Mecanica agullo-2

226 GEOMETAiÁDEMASAS 7.C
p'
7.16 El sólido de la figura está formado por Una placa homogénea
en forma de cuadrante de cIrculo y una masa puntual solidaria al
mismo. ¿Para cuál de bs localizaciones de la masa puntual
representadas en la figura se puede conseguir que el eje h-h' Sea
dirección principal de inercia para el punto O?
A Q
B P
e s
D No se puede conseguir.
E R
7.17 ¿Cuánto vale el momento de inercia del semidiscohomogéneo
de la figura para el eje p-p'7
A O1r2
B nu·2/4
e O1r2/2
D mr2/8
E ,12rnr212
7.18 ¿Cuál es el momento de inercia del disco homogéneo de la
figura para el eje p-p' que pasa por el centro del disco y forma un
ángulo de 45° con el eje de éste?
A mr2/4
B mr2/2
e mr' 3/4
D mr2 3/8
E mr' 3 -ti/s
7.19 Con el fin de determinar el producto de inercial12 del sólido
para elyunto 0, se han medido los tres momentos de inercia
111 =7"';3, 122=Ipp.:;:5 ·,.,13. ¿Qué se puede decir del valor de 112?
A
B
Que no se puede hallar porque las medidas no pueden ser
conectas al ser In=Ipp"
Que no puede ser hallado sólo a partir de valores de
momentos de inercia.
e -6
D -3
E -4,11 .J3
7.20 Para el sólido de la figura, 11, 12 Y Ip son los momentos de
inercia respecto a los ejes 1, 2 Y p-p' que pasan por °
respectivamente. ¿Cuál es el momento de inercia Iq respecto al eje
q-q' que pasa por 07
A 11-12+13
B 2(1,+12)-1,
e -1,
D II+Iz-Ip
E 1,
7.P PROBLEMAS
3
2
3
7.P PROBLEMAS 227
7.1 Para la placa rectangular y homogénea
de la figura determinar:
l. El momento de inercio. para la recta
PQ.
1. Los momentos y direcciones principales
de inercia para el punto P.
7.2 Para el sólido de la figura, fonuado
por dos barras homogéneas de grosor
despreciable y rígidamente unidas en O,
determinar el tensor central de inercia en la
base indicada.
r' .":.
,.. '
i .•,:;c·,';,'
-'iI.'l ' .c'
~ (f~'::. ..::;,', "
<;,j'
....~..:.;.:. ~;
..y.' ,:-,.l
<-(A DO',,:,>
7.3 Para el punto P de la semiesfera
homogénea de la figura determinar:
l. El tensor de inercia.
2. Los momentos y direcciones principales
de inercia.
7.4 El sólido sombreado de la figura es
plano, homogéneo y está limitado por
semicircunferencias. Detem1.Ínar, en la bo.se
indicada:
l. La posición del centro de inercia.
2. El tensor de inercia para el punto O.

228 GEOMETRJADEMASAS 7.P
R 7,5 Para la cáscara tórica y homogénea
de la figura, determinar los momentos de
inercia respecto a Jos ejes 1 y 2 (una
superficie tórica es la generada por la
rotación de una circunferencia alrededor de
un eje contenido en su plano y que no la
corta: R~r).
7.6 Para el toro macizo y homogéneo de
la figura, determinar los momentos de
inercia respecto a los ejes 1 y 2 (un toro está
generado por la rotación de un disco
alrededor de un eje contenido en su plano y
que no lo corta: RL.r).
7.7 El sólido homogéneo de la figura es
un anillo cilíndrico de radio exterior3r, radio
interior r y altura 2r. Delenninar:
l. Los momentos de inercia del sólido para
los ejes 1 y 2 que pasan por su centro de
inercia G.
2. El momento de inercia del sólido
respecto al eje e-e' que pasa por el punto
P y forma un ángulo de 45° con las
direcciones de los ejes 1y 2?
7.8 Con la ayuda de un planímetro
integrndorse han determinado los valores de
los momentos de inercia según las
direcciones 1, 2 Y e-e' que pasan por el
punto Q del sólido plano y homogéneo de
masa m de la figura:
1¡¡(Q)=6 10-3 kgm', 122(Q)=8 10-3 kgm',
Iee,(Q)=lO lO-3 kgm2. La masa del sólido es
m=l kg y a=0,02 m. Detelminar:
l. El valor del producto de inercia I 12 en Q,
en kgm2,
2. Las direcciones principales de inercia·en
Q.
3. ¿Cuál es el vatordelmomentode inercia
1ss' según la dirección s-s' que pasa por
P, en kgm2
2r
p
2r
3
2
3
2r
4r
7.P PROBLEMAS 229
7.9 El sólido de la figura está
formado por la barra homogénea de masa m
unida perpendicularmente en Q con el disco
agujereado que es homogéneo y que sin el
agujero tendría también una masa m. Los
grosores son despreciables. Detenninar, en
la base indicada,
l. El vector QG que sitúa el centro
de inercia.
2. El tensor de inercia en Q.
3. El tensor de inercia en P.
7.10 El sólido de la figura está formado
por un semidisco y una placa en forma de
triángulo rectángulo. Ambos son
homogéneos, de grosor despreciable y de
masa m/2. Determinar en la base indicada:
J. El tensor de inercia en P.
2. El tensor central de inercia.
3. Las direcciones centrales de inercia,
7.11 El sólido rígido de la figura está
formado por una placa cuadrada y una
cáscara semicilíndrica cuyo eje es normal a
la p!;:¡ca y pasa por su centro. Ambas son
homogéneas. La masa de la placa cuadrada
es de 30 kg, la de la cáscara sem.icilíndrica
de 24 kg y r=0,5 m. Determinar en la base
indicada:
1, El vector QG que posiciona el centro
de inercia.
2, El tensor de inercia en el punto O.
3. El momento de inercia para el eje p~p'
contenido en el plano 1-3, que pasa por
el punto O y forma un ángulo de 30° con
el eje 1.
7,12 El sólido de la figura estlS fonuado
por una cáscara semiesférica de masa m y
una placa cuadrada, con un aglDero circular,
de musa (4-n)m. Ambas son homogéneas.
Determinar en la base indicada:
l. El vector OC que sitúa el centro
de inercia.
2, El tensor de inercia en el punto O.
3. El tensor de inercia en el punto P.

1,
1
;:.
CAPiTULO 8
TEOREMAS VECTORIALES
Los teoremas vectoriales se aplican globalmente a un sistema ~en este texto a un sistema
de materia constllnte- y evalúan la velocidad de cambio de una magnitud vectorial
asociada a todo el sistema -la cantidad de movimiento y el mOlllento cinético en los
teOremas respectivos- en función de las fuerzas y de sus momentos,
Ya que evalúan una velocidad de cambio, su integración temporal evalua el cambio
finito de la magnitud vectorial correspondiente en función de la integración en el
tiempo de las fuerzas o de Sus momentos, según proceda. En el capítulo 9 se pre::;enta el
teorema de la energía que completa los teoremas generales de la mecánica introduciendo
la integración en el espacio.
Una propiedad notable de los teoremas vectoriales es que, en lo que se refiere a las
fuerLas, en su formulación sólo intervienen las exteriores, las fuerzas interiores no
participan directamente. Además el sistema de fuerzas exteriores interviene mediante la
descripción simpliticada dada por su torsor.
En el Teorema de la Cantidad de Movimiento, la velocidad de cambio de la cantidad
de movimiento suele expresarse como producto de la maSa del sistema por la aceleración
del centro de inercia, con lo cual la ecuación del teOrema constituye una generalización
de la ecuación de la dinámica de la partícula aplicable a los sistemas.
En el Teorema del Momento Cinético, la necesidad de escoger un punto de
aplicación hace conveniente establecer, además de la formulación básica para un punto
fijo, las versiones para un punto móvil arbitrario y para el centro de inercia.
Para un sistema formado por N sólidos, la aplicación de los teoremas vectoriales a
cada uno de los sólidos -o él un conjunto de N sistemas independientes formados por
sólidos del sistema- conduce a un número de ecuaciones independientes suficiente para
determinar todas las ecuaciones del movimiento del sistema y todos los torsOres globales
de enl8.ce -o un número de incógnitas de enlace igual al número de componentes
independientes de los torsores globales-o Los teoremas vectoriales constituyen pues un
método general para el estudio de la dinámica de un sistema.
En los sistemas mullisólido, los conceptos de geometría de masas centro de inercia
y tensor de il1ercia (capítulo 7) permiten el cálculo global de la contribución de cada
sólido en la cantidad de movimiento y el momento cinético del sistema sin tener que
hacer integraciones específicas extendidas a los diferenGÍules de masa de cada sólido.
231

232 TEOREMAS VECTORIALES 8.1
8.1 TEOREMA DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
RGal
sistema de
materia ete
•
e l---r -fuerzas
exteriores
~uerzas interiores
Flg. 8.1.1
Para un sistema de materia constante. Fig.
8.1.1, el Teorema de la Cantidad de
Movimiento establece, en su versión más
genuina, que la velocidad de cambio en
tina referencia galileana del vector
cantidad de movimiento del sistema,
DR.Gnl (sistema), en aquella referencia es
igual a la resultante de [as fuerzas de
interacción exteriores que actúan sobre las
partículas del sistema,
~D Rú' (Sist)] = I,F,,, (P), (1)
dt R.G~l sis¡
con:
D R (sis!)" I, mI' vR (P). (2)
sist
La cantidad de movimiento del sistema en una referencia R es la resultante de los
vectores cantidad de movimiento l1"lpvR(P) de las partículas del sistema en aquella
referencia.
.;.Demostración. Para cada partícula P del sistema la ecuación de la dinámica establece,
m p3 R.Gnl (P)::::: I Fínt (P) +I Fe;-;1 (P). (3)
p p
La sUllla de las ecuaciones (3) pe/m todas las partículas del sistema conduce a
I m p3 R.Gul (P)::::: .IFe.~t (P). (4)
SiSl ,¡51
En el miembro de la derecha no intervienen las fuerzas interiores porque de acuerdo con
el pr¡m:;pio de lu acción y la reacción LsislFinl(P):::::O, al incluir esta suma
exclusivamente parejas acción-reacción que son de resultante nula (Ecs. 5.4.5). El
miembro de la izquierda puede expresarse de la forma,
:¿lll p3'CG,'(P)= :tI,InpYRcGP'(P)] "~DRcG,,(Sist)] e
SI~1 Sl~t RG'JI dt R.Gal
(5)
La sustitución de la Ec.(5) en la Ec.(4) conduce a la Ec.(1).
La cantidad de movimiento del sistema es equivalente a la que tendría con toda la masa
concentrada en su centro de inercia G.
8.1 TEOREMA DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO 233
D R(sis!) = [I, mp)VR(G),
51St
(6)
y con esto la Ec.( 1) del Teorema de la Cantidad de Movimiento toma la forma
(7)
que constituye la versión más práctica del teorema al generalizar la ecuación de la
dinámica de la partícula al caso de un sistema de materia constante: el centro de inercia
del sistema se mueve como si fuese una partícula que concentrase toda la masa del
sistema y sobre la que actuaran las fuerzas de interacción exteriores.
.r. Demostración. En la Ec.(2) se puede sustituir, Fig.8.L2,
V" (P) =y RTG (P) +V R (G),
.con 10 que
(8)
D R(sis!) = ~In p" RTG(P)+[~mI' ]vR(G), (9)
R
IlREL"
RTG (lO)
a causa de la propiedad característica del centro
de inercia (Ec7.L3). Con esto. la Ec.(9)
coincide con la Ec.(6).
Este resultado es una ilustración de la
sistema de descomposición bíJricéntrica:
materia ete
Fig. 8.1.2
D R.Gul (sist) ::::: D RTG (sist) +D ~.Gnl (sist), (11)
donde DRTG(sist)=O y D$R.G:JI(sist) es la cantidad de movimiento del sistema con toda la
masa concentrada en G. .j.
Ya que la expresión establecida por la Ec.(6) se puede aplicar a los diversos subsistem~s
en que se fracciona el sistema a estudiar, una alternativa a la Ec.(7) que con frecuencla
resuIta práctica eS
L.m i a R.G:JI (O i) = L. Fexl (P),
(12)

1,:,
donde n~ y Gi son respectivamente la masa y el centro de inercia del subsistema i. A
menudo cada subsistema es un sólido rígido o un conjunto de sólidos rígidos.
• EJEMPLO 8.1 Si se desprecia el rozamiento con el aire, un proyectil recorre una
R.Gal
trayectoria que es la misma que recorre el
centro de inercia del sistema formado por
los fragmentos del proyectil después de
estallar (se desprecia la masa de la carga
explosiva), Fig.a, porque
l,(~M1.:Í!atttD¡;p,;~~ ,~~,,¡,,;,'t:. :r~¡"':¡~:~-%<'~~Z0r;:~!,t0iQZi1 eL.ID)aR.Gol (G) = I Fext = (2:m)g,
Fig.a
R.Gal
Fig. b
(¿Ill)aRG,,(G) = (¿m)g+ ¿F""
(¿m)a'RG'" (G) = (¿m)g+ ¿F'",.
y por tanto 3R,GaleG)=g.
Si se considera el rozamiento con el aire,
la trayectoria del proyectil sin estallar deja
de ser parabólica y es distinta de la que
sigue el centro de inercia del sistema
formado por los fragmentos del proyectil
después de estallar, Fig.b, porque
aR.Gal(G) del proyectil sin estalJar y
a' R.Gal(G) del conjunto de fragmentos
verifican
y la resultante de las fuerzas aerodinámicas, que frena el avance, es mucho más intensa con
el proyectil fr<lgmentado que sin fragmentar.
Este segundo caso ilustra cómo un conjunto de fuerzas interiores - desencadenadas por
la carga explosiva- que de manera directa no pueden ¡niluir en la aceleración de G. pueden
bacerlo de manera indirecta si producen un cambio en el sisLema de fuerzas exteriores. Ésta
es una situación frecuente en el control de vehículos: el piloto de un planeador, mediante
fuerzas inLernas al planeador, modifica la geometría de éste y como consecuencia aparece el
cambio de fuerzas aerodinámicas necesario para la maniobra: el de un automóvil, mediante
fuerzas internas al automóvil, modifica el sistema de fuerzas de contacto que las ruedas
recibt:n del suelo y consigue las necesarias para acelerar, fren::¡r y girar. +
8.2 TEOREMA DEL MOMENTO CINÉTICO PARA UN PUNTO FIJO, PARA
UN PUNTO MÓVIL Y PARA G
Para un sistema de materia constante, el Teorenw del Momenlo Cinético pura un punto
fijo O establece que la velocidad de cambio en u~ referencia galileana del vector
l1lomenfO cinélico de! sistema para el punlo 0, OKR.Gul(sist), es igual al momento
resultante en O de las fuerzas de interacción exteriores que actúan sobre las partículas
8.2 TEOREMA DEL MOMENTO CINETICO PARA UN PUNTO FIJO, PARA UN PUNTO MOVIL y 235
del sistema,
con
R.Gal
sistema de
•
.>---7'-- fuerzas
exteriores
fuerzas interiores
(1)
OKR (sist)" ¿ OP A mp VR(P);
sist
OER. (2)
El momento cinético del sistema en una
referencia R y para un punto O fijo en la
referencia es el momento resultante respecto
a O de los vectores cantidad de movimiento
l11pVRCP) de las partículas del sistema en
aquella referencia.
Fig. 8.2.1
En la Ec.( 1) se suele simplificar la notación
d~l miembro de la izquierda en la forma
OKR.Gol(sist) cuando no hay ambigüedad
respecto a la referencia en la que se deriva.
.¡. Demostración. Para cada partícula P del sistema, Fig.8.2.1, el momento respecto a O de
los vectores que intervienen en la ecuación de la dinámica establece,
OP A m paR.G,' (P) ~ ¿ OP" F'm (P) +¿ OP" F,,, (P).
p
La suma de estas ecuaciones para todas las partículas del sistema conduce a
(3)
(4)
En el miembro de la derecha no intervienen las fuerzas interiores porque de acuerdo con
el principio de la acción y la reacción 2,Sist OPAf'¡nlep)==O, al incluir esta suma
exclusivamente momentos de parejas acción-reacción que son de momento resultante
nulo (Ecs. 5.4.5). El miembro de la izquierda puede expresarse en la forma
_ d - ] d- .
¿ OP / m p3 R.Gol (P) = - L OP / m p"R.GJl (P) =- OKR.Ga! (s1St),
~iSl dt ~iSl dt
(5)
porque al ser Oe R.Gal, los términos añadidos,
~ OP / m p" R.Ga! (P) =" R.Gal (P) / m p" R.Gal (P);::: O,
d-J
dt R.Ga!
son todos nulos. La sustitución de la Ec.(S) en la Ec.(4) conduce a la Ec.(l).

• EJEMPLO 8.2. I Se" el caso de un mono subido a una cuerda de masa despreciable que
R
Fig. a
~
/1 mg
O(G)V ~
I
fr
I G
!
I
/
!mg
F!g. b
,m
,
h
mvr mvr
/:~
O->-
v
•
vi
•
Flg. e
pasa por una polea -de masa y rozamiento en el
eje despreciables- y en cuyo extremo hay unos
plátanos colgados, tal como se indica en la Fig.a.
Mono y plátanos tienen la misma masa e
inicialmente se hallan en reposo. El mono quiere
llegar a los plátanos, ¿podrá conseguirlo?
Si se considera como sistema el formado por
el mono, los plátanos, la cuerda y la polea, las
fuerzas exteriores que actúan son
los pesos mg del mono y de los plátanos
la fuerza de enlace en O, que tiene en
principio dos componentes en el plano. En
cambio no hay momento ni de enlace ni de
fricción alrededor del eje de la polea.
Si el mono y los plátanos se mueven
verticalmente, el Teorema de la Cantidad de
IvIovimiento establece, Fig.b,
Así pues este teorema permite hallar la fuerza
vertical de enlace en O
F 1=2m(g+a(G»,
si se conoce a(G), pero no permite hallar cómo es
el movimiento.
El Teorema del Momento Cinético es adecuado
aplicarlo en O. Al ser nulo el momento resultante
de todas las fLlerzas exteriores respecto al eje de la
pajea, el momento cinético respecto este eje se
conserva, y ya que inicialmente es nulo debe
mantenerse nulo. Ello hace gue si el mono sube
con celeridad v también tengan que hacerlo Jos
plátanos, Fig.c, de mnnera' que se mantiene
constante la distancia h entre mono y plátanos,
siempre que éstos no se atasquen en la polca.
Al ser permanentemente iguales In celeridad v del mono y la de los plátanos, también lo son
las aceleraciones a, de manera que a(G)=a y FI=2m(g+a). +
En la aplicación del Teorema del Momento Cinético suele ser interesante que por el
punto de aplicación pasen fuerzas exteriores incógnita -usualmente de enlace- que de
esta manera no intervieJlen en las ecuaciones algébricas que se obtienen, coma en el
caso del ejemplo 8.2.1. Éste suele ser el criterio para escoger el punto O,pero a menudo
lwy puntos no fijos él la referencia que son más favorables según este criterio. Ello hace
deseable extender el Teorema del Momento Cinético a puntos móviJes,y la manera más
8.2 TEOREMA DEL MOMENTO CINETlCO PARA UN puNTO FIJO, PARA UN PUNTO MÓVIL Y 237
simple de hacerlo es pasar a aplicarlo en la refer~ncia . no galileana con origen en el
punto móvil y que se traslada respecto a la referencia gahleana.
Teorema del :Momento Cinético para un punto móviL Se trata de la aplicación del
Teorema del Momento Cinético en
R.Gol
RTB
B
I
'1ar(P);-mp°RGO,(B)
sistema
eL ~r;-[L mp]oRGo,(B)
°RGO,(B)
la RTB que ,iene el origen en el
punto móvil B )' se traslada
respecto a la galifeana, Fig.8.2.2.
Al ser una referencia no galileana,
debe incluirse el momento
resultante en B de las fuerzas de
inercia de arrastre -1"IlpaR.Gnl(B) (no
hay de Coriolis), que al ser
proporcionales a la masa y de
campo uniforme -a(B) a efectos del
torsor resultante son equivalentes a
la resultante -(¿;"m,)aR.e,,(B)
aplicada en G. Así pues
F!g. 8.2.2
B'K RTB (sist) = I BP AF,,, (P) - BG A(I m,)aR.ep' (8),
$ISl 51S1
(6)
con
BK,ns(sist)" IBP Afi, V"TB (P), BE RTB. (7)
SiSl
La expresión de BK es formalmente idéntica a la utiljzada para el punto fijo, ~c.2). La
Ec.(6) pone de manifiesto que el coste de aplicar el Teorema del Momento Cméuco en
un punto móvil se limita a un término complementaría que tiene una interpretación f~:il
que ayuda a recordar su expresión. En algunos textos se encuentra una ver~l?n
alternativa del Teorema del Momento Cinético para un punto móvil que, aunque facI]¡ta
el estudio' de algún problema, presenta la dificultad doble de utilizar un momento
cinético de definición distinta -punto móvil en la referencia donde se consideran las
velocidades para calcular el momento cinético- y un término complementario sin una
inte"rpretación simple que ayude a recordar su expresión. Por este motivo no se incluye
esta alternativa en este texto.
Teorema del Momento Cinético para G. Si coma punto móvil para aplicar el Teorema
del Momento Cinético se toma el centro de inercia del sistema -es decir, se aplica el
teorema en la referencia RTG que se traslada con G-, el término complementario se
anula porque la resultante de las fuerzas de inercia aplicada a G da momento nulo
respecto a G, Fig. 8.2.3. Así pues

f:.
ií~
R.Gal
Flg. 8.2.3
GKRTG(sisl)~ I:GPAF",(P), (8)
sis!
con
GKRTG (siSl) =¿;GPA ffipY RTG (P). (9)
S¡~l
Al aplicar el Teorema del Momento
Cinético en G debe considerarse el mismo
sistema de fuerzas que en la aplicación del
teorema en un punto fijo O, aunque en un
caso se calcula su momento en G y en el
otro en O.
8.3 DESCOMPOSICiÓN BARICÉNTRICA DEL MOMENTO CINÉTICO
R.Gal IIRELII
RTG
RTQ
sislema
F¡g. 8.3.1
Las expresiones de los momentos
cinéticos definidos en las ecuaciones
(8.2.2, 8.2.7 Y 8.2.9) son [anualmente
idénticas y se pueden escribir de la fonua
genérica
QK RTQ (sist) ~ ¿; QP A ffi pY RTQ (P). (1)
sist
según Q sea 0, B o G, se recuperan las
expresiones de OK, BK o GK.
El momento cinético también admite la
descomposición baricéntrica, de manera
que la Ec.(l) Se puede expresar de la
forma
- -" -
QK RTQ (sist) ~ QK RTQ (Sist) + GK RTG (sist). (2)
Es decir, el mamenLo cinético del sistema en una referencia es igual al mOmento cinético,
en la misma referencia, de toda la masa concentrada en G más el momento cinético del
sistema para G.
.r. Demostración. En la Ec.( 1) se puede hacer intervenir el centro de inercia G mediante
las expresiones, Fig.8.3.1.
(3)
con la que se obLiene
8.4 MOMENTO CIN~T1CO DEL SOLIDO RIGIDO 239
(4)
S¡Sl 5isl
En la Ec.(4) la primera suma, que se puede~ner en la forma QG"(Ln1pVRTaCP)),y la
cuarta ,suma, que se puede escribir como (LGPmp)"vRTQ(G), son nulas~r la propiedad
característica del centro de inercia (Ec.7.l.3). La segunda suma es QK:TQ(sist) y la
tercera es GKRTC(sist). .r.
8.4 MOMENTO CINÉTICO DEL SÓLIDO RíGIDO
R.Gal
Flg.8.4.1
s
D RTQ
Si el punto Q para el que hay que calcular
el momento cinético pertenece al sólido, el
tensor de inercia (Sec. 7.3) del sólido en el
punto Gs está asociado a la aplicación
lineal que transforma la velocidad angular
Q!hodel sólido en el momento cinético
QSKRTQ(sólido), Fig.8.4.I,
QSK RTQ (sólido) ~ UQ~TQ' (1)
Si el punto Q no pertenece al sólido, se
recurre a la descomposición baricéntrica
del momento cinético del sólido.
- -() -
QK,nQ (sólido) ~ QK RTQ (sólido)+GK RTG (sólido) ~
3
/
Fig.8,4.2
- s
~ QG AmS"RTQ(G)+UOºRTG' (2)
Como el centro de inercia del sólido
pertenece siempre al sólido, GK(sólido) se
puede calcular siempre como IlGQ~TQ'
Cuando el sistema está formado por
diversos sólidos puede presentarse una
dificultad con las bases vectoriales.
Tal corno se ha expuesto en la Sec.7.7, la
expresión del tensor de inercia de un sólido
condiciona mucho la base vectorial a utilizar,
y puede suceder que para distintos sólidos
del sistema convenga utilizar bases
vectoriales distintas, Fig.8.4.2. En este caso,
el paso a una base única B se haría después
de haber calculado 10$ momentos cinéticos
en Q de cada uno de los sólidos, o después
de calcular sus derivadas temporales.

1,
i
+ EJEl'vlPLO 8.4.1 CLlundo un automóvil acelera, la fuerza nonna! en las ruedas traseras
p q
Fig. a
Fig. b
Fig. e
A purtir de estas. ecuuciones se obtiene
q 11 1
Np=mg--+ma--
p+q p~qJ'
NO::::: mg-P--m,--
p+q p+q
aumenta y en cambio disminuye en las
delanteras. Para estudiar qué factores
intervienen en esta transferencia de fuerza
normal se pueden aplicar los teoremas
vectoriales al sistema constituido por eJ
automóvil, Fig.(a).
Para facilitar el estudio se considera el
caso de movimiento rectilíneo y se desprecian
el movimiento asociado a la suspensión y las
fuerzas de interacción con el aire. En una
primera fase se desprecia también la inercia a
la rotación de las ruedas.
Las fuerzas exteriores son
peso rng
fuerzas de contacto que las medas reciben
del suelo: las normales de enlace Npy NQ
Y las tangenciales a las ruedas motrices,
de resultante T, (que son de enlace si no
deslizan o de fricción si hay
deslizamiento).
El TCM establece. Fig.(b).
mn~T }
O=Np+NQ-mg'
Si se desprecin la inercia a la rotación de las
ruedas, GK=ü=cte. porque el chasis no tiene
rotnci.ón. ConseCLlentementeel TMC en G, al
ser GK=O. planteaeJ equilibrio de momentos
en G
Se observa cómo la aceleración a introduce una transferencia de fuerza normal de las
ruedas delanteras u las traseras. de valor mah/(p+q), independientemente de cuáles son las
motrices y de si bay deslizamiento o no.
Si se tiene en cuenta el momento de inerci<l l~ de las ruedas respecto a su eje y éstas no
deslizun, en el dlculo de GK para el centro de inercia del vehículo, cada rued<l sólo
contribuye con su G; K de valor lo:v/r, Fig.c, ya que su centro de inercia G¡ es fijo al chasis
y éste no tiene velocidad angular. Así pues el TMC en G establece
a
41, - ~ NpP - NQq - Th,
,
que con las ecuaciones del TCM conduce a
q h 41,)
N =l112:--+ma--+---a
P - p+q p+q r(p+q)
p h 41, .
N =mo-----mn------,
Q "p+q p+q '(p+q)
8.4 MOMENTO CINETICO DEL SÓUDO RfGIDO 241
Se observa cómo la inercia a la rotación de las ruedas <Iñ<lde una nueva transferencia, de
fuerza normal de las ruedas delanteras a las traseras, de valor 4Io:a/r(p+q),
Como la capacidad de obtener fuerza tangencial entre las ruedas y el suelo es
proporcional a la fLlcrza normal, las ruedas traseras son más adecuadas para acelerar Jos
ULlomóviles. Ello explica que en los vehículos de fórmula 1 la tracción sea posterior (en los
automóviles que compiten en "rallies", la tracción es delanter<l porgue esto los hace más
adecuados para tomar curvas, aspecto más relevBnte en los "raBies" que la simple
aceleración).
• EJEMPLO 8.4.2
Flg. a
2
•
En el sistema de la figura (a) el bloque descansa horizontalmente sobre
dos rodillos que giron en sentido opuesto
wr >Ixl
con una velocidad anglllar de valor ro tal
que ror> Ixl.
Esta condición implica que el
deslizamiento, y consecuentemente la
fuerzu de fricción, entre los rodillos y el
bloque tenga siempre el mismo sentido,
Fig.(b). Al ser las fuerzas de fricción
proporcionales a las normales, las fuerzas
de contacto Fp Y FQ pasan por el punto
fijo O que se halla a una altura U~. sobre
el punto e centrol entre P y Q.
Ya que todas lus fuerzas incógnita que
actúan sobre el bloque pasan por O. la
aplicación al bloque del TMC en O da
directamente la ecuación del movimiento.
01>----------.,. Para el eje 3:
Así pues
Flg. b

242 TE.OAEMAS VECTORIALES 8.4
h
Ésta eS la ecuación de un moyjmiento
harmónico centrado en x :::; O Y de frecuencia
co :::; .
.J¡.¡.g /(L - ).lh) rad s-I mientras L>).lh, es
deCir, mientras G se halle por debajo de O. Si
G se halla por encima de 0, la posición x=Ü
sigue siendo de equilibrio pero eS inestable.
Las fuerzas normales de enlace se pueden
hallar a partir del TCM aplicado al bloque,
Estas normales equivalen a la distribución estática entre los puntos P' y Q' del peso aplicado
en G, Fig.(c). Los puntos P' y Q' determinan el intervalo en el que se puede mover G sin que
el bloque pierda el COnt;:¡cto en Po Q. Los resultados hallados son válidos también para h<O, +
+ EJEMPLO 8.4.3
Fig. a
La placa en forma de triángulo rectángulo isósceles de la Fig.(a) es
2 homogénea y rueda sin deslizar sobre el
soporte cilíndrico fijo. Su plano es siempre
tangente a la superficie cilíndrica y el cateto OP
se mantiene paralelo al eje del soporte. Para
8=0 el centro de inercia G de la placa se halla
en contacto con el soporte, y bajo la acción de
la fuerza F(t) perpendicular a la placa en el
vénice se hace variar el ángulo 6 a lo largo del
tiempo.
Los teoremas vectoriales, aplicados al
sólido placa, permiten hallar la ecuación del
movimiento para la coordenada 8 y las
componentes del torsor de enlace, referido por
ejemplo a J, de las fuerzas de enlace que la
placa recibe del soporte.
El :.istemu de fuerzas exteriores está formado por
el peso Illg de la placa aplicado en G, la fuerza F(t) y
el torl'oor de enh.lce que la placa recibe del sop0l1e, que se puede caracterizar en ]
Flg.b
Así pues
3
F(t)
Q~l
8.4 MOMENTO CIN¡;:TICü DEL SOLIDO RIGIDO 243
El TCM conduce a,
ma(G) = mg + FE + F(t),
donde a(G) se puede hallar por derivación de
v(G). Fig.(b)
de donde se obtienen los valores de F¡, F2 Y FJ
FI :::; mRB6¡1 - mgsenB ,
F2. = 0,
. . 9 por su expresión en función de e y é
E
· la expresión de F] habría que SllStltUH
n rigor, en .
dada ;or la ecuación del movimiento. . . t los puntos de rodadura
. . d 1TMC o hay ninoún punto fija convenlen e, .
Pura el apllcac1ón e n ~ . r 1 en G (II bu sido obteOldo
son des'uconsejables, de manera que queda la opción de ap lcar o . G
en el t:jemplo 7.4.1)
El TMC conduce a áK:=ME(J)+GJIF E+ GQIF(t), Y por tanto

,
i
1
1
"
I
i
f
1
I
I
I
r
):;
r..,
,
I
1,'
1:
244 TEOREMAS VECTORIALES 8,4
±mb'{2
e
e}= {~llJ+{~:}A{::}+{~:}A{ ~ }=
-S' MJ O F:l O -F(!)
JMI-bFJ+bF(!)}
= l-R9F~ +2bF(t) .
M::; + R8F2 + bF¡
Al sustituir la expresión de FJ en la segunda ecuación se obtiene la ecuación del movimiento,
,,( 1 o oo) o'o 1
82"b-+R-S- +R-SS-+gRScosS-;;;(2b-RS)F(t)=O,
Las ecuaciones la y 3[1 del TMC permiten hallar MI y MJ
M¡ :::: ¡mb1e+ bmR(ee+82)+bmgcos9,
I ').') .')
¡VI = --mb-e- - bmRSS- +bmg sen 8.
, 4
•
.. EJEMPLO 8.4.4 Para hallarlas 3 ecuaciones del mo'imiento de una peonza (s6lido rotor
simétrico en G con un punto fijo de la dirección central de inercia de detemlinación única) se
pueden aplicar los teoremas vectoriales al sistema formado por la peonza en el cual las fuerzas
exteriores son:
el peso mg aplicado en G
la fuerza de enlace FE en O de 3
componentes. En O el momento de enlace es
nulo.
El TCM establece 3 ecuaciones en las que
intervienen las 3 incógnitas de enlace.
Pura aplicar el TMC se puede pensar en
los puntos G y ~ Las expresiones del
momento cinético GK=I1Go's y OK=IIcPs
son de la misma complejidad por ser el sólido
rotor simétrico tanto en G como en O con el
eje 3 como eje de determinación única. En lo
que se refiere al momento de las fuerzas, el
punto O presenta la ventaja de que en él el
momento de las fuerzas incógnitas de enlnce
es nulo, de manera que las 3 ecuaciones del
TMC son ya las ecuaciones del movimiento.
En cambio en G hay momento de FE, cosa que
obliga a eliminar sus componentes entre las
ecuaciones de los dos teoremas para aislar las
ecuaciones del movimiento.
8,4 MOMENTO CINÉTICO DEL SÓLIDO RiGIDO 245
Aplicando pues el TMC en 0,
Les 3 ecunciones del movimiento son,
ITe ~ It: (cp + ji cose)j! s~n e- ITj!:! sinecose =: mgs sen e}
lT'V sen e+ 2IT'f9cos9 - Ie(<p + ji cose)9 = o .
lt:(<p+¡icos9-~ésene)=O -t Ie(<j:¡+ 'fcos8):::: cte.
•
+ EJEMPLO 8.4.5 El triciclo de la Fig.a, que es de masa m con centro de inercin G
(ruedas incluidas), recorre una pista circulur de manera que el punto O describe una
circunferencia de radio R con celeridad constante "o.
3
-horquilla
cle
(dirección fija
Flg. a

Lt'
La inercia a la rotación de la rueda ddantera -pero no la de las traseras- asf como la masa
del manillar-horquilla son despreciables. Las resistencias a la rodadura, al pivotamiento y ¡la
fricción en los ejes también son despreciables.
Los teoremas vectoriales permiten investigar la tendencia a volcar y a derrapar mediante
la determinación de las fuerzas de enlace que las luedas reciben del suelo.
Js O
Fa TB
N B
F.:
Fig. b
con ji = vo/R;
JA
T
A
NA
. Vo R + S
<PA=R-r-;
Para el sistema formado por el triciclo, las
fuerzas exteriores son:
el peso mg
. las fuerzas de enlace que las ruedas
reciben del suelo (Fig.b). En la rueda
delantera no hay fuerza longitudinal (Fc:=O)
porque es sólido auxiliar de enlace.
Para utilizare! hecho de que el rozamiento en
los ejes de las ruedas A y B es nulo, es
adecuado aplicar a caaa una de las ruedas el
TMC en su centro de inercia
. Vo R-s
'l'B=---'
R t'
Al ser nulas las componentes 2 de GAK Y G BK ,deben ser nulas las fuerzas longitudinales
en esl¡L'i ruedas; FA=Fs:::::O.
Para el sistema triciclo, el TCM establece ma(G)=mg+FE(JA)+FE(JS)+FE(JC), y por
tanto
-m(~o/R-)p=-Tc sen 8
, , }
m(v6/R):::; +Tccos8+T ,
O=-mg+N A +Ns+Nc
Con tg8=UR y T:=:TA+TS, (hay indeterminación entre TA )' Tg).
Las dos primeras ecuaciones conducen él
T = O1vf¡(L - p)/(RL),
8.4 MOMENTO ClNETICO DEL SÓLIDO RiGIDO 247
El TMC aplicado en G establece
El momento cinético GK proviene del chasis del triciclo y de las ruedas posteriores. Ya que G
no pertenece a las ruedas, para éstas hay que recurrir a la descomposición baricéntrica.
pero GK@(ruedaA)=TIc (masa de la rueda A concentrada en GA) ji,
GK$(rueda B):;:;:IIc (masa de la rueda B concentrada en Gs)ji,
y ya que GAy Gs son fijos al chasis,
lIe (chasis)+IIc (masa de la rueda Aeo GA)+IIc (masa de la meda B en Gs)""lIG.
Para lIe el eje 2 es central de inercia porque el plano 1-3 es de simetría. Así pues
A partir de las ecuaciones de los dos teoremas se obtiene
L-p 1 21[r pI' 1):, 21.:J
NA = mg--+-I11Vo- ---+--+-- ,
2L 2 R s RL mRL rms
L-p I 11[r pI' 1), 21.:]
NB= mg----mvo- -+----''+--,
2L 2 R s RL I11RL nu's
Nc = mg.E.+mv6 1:; [l-~],
L R-L mrp

24 8 TEOREMAS VECTORIALES 8.5
El primer lérmino de est::lS expresiones corresponde al valor estático y el se~tlndo
describe el incremento a cnusa de la dinámica. La disminución de N B según un témuno
proporcional ti Y02 muestra la tendencia del vehículo a volcar. En la curva dada, la máxima
velocidad Vo a purtir de la cual B pierde contacto con el suelo COlTcsponde a NB=O y es
I (l-.E)
v -/crR L
om~x - o r pr 1 21·

-+---'-'-+-'
s RL mRL mrs
Hay que tener en cuenta qlle 11•
1 puede ser ><0 y que su término es, en principio,
pequeño respecto al conjunto de Jos otros.
Que las ruedas no derrapen impone T<Il(NA
+NB) y Tc<)1Nc. •
8.5 FORMA INTEGRADA DE LOS TEOREMAS VECTORIALES. LOS
VECTORES IMPULSO DE UNA FUERZA E IMPULSO DE U N
MOMENTO
Como Jos teoremas vectoriales evalúan la velocidad de cambio de un vector asociado al
sistema, su integración temporal evalua el cambio finito de este vector.
Así el Teorema de la Cantidad de Movimíento conduce, por integración, a
"
= JI, F", (P)dt•
ti sisl
.ó.DRG<lt(sist))"
. '1 (1)
o bien, si se utiliza la versión relativa al movimiento de G,
(2)
La integración temporal de una fuerza se denomina impulso de ra fuerza. El segundo
miembro de 18.s Ecs.(!) Y (2) es el impulso de la resultante de las fuerzas exteriores que
actúan sobre el sistema. En particular, si esta resultante es nula se conserva la cantidad
de movimiento del sistema, o la velocidad de su centro de inercia.
El Teorema del Momento Cinético conduce, por integración, a
"
"OK".co' (sist)]" = ]I,M",(O)dt.
ti ti sis!
(3)
(4)
h
L.GKRTG(sist)r"
"
= ]I,M,,,(G)dL (5)
1
1
~ir.1
8.5 FORMA INTEGRADA DE LOS TEOREMAS VECTORIALES. LOS VECTORES IMPULSO,.. 249
La ¡otearal temporal de un momento se denomina impulso del momento, El segundo
miembl~de las ecuaciones (3) y (5) es el impulso del momentoresultant~ ~e las fuerzas
exteriores en O y G respectivamente. En el caso del TMC en un punto mov!l, el segundo
miembro incluye, además del impulso de Ll.1ex /B), el impulso del momento de la
resultante de las fuerzas de inercia aplicada en G,
En los casos de momento resultante nulo en O o en G, hay conservación del
momento cinético OK o GK. respectivamente.
Hay que tener presente que en el caso de un sólido rígido la conservación del
momento cinético en uno de sus puntos no implica, en principio, la conservación de as
ya que la relación entre as y el momento cinético en un punto del sólido a pesar de ser
lineal no es de simple proporcionalidad.
+ EJEMPLO 8.5.1 En una barra que avanza con celeridad va sobre una mesa horizontal
perfectamente liso, Fig.(a), la componente
horizontal de la velocid<ld de su centra de inercia
cuando ya ha abandonado el contaclo con la .;'.'
~ =0 ~9 :~:~:a;~~~C;i~:p~U:ne~~~~e';~ ~~;;:~::;:e~: .~
contacto, con inclinación creciente, con la arista
de la mesa, Fig.(b). Durante este intervalo la ,'.~
fuerza normal de enlace tiene componente ',.
horizontul en el sentido de va' cuyo impulso
Fig. a hace aumentar la velocidad horizontal de G.
N
mg
Fig. b Fig, e
+ EJEMPLO 8.5.2 Una bola maciza se Innza tangencialmentesobre un suelo horizontal con
Vo
Fig. a
rozamiento seco de coeficiente 11 con velocidad
de avance V
o pero girando con úJo en sentido
contrario al que correspondería a la rodadura
perfecta, Fig.(n). Después de un tie,mpo t la
bol8 llega a las condiciones de rodadura
perfecta.
El movimiento final de la bola y el tiempo t
pueden hallarse a partir de los teoremas
vectoriales en forma integrada.
Mientras hay deslizamiento, en J existe la normal de valor mg y la tangencial de valor.
).1mg opuesta al deslizumíento y en este caso opuesta al avance inicial. Para las velocidades ".
y CD indicadas en la Fig.(b) los teoremas vectori::tles, en forma integrada, establecen

Fig. b
W
-=--o
mg
v
~mg
m(v-vo)=-flmgt 1
mp'(úl+ Wo) = ~mgrtJ'
donde p ;::: r.J2i5 en el caso de una bola maciza.
Estas ecuaciones junto con la condición V=(¡lr de
rodadura perrecta conducen a
v = Wt' = (va -A'rwoj/(l+).'j.
t = (ve + wür)l.' /~g(1 + A'j.
donde ¡..:!=p:!fr2=ldmr2=2.15 para el caso de una bola maciza, para la cual
v = ú)r = (5'0 -2rcou)l7,
t = (vo + wor)2/(7~g).
La bola queda par<lda si 0)0=2,5vo/r, y acaba retrocediendo si wo>2,5vo/r. •
8.6 EXTENSiÓN DE
REFERENCIAS NO
L O S TEOREMAS
GALlLEANAS
VECTORIALES A LAS
Para extender Jos teoremas vectoriales a las referencies no galileanas sólo hay que
introducir las fuerzas de inercia, de arrastre y de CorioEs que correspondan. Como en el
caso de estas fuerzas no existe la reacción, tienen un tratamiento análogo al de las
fLlerzas exteriores en la formulación de los teoremas.
Así el Teorema de la Cantidad de Movimiento toma la forma
(1)
y el Teorema del Momento Cinético para un punto O fijo a la referencia, Fig. 8.6.1,
F¡g. 8.6.1
R
No Gol sistema
(2)
donde 2:.5Wur(O) Y 2:Mcor (O) son el
momento resultante respecto a O de las
fuerzas de inercia de arrastre y de Coliolis,
respectivamente.
En 10 que se refiere a las versiones del
teorema del momento cinético para un
punto móvil B y para G, Fig. 8.6.2, las
fuerzas de inercia que hay que incluir son,
en principio, las correspondientes a las
referencias RTB y RTG que se trasladan
8.6 EXTENSiÓN DE LOS TEOREMAS VECTORIALES A LAS REFERENCIAS NO GAULEANAS 251
Flg. 8.6.2
R
No Gol
RTB
B
RTG
G
sistema
con B Y G respectivamente. Ahora bien,
según se ha visto en la sección 5.10, ya que
la suma .Jur (P)+ .Jcor (P) para cada
particula en la RTB o RTG es igual a esta
suma para la ref. de estudio R más -maR(B)
o -rnaR(G) respectivamente, las versiones
de los teoremas en B y G son análogas a las
halladas para referencias de estudio
galileanas añadiendo el momento
resultante en B o G, de las fuerzas de
inercicl correspondientes a la referencia
de estudio R.
Ú('<TB (sisr) = I M", (B) + I M" (B)+ I Meo, (B) - BG A(I m, )aR (B), (3)
~bt SISt $I~t ,ISI
(4)
Hay que decir que estas versiones, Ecs.(l, 2, 3, 4), no se suelen utilizaren el caso del
sólido rígido, O de sistemas formados por sólidos IÍgidos, a causa de la dificultad en hallar
los momentos resultantes de las fuerzas de inercia, cálculo que obligaría a hacer
integrales extendidas a los dm de cada sólido. Aunque en la referencia no galileana el
movimiento de los sólidos pueda ser más simple, es mejor utilizar una referencia
galileana, a pesar de la mayor complejidad del movimiento, porque en éstas no hay que
hacer ninguna integración explícitamente (las necesarias están implícitas en las
componentes de los tensores de inercia ).
• EJEMPLO 8.6.1 Una barra delgada de masa m que puede oscilar alrededor del eje
Fig. a
horizontal a-a' fijo a un soporte que gira con
Q cte. alrededor de un eje vertical fijo al
suelo, Fig.(a), puede mantener un ángulo 8
cte. comprendido entre 8=0 y 8=1t/2. P¡¡ra
hallarlo se puede hacer un estudio del
equilibrio estático en la referencia R'
solidaria al soporte, que es no galileana,
Fig.(b). El momenLO del peso bu de
equilibrar el momentO de las fuerzas
centrífugas.
?L )
mgL sen 8~ :::;: -J.Q2 (5+ Xsen 8~)xcos8~ ?n~ dx = Q2mLcos8!(5+ ~L sen ee .
O -
Esta ecuación trascendente, que se puede escribir en la forma

Fig. b
_tone
ds
9
o e, fT
"2
Frg. e
n
Fig. d
:l..cÍL
3 9
e
2
siempre tiene una solución O::;Se::;rc/2, Fig.(c).
Es importante notar que si bien la
resultante de las fuerzas centrífugas, :E !F:=
=nl.Q2(s+LsenS), es equivalente a la que se
hallaría si toda la masa estuviese concentrada en
G, el momento resultante en B de las fuerzas
centrífugas no corresponde al momento de la
resultante aplicada en G. Es mayor porque las
fuerzas centrífugas sobre los puntos más bajos
son más intensas por estar más lejos del eje de
giro de la rotación del soporte.
El ángulo Se cte. también Pllede hallarse
planteando la dinámica en la ref. galilcana fija al
suelo, Fig.(d). El TMC aplicado en B conduce
directamente a la ecuación del movinliento
La Ec. BK=I:I'vI~X(B)- BG Ima(B) conduce a la misma ecuación trascendente hallada antes
para determinar eco En este procedimiento el problema ha sido auténticamente de din{mlica
pt::ro no ha sido necesario hacer integraciones explícitas sobre la barra; las integraciones están
implícitas en los elementos del tensor de inercia lIB' +
8.1 EQUILIBRADO ESTÁTICO Y DINÁMICO DE UN ROTOR
Lo.'> rotores -sólidos rígidos que giran alrededor de un eje fijo a la referencia de estudio-
constituyen uno de los casos más frecuentes de dinámica del sólido rígido-es el caso de
8.1 EQUILIBRADO ESTÁTICO Y DINÁMICO DE UN ROTOR 253
los rotores de motores eléctricos, de las ruedas de automóvil, de los cigüeñales de los
motores alternativos, etc.-. Si su distribución de masa es arbitraria, su rotación en una
referencia galileana implica, en principio, la intervención de unas fuerzas de enlace en
los soportes, perpendiculares al eje de giro, que giran con velocidad angular del rotor y
que crecen con el cuadrado de esta velocidad angular. En este caso se dice que el rotor
está desequilibrado.
Las correspondientes reacciones recibidas por los soportes tienden a hacerlos vibrar
y a hacer vibrar la estructura a la que están fijados; estas vibraciones y el ruido
consiguiente no Son deseables.
Sin embargo, los rotores pueden tener una distribución de masa que no implique
reacciones de enlace asociadas a la rotación; entonces se dice que el rotor está
equilibrado.
El equilibrio de un rotor exige dos condiciones:
1. Que el centro de inercia esté sobre el eje de giro. Ésta es la condición denominada
equilibrio eSlático del rotor porque se puede comprobar en situación estática: en
presencia de la gravedad y con el eje de giro horizontal, el equilibrio angular del
rotor es indiferente, todas las posiciones angulares son de equilibrio.
En cambio, si G está fuera del eje de giro hay sólo dos posiciones de equilibrio:
la de G en posición más baja, que es estable, y la de G en posición más alta, que es
inestable.
2. Que el eje de giro sea paralelo a una dirección central de inercia. Ésta es la
condición denominada equilibrio dinámico del rotor porque sólo se puede
comprobar en situación dinámica, es deci1; en rotación.
Así pues en un rotor equilibrado -estática y dinámicamente- el eje de giro es una
dirección central de inercia.
oto Demostraci6n. En esta demostración se prescinde del peso porque no es relevante.
Fig. 8.1.1
de donde se concluye
. , b
Fp =mQ-e--;
a+b
. , a
FQ=mn-e--
a+b
Se considera un rotor que gira con
velocidad angular .Q cte. alrededor
del eje de giro definido por los dos
soportes P y Q.
• Si G se halla a una distancia e del
eje de giro y éste es paralelo a una
dirección central de inercia ,
Fig.8.1.1, como G tiene
ac.eleración axípeta de valor 0 2e y
GK=O porque GK es paralelo a Q
y de valor constante, los teoremas
vectoriales establecen

l'
254 TEOREMAS VECTOR1ALES 8.1
a
Fig. 8.1.2
el sólido, GK es perpendicular a GK y a.a.
En este caso en que el rotor
equilibrado dinámicamente
estáticamente, se
fuerzas de
proporcionales a Q2 que se
sobre el plano axial que contiene
• Si G se halla sobre el eje de giro
éste no es una dirección
inercia, Fig. 8.1.2, no se necesita fner;;'U'
resultante de enlace porque "'lJ)'=U,
pero sí se necesita mQmento resu:ltant';,¡,'':!
de enlace porque GK;;t;O al ser
un vector de módulo constante fijo
respecto al sólido pero de dirección
distinta a la de .o. Como GK gira con
Se necesitan pues unas fuerzas de enlace que formen par
F"p =-F"Q =jGKj/(a + b)
contenidas en el pInno axial que contiene a GK y con el sentido adecuado al de GK.
Ya que IGK Ies proporcional a n, IGK 110 es a n2,
Así pues, en el caso de un rotor equilibrado estática pero no dinámicamente, son
necesarias también dos fuerzas de enlace giratorias proporcionales a Q2,
Analíticamente, el TCM y el TMC en G plantean, para un rotor desequilibrado
estática y dinámicamente, (utilizando la base indicada en la Fig. 8.1.1)
En la dirección 3 se ha supuesto que sólo hay fuerza de enlace en P para evitar que
haya indeterminación. Estas ecuaciones conducen a
Fpl =-mn'e b/(a+b)-II1Q ' /(a+b),
FQI =-mn'ea/(a+b)+IIJQ2 /(a+b),
F" =-FQ2 =-1 "n' /(a + b),
s.e CUESTIONES 255
Los térnlinos proporcionales a e describen
el efecto del desequilibrio estático y los
proporcionales a 113 y 123 describen el del
desequilibrio dinámico. .fe
de eqUil~ibrodO
IIp!!
dQ
Aunque los rotores se proyectan para
que esten equilibrados, los pequeños
errores geométricos y las pequeñas faltas
de homogeneidad de los materiales hacen
que una vez construidos presenten un
cierto grado de desequiliÚio.
. !IQ!!
masas añadidas
al rotor
Fig. 8,1.3
Q ete
La operación de equilibrado corrige
este desequilibrio por adición de dos
masas en dos planos perpendiculares al
eje (Hg. 8.1.3). Los valores 111prp y Ilfo así
como los ángulos ap y aO se determinan a
partir de la medición de los efectos de los
desequilibrios en los soportes (sea la
fuerza o el movimiento vibratorio).
Al ser equivalente situar mr con un
ángulo a que -mrcon un ángulo 0:+180°,
a menudo es preferible utilizar valores m r
negativos que se consiguen haciendo
agujeros en lugar de añadiendo masas.
Los rotores cortos, como las ruedas de automóvil, se equilibran a menudo en un solo
plano y se garantiza s610 el equilibrio estático.Aunque este equilibrado se podría hacer
en condiciones estáticas, es mejor hacerlo en condiciones dinámicas porque, al crecer las
fuerzas causadas por el desequilibrio proporcionalmente a Q2, se tiene más sensibilidad
en las mediciones.
S,C CUESTIONES
8.1 Sobre la plataforma circular horizontal que puede girar
alrededor del eje vt:rtical que pasa por su centro G, actúa la fuerza
horizontal F, que forma un ángulo a con la dirección radiaL ¿Cuál
es la componente horizontal de la fuerza que el cojinete ejerce
sobre la plataforma?
A
B
e
D
E
Depende de las resistencias pasivas del cojinete.
~F tg a
-F Sen a
-F
Depende del valor de s.

256 TEOREMAS VECTORIALES a.e
8.2 Se atornilla un tornillo a una pieza fija aplicando una fuerza F
normal a la llave y al eje del tornillo. Si se considera que la masa
de la tlave es despreciable, ¿cuál es el valor de la fuerza horizontal
que el tomillo transmite a la pieza?
A F siempre.
B <F siempre.
e <F sólo mientras se atornilla.
D ==F sólo cuando ya está completamente atornillado.
E Puede ser > < E
8.3 El sistema de la figura tiene movimiento plano. El sólido de
masa m puede girar libremente alrededor del punto fijo O y su
punto P está articulado a la barra PQ, de masa despreciable, cuyo
extremo Q puede deslizar libremente a 10 largo de la rectaee'. Si T
es la tensión del hilo, ¿cuál es la componente horizontal de la
fuerza de enlace que el sólido recibe en O?
8.4
A T(Idm4s'J
B T(I-!dm4s'J
e o
D T
E 2T
En una competición. dos contrincantes que se hallan en el
interior de un círculo sobre un suelo horizontal se empujan
mediante una barra. Gana el que hace retroceder al otro hasta
excluirlo del círculo. Se puede afirmar que:
A Empatan si la masa de J<I b<lrra es despreciable, porque
entonces se empujan necesariamente con la misma fuerza.
B Gana el que consigue ejercer más fuerza horizontal sobre el
suelo.
e Gana el más fuerte.
D Gana el más <lIto.
E Gana el más pesado.
8.5 Un rodillo descentrado rueda sin deslizar sobre un plano
inclinado mientras baja en la dirección de máxima pendiente de
éste hasta que en P abandona el plano. La trayectoria que describe
G entonces es:
A
B
e
D
E
Parabólica de eje ve11icaL
Parabólica de eje p-p'.
Parabólica de eje comprendido entre la vel1ical y p~p'.
De tipo Q.
De tipo Q'.
8.9
S.C CUESTIONES 257
8.6 El rodillo de la figura, que es homogéneo, baja rodando sin
deslizar por una rampa fija, y cuando entra en contacto tangencial
con la cinta transportadora, su centro tiene la misma velocidad Vo
que la cinta. La velocidad de la cinta se mantiene constante. ¿Qué
se puede decir sobre la velocidad v del centro del rodillo respecto
a la referencia fija a partir del instante en que el rodillo entra en
contacto con la cinta?
A Disminuye pero no se anula.
B Se mantiene,
e Disminuye hasta anularse,
D Disminuye hasta cambiar de sentido.
E Aumenta.
8.7 Una moto acelera haciendo patinar la rueda motriz con la rueda
delantera levantada. El ángulo a es constante y la rueda motriz
tiene un momento de inercia Ir respecto a su eje. ¿Qué se puede
afirmar sobre la aceleración del centro de inercia de la mOlO?
A Es ¡lg.
B Es O.
e Para calcularla habría que conocer la masa de lo. moto y ltl
potencia de su motor.
D
E
Es ¡..tgcoSiX.
Es menor que ¡J.g pero en principio distinta de J..LgcosCt.
8.8 El plano de la figura es horizontal. El sólido constituido por
las dos poleas solidarias y con centro de inercia en el centro
geométrico, desliza sin rozamiento sobre el plano. Los extremos P
y Q de los hilos enrollados a las poleas son desplazados con
aceJemción a. ¿Qué se puede decir de las fucrzas Fp y FQ quc hay
que aplicar en P y en Q?
A Fp > FQ en una cantidad que no depende de IG'
B Fp > FQ en una cantidad que depende de Ic·
e Fp = FQ
D FQ > Fp en una cantidad que no depende de IG'
E FQ> Fp en una cantidad que depende de le·
Se depositan sobre un plano rugoso unu bola vacía y aIra maciza homogéneus, ~e radio
y musa distintos, pero con el mismo coeficiente de roz.amiento con el plano. En el mstanle
inicial las bolas airan alrededor de un diámetro horizontal y sus centros están en reposo.
¿Qué se puede afi~mar de la celeridad de los centros de las bolas mientras éstas deslizan?
A
B
e
D
E
Es mayor la de la bola maciza.
Es mayor la de la bola mayor,
Son iguales.
Es mayor la de la bola vacín.
Es' mnyor la de la bola de masa mayoe

25 B TEOREMAS VECTORIALES S.C
8.10 Una máquina quitanieves que se encuentra detenida en una
pendiente de ángulo (J. se pone en marcha pendiente arriba
haciendo patinar las cadenas. Se acepta que el rozamiento entre
cadenas y suelo es de Coulomb. ¿Qué se puede afirmar de su.
aceleración?
A Es )lgcosa.
B Se puede aumentar incrementando la velocidad de
circulación de las cadenas.
o<. e Es gcosa(ll-tga).
Es Ilg.
~:~;;;;~~f:Jili;p!;i"'''W·1!1~,0·'"''1~ D
~p,m
uV
Qm
¡
E Se puede aumentar incrementando el par motriz aplicado a
las ruedas que accionan las cadenas.
8.11 Una bola que avanza deslizando sobre un plano horizontal liso
Jo abandona al perder Contacto en Q. Antes de llegar a Q la
celeridad de su centro es Vo y el rozamiento con el aire es
despreciable. Una vez perdido el contacto con el plano, ¿cómo es
la componente horizontal de la velocidad de G?
A = Yo
B > "o
e < "o
D ;::: "o
E :::; va
8.12 Inicialmenteel camión y el rodillo que se encuentra sobre él
están en reposo. El suelo y la caja del camión son horizontales. Si
el camión empieza a avanzar con aceleración a constante, se
observa que el rodillo rueda hacia atrás respecto a la caja. ¿Qué se
puede decir de la posición del rodillo respecto al suelo cuando
llega al extremo O de la caja?
A l?slá entre P y P'.
B Coincide con P.
e Está entre P y Q.
D Coincide con Q.
E Estú entre Qy Q'.
8.13 Sobre un plano horizontal liso, las partículas P y Q se acercan
y mueven alrededor de los puntos fijos O y O', respectivamente.
P se acerca porque se acona el hilo, y Qporque el hilo se enrolla
alrededor de un cilindro fijo de radio r. ¿Qué se puede afirmar de
las celeridades de P y Q?
A Se mantienen constantes.
B La de P se mantiene constante y la de Q aumenta.
C La de P aumenta y la de Q se mantiene constante.
D Las dos aumentan.
E La de P se mantiene constante y la de Q disminuye.
s.e CUESTIONES 259
8.14 La masa de la polea y el hilo, así como los rozamientos, son
despreciables. ¿Cuál es la fuerza vertical, expresada en N, que
ejerce el sopOlte sobre la polea? (tomar g=lO m S-2).
A !O
B 14
e 20
D 24
E 34
8.15 En el sistema de la figura, las dos poleas son solidarias y los
hilos se enrollan sobre ellas sin deslizar. La masa de las poleas y
los hilos, así como el rozamiento en el eje, son despreciables.
¿Cuál es el valor de la fuerza vertical de enlace, expresada en N,
que el eje de las poleas recibe del soporte? (tomar g=lO rn S-2).
A 160
B 90
e 220
D 300
E 130
8.16 La placa cuadrada de la figura -de masa m y lado 2L- está
unida al suelo mediante las barras PP' y QQ' de longitud s que
tienen en sus extremos articulaciones de ejes normales al plano de
la placa. ¿Cuánto vale el momento, referido al centro de inercia,
de las fuerzas de enlace que la placa recibe de las barras?
A (1/3)mL' e
B o
e (4/3) ro L' e
D (2/3) ro L' e
E (1/3) m (L2+s2) e
8.17 El bloque del sistema se mueve con movimiento plano
sometido al peso y a los enlaces PP' y QQ' establecidos por
barras de masa despreciable con articulaciones en sus extremos
de rozamiento nulo y ejes normales al plano de la figura. En un
cierto insUlnte, el sistema pasa por la posición representada con
é*0 y 9:;<:.0. ¿Cuánto vale la fuerza que ejerce la barra PP' en este
instante?
A
B
e
D
E
mg/(2cos8)
o
mg cose
rng/cos8
mg/2

!
f,
1,
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1
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1
í
1,
I
I
260 TEOREMAS VECTORIALES a.c
2
I,
3
2R
S.l S La placa delgada y homogénea en forma de estrella regular de
tres puntas gira con velocidad angular constante alrededor del eje
vertical contenido en su plano y que pasa par el centroG. ¿Quése
puede decir del momento resultante de enlace, referido a G, que la
placa recibe del eje giratorio?
A Es perpendicular a nydepende de ex.
B Tiene la dirección de n y depende de ex.
e Tiene la dirección de n yes independiente de a.
D Es nulo.
E Es perpendicular <1 nyes independiente de ex,
8.! 9 Una rueda, que es rotor simétrico en G con dirección central
de inercia singular según el eje 1, tiene momentos de inercia le y It
respecto a los ejes J y 2 respectivamente, Si se hace girar con
velocidad angular constante .Q alrededor de un eje que pasa por G
y forma un ángulo a. constante con el eje 1, el momento referido a
G que hay que aplicar sobre la ntcda es:
A Nulo,
B (le-Il).o2 sena cosa sobre el eje 3 negativo.
e (lecosu-It sena.).o2 sobre el eje de giro.
D le.o2 cosa sobre el eje I positivo y Il ,Q2 sena sobre el eje
2 positivo,
E le Q2 coso: sobre el eje 1 positivo,
8,20 La esfera homogénea de la figura rueda sin deslizar sobre el
suelo horizontal fijo y la barra radial de masa despreciable,
solidarin a ella, tiene el extremo O fijado al suelo mediante una
rótula esférica. Se observa que G se mueve con celeridad v
constante. ¿Cuál es el módulo del momento resultante en G de las
fuerzas que el sólido recibe del suelo?
A
B
e
D
E
(3/5) m v2 .
(2/5) ro v2
(1/1 O) m v'
O
(l/S) m v2
8,21 Alguien afirma que si un sólido rígido está girando, el momento resultante respecto a su
cenLro de inercia de las fuerzas exteriores que actúen sobre él es proporcional a su
ucelerución ungulnr, ¿Qué se puede decir de esta afirmación?
A Siempre es fulsa.
B Es ciertn 5610 si In vclocidud angular del sólido es paralela a una dirección central de
inerciu.
C Es cierta sólo si la aceleración del centro de inercia es nula,
D Es cierta si el movimiento del sólido es plano,
E Siempre es cierta.
~g
q'
s.e CUESTIONES 261,
8.22 El sólido de la figura, hecho de chapa homogénea, puede girar
libremente alrededor del eje p-p' de la horquilla que a su vez
puede girar libremente alrededor del eje vertical q-q'. En reposo el
sólido está en equilibrio con su eje ss' en posición horizontaL
¿Puede mantenerse el sólido en rotación alrededor del eje vertical
conservando el eje ss' horizontal, sin que intervengan más fuerzas
que las de enlace y el peso?
A Sí, pero con velocidad angular por encima de un cierto
valor umbral.
B Sí, pero con velocidad angular por debajo de un cierto valor
umbraL
e Sí, porque la rotación alrededor de q-q' es libre,
D No porque el centro de inercia no está sobre ss' ,
E No, porque q-q' no es una dirección central de inercia del
sólido,
8,23 La placa rectangular de la figura está suspendida por el hilo
0'0. Para mantener su movimiento de rotación alrededor de la
diagonal OQ en la posición indicada con .Q constante, ¿qué fuerza
debe aplicarse sobre P?
A Una fuerza en la dirección de GP.
B Una fuerza vertical.
e Ninguna fuerLa.
D Una fuerza en la dirección perpendicular al plano de la
placa,
E Una fuerza en la dirección horizontal del plano de la figura.
8,24 El octaedro de la figura, que es homogéneo, se cuelga de un
hijo por uno de los puntos indicados. A partir del reposo estático
se le comunica un movimiento de rotación mediante la torsión del
hilo y se observa que para uno de los puntos indicados el hijo deja
de mantenerse verticaL ¿Cuál es?
A Q
B P
e s
D T
E R
8.25 El sólido de la figura, hecho de chapa homogénea, se cuelga
de un hilo por uno de los puntos indicados, y se le comunica un
movimiento de rotación mediante la torsión del hilo. ¿Para qué
punto se mantendrá vertical el hilo?
A A
B B
e e
D D
E E

262 TEOREMAS VECTORIALES s.e
8.27
8.28
8.26 El sólido rígido de la figura, que gira con velocidad angular
no alrededor de un eje inclinado definido por dos puntos fijos del
sólido, tiene el ce¡¡tro de iflercia G ¡Llera del eje de giro. Si los
enlaces en P y Q desaparecen de repente en un mismo instante,
¿qué se puede decir sobre la trayectoria que pasa a seguir O?
A Es vertical.
B Es parabólica sobre·un plano vertical.
e Es parabólica sobre un plano normal a PQ.
D Es de tipo S sobre un plano vertical.
E Es de tipo S sobre un plano normal a PQ.
Si en el sólido de la cuestión anterior la posición de G es arbitraria, ¿qué se puede
afirmm de la dirección que tendrá la D.del sólido cuando desaparezcan los enlaces P y Q?
A
B
e
D
E
Se mantendrá siempre igual a la de Do.
Se mantendrá igual a la de Do sólo si PQ es una dirección principal de inercia.
Se mantendrá sólo si PQ es un eje centrnl de inercia,
Se mantendrá sólo si PQ es parnlelo a un eje centrnl de inercia.
Será constante pero distinta de la de PQ,
Para los~lidos rígidos, sobre si hay una relación biunívoca entre las condiciones Q
constante y GK constante se puede afirmar:
A Siempre es cierto,
B Q constante implica GK constante, pero no a la inversa,
e GK constante implica Q constante, ~o no a la inversa.
D En principio ni Q constante implica GK constante, ni viceversa.
E Es cierto en el caso de los rotores simétricos pero no lo es en el caso general.
8.29 Un sólido plano en forma de triángulo equilátero se apoya
sobre un plano horizontal1iso mediante los vértices P y Q y del
pie S' vertical y solidario a la placa, En el movimiento más general
de este sólido, sin más fuerzas que el peso y las de enlace en P, Q
y S', el valor de la fuerza de enlace en S' , comparado can el v<llor
que tiene en condiciones estáticas, es:
A Igual.
B iVlayoJ:
e Mayor pero:::; mg/2,
D Menor.
E Mayor, igualo menor según el movimiento.
8.30 La bola homogénea se mueve sin deslizar ni en P ni en Q en el
interior de una cavidad cilíndrica. Su centro tiene celeridad cte. v.
En Q sólo hay rozamiento en la dirección tangencial perpendicular
al plano del dibujo. ¿Qué se puede decir de la fuerza normal en Q?
A > mg.
B = mg.
e < mg,
D < mg sólo para v>vmin'
E Depende del sentido de rotación.
plataforma 1)
plataforma
S.C CUESTIONES 263
8,31 Se observa que una peonza realiza un movimiento dI;::
precesión con inclinación 9 constante y con la velocidad l.jJ
indicada en la figura. ¿Qué se puede afirmar sobre el sentido de la
rotación propia de la peonza alrededor de su eje?
A
B
e
D
E
Tiene sentido positivo,
Tiene sentido negativo.
No se puede afirmar nada porque sao velocidades
cinemáticamente independientes,
No se puede afirmar nada si no se conocen más variables
dinámicas del sistema.
Depende de si ji es mayor o menor que un cierto valor
umbral l.jJ o'
8,32 Los dos bloques homog¿neos de la figura se dejan en reposo
en la posición indicada, Si el rozamiento en los puntos de contacto
es despreciable, ¿qué se puede afinnar del sentido de la velocidad
angular que adquirirá cada bloque? (Mov, plano).
A
B
e
D
E
Será negativo para los dos.
No están definidos porque los dos bloques adquirirán
movimiento de translación.
Será positivo para los dos. , .
Será negativo para el bloque superior y el bloque mfenor
no Se moverá,
Serán de signo contrario.
8.33 El sistema de la figura, que está sobre Un plano l1oriz.ont¡:¡l
liso, está formado por dos plataformas unidas por una cuerda
enrollada a un tambor solidario a la plataforma 1 y a un tambor
giratorio de la plataforma 2. La masa de los tambores es
despreciable. Si se parte del reposo, ¿qué se Pllede decir del
movimiento de las platafonnas?
A No se mueven porque el motor que acciona el tambor no
puede ejercer par por falta de rozamiento entre plataforma y
suelo.
B G1 YG2. se mueven sobre la recta G1G2 Ylas plataformas
giran en sentidos opuestos.
e G I Y O2
se mueven sobre la recta G1G2 Y las platafOlmas
oiran en el mlsmo sentido.
D G
I Y G:? se mueven sobre paralelas a PQ y las platafoffi1,¡:;
giran en :-;entidos opuestos. .
E G I
Y G2
se mueven sobre paralelas 11 PQ y las platufoffi1as
giran en el mismo sentido.

(:! '
l
'
"
,
I
r
1
,
l'
i
1",
I
'
I
I
I
1
",
.':'
264 TEOREMASVECTOAIALES s.e
entrada salida
8.34 En un elemento de transmisión con resistencias pasivas
despreciables e inercias despreciables, los ejes de entrada y salida
son colineales y giran en el mismo sentido. Si el par aplicado al
eje de entrada es r y el par transmitido por el eje de salída es 4 r,
¿cuál es la componente en la dirección de los ejes de entrada y
salida del momento que la carcasn recibe del soporte fijo?
8.37
par transmitido
a las ruedas
A
B
e
D
E
o
3r
-H
sr
-5 r
8.35 El puente posterior de un camión (conjunto formado por el
diferencial yel soporte de las ruedas posteriores) recibe un par r
del eje motriz, ytransrrute un par sr a cada rueda posterior, que
giran en el sentido indicado. ¿Qué momento respecto al eje p-p'
que pasa por e transmite el puente al chasis si entre ellos no hay
movimiento relativo y las inercias a la rotación del diferencial son
despreciables?
A 5 r
B O
e lor
D Jlr
E 9 r
8.36 Un vehículo todo terreno sube por una pendiente con celeridad
constante, propulsado mediante un cabrestante y sin aplicar
ningún par motriz o de frenado a las ruedas. El valor de la
reacción normal al suelo en las ruedas posteriores, comparado con
el que tendría propulsado por las ruedas, es;
A Siempre menor.
B Menor sólo si 11>r.
e Mayor si h<r.
D Igual.
E No se puede saber sin conocer el radio del cabrestnnte.
Para el vehículo de la cuestión anterior, en el que se considera despreciable la inercia de
las ruedas, si el cable se rompe, ¿cómo es el valor de la reacción normal al suelo en las
ruedas posteriores. comparado con el que tenía antes de romperse?
A Siempre menor.
B Menor sólo si h>r.
e Mayor si h<l'.
D Igual.
E No se puede saber sin conocer el radio del cnbrestante.
8.40
s.e CUESTIONES 265
8.38 En el sistema de la figura, los rodillos homogéneos de masa
m, no deslizan sobre el suelo ni respecto al bloque. Al estirar el
bloque con la fuerza F, de si la reacción normal en J aumenta o
disminuye, respecto a las condiciones estáticas, se puede afirmar:
A
B
e
D
Disminu'ye para cualquier valor de h<H.
Aumenta para cualquier valor de h<H.
No varía para cualquier valor de h<H.
Parn h<H, puede aumentar, disminuir o no variar, según el
valor h1H.
E No varía si ll=H.
8.39 Con el vehfculo de juguete de la figura sepurado del suelo,
se embala la rotación de las ruedas traseras ~de momento de
inercia I~ hasta una velocidad angular (o, y después se deja sobre
el suelo. La fricción entre el suelo y las ruedas impulsa el vehículo
haciéndolo avanzar. Se consideran despreciables la inercia a l::t
rotación de las ruedas delanteras y las resistencias pasivas
distintas de la fricción de las ruedas traseras con el suelo. Al
comparar la fuerz::t normal que el suelo ejerce sobre las ruedas
traseras mientras éstas deslizan (Nd) con la que ejerce en
condiciones estáticas (Ne) se puede afirmar que:
A Nd>Ne
B Nd<Nt.'
e No=N,
D Nc?-Ne, según el vaJor de diversos parámetros del vehículo
no especificados.
E Nd><NO!, según el valor de diversos parámetros del
vehfculo no especificados.
Un inventor afirma haber proyectado un dispositivo pura los automóviles que evita que
cuando éstos aceleren disminuya la fuerza normal en las ruedas delanteras y que cuando
frena disminuya en las traseras. El dispositivo se basa en un rotor de eje transversal n.I
vehfcL1Jo gue se acelera adecuadamente. ¿Es viable el proyecto?
A Es imposible, no se conseguirá modificar las reacciones nonuales.
B Teóricamente es viable.
e Teóricamente sólo es posible evitar parcialmente la disminución de las fuerzas
normales.
D De hecho muchos automóviles van equipados con uno de estos dispositivos,
E Es poco recomendable porque disminuirían simultáneamente las reacciones n0n11ales
en las cuatro ruedas.

.,
"
266 TEOREMAS VECTORIALES s.e
8,41 En un automóvil equipado con un dispositivo antiblocage de
los frenos (ABS), cuando se frena con la máxima intensidad las
ruedas se hallan justo en el umbral de deslizamiento pero sin
traspasarlo. Si el coeficiente de rozamiento jl=O,S es el mismo en
las ruedas delanteras que en las traseras y la inercia de las ruedas
es despreciable, ¿cuál es la fuerza normal de enlace en el conjunto
de lus ruedas traseras en condiciones de frenada máxima?
A 0,2 rng
B O
e 0.5 mg
D 0,4 rng
E 0.3 mg
8.42 Un motorista acelera haciendo patinru· la rueda motriz ~que tiene
momento de inercia Ir- manteniendo un ángulo de inclinación a.
constante de la moto. La rueda delantera puede girar libremente y
se consideran despreciables las demás inercias a la rotación. Si
durante un cierto tiempo de este proceso la rueda motriz tiene una
aceleración angular positiva, ¿qué se puede afirmardc:l valor del
coeficiente de rozamiento rueda~suelo?
A
B
e
D
E
= tg 8
> tg e
< tg9
= ctg e
Habria que conocer la relación de transmisión.
8.43 Uno. placa cuadrada y homogénea de lado L está articulada en
O y mantenida en reposo con el lado OP en posición horizontal
mediante el hilo QP. Si se corta el hilo, ¿cuál es el valor de la
componente 1 de la fuerza de enlace en Oque la placa transmite a
la pared justo después de cortarlo?
A
B
e
D
E
O
(3/4-12)mg
-(3/4.J2 )mg
(3/8)mg
-(3/8)mg
8.44 En el sistema de la figura, el bloque está unido al suelo
mediante las barras de masa despreciable PP' y QQ' que tienen
articulaciones de eje perpendicular al plano de la figura en sus
extremos. Inicialmente el hilo OP' mantiene el sistema en reposo.
Si en Un cierto instante se corta el hilo, ¿qué aceleración adquirirá
G?
A
B
e
D
E
o
o
g sen 80
g sen 80 (1+h/s)
g sen 80 (1 +hlL)
g sen 90 L21(L+hcos8)
P Q R S
T
8.e CUESTIONES 267
8.45 El sólido de la figura avanza con celeridad v sobre un pl:J.no
horizontal liso. La dirección normal al plano del movimiento es
central de inercia. ¿Qué se puede decir sobre el valor de la
reacción nonnal en P en el instante en que Q justo pierde contacto
con el plano?
A Sigue valiendo mgl2
B Pasa a valer rng
C Siempre aumenta
D Siempre disminuye
E Pasa a tener UD valor comprendido entre O y mg que
depende de la geometría de masas.
8.46 Un individuo practica el "puenting" en un puente de 15 m
de anchura y COll una cuerda de 25 m de longitud. Se lanza desde
P sin velocidad inicial atado a un extremo de la cuerda. El otro
extremo está fijado en Q. Se observa que justo después de quedar
tensada la cuerda por primera vez el individuo sale con velocidad
horizontal. ¿Cuál es el módulo de esta velocidad tn m S-I?
(g=lOm s-:!).
A
B
e
D
E
20
22,4
o
16,8
15
8.47 Un anillo delgado y homogéneo se lanza tangencialmente
sobre el suelo con movimiento de translación de velocidad
vo.¿Cuánto tiempo tarda en dejar de patinar a causa del
rozamiento?
A
B
e
D
E
2 "ol)lg
3 vo/2 llg
vo/)lg
vo/2 J..lg
vo/3 )lg
8.48 El conjunto bicicleta-ciclbta sube la pendiente de manera que
la velocidad de su centro de inercia G y su momento cinético
GK son constantes. ¿Cuál es la recta que limita la posición del
centro de inercia G para que la rUtda delantera no pierda contacto
con el suelo?
A
B
e
D
E
S
R
Q
T
P

I
[
I
I
I
t~·•...'"
.'
,
26 BTEOREMAS VECTORIALES 8.C
8.49 Un utletuestá haciendo un salto de longitud. Si se desprecia la interacción con el aire,
. qué se puede afirmar de la posibilidud que tiene de modificar el movimiento de su centro de
inercia y la orientación del tronco, considerado como sólido rígido, mediante el movimiento
cíclico de brazos y piernas?
A
B
e
D
E
Puede modificar independientemente ambas cosas.
Puede modificur umbas cosas, pero no de manera independiente.
Sólo puede modificar el movimiento de su centro de inercia.
Sólo puede modificar la orientación del cllerpo.
No puede modificar ninguna de las dos cosas.
~g
25
8.50 La barra PQ está en equilibrio estático. El extremo P está
unido al hilo OP y el extremo Q se apoya sobre la pared vertical
qq' con rozamiento. ¿Qué valor mínimo ha de tener el coeficiente
de rozamiento entre barra y pared?
p
A
B
e
D
E
2
0,5
°
8.51 En el sistema de la figurn, ¿cuál es el mínimo coeficiente de
rozamiento ).1 entre el rodillo y la pared para que con una fuerza F
adecuada se pueda mantener el rodillo en reposo?
A
B
e
D
0,5
¡
2
E No es posible mantener el rodillo en reposo.
8.52 Una escalera descansa sobre el suelo en P y contra la arista en
O. El rozamiento entre escalera y arista es despreciable y entre la
escalera y el suelo es de coeficiente Il>tana. ¿Puede la persona
superar el punto de apoyo O sin que se pierda la estabilidad?
A No, la escalern. perderá el contacto en P cuando el operario
sobrepase O.
B No, la escalera deslizará en P, sin perder contacto, cuando
el operario sobrepase O.
e Sí, pero jo escalera perderá el contacto en P cuando la
vertical del G del sistema operario-escalera sobrepase la del
punto O.
D Sí, pero la escalera deslizará en P cuando la vertical de G
del sistema operario-escalera sobrepase la de O.
E Sí, Y la escalera ni desliza ni pierde contacto en P aunque la
vertical de G del sistema opernrio-escalera sobrepase una
ciertCl distancia ICl vertical de O.
~g 2L
~~d~
cilindro )
hOidráulico .-!
8.P PROBLEMAS 269
8.53 El sistema de la figura está en reposo permanente. El
rozamiento entre la rulina y su eje y en la articulación O son
despreciables. ¿Qué fuerza ejerce el cilindro hidráulico en esta
posición?
A (mgUs)/cosa
B (mgUs) cos·1a.
e (mgUs) cosa.
D (mgUs) cos2a.
E (rngUs)/cos:;a
8.54 La cuña de la figura puede deslizar sobre el plano horizontal
con coeficiente de rozamiento 11=0,7. Si se empuja a partir del
reposo con la barra horizontal que tiene una rulina en su extremo,
¿a partir de qué fuerza F empieza el deslizamiento?:
A
B
e
D
E
>0,7 rng
>0,35 mg
>1,4 rng
>0,35 ·/3 mg
No se inicia el deslizamiento por muy elevada que sea E
8.55 Para un sistema mecánico de n grados de libertad y r incógnitas escalares relativas a
componentes de torsores de enlace. los teoremas vectoriales permiten haHar q ecuaciones
escalares independientes, con q«n+r). Se puede decir que:
A El sistema es indeterminado, no se pueden obtener ni las ecuaciones del movimiento ni
las componentes de las acciones de enlace.
B A pesar de tener menos ecuaciones que incógnitas, el principio de la determinación
establece que siempre se pueden determinar todas las incógnitas.
e Se pueden determinar las acciones de enlace pero no las ecuaciones del movimiento.
D Se pueden determinar las ecuaciones del movimiento, pero las acciones de enlace
resultan todas indetenllinadas.
E Se pueden determinar las ecuaciones del movimiento. La indetenninación se refiere a
las incógnitas de enlace, aunque no necesariamenLe son todas indeterminadas.
8.P PROBLEMAS
--<>F
-r'""f+'ill-"'<~~l--~-l
R
8.1 La rueda de la figura, de superficie
exterior cilíndrica y centro de inercia que
coincide con su centro, rueda sin
deslizar sobre un plano horizontal empujada
por la fuerza F. Esta fuerza actúa mediante
un hilo enraBado sobre el tambor de radio r
sin que deslice sobre él. Determinar:
l. La aceleración x.
2. La componente 1 de la fuerza de enlace
en J. Estudiar la tendencia de J a deslizar
en función de la relación adimensional
)dd(mrR).

270 TEOREMAS VECTORIALES 8.P
¡"
¡I~ ,
k'
8.2 Un rodUlo macizo y un
homogéneos están inicialmente en
sobre un plano inclinado. El coeficio:nte
rozamiento !l con el plano es el mismo
los dos sólidos. ¿Cuál de los dos baja
mayor aceleración? Estudiarlo en función
In inclinación a y de )l.
8.3 El bloque de masa M del sistema de
la figura d~sliza sobre el plano inclinado y el
rodillo macizo, homogéneo y de masa m,
rueda sin deslizar manteniendo contacto con
el bloque. El rozamiento entre las sLlperficies
en contacto es seco de coeficiente -valor
que cumple los requisitos del mc,virniento
descrito-o Determinar la aceleración
bujada del conjunto.
8.4 El sistema de la figura está [o,:m:,de,'
por un rodillo que rueda sin deslizar sobre
un plano inclinado. Ln polea de radio r es
solidaria al rodillo y sobre ella se enrolla
sin deslizar el hilo unido al muelle, de
constante k, que se mantiene paralelo al
plano inclinado. Para x=O el muelle no tiene
tensión. Determinar:
l. La eco del movimiento para la coord. X.
2. La posición de. equilibrio xe y la
frecuencia de las oscilaciones a su
alrededor.
3. Lo. fuerza de rozamiento para la posición
de equilibrio. ¿En qué posición xmú.... o
xmln se presenta el máximo riesgo de
deslizamiento?
8.5 El rodillo de la figura, macizo y
homogéneo, rueda sin deslizar sobre un
soporte serniciHndrico fijo de eje horizontal.
Determinar:
l. La ecuación del movimiento.
2. El ángulo 8e para el que se pierde el
contacto si 11=00 y el rodillo parte del
reposo en )a po~iS'ión 80, (Se sugiere
sustituir 8=8d8/de e integrar la
ecuación resultante en derivadas
separadas para hallar é(8».
3. El ángulo ee para el que se inicia el
deslizamiento si )1=1/7 y el rodillo parte
del reposo en la posición 80,
R
8.P PROBLEMAS 271
8.6 El bloque homogéneo rueda sin
deslizar sobre un soporte semicilíndrico de
eje horizontaL Para 8=0 el centro del bloque
está sobre la vertical de O. Determinar:
l. La ecuación del movimiento.
2. La existencia de posiciones de equilibrio
-1t/2S8..:S11:12, distintas de 8(:;::;0.
3. La condición para que 8(:=0 sea una
posición de equilibrio estable y> en este
caso, la frecuencia de las pequeñas
oscilaciones a su alrededor.
8.7 En el sistema de la figura, que se
denomina péndulo de Salomón, el rodillo es
macizo y homogéneo, y no desliza sobre la
pista cilíndrica que gira con .Q cte. alrededor
del eje, perpendicular al plano de la figura,
que pasa por O. Se desprecia la intervención
de 1<1 gravedad. Determinar:
l. La eco del movimiento para la coord. e.
2. La frecuenci<1 de las pequeñas
oscilaciones del rodillo alrededor
de la posición 6=0.
8.8 Para determinar el momento de
inercia axial le de una rueda de superficie
exterior cilíndrica de radio R, de masa M y
que está equilibrada estáticamente se
propone el montaje siguieme: se añade una
masa puntual m a una distancia s del centro
de la rueda y se mide el período T de las
pequeñas oscilaciones del movimiento de
rodadura sin deslizar sobre el suelo
horizontal.
Detennino.r le a partir del valor de T y de los parámetros conocidos. (Nota: Se recomienda hacer el
planteamiento vectorial del problema considerando la rueda y la partícula como cuerpos distintos
unidos mediante fuerzas de enlace).
8.9 El rodillo macizo y homogéneo de
masa ro de la figura rueda sin deslizar sobre
el plano horizontal empujado por el soporte
móvil, que se mueve con aceleración a.
Entre el soporte y el rodillo hay rozamiento
seco de coeficiente )-l.
J. Determinar con qué fuerza horizontal
F el soporte debe empujar el rodillo.
2. Determinar la fuerza de enlace que d
rodillo recibe del suelo.
3. ¿Huy algún límite para el valor de J-l por
encima del cuo.l no sea posible el
movimiento descrito?

2h
R
8.10 En el sistema de la figura el rodillo,
que es homogéneo, se apoya sobre la pared
vertical con un coeficiente de rozamiento !.L
El hilo QP tiene el extremo Q fijo sobre el
rodillo. Determinar:
1. ¿Para qué valor !lc del coeficiente de
rozamiento el dispositivo queda
bloqueado de manera que no empieza a
deslizar por grande que sea la masa m?
2, Si ]1<!lc' ¿para qué valor me de m
empieza el deslizamiento?
3. Si fl<Jlc Y rn>mc' ¿con qué aceleración
baja el bloque?
8.11 El bloque de la figura, que es
homogéneo, está soportado
horizontalmente mediante los dos
rodillos. Los rodillos, impulsados por
motores, giran en el mismo sentido con
una velocidad angular O) tal que O)f>I*I.
de manera que en P y Q siempre hay
deslizamiento en el mismo sentido. Entre
los rodillos y el bloque hay rozamiento
seco de coeficiente 11 en P y ~t' en Q.
Detemlinar:
1. Les fuerzas normales de enlace que el
bloque recibe en P y en Q.
2. La ecuación del movimiento para la
coordenada x.
3. La posición de equilibrio xe del bloque y la frecuencia (UD de las oscilaciones alrededor de la
posición de equilibrio. Estudiar xe y COo en función de la relación entre]1' y !l.
~g
8.12 El b!oquedel sistema de la figurase
mueve empujado por la polea que gira con
velocidad angular ro constante, de manera
que el punto P de contacto siempre desliza.
Ln rueda en la que se apoya Qes de inercia
despreciable. Determinar:
l. La ecuación del movimiento para la
coordenada x.
2. Los valores máximo y mínimo del
coeficiente de rozamiento 11 pura que el
bloque pueda permanecer en reposo.
Para Jos valores L=O,5 m~ h::::O,2 m;
0:=21 ,8D; ]1=0.5 determinar:
3. La posición de equilibrio xc·
4. La frecuencia, en Hz, de las
oscilacioncs alrededor de la posición
de equilibrio.
8.P PROBLEMAS 273
8.13 La placa en forma de triángulo
isósceles es homogénea y tiene incoI1'oradas
dos poleas que se apoyan sobre el soporte
circular fijo situado en un plano vertical. En
la proyección sobre el plano de la figura
coinciden el centro de inercia G del
triángulo y el centro O del soporte circular.
Las poleas giran respecto a la placa
-impulsadas por un accionamiento no
representado en la figura- con las
velocidades <p de sentidos opuestos
indicadas. El valor de <p es suficientemente
elevado para garantizar que el deslizamiento
en P y Q. entre las poleas y el soporte, tenga
siempre el mismo sentido.
independientemente del movimiento de la
placa al variar el ángulo 8. Entre las poleas y
el soporte hay rozamienlo seco de
;, ,.' ; l' .' coeficiente flp en P i JlQ en Q.
Son despreciables las masas de las poleas y de Jos elementos del accionamiento que las impulsa
(no representado). Determinar:
1. Las fuerzas normales de enlace que las poleas reciben en P y Q.
2. La condición que han de verificaqlp y JlO para que no se produzca acuñamiento (que
impediría el movimiento del sistema al no permitir el deslizamiento entre poleas y soporte).
3. El intervalo de valores de epara los que se mantiene el contacto de las poleas con el soporte.
4. La ecuación del movimiento para la coordenada eyla posición 8e de equilibrio.
5. Para flrJlO=fl, el período de las pequeñas oscilaciones alrededor de la posición de equilibrio
8=0.
fuerzas de interacción
con el aire
8.14 En el sistema de la figura, el soporte
se traslada horizontalmente con vclocidad
constante v. El sólido de masa m está
articulado al soporte con eje horizontal,
normnl al plano del dibujo, que pasa por O.
El muelle actúa entre el punto p. fijo al
soporte, y el punto Q del sólido, mediante el
hilo que pasa por Q' y la polea auxiliar; para
9=0 el muelle está estirado con tensión To·
El rozamiento en Q' y en las m1iculaciones,
y la inercia de la polea son despreciables. El
aire ejerce sobre el sólido las fuerzas
indicadas en la figura. Detennlnar:
l. La velocidad de traslación del soporte "o
para la que el sólido deja de apoyarse en
Q'.
2. La ecuación del movimiento.
3. El mínimo valor, kmill, de la constante k
del muelle para que en V=Vo, la posición
8=0 sea estable.
4. Si To=O, k>kmin y v>vo, ¿cuál es la
posición Se de equilibrio?

,
1 1
,
c.'
'o
i.r; I
r.
¡-,
¡j', '1
1
,
8.15 El sólido de la figura está constituido
por una placa rectangular doblada a 90° y
tiene masa m. El sólido se hace deslizar
sobre un plano horizontal liso con el que
siempre mantiene contacto únicamente en los
puntos P. P' y Q. Determinar:
l. ¿Cuáles son las reacciones normales en
P, P' y Q en reposo,?
2. Cuando el sólido desliza libremente
sobre el plano, ¿cuáles son las reacciones
nom1ales en P, P' y Q?
8.16 En el sistema de la figura, la placa
triangular homogénea de masa m puede girar
libremente alrededor del eje horizontal ss'
normal a su plano. El vértice P se apoya
sobre una superficie lisa cilíndrica con
normal en el punto de contacto que coincide
con la dirección PQ.
El eje ss' gira, arrastrado por la horquilla,
alrededor del eje vertical fijo que pasa por O
y P. Detenuinar, utilizando la base indicada
cuando convenga,
l. La fuerza de enlace y el momento de
enlace respecto a O que la placa recibe de
la articulación. (denominar N a la fuerza
normal de enlace que la placa recibe en
n
2.. El módulo de la fuerza normal de enlace
que la placa recibe en P. ¿Cuál es la
máxima velocidad de rotación que puede
tener la placa para que mantenga contacto
en P?
8.17 La placa rectangular homogénea está
suspendida de una gr~a de la fom1a indicada
en la figura. Inicialmente la placa está en
reposo y~ dos operarios, actuando sobre los
vértices P y Q, la hacen girar con velocidad
anO'ular constante alrededor del cable, que se
m:ntiene siempre vertical. Determinar,
utilizando la base indicada cuando convenga,
l. El momento resultante respecto al centro
de la placa de las fuerzas que ejercen los
operarios.
2. La fuerza que ejerce el operario que
actúa sobre P.
3. La tensión del cable de la grúa.
cable
vertical
2'
2
~g
8.P PROBLEMAS 275
8.18 La plac:! homogénea de la figura, que
tiene forma de triángulo equilátero, está
suspendida, por el punto medio O del lado
horizontal QQ', de un cable vertical a través
de una rótula esf¿rica. El vértice P se apoya
sobre un plano horizontal con rozamiento
seco de coeficiente ¡
..l. El plano de la placa
forma un ángulo a. con el plano del suelo.
Dos personas actúan para mantener constante
la velocidad angular no de la placa alrededor
del eje vertical que pasa por O. La persona
que actúa sobre Q' estira mediante una cuerda
que mantiene horizontal y perpendicular al
lado QQ'. La persona que actúa sobre Q
aplica la fuerza (únicamente fuerza) necesaria
para garantizar el movimiento previsto.
Determinar:
1. El momento resultante respecto a O de
todas las fuerzas que actúan sobre la
placa.
2.' La fuerza vcrtical N que la placa recibe
del suelo en P y la tensión T de la cUt:rda
unida a Q'.
8.19 La placa del sistema de la figura, en
forma de triángulo rectángulo, homogénea y
de masa m, está unida por el vértice O al
soporte móvil mediante las articulaciones de
ejes e-e' y q-q'. La horquilla es de masa
despreciable y entre ella y el soporte actúa un
muelle torsional de constante k que para 9=0
no tiene tensión. Las resistencias pasivas en
las articulaciones son despreciables. El
vértice P desliza sobre el plano horizontal y
entre él y el plano hay un rozamiento viscoso
de constante c independiente de la fuerza
normal. El soporte tiene movimiento de
translación rectilínea con celeridad constante
vo' Detemunar:
l. La expresión de las compont:ntes de la
1, fuerza de fricción que actúa sobre la
placa en P.
2. La ecuación del movimiento para el
ángulo 9.
3. La expresión. en función de 8 y é, de la
fuerza normal de enlace que la placa
recibe del suelo en P.
4. El valor de Yo a partir del cual la
rozomientoviscoso posiciól1 de equilibrio 96=0 pasa a ser
constante e inestable.

8.20 La moto con
esquematizada en la figura, que
tres ruedas iguales, tiene el eje
rued8 del sidecar avanzado
distanciu s respecto al de la
trasera. La moto descrita recorre
g
9 curva con 8 constante y con ce.leI'idai:Í,,:
del centro A de la rueda
constante, sin que la rueda motriz
rueda directriz (de centrO C)
sobre el suelo. Se considera que
rueda directriz y la del sidecar Son
inercia ctespreciabley que sobre ou¡",ue",.;¡,,¡i'¡'¡i+:/iY,:
actúa ningún freno ni fricción en el eje.
El sidecar se esquematiza mediante la
placa triangular delgada y homogénea ',i1~,):j/n¡
representada en la figura, y se considera
que la su posición respecton! cuadro de
la moto se mantiene constante.
Detem1inar en función de v y 8:
1. La rotación y la velocidad
derrape de la rueda del sidecar.
2. La descripción del sistema de
fuerzas que hay que considerar,
para 9>0, que las ruedas reciben del
suelo en el planteamiento de los
teoremas vectoriales al sistema
moto-sidecar.
3. Determinar la re!'iultante del sistema de fuerzas de enlace que el sidecar recibe de su sopone.
4. Determinar cl momento resultante, respecto al punto Q, del sistema de fuerzas de enlace quc
el sidecar recibe de su soporte.
o ete 8.21 En el sistema de la figura, los
extremos P y Q de la barra deslizan sin
rozamiento sobre el soporte circular. Éste gira
con velocidad angular Q constante alrededor
de su di.ámetro vertical que es fijo. El ángulo
POQ es de 120°. Determinar:
coordenada 8.
2. Las componentes, normales al plano del
soporte de las fuerzas de enlace que la
barra recibe en P y en Q.
3. El par motor necesario por garantizar .o.
constante.
8.P PROBLEMAS 277
'''Vyorjp g~atorio
8.22 En el sistema de la figura, el sólido
rígida de masa m es plano. contenido en el
plano 2-3, y simétrico respecto al eje 3. Este
sólido puede girar sin rozamiento alrededor
del eje 1 respecla al soporte giratorio.El
soporte gira con velocidad angular constante
Q alrededor del eje vertical que pasa por O,
gue es fijo. Detemúnar:
3
coordenada e.
2. Las componentes, en la base indicada,
del momento de enlace en O que el
sólido recibe del soporte.
3. El par matar necesario p1lra gamntizar.Q
constante.
4. Ln estabilid1ld de la posición 9=0.
diámetro
( horizontal
~~---"- 1= l'
'l'
.~ dirección
horizontal fijo
8.23 El sólido rígido de la figum está
compuesto por un anillo y una partícula
P situada sobre el eje del anillo, ambos
de masa m. Los elementos de unión son
de masa despreciable. El punto O del
sólido está fijado mediante U01l rótula
esférica de centro O y el anillo mantiene
contacto con deslizamiento con el
plano horizontal fijo. Entre el anillo y el
plano hay rozamiento seeo de
coeficiente 1.1. Las otras resistencias
pasivas son despreciables. Determinar
pa¡~ 1j!>O y 'Í'>O:
1. La fuerza resultante y el momento
resultante en O del sistema de
fuerzas que recibe el sólido en
función de O/, cp y sus derivadas.
(Se sugiere utilizarla base 113 en el
Teorema de la Cantidad de
Movimiento, y la base 1'2'3' en el
Teorema del Momento Cinético).
2. Las ecuaciones del movimiento para
las coordenadas I.V y <p, así como la
fuerza normal en Q.
8.24 A parti~ de un cierto instante, el sólido del problema 8.23 deja de desli~rsobre el p~ano.. ~l
rozamiento entre el anillo y el plano es nulo en la dirección radial pero es suficiente en la d¡reCClon
tangencial para evitar el deslizamiento. Detenninar:
1. La ley de la celeridad '(t) de P.
2. Lns componentes en la base 123 de las fuerzas de enlace que el :mil!o recibe en Q y en Q.

~,':.
eje
¡e,
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I~;;
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278 TEOREMAS VECTORIALES S.E
8.E ENIGMAS
8.25 En el mecanismo repre",",.d;
en la figura, el sólido C~~:~~~~~'~!~;,
cilindra con un brazo está
Q al soporte respecto al
girar libremente alrededor del
s,oporte es solidario al eje que gw' can}
6 constante, La masa del soporte
rozamiento en las articulaciones
despreciables. Determinar:
l. La ecuación del movimiento para
coordenada cp.
2. Las componentes, en la base 1'2' 3'
de la fuerza de enlace que el Drazo "~,e,
recibe del soporte.
3. El par motor que actúa ~obre el
giratorio para mantener 6 Constante. ::,!'~l,~,:'l!,¡!i:i'
1 4 . Si se prescinde de la gravedad g, :,
¿cuál es la frecuencia de las
pequeii.as oscilaciones alrededor de
cp=O?
8.1 El enigma de la barca y el barquero:
Inicialmente barca y barquero El barquero quiere bajar
están en reposo. La barca y al avanzar a lo largo de
toca el muelle y el barquero la barca ve que ésta se
está en la popa, desplaza hacia atrás.
Cuando llega a la proa
se detiene y ve que la
barca también se para
pero demasiado lejos
del muelle para bajar.
¿Podrá bajar sin pedir auxilio o recorrer a los medios de
propulsión de la barca (motor, remos, vela)?
S.E EN)GMAS 279
u.
El "soka-tira" del País Vasco es la clásica competición de dos equipos
que tiran de una cuerda y gana el que consigue arrastrar al otro.
Si la masa de la cuerda es despreciable, la fuerza conjunta de cada
equipo sobre la cuerda tiene el mismo valor.
Entonces...¿por qué unos ganan y otros pierden?
8.3 El enigma de la hélice de tres palas:
En la primera época de la aviación las
hélices eran de 2 palas (y aún lo son en
las avionetas). Pero más adelante se
prefirieron las hélices de 3 palas.
¿Encuentras alguna justificación
mecánica (no aerodinámica) para
ello?
8.4 El enigma de las oscilaciones de una escuadra:
~g
no oscila bién
Una escuadra se suspende de uno de
sus vértices agudos, en torno al cual
puede girar libremente.
A partir del reposo en la posición de
equilibrio representada, se observa
que puede oscilar bien alrededor del
eje horizontal perpendicular a la escua-
dra, y que no oscila bien alrededor del
eje horizontal contenido en su plano.
¿Qué justificación encuentras
para ello?

280 TEOREMAS VECTORIALES S.E
gma de las curvas en moto:
¿En qué sentido debes
empujar el manillar
para entrar y salir de la curva?
CAPíTULO 9
TEOREMA DE LA ENERGíA
El teorema de la energía, al referirse a una magnitud -fa energfa- que también se define
en otras ramas de la física -electricidad, termodinámica, fisicoquímica, ...- hace de puente
de unión entre la mecánica y el resto de la física. Introduce los conceptos nuevos de
elIerg{a cinética y energfa pOlel1cial, y de trabajo)' potencia realizados por Ulla
fuerza.
Tiene un cierto paralelismo con los teoremas vectoriales, porque también evalua el
cambio de una magnitud asociada a un sistema mecánico -la energía cinética- mediante
una magnitud asociada a las fuerzas -el trabajo realizado por éstas-, aunque, mientras los
teoremas vectoriales conducen a una integración en el tiempo de las fuerzas y sus
momentos, el teorema de la energía conduce a la integración de las fuerzas a lo largo de
la trayectoria del punto de aplicación, es decir, a la integración en el espacio.
Sin embargo hay diferencias significativas respecto a los teoremas vectoriales. Las
magnitudes que relaciona son escalares en lugar de vectoriales, cosa que atenua las
dificultades derivadas del uso de bases vectoriales. Otra diferencia notable es que la
intervención de las fuerzas interiores, en principio, no es nula como en los teoremas
vectoriales. Ello hace que la aplicación del teorema de la energía sea más delicada que la
de los vectoriales por el riesgo de olvidar la participación de alguna fuerza interior.
El teorema de la energía suele utilizarse para la determinación de las magnitudes que
le son específicas: cambios de energía cinética, trabajo y potencia de las fuerzas, aunque
en sistemas de un único grado de libertad constituye un método alternativo para hallar
la ecuación del movimiento.
Sin embargo, a diferencia de los teoremas vectoriales, el teorema de la energía no es
adecuado como método general para hallar las ecuaciones del movimiento y fuerzas de
enlace en sistemas de varios grados de libertad. A causa de esta utilización distinta, el
teorema de la energía se aplica preferentemente en forma integrada.
281

f::I·!
~.. :
282 TEOREMA DE LA ENERGiA 9.1
9.1 EL TEOREMA DE LA ENERGíA. ENERGíA CINÉTICA. TRABAJO y,
POTENCIA DE LAS FUERZAS
Para un sistema de materia constante, el teorema de la energía establece que
incremento finito de su energ{a cinética TR.G~I(sist) en una referencia galileana,
dos estados 1 y 2 del sistema, es igual al [mol/jo ::Esis(WR.G:lI[F(P)] que las fuerzas
actúan sobre las partículas realizan a lo largo de las trayectorias de éstas
R.Gal
Flg. 9.1.1
SiSI
sistema de
materia ele
trayectoria j
de Pen R
(1)
con
TR.G,' (sist) '" L:..I,m p v~.G,' (P), (2)
SiSl2 .
,
WR.G,' [F(P)1'"cjiF(P) ds R.G,' (P), (3)
donde f es la integrai curvilínea a lo largo de
la trayectoria de P y
dS R.G" (P) '" V R.Gol (P)dt. (4)
El trabajo de una fuerza en una referencia
es pues la circulación del vector fuerza a lo
largo de la trayectoria, relativa a la referencia,
recorrida por la partícula sobre la que actúa.
Las Ecs.(2) y (3) ponen de manifiesto el
carácter relativo a la referencia tanto de la
energía cinética como del trabajo de las
fuerzas.
A diferencia de los teoremas vectoriales, en
el teorema de la energía intervienen, en principio, las fuerzas interiores porque el valor de
su trabajo no es necesariamente nulo, aunque globalmente es independiente de la
referencia, Como se expone en la sección 9.5.
oTo Demostración. Para cada panícula P del sistema, Fig,9.1.1, el producto escalar de los
vectores que intervienen en la ecuación de la dinámica por el vector
dSR.Gul(P)O;¡VR.Gul(P)dt conduce a
m pa R.G,,' (P)v R.G,' (P)dt ~ ¿ F(P)· ds R.G,' (P).
p
En esta ecuación el término del primer miembro es el diferencial exacto
m p3 R.Gul (P)v R.Gal (P)dt = m p v R.Gul (P)· dv R.GnJ (P) =
~ d[~mp v~.G,'(P)] '" dTR.G" (P).
(5)
(6)
9.2 DESCOMPOSICiÓN BAR1CENTRJCA DE LA ENEAG(ACINETICA 283
·La· sustitución de la Ec.(6) en la Ec.(5) y la integración entre los estados 1y 2 establece
para cada partícula
· 2 2
ATR.G"' (P)J, ~ J¿ F(P)· ds R.G,' (P). (7)
, p
La Ec.(7) expresa el teorema de la energía cinética para una partícula. La Suma de
esta ecuación para todas las partículas del sistema conduce a la Ec.(l). .;.
Aunque usualmente el teorema de la energía se utilice en versión integrada, también se
puede utilizar en versión instantánea. Por derivación temporal de la Ec.(l), previa
sustitución de las Ecs.(3) y (4), se obtiene
(8)
sist ~iSI
El producto escalar F(P)vR.GnJ(P) se denomina potencia de F(P), VI. en la R. Gal.
Las ecuaciones (1) y (8) ponen de manifiesto otra diferencia significativa entre el
teorema de la energía y los teoremas vectoriales. En el teorema de la energía no sólo la
energía TR, sino también su cambio .ó.TR, o velocidad de cambio TR, son en principio
distintas en dos referencias galileanas porque el trabajo o la potencia de las fuerzas lo
son, En los teoremas vectoriales, D y OK (y de manera sim.i.larse; razonarla para BK y
GK) son distintos en referencias galileanas distintas, pero Dy OK -o bien Lill y ~OK
son independientes de la referencia galileana porque LsistFt:xt Yl:M<!Xl(O) lo son -o sus
impulsos-o
9.2 DESCOMPOSICiÓN BARICÉNTRICA DE LA ENERGíA CINÉTICA
R
RTG
sistema
Flg. 9.2.1
La energía cinética de un sistema en una
referencia R admite la descomposición
baricéntrica,
TR (sisl) ~ T,f (sist) +TRTG (sisl) '"
~TJr:JS(sist)+T:Ol(sist), (1)
de manera que puede calcularse como
suma de la energía cinética en R de tota la
masa concentrada en el centro de inercia G
del sistema -denominada energhl cinética
de traslación del sistema- más la energía
cinética del sistema en la referencia que se
traslada con G respecto a R -denominada
el1erg(a cinética de rotacióll del sistema.
.;.Dernostracióu. Las velocidades de P en R yen la referencia RTG que se traslada con
G, Fig. 9.1.1, están relacionadas mediante

264 TEOREMA DE LA ENERGIA 9.3
(2)
La sustitución de esta relación en el expresión de TR(SÍst) conduce a
(3)
En el segundo miembro de la Ec.(3) la primera suma es TRTG(sisr), la segunda es TR
$(sist)'
y la tercera es nula por la propiedad característica del centro de inercia (Ec.7.!.3).
9.3 EL TEOREMA DE LA ENERGíA PARA UNA REFERENCIA QUE SE
TRASL'<;DA RESPECTO A UNA GALILEANA, TEOREMA DE LA
ENERGIA PARA LAS ENERGíAS CINÉTICAS DE ROTACiÓN Y DE
TRASLACiÓN
R.Gal
1;;,(P)=-mp aR.Ga,(B)
r--, sistema
RTB
Flg.9.3.1
Una referencia que se traslada respecto a
una galileana es, en principio, no
galileana a causa de la aceleración
galileana de sus puntos, y al plantear en
ella el teorema de la energía hay que
considerar las fuerzas de inercia
correspondientes. Ahora bien, al tratarse
de un campo uniforme de fuerzas
proporcionales a la masa de las partículas,
el trabajo realizado por todas ellas es
equivalente al de la resultante aplicada
en el centro de inercia G.
Así para la referencia RTB que se
traslada con origen en B, Fig.9.3.l, el
teorema de la energía toma la forma,
T,ns (sist)l~ = ¿: WRTB [F(P)]; + WRTB [-(¿: m p)a R,G" (B)aplicada a O]'. (1)
~ ,
.r. Demostración. Las fuerzas de inercia se reducen a la fuerza de arrastre
:T(P)=-mp3R,Gal(B). El trabajo resultante realizado por todas ellas es
(2)
9.3 EL TEOREMA DE LA ENERGfA PARA UNA REFERENCIA QUE SE TRASLADA RESPECTO A UNA... 265
",,""',' "pero a causa de la relación de velocidades VRTB(P)=VRTG(P)+VRTB(O), se verifica
ds RTB (P) =ds RTG (P) + ds RTB (O). (3)
La sustitución de la Ec.(3) en la Ee.(2) conduce a
En el segundo miembro la primera suma es nula a causa de la propiedad
característica del centro de inercia (Ec.7.!.3) y la segunda es igual al trabajo de la
resultante de las fuerzas de inercia, -( L sist mp)aR.Gul(B), aplicada en G. .r.
R.Gal
Fig. 9,3.2
Teorema de la energía para la energía
cinética de rotación. Si la referencia se
traslada con G, Fig.9.3.2, el trabajo de la
resultante de las fuerzas de inercia,
-(2::sistITlp)aR,Gul(G), aplicada en G es nulo,
de manera que en el teorema de la energía
sólo intervienen las fuerzas de interacción.
6TRTG(Sjst)]~ =6Trt(sist)]~::::
= ¿: WRTdF(P)]]'. (5)
51St I
Asípues, el incremento de energía cinética de rotación es igual al trabajo realizado en la
RTG por el mismo sistema de fuerzas a considerar en la referencia galileana, aunque el
trabajo realizado por cada fuerza es en principio distinto en las dos referencias.
Teorema de la energía para la energía cinética de traslación. El incremento de la
energía cinética de traslación en la R.Gal es igual al trabajo realizado, en la R.Gal, por la
resultante de las fuerzas de interacción exteriores aplicada en G:
LlTl~~~,(sist)l: = f[IF"I(P)].dSR.O"(G),,
I Slst
" WR.O" [IF"l (P) aplicada a oJ'
SISt 1
(6)
.;. Demostración. Se puede demostrar a pnrtir de In diferencia de las ecuaciones (9.1.1) Y
(5), teniendo en cuenta la Ec. (9.2.1), o bien integrando la ecuación del Teorema de

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