método para resolver ecuaciones lineales de 3x3

1. Instituto Leonardo Bravo, A. C.
Maestría en Administración de Empresas
Método de Determinantes
Regla de Cramer 3X3
Método de Sarrus 3X3

2. El método de determinantes es también conocido como método de Cramer.
METODO DE DETEMINANTES
Matemático Suizo quien nació en Ginebra (31-julio-1704 - 4 –enero-1752).
(1724-1727) Profesor de matemáticas de la Universidad de Ginebra.
1750 ocupó la cátedra de filosofía en dicha universidad.
Su obra fundamental fue la “Introduction à l’analyse des courbes algébriques”
(1750), en la que se desarrolla la teoría de las curvas algégricas según los
principios newtonianos, demostrando que una curva de grado n viene dada por
la expresión:
Reintrodujo el determinante, algoritmo que Leibniz ya había utilizado al final del
siglo XVII para resolver sistemas de ecuaciones lineales con varias incógnitas.

3. REGLA DE CRAMER
La regla de Cramer es un teorema en algebra lineal, que da
la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos
de determinantes.
Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones
siguientes:
• El número de ecuaciones es igual al número de
incógnitas.
• El determinante de la matriz de los coeficientes
es distinto de cero.

4. En primer lugar debemos hallar la matriz ampliada, la cual está
asociada al sistema de ecuaciones. Esto quiere decir que la primera
columna estará formada por las entradas de los coeficientes de la
primera incógnita de las ecuaciones. Por otro lado la segunda
columna estará formada por los coeficientes de la segunda incógnita.
De esta forma llegaremos a la última de las columnas que estará
constituida por las entradas de los términos independientes de las
ecuaciones.

5. Después de realizar esto podemos calcular el determinante de A.
Aplicamos la regla de Cramer que consiste en primer lugar en ir
sustituyendo la primera columna del determinante (A) por los términos
independientes. Posteriormente se dividirán los resultados de dicho
determinante entre el determinante (A) para hallar así el valor de la
incógnita primera. Si continuamos sustituyendo los términos
independientes en las diferentes columnas terminaremos hallando las
incógnitas restantes.

6. EJEMPLO APLICADO: Para calcular este tipo de sistemas es necesario seguir los siguientes
pasos:
1. Se cambia el sistema de ecuaciones 3x3 a la matriz de coeficientes:
2. El siguiente paso es hallar los valores de X, Y y Z: para eso sacamos 4 determinantes:
Determinantes del sistema = Det (A)
Determinante de X = Det ( A1)
Determinante de Y = Det (A2)
Determinante de Z = Det (A3)
Para obtener el determinante del sistema se toma la matriz y le aumentamos dos filas más
con los coeficientes de las primeras dos filas y comenzamos a multiplicar:
Se multiplica en diagonal de derecha a izquierda y viceversa
= [-1 + 6 + 4] – [-1+ - 6 + - 4]
= [9] – [-11]
= 9 + 11
= 20

7. 3. El siguiente paso es sacar los determinantes de las variables:
Para sacar el determinante de X remplazamos los coeficientes de la columna de X por
los términos independientes:
Para hallar el Determinante de (A1) se hace igual que al determinante (A):
= [-5 + -3 + 0] – [0 +-30 + 2]
= [-8] – [-28]
= -8 + 28
= 20

8. Para obtener el determinante de Y remplazamos los coeficientes de la columna de Y por los
valores de igualación, como en el determinante anterior:
= [-1 + 0 + -10] – [-1 + 0 +10]
= [-11]-[9]
= -11 - 9
= -20

9. Para hallar el determinante de Z se remplaza la columna de Z por el
coeficiente de igualación como lo hemos hecho anteriormente:
= [0 +30 +2] - [-5 + -3 + 0]
= [32] – [-8]
= 32 + 8
= 40
Utilizamos la fórmula:
X = 20/20 = 1 Y = -20/20 = -1 Z = 40/20 = 2
Los valores de las variables son:
X = 1 Y = -1 Z= 2

10. MÉTODO DE SARRUS PARA
ECUACIONES DE 3X3

11. LA REGLA DE SARRUS ES UN MÉTODO FÁCIL PARA
MEMORIZAR Y CALCULAR UN DETERMINANTE 3×3.
RECIBE SU NOMBRE DEL MATEMÁTICO FRANCÉS PIERRE
FRÉDÉRIC SARRUS, QUE LA INTRODUJO EN EL ARTÍCULO
«NOUVELLES MÉTHODES POUR LA RÉSOLUTION DES
ÉQUATIONS», PUBLICADO EN ESTRASBURGO EN 1833.
CONSIDÉRESE LA MATRIZ DE 3×3:

12. Sea una ecuación de 3x3 de la forma:
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 = 𝑑1
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 = 𝑑2
𝑎3𝑥 + 𝑏3𝑦 + 𝑐3𝑧 = 𝑑3
𝑎1 𝑏1 𝑐1
𝑎2 𝑏2 𝑐2
𝑎3 𝑏3 𝑐3
Hallamos el determinante de cualquiera de las incógnitas en este caso para x
𝑑1 𝑏1 𝑐1
𝑑2 𝑏2 𝑐2
𝑑3 𝑏3 𝑐3X=
Resolvemos el numerador de la siguiente forma:
𝑑1 𝑏1 𝑐1
𝑑2 𝑏2 𝑐2
𝑑3 𝑏3 𝑐3
𝑑1 𝑏1 𝑐1
𝑑2 𝑏2 𝑐2
X= d1*b2*c3+d2*b3*c1+d3*b1*c2 – (d3*b2*c1) -(d1*b3*c2) - (d2*b1*c3)
Como hallaremos “x” los valores de “x” en este caso “a”, serán
remplazadas por los valores de la igualdad de la ecuación en
este caso las posiciones de “d”

13. Resolvemos el denominador de la misma forma:
a1 𝑏1 𝑐1
a2 𝑏2 𝑐2
a3 𝑏3 𝑐3
a1 𝑏1 𝑐1
a2 𝑏2 𝑐2
X= a1*b2*c3+a2*b3*c1+a3*b1*c2 – (a3*b2*c1) -(a1*b3*c2) - (a2*b1*c3)
Luego resolvemos las demás incógnitas de la misma forma.
Recordar que al remplazar “y” y los valores de “y” en este
caso “b”, serán remplazadas por los valores de la igualdad de
la ecuación en este caso las posiciones de “d”, y así mismo
para los valores de “z”

14. EJEMPLO PRACTICO
1. Una empresa de transportes gestiona una flota de 60 camiones de tres modelos
diferentes. Los mayores transportan una media diaria de 15000 kg. y recorren
diariamente una media de 400 kilómetros. Los medianos transportan diariamente
una media de 10000 kilogramos y recorren 300 kilómetros. Los pequeños
transportan diariamente 5000 kilogramos y recorren 100 km. de media.
Diariamente los camiones de la empresa transportan un total de 475 toneladas y
recorren 12500 km. entre todos. ¿Cuántos camiones gestiona la empresa de cada
modelo?