1. Definiciones básicas
Es importante distinguir desde el principio la diferencia entre exactitud y precisión:
1. Exactitud es el grado en el cual la información de un mapa o en una base de datos digital se
muestra verdadera o con valores aceptables. La exactitud es un asunto perteneciente a la cualidad
de los datos y al número de errores contenidos en un conjunto de datos o mapa. Analizando una
base de datos de un SIG, es posible considerar la exactitud horizontal y vertical con respecto a la
posición geográfica, tanto atributiva y conceptual, como en la agudeza lógica.
 El nivel de exactitud requerido puede variar enormemente de unos casos a otros.
 Producir y compilar una gran exactitud en los datos puede ser muy difícil y costoso.
2. Precisión hace referencia a la medida y exactitud de las descripciones en las base de datos de un
SIG. Los atributos de información precisos pueden especificar la características de los elementos
con gran detalle. Es importante observar, no obstante, que los datos precisos - no importando el
cuidado en su medida - pueden ser inexactos. Los topógrafos pueden cometer errores, o bien los
datos pueden ser introducidos en las bases de datos incorrectamente.
 El nivel de precisión requerido puede variar enormemente de unos casos a otros. Los
proyectos de ingeniería como el de una carretera, y las herramientas de construcción,
requieren una muy precisa medida, de milímetros a decenas de centímetros. Análisis
demográficos de las tendencias del electorado pueden prescindir de esta precisión
mediante un código postal o de circunscripción.
 Obtener datos altamente precisos puede ser verdaderamente difícil y costoso. Topografiar
cuidadosamente las localizaciones requiere de compañías específicas para la recogida de
la información.
Según la lectura para obtener datos altamente precisos puede ser:
Verdaderamente difícil y costoso
Cifras Significativas
Cifras significativas
Las cifras significativas son los dígitos de un número que consideramos no nulos.
Norma Ejemplo
Son significativos todos los dígitos distintos de 8723 tiene cuatro cifras significativas
cero.
Los ceros situados entre dos cifras significativas 105 tiene tres cifras significativas
son significativos.
Los ceros a la izquierda de la primera cifra 0,005 tiene una cifra significativa
significativa no lo son.
Para números mayores que 1, los ceros a la 8,00 tiene tres cifras significativas
derecha de la coma son significativos.
Para números sin coma decimal, los ceros 7 X 102 tiene una cifra significativa
posteriores a la última cifra distinta de cero 7,0 X 102 tiene dos cifras significativas
pueden o no considerarse significativos. Así,

2. para el número 70 podríamos considerar una o
dos cifras significativas. Esta ambigüedad se
evita utilizando la notación científica.
De las siguientes interrogaciones cual considera la correcta:
El numero 8,256 tiene 4 cifras significativas
REGLA DE CRAMER
Dado un Sistema de Ecuaciones Lineales con dos incógnitas encontrar su solución.
Como se dijo con anterioridad en el tema de Matrices un Sistema se Ecuaciones Lineales se puede
resolver por cualquiera de los métodos de Simultaneas como son el Método Eliminación por Suma
y Resta el de Sustitución el de Igualación ó el de Graficas ahora lo resolveremos por la Regla de
Cramer
Como se vio anteriormente la solución de un sistema de dos Ecuaciones con dos Incógnitas está
dada por:
Solución que puede ser escrita con relación de Determinantes como
Y en forma simplificada:
En donde
Es el delta del Sistema y está formado por los Coeficientes,

3. Es el delta “x” y está formado por las Constantes (en la columna de “x”) y por los
Coeficientes de “y”
Es el delta “y” y está formado por los Coeficientes de “x” y por las Constantes (en la
columna de “y”)
La Regla de Cramer se puede generalizar para resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales de n
ecuaciones con n incógnitas, quedando escrita de la forma siguiente.
Donde:
i Representa cualquiera de las n incógnitas
Ds Es el determinante de los coeficientes de las incógnitas con las ecuaciones ordenadas del
sistema de ecuaciones.
Di Es el determinante que se forma cuando se sustituye los términos constantes sobre la
columna de la incógnita i en ?s
Ejemplo 1.Resolver el Sistemas de Ecuaciones Lineales dado usando la Regla de Cramer.
Solución: Realizaremos cuatro pasos en la solución de un Sistema de Ecuaciones Lineales que son
las siguientes:
Se calcula el delta del Sistema (Ds) formado por los Coeficientes del sistema de ecuaciones lineales.
(Por cualquier método)

4. Conclusión: como Ds  0 hay solución única. Calculamos ahora las deltas: Dx, Dy y Dz quedando
formados como sigue:
Observen como los términos constantes ocupan la columna de la incógnita a calcular. (Marcada
con asterisco) quedando:
Los cálculos se dejan como ejercicio al estudiante. Se calculan las incógnitas x, y y z usando la regla
Cramer.
Se comprueba la solución por sustitución en cualquiera de las ecuaciones dadas.
Del siguiente sistema:
Los valores de x y y son:
y = -1
x=2
Según el ejemplo anterior se dice que cuando Ds = 0 entonces hay:
Solución única
Ecuaciones Lineales:

5. Una ecuación es una proposición que expresa la igualdad de dos expresiones algebraicas. Por lo
regular involucra una o más variables y el símbolo de igualdad “=”. Las siguientes proposiciones
son ejemplos de ecuaciones:
1. 2x – 3 – 9 = x
2. y2 – 5y = 6 – 4y
3. 2x + y = 7
4. a / (1-r) = s
En la primera ecuación la variable es la letra x, mientras que en la segunda ecuación la variable es
la y, en la tercera ecuación se tiene dos variables x y y, y en la cuarta ecuación funcionan tres
variables a, r y s.
Las expresiones separadas por el símbolo igual se denominan lados de la ecuación; por separado
se llaman el lado izquierdo (primer miembro) y el lado derecho (segundo miembro), y las
ecuaciones que solo contienen constantes y no tienen variables pueden ser proposiciones
verdaderas o falsas, por ejemplo:
1. 3+2=5
2. 4–7=3
Una ecuación que se refiere a una variable, por lo regular es una proposición válida para algunos
valores de la variable, mientras que es falsa para otros valores de la variable. Por ejemplo,
consideremos la ecuación
2x – 3 = x + 2
Si x toma el valor 5, esta ecuación se reduce a
2(5) – 3 = 5 + 2
10 – 3 = 7
7=7
Luego es una proposición verdadera.
S x toma el valor 4, obtenemos:
2(4) – 3 = 4 + 2
8–3=6
5=6
Que es una proposición falsa
Un valor de una variable que haga que la ecuación sea una proposición verdadera se denomina
raíz o solución de la ecuación dada. Decimos que tal valor de la variable satisface la ecuación.
Así por ejemplo x=5 es una raíz de la ecuación 2x – 3 = x + 2

6. De manera similar x = -2 es la solución de la ecuación y2 + 3y = 6 + 4y
En algebra elemental se enseña a resolver este tipo de ecuaciones en especial las ecuaciones
lineales y cuadráticas.
La solución de la siguiente ecuación 3(x - 3)2 = 3(3x - 10) es:
x=6
El numero x = -7/5 es la solución de:
2X + 5(1+3X) = 1-3 (1-4X)
Ecuaciones Cuadráticas.
La ecuación tipo ax2 + bx + c = 0 (a  0), donde a, b y c son constantes, se denomina una ecuación
cuadrática en la variable x.
Existen tres métodos para resolver este tipos de ecuaciones: Factorizando, usando la formula y
completando cuadrados. Cualquier que sea el método que se utilice, la primera etapa en la
resolución es disponer la ecuación en la forma estándar.
Ejemplo:
Para resolver la ecuación 3(x2 + 1) = 5(1-x). Lo primero que se debe hacer eliminar los paréntesis,
de acuerdo a esto se obtiene:
3(x2 + 1) = 5(1-x)
3x2 + 3 = 5 – 5x
3x2 + 5x – 2 = 0.
Así tenemos una ecuación cuadrática con coeficientes a=3, b=5 y c=-2. Al utilizar la el método de
factorización, lo que se tiene es:
3x2 + 5x – 2 = (3x - 1) (x + 2)=0.
Luego las soluciones de la ecuación 3(x2 + 1) = 5(1-x) son x =1/3 y x = -2.
Formula Cuadrática
Como lo mencionamos anteriormente con la formula cuadrática se puede resolver las ecuaciones
cuadráticas o de segundo grado, por lo tanto las raíces de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 (a
 0) están dadas por la formula:

7. Para resolver una ecuación cuadrática, podemos usar esta fórmula de la manera siguiente: En
primer lugar reducimos la ecuación a la formula estándar, luego, identificamos los coeficientes a, b
y c, que aparecen en la forma estándar, y simplemente sustituimos estos coeficientes en la
formula cuadrática.
Ejemplo: Resuelva la ecuación (2x + 3) (3x -1) = -4
Simplificando la ecuación se obtiene 6x2 + 7x + 1 = 0
Luego al realizar la comparación con la ecuación general tenemos que a = 6, b = 7 y c = 1. Entonces
realizamos los siguientes pasos:
Luego tenemos los siguientes resultados:
Las soluciones de la ecuación 3p2x2 + 2pqx - 16q2 = 0 son:
X1 = -8q/3p y X2 = 2q/p
El valor x = 5/2 es la solución de la ecuación:
(2x-7)(2x+7)+8 = 2(6x-23)
AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS

8. Existen numerosas leyes físicas en las que se sabe de antemano que dos magnitudes x e y se
relacionan a través de una ecuación lineal
y = ax + b
Donde las constantes b (ordenada en el origen) y a (pendiente) dependen del tipo de sistema que
se estudia y, a menudo, son los parámetros que se pretende encontrar.
El método más efectivo para determinar los parámetros ay bse conoce como técnica de mínimos
cuadrados.
Consiste en someter el sistema a diferentes condiciones, fijando para ello distintos valores de la
variable independiente x, y anotando en cada caso el correspondiente valor medido para la
variable dependiente y. De este modo se dispone de una serie de puntos (x1,y1),... (xn,yn) que,
representados gráficamente, deberían caer sobre una línea recta. Sin embargo, los errores
experimentales siempre presentes hacen que no se hallen perfectamente alineados (ver Fig. 1). El
método de mínimos cuadrados determina los valores de los parámetros ay b de la recta que mejor
se ajusta a los datos experimentales. Sin detallar el procedimiento, se dará aquí simplemente el
resultado:
Donde n es el número de medidas y S representa la suma de todos los datos que se indican.

9. Los errores en las medidas, se traducirán en errores en los resultados de ay b. Se describe a
continuación un método para calcular estos errores. En principio, el método de mínimos
cuadrados asume que, al fijar las condiciones experimentales, los valores yi de la variable
independiente se conocen con precisión absoluta (esto generalmente no es así, pero lo aceptamos
como esencial en el método). Sin embargo, las mediciones de la variable x, irán afectadas de sus
errores correspondientes, si e es el valor máximo de todos estos errores, entonces se tiene:
La pendiente de la recta se escribirá a ± Da, y la ordenada en el origen b ± Db
El coeficiente de correlación es otro parámetro para el estudio de una distribución bidimensional,
que nos indica el grado de dependencia entre las variables x e y. El coeficiente de correlación r es
un número que se obtiene mediante la fórmula:
Su valor puede variar entre 1 y -1.
Si r = -1 todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una correlación que es perfecta e
inversa.
Si r = 0 no existe ninguna relación entre las variables.
Si r = 1 todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una correlación que es perfecta y
directa.
Ejemplo: Supongamos un muelle sometido a tracción, se ha cargado el muelle con diferentes
pesos (F, variable dependiente o y) y se han anotado los alargamientos (variable independiente o
x)
Cargas sucesivas g Lecturas sucesivas L mm
200 60
400 120
500 150
700 210
900 260
1000 290
Los distintos datos que se necesitan son:

10. n 6
Sxi 1090
Sxi2 236300
Syi 3700
Syi2 2750000
Sxi yi 806000
ee 0,2
Con lo cual aplicando las expresiones [1] , [2], [3] y [4] b = -18,4153; a =3,4959; Db =0,8164966; Da
=0,00102217; r = 0,9995
Redondeando en la forma usual b= -18,42 ± 0,08 mm; a =3,50 ± 0,00 mm/Kp. Y la ecuación
ajustada será Y = 3,50X – 18,42
El valor del parámetro a que se encontró en el ejemplo del tema anterior es:
3,50
El coeficiente de correlación es otro parámetro para es estudio de una distribución que nos
indica:
El grado de dependencia entre las variables x e y