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Estudio completo funciones trigonométricas. representación gráfica
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ÍNDICE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Tabla representación gráfica
de funciones Ejercicios rep. graf. trigonométricas I Ejercicios rep. graf. trigonométricas II Representación de funciones trigonométricas Representa gráficamente la función: y = sen2 x Tipo de función Función trigonométrica. Dominio y rango o recorrido • Dom(f) = R = (-∞, +∞) • Im(f) : Calcularemos su imagen o recorrido a través de su función invesa y = sen2(x) ⇒ ±√y = sen(x) ⇒ arcsen(±√y) = x Intercambiamos las variables y estudiamos el dominio de la nueva función: y = arcsen(±√x) • El dominio de la función arc sen(x) es: [-1 , 1] • La raíz cuadrada está bien definida sólo en los números positivos: [0 , ∞) Por tanto, su dominio es: [-1 , 1] ∩ [0 ,∞) = [0 , 1] O lo que es lo mismo, la imagen de nuestra función es: Im(f) = [0 , 1] Periodicidad Vamos a escribir f(x) de otra forma equivalente que nos permita calcular su período. Usaremos la fórmula del coseno del ángulo doble: cos(2x) = cos2(x) - sen2(x) Y también: 1 = cos2(x) + sen2(x) cos(2x) = cos2(x) - sen2(x) ⇔ cos(2x) = (1 - sen2(x) ) - sen2(x) ⇔ cos(2x) = 1 - 2sen2(x) ⇔ ⇔ 2sen2(x) = 1 - cos(2x) ⇔ sen2(x) = (1 - cos(2x) )/2 Ahora sí sabemos calcular su período teniendo en cuenta que el período de la función coseno es 2π : El período de f(x) es T = π . Por tanto haremos el estudio de la función en el intervalo: [0 , π ) Continuidad y tipos de discontinuidad La función es continua en toda la recta real R por ser una función trigonométrica. Puntos de corte con los ejes Calculamos los puntos de corte que hayan dentro del primer período de nuestra función. Puntos de corte con el eje Y: Si x = 0 ⇒ y = sen2(0) ⇒ y = 0 ⇒ (0 , 0) Puntos de corte con el eje X: Si y = 0 ⇒ 0 = sen2(x) ⇒ 0 = ± sen(x) ⇒ x = 0 ó x = π Luego los puntos de corte con el eje X son: (0 , 0) , (π , 0) Intervalos de signo constante Como los puntos de corte con el eje OX son x = 0 y x = π , y el período de la función es [0 , π ) , estudiaremos el signo en el intervalo: (0, π) Intervalo (0, π) Punto de prueba f(π/2) > 0 Signo de f (x) + En la gráfica se marcan los puntos de corte con los ejes y las regiones donde no hay curva. Simetrías f(- x) = sen2(-x) = (- sen(x))2 = sen2 x = f(x) ⇒ Tiene simetría par. sen (-x) = - sen x Asíntotas No tiene asíntotas. Monotonia: crecimiento y decrecimiento Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos: f ' (x) = 2 sen (x) cos (x)= 0 ⇒ 2 sen (x) cos (x) = 0 La ecuación será igual a 0 cuando sen(x)= 0 ó cos(x) = 0 sen (x) = 0 ⇔ x = 0 , x = π cos(x) = 0 ⇔ x = π/2 Estudiaremos sólo aquellos puntos que estén dentro del período de la función: (0, π/2) , (π/2, π) Intervalo (0 , π/2) (π/2 , π) Punto de prueba f ' ( π/3) > 0 f ' (3π/4) < 0 Signo de f ' (x) + - Monotonía Crece Decrece Máximos y mínimos relativos Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son x = 0 , x = π y x = π/2 , vamos a determinar a través de la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos. Hallamos la derivada segunda: f '' (x) = 2( cos(x) cos(x) - sen(x) sen(x) ) = 2( cos2x - sen2x ) • f '' (0) = 2 > 0 ⇒ Hay un mínimo en x = 0 ⇒ f(0) = 0 ⇒ Min (0, 0) • f '' (π) = 2 > 0 ⇒ Hay un mínimo en x = π ⇒ f(π) = 0 ⇒ Min (π, 0) • f '' (π/2) = -2 < 0 ⇒ Hay un máximo en x = π/2 ⇒ f(π/2) = 1 ⇒ Min (π/2, 1) Curvatura y puntos de inflexión Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos: f '' (x) = 2( cos2x - sen2x ) = 0 ⇒ cos2x = sen2x ⇒ cos x = sen x ⇒ x = π/4 , x = π/4 + π/2 = 3π/4 Por tanto, los puntos que anulan la ecuación son: x = π/4 , x = 3π/4 Tenemos que estudiar los siguientes intervalos: (0, π/4) , ( π/4, 3π/4) , (3π/4 , π): Intervalo (0, π/4) ( π/4, 3π/4) (3π/4 , π) Punto de prueba f '' ( π/6) > 0 f '' ( π/2) < 0 f '' (2π/3) > 0 Signo de f '' (x) + - + Curvatura Concava (∪) Convexa (∩) Concava (∪) La función es cóncava hacia arriba o simplemente concava en (0, π/4) ∪ (3π/4 , π) y concava hacia abajo o convexa en el intervalo ( π/4, 3π/4) . Punto de inflexión Por el apartado anterior sabemos que los puntos que anulan a la derivada segunda son x = π/4 , x = 3π/4 y vamos a determinar a través de la tercera derivada si se tratan de un punto de inflexión. f ''' (x) = 2[ - 2cos(x)sen(x) - 2sen(x)cos(x) ] = 2[ - 4cos(x)sen(x) ] = - 8cos(x)sen(x) f ''' (π/4) = - 4 ≠ 0 ⇒ x = π/4 es la abscisa del punto de inflexión ⇒ f(π/4) = 1/2 ⇒ Punto inflexión ( π/4, 1/2) f ''' (3π/4) = 4 ≠ 0 ⇒ x = 3π/4 es la abscisa del punto de inflexión ⇒ f(3π/4) = 1/2 ⇒ Punto inflexión (3π/4, 1/2) INICIO Álgebra Geometría Trigonometría Geom. Analítica Cálculo Estadística E.S.O. Bachillerato © 2012 calculo.cc | Todos los derechos reservados. | Política de privacidad. | calculo@calculo.cc
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