Este documento presenta el procedimiento experimental para estudiar el movimiento de un péndulo simple en un laboratorio de física. Describe tres experimentos para investigar cómo el período de oscilación de un péndulo depende de la amplitud, la masa y la longitud, manteniendo los otros factores constantes. Explica la teoría del movimiento armónico simple de un péndulo y cómo se puede usar para determinar el valor de la gravedad experimentalmente. El objetivo es verificar experimentalmente las fórmulas teóricas para el período de un pénd

1. Manual de Prácticas de Laboratorio de Física II PENDULO SIMPLE Optaciano Vásquez G. 2016
1
Universidad nacional
“SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO”
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS
SECCIÓN DE FÍSICA
MANUAL DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO DE FISICA II
PRACTICA N° 02 “PENDULO SIMPLE”
AUTOR:
M.Sc. Optaciano L. Vásquez García
HUARAZ - PERÚ
2016

2. Manual de Prácticas de Laboratorio de Física II PENDULO SIMPLE Optaciano Vásquez G. 2016
2
UNIVERSIDAD NACIONAL FACULTAD DE CIENCIAS
“SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO” DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
SECCIÓN DE FISICA
CURSO: FISICA II
PRACTICA DE LABORATORIO Nº 2.
PENDULO SIMPLE
I. OBJETIVO(S)
1.1. Objetivos Generales
 Comprender el origen físico de la ecuación diferencial del oscilador armónico simple
 Estudiar las oscilaciones del péndulo y determinar las simplificaciones que deben hacerse para que
dichas oscilaciones puedan ser descritas como un movimiento armónico simple
1.2. Objetivos Específicos
 Investigar la dependencia del período T de un péndulo simple de su longitud L y la masa m de la masa
pendular.
 Mostrar que el período T de un péndulo depende significativamente de la amplitud angular de la
oscilación para ángulos grandes, pero que la dependencia es insignificante para pequeñas amplitudes
angulares de oscilación.
 Determinar experimentalmente el valor de la aceleración de la gravedad g en el laboratorio
comparando el período de un péndulo simple medido con la predicción teórica.
II. MARCO TEÓICO Y CONCEPTUAL
El péndulo simple o péndulo matemático es un sistema mecánico que exhibe movimiento periódico oscilatorio.
El péndulo simple consiste en una esfera considerada puntual de masa m suspendida de un punto fijo mediante
una cuerda larga, flexible e inextensible de longitud L y masa despreciable en comparación con la masa de la
esfera, como se muestra en la figura 2.1a.
(a) (b)
Figura 2.1. (a) Representación de un péndulo simple, (b) diagrama de cuerpo libre de m.
APELLIDOS Y NOMBRES................................................................................................ ……. CODIGO..........................FECHA..................
FACULTAD................................................... ESCUELAPROFESIONAL............................................. ... GRUPO.......................
AÑO LECTIVO: ................................... SEMESTRE ACADEMICO................................. .NOTA................................
DOCENTE............................................................................................................ FIRMA.....................................

3. Manual de Prácticas de Laboratorio de Física II PENDULO SIMPLE Optaciano Vásquez G. 2016
3
Si la masa m se desplaza un ángulo pequeño θ a partir de la posición vertical y se libera desde el reposo se
observa que la esfera describe un movimiento armónico simple siempre y cuando se desprecie la fricción entre
ella y el aire.
Del diagrama de cuerpo libre de la partícula de masa m se observa que sobre ésta actúan: la tensión 𝑇⃗ , a lo largo
del hilo y el peso 𝑊⃗⃗⃗ = 𝑚𝑔 de la masa pendular. La componente tangencial del peso 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃siempre se
encuentra dirigida hacia la posición de equilibrio, de dirección opuesta al desplazamiento 𝑠. Por tanto, la fuerza
tangencial es una fuerza de restitución, de tal manera que cuando se aplica la segunda ley de Newton en
dirección tangencial, se tiene
t tF ma (2.1)
2
2
d s
mgsen m
dt
  (2.2)
Donde 𝑠 es el desplazamiento medido a lo largo del arco de circunferencia descrito por el péndulo y el signo
negativo (-) indica el hecho de que la componente tangencial 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 actúa en dirección opuesta al
desplazamiento (es decir está dirigida hacia la posición de equilibrio). Por otro lado la magnitud del
desplazamiento es 𝑠 = 𝐿𝜃, siendo la longitud del péndulo L constante, la ecuación 2.1 se escribe
 2 2
2 2
d L d
m mL mgsen
dt dt
 
   (2.3)
0
g
sen
L
  && (2.4)
Esta es ecuación diferencial no lineal, cuya solución exacta es un desarrollo en serie de infinitos términos. Sin
embargo, si las oscilaciones son pequeñas, es decir el ángulo θ es pequeño, se puede utilizar la aproximación
𝑠𝑒𝑛𝜃 ≅ 𝜃, donde el ángulo θ se expresa en radianes. Por lo tanto la ecuación diferencial (2.4) se escribe
0
g
L
  && (2.5)
La ecuación (2.3) es la ecuación deferencial de un movimiento armónico simple, es decir, m describe un
Movimiento armónico simple (M.A.S. y la solución de la ecuación (2.5) es de la forma
 0sen t     (2.6)
Donde θ0 es el máximo desplazamiento angular, φ es el desfasaje y ω es la frecuencia natural circular, la misma
que queda expresada como
2 g
T L

   (2.7)
El período del movimiento pendular está dado por

4. Manual de Prácticas de Laboratorio de Física II PENDULO SIMPLE Optaciano Vásquez G. 2016
4
2
L
T
g
 (2.8)*
Donde L es la longitud medida desde el punto de suspensión hasta el centro de masa de la esfera y g es la
aceleración de la gravedad local. Debe observarse además que la masa m de la esfera y la amplitud máxima de
las oscilaciones θ0, no aparecen en esta expresión. El período de un péndulo (dada nuestra hipótesis) no es
dependiente de m y θ0 al menos de acuerdo a la teoría. Sin embargo, si nuestras hipótesis no se aplican al estudio
del péndulo (el cable es pesado, la esfera tiene una gran y complicada forma, la amplitud es grande, etc), podría
esperarse que esta fórmula no predice correctamente el período del péndulo.
Una investigación científica correcta trata de incluir todos menos uno de los factores que influyen
constantemente. Los factores que permanecen constantes son llamados controles. El único factor que cambia
durante la experimentación se llama variable independiente. La propiedad del sistema físico que se mide para
determinar el efecto de cambio de la variable independiente es llamada variable dependiente. Si logramos
mantener todos los demás factores constantes, cualquier cambio en el resultado de un experimento debería
provenir de la variable independiente. De este modo, tratamos de dejar fuera los efectos individuales que cada
uno de los factores ejerce sobre el fenómeno que estamos estudiando. Así por ejemplo si la amplitud de
oscilación es grande, el período queda expresada por la ecuación
2 41 9
2 1 .................
4 2 64 2
L
T sen sen
g
 

    
      
    
(2.9)
En este experimento, Ud. podrá determinar experimentalmente la validez de las fórmulas teórica para el período
(T) de un péndulo simple. Va a estudiar la forma en que el período de un péndulo simple (la variable
dependiente) es afectada cuando se varía tanto la masa m de la esfera, así como la amplitud θ0 de las
oscilaciones, o la longitud L del péndulo (la variable independiente) y manteniendo los otros factores (los
controles) constantes. También se utilizará los resultados de estos experimentos para medir el valor de la
aceleración de la gravedad g experimentalmente.
III. MATERIAL A UTILIZAR
3.1. Un soporte universalcon dos varillas de acero y una nuez.
3.2. Una prensa.
3.3. Una regla graduada en mm.
3.4. Un kit del péndulo simple.
3.5. Un cronómetro.
3.6. Un nivel de burbujas.
3.7. Un vernier
3.8. Una balanza
IV. METODOLOGÍA
4.1 EXPERIMENTO 1. Investigación de la dependencia del período (T) de la amplitud de la
oscilación (θ0).
En este experimento se trata de medir los períodos (Ti) del péndulo para diversas amplitudes θi,0,
manteniendo una longitud (L) fija así como una masa también constante m1 durante el experimento y
representar en una gráfica la relación entre ambos. Para ello se sigue el siguiente procedimiento.
a) Utilizando la esfera de acero, realice la instalación mostrada en la figura 2.2b. En la parte superior,
el hilo debe amarrarse de tal manera que se pueda cambiar la longitud con facilidad.

5. Manual de Prácticas de Laboratorio de Física II PENDULO SIMPLE Optaciano Vásquez G. 2016
5
b) Fije la longitud L del péndulo a un valor de 1 m aproximadamente midiendo la longitud del hilo con
la regla y con el vernier el diámetro de la esfera (𝐿 = 𝐿ℎ𝑖𝑙𝑜 + 𝑅 𝐸). Registre dicho valor con su
respectivo error.
c) Con la balanza mida la masa m de la esfera. Registre dicho valor con su respectivo error
d) Desplace lateralmente a la masa pendular m un ángulo de 5° a partir de la posición de equilibrio y
libérela desde el reposo, midiendo el ángulo con un transportador.
(a) (b)
Figura 2.2. (a) Péndulo simple del laboratorio, (b) Instalación del péndulo simple
e) Con el cronómetro mida el tiempo requerido para 10 oscilaciones. Repita este paso por tres veces y
registre sus datos en la tabla I.
f) Determine el período del péndulo para dicho ángulo usando la ecuación ( 𝑇 = 𝑡 𝑛⁄ ), donde t es el
tiempo y n el número de oscilaciones.
g) Repita los pasos (d), (e) y (f) para ángulos de 10°, 15°, 20°, 25° y 30°. Ordene los datos en la tabla I
y haga una gráfica representando el período en función de la amplitud.
Tabla I. Relación período (T) – amplitud de oscilación (θ0) para el movimiento pendular.
Experimento I: L =L0 ± ΔL =…………..± ………….; m = mo ± Δm =……………..±…………
Amplitud Tiempo (s) Período promedio
t1 t2 t3 T1 T2 T3 Tpromedio
5°
10°
15°
20°
25°
30°
4.2 Experimento II. Investigación de la dependencia del período (T) de la masa (m) del péndulo.
En este experimento se trata de medir los períodos (Ti) del péndulo para diversas masa mi manteniendo
constantes la amplitud θ0 y la longitud (L) durante todo el experimento y representar en una gráfica la
relación que aparece entre el período y la masa del péndulo. Para ello se sigue el siguiente
procedimiento.
a) Utilizando la esfera de acero, realice la instalación mostrada en la figura 2.2b.

6. Manual de Prácticas de Laboratorio de Física II PENDULO SIMPLE Optaciano Vásquez G. 2016
6
b) Fije la longitud L del péndulo a un valor de 1 m aproximadamente midiendo la longitud del hilo con
la regla y con el vernier el diámetro de la esfera (𝐿 = 𝐿ℎ𝑖𝑙𝑜 + 𝑅 𝐸). Registre dicho valor con su
respectivo error.
c) Con la balanza mida la masa m de la esfera. Ristre su valor con su respectivo error en la Tabla II.
d) Considere una amplitud constante midiendo con el transportador un ángulo entre 𝜃 ≅ 5° − 10°.
Registre el valor escogido en la Tabla II.
e) Desplace lateralmente a la esfera hasta el ángulo escogido y déjela oscilar libremente.
f) Mida el tiempo que demora la esfera en dar 10 oscilaciones. Registre sus valores en la Tabla II.
g) Determine el período del péndulo para dicho ángulo usando la ecuación ( 𝑇 = 𝑡 𝑛⁄ ), donde t es el
tiempo y n el número de oscilaciones
h) Repita los pasos desde (a) hasta (g) para las demás esferas. Registre sus valores en la Tabla II.
Tabla II: Relación período (T) – masa (m) para el movimiento pendular
Experimento II: L = L0 ± ΔL =…………..± ………….; 𝜽 𝟎 = 𝜽o ± Δ𝜽 𝟎 =……………..±…………
Masa (g)
Tiempo (s) Período promedio
t1 t2 t3 T1 T2 T3 Tpromedio
4.3 Experimento III. Investigación de la dependencia del período (T) de la longitud (L) del péndulo.
En este experimento se trata de medir los períodos (Ti) del péndulo para diversas masa Li manteniendo
constantes la amplitud θ0 y la masa del péndulo m durante todo el experimento y representar en una
gráfica la relación que aparece entre el período y la longitud del péndulo. Para ello se sigue el siguiente
procedimiento.
a) Utilizando la esfera de acero de mayor diámetro, realice la instalación mostrada en la figura 2.2b.
b) Con la balanza mida la masa m de la esfera. Ristre su valor con su respectivo error en la Tabla III.
c) Considere una amplitud constante midiendo con el transportador un ángulo entre 𝜃 ≅ 5° − 10°.
Registre el valor escogido en la Tabla III.
d) Fije la longitud L del péndulo a un valor de 1,20 m aproximadamente midiendo la longitud del hilo
con la regla y con el vernier el diámetro de la esfera (𝐿 = 𝐿ℎ𝑖𝑙𝑜 + 𝑅 𝐸). Registre dicho valor con su
respectivo error en la tabla III.
e) Desplace lateralmente a la esfera hasta el ángulo escogido y déjela oscilar libremente.
f) Mida el tiempo que demora la esfera en dar 10 oscilaciones. Registre sus valores en la Tabla III.
g) Determine el período del péndulo para dicho ángulo usando la ecuación ( 𝑇 = 𝑡 𝑛⁄ ), donde t es el
tiempo y n el número de oscilaciones
h) Repita los pasos desde (a) hasta (g) para las demás longitudes. Registre sus valores en la Tabla III.
Tabla III: Relación período (T) – longitud (L) para el movimiento pendular
Experimento I: 𝜽 𝟎 = 𝜽o ± Δ𝜽 𝟎 =…………..± ………….; m = mo ± Δm =……………..±…………
Longitud (m)
Tiempo (s) Período promedio
t1 t2 t3 T1 T2 T3 Tpromedio
1,20
1,10
1,00
0,90

7. Manual de Prácticas de Laboratorio de Física II PENDULO SIMPLE Optaciano Vásquez G. 2016
7
0,80
0,70
0,60
0,50
4.4 Modelo matemático
En las secciones anteriores pudimos encontrar que el período de un péndulo depende de su longitud
pero no de su masa. Ahora vamos a tratar de determinar de qué manera el período depende de la
longitud de péndulo. Para entender detalladamente como el período y la longitud están relacionados
necesitamos construir un modelo matemático. En esta ecuación nuestro modelo sería una ecuación que
exprese la relación detallada entre el período del péndulo y la longitud del mismo. Tendremos en cuenta
dos modelos para evaluar cómo el período del péndulo está relacionado con su longitud.
 Modelo lineal: 𝑇 = 𝐴𝐿 + 𝐵, donde A y B son constantes.
 Modelo cuadrático: 𝑇2
= 𝐶𝐿 + 𝐷, donde C y D son constantes.
Nuestro objetivo es determinar dos cosas
 Primero: ¿Ninguno de los dos modelos describen correctamente los datos (dentro de las
incertidumbres)?
 Segundo: en caso afirmativo, ¿cuáles son los valores de las constantes en el modelo?
Para evaluar la situación presentada construimos dos gráficas usando el programa Excel. Una será una
gráfica de T (en el eje de las y) frente a L (en el eje de las x). El modelo lineal predice que los datos se
encuentran a lo largo de una línea recta en un gráfico T vs L. El segundo gráfico corresponde a una
relación T2
vs L. El modelo cuadrático predice que los datos podrían fijarse sobre una línea recta en el
gráfico T2
vs L. Para construir estos gráficos abra el programa Excel y construya una tabla de datos con
columnas para L, T y T2
. Graficando los puntos cada vez que midió el período (tal que para cada
longitud podría graficar tres valores del período). A continuación puede crear las gráficas T vs L y T2
vs
L y usando el Excel construir la “mejor línea recta” (la recta que mejor se ajusta a los datos
experimentales). Debe estar seguro además que las unidades han sido utilizadas adecuadamente y que
la línea recta es graficada adecuadamente y a partir de ella se obtiene el coeficiente de regresión lineal
así como la ecuación de la recta de ajuste que no permita determinar la pendiente y las intersecciones
con los ejes coordenados.
4.5 Cálculo de la aceleración de la gravedad
Lo más inmediato sería aplicar la ecuación (2.8)* del período de un péndulo en función de su longitud L
para hallar 𝑔 = 4𝜋2
𝐿/𝑇2
. Sin embargo, aunque el período puede medirse con bastante precisión, su
longitud (distancia desde el centro de masa de la masa pendular hasta el punto de suspensión)no es bien
determinada. Por el contrario, los incrementos en la longitud del péndulo se miden con un error tan
pequeño como la sensibilidad de la escala graduada de la que se dispone, ya que en esta medida no
influye la posición del centro de masas de la esfera.
Para eliminar estas discrepancias uno de los métodos es construir una gráfica T2
(eje Y) en función de la
longitud L (eje X) y determinar la pendiente (T2
/L) de la recta obtenida y a partir de la pendiente de la
recta obtener la aceleración de la gravedad. Es decir
2 2
2 2 4
4
L T
T
g L g

   (2.10)

8. Manual de Prácticas de Laboratorio de Física II PENDULO SIMPLE Optaciano Vásquez G. 2016
8
2
4
g
Pendiente

 (2.11)*
Un modelo ideal sería el mostrado en la figura 2.3
Figura 2.3. Modelo teórico para encontrar la aceleración de la gravedad usando el péndulo simple
Como la constante K se puede expresar con tanta precisión como se requiera, el error relativo de la
aceleración de la gravedad g es el mismo de la pendiente A
g K
g K
 
 (2.12)
Debe observarse así mismo que debido a los errores experimentales la recta de la gráfica T2 – L
mostrada en la figura 2.3, no necesariamente pasa por el origen de coordenadas para ello debe usarse la
ecuación
2
T B KL  (2.13)
Donde los parámetros K y B se determinan utilizando el análisis de regresión lineal.
V. CALCULOS Y RESULTADOS.
5.1. ¿Por qué es necesario que las amplitudes de las oscilaciones deben ser pequeñas?
5.2. Con los datos de la Tabla I y utilizando el programa EXCEL trace una gráfica período en función de la
amplitud 𝑇 = 𝑓( 𝜃0
). ¿Qué tipo de gráfica obtuvo? Discuta a partir de la gráfica si existe dependencia
entre estas magnitudes. Explique su razonamiento
5.3. Con los datos de la Tabla II y utilizando el programa EXCEL trace una gráfica período en función de la
masa 𝑇 = 𝑓( 𝑚). ¿Qué tipo de gráfica obtuvo? Discuta a partir de esta gráfica si existe dependencia entre
estas magnitudes. Explique su razonamiento
5.4. Con los datos de la Tabla III y utilizando el programa EXCEL trace una gráfica período en función de la
longitud 𝑇 = 𝑓( 𝐿). ¿Qué tipo de gráfica obtuvo? Discuta a partir de esta grafica si existe dependencia
entre estas magnitudes. Explique su razonamiento
5.5. Con los datos de la Tabla III, construya una tabla con los valores medidos, errores y unidades de
T2 (período al cuadrado) y la longitud del péndulo 𝐿 = 𝐿0 + 𝑅 𝐸
5.6 Con los datos de la Tabla construida en el acápite 5.5, y usando el programa EXCEL trace una gráfica
𝑇2
= 𝑓( 𝐿), utilice el análisis de regresión lineal. ¿Qué tipo de gráfica obtuvo? A partir de esta gráfica
determine la aceleración de la gravedad de la ciudad de Huaraz con su respectivo error absoluto y
porcentual

9. Manual de Prácticas de Laboratorio de Física II PENDULO SIMPLE Optaciano Vásquez G. 2016
9
5.6 Con los datos de la Tabla III, trace una gráfica 𝑙𝑜𝑔𝑇 = 𝑓(𝑙𝑜𝑔𝐿). ¿Qué tipo de gráfica obtuvo? A partir de
esta gráfica determine la aceleración de la gravedad de la ciudad de Huaraz con su respectivo error
absoluto y porcentual
5.7. ¿Cuál (s) de las variable ensayadas tienen una mayor significancia en el período del péndulo?
5.7. ¿Cuáles son las posibles fuentes de error de su experimento?
5.8 ¿En qué puntos durante la oscilación de la masa pendular, la esfera tendrá su mayor velocidad? ¿Su
mayor aceleración?
5.9. Si la amplitud de la oscilación fuere mucho mayor que los ángulos recomendados, ¿Qué clase de
movimiento describiría el péndulo? ¿Puede encontrarse el período? ¿Qué ecuación utilizaría?
5.10. Discuta las transformaciones de energía que ocurren durante el movimiento del péndulo simple
5.11 Se llama péndulo que bate segundos a aquel que pasa por su posición de equilibrio, una vez cada
segundo. (a) ¿Cuál es el período de este péndulo? (b) Determine la longitud del péndulo que bate
segundos utilizando la gráfica 𝑇2
= 𝑓( 𝐿).
VI. RECOMENDACIONES
6.1. Asegúrese que la amplitud de la oscilación para los experimentos II y III sean pequeñas, en caso de no
disponer de un transportador esta situación se consigue desplazando la masa una distancia horizontal de tal
manera que dicha distancia sea un décimo de la longitud del péndulo.
Figura 2.3. Mecanismo como se puede determinar la medida del ángulo
6.2. Durante la experimentación mantener las ventanas y puertas cerradas y los operadores no deben caminar
cerca del dispositivo, debido a que se generan corrientes de aire que afectarían la precisión en las
mediciones.
6.3. Conviene computar el tiempo a partir de una posición que no sea el extremo de la trayectoria de la masa
pendular.
VII. BIBLIOGRAFÍA
1. GOLDEMBERG, J. Física General y Experimental. Vol I. Edit. Interamericana. México 1972.
2. MEINERS, H. W, EPPENSTEIN. Experimentos de Física. Edit. Limusa. México 1980
3. SEARS, ZEMANSKY, YOUNG. Física Universitaria. Vol I. Edit. Addison – Wesley Ibe. USA – 2005
4. HALLIDAY, RESNICK, WALKER. Fundamentos de Física Vol I. Edit CECSA. México- 2006
5. SERWAY RAYMOND. Física.. Vol. II. Edit. Mc Graw-Hill Mexico – 2005.
6. TIPLER A. PAUL. Física para la Ciencia y la Tecnología. Vol I. Edit. Reverte, S.A. España – 2000.