Este documento explica conceptos básicos sobre funciones lineales, incluyendo cómo graficar una recta, calcular su pendiente y ordenada al origen, y encontrar su ecuación. También describe diferentes formas de expresar una función lineal como explícita, implícita y segmentaria.

2. Cuando recibís la factura de tu celular,
podés ver que el abono que pagás a fin de mes
está formado por un valor fijo y otro variable
que depende de la cantidad de minutos que hablaste.
Con esta información podemos encontrar la relación
entre los minutos que hablamos
y el costo a pagar.
C fijos = $18
C variables = $0,20 cada minuto

3. En primer lugar debemos ponernos de acuerdo
sobre cuáles son las variables.
t: es la letra con la que identificaremos el tiempo
que vamos a hablar, es decir, la cantidad de
minutos que usaremos el teléfono.
El costo, por supuesto, depende
del tiempo que hablamos.
EL COSTO
DEPENDE
DEL TIEMPO

4. Es por esto que el costo es la variable dependiente
Y el tiempo es la variable independiente.
Veamos algunos casos en particular:
Si t = 42 minutos C = $0,20•42 +$18
C = $8,4+$18 C = $26,40
Si t = 50 minutos C = $0,20•50+$18
C = $10+$18 C = $28
Si t = 120 minutos C = $0,20•120+$18
C =$24 +$18 C = $42

5. Generalizando:
Costo C= 0,20.t +18
(donde t son los minutos hablados)
Esto que acabamos de encontrar
es la fórmula matemática
para relacionar tiempo con costo
en nuestra factura telefónica.

6. La característica particular que tienen las funciones lineales
es que a variaciones iguales de x, corresponde siempre
la misma variación en y.
Cada vez que x aumenta 1
y aumenta 2
-2 1 2-1 0
6
4
2
8
x
y

7. 1 2 3
Veamos otros ejemplos:
Si x aumenta 1, y disminuye 1
y
x aumenta de 1 a 2
x aumenta de 2 a 3
y disminuye de 4 a 3
y disminuye de 3 a 2
3
4
2
x
Es función
lineal

8. 9
1
4
1 2 3
Δ y = 1 = 1 Si x aumenta de 0 a 1
Δ x 1 y aumenta de 0 a 1
Como puede verse Δ y no es constante
Δ x
No es función lineal
Δ y = 3 = 3 Si x aumenta de 1 a 2
Δ x 1 y aumenta de 1 a 4
Δ y = 5 = 5 Si x aumenta de 2 a 3
Δ x 1 y aumenta de 4 a 9
x
y

9. Se llama función lineal a la relación entre variables
tal que su expresión sea:
y = m x +
b
Dónde m: pendiente
b: ordenada al origen

10. ¿Qué es la pendiente?
m = Δ y variación en y
Δ x variación en x
A
B
C
D
∆y
Siendo Δy = yB – yA= y D – y C
Δx = xB – xA= x D – x C
∆x
∆y
∆x
x
y
En la función lineal la
relación entre ∆y/∆x es
siempre la misma para
cada recta
Es la relación:

11. En las funciones lineales
existe una relación entre la
variación de la variable independiente x
y la variable dependiente y,
que se mantiene constante.
A esa relación se la llama
pendiente

12. ¿Qué es la ordenada al origen?
En la forma explícita de la recta, el término independiente, indica
el lugar donde la gráfica de la recta corta al eje Y,
y=mx+
y
x
b
b
Eje de abscisas
Eje de ordenadas

13. y = m x + b
m: pendiente
b: ordenada al origen
x
y
(Forma explícita)
b
raíz

14. La pendiente m se asocia a la inclinación
de la recta
m +
m -
x
y
x
y

15. CASOS ESPECIALES DE RECTAS
x = -2 x =1
x = k
(no son funciones)
y = k
(sí son funciones)
y =-1
y =1
y =2
y =3
x
y y
x
x = -1 x =2x =3
Rectas verticales Rectas horizontales

16. CÓMO GRAFICAR UNA RECTA
Existen varias formas de hacerlo:
A)Utilizando una tabla de valores
B)Ubicando la ordenada al origen y usando el concepto
la pendiente
1-xy 3
2
=Supongamos que queremos graficar la recta:

17. A - Utilización de la tabla de valoresA - Utilización de la tabla de valores
En este caso vamos a asignarle valores a la variable x, reemplazamos en
la función, y obtenemos el valor de la variable y. Con estos valores
formamos puntos (x;y) que luego ubicamos sobre el sistema de ejes
cartesianos. Veamos como hacerlo:
Vamos a graficar la recta
tomo valores de x (los que quiera), y los reemplazo en la función:
1-xy 3
2
=
x 1-xy 3
2
⋅=
-3 ==⋅= 1--21-(-3)y 3
2
-1 ==⋅= 1--1-(-1)y 3
2
3
2
0 ==⋅= 1-01-0y 3
2
1 ==⋅= 1-1-1y 3
2
3
2
3 ==⋅= 1-21-3y 3
2
(-3;-3)
)(-1;- 3
5
(0;-1)
)(1;- 3
1
(3;1)
y)(x;
3
5
−
1−
3
1
−
1
3−

18. Los valores obtenidos, los ubico en un sistema de ejes cartesianos:Los valores obtenidos, los ubico en un sistema de ejes cartesianos:
(-3;-3)
(x; y)
)(-1;- 3
5
(0;-1)
)(1;- 3
1
(3;1) 3−
3−
1−
3
5
−
1−
3
1
−
1
3
1
y
x

19. B- Utilización de la ordenada al
origen y la pendiente
También se podría graficar usando
la ordenada al origen (b)
que es donde la recta corta al eje y.
Lo ubico sobre el eje y:
1-xy 3
2
=
x
y
-1 (b)
La pendiente me indica la variación
en y (∆y), desde allí subo 2
unidades:
La pendiente también indica la
variación en x (∆x), desde esta
ultima posición me desplazo 3
unidades hacia la derecha.
Y allí encuentro otro punto
para trazar la recta.
∆y=2
∆x=3

20. CONDICIÓN DE PARALELISMO
R1
R2
Sean R1 y = m1 x + b1
m1 = m2
x
y
R2 y = m2 x + b2

21. R1
R2
Sean R1 y = m1 x + b1
R2 y = m2 x + b2
m1 .m2 =
-1Ó
m2 = 1
m1
x
y Debe cumplirse:
La pendiente de una de las rectas, debe
ser opuesta e inversa con la otra
pendiente.

22. Cómo hallar la ecuación de una recta
Supongamos que conozco dos de los
puntos por donde pasa una recta:
P1 (2; 4) P2 (-1; -3)
Y quiero conocer la ecuación de la
función lineal
y = m x + b
4
-1
-3
2
y
x

23. Método A:
Sé que la recta debe incluir a los puntos
P1 (2;4)
P2 (-1;-3)
reemplazo entonces por ambos puntos en la
fórmula de la recta , y = m x + b, ubicando el
primer valor del par en x y el segundo en y
(2;4) 4 = m . 2 + b 4 = 2 m + b Ecuación I
(-1;-3) -3 = m. (-1) + b -3 = -m + b Ecuación
II despejo b de ecuación II
b = -3 +m Ecuación III
Reemplazo en ecuación I

24. Continuación:
4 = 2 m + (- 3 + m)
4 = 2 m - 3 + m
4 + 3 = 2 m + m
7 = 3 m
7 : 3 = m
reemplazo en ecuación IIISi
Con lo que
queda:
7
m=
3
7
m=
3
operando7 2
b=-3+ b=-
3 3
→
7 2
y= x-
3 3

25. Método B:
Sé que la recta debe incluir a los puntos:
P1 (2; 4)
P2 (-1;-3)
También sabemos que la pendiente “m” es la variación en y sobre la variación en x
y
m=
x
∆
∆
ó
Reemplazo con los valores de los puntos:
2 1
2 1
y y
m=
x x
−
−
con lo que queda-3-4 7
m= m=
-1-2 3
→
Con lo que la ecuación quedaría:
7
y= x+b
3
Todavía falta conocer el valor de b, para hacerlo puedo usar alguno de los puntos
que tenia como dato, reemplazando en el x e y de la expresión I, usaré el (2;4):
I
operando despejando b con7 14 14 2
4 2 b 4 b 4 b b=-
3 3 3 3
= × + → = + → − = →
Con lo que resulta:
7 2
y= x-
3 3

26. ¿Qué es la raíz, y como la obtengo?
En cualquier tipo de función (no solo función lineal), se llama raíz, al punto
donde la gráfica corta al eje X.
y
x
raíz
Cualquier punto que se encuentre
sobre el eje x, tiene coordenada en
y=0, por lo tanto la raíz tendrá
coordenadas (x;0), veamos como
averiguar el valor de x:
reemplazo y=0 en la ecuación de la
recta 0=mx+b,
Despejo x: -b=mx
-b
x=
m
(x;0)

27. Forma implícita de la rectaForma implícita de la recta
La forma explicita, y=mx+b, no es la única forma de expresar una función
lineal, otra de ellas es la forma implícita, que tiene la siguiente forma:
Ax+By+C=0
Donde A,B,C son números enteros.

28. Forma segmentaria de laForma segmentaria de la
rectarecta
Otra forma útil de expresar la ecuación de la recta, es la segmentaria, que
tiene la siguiente estructura:
x y
1
p q
+ =
Donde p es la
intersección con el eje x
(raíz); y q es la
intersección con el eje y
(ordenada al origen)
y
x
q
p