Leyes de conjuntos

1. Tema:
Leyes y propiedades de los conjuntos.
Objetivos:
General:
Identificar cada ley y propiedad de conjuntos para resolver problemas de los mismos.
Específicos:
1. Demostrar propiedades de conjuntos.
2. Solucionar problemas de conjuntos a través de la demostración y simplificación.
Marco Teórico:
Conjuntos:
Un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Un conjunto está
definido únicamente por los elementos que lo componen, y no por la manera en la que se lo
representa.
Existe una serie de relaciones básicas entre conjuntos y sus elementos:
Pertenencia. La relación relativa a conjuntos más básica es la relación de pertenencia.
Dado un elemento x, éste puede o no pertenecer a un conjunto dado A. Esto se indica
como x ∈ A.
Igualdad. Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Este
principio, denominado principio de extensionalidad establece el hecho de que un conjunto
queda definido únicamente por sus elementos.
Inclusión. Dado un conjunto A, cualquier subcolección B de sus elementos es
un subconjunto de A, y se indica comoB ⊆ A.
El conjunto vacío es el conjunto sin ningún elemento, y se denota por ∅ o por {}. El conjunto
universal es el conjunto que contiene todos los elementos posibles, dentro del contexto
considerado. Por ejemplo, si se estudian los números naturales, el conjunto universal es el
conjunto de todos ellos, N. De manera general, el conjunto universal se denota por U.
Álgebra de Conjuntos:
En matemáticas, es el estudio de las operaciones básicas que pueden realizarse con conjuntos,
como la unión, intersección y complementación.
Estas son las leyes o propiedades del algebra de conjuntos, que es un caso particular del
sistema algebraico conocido como algebra de Boole.
Propiedades de los conjuntos:

2. ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO
FACULTAD DE CIENCIAS
ESCUELA DE CIENCIAS QUÍMICAS
INGENIERÍA DE BIOTEGNOLOGÍA AMBIENTAL
2
Denotaciones:
A B: A esta contenido en B
A B: A contiene a B
A B: A contiene a B o es igual a B
A B: A esta contenido en B
A B: A no está contenido en B
A B: A no contiene a B
Propiedad 1 A A B
Propiedad 2 A B = B A
Propiedad 3 A A = A
Propiedad 4 A (B C) = (A B) C
Propiedad 5 A B A
Propiedad 6 A B B
Propiedad 7 A B = B A
Propiedad 8 A A = A
Propiedad 9 A (B C) = (A B) C
Propiedad 10 A (B C) = (A B) (A C)
Propiedad 11 A (B C) = (A B) C)
Propiedad 12 A – B A
Propiedad 13 B – A B
Propiedad 14 (A’)’ = A
Propiedad 15 A – B = A B’
Propiedad 16 B – A = B A’
Propiedad 17 A A’ =
Propiedad 18 Ս’ =
Propiedad 19 ’ = Ս
Propiedad 20 (A B)’ = A’ ’
Propiedad 21 (A B)’ = A’ ’
Propiedad 22 A’ = Ս
Propiedad 23 Bssi A B = A
Propiedad 24 B ssi A B = A
Propiedad 25 B ssi A B’ =
Propiedad 26 B ssi A’ B = Ս
Propiedad 27 B ssi B’ A’
Leyes de Conjuntos:
Ley Unión Intersección
Idempotencia A A = A A A = A
Conmutativa A B = B A A B = B A
Asociativas (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C)
Distributivas A (B C) = (A B) (A C) A B C) = (A B) (A C)

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3
Identidad A = AA = A A = A Ս = A
Complemento A’ = Ս(A’)’ = A A A’ = A ’ = A-B
De Morgan (A B)’ = A’ ’ (A B)’ = A’ ’
Diferencia A - B = A B’
Absorción A (A B) = A A A B) = A
Simplificar:
1.A [ (B (A B) ) (A (A B) ) ]
A [ (B A) (B B) ] (A A) (A B)
A [ (B A) (B B) ] A (A B)
A [B A] B= B
(A B) (A A)
(A B) (A)
A
2. [C - (A B) ] [C - (A B) ]
C [ (A B) (A B) ]’
C { [ (A B) A] B }’
C (A B)’
C - (A B)
3. [A - (A B) ] B
[A (A B)’ ] B
[A (A’ B’) ] B
[(A A’) B’] B
[ B’] B
B
B
(A’– B’) - [ (B’ (A - B’)]
(A’ B’) [ B’ (A - B’) ]’
(A’ B’) [ B’’ (A - B’)’ ]
(A’ B’) [ B (A B’)’
(A’ B’) [ B (A’ B’’) ]
(A’ B’) [ B (A’ B) ]

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[ (A’ B’) (A’ B) ] B
[ (A’ (B’ B) ] B
(A’ Ս) B
A’ B
B A’
B - A
Demostrar:
1.(A – B) - C) = A – (B C)
(A ’) C’
A (B’ C’
(A ) ’ C’)
A C ’
A – (B C) = A – (B C)
2. (A B) – C = (A B C) – C
= [ (A B) C] C’
= [C’ (A B) ] (C’ C)
= (A B) C’
(A B) – C = (A B) – C
3. -( - B)
(A B’) B
A (B’ B)
4. (A B’) (C’ A) = A (B C)’
(A B’) (A C’)
A (B’ C’)
A (B C)’ = A (B C)’
Bibliografía:
ALGEBRA DE CONJUNTOS - LEYES DE MORGAN, DE LA UNIDAD Y ASOCIATIVA EJERCICIO
RESUELTO - YouTube. (s. f.). Recuperado 27 de abril de 2014, a partir de
https://www.youtube.com/watch?v=L0RZ0il4sQU
Leyes De Conjuntos. (s. f.). Recuperado 27 de abril de 2014, a partir de
http://www.slideshare.net/pgandarilla/leyes-de-conjuntos
Proaño Viteri.Lógica, conjuntos y estructuras. 2da.
ed. Quito-Ecuador, 1996