σ
2 Σ=
n y
1

 


∂
 

∂
=
j
y
j
y operando se obtiene:
S 2
n m
2
χ
NS S S N
− −
2
σ
n
2
( , )
2
N nm
( , )
2
xx
xx x x
σ
m
χ
NS S S N
− −
xx x x
=
=
Técnicas experimentales de Física General 4/7

5. Coeficiente de correlación lineal
¿Cómo podemos saber cuán bueno es el comportamiento
lineal de los N pares de datos medidos?
Los errores en las medidas yi σ son conocidos:
• ¿La recta pasa por casi todos las barras de error de los
puntos?
• Test de χ 2 .
Los errores en las medidas yi σ son desconocidos:
• A partir de la dispersión de los datos.
• Coeficiente de correlación lineal: r
• Mide el grado de correlación lineal entre x e y.
• r ≤1
‰ r =1 Correlación total.
‰ r = 0 No hay correlación.
r
NS S S
N
−
= Σ
S y xy x y
NS − S S NS −
S S
xx x x yy y y
siendo =
2
yy i
i
=
1
Técnicas experimentales de Física General 5/7

6. Presentación de los resultados
Ejemplo
Tabla de datos y cálculos
i xi yi xi yi xi
2 (n+mxi -yi)2
2 yi
1 1 1.5 1.5 1.0 2.25 0.042
2 2 2.0 4.0 4.0 4.00 0.052
3 3 4.0 12.0 9.0 16.00 0.699
4 5 4.6 23.0 25.0 21.16 0.187
5 6 4.7 28.2 36.0 22.09 1.606
6 8 8.5 68.0 64.0 72.25 0.440
7 9 8.8 79.2 81.0 77.44 0.000
8 10 9.9 99.0 100.0 98.01 0.037
N=8 Sx=44 Sy=44 Sxy=314.9 Sxx=320 Syy=313.2 χ2=3.066
PARÁMETROS DEL AJUSTE :
NS S S N 2
m (m)
n m = = ( , )
−
xy x y
xx x x xx x x
χ
0.935 0.081
= =
ε
NS S S NS S S N
− − −
S S S S S 2
n (n)=
n m 2
0.
3 ( , )
−
xx y x xy xx
χ
6 0.512
= = =
2
ε
NS S S NS S S N
− − −
xx x x xx x x
NS −
S S
xy x y 0.978
= =
NS − S S NS −
S S
xx x x yy y y
r
Técnicas experimentales de Física General 6/7

7. Ajuste de datos a una recta
12,0
10,0
8,0
6,0
4,0
2,0
0,0
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0
x(unidades)
y(unidades)
y = (0.94 ± 0.08) x + (0.4 ± 0.5)
Técnicas experimentales de Física General 7/7