Mecánica_elástica.pdf

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MECANICA ELASTICA
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Mecánica Elástica
( S E G U N D A E D I C I O N )
POR
ALFONSO PEÑA BCEUF
PROFESOR DE LA ESCUELA DE INGENIEROS DE CAMINOS,
CANALES Y PUERTOS
tr
O C T U B R É -1 9 3 0

P R O L O G O
Agotada la primera edición de esta obra, al poco tiempo de pu
blicada, debemos testimoniar, en primer lugar, nuestro agradeci
miento por tan amable acogida.
Por la rapidez con que fué preparada aquella primera edición
se deslizaron algunos errores materiales, que, aun fácilmente subsa
nables por el lector, convenía corregir; pero, además, aprovechando
esta ocasión, hemos ampliado el programa, añadiendo algunas cues
tiones de verdadero interés.
■ Siempre con el mismo criterio de hacer una obra concisa, por la
aversión que tenemos a la prolijidad de exposición, presentamos
esta obra como un extracto de elasticidad aplicada.
Materia hay en el texto para hacer un tratado de varios volú
menes, pero ese sería, a nuestro juicio, un grave error, pues ya que
los cálculos elásticos son en general bastante complicados, la mayor
virtud estriba en dar su conocimiento con el estricto desarrollo
compatible con su claridad.
El programa es casi igual que el de la primera edición, pero
hemos variado algunas cosas que han hecho crecer el contenido de
la obra. El primer capítulo es casi idéntico, aunque algunas deduc
ciones se han modificado, para su mayor generalidad. El capítulo
de arcos y el de pórticos se han ampliado con algunos ejemplos nu
méricos, de casos concretos, cuyas cifras pueden orientar a los prin
cipiantes en el orden de magnitud de los resultados.
En las estructuras miíltiples se ha conservado la parte doctrinal
de la primera edición, pues su exposición era tan sencillísima que
no cabe simplificar, y sus aplicaciones a la viga de varios tramos y
pórtico múltiple permite reducir estos problemas a fáciles operacio
nes aritméticas, aun dentro del rigor analítico. Recientemente, en

P R O L O G O
algunas revistas técnicas se han publicado artículos «descubriendo»
el procedimiento que por primera vez se expuso en nuestra pri
mera edición. No obstante, se han incluido algunos ejemplos nu
méricos y además un estudio original aproximado para calcular
los momentos secundarios en las vigas en celosía.
Un capítulo nuevo se ha añadido ahora: el de repartición de car
gas y cimentaciones. No es necesario indicar la importancia de esta
cuestión en la construcción de edificios, y procurando concretar en
fórmulas muy sencillas los resultados, se ha redactado este capítulo,
que extracta lo que substancialmente puede interesar en las cuestio
nes de cimentación de obras por repartición de cargas.
También en el capítulo VII, que trata de placas planas, hemos
substituido el tanteo aproximado que en la primera edición publi
cábamos referente a las placas rectangulares empotradas por un
estudio mucho más completo, que permite encontrar la ecuación
general de deformación elástica y las leyes de tensiones interiores
en una placa rectangular empotrada con carga uniforme ,y concen
trada en su centro.
Por último, el capítulo de presas ha sido también redactado
de nuevo, haciendo una crítica de los métodos de cálculo en las pre
sas de gravedad y exponiendo con más detalle y generalidad las
presas bóvedas y las de bóvedas y contrafuertes.

CAPITULO PRIMERO
Teorías fundamental es
1. Principios de la Elasticidad.— I^a teoría de la Elasticidad,
una de las más fecmidas ramas de la Física matemática, plantea el
problema general del siguiente modo: determinar la intensidad y
orientación de las tensiones y deformaciones que se producen en el
interior y en la superficie de un cuerpo, en función del sistema de
causas que sobre él actúan. .
Este problema tiene inmensa generalidad y en relación con ella
está la dificultad de su resolu
ción, muchas de las veces insu
perable.
De varias maneras puede
explicarse la teoría de la Elas
ticidad, variando unas de otras
por las hipótesis que se adop
tan como punto de partida,
desde el criterio puramente
mecánico de Cauchy, al más
general de la energía adoptada
por Poincaré, marcando entre
ellos el período evolutivo se
guido por la ciencia. E l más
corrientemente explicado en los tratados elementales es el de
Dame, cuyas definiciones sirven de base a los cálculos de la Re
sistencia de materiales. Descansa este método, o más bien, esta
manera de exponer la Elasticidad, en dos hechos experimen-
•tales:
1.0 Cuando un cuerpo se supone cortado por un plano (fig. 1.»),
para separar las dos regiones es necesario desarrollar un esfuerzo.
F ig. 1.»

MECÁNICA ELÁSTICA
Esta observación permite establecer el siguiente juicio: a cada parte
ah área corresponderá un cierto esfuerzo, y si se divide éste por
la superficie, al decrecer tendrá un límite la relación que expre
sará el esfuerzo en el punto considerado y que podrá llamarse
tensión o reacción molecular en dicho punto, correspondiente a
aquella sección plana.
2.0 Eas tensiones producidas en los distintos puntos dependen
de las deformaciones.
De la observación en fenómenos simples (un hilo que se estira,
un cilindro que se comprime, etc.) nace esta idea, expresada ana
líticamente diciendo que los esfuerzos o cargas moleculares en los
distintos puntos son función de las deformaciones.
Admitidos esos dos hechos experimentales se establece la teoría
elástica según el método seguido por Eamé.
No entra en el programa de esta obra la exposición de la teoría
completa, para la que sería necesario, no sólo mayor espacio, sino
criterio distinto del que motivó su redacción. Es nuestro objeto
indicar teorías de aplicación para el ingeniero, pero sin pretendor
exponer doctrinas con el rigor científico de la especulación. No po
demos decir que en este capítulo se desarrolla la teoría de la Elas
ticidad (que puede encontrarse en los tratados especiales, como el
clásico de I,amé, las conferencias de Echegaray, los tratados de
Sarrau, Resal, Mathieu y otros); pero sí deseamos hacer una sín
tesis del problema general, indicando sucintamente las ecuaciones
generales y la marcha del desarrollo.
2. Referido el cuerpo a tres ejes coordenados rectangulares,
se le supone descompuesto en elementos de volumen infinitamente
pequeños por planos paralelos a los de referencia, y rmo cualquiera
de esos paralelepípedos (fig. 2.») estará en equilibrio por las acciones
que sobre él se ejerzan y por sus reacciones producidas en cada
cara, sobre el resto del cuerpo.
Estas reacciones de cada cara serán, en general, obhcuas a ellas
y tendrán tres componentes paralelas a los ejes, de modo que en
los tres planos de referencia habrá nueve componentes; pero antes
de escribir las ecuaciones de la Estática, para el equihbrio del pa-,
ralelepípedo, se puede demostrar que sólo hay seis distintas, con lo
que resultarán simplificadas las ecuaciones. Inmediatamente se

TEORIAS f u n d a m e n t a l e s
ve que todas las perpendiculares a un mismo eje son iguales, pues
tomando momentos respecto a la paralela al eje de las z que pasa
por el centro O' del paralelepípedo, las fuerzas CN^, CT2, CT^ y sus
homologas de la cara JG, no dan momento; las AN-¡^, sus ho
mologas a la cara JL, tampoco, por la misma razón que antes
(cortarla o ser paralela), y del mismo modo las BN^, B T ^y sus ho
mologas de la cara JE. Las únicas que producen momento son:
AT^ con BT¡ y sus homólogas en las caras paralelas JL y JE.
Como estas fuerzas son por unidad de superficie, su valor total es
el resultado de multiplicarlas por el área de la cara; así, la primera
valdrá [AT^)dydz y su homóloga de la cara JL diferirá de ella en
el incremento que corresponda al de la i'ariable x, luego será
dJAJTJi
dx
dx dydz

MFXANICA ELÁSTICA
De idéntico modo, para la BT^, su valor es BT^dxdz, y para su
homologa en la cara JE,
CQ'T ^(-^^3) j
3
)-!------j-----dy
dy
dxdz
dx
El brazo de palanca de las primeras es . y el de las según-
¿
i
d
') •
das Por tanto, despreciando los términos de cuarto orden,
resulta {AT^)dxdydz = {BT^)dxdydz, o sea AT^ = BT^.
Y lo mismo las CT-^ y BT-¡^, así como AT^y CT^.
Para el equilibrio del paralelepípedo, consideremos todas las
fuerzas. Das paralelas al eje de las a
; son:
En la cara O F ..........
En su homologa JL . .
En la cara OK...........
En su opuesta GJ . . .
— N-^dydz
Ni ------- dx dydz
dx
T^dxdy
dTo
dz '
dz dxdy
En la cara OH........... — Todxdz
En su opuesta E J ... . ( Yo +
dT
— —dydxdz
dy J
Das causas exteriores producen sobre el cuerpo, en ese punto,
rma resultante por unidad de volumen que llamaremos P y sus pro
yecciones sobre los ejes se llamarán X, Y, Z; luego sobre el parale
lepípedo diferencial las acciones paralelas a los ejes serán Xdxdydz,
Ydxdydz, Zdxdydz.
Igualando a cero la suma de las proyecciones, resulta
Para el eje OY....................
E idénticamente para los
d N i
+
dT^ d To
^ I
d x d y dz
d T 3
+
dN^ d T ,^ 1
d x d y ^ dz
dT^
+
d T ,1 1 dN ^
d x dy dz ^
p Y = 0
f- pY = 0 ^ [a]
pZ = 0
5
- V

E l sistema de fuerzas y el cuerpo le hemos supuesto en equili
brio al establecer las ecuaciones anteriores; pero si el cuerpo estu
viera en movimiento, es preciso añadir, además, las fuerzas de
inercia, pues sabido es, por el principio de D’Alembert, que el equi
libro se establece, en los sistemas en movimiento, entre las fuer
zas aplicadas y las de inercia.
Si la masa del elemento de volumen que consideramos es dm
y la aceleración de su movimieiito la llamamos j, la fuerza de iner
cia será — '¡dm = — jpdxdydz, siendo p la densidad.
Eas proyecciones de esta fuerza sobre los ejes valdrán
— jxpdxdydz — jypdxdydz — j^pdxdydz
y las ecuaciones [a] quedarán bajo la fonna
dN-, dTo dTo
+ ~ + '
[«']
Siendo xyz las coordenadas del centro del elemento de volu
men, si se llaman u, v, w las componentes del movimiento según
los ejes, los valores de las aceleraciones son
U =
ly —
h —
d^u
dt^
d^v
dt^
d^w
dt^
has ecuaciones [a] expresan las condiciones necesarias para el
equilibrio en los puntos del interior de un cuerpo; pero es necesario
deducir otras para los puntos de la superficie que le limita.
Además, como por un punto cualquiera del cuerpo pueden pa

MECÁNICA e l á s t ic a
sar infinitos planos, a cada uno corresponderá una tensión o reac
ción molecular, y debe verse si entre ellas existe una relación que
pueda expresarse analíticamente. A este doble objeto, en lugar de
considerar, como hicimos antes, el equilibrio de un paralelepípedo
que envuelve al punto, vamos a considerar ahora un tetraedro, tam
bién infinitamente pequeño (fig. 3.^); es decir, como si a la fi-
Fig. S.*
gura 2.8’ la cortáramos por un plano cualquiera que pasara por el
punto.
has componentes de la causa exterior son X, Y, Z, por unidad;
de modo que para la superficie ABC valdrán XS, YS, ZS, sien
do S el área A 5 C.
Proyectando, como antes, sobre el eje de las x, y llamando
S
;^
, «2, Sj las áreas triangulares de OAC, O A B j OBC, tenemos
XS —
o sea
s ®s ^ s

y como
-^
2 ^
3
T ’ T ’ T ’
son los cosenos de los ángulos que el plano A B C forma con los
coordenados, o lo que es igual, su normal con los ejes, llamando a
esos cosenos a p y, se tiene
Y de igual manera ..
X = iVj^a -1
- TgP + TaY
Y = Yga + iVgP --T-¡y
Z = T T )
[b]
Indican esas ecuaciones que las componentes X, Y, Z de la
tensión total en un punto de
un cuerpo dependen de las re
acciones N-JSÍ^Ng, en
el paralelepípedo paralelo a los
planos coordenados y de los
cosenos directores a, p, y, de
la normal al plano que se con
sidera como secante.
Si sobre la normal A B a
plano en cuestión se proyecta
la tensión total AP, resulta
rá (fig. 4.®
')
Ab = Xo^+ y?' + Zy
y en virtud de los valores del sistema [&], llamando N este valor,
se tiene
JV = + Ygp2 -P Ygy^ + 2riPy + 2T^ocy + 2rgap [1]
Llevando sobre aquella normal la magnitud
Fig. 4.®
4 B =

MECANICA ELASTICA
las proyecciones de ese punto B serán evidentemente
X = A B • a = — ‘ y — AB-<^-~ ^
___
Y ±]s¡
Z - A B - Y
o sea
a= x Y —^ ’> P= yV^±iV; Y= 2]/±iV
cuyos valores sustituidos en la ecuación anterior dan
=
b 1 = NjX^ -(- B¡2y^ d" -^3^^ “1
“ >
A
~ '2
‘T^xz -p 2T^xy
ecuación de una cuádrica, en la que, por transformación de coor
denadas, se pueden hacer desaparecer los términos rectangulares,
reduciéndose a la forma
i 1 = N^x^ d- d-
cuya naturaleza depende del signo de los coeficientes (elipsoide,
tanto para las tracciones como para las compresiones e hiperbo
loides, conjugados en el caso de existir tracciones y compresiones).
Bsto demuestra que en el interior del sólido elástico existen tres
planos rectangulares para los que las tensiones se reducen a-fuerzas
normales (tracciones o compresiones), pero sin existir esfuerzos
tangenciales.
•Para los puntos de la superficie, en las ecuaciones [b] debemos
poner X q
, Y q
. en lugar de X, Y, Z, siendo Z q
, Y q
, Zqlas pro
yecciones de la fuerza exterior sobre los ejes, actuando sobre la
superficie.
3. El estudio de la Elasticidad comprende tres partes: una,
tas relaciones que existen entre las tensiones y las causas sohcitan-
tes; la segunda se refiere a las deformaciones, y, por últhno, la ter
cera estudia las relaciones que ligan las tensiones con las deforma
ciones.
Ea primera parte es la que sucintamente hemos expuesto en
ios párrafos anteriores.

TEORIAS FUNDAMENTALES
Para el estudio de las deformaciones consideremos (fig. 5.a) un
punto A del cuerpo y otro B, infinitamente próximo al anterior.
A causa de las acciones so
bre el cuerpo, el punto A se
desplaza, llegando a la posi
ción A ', y del mismo modo,
el B pasa a ocupar el B'. A
las componentes, sobre los
ejes del desplazamiento A A '
las llarnaremos ^í, v, w (no
taciones éstas, como las de
más, que son generalmente
adoptadas).
Es evidente que las com
ponentes «, V, w ^erán fun
ciones de las coordenadas del punto (y, además, del sistema de
.fuerzas), de modo que podemos suponer
u = f¿x, y, z)
V = f^ix, y, z)
= faix, y, z)
Como el prmto B es infinitamente próximo al A, sus coorde
nadas serán a
; -f /í, y -f z -j- en las que h, k, l son los elemen
tos diferenciales. Para ese punto, las componentes de su deforma
ción se expresarán por
u
v'
z'
f y + ■2+ i)-
+ fí. y + ^ + l)
fsi^ "b y ~

- k, z ^
Desarrollando éstas por la fórmula de Taylor y despreciando
los términos superiores al primer grado, tenemos
u
du d
'id
i
-
----;-- h --
v ' = V --
w' — W--
dx
dv
dx
dw
dx
dy
k -|— - — l
dz
dv , dv ,
h -)- —-— k -|- —:— l
dy
dy
dz
, dw , dw
h -| ;— k -|---:— /
dz
'M

10 MECANICA ELASTICA
De modo que los desplazamientos o deformaciones u ', v', w''
dependen de los u, v, w j de nueve cantidades
du du du dv dv dv dw dw dw
dx ’ dy ’ dz ' dx ’ dy ’ dz ’ dx ’ dy ’ dz ’
pero en lugar de considerar estas cantidades en las ecuaciones,,
con objeto de abreviar y simplificar los cálculos, se consideran
unas combinaciones de ellas, dándole nombres sencillos, en la for
ma siguiente:
du dv
•
—
--
dx
dw dv . du dw
26i - , -h ■ 2b, — -------1-
dy dz " dz dx
dio dv du dw
dz dx
dti— •
dw
dz
2b,
dv du
+
dx dy '
du
• dv
dx dy
Entonces, sacando de estas igualdades los valores de las nue
ve derivadas y sustituyendo en el sistema [c] resulta
u — u —
j— u-^1 — b^k —
{
— b^ —
j— ^2^ —
V = V -j- b^p -j— —
)
—b-^ -j- — P']!^
w' = w b¿i b-¡k -|- aj, -)- p-¡k— f j i
En virtud de estas ecuaciones, las deformaciones de un punto
infinitamente próximo al A, que se considera, se compone de tres
elementos: una traslación u, v, w
una defonnación a-¡h bji -f bj,
y sus bomólogas; y un desplazamiento fj, — pji, p^h — p-J,,
p-Ji —- p^, que representa una rotación de componentes pipipz-
Esta última es una rotación de todo el sistema y, por tanto, no
afecta a la deformación; es decir, representa un desplazamiento
geométrico, en tanto que el otro es elástico.
Más claro: la rotación pyp^pz hace que varíe el sistema de pun
tos, de posición, pero no aumenta su deformación, ni tampoco la
traslación u, v, w. El elemento que produce incremento de defor
mación es el a-^
h -f bji + b¿ y sus otras dos componentes.
De modo que la deformación total u'v'w', de un punto, de

TEORIAS f u n d a m e n t a l e s 11
pende de seis cantidades a-¡a^a^b^b^bs, en Ingar de depender de
nueve, como parece por las ecuaciones [c].
Vamos a obtener de otro modo las relaciones que Hgan las de
formaciones para ver con más claridad aún la interpretación me
cánica de los parámetros.
Podemos suponer que el punto A llegó al y el S al S ' en
virtud del movimiento más general de un cuerpo; traslación, ro
tación alrededor de un eje fijo en el espacio y deformación por di
latación de aristas y deslizamiento de caras en el paralelepípedo
elemental.
Por la traslación, todos los puntos tienen recorridos iguales
y si u, V, w son los de A, éstos mismos serán los de B.
Por la rotación alrededor de un eje fijo, que podemos suponer
pasa por A , si las componentes de la rotación son -p^
, p¡,, las de
la rotación de B las deduciremos por el producto escalar
^0 Vo ^
0
Pí P
s
h k l
= HÍP^I — PJA -f- yoiPzh- — PJ) -f- Z^{p-Ji — pji)
Por lo que afecta a las deformaciones, distinguiremos los dos
elementos: dilatación de aristas y deslizamiento de caras. Pas pri
meras, siendo a
-¡^
, a^, las dilataciones unitarias, las componen
tes de dilatación serán
a-¡h flg í
que se deben a la acción de las fuerzas normales a las caras del pa
ralelepípedo elemental.
Pas segundas (deslizamiento de caras) son debidas a las compo
nentes tangenciales que están en el plano y cada cara deslizará
sobre sí misma; pero este deslizamiento se puede suponer, con un
error de segundo grado, que es un giro alrededor de un eje parale
lo a la cara y perpendicular a la dirección del deslizamiento.
Plamando by, b^, b^ los giros alrededor de ejes paralelos a x,
y, z, la componente del deslizamiento de B, según el eje x, debido
a esa causa, será
¿¿2 + ^^3

12 MECÁNICA EEÁSTICA
y, según los otros ejes, y, z valdrá, respectivamente,
hb^ + ¡'bx
kbx b'b^
Sumando las componentes de desplazamiento de B, por todas
las causas, según cada eje, tendremos
u' = 11 C
L
xji ~

~ bjt -p bji -j- ‘pj'
V b
-J
- “I" b^ -|“ Pzh P'i!'
w' = w -}“ ^
3^ “j“ bxk -|- b^ Px^ P
'¡J^
e identificando estas ecuaciones con las [c] resulta
du dv dw
— dx
^2~
dy
«3 =
dz
du dv
Pz =
dy
^3+ ^3 =
dx
dw du
b z - dx
bz + p2 =
dx
dv dw
b x - P x - dz
bx + Px =
dy
de cuyo sistema salen los valores de
2hx 2&2 2&
3 2fx 2/>2 2^8
que expusimos en la página 10.
I,a significación de esos coeficientes axd^a^bxb^bs se puede
hacer considerando los dos problemas simples: dilatación lineal
y dilatación angular, o también directamente.
Para el primero, consideremos un segmento rectilíneo, en el
interior de un cuerpo, siendo l su longitud. Cuando, por las cau
sas que sobre el cuerpo actúan, éste se deforma, dicha longitud
habrá variado, pasando a ser V.
V — l
Se llama dilatación lineal a la relación---^
— , es decir, al alar
gamiento relativo.

Como las coordenadas del punto A son x, y, z, y las del B,
infinitamente próximo, son x + + ^(fig- S
.®
*), las com
ponentes del segmento AB, serán h, k, l, luego su longitud vendrá
dada por
A B = V h ^ + k^^f^, AB^ = h^ + k^ + l^
Iva diferencial de esta expresión es
ZS(ífZB) = hdh + kdk -1- Idl
dh, dk; di son las variaciones o incrementos de longitud de las pro
yecciones h, k, l, y, por tanto (en elementos infinitésimos), se
podrán reemplazar por u' — u, v' '— v, w' — w. Estos valores,
que están dados por las igualdades [¿], sustituidos en la
ABd{AB) = hdh -f- kdk 4- Idl
la convierten en
ABd(AB) = a-Ji^ + ^
3^^ + 26^
^
/ -|- 2bjil -f- 2b^hk
y por ser
h l
A B ’ A B ’ A B
los cosenos de los ángulos que A B forma con los ejes, tendremos
d{A B)
A B
en la que
= -j- 2&gaY -f- 2¿gap [2]
d{AB)
A B
es en el límite la dilatación lineal.
Si el segmento 4 B es paralelo al eje ox, será ■
a = 1, p = 0, Y = 0,

14 MECANICA EEASTICA
luego
d{AB)
y lo mismo, respectivamente, si fuera paralelo al eje oy o al 02.
Los coeficientes «1, a^, son, pues, las dilataciones lineales
paralelas a los ejes.
Directamente se ve, porque dijimos que
C
l-t —
du
dx
es decir, la variación de la deformación en relación con la lon
gitud.
Observando la fórmula [2], que da la dilatación lineal, vemos
que su forma es análoga a la que daba la tensión normal sobre rm
plano perpendicular a la dirección a, p, y.
Si sobre la recta AB, a partir de im. punto M, se lleva
un vector MN cuyo cuadrado sea el valor absoluto de —
l^siendo a ■ ®
)_
coordenadas del extremo del vector ven-
A B
drán dadas por las relaciones
X
a p
z
Y ]/±,
Eliminando a, p, y entre estas relaciones y la ecuación [2] se ob
tiene la ecuación del lugar del punto N, que será
i-^
x'^ -f -f -b ‘¿hyyz -f ^b^xz -f 2h^xy ± 1
Esta ecuación representa una cuádrica, que será un elipsoide si
todo son dilataciones o contracciones; dos hiperboloides conjuga
das si hay dilataciones en ciertas direcciones y contracciones en
otras.
Por cambio de ejes pueden hacerse desaparecer los términos
rectangulares, quedando así
«1% ^ - b a ^ y ^ - f ± 1 b — ¿2 — ^3 — ^

TEORÍAS f u n d a m e n t a l e s 16
lo cual indica que en todo punto de un sólido que sufre una defor
mación existen tres direcciones rectangulares, para las que los
ángulos tomados dos a dos
permanecen rectos después de
la deformación.
Esas direcciones se llaman
principales.
Dilatación angular es la va
riación que experimenta el
ángulo formado por dos seg
mentos rectilíneos que parten
de un pnnto, cuando el cuer
po se deforma (fig. 6.*^
).
Eos puntos son infinitamente próximos al A. Siendo
“iPiYi los cosenos directores de /IBi y «2P2T2 los AB^,, el ángn-
lo de las dos rectas será
eos V = aj^
«
2 + P1P2 + T1T2
k
-^
, l-
^
^son las proyecciones de AB^, j'h^, k^, l-^las de AB^', de
modo que llamando la longitud A B ^ jr^ la AB^, se tiene
f oos V = h-Ji^ + ^1^2 + h h '
Análogamente a lo -que se hizo en la dilatación lineal, diferenciando
esta expresión y poniendo en lugar de rf/íi, d
k-¡^
, dlj^
, dh^, dk^, dl^,
los valores dados por las ecuaciones [á] para u' — u, v' — v,
w' — w, resulta
dV = — „ „ T
/ I + aji-íki + + ^i(^i^2 + ¿1^2) +
/ 2 S c ll. V L
-j- -|- ¿2^
íj) -(- eos Eíí(f]^r2)|
Como caso particular se puede considerar aquél en que los dos
segmentos AB^, AB^ formen ángulo recto. En ese caso
7T
T

16 MECÁNICA ÉLÁSTICA
y la deformación sacada de la ecuación anterior, teniendo presen
te que
K ^2 ^
2 k .
i'i ’ ’ ^2’ ^
'2
son los cosenos directores, será
C
) -|- «2PiP
2 + <
*3
T
iT2 + ^i(!^
iT2 + T1P2) +
+ ^2(Ti“2 + “iY2) + &
3(“lP2 + Pl“2
)
Para mayor simplificación, cuando los dos segmentos, además
de formar ángulo recto coincide éste con dos ejes coordenados (por
ejemplo, el yz) entonces a
j^= Yi = 0, pj = 1, ag = Pg = 0. Y2 = 1>
y la dilatación angular valdrá ¡
— dV = U^
Pos coeficientes b^
,. son, pues, la mitad de las dilataciones
angulares de los ángulos del cuerpo paralelos a los coordenados.
Otro concepto, análogo a los anteriores, es la dilatación cúbica,
que es la variación relativa sufrida por un paralelepípedo des
pués de la deformación.
Tomando un paralelepípedo P, paralelo a los planos coorde
nados, cada una de sus aristas se ha aumentado respectivamente
en «1, a^, «3. El volumen del paralelepípedo deformado resultará
SP —P(1 -|- ni)(l -|- a,^{ -|- «3)
de donde
SP
' -j- «2 “
*3
despreciando los términos «j, y sus homólogos, que son de se
gundo grado, y con mayor razón el a-¡a.^
a^
. Y siendo, según se
indicó antes.
«1 =
du
dx
Un —
dv
dy
Un —
dw
dz

t k o r ia s f u n d a m e n t a l e s 17
tenemos para valor de la dilatación cúbica
du dv ^ dw
0= ----p _
p
dx dy dz
4. Decíamos que el estudio de la Elasticidad se podía dividir
en tres partes: en la primera se relacionaban las tensiones entre
sí y con las causas exteriores; la segunda estudiaba las relaciones
entre las deformaciones, y en la tercera se ligaban las tensiones
con las deformaciones.
De esta última parte nos vamos a ocupar ahora.
Queda demostrado, en los párrafos anteriores, que la tensión
en un punto cualquiera de un sólido depende sólo de seis canti
dades, N^, N^, T^, Tg, y, del mismo modo, la deformación
en ese punto depende de las seis componentes a^, a^, «3, ¿2. K
Das relaciones que liguen la tensión con la deformación serán,
por tanto, unas ciertas funciones que enlacen las N j T con las
a y b. Es decir, que las componentes de la tensión estarán ligadas
con las de la deformación por funciones, desconocidas, que repre
sentaremos del modo siguiente
Nz = ^Z ~ 4'2(<
*
i‘^
2'*3^1^2^3)
^3 — ‘P
3('*l'*2‘*3^1^2^
3) ^3 ~ ^3('*1<
*
2®
3^!^2^3)
Ante la imposibilidad racional de determinación de estas fun
ciones, se admite como aproximación el resultado de su desarro
llo por la serie de Mac-Eaurin, prescindiendo de los términos de
segundo orden y superiores.
Por ejemplo, una de ellas
= 9i(0, 0, 0, 0, 0, 0) +
¿9i
+ dbi h +
<
¿
9i
d
C
t-y
■
db.
í¿9j^ ¿ 9j
^
da.
^ da.^
^ db, ®
ÍI3-f
Representando cada uno de los coeficientes por una letra, se
pondrá Aí^, bajo la forma
^ + ^2^2 + ^3% + ^ibi + E262 + E3&3

lyos coeficientes ... ... son, en general, funciones de las
coordenadas del punto y esto complica extraordinariamente el
problema. Para hacerle abordable, analíticamente, es preciso hacer
alguna hipótesis respecto a la constitución de la materia, supo
niendo que el cuerpo es homogéneo, en cuyo caso los coeficientes
son constantes para todos los puntos y, si isótropo, son constan
tes, además, para cualquier sistema de ejes coordenados que se
adopte.
Respecto al coeficiente C = 9^(0, 0, 0, 0, 0, 0) que repre
senta la tensión cuando son nulas las deformaciones «3 b
■^
^b^b^,
parece a primera vista que debe ser nulo, pues ya dijimos que en
la teoría de Elasticidad partíamos del principio experimental de
que las tensiones dependen de las deformaciones y parece natural
que para deformación nula lo sea también la tensión. Pero no es
tan natural al considerar que las deformaciones a-^... ¿^. .. son
las que nacen al actuar sobre el cuerpo las causas que consideramos
como datos del problema y antes de su actuación puede tener el
cuerpo un sistema de tensiones (com
patible con sus deformaciones) que
se desconoce, a menos de saber la
historia del material y su ley de
, formación.
3 Varios ejemplos pueden ponerse
para aclarar este concepto, y uno
de los más sugestivos es el formula
do por el eminente profesor de la
Universidad de Roma, Sr. Volterra,
que consiste en lo siguiente:
Supongamos el anillo, representado en la figura 7A, constituido
por cualquier materia elástica.
Si por un instrumento cortante le damos dos cortes A B j A 'B ',
quitando el trozo de materia comprendido entre ellos, y después
forzamos lo que sea preciso el anillo para que las secciones A B
Y A 'B ' coincidan y se sueldan, al terminar esta operación quedará
el anillo con forma muy aproximada a la anterior. Si sobre el
anillo se estudiara la elasticidad por una persona que no hubiera
presenciado el corte, al seguir el criterio que antes expusimos, de
suponer C = 0, cometería un grave error, pues la materia, por
efecto del corte, puede tener tensiones muy grandes antes de entrar

en juego las deformaciones a y 6 del sistema de fuerzas que pos
teriormente actuaran.
Otro ejemplo puede también presentarse. Consideremos un te
rreno formado por una masa de arcilla. Según se haya formado el
terreno, por hiladas horizontales perfectamente apisonadas, o que
la masa se haya echado de un modo arbitrario, las tensiones origi
nadas varían muchísimo, antes de tener en cuenta las que se pro
ducen por un sistema de acciones exteriores.
Ya se ve que no es tan lógico admitir como estado previo de
la materia el estado neutro, que significa la igualdad C = 0.
Ahora bien, en el estudio elástico de un problema concreto po
dremos siempre suponer que la constante independiente es cero,
porque adoptamos como estado inicial de la materia el anterior al
del sistema de causas que para el problema suponemos.
Y claro es, que con las tensiones que resulten, se obtendrá úni
camente la diferencia de tensiones totales entre las producidas por
esas causas y las que había antes de su actuación.
Aceptamos, pues, el valor C = 0; pero a sabiendas de que para
el conocimiento de las tensiones totales es preciso, además, saber
la historia del material, y que el estado de que partimos no es el es
tado neutro, en general, si no el que Poincaré llama estado inicial.
Vamos a ver cómo pueden reducirse los seis coeficientes
A2, Ag, B t, 5 a, Bg, a sólo dos.
Ya hemos demostrado que la distribución de tensiones alrede
dor de un punto cualquiera, de un medio elástico, está representada
por una cuádrica que tiene por centro el punto, y cuya ecuación
general es
(A) <
p(x, y, z) =Nj^x^ + Ngy^ + ^gZ^A- 2T ^ y z 2TgXz + ^Tgxy = 1
También demostramos que las deformaciones concordantes
con esas tensiones estaban representadas por otra cuádrica, cuya
ecuación es
(B) <l>{x,y,z) = a-^
x^ -f- -f- U
gZ^ -f 2h^yz -|- 2hgXz 2bgxy= 1
Si el medio elástico es isótropo, la constitución del sistema es
igual alrededor de cualquier eje y, por tanto, no cambia al pasar
de unos ejes coordenados a otros.

2 0 MECÁNICA EEÁSTICA
Tomando nuevos ejes tendrán la misma forma algébrica esas
cuádricas, y vamos a ver qué enlace existe entre ambas superficies.
Como las tensiones y desgarramientos N, T, son funciones de
las deformaciones a, b, la cuádrica {B) estará determinada en cuan
to lo esté la cuádrica {A), y podemos demostrar quedas dos tienen
los mismos planos principales y las mismas secciones cíclicas. Si
OX, OY, OZ son las direcciones principales de la cuádrica (B),
siendo entonces ésta superficie simétrica respecto a los planos coor
denados, las deformaciones alrededor del origen son simétricas
respecto a esos planos, y como las tensiones son función de las de
formaciones, también resultarán simétricas respecto a los mismos,
por lo que la cuádrica de las tensiones tendrá aquellos planos tam
bién como principales.
Adoptando estos ejes, las cuádricas tendrán la forma
{A') Nj_x^ + + Nsz^ = 1
{B’) «1^2 _|_ ^^2 _)_ ^^^2 l
I^os coeficientes N
-¡^
, N¿, están enlazados con los a
^
., a^, «3 ...
por las fórmulas que antes indicamos; es decir,
^2^2 d“ Agíig -[- Bj^b^ T B¿b2 -t- Bgbg
y sus homólogos; pero como en estos ejes coordenados las b sé han
anulado, quedará
N i — A iU i -j- A ^ a^ -j- ^ 3 ^ 3
Al permutar los ejes OY y OZ el coeficiente Ni no cambia;
pero los «2 ‘^
3 se permutan y deberá ocurrir que A^ — A 3, luego
Ni = Aiai -f A 2(^2 -j- «3)
o lo que es igual
Ni = (Al- A2)^1 -f- A2(ai -j- «2 + *
2
^
3)
y por ser
du
dx
C
L
n—
dv
dy
dw
dz

TEORIAS FUNDAMENTALES 21
será
+ ^2+ —'
du dv dw
____L
dx dy dz
lílamando 2¡j. al coeficiente A
-^ — ■ A2 y Xal^^, tendremos
e igualmente
— X
0 -)- ^
ÍV2 X
6
iVg = x0 -|- 2|ia3 ]
Teniendo en cuenta estos valores y si multiplicamos la ecua
ción de la cuádrica {B') por 2¡x, y restamos de la otra, tendremos
X0(a
;2 + y2 -f ¿2) _ 1 -i
- 2(1 = o
lo cual nos dice que la intersección de las dos cuádricas es una es
fera, o que se cortan según círculos pertenecientes a una misma
esfera de centro 0, teniendo, por tanto, los mismos planos cíclicos.
Pasando las ecuaciones a los antiguos ejes coordenados, ten
dremos
<?{x, y, z) = 2iL
<
l>
(x, y, z) +
y poniendo en vez de (p{xyz), i/{xyz) sus valores, que son los prime
ros miembros de las ecuaciones de las cuádricas generales, te
nemos
N^x^ + N^z^ -1
- 2T^z + 2T^xz + 2T^xy =
= 2[íaiX^ 4- 2¡iíi2y^ + + ^h-yj.yz -b ib^v-xz -j- ^h^i-xy -f
+ X0(a
;2 + y 3 4- 2
:2
)
e identificando los dos miembros, resulta:
= x0 4" 2
t.ciy
iVg X0 4“ 2(X¿?2
JV3 = X0 4~ 2y*d^
T-y = 2ixby
Tg = 2
|X
¿)2i [^]
7^
3 = 2y.bg
Estas son las relaciones que deben existir entre las tensiones y

2 2 MECANICA ELASTICA,
las deformaciones, en las que ya sabemos que las a son las dilata
ciones lineales y b las dilataciones angulares, cuyos valores eran
du
dx
b.
^2 —•
1
T
dv
du dw
íío --
dw
~dT'
’ 2
dz dx
Y como la dilatación cúbica es
6 ,=
1 / dw
2
dv
dy
dv
dz
dx
du
dy
du
+
dv dw
dx ' dy ^ dz
las ecuaciones [e] se podrán poner bajo la forma
dw
= X0 2^
iVa := X0-b 2ix
ÍV3 - X
0 2(1 ■
du
dx
dv
dy
dw
dz
7’i = [I
T^=ií
T’3= [
X
dy
du
dz
dv
dx
+
+
dv
dz
dw
dx
du
dy
[/]
Sumando las tres primeras, se tiene
-|- iVg + ÍV3 = (3x -f- 2(x)0
Se han reducido a dos las constantes (x y tx) llamadas coeficien
tes de lyamé y algunas veces se ha propuesto su igualdad X = ¡x.
5. I,as ecuaciones [/] soix las relaciones entre las componentes
Ni, N2, ÍV3, Ti, T¡¡, Ya de la tensión, y las de la deformación u, v, w.
Las ecuaciones [a] ya dijimos que expresaban el equilibrio de
las tensiones y causas exteriores X, Y, Z en un punto del interior
del cuerpo.' Y las ecuaciones [6], cuando en el primer miembro
se pone, en vez de X, Y, Z, las componentes X q
, Y q
>^0
za exterior en un punto de la superficie, representan el equilibrio
entre esas componentes y las tensiones, en la superficie.
De modo que esos tres sistemas de ecuaciones son las condi-

TEORIAS f u n d a m e n t a l e s 2 3
C lones a cûe d eben s a tis fa c e r la s te n sio n e s y d e fo rm a c io n e s des
a rro lla d a s en u n c ue rp o.
Para tener las ecuaciones definitivas, derivemos las ecuacio
nes [/], sustituyendo en el sistema [«]; la primera da
[ du 1 r dv du "
I
tv
y
v I I iA/Ai I
dx d^ ^
+
[ du dw 1
-------1
-------
dz dx
dz
dv du
dx dy
dy
-f p Z = 0
Desarrollando, se tiene
y por ser
dQ / Ó
í'1
4
/ dv dw '
dx ix dx dy dz ¡1+
1dû dû dhi
+
dx^ ^ dy^ ^ dz^]
+ P^ ==0
6=
du dv dw
dx ^ dy + dz
llam ando A el resultado de d e riva r dos veces una variab le respec
to a las X, y, z, es decir, sim bólicam ente
d^
dx‘ + A l
dy‘ + AlL
dz^
la anterior ecuación será:
¿6
fX-|- p
i.)—-— —
j- Lû — o
dx
0
de
(X -|- (i) — [- [lAu -|- pY = 0
do
(X-|- (j.) —- j- y.Aw-|- pZ = 0
az
[g"]

2 4 MECANICA ELASTICA
Diferenciadas estas ecuaciones y sumadas dan
(
/
72a /
72a /
72a
~d^ "" (X+ 2[x)A0= 0 ó sea A6 = 0
dy^
dX
dx
, dY dZ
dx -
— dy -|----^ dz
dy dz
será igual a cero en el caso en que se puedan suponer X, Y, Z des
preciables con respecto a las que actúan en la superficie, o cuando
sean sensiblemente constantes, que es el caso más frecuente.
Sustituyendo también las ecuaciones [/] en las [6], resulta
I . ^ du I dv du I du dw
+ 2[J.— Ia4-¡J,pI—----1
--------—1-f-(xy(—
^ + ~—I
dx I dx dy I dz dx J
^0= !^(
' 0= I'
dv du
dx dy
du dw
X6 4- 2[x
dy
dv
■+
/dw
dx
) “ + ( --------- iy
,/ dw , dv / dw
dv
dz
dw
) [h1
Das ecuaciones [g] y [h] resuelven por completo el problema.
Es decir, que si se encontrara, para cada caso particular (conoci
das como datos las proyecciones X, Y, Z, de las fuerzas que en
interior del sólido actúan sobre él y las X q
, Y q
, Zq
), una solución
que satisficiera a las ecuaciones en derivadas parciales de segundo
orden representadas por el sistema [g], esa solución contendrá
seis funciones arbitrarias que deben satisfacerse por el sistema }i]
para el equilibrio en la superficie.
El problema es muy difícil en general y, aun suponiendo que
se prescinda de las componentes X, Y, Z, de las fuerzas interiores,
por ser pequeñas en relación con las exteriores Xg, Yo> -^
o
>
restringidas son las aplicaciones que las ecuaciones generales tienen.
Para la mecánica del ingeniero, muy pocas veces tienen que
plantearse problemas de elasticidad en tres dimensiones, pero sí
es mucho más frecuente, y susceptible de muy interesantes estu
dios, la elasticidad plana, caso particular de la anterior.

TEORIAS Fundamentales 25
6. Si las deformaciones u, v, w, dependieran de una función 9,
de tal modo que
u = c
¿9
dx ’
d9
dy •
w= c
íf9
dz
fuera una solución que satisficiera a las anteriores ecuaciones de
elasticidad, se ve que
díi
0:
dx
dv dw
dy dz
será igual a CA9, siendo A, como hemos dicho, el signo de deriva
das segundas. Pero de
¿9
sale
u ■■
¡xu = c
dx
¿(A 9)
dx
y, en consecuencia, la primera ecuación del sistema [g] dará
c(x-h 2[i) = 0
dx
o sea
dx
y, análogamente, tendríamos.
d(A(f)
dy
'- = 0,
íf(A9)
dz
=
0.
de m odo que una solución de esa form a exige que A9 sea constan
te y , p or consiguiente, 6 = constante.
7. En las fórmulas de Elasticidad deducidas anteriormente
hemos visto que las tensiones se hallan relacionadas con las de
formaciones por unas ecuaciones en las que sólo entran dos coefi
cientes constantes X y ¡x.
Para ver las relaciones de valores entre éstos y el coeficiente
de elasticidad que ordinariamente se adopta eü los sólidos y, ade
más, poder indicar la manera de proceder en un caso concreto.

26 MECÁNICA EEÁSTICA
vamos a resolver un problema, el más sencillo: cuerpo cilindrico
solicitado a tracción o compresión longitndinal por una fuerza uni
taria F, y su reacción en la dirección de su eje y actuando en las
bases.
Decíamos que las ecuaciones [g] y [A] resolvían el problema
general. Como en el interior del cilindro no bay fuerzas, las ecua
ciones [g] son
, dQ
—~
— (jtAw= 0
(X-j- ¡x
)
dx
dQ
dy
dQ
txAi; = 0
(X-|- [x
) —
-----[- [íAw — 0
az
Poniendo u = ax, v = by, w = cz, este sistema se satisface
porque A es el signo que indica derivadas segundas, y como
du
dx
dv dw
dy dz
su derivada también es derivada segunda en m, y y w] y, por con
siguiente, con el sistema de valores supuestos las ecuaciones se
hacen idénticamente nulas.
Para resolver el problema se necesita, no sólo encontrar un
sistema de valores que satisfagan a las ecuaciones [g], sino tam
bién a las de superficie [A]. Da superficie del cilindro se divide en ^
dos partes: las bases y la snperficie lateral.
Dos valores de las tensiones en función de las deformaciones
son [/]
du i1dw dv '
X6 -)- 2|x-----
dx
[x|
i dy
+
dz 1
dv 1
' du dw ’
X0
dy 1 dz
■ +
dx 1
ÍVb=
dw i' dv du '
X6 + 2|x
dz ^3 =
, dx
+
dy ,

Como la solución adoptada es m = ax, v = by, w = cz, se tiene
du dv , dw
= c
dx dy 'dz
y, por tanto, poniendo estos valores en las anteriores ecuaciones.
N ,- + xb xc T^ =
N ,-= (x 4" 2¡j.)í' + Xa “{
“ X
c T^ =
N s-= (x -p 2(i)c + Xa x& To =
las bases se tiene o 0, p = '0, Y == 1, de
ís de superficie [h] serán
Xo = 0 = iVi • 0 + Ts ■ 0 + 1 • 0
Yo = 0 = ■ 0 + 1 • 0 + Es - 0
Zo = F = No ■ 1 + To • 0 + T ■ 0
es decir, que sólo queda F = N¿ luego
F = "F
b [3]
En la superficie lateral no actúa ninguna fuerza, luego las ecua
ciones [/z] son
0= -j- 2[x)íZ-|- Fb -|- Xcjoc
0 = [(x + + xc]p ^o.sea
0 = [(x-|- -)- Fb -f- 'k
c
l'• 0
(X+ 2(i)a -1- x6 + xc = 0 [4]
(X“|- 2[i^
Z
}-|- X
íZ-f" Xc = 0 [5J
Tenemos el sistema de las tres ecuaciones [3], [4], [5], con las
tres incógnitas a, b, c, que resuelto, da
a = b = — ■
2 2[i 2+ 3X
ii.
Ea solución del problema es, pues,
Ex
c =
X+ [j.
2[i^-j- 3X
[x
• F
u = —
4(i^+6x¡ji
v = —
Ex
4[i^ 6x¡x
y; w-
^d~
2(i.^-]-3x¡i.
• Fz

Para la unidad de altura, la deformación en el sentido de las
generatrices es
— = w —— „ ---- F
z -i- 3X
[i .
El coeficiente
X-f- n
es el factor de proporcionalidad entre la fuerza F, por unidad, y
la deformación w' por unidad de altura. A este coeficiente
2
|x®-)- 3X
[ji,
se le llama coeficiente de elasticidad longitudinal y es el que se
considera en la resistencia de materiales, resultando en virtud
de la fórmula que acabamos de deducir F = Ew', que generalmen-
P l
te se presenta bajo la forma siguiente = E -j- (ley de Hooke),
porque w' es deformación unitaria —^ para un prisma de altura L
P
y ^ es fuerza mntaria para la sección recta 5; cuya expresión
indica la proporcionalidad entre las acciones y deformaciones.
Transversalmente, la deformación es
— X
4¡x^-)- 6X
(j.
y la relación de ésta a la deformación longitudinal será
a
c + (
l)
Este valor es el que se llama coeficiente de Poisson.
Si se admitiera que X= n, el coeficiente r¡valdría r¡ = = 0,25.
Es decir, que la relación entre la deformación transversal y la

TEORÍAS f u n d a m e n t a l e s , 2 9
longitudinal sería 0,25. Los resultados encontrados en metales
homogéneos acusan un valor algo mayor (0,28 a 0,30), por lo que
no se acepta la hipótesis ¡r = X más que aproximadamente.
8. Elasticidad plana.— Cuando un cuerpo tenga una de sus
tres dimensiones constante y las fuerzas que sobre él actúan estén
contenidas en planos perpendiculares a esa dimensión, el proble
ma se llama de elasticidad plana y se simpHfica, reduciéndose a dos
las variables. Los sólidos así considerados son cuerpos prismáticos
o cilindricos, rectos, con fuerzas en los planos de su sección recta.
Tomando como eje de las z la dimensión constante, de las tres
deformaciones u, v, w, la última será cero {w = 0), y de las tres
componentes tangenciales T^, Tg sólo ha lugar a considerar una,
Tg, porque en las ecuaciones [/] se ve inmediatamente que =
= Tg = 0 y además iVg = X0 ; de modo que de las tres tensiones
normales N-^, Aíg, N^, la última es consecuencia de las otras dos,
pues en la expresión hallada iV’i-l-iV '2 -t-iV ’3 = (Sx-p 2[r)6 en
virtud del valor de N« = X9 , resulta
Ar 1
^ 3 - 2
l.
X -|- ¡X (iV,+ iVg)
y por ser siempre A6 = 0 será + .W
'2 + = A0 = A(iVi
N¡. + ^9) = 0, de donde
A(Aíi + iVg) = 0
Las ecuaciones para este caso son, por tanto.
dN^
dx
dT
dx
+
dT
dy
dN^
dy
4- p Z = 0
= 0
[«']
con la condición A(iVi + A
Tg) = 0.
Supongamos en un punto del sólido una sección plana en la
que se ejerce una resultante P, cuyas proyecciones sobre los ejes
son X, Y (fig. 8.3
'). Por las ecuaciones [6] tendremos
j X = iVi eos a.--T sen a
( Y = T eos a N.2sen «
[b']

3ü MECANICA EEASTICA
y, por consiguiente, si proyectamos P sobre la normal CN y so
bre la sección
' N ' = X eos a -(- Y sen a= N^cos^ a -j- N2 sen^ a -1
-
N^ + N2 ,
-b 2T sen a eos a =
+
^2 ' o 'T O
— ~ ^ eos 2a -b Tsen 2a
T ' = Y eos oí— X sen a = (jVg— N-^ sen a eos a +
-b T (cos^ a — sen^ a) =
^2 — ^1 ''n , 'T O
= — --V— —sen 2a -b Tcos 2a
[c']
Yas direcciones principales son aquellas para las que N ' es má
xima o mínima, siendo T' = 0.
Igualando a cero el valor de T' se obtiene
tg a =
27
y tg2a =
27
N ,- N 2
según se considere el primero o el segundo valor de 7 ; que se sa-
7V
tisfacen para orientaciones que difieren en de modo que son
perpendiculares.

TEORIAS FUNDAMENTAEES 31
Si en el valor de tg a ponemos, en general, tg a = se obtie-
dx
ne entonces la ecuación de las llamadas líneas isostáticas, en
volventes de las direcciones principales.
Sustituyendo ese valor de tg a en la expresión [c'j resulta
para N '
El máximo de la carga tangencial resultará derivando la ex
presión de T ' e igualando a cero. De ese modo
Este valor y el de la orientación de las cargas principales
2T
tg 2a:
N , - N ,
son inversos y, por tanto, sus ángulos 2a y 2a' difieren en -¿p, o
J
l
sea que a ja .' forman ángulos de 45°.
Sustituido el valor de 2a' en [c'] resulta para máximo de carga
tangencial
r ' = -lj/(íV i-iV 2 )2 + 4r 2
9. Piezas prismáticas.— Eos cuerpos que se considerad en las
estructuras constructivas son sencillos; constituyen lo que se lla
man piezas prismáticas, definidos de un modo general (fig. 9.^)
por una figura plana cuyo centro de gravedad recorre una curva
cualquiera, ABC, manteniéndose normal a ella, aunque pudiendo
variar su forma y dimensiones.

Supondremos siempre que la curva directriz A B C es plana,
porque al ser alabeada los efectos de torsión a que da lugar no
están aún bien estudiados.
El plano de la curva directriz es el de simetría del cuerpo, y
en ese plano medio se suponen situadas todas las resultantes de
las acciones que sobre la pieza actúan; con tales condiciones la
pieza prismática está en estado elástico doble (*) y sus tensiones
o cargas moleculares, ,por unidad de superficie en el interior de
ella, se pueden determinar muy fácilmente cuando son conocidas
las acciones y reacciones sobre la pieza.
Sea (fig. 10) una pieza prismática cualquiera; en un punto M
de una sección A.B, quedará determinado el régimen elástico co
nociendo las componentes N^, T sobre el prisma infinitamente
pequeño representado en la figura, cuya dimensión en sentido nor
mal al dibujo es h. Ea resultante de todas las acciones y reaccio
nes, en la parte de pieza prismática a la izquierda de la sección AB,
suponemos que es R.
Decimos que es conocido el régimen elástico en el punto cual
quiera M, cuando se conocen en él las tres componentes N
-^, Aig,
T, porque con arreglo a las fórmulas que hemos establecido en el
párrafo anterior (estado elástico plano) serán conocidos los va
lores N ' del máximo y mínimo de las tensiones (tracciones o com-
(*) En realidad sólo será estado elástico doble cuando la figura plana
sea un rectángulo, o sea, cuando la pieza prismática tenga ancho constante.
Unicamente por aproximación a este caso se podrán aplicar.

presiones) y el de la carga tangencial, así como las orientaciones
de ellos.
Pues bien: las componentes N
-^, N^, T se deducen rápidamente
en función de las causas y reacciones exteriores R.
En efecto, si se suprime la parte de pieza prismática situada
a la derecha de la sección AB, la parte izquierda estará en equi
librio entre la resultante R y las reacciones que en la sección A B
se desarrollarían entre la parte derecha y la izquierda.
Ea resultante, R, se puede trasladar al punto 0 (centro de la
gravedad de la sección); pero habrá que tener en cuenta el par de
traslado Ra, que es el momento flector en la sección AB.
Ahora, la paralela a R trazada por 0 , la descomponemos en sns
dos proyecciones X, Y. De modo que en una pieza prismática
cualquiera, los efectos de una resultante a un lado de una sección se
descomponen en tres elementos de cálculo: momento flector o par
de traslado, componente situada en la sección (Y) y componente
normal {X); y en función de ellos salen las cargas moleculares en
cualquier punto de la sección, según se yerá a continuación.
El momento flector M, que actúa sobre la sección AB, tiende
a hacerla girar alrededor de 0 y tiene que estar equñibrado por las
reacciones que buscamos, producidas en esa sección. Pero de las
reacciones N^, N^, T en cada punto, sólo las iVi pueden dar mo
mento respecto a 0, pnes las otras dos están contenidas en la sec
ción, de modo que se verificará
M = [N^dw • y
siendo ¿u el elemento de superficie.
Como se ha admitido la proporcionalidad entre las tensiones y
las deformaciones (por la ley de Hooke), llamando la tensión
en la fibra superior, se tendrá
de modo que
y por ser
N c
Jy^da

el momento de inercia I de la sección A B
N'
M = ^ ^ I
c
que multiplicada por y, da
N'-,
My = ly = N^I
o sea
N,:
My
[6]
Esta igualdad da a conocer la carga molecular iV^ en cualquier
punto de una sección, producida por el momento; pero a ella hay
que sumar la tracción o compresión uniforme que produce la com
ponente X, de modo que llamando <
ola sección, la carga total por
unidad de área será
Ai,:
Z My
[7]
Ea componente Y (de la resultante R), situada en la sección, es
el esfuerzo tangencial o esfuerzo cortante y su valor se puede dedu
cir del momento flector, porque tomando un punto 0' infinitamen
te próximo al 0 (sobre la directriz), en el triángulo rectángulo OO'S,
O'S es el incremento del brazo de palanca a, del momento, luego
O'S
O’ O
da
dx
= eos a.
Derivando la expresión del momento Ra = M,
R eos a
dM „ da
= K
dx dx
pero R eos a es Y, por lo que
y
dM
dx [8]

M O R IA S FUNDAMENTALES 3 5
B1 esfuerzo tangencial es la derivada del momento flector res
pecto a la abscisa.
Para conocer las cargas moleculares tangenciales que se pro
ducen por esa causa, recordaremos que las ecuaciones del estado
elástico plano, cuando no actúa sobre el punto ninguna causa ex
terior directamente y se suponen despreciables las de la grave
dad, son
De la primera sale
dN^ dT
dx ^ dy
dT dN^
dx dy
dN^ dT
dx dy
0
y como hemos deducido que, en general.
A
r ^ My
<0 1
derivando resulta
dN
-¡_
X M
dx dx
± y
dx
dT
dy
De esta ecuación diferencial se obtiene el valor de T ; pero cuan
do las piezas tienen sección constante o poco variable se puede poner
(
i> dx ~ I dx dy
En las piezas rectas, o en las curvas cuyo radio de curvatura
sea grande, como ocurre en general, puede hacerse
dX
dx
O
porque
X = R sen «;
dX „ da.
= R eos a
dx dx

y la variación de a con x es despreciable. Entonces
y dM
I dx
e integrando
/
dT
dy °
y Y -
I ■ dy
ydy = - [9]
ley parabólica cuyo valor máximo en el centro es, en el rectángulo
de lados 2c j h
12Y c2 3Y
16¿c3 4&c'
Y
que es vez y media el valor medio .
2oc
Este es el valor de la carga tangencial unitaria en el caso de
pieza prismática de ancho constante (que es cuando pueden apli
carse con rigor las ecuaciones del estado elástico plano). Si la sec
ción no es rectangular o compuesta de partes rectangulares por
tener forma cualquiera, sólo por aproximación se pueden- adoptar
y entonces la última expresión, llamando z el ancho variable y b
el ancho a la altura y del punto considerado, será
Tb
I
/ zydy
J y
Y
bl
- / zydy
J y
[10]
que en todos los casos aplicables da un máximo en la fibra direc
triz.
El valor medio que, como grosera aproximación, se ha con
siderado frecuentemente es
T:
2bc
Y
área C
ú
No queda por hallar más que la última de las componentes de
las reacciones, N^- De la segunda ecuación de Elasticidad sale
dN^
dy
dT
dx
dN^
dy 21
■ y
^ dY
dx
N.

TEORÍAS FUNDAMENTALES 3 7
Bste valor N¡¡ es muy pequeño en relación con N
-^ y general
mente se prescinde de él.
Para una carga uniformemente repartida a razón de p kilo
gramos por metro de abscisa
dY
dx = P No
= í + c
Ba constante C se determina por la condición de carga, y si
ésta actúa en el trasdós de la pieza debe ocnrrir que para y = c
sea iVa =
En este caso
C==
pc^
N. = p l ^ -
2/
b 3/
2 i, y 3 _|_ 2 c »
6/ +
9
[11]
Eos máximos y mínimos de esta función son para los valores
y = ± c, que arrojan las siguientes expresiones
y = c
porque
P
a^
2= 4 -; y = — c
26c®
/ 1 2c®
" » = n T - - 3r ) = “
10. Hemos determinado los tres valores N
-^, N^, T en nna
pieza cnalquiera, conociendo solamente la resultante, R, de las
acciones y reacciones a un lado de una sección.
Esa resultante se compone de las fuerzas exteriores que son
siempre datos y de las reacciones con otras piezas, para que la pie
za esté en equñibrio.
El problema de calcular las tensiones moleculares en una pieza
prismática cnalquiera se reduce a calcular las reacciones exteriores,

3 8 M ECANICA ELASTICA
pues una vez conocidas lo será también la resultante R de ellas
y de los datos.
Entre las estructuras formadas por varias piezas prismáticas
debemos distinguir dos grupos: aquellas que pueden calcularse
sus reacciones en cada pieza por la aplicación de las ecuaciones de
la Estática, y las que resultau indeterminadas por la aplicación de
esas ecuaciones. Es decir: las que estáticamente son determina
das y las que no lo son.
Eas primeras se llaman estructuras isostáticas y las segundas
hiferestáticas.
Para poder determinar esas reacciones en este último caso es
necesario estudiar elásticamente las deformaciones, y a ese fin va
mos a demostrar algunos teoremas que, de un modo general, se
aplican para hacer isostática una estructura hiperestática.
Previamente indicaremos las expresiones que miden el trabajo
molecular desarrollado en el sólido, debido a las reacciones molecu
lares en él nacidas y a sus deformaciones.
11. Trabajo molecular.— Por la acción de las causas que ac
túan sobre un cuerpo elástico, hemos visto que se desarrollan en su
interior unas tensiones o cargas moleculares, de las cuales, aproxi
madamente, son función lineal las deformaciones. De un modo ge
neral podíamos hallar, como hace Parné, la expresión del trabajo
partiendo de las ecuaciones generales de las componentes de las
tensiones [a] y multiphcarlas por sus respectivos recorridos o
deformaciones u, v, w, pero como las aplicaciones que hemos de
hacer en adelante se referirán a las piezas prismáticas, en las cuales
los elementos de cálculo para determinar las reacciones molecula
res y sus deformaciones son el momento flector M, el esfuerzo tan
gencial y y el normal X, vamos a calcular el trabajo elástico des
arrollado en el sólido, en función de esos elementos.
En los párrafos anteriores se ha deducido que, en una pieza
prismática, recta o curva, solicitada de cualquier modo por una
resultante R, en una sección, los efectos totales se pueden descom
poner en una tracción o compresión normal, X] una deformación
angular debida a M j una tangencial producida por Y.
Calcularemos el trabajo desarrollado por cada uno de estos
efectos simples, y admitiendo el principio de superposición de efec^
tos, sumaremos sus resultados.

'gEORÍAS FUNDAMENTALES 3 9
Al estudiar, en el ejemplo de elasticidad triple, las tensiones y
deformaciones producidas en un prisma o ciUndro solicitado por
una fuerza en cada base, a lo latgo de su eje (pág. 28), hemos visto
que el prisma tenía una deformación en el sentido del eje, cuyo
valor era
w= Fz
y que llamando el coeficiente constante, siendo P la fuerza
h,
total en la base, cuya área es co y Zla deformación total para la
altura L, esa fórmula es
1=
PL
E
(£
)
Si la carga P es de compresión, todas las generatrices acortan la
magnitud l y, por tanto, la fuerza P, que desciende el camino l,
desarrolla un trabajo
PI-.
P^L
E
(x>
Ec,P
L
Ahora bien, si la fuerza P se coloca de un modo lento, alcanzará
PL
el equihbrio al final, cuando su deformación sea l = — . Bn un
E(ü
instante cualquiera, anterior a este equihbrio, para una deforma
ción X la fuerza molecular desarrollada será
EtúX
y el trabajo
puesto en juego por estas reacciones moleculares, en un intervalo
infinitamente pequeño, valdrá
E(x>x
~lL~
dx
Su suma
E
(x>
T
/ xdx =
o
P ío
/2
2 P

4 0 M ECÁNICA ELÁSTICA
será el trabajo total desarrollado elásticamente en el sólido. Y como
este valor es la mitad del
P¿ =
Ev>l^
de la carga exterior, podemos decir que el trabajo elástico molecu
lar lento y gradual desarrollado en un sólido es mitad del trabajo
de las fuerzas exteriores; la otra mitad del trabajo produce vibra
ción, calor y otras formas de energía. Claro es que si la pieza tiene
longitud infinitamente pequeña dL, su trabajo molecular valdrá
= 1
2 P ío
y el total en una longitud finita
PHL
0
2 J . P ío
Para el trabajo desarrollado por el momento flector M, en un
trozo de pieza de longitud dL, tenemos que la carga molecular uní-
tana, en un punto de ordenada y, es — la deformación de un
filete paralelo a la directriz, pasando por ese punto (considerado
como elemento prisruático) será, por lo dicho antes,
My dL
7 “ P~
y multiplicando por de la carga molecular ^ trabajo
elemental es
1 M^yHi^dL
•
2 P/2
y como dentro de la sección
Jy^dc.

TEORÍAS EUNDAMENTALES 41
resulta que el trabajo del elemento dL será
1 M HL
E f
y el trabajo finito de la pieza
1 . r
2 J o E l
Por lo que afecta al esfuerzo tangencial, vimos que su valor era
y
r =
2/
(c^
rigurosamente en las piezas rectangulares, o compuesta de trozos
rectangulares, y, aproximadamente, en las de otra forma que no
difiera mucho de ella resultaba
y r
'>
En las ecuaciones [e] de la Elasticidad están deducidas la rela
ción T = ¡xíf, siendo d la deformación angular (en las ecuaciones [e]
poníamos = 2xh, porque ya sabemos que ¿
i es de la deforma
ción), por lo cual la carga tangencial es proporcional a la deforma
ción. El coeficiente ¡x de proporcionalidad se llama coeficiente de
elasticidad transversal, designándole por la letra E ' o, a veces, E¡,
y su valor en relación con el de elasticidad longitudinal E era
(página 28)
E * (X X —
j— [X
cuando se suponga X
2[x^ 4 -3 x¡x 2¡x -|-3x ’
X-j- ¡X
tx esta relación es
E ' 2
“5”’
valor que parece comprobado en los materiales homogéneos.

4 2 M ECANICA ELASTICA
Bstablecemos, pues, que la deformación transversal correspon-
T
diente a la carga T es d = ~^r> por unidad, y para una longitud dL
T
será -^
prr dL.
E '
B1 trabajo elástico (mitad del producto de la carga por la defor
mación) para una fibra de área dm
, valdrá
1 l T
— Td^ . d = ~ Tdc^. -4rrdL= dc^dL
2 2 E 2E '
Y para la sección entera, integrando respecto al área, m, resultará.
2B'
Para que la forma de esta expresión sea análoga a la
PU L
i f -
del trabajo longitudinal, podemos hacer, simplificando
_ Y^dL ^
2B'oj
siendo x la función
— í
. T^dcü
r J tí
Para la sección rectangular de lados h y 2c
2bc r
y
. = ----- I
Y
"J.
2bc Y 2 , , ^bc Y 2 9
4/2
18 6

TEORÍAS f u n d a m e n t a l e s 4 3
Y por consecuencia, el trabajo finito, por carga tangencial,
resulta
YH L
Además de estas causas de trabajo molecular por fuerzas ex
teriores puede haber otras que muchas veces tienen tanta impor
tancia como ellas y que son debidas a variaciones de volumen
experimentados en la pieza por causas exteriores, tales como la
temperatura y el estado hidrométrico, o interiores, como el fraguado
en los sólidos de hormigón.
Todas estas causas, que se pueden expresa^ de modo análogo,
son generalmente casi uniformes en las piezas de poco volumen;
pero refiriéndonos principalmente a causas térmicas, ocurre a ve
ces que las fibras longitudinales no tienen todas igual temperatura,
conviniendo ver, en general, cuál es el trabajo que se origina en la
pieza para una variación de longitud total X, en las fibras de intra
dós, y otra en las de trasdós, variando linealmente.
Estas dilataciones desiguales en las diferentes fibras hacen que
una sección recta pase a otra posición obhcua, a la que puede lle
gar por una traslación X (igual para todas las fibras) y una rotación
debida a la diferencia de dilataciones Xj^— X. En un punto cualquie
ra de ordenada y, sobre la fibra media, su deformación será
^
^ (y + c). siendo 2c el canto o altura total.
2c
Como la pieza, en una sección cualquiera, está sometida a una
fuerza X longitudinal; Y, transversal y un momento M, debidas
a las causas exteriores y reacciones (o a éstas solas si no hay otras
fuerzas solicitantes), para una fibra de área ¿co y longitud dL, el
trabajo elemental desarrollado será
A My
(A - I
y por ser el origen centro de gravedad,
jyd(ú = 0 jyH(n = I

4 4 M ECAN ICA EE ASTICA
de modo que el trabajo total resulta
J X ( h + >
■) ^J. M(Xi — X
)
2c
dL
Bu suma, el trabajo molecular desarrollado por una pieza de
canto 2c sometida, en cada sección, a una componente ~
K
. alo largo de
ella, otra Y, transversalmente, un momento ¡lector M y una varia
ción térmica de dilatación lineal en el trasdós y en el intradós, es
1
T ,
+
XH L
+
o Em ' 2
+
1 r M H L 1 r Y 2xL
2 j o E l + 2 J o B
'co +
E l ' 2
M ( — )dL
[12]
2c
en la que los límites de las integrales corresponden, como se ve, a
la longitud de fibra.
12. Teoremas de Castigliano.— Primer teorema.— A) Si se
expresa el trabajo de deformación, en un sistema elástico, en función
de las deformaciones que se producen en él, la derivada parcial de ese
trabajo respecto a una deformación cualquiera nos da el valor de la
causa que le origina.
B) Si se expresa el trabajo en función de las causas que sobre
el sistema actúan, la derivada parcial de aquél respecto a una cual
quiera de esas causas da el valor de la deformación que producen.
Supongamos un sistema elástico en equilibrio; en un punto en
que actúa una fuerza R, se habrá realizado una deformación o
recorrido r. Dando un incremento a R, el equilibrio se alterará, ori
ginándose un nuevo desplazamiento del punto de aplicación, que
será dr, produciéndose un incremento de trabajo que podrá expre
sarse por
{R + QdR)dr
en la que 6 es un coeficiente menor que la unidad, porque al incre
mentar R en dR se propagará su acción sobre el cuerpo elástico y
sólo expresamos lo que corresponde a la dirección de r.
Despreciando el infinitamente pequeño de segundo orden, el
incremento de trabajo será Rdr.

Pero si se llama ^ el trabajo total y suponemos que se ba puesto
en función de las deformaciones, el incremento de trabajo por va
riación de deformación será, como siempre, la derivada de esa fun
ción por la diferencial de la variable, o sea
d%= -5— dr
df
Igualando las dos expresiones de incremento de trabajo, tenemos
Rdr ■
■
dr
■dr.
de donde
R.
dr
como queríamos demostrar.
Para la segunda parte del teorema, considerando, como antes,
un sistema en equilibrio y una causa R, con su deformación r, el
trabajo molecular o de deformación correspondiente a esta causa es
y por la variación, en este grupo de dos variables, ligadas por una
función (como bemos visto en la teoría de la Elasticidad), el incre
mento del trabajo vendrá dado por la derivada respecto a ellas,
rdR -f Rdr
A A
Por otra parte, conforme se dijo antes, el incremento de tra
bajo tiene también por expresión Rdr, de modo que, al igualar, queda
^ R d r + ~ r d R = Rdr
A A
O sea
Rdr = rdR

4 6 M ECAN ICA ELASTICA
Es decir, que el incremento de trabajo es lo mismo Rdr que rdR,
y como al ser dicho trabajo función de i? y r, considerando a la pri
mera como variable, siempre se expresará aquél por la derivada
multiplicada por la diferencial de la variable
d% =
dR
dR,
resulta
rdR = dR
dR
r =
d%
i :r
r
i
1/
Esta ultima demuestra la segunda parte del teorema.
En las demostraciones anteriores se ha tratado de deforma
ciones producidas por fuerzas (o cau-
sas en que éstas sean su representa
ción); pero para dar completa gene
ralidad al teorema, Castigliano con
sidera también el caso de un mo
mento M, que produce un giro a.
Este momento (fig. 11) se pue
de suponer originado por dos fuer
zas iguales F y F ', siendo Fd =
= F'd — M. Sii ahora al hallar la
derivada parcial del trabajo respec
to a iW se hace por intermedio de esas dos variables F, F ', liga
das por dicha relación, se tendrá
I /
/!
Fig. 11
d^ d% dF d% dF'
1m ~ T f '1 m ^ J W 'lM
y como
dF
iM
1
X
dF'
J m
1
~d

queda
l ld% d^
dM ~ T 7 f + J r j
y son los caminos recorridos por las fuerzas F, F ' (según
dF dF-
la demostración anterior) y por la figura se ve que estos desplaza
mientos divididos por d son la tangente del ángulo a de deforma
ción, que por ser muy pequeño, puede sustituirse por el ángulo,
quedando así demostrado que
dM
Segundo teorema.— Cuando un sistema elástico está sometido a
la acción de distintas causas, la distribución del trabajo molecular
en su interior es tal que da lugar a un trabajo mínimo.
Las condiciones de mínimo en una función son: nulidad de la
primera derivada y valor positivo de la segunda, respecto a la va
riable independiente.
En la figura 12 hemos representado un sólido elástico que, por
lo dicho en Elasticidad, al considerar una sección plana se desarro
llarán en ella unas reacciones o tensiones moleculares, cuya resul
tante de un trozo sobre otro, R ^ j R^, serán iguales y de signo con
trario.
Considerando la porción A y llamando i a la deformación del

4 8 M ECÁN ICA ELÁSTICA
punto de aplicación de que sobre ella actúa, por el primer teo
rema se tendrá
dRi
= 4 d%ji = idRs
Del mismo modo, en el otro trozo
d'^g — idRji
El incremento total del trabajo es, evidentemente.
i{dRB "b dR^)
y como Ra — — R b, será = — dRs, por tanto, d^ — 0.
Además, si a las fuerzas que actúan sobre A se les da un incre
mento positivo, la reacción R b aumentará y, por consecuencia, la
deformación i tendrá un incremento positivo. Quiere decirse que
para incrementos positivos de las fuerzas, las derivadas de i que
son segundas derivadas de ^ ^
—■ resultan positivas, realizándose ya
las dos condiciones de mínimo del trabajo
13. Interpretación del teorema de Castigliano.— Una de las
más interesantes aplicaciones del primer teorema de Castigliano
consiste en la determinación de las reacciones én una estructura
biperestática.
En el estudio que hemos hecho de las piezas prismáticas, en ge
neral, se ha visto que cuando se conocen todas las fuerzas que sobre
la pieza actúan (acciones y reacciones), por las fórmulas deducidas,
se determina el régimen elástico de cualquier sección.
Das acciones son siempre datos; pero las reacciones pueden ser
conocidas inmediatamente si la estructnra es isostática (con sólo
aplicar las ecuaciones de la Estática) o ser éstas insuficientes para
hallar las reacciones. Por ejemplo: una pieza curva empotrada en
sus extremos es hiperestática, porque es desconocida en cada ex
tremo la reacción y no pueden determinarse por las ecuaciones de
la Estática, puesto que, para cualquier sistema de ejes coordenados,
cada una de esas reacciones necesita tres condiciones (las dos pro
yecciones y el punto de aplicación), en total, seis condiciones, cuando
sólo tres proporciona la Estática.

En estos casos de estructura hiperestática, en general, el teo
rema citado permite con facilidad determinar las reacciones.
Una de estas estructuras indeterminadas sería isostática — y,
por tanto, determinada — si se conocieran sus reacciones.
Supongamos que así sea. En cada sección, el momento M, el
esfuerzo normal X y el tangencial Y, serán funciones de una de
esas reacciones (la que está a la izquierda de la sección considera
da). Poniendo estos valores en la expresión deducida para trabajo
de la pieza prismática [12]
X H L 1
E(n 2
M HL
E l
í
M(x,.
y.YHL
E'tí,
)dL
2c
tendremos que el trabajo estará expresado en función de la reac
ción incógnita.
Por el teorema de Castigliano sabemos que la derivada del tra
bajo respecto a una causa mide el recorrido o deformación de ésta.
De modo que derivando la anterior expresión, con respecto a la
reacción, resulta
deform ación = S =
+
Yx _
_
lE'cj dR
X dX
Eco dR
dL -1-
M dM
nE l dR
dL -f-
dL -p
dR
- X dM
[13]
2c dR
dL
Por las condiciones de sustentación de la estructura se conoce
la deformación S y, por consiguiente, esa ecuación en que sólo es
incógnita la reacción R, determina el valor de ella.
Permite, además, en una estructura ya determinada, bailar la
deformación en un punto cualquiera.
Si sólo ha lugar a considerar la deformación debida al momento
flector, es decir, si no tuviera existencia más que el segundo tér
mino de esa expresión, la deformación o giro elemental de la sec
ción sería
d
']>=
M dM
E l dM
dL =
M
E l
dL,

6 0 M ECÁN ICA EE ÁSTICA
de donde
~IL
M
E l ’
pero es la curvatura de la directriz deformada — , por ser la
d L p
relación del ángulo de contingencia al arco, de modo qne
E l
M
E l
.M
y como
P =
1 + ÍJyV
dxI
d^y
dx^
la ecuación anterior que expresa la directriz deformada o elástica,
será
o aproximadamente para piezas rígidas
= -
[ U ]
En general, resulta más sencillo hallar las deformaciones por la
ecuación [13], pues con ella no se requiere más que una cuadratura.
En los sucesivos ejemplos insistiremos más claramente sobre
esta aplicación en los arcos, en los pórticos y en otras varias es
tructuras.
El segundo de los teoremas tiene también mucha importancia,
pues permite salvar Ig, indeterminación de repartición del trabajo
en varias piezas.
14. Teorema de Maxwell.— Si en un sistema elástico actúa una
causa, en un punto, al considerar en otro punto la deformación que se

TEORIAS FUNDAMENTAEES 51
produce en él por la causa que actúa en el primero, resulta igual a la
que se produciría en aquél por la misma causa, actuando en el segun
do punto.
En la figura 13 representamos un sistema elástico, en el que con
sideramos dos puntos, 1 y 2.
Para mayor claridad, lla
maremos:
«11 la deformación produ
cida en el punto 1 por una
fuerza igual a la unidad ac
tuando en él.
«12 la deformación produ
cida en 1 por la fuerza unidad
actuando en 2.
«22 la deformación en 2 por
la fuerza unidad en él.
«21 la deformación en 2 por la füerza unidad en 1.
Considerando las fuerzas P i y Pg actuando sobre los citados
puntos, vamos a ver los trabajos desarrollados.
Primero sólo actúa Pi, en 1, y las deformaciones que producirá
en 1 y 2 serán «nPi y «21P1. Como las fuerzas acabamos de decir
que son P i en 1 y cero en 2, el trabajo valdrá solamente «nPi®.
Si abora suponemos que, además, actúa Pg en 2, las deformacio
nes que ella produce serán «12P2 y como las fuerzas aplica
das son P i y P2, los trabajos desarrollados valen
«12P1P2 y 2^
En definitiva, el valor del trabajo total es
«llP + «^
12-PI-E
2 + «22-^2^
A la inversa, si suponemos que primeramente sólo actúa
en 2, las deformaciones^«i2-P2 y a^JP^ dan los trabajos
0 y «22-P2^
A continuación actúa también Pj^ en 1 y las deformaciones

5 2 M ECÁN ICA E LÁ STICA
«11-^1 «21-Pi: con las fuerzas aplicadas dan los trabajos
y quedando como trabajo total
^22,Pa ^ "b <*21^xP2 “b 1 ^
El trabajo debe ser el mismo en ambos casos, por lo cual, igua
lando las dos expresiones, queda
21
que demuestra el teorema.
15. Método abreviado de Müller-Breslau.— El trabajo elásti
co desarrollado en una estructura por la acción de las fuerzas que
sobre eUa se ejercen vimos que tenía por expresión [12]
1 r x u L 1 r M H L X r
2 Eco + 2 J 0 E l + 2 j o '
X 1' Y^dL
E'.O
a la que había de añadirse los términos
■ X
^
(X
i -f- x)
dL
/
M { — )dL
2c
en el caso de considerar una variación lineal de volumen que alarga
o contrae las fibras desigualmente.
Si, por el momento, prescindimos de esta variación de volumen
(provocada por la temperatura, estado higrométrico o cualquier
causa de desecación o entumecimiento) la expresión del trabajo
es la arriba indicada. De sus tres términos ya sabemos que el pri
mero representa el trabajo de la componente normal X, el segundo
es el trabajo debido al momento flector M y el tercero indica el
trabajo tangencial.
En muchas estructuras — como ocurre en los pórticos cuya luz
y altura sean comparables, en los arcos peraltados, en tubos y

otras varias — el trabajo normal y tangencial es muy pequeño com
parado con el de flexión, y de los tres términos citados, el primero
y tercero tienen muy poca importancia en relación con el segundo.
Prescindir de esos dos términos abrevia notablemente el cálcu
lo, y fundado en esta simplificación el ilustre Müller-Breslau ideó
el método que expondremos a continuación, por el que se llegan a
dar ya explícitas y muy sencillamente los valores de las reacciones,
en una estructura biperestática, pero entendiéndose que sólo será
aplicable en las condiciones indicadas: cuando pueda prescindirse
del trabajo normal y tangencial.
Sea una estructura cualquiera (fig. 14) empotrada en sus dos
extremos A, F, sometida a un sistema de cargas.
Si en uno de los empotramientos, por ejemplo, el de la izquier-
F ig. 14
da A, conociéramos la reacción 2?^, el sistema sería isostático, de
modo que el problema consiste en determinar para lo cual bas
tará determinar sus componentes sobre dos ejes y su mo
mento R^d = m^.
A fin de simplificar las expresiones, se adoptan como ejes coor
denados los de inercia de la estructura. En lugar de considerar
como incógnitas las X^, Y que dijimos antes, vamos a tomar
las X q, Y q
, Wq en el origen, pues como ya sabemos que una fuerza
se puede trasladar de un punto a otro teniendo en cuenta el par
de traslado, tendremos
= Y„ = Y , y m, ,= mA — XAyo + Y aXo

64 M ECÁN ICA EE Á STICA
Conocidas X q, Y q
- ^ o
>serán conocidas X^, Y a>'â esas
igualdades.
Como es muy importante la elección de signos, pues de ellos de
pende el sentido de las reacciones, definiremos claramente éstos,
adoptando los sentidos ûe ordinariamente se adoptan en geome
tría, es decir, para x, de izquierda a derecha; para y, de abajo a
arriba, y para m, el momento de izquierda a derecha, en el sentido
de las agujas de un reloj.
Aplicando el teorema de Castigliano y suponiendo que por ha
ber ep A mx empotramiento perfecto la sección de empotramiento
es inconmovible, sus deformaciones en sentido de la Y, de la X
y del momento serán cero, y como prescindimos del trabajo nor
mal y tangencial, se tendrá [13]
M dM
~EI dR
que habiendo descompuesto la reacción R en las X¿, Y
ecuación se desdoblará en las tres siguientes:
esa
M dM
E l dXA
0 =
dL
^ M dM , ,
j 0 dYA
M dM
E l dmA
dL
[15]
Esa misma estructura se puede suponer isostática de dos ma
neras: habiendo en A un apoyo libre y en E una articulación, o
estando suelta, sin apoyo, en A y empotrada en F. En general
consideraremos este último, por ser más sencillo.
Ea estructura, tal como está, empotrada en A y en F, podemos
sustituirla por la misma isostática, estando suelta en A y empo
trada en F, teniendo, además, las reacciones desconocidas m^,
Â> Yy¡, que sustituyen al empotramiento en A, o las X q, Y^
en el origen.
Elamando el momento isostático en un punto cualquiera,
de coordenadas x, y, es decir, el momento flector conocido en fun
ción de las fuerzas, datos, cuando la estructura está suelta en A,
el valor del momento flector total M, será

TJIORÍAS f u n d a m e n t a l e s 5 5
I dM
M = M,- + W
o + Yo^ — X^y
dm^
dM
= 1
dM
dY.
dX.

- y
O
Poniendo estos valores en las ecuaciones [15] resulta
0 = 1 ^ { M i + n i o - X g y + Y o X ) d L
I "¿T ~ -^«y + '^ox)xdL
0 = 1 ^ (^< + «o - ^oy + ^0^) ( - y)<^L
0 = [16]
£, ya sabemos que es el coeficiente de elasticidad longitudinal
del material y, por tanto, en una estructura de un mismo mate
rial será constante y se puede sacar fuera de la integral.
I es el momento de inercia, que en el caso general será variable
en cada sección de la estructura; pero podemos adoptar uno cual
quiera If, como patrón y tomar en cada punto la relación variable
r = ^ del patrón al de la sección en ese punto. En esa forma,
multiplicando por E Iq las ecuaciones anteriores son:
0 = j'^^MfdL + «o / — Xq
j^jydL 4- Yqj'rxdL
0 =I^M-i'xdL -f- m^jxdL — X^jxydL 4- Y^^rxHL ) [17]
0 = 1 ‘^M¿rydL -f Wq f/ y 4- Y q
J rxydL
Por ser los ejes coordenados los de inercia.
j rxydL, íjrxdL, JrydL

son cero, y el sistema de ecuaciones permite despejar inmediata
mente las incógnitas
¡MiYdL
íd L
J 0
pMirydL
j y ^dL
I ’^MírxdL
1‘rx^dL
J 0
i^ o = -
[18]
Estos son los valores explícitos de las reacciones en el arran
que A trasladadas al centro. Veamos su significación.
Mi es el momento flector en nn punto x, y, suponiendo la es
tructura suelta en ^ y empotrada en F.
jM idL será el área de momentos, y la jM-rdL es el área de
momentos cuando cada ordenada está* multiplicada por r.
Generalmente, el momento de inercia de la estructura, aunque
variable de una pieza a otra, suele ser constante en cada pieza de
las que componen la estructura, y en consecuencia r = ^ se
considera constante para cada una de esas. El momento de inercia
patrón, I q
, es arbitrario y puede tomarse como tal el de una cual
quiera de las piezas. No es preciso decir que la estructura puede
estar formada por elementos rectos o curvos con directriz de cual
quier forma.
Eos otros dos numeradores jM irxdL e j'MirydL no son más
que la suma de los momentos estáticos, M-rdL ■ x, o M^rdL • y,
del área de momentos M (multiplicadas sus ordenadas por r) res
pecto a los ejes coordenados.
Conocido, como dato, el sistema de fuerzas que actúa sobre la es
tructura, si se representa la ley de momentos M,-, suponiendo la es
tructura suelta en A Y empotrada en F, y multiplicadas sus orde
nadas por r — por ejemplo, el polígono representado de trazos en la
figura para la acción de la fuerza P — , los numeradores de las tres

reacciones son, respectivamente: el área de momentos, o sea, en
este ejemplo, la suma de los dos trapecios y el triángulo; los momen
tos de esas áreas respecto a los ejes, que es en realidad la suma de
los productos de cada área, por la o por la y, de su centro de gra
vedad, proyectado sobre la directriz.
Ivos tres denominadores tienen también sencillísima interpreta
ción: es el peso que tendría la direotiiz ABCD EF, si cada
elemento tuviera una densidad r.
Cuando el momento de inercia es constante, r = 1, y entonces
la integral es simplemente la longitud de la directriz.
Jrx ^dL e jry HL son la suma de los momentos de segundo gra
do fdL • X rdL • 3'^de cada elemento de directriz por el cuadra"
do de sus coordenadas.
Cuando la directriz es una curva, o está compuesta de varias
curvas, estas integrales se obtienen poniendo
díT1 ■— dx
de las ecuaciones de las curvas. Si la directriz está compuesta de
trozos rectos, como la de la figura, esas integrales son suma de las
correspondientes a cada trozo; suponiendo dentro de cada uno mo
mentos de inercia constante, para uno cualquiera DE, en que las
coordenadas de sus extremos sean x ', y' x " , y ", esos denomina
dores valen
y _rdL = r{L) ^— r-DE — r^/{x” — x')^ r- (y' — y
ry^dL = rj ‘
eos a
dy
sen a
eos a
y
[x"^ ^ x ' ^
sen a
siendo l = DE la longitud del trozo.
De ser complicada la ecuación de la curva directriz resulta más
sencillo y suficientemente aproximado sustituirla (para el cálculo
de los denominadores) por un polígono inscrito y aplicar estas úl
timas fórmulas para sus lados.
Ya se ve que los denominadores son independientes de las cau

sas solicitantes, y por eso son constantes, cualquiera que sea la
carga sobre la estructura.
16. I^a influencia del cambio de volumen por temperatura
y causas análogas pueden también calcularse con este método, fá
cilmente.
En la expresión total del trabajo [12 ] bemos prescindido del
trabajo de X y de Y, que es la simplificación base del método,
considerando sólo el término.
;íE l
dL
pero si, además, actúa la temperatura, hay que añadir los términos
x)dL
2c
que expresan el trabajo por variación de volumen.
De modo que si en la estructura, además de las fuerzas exte
riores, actúa la temperatura, con una variación lineal X
, por umdad
de longitud— y desigualmente, desde el valor X en el intradós
a x^ en el trasdós— , a las ecuaciones [17] hay que agregarles los
términos siguientes:
En la primera ecuación
£ ^ j , _
_
2 "./ n
' dm
r' d x r' dM dL _
7 o' ^^0 ^ V o^^0 2c
= E(Xj^ X)/g f
o
dL
”2T
en la segunda
^ X,+ x , /•' dX /
■ ' dM dL _
^ 2 " o dYo ^ ^ ^^y o 2c
= E
Xi -|- X
I q sen a ■¿L -f-E / q(x^— x) / -
J n do 2c
dL

en la tercera
dM dL
o dX^ 2c
= £ - “1
“ ^ I q/ eos a.- dL — E Iq{x
Por tanto, los valores de las reacciones sacadas de esas ecua
ciones [17] con estos términos adicionales, por la temperatura,
serán
' MirdL
O
T„ = — ■
X o = + -
rdL
MivydL
ry‘‘‘dL
MifxdL
rdL
E L
^1 + ^
2 .
/ eos (xdL — E Iq{ — x) f
Jo J o
dL
[19]
ry‘dL
E L í ' sen oedL+ E L i h - L ) l ‘ ^ d L
o o 2c
rx^dL ' I rx‘ dL
o J o
Po más frecuente es que en la estrnctura, por el espesor relati
vamente pequeñó de sus piezas, no haya lugar a considerarse la di
ferencia de dilataciones
-
¡^— x, en cuyo caso la influencia de la
temperatura se expresa sencillamente por las expresiones
EL^ f
•) n
eos oídL E Iq>
. I sen a-dL,
J o
para X q e Y q, respectivamente, con sus denominadores corres
pondientes. ' ' ,
Pa primera expresa el recorrido o dilatación proyectada sobre
el eje de abscisas, multiplicada por EL- La segunda, el recorrido
proyectado sobre el eje de la y, con el mismo mnltiplicador.

CAPITULO II
r e o s
17. Con el nombre de arcos designamos las piezas prismáticas
de directriz curva contenida en un plano, en el que también ac
túan las fuerzas solicitantes. Puede suponerse que la directriz no
esté contenida en un plano, si no que sea una curva alabeada;
pero entonces el problema es muebo más complejo y no podrán
aplicarse las ecuaciones que hemos deducido, partiendo del es
tado elástico plano.
Con arreglo a lo indicado en el capítulo anterior para el cálcu
lo de un arco, basta, en general, con la determinación de las com
ponentes Ni y T, pues ya hemos visto que suele ser mucho más
pequeña.
Y como Ni viene dada cuando se conoce el momento flector,
según hemos deducido, así como T, en función de la carga tangen
cial, resulta, en suma, que la ley de esfuerzos en un arco queda fi
jada cuando se conocen los momentos y sus derivadas, que son
las cargas tangenciales.
Es evidente que si el arco está sustentado en los dos arranques,
de tal modo que sus reacciones sean conocidas (arco isostático), el
problema es sencillísimo, pues la ley de momentos flectores se ob
tiene tomando momentos estáticos de todas las fuerzas a un lado
de cada sección que se considera; pero, en general, las reacciones
en los arranques no son conocidas, por estar empotrado el arco, o
por otro cualquier sistema de sustentación que no sea el apoyo
simple, y, por consecuencia, el problema estriba en determinar
esas reacciones en la sustentación.
Bien se comprende que el valor de estas reacciones es proble
ma elástico y no estático (prescindiendo de aquel primer caso de
sustentación libre), pues a sentimiento se comprende que de

02 M ECÁN ICA E LÁ STICA
penderán no sólo de la forma del arco si que también de su defor-
mabilidad. Un ejemplo previo aclarará este concepto: supongamos
un arco cuya directriz sea dada; pero que primeramente tenga una
ley de secciones que sea muy grande en los arranques y muy pe
queña en la clave. Este arco resulta así muy flexible en la clave y,
por tanto, es casi como si estuviera articulado en este punto, sien
do entonces la ley de momentos flectores creciente, con mucba ra
pidez, desde ese punto a los arranques, ya que el arco funciona
como dos ménsulas unidas por una articulación. Por el contrario,
si el mismo arco tiene una ley de secciones que sea muy grande en
la clave y muy pequeña en los arranques, el arco tendrá mucha fle
xibilidad en estos puntos y su sustentación será muy parecida a la
de una biela articulada en los extremos, lo cual da una ley de mo
mentos flectores que tienen un máximo en la clave y casi nula en
las sustentaciones. Se ve, pues, que sólo por variación de la ley de
inercia de las secciones se obtienen leyes de momentos inversa una
de otra, para las mismas causas solicitantes.
En consecuencia, el estudio de un arco implica dar previamen
te la forma de la directriz y la ley de su inercia, pudiendo entonces,
por la aplicación de las teorías que a continhación desarrollaremos,
determinar las reacciones en los arranques e inmediatamente las
léyes de momentos flectores y cargas tangenciales que servirán
para calcular las tensiones N
-^ y E en todas las secciones.
Puede ocurrir que por la naturaleza del problema no se fije de
antemano la forma de la directriz, si no que sólo sea dato la luz a
salvar, y en este caso debemos elegir la forma de la curva de tal
modo que sea la más favorable, es decir, la que dentro de las mis
mas tensiones iVj y T, proporcionen el mínimo de masa.
18. Estudio de la directriz.— Desde luego se presiente que la
forma más conveniente para los arcos (cuando no tienen otras que
cumplir) es aquella que proporciona régimen de compresiones so
lamente, con ausencia de tracciones, no sólo por la más homogé
nea distribución de cargas moleculares, si que también por la me
jor aptitud que para ese género de trabajo presentan la mayor parte
de los materiales con que se construyen.
En un sistema flexible, sabemos que para una serie de cargas
toma una forma de equihbrio, la de su polígono funicular, some
tiendo a tracción el hilo. Da inversión de esa figura de equihbrio

A R C O S 63
^erá la que, en un sistema rígido, produzca compresiones exclusiva
mente.
Si el sistema de causas que actúan sobre el arco fuera invariable
en posición y magnitud, podría decirse de un modo concluyente
que la forma más adecuada sería el antifunicular de las cargas;
pero, ordinariamente, las fuerzas que solicitan el arco son trenes
móviles, y, además, una de las causas de mayores efectos es fre
cuentemente la temperatura, que hace nacer empujes horizontales
y, en consecuencia, momentos flectores; por cuyas razones, en mu
chos arcos, principalmente en los puentes, no puede conseguirse
nunca el régimen-de compresiones absolutas.
Pero hay otra causa que desvirtúa a veces la adopción del an-
tifunictdar como directriz; entre las fuerzas sohcitantes hay unas
cuya magnitud depende sólo de la proyección, del trozo en que ac
túan, sobre la cuerda del arco (cargas uniformes o aisladas por uni
dad de luz) y otras que dependen de la curvatura del arco (peso
propio y cargas normales a él); para las primeras podemos repre
sentar el antifunicular ehgiendo arbitrariamente la luz y la flecha,
en tanto que para las otras sólo podemos fijar la luz a salvar, pues
la flecha es función de ella, cuando es dato la naturaleza del ma
terial, restricción que en muchos casos, por las condiciones, de la
obra, no convendrá satisfacer.
Aclaremos este punto. Cuando sobre un hilo existe sólo la carga
uniformemente repartida sobre la cuerda, sabemos que el funicu
lar es la parábola
P
z =
2T
siendo p la carga por unidad de luz y T la tensión total inferior,
T = Toto.
Cuando es un hilo pesado, con un peso p' por unidad de lon
gitud de hilo, la figura de equihbrio es una catenaria, de ecuación
cuya coustante es
“ ( í J. - i ]
a = •
P'

64 M ECÁN ICA EEASXICA
Es decir, que, en el primer caso, dada la carga {f) y fijada la
tensión máxima que puede soportar el material (Eo) queda indeter
minada la sección, que puede fijarse dando arbitrariamente la
flecha.
En el otro caso, al fijar la tensión Tq y el peso del material, la
constante a queda determinada y, por consecuencia, no se puede
adoptar tma flecha cualquiera.
No quiere esto decir que el estudio del antifunicular deje de ser
interesante; pero la adopción de la curva dependerá mucho de las
condiciones en que las cargas han de actuar.
En los puentes de arco metálico, cuando la .luz a salvar no es
grande, el peso propio es pequeño en relación con la carga, y la for
ma de arco que produce menor régimen de flexión será la pará
bola.
Por el contrario, en los puentes de hormigón armado de gran
luz (sobre todo pasando de 70 u 80 metros) el peso propio del arco
crece rápidamente, llegando a ser muy superior al de las posibles
sobrecargas. Entonces el antifunicular de pesos permanentes es
verdaderamente una figura muy aproximada a la de compresión
absoluta y se obtiene de este modo gran ventaja económica.
En el estudio del autor sobre el puente de Eisboa, la adopciÓQ
de arcos parabóUcos conducía a un límite práctico que oscilaba
alrededor de 150 metros para luz máxima alcanzable, en condicio
nes de trabajo normal del hormigón armado; para forzar (por pres
cripciones de orden administrativo) la luz hasta 200 metros, fué
preciso el estudio del antifunicular de pesos propios, a fin de hacer
posible el trabajo del material.
Cuando las cargas son conocidas en magnitud y posición, la
determinación del antifunicular se hace muy sencillamente por el
polígono de la Estática; pero al intervenir el peso propio del arco
es necesario hacer la determinación analítica, por no ser conocido'
previamente el desarrollo de la curva.
Veamos cómo se hace con facilidad (fig. 15).
Calcularemos la figura de la directriz para el peso propio, y
como las compresiones serán variables, es interesante ya hacer el
cálculo del arco de igual resistencia.
Sea A B C un arco de directriz, a partir de la vertical media,
(Ú
Qla sección necesaria en la clave y w la sección variable, en un
punto cualquiera B. En el punto C, infinitamente próximo al B,.

A R C O S 6 5
la sección deberá ser <
o -)- da] el arco es de un material cuyo peso
es f kilogramos por m
® y su resistencia práctica R kg por m^.
El trozo A B está en equilibrio por las siguientes fuerzas: reac
ción en la clave, R(x
>
q
] reacción en B, Ra, y peso del trozo, que lla
maremos P. Supuesto formado el polígono aa'b, de las fuerzas,
de A basta E y el aa'c, desde A basta C, tenemos
R 2(tú -f- da) ^= R ^
o
)q^-j- (P fads) ^ ¿
Despreciando infinitésimos de segundo orden,y por ser Râ^ =
= Râ^f¡ -(- P^, resulta
R'âda = paR/â^ — c
o
q
^ ds Ó Rda = p ) ía^ — tO
g^ ds [a]
Rda
ds ■
p Y a^ -- C
Jg^
Por el triángulo BM C y el de las fuerzas, resulta
dx dy ds ■
[201
Ran Ra
y como
tenemos
P = i? l/ c o 2 _Ug2
dy = V-a “ — C
O
n
■ds] dx — — ds

66 M ECÁN ICA E LÁ STICA
Sustituyendo en la primera el valor [20]
V
dy —
Integrando, queda
(ú" — 0>
n Rdí>¡
R ^
y — ^ log nep —
o sea
R d
(£
>
— C
0g2 p
[21]
{e, base de log. hiperb.)
I^a ecuación
d x= — ds
O
elevada al cuadrado, da
dx^ = dx^ d y^ , dx^{v>^— «
úq^
) = ^
en la que sustituyendo el valor dado por [2 1 ] resulta
i.p
dx^{(ÚQ^e^ -- W
fl2) = 2
d ^ ^ — 1 = dy
o bien
dx =
dy
l/e« 1

A R C O S 67
para integrarla, hagamos el radical igual a z.
zdz= (^2 l)dy,
Por tanto,
._ n zdz R _ R r
~J o z{z^ --l) ■ p ~ ~
í
1) " J
R
= — are tg
dz
dy —
R
z R j
3 , ^ dz
z^ + 1 p
= — (arctg2); =
V
%
p
l+c
y para x = 0 y = 0, será C = 0.
En definitiva, la ecuación de la directriz es
2p
x — ~ are tg ! ’’
P
que tomando tangentes, resulta
2P
e-^^ =
2 P
eos 2 X
R
o lo que es igual (tomando logaritmos neperianos)
R 1 P
y = — — log nep eos x
[22]
[22']
Vemos comprobado lo que dijimos antes: en esta ecuación el
P
único parámetro es constante física que sólo depende de la
naturaleza del material (peso y resistencia); por consiguiente, la
flecha no es independiente de la luz.
En los arcos de hormigón armado el peso corriente por unidad
de volumen es de 2 300 kilogramos por m
®
, y la resistencia que sue
le imponerse en las Instrucciones es 45 kg : cm^ = 450 000 kg : m^,
para la dosificación de 300 kg de cemento. Con estos números, la
ecuación de la directriz queda determinada:
y = — 195 log nep • eos
195
[23]

68 M ECAN ICA E LA STICA
Esta curva es muy rebajada, y su aspecto tiene gran parecido
con la parábola, en abscisas basta de 100 metros. En la figura 16
la hemos representado en escala (curva A B). Para ver la di
ferencia que presenta con la parábola, calculemos la que es oscu-
— - -t0 .0 0 ~ - ^ --- i0,00 - -1 0 ,0 0 - ^—« r-iO ,0 0 { 0,0 0 -
ladora con ella en el vértice (clave). Ea derivada de y, de la
curva [23], es
dy
dx
= tg
195
y la segunda en el origen será
dx^ /o 195 195
En la parábola
luego la ecuación de la parábola osculadora será
x^ = 390y [24]
Desde la clave hasta la semiluz ;í: = 30 metros, las dos curvas
[23] y [24] van tan juntas que en dicha abscisa la diferencia de or
denadas es 0,067 metros; a partir de esta abscisa divergen, y su di
ferencia ya es apreciable para x = 50 m.

A R C O S 69
En ios arcos metálicos, a causa de la pequeña sección que re
sulta para la resistencia estricta, habrá que asegurarse que no so
brevendría el pandeo (véase cap. IV), lo que hace moderar las car
gas moleculares admisibles. Suponiendo que fuese adoptada como
carga máxima R = 7 kg : mm^ = 7 000 000 kg : m^, contando
con un peso unitario, del acero, alrededor de 7 800 kg : m
®
, la ecua
ción de la directriz resulta.
y = — 897 log nep eos
897
y su parábola osculadora en el vértice
= = + 1794y
la representación gráfica está hecha en la figura 16 (curva AB').
Estas curvas que hemos deducido, sólo son figuras de compre
sión para el peso propio y, por tanto, tienen escasa apHcación.
El caso general en los puentes, para los de grandes luces, es con
siderar el peso propio y además la carga del tablero con sobrecarga.
Estas últimas actúan sobre el arco por intermedio del tímpano o
más frecuentemente por püares o paUzadas y, por consecuencia,
es una carga creciente desde la clave a los arranques, que llama
remos f{x).
El triángulo de las fuerzas será ahora (fig. 15) aa'h, en el que ai
representa el peso del trozo de arco AB, más el P ' (de la sobrecarga
P' sobre el tablero su propio peso y el de los pilares) en el mismo
trozo. El lado be será
he = pcúds -f- f{x)dx.
Del triángulo aa'e se deduce
E2(co + íf<o)2 = -I- [(P -f P') 4- P<^ds 4- f{x)dxY
que desarrollada y, prescindiendo de infinitésimos de segundo or-

7 0 M ECAN ICA E LA STICA
den, teniendo además en cuenta + (P + P')^>
resulta
R
^
(i>
d(i>= P — (O
q^ ^
(x>
ds -- fix'jdx'^
ha función y = f{x), ley de variación de la carga uniforme sobre
el tablero y de la variable por la palizada del tímpano, es creciente
con mucha lentitud desde la clave a los arranques, pues la diferen
cia entre ordenadas es sólo el peso del trozo triangular de tímpano
BMC, comprendido entre ellas (o de palizada repartida en ese in
tervalo); puede, en consecuencia, suponerse proporcional al volu
men del trozo de arco correspondiente, que también crece de la clave
a los arranques con mucha lentitud. Esta hipótesis, que restdta
muy aproximada, abrevia notablemente el cálculo, pues entonces
R^cúduí = R Y ^
“ o^ {pcsids p^ads)
o sea
Rdc = yco^-coo^ {p + pt)ds
No difiere esta ecuación de la [a] más que por ser el vapor p,
ahora p p
-^
. Y como subsisten las demás relaciones, la integral
de la directriz, será:
P 1 P+ Pi
log nep eos • —— -r
, x
P+ Pi R
[25]
Ea ley de variación de las secciones del arco, según la [20], es
T 5
' [26]
co= C
ine ^
que es muy poco variable.
Se puede considerar la [25] como ecuación de la directriz, de
compresiones absolutas, de un arco sometido a su propio peso y
a una carga (de peso propio de piso y sobrecarga) uniforme sobre
el tablero, a razón de kg por metro lineal, siendo co la sección
del arco, que varía poco de la c
o
q de la clave.
Ea curva tiene ahora mayor curvatura que las representadas
en la figura 16, aunque no grande para los valores de los materia
les y sobrecargas corrientes, y para luces pequeñas y media

A R C O S 71
nas puede sensiblemente sustituirse por su parábola osculadora
2i?
[27]
En la mayor parte de los casos, tratándose de arcos para puen
tes, la sobrecarga no es constante ni uniforme, y si queremos cum
plir el máximo de economía haciendo que el sistema tenga el má
ximo de compresiones sólo podremos llegar a este resultado adop
tando como directriz la curva que más se aproxime al régimen de
compresiones absolutas en la carga predominante.
Cálculo de los arcos
19. Elegida la forma de la directriz del arco, por las conside
raciones que anteceden, o por las necesidades inherentes a la obra,
si aquélla fuera la figura del antifunicular del sistema de fuer
zas que permanentemente habría de actuar (de un modo inmu
table), claro es que no sería preciso calcular más que la com
presión para las secciones adoptadas y en las ecuaciones dedu
cidas anteriormente, para sistemas de cargas de peso propio y
sobrecarga proporcional al volumen de arco, ya está la compresión
fijada R, dedüciéndose la ley de secciones por las fórmulas [20] o
la [25]. Pero es poco frecuente este régimen; lo corriente es que las
cargas sean variables de posición, y entonces puede conseguirse,
solamente por el estudio del antifunicular del sistema de cargas
permanentes predominantes, determinar una directriz en la que
los momentos flectores sean el mínimo posible.
Al tener el arco régimen de compresiones solamente, en nada
influye su forma de sustentación: lo mismo da que tenga articula
ciones que empotramientos en sus arranques; siempre provocarían
las reacciones moleculares contracción longitudinal y no habría
lugar a giro de las secciones. De no ser así, las sustentaciones influ
yen notablemente en la ley de flexiones y pueden dar lugar a in
determinación estática.
Da forma más sencilla de cálculo es la que se refiere al arco pro
visto de tres articulaciones: una en cada arranque y otra interme
dia, pues con sólo las ecuaciones de la estática se determina su tra
bajo molecular.

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