Mecánica para Ingenieros: DINÁMICA, Ferdinand Singer, Tercera edición,

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TERCERA EDICIÓN
FEIIIIIIAIIII L.IIIII&EI
New York University
HARLA
HARPER & ROW LATINOAMERICANA
MÉXICO
Cambridge
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Londres
Filadelfia Bogotá
Nueva York Sao Pauto
San Francisco Sidney
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1 ~ 17
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2. Dirección:
Edición:
Producción:
Cubierta:
Jaime Arvizu Lara
A mi querida esposa, Evelyn,
y a nuestras tres hijas,
Joan, Karen y Lucy
Francisco Paniagua Bocanegra
lose Carlos Escobar H.
Oswaldo Ortiz Rocha
Antonio Figueredo H.
erre zeta diseño
MECÁNICA PARA INGENIEROS: DINÁMICA - Tercera Edición
Copyright© 1982 por HARLA S.A. de C.V.
Antonio Caso 142, Tel. 5924277, México 4, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la
Industria Editorial, Reg. No. 723
Versión Autorizada en español de la segunda parte de
la obra en inglés titulada
ENGINEERING MECHANICS: STATICS AND DYNAMICS- Third Edition
Copyright © 1975, por Harper & Row, Publishers, Inc.,
10 East 53rd Street, New York, N.Y. 10022
DERECHOS RESERVADOS
Prohibida la reproducción de este libro por cualquier medio,
total o parcialmente, sin permiso expreso de los editores.
I.S.B.N. 968-6034 16-1
Impreso en México - Printed in México
01301
Ell 1
Prólogo a la Tercera Edición ix
Prólogo a la Edición en Español xiii
Lista de Símbolos y Abreviaturas xv
CAPITULO 9 CINEMÁTICA DE LA PARTICULA 325
9- 1
9- 2
9-3
9-4
9-5
9-6
9-7
9-8
Introducción 325
Movimiento de una Partícula 327
Movimiento Rectilíneo 331
Gráficas de Movimiento 339
Introducción al Cálculo Vectorial 349
Componentes Rectangulares del Movimiento Rectilíneo 350
Componentes Normal y Tangencial de la Aceleración 358
Componentes Radial y Transversal. Coordenadas Cilíndricas 365
Resumen 373
CAPITULO 10 PRINCIPIOS GENERALES DE DINÁMICA
10- 1
10- 2
10- 3
Introducción
Leyes de Newton para el Movimiento de una Partícula
Ecuación Fundamental de la Cinética para una Partícula
377
378
376

3. vi CONTENIDO
10- 4
10- 5
10- 6
Sistemas de Unidades Absolutos y Gravitacionales 380
Principio de D'Alembert. Movimiento del Centro de Masa
·;;rec;to de Momento de las Fuerzas Externas 383
Resumen 386
CAPITULO 11 CINÉTICA DE PARTICULAS 388
11 - 1 Introducción 388
11 - 2 Traslación. Análisis para una Partícula 389
11 - 3 Estudio Adicional sobre Cinética de Partículas 399
11 - 4 Traslación. Análisis para un Cuerpo Rígido 408
Resumen 416
CAPITULO 12 CINEMATICA DE CUERPOS RIGIDOS
381
418
12 - 1
12- 2
12- 3
12- 4
12- 5
Introducción. Tipos de Movimiento de Cuerpos Rígidos 418
*12- 6
*12- 7
*12- 8
*12- 9
Movimiento Angular. Rotación con Eje Fijo 419
Definició~ y Análisis del Movimiento Plano 427
Aplicación de las Ecuaciones Cinemáticas 432
Centro y Eje Instantáneos de Rotación 445
El Teorema Omega 457
Estudios del Movimiento Plano por Medio de Análisis Vectorial 460
Movimiento Espacial Absoluto 467
Movimiento Espacial Relativo. Marcos de Referencia en Rotación 476
Resumen 426
CAPITULO 13 CINÉTICA DE LOS CUERPOS RIGIDOS 500
13 - 1
13- 2
13- 3
13 - 4
13 - 5
Introducción 500
Ecuaciones del Movimiento Plano
Rotación Alrededor de un Eje Fijo
Cuerpos Rodantes 516
Movimiento General en el Plano
Resumen 536
500
504
525
CAPITULO 14 MÉTODO DEL TRABAJO Y LA ENERGIA
14- 1
14-2
14- 3
14- 4
14- 5
Introducción 538
Ecuación del Trabajo y la Energía para la Traslación 539
Interpretación y Cálculo del Trabajo 540
Método del Trabajo y al Energia Aplicado al Movimiento de Particulas
Potencia. Eficiencia (Rendimiento) 552
538
544
Contenido vii
14- 6
14- 7
14- 8
Método del Trabajo y la Energía Aplica io a Sistemas Conectados
Método del Trabajo y la Energía Aplicado a la Rotación
Alrededor de un Eje Fijo 561
Método del Trabajo y la Energía Aplicado al Movimiento Plano
Resumen 584
554
573
CAPITULO 15 IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO 587
15 - 1
15- 2
15- 3
15 - 4
15- 5
15 - 6
'15 - 7
*15- 8
Introducción
Impulso y Cantidad de Movimiento Lineales 588
Acción Dinámica de los Chorros o Corrientes 593
Conservación de la Cantidad de Movimiento Lineal 600
Choque Elástico 605
Método del Impulso y la Cantidad de Movimiento en el Movimiento Plano
Movimiento de Satélites 625
Principios de la Acción Giroscópica 632
Resumen 637
CAPITULO 16 INTRODUCCION A LA DINÁMICA ESPACIAL DE
*16 - 1
*16- 2
*16- 3
*16- 4
*16- 5
*16- 6
*16- 7
CUERPOS RIGIDOS* 641
Introducción 641
Cantidad de Movimiento Angular General 642
Tensor de Inercia 654
Ecuaciones del Movimiento Espacial General 655
Método de la Cantidad de Movimiento y de la Energía en el
Movimiento Espacial 671
Ángulos de Euler 681
Fenómenos Giroscópicos 683
Resumen 691
CAPITULO 17 VIBRACIONES MECÁNICAS 694
17 - 1
17- 2
17 - 3
17- 4
17- 5
17 - 6
17- 7
17 - 8
17- 9
Indice
Introducción. Definiciones y Conceptos 694
Movimiento Armónico Simple. Vibr11ciones Libres
Pé~dulo Simple 700
Péndulo Compuesto 701
Péndulo de Torsión 703
694
Representación Gráfica del Movimiento Armónico Simple 706
Vibraciones Libres sin Amortiguamiento. Caso General 708
Vibraciones Libres Analizadas por el Método del Trabaj; y la Energía
Vibraciones Forzadas 720
Resumen 728
731
710
612

4. p
TE
-
En la primera y segunda ediciones tratamos de demostrar cómo algunos conceptos básicos
-relación entre una fuerza y sus componentes, el principio de los momentos y las leyes del
movimiento de Newton- podían combinarse y tener aplicación en cantidad de problemas
que a diario encuentra el ingeniero. Nos proponiamos también despertar en el estudiante el
espíritu d~ raciocinio lógico y sistemático que siempre debe caracterizar a todo profesional
de la ingeniería. La presente edición presta aún más atención a las ideas anteriores.
Se ha hecho una revisión casi total del libro y se han acogido en esta edición las suge-
rencias de numerosos lectores de las publicaciones precedentes. Vale la pena destacar dos
cambios en la metodología: algunos temas que generalmente se estudian en forma separada
se han reestructurado en entidades unificadas en el campo de la estática y la dinámica y se
ha hecho una integración del análisis geométrico-escalar con el vectorial.
No es necesario tener gran experiencia en análisis de vectores, pues toda aplicación de
una notación vectorial está precedida, o va acompañada, de explicaciones muy detalladas
que destacan su significación geométrica. El empleo de los multiplicadores de fuerza permi-
te expresar los vectores en una forma muy sencilla y no en notación decimal, como se usa en
otros textos. Por otra parte, los multiplicadores de fuerza simplifican también la transición
de una notación geométrica escalar a una vectorial y viceversa.
La notación vectorial y el método geométrico-escalar no se excluyen entre sí, sino que
cada uno se aplica donde resulte más adecuado. El método geométrico no vectorial se con-
sidera como la solución más sencilla y directa para el análisis bidimensional. En cambio, la
notación vectorial constituye la solución más adecuada en el análisis tridimensional y en el
desarrollo de conceptos generales, especialmente cuando se trata de explicar los efectos de
un cambio en la dirección del movimiento de un cuerpo. El te)(to hace especial énfasis en el
lx

5. x PRÓLOGO A LA TERCERA EDICIÓN
método para analizar y comprender las diferentes áreas de la mecánica haciendo caso omiso
del método matemático.
También se han hecho algunos cambios y adiciones dignos de mención en el volumen
correspondiente a Estática. Estos son principalmente: la presentación unificada y coordina-
da de la estática en el plano y en el espacio; la aplicación del análisis de estructuras para in-
corporar ahí los criterios de estabilidad; un mejor enfoque de los marcos que contienen ele-
mentos con fuerzas múltiples; una sección optativa acerca de armaduras en el espacio, y
material complementario acerca de la fricción, fuerza cortante y momento flexionante (o
flector) en las vigas, y el trabajo virtual.
De igual manera, el segundo volumen, correspondiente a Dinámica, se ha reestructura-
do para aprovechar al máximo la notación vectorial. Aquí es preciso destacar especialmente
el capítulo referente a los principios generales de la dinámica, que está precedido y seguido,
respectivamente, por la cinemática y la cinética de la partícula. La aplicación inmediata de
la cinemática a la cinética de la partícula facilita la comprensión de su interacción, con el
consiguiente refuerzo de cada una de ellas. En forma análoga, la cinemática del movimien-
to plano va inmediatamente antes de su aplicación en la cinética. Estos enfoques fundamen-
tales hacia el método de fuerza y aceleración, van seguidos por capítulos referentes a los
métodos del trabajo y la energía, y del impulso y la cantidad de movimiento. En un princi-
pio se pensó en agregar los movimientos de partículas que se estudian en estos capítulos, :' la
cinética de la partícula, pero se descartó esta idea para concretar la atención en .los funda-
mentos de la dinámica, evitando así la multiplicidad de conceptos. Sin embargo, el texto es-
tá escrito de manera que las partes correspondientes a los métodos sobre cantidad de movi-
miento y energía que tienen relación con el movimiento de la partícula puede combinarse a
opción del lector, con la dinámica de la partícula. Después de un capítulo sobre dinámica
especial, el capítulo final es en realidad una introducción a las vibraciones mecánicas, pues
parece que éste es el lugar más apropiado para analizar el movimiento armónico simple y
las diferentes clases de péndulos, sin que se interrumpa la continuidad de otros planeamien-
tos básicos.
Cada parte del libro contiene más material del que normalmente se estudia .:n un se-
mestre. Aquellas secciones que corresponden a temas muy avanzados o especializados están
señaladas con un asterisco y son independientes del resto del libro, de modo que se puede
lograr una gran flexibilidad en el plan general o en sus objetivos.
Espero que estos temas y, en general, todos los del texto, hayan sido presentados en tal
forma que liberen a los profesores de explicaciones prolijas y les permitan en cambio dedi-
car más tiempo a ampliar y desarrollar ciertos puntos que desearan destacar. No sólo los as-
pectos teóricos han merecido una exacta presentación, sino que sus aplicaciones prácticas
también han tenido un énfasis especial. En efecto, una gran cantidad de problemas ilustra-
tivos -en su mayoría nuevos- permiten observar la forma tan detallada como se han apli-
cado las reglas. Las explicaciones son muy completas y nada se presupone. Cada vez que se
aplica alguna ecuación o principio se indica entre paréntesis en el lado izquierdo de la pági-
na. Además, los valores se constituyen en el mismo orden en que aparecen los símbolos de
la ecuación. Este procedimiento permite a los estudiantes seguir fácilmente los diferentes
pasos de la solución sin tener que consultar continuamente todo el texto.
Pero un aspecto de gran importancia es que las opiniones y puntos de vista de los estu-
diantes y sus problemas especiales siempre se han tenido en cuenta. El estilo de la redacción
empleado es casi una amena conversación, y sin ser demasiado sucinta ni prolija, lleva len-
Prólogo a la Tercera Edición xl
. . El sentido de los conceptos fundamentales Y
tamente al estudio individual o autodidáctico. d ollo se analizan cuidadosamente de
. . . e se emplean en su esarr ' .
los supuestos y hmitac10nes qu . . . reduciendo al mínimo la memonza-
1 1 vado grado de raciOCIIDO, . d 1 t
manera que se ogra un e e f 1d da capítulo tienen por obJeto ar a es u-
ción. Los resúmenes que aparecen al ma e ca lt n útiles en el repaso y en trabajos de
diante un compendio de elementos clave que resu a
mayor nivel. . . d ente elaborados con el fin de poner a dis-
Más de 1200 problemas han SI~O cmda osa: temas de la materia. No es exagerado
posición del estudiante los más vanados asp~ct .Yente or cuatro o cinco años, sin el pe-
decir que un profesor puede hacer una selección vig . pdo segu'n el grado de dificultad Y
. . L problemas van aparecien ..
ligrode caer en repeticiones. os d 11 . los demás pueden utilizarse oca-
se ha dado la solución a las dos terceras p~rtesl ; e ·~~~ de los conceptos. No se presenta
sionalmente para exámenes o ~ara comp~o ar; d::explicación teórica pertinente dentro
ningún problema sin que previamente s~o:~~o:es que simplifiquen los ~culos aritmétic~.
del texto además de que se escogen aque mite localizar rápidamente cualquier
El sistema de numeración que empl.eamos nos p:r tablas Yproblemas van precedí-
referencia. Con este sistema, todas las figuras, ecu~c10neefse,ri'rse y están numerados consecu-
, 1 ·ón al que es preciso r f'
dos del número del capitu o o secci . , del problema considerado se da en la Igu-
tivamente así en todo ellibr~..El rrusmo~~:r~tre la figura y los datos correspondientes.
ra respectiva con el fin de facilitar la corr país que colaboraron generosa-
El autor desea expresar su gratitud a l~s colega~::a:: cabo esta revisión. Nombrarlos
mente con sus valiosas Ymúltiples suger~ncia~ para se correría el riesgo de omitir a alguien
a todos implicaría hacer una lista demasiado arga y . bargo de los revisores editoriales
'al ·ón debe hacerse, .sm em • .
involuntariamente. Especi menct . ncias y sugirieron algunos cambiOS que
que acuciosamente descubrieron algunas mcongdrue Pytel de la Universidad Estatal de
, .1 Ell n el profesor An rew • lif ·
resultaron muy uti es. o~ s.o tree de la Universidad del Estado de Ca orrua
Pensilvania Yel profesor Wllham G. Plum ' peño en tratar de eliminar los erro-
., h uesto todo nuestro em . . f
en Los Angeles. Aunque emos p 1 or ello el autor agradecerá cualqmer m or-
. · bl ún queden a gunos; P .res, resulta mevita e que a t . que los lectores qmeran hacer.
mación Yacogerá gustoso todos los comen anos
Ferdinand L. Singer.

6. .,
•f)'' ••.
L
Esta presentación ampliamente mejorada del bien conocido texto Mecánica para Inge-
nieros, de Ferdinand L. Singer, constituye su segunda parte: DINÁMICA. Aquí continúa
la aplicación de las consideraciones utilizadas en la edición revisada de la obra en espafiol.
Para compl~mentar el plan general de la edición original en inglés (la tercera), de presentar
un texto adecuadamente unificado para el estudio de la Estática y la Dinámica -con base
en los principios newtonianos fundamentales de las fuerzas, los momentos y las leyes del
movimiento (incluyendo el equilibrio)-, se realizó una adaptación unificativa de la no-
menclatura y las notaciones modernas, que facilita en mayor grado la enseñ.anza y el apren-
dizaje de esta ciencia básica de la ingeniería en los países de habla hispana.
Aunque se conserva el uso del actual sistema técnico métrico de unidades, se prevé la con-
versión futura al Sistema Internacional.
Jr que las mejoras llevadas a cabo en la aclaración de conceptos, la terminología
e·mecta y una más cuidadosa redacción, acrecentarán notablemente la utilidad de este
texto de Dinámica.
XIII
Ing. Francisco Paniagua Bocanegra
Editor de Ingeniería

7. LIITI
y 11
E IIIIIUL 1
VIITIIII
A
a, a
a, a
an, an
al' a1
b
C '
e
d
E
e
F
f
G
g
H
h
1
y
~ ~ ('
1, J, K
área, amplitud de vibración
aceleración
aceleración del centro de masa
aceleración normal
aceleración tangencial
ancho
par de fuerzas
centroide, centro instantáneo
profundidad, peralte, diámetro, distancia, brazo de momento
módulo de elasticidad en tensión o compresión
vector unitario en la dirección de un eje cuya orientación cambia
coeficiente de restitución, base de los logaritmos naturales
elongación estática
fuerza de fricción, resistencia por rozamiento
coeficiente de fricción, frecuencia
módulo de elasticidad en esfuerzo cortante, centro de gravedad o de masa
aceleración gravitacional
cantidad de movimiento angular
altura
momento de mercia
momento centroidal de inercia
vectores unitarios en la dirección de los ejes coordenados
• Con muy pocas excepciones, los anteriores slmbolos y abreviaturas son los r~comendados por la Asociación de
Normas de Estados Unidos.
XV

8. xvl LISTA DE SÍMBOLOS Y ABREVIATURAS
J
J
EC
k
L
M
M
m
ñ
n
P,Q,F
p uv> p:r11
p
R
r
r, R
TR
S
t
u
U, V, W
V
V, V
V, V
w,w
w
XYZ
xyz
X, y, z
X, y, Z
a, a
a, {3, y . . .
{3
'Y
or, 80
os, 80
ou
()
p
p
p, o
T
w,w
momento polar de inercia
momento polar centroidal de inercia
energía cinética
radio de giro, constante de fuerza de un resorte o muelle
longitud
momento de fuerza
momento flexionante (o flector)
masa (W/g)
vector unitario general
revoluciones por minuto. Como subíndice indica dirección normal
fuerzas o cargas, concentradas
productos de inercia
cantidad de movimiento lineal
reacción, fuerza resultante
vector de posición absoluta
radios
trabajo resultante
magnitud de desplazamiento, longitud de arco
espesor, tiempo. Como subíndice denota dirección tangencial
trabajo
coordenadas rectangulares
volumen, fuerza cortante (transversal)
velocidad
velocidad del centro de masa
peso, carga
carga por unidad de longitud
marco de referencia estático
marco de referencia móvil
coordenadas rectangulares, móviles o fijas
coordenadas de centroide, centro de gravedad o centro de masa
aceleración angular
ángulos
ángulo de fase, ángulo de contacto para la fricción en una correa o banda
peso por unidad de volumen (peso específico)
desplazamiento virtual (lineal o angular)
magnitud de desplazamiento virtual (lineal o angular)
trabajo virtual
coordenada angular, segundo ángulo de Euler
vector de posición relativa
densidad (de masa), radio de curvatura, radio variable
coordenadas polares
período, tiempo periódico
ángulo de fricción
primer ángulo de Euler
tercer ángulo de Euler
velocidad angular
w, w.
n
Q
c. de mov.
DCL
m.a.s.
Unidades:
cm
cm/seg
cm/seg2
CV
h
kg
kg/ m 2
kg/ cm 2
km/ h
kW
m
m/seg
m/seg 2
rad
rev
rpm
rps
seg
Ton
Lista de Símbolos y Abreviaturas xvii
frecuencia circular natural (27r/)
velocidad angular del marco de referencia móvil
velocidad angular de presión
acento circunflejo. Se usa para indicar un vector unitario
cantidad de movimiento
diagrama de cuerpo libre
movimiento armónico simple
centímetro
centímetro por segundo
centímetro por segundo al cuadrado
caballo de vapor
hora
kilogramo (fuerza)
kilogramo por metro cuadrado
kilogramo por centímetro cuadrado
kilómetro por hora
kilowatt (o kilowatio)
metro
metro por segundo
metro por segundo cuadrado
radián
revolución
revolución por minuto
revolución por segundo
segundo
tonelada (fuerza)

9. PARA
IIIGEIIIERII:

10. :,:::::
9·1 INTRODUCCIÓN
En éste y en los capítulos siguientes formularemos rigurosamente los principios de la dinámi-
ca. Conviene aquí, sin embargo, una revisión general de lo que son estos principios y cómo
están interrelacionados. Primero hay que recordar que en el Capitulo 2 (Tomo 1) mostramos
que cualqui~r sistema de fuerzas puede reducirse a un sistema resultante de una fuerza y un
par. En estática, tanto la fuerza resultante como el par resultante son nulos, lo cual establece
las ecuaciones de equilibrio estático. En dinámica, no obstante, el sistema de una fuerza-par
resultante no es cero y causa un cambio en el estado de movimiento del cuerpo sobre el
cual actúa.
Usualmente el cuerpo es rígido y el sistema de una fuerza y un par resultantes se aplica
en el centro de gravedad del cuerpo. Si la resultante del sistema de fuerzas aplicado consta
de una sola fuerza que pasa por el centro de gravedad de un cuerpo que parte del reposo, co-
mo en la figura 9-l.la, el cuerpo se moverá en la dirección de la resultante R, pero no girará.
Si la dirección de R es constante, el movimiento del cuerpo es en la dirección de una recta y se
llama traslación rectilínea. Si la dirección de R varía, aunque continúe pasando por el centro
de gravedad, también variará el movimiento del cuerpo y resultará un recorrido en curva co-
nocido como traslación curvilínea.
Si la resultante del sistema de fuerzas aplicado es un par M como en la figura 9-1.1b, el
cuerpo girará alrededor de un eje que pasa por su centro de gravedad y está dirigido perpen-
dicularmente al plano del par, pero el centro de gravedad permanecerá fijo. Todas las
partículas describirán trayectorias circulares alrededor del eje de rotación. Este tipo de movi-
miento se llama rotación centroidal. "
325

11. 326 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
(a) Traslación (b) Roración (e) Traslación y rotación
combinadas
Figura 9-1.1 Tipos de movimiento en el cuerpo rlgido determinados por la resultan-
te del sistema de fuerzas aplicado.
Cuando la resultante ctel sistema de fuerzas aplicado consta de una fuerza centroidal y
un par, como en la figura 9-1.1e, el cuerpo tendrá un movimiento consistente en la combina-
ción de una traslación y una rotación centroidal. Además, si las fuerzas aplicadas siempre es-
tán en el mismo plano, el movimiento resultante será también plano; de otra manera, el mo-
vimiento sería espacial o tridimensional.
El recíproco del análisis anterior también es cierto; a saber, el tipo de movimiento espe-
cifica la resultante del sistema de fuerzas aplicado. Por ejemplo, para un cuerpo que esté
obligado a tener un movimiento de traslación, necesariamente las fuerzas aplicadas estarán
distribuidas de manera que su resultante sea una sola fuerza que pase por el centro de grave-
dad. O si el cuerpo está restringido de manera que sólo puede girar alrededor de su eje
centroidal, la resultante del sistema de fuerzas aplicado deberá ser un par.
La correlación entre las fuerzas aplicadas y el movimiento de un cuerpo está gobernada
sólo por dos ecuaciones básicas que desarrollaremos después, y que ahora úni_camente se in-
dicarán. Son como sigue:
(9-l.l)
que relaciona la fuerza resultante R con la masa del cuerpo m y la aceleracipn ade su centro
de masa (frecuentemente el uso de Wlg para la masa m es una expresión conveniente).
La otra ecuación básica es
(9-1.2)
que relaciona la suma de mome11tos EM de las fuerzas aplicadas con respecto al centro de
masa, con la rapidez de cambio Ü de la cantidad de movimiento angular H del cuerpo alre-
dedor de su centro de masa. Esta ecuación es válida para todo movimiento angular, pero se
reduce a una forma más sencilla
LM =la (9-1.2a)
para el movimiento plano de un cuerpo rígido ~imétrico con respecto al plano de movimiento
que contiene a su centro de masa. El término 1 es el momento de inercia de masa del cuerpo
respecto del eje centroidal perpendicular al plano del movimiento, en tanto que a es la acele-
ración angular del cuerpo.
9-2 Mov1m1ento de una partícula 327
Estas ecuaciones sólo son válidas en un instante dado del movimiento. Se usan para de-
terminar las fuerzas instantáneas que actúan cuando se conoce el movimiento de un cuerpo,
0 recíprocamente -cuando se especifican las fuerzas- determinan las aceleraci~nes me-
diante las cuales se puede calcular el movimiento del cuerpo. Notemos que R o EM, o am-
bos, pueden ser constantes o variables. Si son variables, pueden depender de la posición? de
la velocidad, o del tiempo, o aun de una combinación de estos conceptos. Tales combma-
ciones pueden alterar la complejidad de la solución matemática en una situación dada, pero
no deben oscurecer el hecho de que todos los problemas en dinámica dependen solamente de
estas dos ecuaciones básicas, más la correlación entre la aceleración y el movimiento. Tal
correlación se conoce como geometría del movimiento y constituye la rama conocida como
cinemática. Estudia el movimiento de una partícula o de un cuerpo sin considerar las fuerzas
que lo causan. Puesto que la cinemática es el punto inicial para el estudio de la dinámica, es
necesario que empecemos con una comprensión clara de lo que significan desplazamiento,
velocidad y aceleración, y de cómo están relacionados.
9-2 MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA
La forma natural de describir el movimiento de una partícula es por medio de una gran canti-
dad de líneas radiales desde un origen a las posiciones sucesivas de la partícula. Estas líneas
se llaman vectores de posición. Usualmente los vectores de posición parten de un punto fijo
en el espacio, resultando lo que se llama movimiento absoluto. Respecto a un origen en mo-
vimiento, los vectores de posición describen lo que se conoce por movimiento relativo. En la
mayoría de los problemas de ingeniería, cualquier origen en la superficie de la Tierra consti-
tuye un origen fijo. En el caso de órbitas de satélites, sin embargo, debido a la rotaCión de la
superficie terrestre, el origen estará en el centro de la Tierra. Tratándose del movimiento in-
terplanetario, el origen puede tomarse en el centro de masa del sistema solar, mientras que
para observaciones astronómicas, los ejes de referencia se refieren a las llamadas estrellas
fijas.
y
- ll. s
---1----X
'~
'z
Figura 9-2.1 Relación entre la trayectoria y los vectores de posición.

12. 328 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
Aunque el análisis siguiente es válido para un origen fijo o en movimiento, por el mo-
mento se tomará el origen como fijo. Luego en la sección 12-9, estudiaremos la correlación
entre los movimientos con respecto a orígenes fijos y en movimiento. En la figura 9-2.1, los
vectores de posición rA y rs definen completamente las posiciones A y B de una partícula mó-
vil. Su diferencia .:lr denota el cambio en posición (también conocido como desplazamiento)
que ocurre en el tiempo transcurrido .:lt. Observemos que el cambio de posición .:lr es inde-
pendiente del origen, como se ve por los vectores de posición de la línea punteada respecto a
otro origen 0 1. Un observador en O ve el mismo desplazamiento .:lr que otro observador en
0 1, simultáneamente. Puesto que el intervalo de tiempo transcurrido es el mismo para ambos
observadores, ambos perciben el mismo desplazamiento, la misma velocidad y la misma ace-
leración de la partícula móvil aunque en función de diferentes vectores de posición.
Observemos cuidadosamente la diferencia entre un cambio de posición y la distancia re-
corrida sobre la trayectoria. El cambio de posición .:lr es un vector que tiene magnitud y
dirección, mientras que la distancia en arco .:ls es solo una medida escalar de la longitud del
recorrido. La diferencia entre el vector desplazamiento (o sea, el cambio de posición) y la dis-
tancia escalar, es muy evidente si suponemos que la partícula se mueve de A a B y regresa a
A. El cambio de posición .:lr sería entonces cero, pero la distancia recorrida será la suma de
tramos de longitud desde A hasta By de vuelta a A. Esta diferencia es importante porque to-
das las relaciones cinemáticas que desarrollamos incluyen el vector cambio de posición y no
el escalar distancia recorrida.
VELOCIDAD
Se define la velocidad como la rapidez de cambio de la posición. Si M es el tiempo transcurri-
do entre A y B, la velocidad media entre estos puntos será
.:lr
Vmed=-
.:lt
y la velocidad instantánea es el límite..<k esta razón cuando M tiende a cero, o sea,
v = Hm .lh = tlr
lt-o tJ.t dt
(9-2.1)
El significado geométrico de este resultado es que en la figura 9-2.1 a medida que M tiende a
cero, B se acerca cada vez más a A y la cuerda .:lr se aproxima más al arco .:ls, de manera que
en el límite, dr coincide con ds, y por tanto, la velocidad ves tangente a la trayectoria.
Podemos llevar esta interpretación más adelante escribiendo de nuevo la ecuación
(9-2.1) como
La razón jS" es la cuerda de un arco dividida entre la longitud del.mismo. En el límite coin-
ciden la cuerda y el arco y :; se convierte en un vector de longitud unitaria, tangente a la
trayectoria. Designando este vector unitario por ~1 y reconociendo qu~ ds indica sólo la ra-
dt
9-2 Mov1miento de una partícula 329
pidez (de movimiento, magnitud de la velocidad, o rapidez de variación de la distancia re-
corrida) de la partícula a lo largo de la trayectoria, obtenemos
ACELERACIÓN
ds
v=dt~,=~, (9-2.2)
Se define la aceleración como la rapidez de cambio de la velocidad. Si .:lv es el cambio de ve-
locidad durante el tiempo .:lt, la aceleración media será
.:lv
amedia = -¡;¡
y la aceleración instantánea es el límite de esta razón cuando M tiende a cero, o sea
(9-2.3)
drv=-,
dt
la aceleración instantánea también se puede escribir comoPuesto que
dv d(:} d2ra------=-- dt - dt dt2
(9-2.3a)
Puesto que en dinámica frecuentemente es el tiempo la variable independiente, con fre-
cuencia se simplifica la notación si usamos el símbolo de punto inventado por Newton para
indicar la diferenciación respecto al tiempo. La notación consiste en colocar un punto sobre
la literal de una variable para denotar su primera derivada respecto al tiempo, mientras que
colocando dos puntos sobre la literal de una variable se representa su segunda derivada res-
pecto al tiempo. Cuando usamos esta convención, la velocidad y la aceleración se expresan
como
dr .v =-=r
dt
(9-2.1)
(9-2.3)
Se estudiará más explícitamente ahora cómo el cambio en el vector velocidad se rela-
ciona con la aceleración. Es fácil apreciar el cambio en un vector si los vectores parten del
mismo punto de referencia. En tanto que esto es natural para los vectores de posición, como
en la figura 9-2.2a, en el caso de los vectores de velocidad hay que idear un método de ha-
cerlo. Lo anterior se obtiene representando los vectores mencionados como vectores libres,
que parten de un origen común como en la figura 9-2.2(b) donde la trayectoria, para una
comprensión más fácil, se supone en el plano del papel. Una comparación visual entre los
cambios simultáneos en los vectores de posición y de velocidad,'Se logra trazando el vector de
posición r de la partícula a intervalos de tiempo iguales y sucesivos. Entonces, como se ve en
la figura 9-2.2a, la velocidad es tangente a la trayectoria y su magnitud es proporcional a la
distancia entre el extremo de un vector de posición y el del siguiente.

13. 330 CINEMÁTICA DE LA PARTiCULA
Hodógrafa
(a) (b)
Figura 9-2.2 Relaciones entre la posición, la velocidad y la aceleración para interva-
los de tiempo iguales a lo largo de una curva plana.
Trazamos ahora Jos sucesivos vectores de velocidad desde un ongen común, como en la
figura 9-2.2b. Ahora es obvio que el vector de cambio de velocidad (trazado desde el extremo
de un vector hasta el del siguiente), proviene del cambio de posición angular y longitud del
vector velocidad; esto es, por cambios en la magnitud y en la dirección de dicho vector. Ade-
más, en la misma forma en que la trayectoria de la partícula es descrita por el extremo del
vector de posición, podemos imaginar una curva que es generada simultáneamente por el
extremo del vector velocidad. Esta curva se llama hodógrafa. Una cuerda de la hodógrafa
trazada desde el extremo de un vector velocidad hasta el siguiente, es el cambio de velocidad
en el intervalo de tiempo correspondiente. En el límite, cuaP.do el intervalo de tiempo tiende
a cero, esta cuerda coincide con la hodógrafa, de manera que el vector aceleración es tangen-
te a dicha curva en forma semejante a como la velocidad es tangente al punto correspondien-
te de la trayectoria de la partícula. Como lo muestra la figura 9-2.2b, la velocidad y la
aceleración tienen direcciones diferentes, de manera que la aceleración no es tangente a
la trayectoria de la partícula excepto para el caso especial del movimiento en línea recta.
La correlación entre la velocidad y la aceleración se explica mejor en la figura 9-2.3 don-
de se han trazado los vectores de velocidad y aceleración instantáneas sobre la propir trayec-
toria para las posiciones 1 y 4. En cada posición, el vector aceleración puede descomponerse
en dos componentes, tangente y normal a la trayectoria. En cada caso, la componente nor-
mal de la aceleración estará dirigida hacia el centro instantáneo de curvatura de la trayec-
toria. Como veremos luego en la sección 9-7, esta componente normal de la aceleración se
presenta debido al cambio en dirección de la velocidad. La componente tangencial de la ace-
leración coincide con la velocidad y denota el cambio en magnitud de la misma. En efecto, si
Figura 9-2.3 Velocidad y aceleración relacionadas con la trayectoria. La partícula se
está acelerando en la posición 1, pero se desacelera en la 4.
01301 9-3 Movimiento rectilíneo 331
· ·¡ va por una carretera en curva, elconsideramos que la partícula es un automovt que .,
velocímetro del automóvil medirá la magnitud de la velocidad, en tanto que la aclelera~dton: · · · · d itiva cuando aumenta a rapt eztangencial representa la vanacwn en la mtsma, sten o pos
del movimiento y viceversa.
UNIDADES
Las unidades para el desplazamiento, la velocidad Yla aceleración depe~den d~ las uni~ades
escogidas para medir la lo.1gitud y el tiempo, como el metro (o bien, el PI~, 1~ rrulla, etc. • pa-
ra la longitud; y el segundo, el minuto o la hora para el tie~po. Por ~onstgment~, puesto_qu~
el desplazamiento es una longitud, la velocidad, es el_cambto ~e longttud po~ umdad de ttem
po, y la aceleración, el cambio de velocidad por umdad de ttempo, las umdades para estas
cantidades serían:
Desplazamiento: metro, centímetro, pie, pulgada, etc. .
Velocidad: metro por segundo (m/ seg), centímetro por segundo (cm/seg), pte por se-
gundo (pie/ seg}, milla por hora (mi/h}, etc. ,
Aceleración: metro por segundo por segundo (m/ seg2), centimetro for segundo por se-
gundo (cm/seg2), kilómetro por hora por hora (km/ h ), etc.
9-3 MOVIMIENTO RECTILÍNEO
En el movimiento rectilíneo la partícula se mueve sobre una re~ta. Puesto que_ ~1 movimi~nt~
es unidireccional el sentido de los vectores de posición, veloctdad y aceleracwn puede mdt-
carse con un sig~o más o un signo menos, como en la figura ~-3_. 1, Por l~ ta~to podemos
escribir de ruevo las ecuaciones diferenciales vectoriales de mo~tmten_t? en termmos de la co-
ordenada de posición s, medtda en la dirección de la trayectona rectthnea, en vez del vector
de posición r, y obtener
(9-3.1)
(9-3.2)
(9-3.3)
donde la ecuación (9-3.3) ha sido obtenida eliminando dt de las otras dos.
0 +s •
-s----~~------------~+~v--+s
l1o ..--.-a
Figura 9-3,1
..
SIGNOS
Una convención adecuada para el signo es tomar el sentido i~icial del m?vimiento como el
sentido positivo de s, v y a. Por lo tanto, si al aplicar las ecuacwnes se obtte~e un valor nega-

14. 332 CINEMÁTICA DE LA PARTICULA
tivo para la velocidad, significa que la velocidad está dirigida en forma opuesta a la dirección
inicial del movimjento. Un valor negativo para el desplazamiento significaría que la posición
de la partícula en movimiento debe medirse desde atrás del origen del desplazamiento. Final-
mente, si una partícula en movimiento regresa a su punto inicial, el desplazamientos será ce-
ro, pero no la distancia recorrida realmente por la partícula. Lea nuevamente la explicación
de la figura 9-2.1 en la pág. 328.
Ahora volvamos a la solución de las ecuaciones diferenciales de movimiento. Nuestro
problema es determinar las relaciones entres, v, a y t, cuando se especifica una relación entre
dos de ellas. Básicamente tenemos tres variables principales relacionadas por un parámetro
común, t. Cada una de estas variables principales pueden conocerse en función del tiempo, o
especificarse una en términos de otra, o aun de una combinación de las otras. Considerare-
mos aquí las combinaciones más simples indicadas en el siguiente cuadro.
Caso l. Dado el desplazamiento en función del tiempo, esto es, s = j(t), encontrar las
relaciones entre v y t, y entre a y t.
Este es el caso más sencillo y se resuelve fácilmente con dos diferenciaciones sucesivas de
la relación entre s y t; así,
ds dv d2s
v = dtya=-¡¡¡= dt2 "
Caso 11. Dada la velocidad en función del tiempo, esto es, v = f(t), encontrar las rela-
ciones entre a y t, y entres y t.
La aplicación de la definición a = ~~ da directamente la relación entre a y t, mientras
que separando las variables en v = ~ se obtiene Jds = Jj(t) dt que puede integrarse para
dt
hallar la relación entres y t.
Caso 111. Dada la aceleración en función del tiempo, esto es, a = f (t), encontrar las re-
laciones entres y t, y entre v y t.
En a = j(t) = 1: separamos las variables v y t para obtener dv = j(t)dt, que puede in-
tegrarse para determinar la relación entre v y t, y procediendo como se describió en el caso II
se obtiene la relación entre s y t.
0 Cuando las variables principales no están dadas como funciones del tiempo, no se puede
realizar una diferenciación o integración directa sin una preparación queexpondremos ahora.
Caso IV. Dada a = j(v), encontrar las relaciones entre a y t, entre v y t, entres y t.
dv . dv·
Empezando con a = j(v) = -
1
- separamos las vanables v y t para obtener ji ) = dt,
ct ~
que se integra para obtener Ia relación entre v y t. Luego podemos proceder como se descri-
bió en el caso II.
9-3 Movimiento rectilíneo 333
Caso V. Dada v = j(s), encontrar las relaciones entres y t, entre v y t, y entre a y t.
Aquí, como en el caso IV, una de las variables principales está dada en términos de una
variable adyacente. De la definición de velocidad obtenemos v = j(s) = ds ; separando las
dt
variables s y t obtenemos~ = dt, donde por integración se determina la relación entres y
j(s)
t. Este es el caso 1 y dos diferenciaciones sucesivas dan las relaciones entre v y t y entre
a y t.
Caso VI. Dada a = f(s), encontrar las relaciones entres y t, entre v y t, y entre a y t.
Aquí las variables no son adyacentes como en los dos casos anteriores. En este caso, sus-
tituimos la relación dada en v dv = a ds para obtener v dv = f (s) ds, que se integra, obte:
niéndose v = f(s). Ahora se procede como se describió en el caso V.
La descripción anterior es sólo una guía para el análisis matemático y por ninguna razón
debe memorizarse o ser utilizada como conjunto de reglas. En tanto que Jos procedimientos
son directos, algunas de las integraciones pueden ser a veces tan complejas que se tenga que
recurrir a un texto de cálculo.
ACELERACIÓN UNIFORME
Una variación del caso 111 se usa tan a menudo que se describirá por separado. Este es el caso
de movimjento rectilíneo en que la aceleración es constante. Como veremos Juego (sección
11-2), esta condición surge cuando un cuerpo está bajo el efecto de fuerzas que permanecen
constantes en magnitud y dirección.
Las suposiciones usuales son que er. el tiempo t = O, la velocidad inicial es v0 y s = O.
Aplicando dv = a dt e integrando entre los límites dados, tenemos
V t
J dv = a J dt o sea, (9-3.4)
v. o
Notemos que a se coloca fuera del signo integral, puesto que se supuso que es constante.
Ahora remplazamos la variable v, que se acaba de encontrar en términos del tiempo, en
la ecuación diferencial ds = v dt y procedemos nuevamente a integrar entre los límites da-
dos. Esto da
8 t
J ds = J(v0 + at) dt o sea, (9-3.5)
o o
Finalmente, usamos v dv = a ds y nuevamente se procede a integrar entre los límites de-
finidos, obteniendo
Jvv dv = a Jsds o sea, (9-3.6)
v. o
Recordemos que estas ecuaciones sólo se pueden emplear'Cuando se sabe que la acelera-
ción es constante. Un error común es tratar de aplicarlas a todo tipo de movimiento.
Para cuerpos que caen desde poca altura únicamente bajo la influencia de la gravedad,
la aceleración puede suponerse constante con un valor g = 9.81 m/ seg2, dirigida hacia abajo.

15. 334 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
En cualquier movimiento en que haya caída libre de cuerpos, las ecuaciones de movimiento
para aceleración constante pueden aplicarse directamente remplazando a por g. La conven-
ción para signos más conveniente es aquella en la cual el sentido inicial del movimiento es el
sentido positivo para el desplazamiento, la velocidad y la aceleración.
PROBLEMAS ILUSTRATIVOS (i)
9-3.1. Como se ve en la figura 9-3.2, una piedra se lanza al aire verticalmente desde una
torre de 30 m de alto, en el mismo instante en que una segunda piedra se lanza hacia arriba
desde el suelo. L~ velocidad inicial de la primera es 15 m/seg y la de la segunda de 22.5
m/seg. ¿Cuándo y dónde estarán las piedras a la misma altura del suelo?
Figura 9-3.2
Solución
El sentido inicial de movimiento para cada piedra es hacia arriba, el cual tomamos, por tan-
to, como sentido positivo paras, v y a. Aplicando la ecuación (9-3.5) y notando que la acele-
ración para la caída libre de cuerpos es g = 9.81 m/seg2, dirigida hacia abajo y por tanto ne-
gativa, obtenemos*
Para la piedra 1: s1 = 15t- 4.9/2
Para la piedra 2: s2 = 22.5t - 4.9t2
(a)
(b)
De la figura 9-3.2, s2 - s1 30 m. Por tanto, restando la ecuación (a) de la ecua-
ción (b) da
s2 - s1 = 30 = 7.5 o sea, t = 4 seg.
Sustituyendo este valor de t en las ecuaciones (a) y (b), tenemos
s1 = 15(4) - 4.9(4)2 = 60 - 78.4 = - 18.4 m
s2 = 22.5(4) - 4.9(4)2 = 90 - 78.4 = + 11.6 m
Resp.
Resp.
Por lo tanto, las piedras. se encuentran a 18.4 m por debajo de la parte más alta de la
torre, o a 11.6 m por encima del suelo. Nótese que aunque supusimos que las piedras se
• N. del R. Las cantidades s1 y s2 son las distancias recorridas por cada piedra cuando llegan a la misma altura.
([) 9-3 Movimiento rectilíneo 335
hallarían por encima de la torre, el signo negativo de s1 indica lo contrario. Puesto que los
términos incluidos en las ecuaciones son cantidades algebraicas, una suposición incorrecta en
el sentido sólo da lugar a un signo negativo.
9-3.2. Una cuerda de longitud L une a una rueda A y un peso B, después de pasar sobre
una polea de tamafio despreciable, como se ve en la figura 9-3.3. En el instante en que x =
2.7 m, el centro de la rueda tiene una velocidad vA = 3 m/ seg y una aceleración aA = 1.2
m/seg2, ambos hacia la derecha. ¿Cuáles son entonces la velocidad y la aceleración de B?
y 1
1
1
_ L ___ _
1
Figura 9-3.3
Solución
Si designamos la distancia variable AC por z, entonces la longitud vertical CB = L - z, y
por lo tanto,
f?.=L- z +y
1se 1
De la figura también tenemos que 11Jel
o -,. -~-t '
o:
(a)
(b)
Eliminando z de estas relaciones, y puede expresarse directamente en función de x, de mane-
ra que una diferenciación sucesiva con respecto al tiempo relacione la velocidad y la acelera-
ción de 8 con las de A. Sin embargo, un método preferible es mantener a z como parámetro
y proceder como sigue:
Utilizando la notación de punto para indicar la diferenciación respecto al tiempo, y no-
tando que y = Vo, obtenemos de la ecuación (a)
O = - z+ y o sea, v8 = z (e)
Este resultado no es sorprendente si se observa que el cambio de longitud de z determina el
ascenso (o el descenso) de B. ..
Enseguida diferenciamos la ecuac1ón (b) respecto al tiempo, lo oue da
2zz = 2ri 0 bien, ZV8 = XVA (el)

16. 336 CINEMATICA DE LA PARTCULA
Otra diferenciación de la ecuación (d) da
o sea,
Sustituyendo los datos de las ecuaciones (d} y (e) y observando que z
x = 2.7 m, obtenemos
(e)
4.5 m cuando
De la ecuación (d) 4.5 V8 = 2.7(3) v8 = 1.8 m/seg hacia arriba Resp.
De la ecuación (e) (1.8)2 + 4.5as = (3)2 + 2.7 (1.2)a8 = 2.0 m/ seg2 hacia arriba Resp.
Un aspecto interesante de este ejemplo es que para determinar las aceleraciones, prime-
ro deben calcularse las velocidades.
9-3.3. El movimiento rectilíneo de una partícula está dado por s = v2 - 9, donde s está
en m y v en m/ seg. Cuando t = O, entonces s = Oy v = 3 m/seg. Determinar las relaciones
entres y t, entre v y t, y entre a y t.
Solución
Los datos indican el procedimiento descrito en el caso V; esto es, v = f (s). Sin embargo, en
vez de seguir este esquema expresando v en función des diferenciamos la relación dada direc-
tamente respecto al tiempo, y se obtiene
ds = 2 dtJ o bien o = 2va o a =l.. m/seg2
dt V dt' ' 2
Resp.
que es la relación entre a y t, e indica que a es constante.
Puesto que la aceleración es constante, procedemos directamente a aplicar las ecua-
ciones (9-3.4) y (9-3.5), que son válidas para aceleración constante. Obtenemos así,
[v =V0
+ at]
[s =V0 t + ~at2
]
V = 3 + ~t
S= Jt + l t2
Resp.
Resp.
9-3.4. El movimiento de una partícula está definido por la relación a = 2t, donde a está
en m/ seg2y ten segundos. Se sabe que s = 4 m y v = 2 m/ seg cuando t = 1 seg. Determinar
s y v cuando t = 4 seg.
Solución
Puesto que a está dado en función de t, empezamos con a = dvl dt, en la que sustituimos
a = 2t para obtener 21 = dv/ dt. Separando las variables e integrando entre los límites da-
dos, se obtiene
[dv =a dt]
d t
I dv =I 2tdt
2 1
de donde
v - 2 = t2 - 1 o bien v = 12 + l (a)
9-3 Movtmtento rectilíneo 337
Ahora remplazamos la variable v, que se acaba de encontrar en función del tiempo,
en la definición de velocidad escrita en la forma ds = v dt, y de nuevo procedemos a integrar
entre los límites dados. Esto nos da
(ds =V dt]
S t
f ds = J(t2
+ 1) dt
4 1
de donde
t3 8s=-+t+- (b)3 3
Finalmente, sustituyendo t = 4 seg en estas relaciones entre v y t, y entres y t, obtenemos
De la ecuación (a) v =(4)2 + 1 =17 m/seg Resp.
De la ect•ación (b)
(4)3 8
s =- + 4 + - = 28 m Resp.
3 3
Un error común que debe evitarse es sustituir en ds = v dt el valor particular de v para t
= 4 seg en vez de usar la relación entre v y t expresando v como una variable en función del
tiempo.
PROBLEMAS
9-3.5. Un automóvil es conducido a 48
km/h durante 12 min, luego a 64 km/h durante
20 min, y finalmente a 80 km/h durante 8 min.
¿Cuál es la velocidad promedio en este intervalo?
9-3.6. ¿Cuán rápido debe ir el automóvil del
problema anterior en los últimos 8 min para obte-
ner una velocidad promedio de 56 km/h?
/
9-3.7. Un automóvil A permanece 10 min
en una estación de gasolina después de que un
automóvil B pasa a una velocidad constante de 64
km/h ¿Cuánto tiempo tomará el automóvil A
que va a una velocidad constante de 80 km/h, pa-
ra alcanzar al auto B?
40 min Resp.
9-3.8. En cierto tramo de la vía, los trenes se
mueven a 96 km/ h. ¿A qué distancia atrás de un
tren parado debe colocarse una seftal para avisar
que viene un tren? Suponga que los frenos se
aplican instantáneamente y que detienen al tren a
una rapidez uniforme de 1.2 m/seg2•
9-3.9. Una piedra es lanzada hacia arriba
verticalmente y regresa al suelo en 5 seg. ¿Cuánto
subió?
h = 30.66 m Resp.
9-3.10. Un buque que es botado al agua se
desliza por una vía con una aceleración constan-
te. Tarda 4 seg para deslizarse los primeros 30
cm. ¿En cuánto tiempo se deslizará si la vía tiene
una longitud de 27P m?
t =2min Resp.
9-3.11. Un balón es arrojado al aire vertical-
mente a 36 m/seg. Después de 3 seg, se hace lo
mismo con otro balón. ¿Qué velocidad inicial de-
be tener el segundo para alcanzar al primero a 30
m del suelo?
v. :!> 25.5 m/ seg Resp.
9-3.12. Una piedra cae a un pozo y 5 seg
después se oye el sonido del agua. Si la velocidad

17. 338 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
del sonido es de 340 m/seg, ¿cuál es la profundi-
dad del pozo?
106m Resp.
9-3.13. Una piedra cae a un pozo con una
velocidad inicial nula y 4.5 seg después se escucha
su choque con el agua. Luego una segunda piedra
se tira al pozo con una velocidad inicial v0 y el so-
nido se escucha 4.0 seg después; si la velocidad
del sonido es constante a 340 m/seg, determinar
la velocidad inicial de la segunda piedra.
9-3.14. Un tren que se mueve con una acele-
ración constante recorre 7.2 m durante el décimo
segundo de su movimiento y 5.4 m durante el
duodécimo segundo del mismo. Calcule su velo-
cidad inicial.
v. = 15.8 m/seg Resp.
9-3.15. Un automóvil que parte del reposo
alcanza una velocidad de 12 m/seg con una acele-
ración constante de 1.2 m/seg2
, se mueve con es-
ta rapidez durante un tiempo, y finalmente vuel-
ve al reposo con una desaceleración de 1.5
m/seg2• Si la distancia total recorrida es de 360
m, calcule el tiempo total requerido.
9-3.16. Un auto A se mueve a 6 m/seg y con
una aceleración de 1.5 m/seg2
, para alcanzar a un
auto que está 115 m adelante. Si el auto B va a 18
m/seg y con una desaceleración de 0.9 m/seg2
,
¿al cabo de cuánto tiempo pasará A a B?
/=16seg Resp.
9-3.17. Un globo se eleva desde el suelo con
una aceleración constante de 0.9 m/seg2
• Cinco
segundos después, una piedra se tira verticalmen-
te hacia arriba desde el sitio del lanzamiento.
¿Cuál debe de ser la velocidad inicial minima de
la piedra para que alcance a tocar el globo? Ob-
serve que la piedra y el globo tienen la misma ve-
locidad en el instante del contacto.
v. = 19.9 m/seg Resp.
9-3.18. El movimiento rectilíneo de una
partícula está gobernado por la ecuación s = r
sen wt, donde r y w son constantes. Demuestre
que la aceleración es a = - ds.
9-3.19. El movimiento de una partícula a lo
largo de una línea recta está definido por
s = 0.10!3 - 10.8/. (a) Determine la aceleración
promedio durante el cuarto segundo. (b) Cuando
la partícula invierte su dirección, ¿cuál es su ace-
leración?
(a) 2.1 m/ seg2
; (b) 3.6 m/ seg2
Resp.
9-3.20. Una escalera de longitud L se desliza
con sus extremos en contacto con una pared ver-
tical y un piso horizontal. Si la escalera parte de
la posición vertical y su extremo inferior A se
mue1(e sobre el piso con una velocidad constante
v,., demuestre que la velocidad en el extremo su-
perior es v8 = - v... tg (), donde () es el ángulo
entre la escalera y la pared. ¿Qué significa el sig-
no menos? ¿Es físicamente posible que el extre-
mo superior B permanezca en contacto con la pa-
red durante todo el movimiento? Explique.
9-3.21. En el problema anterior calcule la
aceleración del extremo superior B de la escalera,
en función de ().
9-3.22. La velocidad de una partícula que se
mueve a lo largo del eje X definida por v = 11.11
kx3 - 13.33x2
+ 6x, donde v está en m/ seg, x erl
metros y k es una constante. Si k = 1, calcule el
valor de la aceleración cuando x = 0.6 m.
a = 2.4 m/ seg2 Resp.
9-3.23. En el problema anterior, calcule el
valor minimo de k para que la aceleración sea
igual a 4.8 m/seg2
cuando x = 0.9 m.
9-3.24. Debido a la resistencia ejercida por
un fluido, el movimiento rectilíneo .de una
partícula está dado por a = -kv, donde k es
una constante. Cuando t = O, s = Oy v = v•.
Determine la velocidad de la partícula en función
(a) del tiempo t y (b) de su posición s. (e) ¿Cuál es
la máxima distancia que la partícula recorre?
(e) s máx. = v.l k Resp.
9-3.25. El movimiento rectilíneo de una
partícula está definido por a = 3.28 .JV. donde a
está en m/seg2
y v en m/seg. Cuando t = 2 seg,
v = 10.8 m/seg y s = 9 m. Determine el valor de
s cuando t = 3 seg.
s = 26.1 m Resp.
9-3.26. El movimiento rectilíneo de una
partícula está gobernado por a = - 2.4s -2,
donde aestá en m/ seg2
y s está en m. Cuando t =
¡ seg, s = 1.2 m, y v = 0.6 rn/seg. Determine la
aceleración de la partícula cuando t = 2 seg.
, a= -0.071 m/seg2 Resp.
*9·4 GRÁFICAS DE MOVIMIENTO
9-4 Gráficas de mov1m1ento 339
9-3.27. El movimiento rectilíneo de una
partícula está definido por a = 0.9 + 0.15/.
Cuando t = O, s = 0.6 m y v = -1 .2 rn/seg.
Calcule s cuando t = 6 seg.
s =15m Resp.
9-3.28. El movimiento rectilíneo de una
partícula está gobernado por a = - 3.6t - 1.8f
y parte del reposo cuando t = O. Determine su
velocidad cuando vuelve a su punto inicial.
El uso de gráficas (o gráficos) de un movimiento, las cuales muestren la variación des, de v y
de a respecto del tiempo, a menudo ofrecen un método más sencillo para resolver los proble-
mas considerados anteriormente. El método es particularmente útil cuando el movimiento
presenta distintas fases, cada una de las cuales exige sus propias ecuaciones. El método tam-
bién proporciona un medio para emplear los datos experimentales en la determinación de las
curvas s = f(t), v = f(t), o a = f(t) cuando se conoce alguna de ellas. Especialmente útil es
la curva a = f(t) que muestra la variación de la aceleración respecto del tiempo, puesto que
ésta sola es suficiente para determinar los valores de la velocidad y el desplazamiento en cual-
quier instante del movimiento.
Veamos la curva a = f (t) de la figura 9-4.1a y supongamos que se conocen la velocidad
v1 y el desplazamiento s1 en el tiempo t1. La velocidad v2 en cualquier otro instante t2
se deter-
mina escribiendo la definición de la aceleración en la forma dv = a dt, e integrando entre los
límites correspondientes. Esto da
J
v2 Jt2~v = dv = adt
V ¡ t1
El significado geométrico del término de la derecha resulta obvio en la figura 9-4.1 a. Duran-
te el intervalo de tiempo infinitesimal dt, la aceleración a puede considerarse constante. Ob-
viamente a dt es el área de la franja vertical sin sombrear. Como J;•a dt significa la suma de
tales franjas, se puede concluir que el área sombreada, bajo la curva a = f(t) entre los tiem-
pos t1 Yt2, representa el cambio en velocidad ~v durante este intervalo de tiempo, o sea,
(9-4.1)
Asimismo, si representamos la definición de velocidad mediante la forma ds = v dt, e
integramos entre los límites correspondientes, obtenemos
J
s2 Jt2ds = V c/t
81 t1 ,
(9-4.2)o bien,

18. 340 CINEMÁTICA DE LA PARTICULA
(a)
(b)
(e)
1
1
1
i---f-t-----f.~-t2- t--j
1
1
1
1
1
+-
l---.ó.t=t2-¡l
1
1
1
1
1
1
1
pendiente,_, =~ =v
Figura-9-4.1 Relaciones entre las curvas a = fl..t), v = fl..t) Ys = fl..t).
donde en forma similar, en la parte (b), el área sombreada bajo la curva v-t representa el
cambio correspondiente en desplazamiento du~ante el intervalo de ti.empo de ft a ~2·
En vez de usar una suma de elementos verticales v dt para determmar el área baJO la cur-
va v-t, la subdivisión en alternativa que se ve en la parte (b) correspondiente a dicha área, nos
lleva a un resultado muy útil. Así sea el área sombreada de la parte (b) la suma del área del
rectángulo v1
(t2
- t1
) y la suma de las franjas horizontales no sombreadas de área dv
9-4 Gráficas de mov1miento 341
(tz _ t). Nótese que v1 es la ~elocidad al e~pe~ar el intervalo de. tiempo (!2 - !1) = !:J.t y que
dv es el incremento de veloc1dad en cualqmer mstante t de este mtervalo. Entonces tenemos
sustituyendo dv = a dt en la integral, se obtiene
f
t 2
t:.s = v1(t:.t) + (a dt)(t2 - t)
t,
Para interpretar el significado del segundo término de la derecha, notemos que a dt es el
área de una franja elemental bajo la curva a-t y que (!2 - t) es el brazo de momento de esta
franja elemental con respecto a una ordenada que pasa por t2• La integral, por lo tanto, es la
suma de momentos de área de tales franjas y equivale al momento de área, con respecto a
la ordenada en t2 , del.área bajo la curva a-t, incluida en el intervalo de tiempo !:J.t = t2 - t1•
De aquí se obtiene
(9-4.3)
donde fz es el brazo de momento del centroide C del área sombreada en la parte (a). Al apli-
car esta ecuación debe notarse que v1 es la velocidad al empezar el intervalo de tiempo y que
el momento del área bajo la curva a-t durante dicho intervalo, se toma en relación con una
ordenada que está al final del intervalo. Cuando el área bajo la curva a-t se descompone en
partes como las indicadas en la tabla 9-4.1' el momento total de área es la suma de los mo-
mentos de sus partes.
El empleo de la ecuación (9-4.3) junto con la ecuación (9-4.1) es particularmente conve-
niente puesto que sólo es necesaria la curva a-t para determinar los cambios de desplazamien-
to y velocidad.
Veamos ahora la forma de la curva v-t. Como a= dv!dt, lapendientedv!dt en cualquier
instante, tal como 12, de la curva v-t está determinada por la ordenada correspondiente de la
curva a-t. Puesto que los valores resultantes de a son positivos y crecientes, las pendientes
respectivas de la curva v-t son positivas (esto es, hacia arriba a la derecha) y cada vez más
inclinadas.
De la misma manera, la forma de la curva s-t se determina por v = dsldt. Como ds/dt
es la pendiente de la curva s-t, tiene pendientes positivas cada vez más inclinadas de acuerdo
con las ordenadas, positivas y cada vez mayores, correspondientes de la curva v-t.
Si se saben las relaciones entre los diagramas de carga, fuerza cortante y momento fle-
xionante (ver Capítulo 8, Estática), se podrá observar que están.¡elacionados exactamente en
la misma forma que los diagramas a-t, v-t y s-t para las gráficas de un movimiento. Excepto
por el cambio de la notación, uno es exactamente análogo al 01 ro, como se ve en la siguiente
comparación:

19. 342 CINEMÁTICA DE LA PARTICULA
Tabla 9-4.1 Propiedades de Areas
Ecuación
Grado cero
y=h
Primer yrado
y= mx
Segundo grado
y= kx2
Tercer grado
y= kx3
Enésimo grado
y = kx"
Gráfica
y
1
tf].b ·---X
y
1
¡t-r~}¡
b ---X
y
l ll~
LdJb - --x
y
1 b
i ;!+2- ~
¡__A!'~~--b----~----x
Área
+(bh)
i (bh)
l (bh)
3
-¡(bh)
_I_ (bh)
n + l
Posición del
centroide
lb
2
n!2 (b)
9-4 Gráf1cas de movimiento 343
Diagramas de fza. cort. y mom. flex. Gráficas de movimiento
dV
w = - = (Pendiente)rza. cort.dx
V = dM = (Pendiente)mom. flex.
dx
t,V = (Área)carga
!}M = (Área)rza. cort.
a = ~~ = (Pendiente)•.,
dsv = dt = (Pendiente),_,
~v = (Área)•.,
t}s = (Área)•.,
Existen dos gráficas más de movimiento, las cuales son de menor interés. Para la curva
a-s en que la aceleración es función del desplazamiento, la aplicación de
da por resultado
1( 2 2) - -2 Vz -- vl - (Area)a-s (9-4.4)
Para la curva v-s que muestra la variación de la velocidad con el desplazamiento, la expre-
sión a = v (dv/ds) indica que la aceleración puede determinarse multiplicando ven cualquier
instante por la pendiente respectiva de la curva v-s.
PROBLEMAS ILUSTRATIVOS
9-4.1. Una partícula que parte con una velocidad inicial de 18 m/seg tiene un movi-
miento rectilíneo con una desaceleración constante de 3 m/seg2• Determine la velocidad y el
desplazamiento al final de 9 seg, trazando las curvas a-t, v-t y s-t, y empleando las relaciones
entre ellas.
Solución
Este problema elemental se resuelve fácilmente usando las ecuaciones de aceleración cons-
tante, pero su sencillez sirve para desarrollar confianza para aplicar las relaciones entre las
gráficas de movimiento a casos más complejos. Como la aceleración es constante pero nega-
tiva, la pendiente de la curva v-t también es constante y negativa, o dirigida hacia abajo a la
derecha, como se ve en la figura 9-4.2. El cambio de velocidad en el intervalo de 9 seg es
[llu =(Área)a_1] llv = - 3(9) = -'27 m/seg
que disminuye la velocidad inicial de 18m/sega -9 m/seg.

20. 344 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
a
+---'
1 - 3 m/seg
2
Pendiente = a = - 3 m/seg2
/
1
9 m/ seg
1
40.5 m
__l___
Figura 9-4.2
Obviamente la velocidad es cero cuando 11 = 6 seg, de manera que el cambio en despla-
zamiento puede calcularse como la suma algebraica de las áreas positiva y negativa A1 y A2
bajo la curva v-t. De aquí tenemos que
[~s = (Área)v-tl Ls = ~ (18)(6) - ! (9)(3) = 54 - 13.5 = 40.5 m Resp.
De otra forma, la ecuación (9-4.3) se puede emplear para obtener Ls en el intervalo de 9
seg. Esto da
[~s = V0
(M) + (Área)a_1(~)]
Ls = 18(9) + ( - 3)(9)(ª) 40.5 m Comprob.
que, en este caso, equivale a aplicar s = v0t + +at2•
La forma de la curva s-t se determina si notamos que la ordenada de velocidad es igual
a la pendiente en la ordenada respectiva de la curva s-t. Así cuando t = O, la tangente a la
curva s-t sigue una dirección hacia arriba y a la derecha, haciéndose cada vez menos inclina-
da y finalmente horizontal, cuando t = 6 seg, a medida que la ordenada de velocidad corres-
pondiente se reduce gradualmente a cero. Después, las tangentes a la curva s-t se inclinan ca-
da vez más hacia abajo y a la derecha conforme las ordenadas de velocidad se hacen cada vez
más negativas. Obsérvese que aquí la curvas-tes una parábola simétrica con vértice en t = 6
seg, puesto que a intervalos iguales a cada lado de este instante, las velocidades son numéri-
camente iguales pero de signos opuestos, produciendo así pendientes también iguales pero de
inclinaciones opuestas.
9-4 Gráf1cas de mov1m1ento 345
Finalmente observamos que la forma de la curva s-e indica que la partícula en movi-
miento alcanza un desplazamiento máximo (a la derecha) de 54 m cuando t = 6 seg, después
de lo cual regresa a la izquierda. El recorrido total es ta suma de estos recorridos y está dado
por la suma de A1 y A 2, o sea, 54 + 13.5 = 67.5 m.
9-4.2. Trazar las curvas v-t y s-t para las dos piedras que tienen los movimientos descri-
tos en el problema ilustrativo 9-3.1. La primera se arroja verticalmente hacia arriba desde
una torre de 30m y con una velocidad de 15 m/seg, en el mismo instante en que la segunda se
proyecta hacia arriba desde el suelo con una velocidad de 22.5 m/seg. ¿Cuándo y dónde se
hallarán las piedras a la misma altura?
Solución
Ambas piedras se mueven con una misma aceleración negativa, o hacia abajo, de g =
-9.81 m/seg2• En consecuencia, si a = (Pendiente)v_1, ambas curvas v-t tendrán la misma
pendiente, pero ya que las piedras son arrojadas con diferente velocidad, sus curvas v-t serán
paralelas, como puede verse en la figura 9-4.3. Es evidente que las piedras tienen una veloci-
dad relativa constante de 22.5 - f5 = 7.5 m/seg.
Tomando la posición inicial de la segunda piedra como origen común para desplaza-
mientos, trazamos las curvas s-t como se ve en dicha figura. Sus formas se determinan ha-
ciendo sus pendientes proporcionales a las ordenadas de velocidad correspondientes. Como
el desplazamiento inicial relativo de 30 m entre las piedras se va reduciendo a una velocidad
relativa constante de 7.5 m/seg, las piedras se alcanzan a los 4 seg. Esto verifica el valor pre-
t' (m/seg)
1
·'
22.5
15
30
Hgura 9-4.3
4 seg
~-- - - - - - - - - 1 (seg)
Velocidad relativa
constante de
7.5m/seg
s = 11.5 m
---t(seg)

21. 346 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
viamente calculado en el problema 9-3.1 y explica el significado físico de ese cálculo. La altu-
ra común s en este instante se calcula más fácilmente a partir de
s = v.t - 1gt2 = 22.5(4) - 1(9.81)(4)2
= 11.52 m Resp.
9-4.3. La curva a-t para una partícula que tiene movimiento rectilíneo se ve en. la f~gura
9-4.4. cuando t = o, la velocidad es 2.4 m/seg y la partícula se e.n~uentra 18m a la Izqmerda
del origen de desplazamiento. Trazar las curvas v-t y s-t, especificando los valores de :v Ys
cuando t = 4, 7 y 13 segundos.
a(m/se;)
1 .-1._8- - - ,
7
4
v(m/seg) + -~ _¡
~4seg 3seg
11
Al 6seg-¡
1 IIA - .~,~'~- - - i. 1
1 Ó.UJ =- 13.5
2,4
s(m)
1
1
1 Ó.SJ = 19.8
1
_______ _j
As2 = 26.1 L
+------t----7"-- 1 - - 1
. -- 3.6 - - _j
1 As¡ = 14.4
-I8 - - - - ...J
Figura 9-4.4
9-4 Gráficas de movim1ento 347
Solución
Los cambios de velocidad durante los intervalos de tiempo especificados (de 4, 3 y 6 segun-
dos) se determinan al aplicar la ecuación (9-4.1) al área bajo la curva a-t, como sigue:
[Lv =(Área) ] .:lv1 = H4)(1.8) = 3.6 m/seg
a-t dVz = (3)(1.8) = 5.4 m/seg
.:lv3 = - 3(1.8) -H2.7)(6) = - 5.4 - 8.1 = - 13.5 m/seg
Las ordenadas de velocidad se obtienen a,l sumar .:lv1 = 3.6 m/seg a la velocidad inicial
de 2.4 m/seg para obtener 6 m/seg cuando t = 4 seg, a este resultado se suma .:lv2 = 5.4
m/seg para dar 11.4 m/seg cuando t = 7 seg, y de este valor se resta .:lv3 = 13.5 m/seg para
obtener - 2.1 m/seg cuando t = 13 seg. La curva v-t se traza pasando por estos puntos, y su
forma se determina al hacer proporcional al valor correspondiente de la aceleración la pen-
diente de la curva v-ten cualquier instante. Obsérvese que cada segmento de la curva v-tes
un grado mayor que el segmento correspondiente en el diagrama a-t.
Ahora podemos ~plicar la ecuación (9-4.2) al área bajo la curva v-t para obtener los si-
guientes cambios en desplazamiento. Observemos que en el primer intervalo de 4 seg, el área
está compuesta de un rectángulo con una curva de segundo grado encima, mientras que en el
segundo intervalo de 3 seg, el área consiste en un rectángulo más un triángulo.
[Ls = (Área)v_1] .:ls1 = 2.4(4) + !(3.6)(4) = 14.4 m
.:152 = 6(3) + H5.4)(3) = 26.1 m
El último incremento en desplazamiento .:ls3 no se puede determinar tan fácilmente a
partir del área bajo la curva v-t. En cambio se evalúa aplicando la ecuación (9-4.3) al último
intervalo de 6 seg. Al empezar este intervalo la velocidad es de 11.4 m/seg. El momento del
área bajo la curva a-t se calcula como la suma de los momentos de las áreas de sus partes rec-
tangular y triangular, momentos que se toman con respecto a la ordenada de tiempo al final
del intervalo. De aquí obtenemos
[Ls = v1(M ) + (Área)a_1(t;)J
Ls3 = (11.4)(6) + (- 0.9)(6)G X 6) +(- ~.7
)(6
) eX 6)
= 68.4 - 16.2 - 32.4 = 19.8 m
Dado el caso, también podríamos haber calculado los incrementos de desplazamiento .:151 y
As2 directamente de la curva a-t. De esta manera se obtiene
.:ls1 = (2.4)(4) + H 1.8)(4)0 x 4) = 9.6 + 4.8 = 14.4 m
.:ls2 = (6)(3) + (1.8)(3)( ~ x 3) = 18 + 8.1 = 26.1 m Comprob.
Los valores requeridos de desplazamiento se obitienen sumando .:151 = 14.4 m al despla-
zamiento inicial de -18 m para dar s = -3.6 m cuando t =,.4 seg; entonces, si se suma
A52 = 26.1 m a este resultado se obtendrás = 22.5 m cuando t = 7 seg; finalmente, se suma
A53 = 19.8 m a este valor para obtener s = 42.3 m cuando t = 13 seg. La forma de la curva
s-t que se traza pasando por estos puntos se determina haciendo la pendiente de la curva s-t
proporcional al valor correspondiente de la velocidad, en cualquier instante.

22. 348 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
PROBLEMAS
9-4.4. Los ascensores de un moderno edifi-
cio están diseñados para acelerar hasta 540
m/min, o desacelerar desde esa misma velocidad
con rapidez constante en 6 seg. Con ayuda de un
diagrama v-t, determine el tiempo mínimo para
que el ascensor suba a 360m.
46 seg Resp.
9-4.5. Un auto acelera desde el reposo hasta
alcanzar una velocidad máxima de 95 km/h y
luego inmediatamente desacelera hasta parar. Si
el tiempo total transcurrido es de 20 seg, determi-
ne la distancia recorrida. La aceleración y desace-
leración son constantes pero no necesariamente
de la misma magnitud.
9-4.6. Un auto parte del reposo y llega a un
"alto" que se halla 400 m adelante. Si su acelera-
ción y su desaceleración están limitadas a 3
m/seg2 y 6 m/seg2
, respectivamente, ¿cuál es la
máxima velocidad que alcanza, si el tiempo trans-
currido debe ser mínimo?
v = 145 km/h Resp.
9-4.7. Un automóvil y un camión van a 72
km/h por una autopista. Para que el camión pase
sin peligro, el automóvil debe desplazarse 60 m
con respecto al camión. Determine el mínimo
tiempo si el automóvil puede acelerar a 1.8
m/seg2
, pero no debe exceder una velocidad de
96 km/h.
9-4.8. Un auto debe recorrer una distancia
de A a B de 540 m exactamente en 40 seg. El
automóvil acelera y desacelera a 1.8 m/seg1
,
partiendo del reposo en A y parando en B. Calcu-
le su máxima rapidez en rn/seg.
v = 18 m/seg Resp.
9-4.9. El movimiento de una partícula que
parte del reposo está gobernado por la curva a-t
a= (m/seg2)
3.6
2.4
- - - - -'---- - _ L _ _ 1seg
6 9
Figura P-9-4.9
que se ve en la figura P-9-4.9. Trace las curvas v-t
y s-t determine el desplazamiento cuando t = 9
seg.
9-4.10. Las porciones curvilíneas de la gráfi-
ca v-t que se ve en la figura P-9-4.10, son parábo-
las de segundo grado con pendiente horizontal en
t = Oy t = 12 seg. Trace las curvas a-t y s-t si
S. = O. Verifique los valores de s usando las
ecuaciones (9-4.2) y (9-4.3).
s = 84.6 m en t = 18 seg Resp.
9
1seg
18
Figura P-9-4.10
9-4.11. Un ciclo de la curva s-t para cierta
máquina se ve en la figura P-9-4.11. Las curvas
son parábolas de segundo grado, tangentes en los
puntos de inflexión indicados, y tienen pendiente
cero en t = O, 8, 12 seg. Trace las curvas v-t y a-t
y calcule la máxima velocidad y la mínima acele-
ración.
sm
1
1
1
Figura P..9-4.11
9-4.12. La rapidez de cambio de la acelera-
ción, llamada "sacudida" Uerk), de un ascensor
es constante ( ±0.6 m/seg3). Calcule el rninimo
tiempo para que el ascensor, partiendo del repo-
so, suba 9.6 m y se detenga.
t = 8 seg Resp.
9-4.13. La aceleración de una partícula está
dada por a = 5.4 - 0.9t donde a está en m/seg2
y t, en segundos. Si la partícula parte del reposo,
determine su vek>cidad cuando ha vuelto a su po-
sición inicial.
9-4.14. El movimiento de una partícula está
definido por a = 3/ - 0.3f donde á está 'en
m/seg2 y ten seg. ¿A qué distancia puede ir des-
de el reposo antes de empezar a cambiar la direc-
ción de su movimiento?
s = 421.8 m Resp.
9-4.15. Un auto parte del reposo y alcanza
una velocidad de 18 m/ seg en 15 seg. La acelera-
ción aumenta uniformemente desde cero los pri-
meros 9 seg, después de lo cual se reduce unifor-
memente a cero en los 6 seg siguientes. Calcule el
desplazamiento en este intervalo de 15 seg.
9-4.16. La aceleración de un objeto que se
mueve a lo largo de una trayectoria recta dismi-
9-5 Introducción al cálculo vectorial 349
nuye uniformemente desde 3 m/seg2
hasta cero
en 12 seg, cuando la velocidad es de 1.8 m/seg.
Calcule su velocidad inicial y el cambio de su po-
sición durante el intervalo de 12 seg.
t:..s = 50.4 m Resp.
9-4.17. Un objeto alcanza una velocidad de
14.4 m/ seg con una aceleración que varía unifor-
memente desde 1.2 m/ seg2
hasta 8.6 m/ seg2
en
sólo 9 segundos. Calcule su velocidad inicial y su
cambio de posición durante dicho intervalo.
9-4.18. La velocidad de una partícula varía
de -2.4 m/seg a 17.4 m/seg durante un lapso de
12 seg, en el cual su aceleración aumenta unifor-
memente con el tiempo de un valor inicial de 0.9
m/ seg2• Determine el desplazamiento efectuado
en dicho lapso.
72m Resp.
9·5 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VECTORIAL
En todo movimiento, excepto en el rectilíneo, las cantidades vectoriales incluidas cambian
tanto en dirección como en magnitud. Cualquier cambio en la dirección de un vector, produ-
ce en su derivada una dirección diferente de la del vector original. El cálculo vectorial sirve
para evaluar automáticamente el aspecto de dirección; en efecto, ésta es la diferencia básica
entre el cálculo vectorial y el cálculo escalar. Insistiremos y explicaremos este punto en
problemas posteriores.
Por el momento sólo necesitamos las siguientes reglas para la diferenciación de las su-
mas y productos de dos vectores. Son casi las mismas que las del cálculo escalar:
!!_(A + B) = dA + dB
~ dt dt
!!._ (A •B) =dA •B + A • dB
dt dt dt
(9-5.1)
(9-5.2)
(9-5.3)
Estas reglas nos serán muy útiles en las deducciones teóricas. Notemos que es esencial mante-
ner el orden de los términos al diferenciar el producto vectorial o de cruz.
Uno de los métodos más útiles para distinguir entre el cambio de magnitud y dirección
de un vector está dado por la siguiente regla para diferenciar el producto de un escalar y de
un vector, siendo ambos funciones de t: "
d dn dA
-(nA)= -A+ n-
dt dt dt
(9-5.4)

23. 350 CIN EMÁTICA DE LA PARTÍCULA
Para integrar una función vectorial, invertimos el proceso de diferenciación. De tal ma-
nera, si
la integral de B es
A= dB
dt
B =fAdt+ e (9-5.5)
donde la constante de integración e es un vector cuya dirección y cuya magnitud son cons-
tantes. Uno de los métodos más útiles para realizar la integración consiste en expresar el in-
tegrando en términos de vectores unitarios constantes dirigidos según direcciones coordena-
das fijas. Por ejemplo, si
A =A) + A11j + AJ
donde Ax, Ay, A. son funciones escalares de t, la integral queda
B = fA dt = f (A) + A11j + AJ) dt + e
= iJA_.. dt + jJA11 dt + fc.JA.. dt +e
(9-5.6)
Los vectores unitarios constantes se han sacado del signo integral y C es un vector constan-
te de integración. En los párrafos siguientes explicaremos otros conceptos conforme se
necesiten.
9·6 COMPONENTES RECTANGULARES DEL MOVIMIENTO CURVIlÍNEO
Ahora estudiaremos el movimiento de una partícula a lo largo de una curva en el espacio
descrito por el extremo de un vector variable de posición. Con ,respecto a un sistema de ejes
de referencia fijo, como se ve en la figura 9-6.1, el vector de posición r de la partícula en mo-
vimiento P es
y
l.
A A ('
r = xi + yj + ZK
-----"
1
1 1
1yj
........ 1 ........
....... 1 ..........
"r----- -
1
1
V
1
" 1
i _____ - --+'--
S ', 1
- - -- X
"' 1zk '1
Figura 9-6.1 Componentes rectangulares de la velocidad.
(9-6.1)
Trayectoria
9-6 Componentes rectangulares del movimiento curvilíneo 351
donde las coordenadas rectangulares x, y, zson funciones del tiempo. Cuando derivamos su-
cesivamente esta expresión para obtener la velocidad y la aceleración, nótese que cada térmi-
no del segundo miembro es el producto de un escalar y un vector. Por tanto, al aplicar la
regla expresada por la ecuación (9-5.4), la derivada de r respecto al tiempo es
dr dx ~ di dy ~ dj dz " dfc.
- =-1 + x- + -J + y- +-K + z-
dt dt dt dt dt dt dt
Sin embargo, aquí los vectores unitarios i, j, fe., son constantes en magnitud y dirección, por
lo que sus derivadas son nulas.
Así, pues, la velocidad es
dr dx ~ dy ~ dz " }V=- = -1 + -J +-Kdt dt dt dt
A A ('
= v_..i + vuj + v.-K
(9-6.2)
y la aceleración,
dv dv_.. ~ dv11 ~ dvz "
a = - =- 1 + -J +-Kdt dt dt dt
d2
r d2
x ~ d2
y ~ d2
z fe.
= dt2 = dt2
1
+ dt2 J + dt2
(9-6.3)
=a)+ a11j + aJ
Estos resultados indican que el movimiento de una partícula equivale a la proyección si-
multánea. del movimiento según ejes coordenados rectangulares fijos. Cada una de esas pro-
yecciones es un movimiento rectilíneo, cuyos detalles han sido presentados en la sección 9-3
de este libro.
Cuando el sentido y la dirección de un vector componente se especifican completamente
por un subíndice (como en este caso), con frecuencia resulta útil remplazar la notación vecto-
rial formal por esta otra forma
r=x+y+ z
v =v_.. +v11 +vz
a= a_.. +a11 +az
(9-6.4)
donde el símbolo + indica que se considera la suma geométrica de cantidades cuyas magni-
tudes tienen dirección conocida. Las direcciones positivas de estas cantidades son las direc-
ciones positivas de los ejes coordenados.
En otras ocasiones puede ser útil omitir la notación vectorial y considerar solamente las
relaciones escalares entre las componentes. Así, para una partícula en movimiento cuya posi-
ción está definida por las componentes rectangulares x, y, z que varían en el tiempo, las com-
ponentes de la velocidad y la aceleración pueden escribirse c~mo
dx dy dz
V_..= dt' V y = dt' Vz = dt (9-6.5)

24. 352 CIN EMÁTICA DE LA PARTÍCULA 9-6 Componentes rectangulares del movimiento curv11íneo 353
y también, Movimiento de proyectiles a
a = dvx = d
2
x a = dvy = d
2
y a = dvz d
2
z
:t dt dt2 ' y dt dt2 ' z dt dt2
Utilizaremos de cuando en cuando estas notaciones, puesto que cada una tiene sus pro-
pias ventajas. La notación vectorial formal ofrece un método para obtener resultados
complejos de manera compacta. Sin embargo, cuando se emplea para resolver problemas
numéricos, la representación vectorial debe convertirse a la forma escalar y las ecuaciones
(9-6.4) y (9-6.5) son las más convenientes para seguir los detalles. Posteriormente veremos
otras representaciones escalares de cantidades vectoriales, pero sólo serán formas alternati-
vas para examinar una misma entidad física.
MOVIMIENTO DE PROYECTILES EN EL QUE SE DESPRECIA
LA RESISTENCIA DEL AIRE
Pensemos en el movimiento de un proyectil, en el que no se consideran factores como la velo-
cidad del viento, la resistencia del aire y la rotación de la Tierra, los cuales alteran la trayec-
toria real del proyectil. En tal caso, la trayectoria del proyectil será una curva plana, como
OBCD (fig. 9-6.2). Conviene descomponer el movimiento curvilíneo, a lo largo de la trayec-
toria, en movimientos rectilíneos según los ejes X y Y, que tienen su origen en el puntb inicial
del vuelo. La velocidad inicial está representada por v0, dirigida según un ángulo () respecto
al eje X.
Por la dirección inicial del movimiento, ambos desplazamientos rectilíneos serán positi-
vos hacia la derecha y hacia arriba. Como la única fuerza que supuestamente actúa sobre el
proyectil es su propio peso, su aceleración total en todas las posiciones se deberá a la grave-
dad y estará dirigida verticalmente hacia abajo con un valor g. Por tanto, las componentes
de tal aceleración son constantes, a, = O y ay = - g.
Figura 9-6.2 Vuelo de un proyectil.
Puesto que estas componentes de aceleración no cambian, podemos emplear las
ecuaciones de movimiento rectilíneo con aceleración constante para determinar las corres-
pondientes componentes rectangulares del movimiento curvilíneo. Este procedimiento se
explica en la tabla siguiente, la cual debe ser lo suficientemente clara para evitar la memori-
zación de los resultados.
Rectilíneo con
aceleración Componentes X Componentes Y
constante (ax = O, V0 , = V0 cos 8) (ay = -g, v0 = v0 sen8 )
•
VT = tlo, + axt vv = v0 • + avt
v =V0 + at o o
vx = vo cos 8 vy =v0
sen8 - gt
s = v0 t + ~at2
X =V0 / + ~axt2
Y= Vo/ + ~a/2
o o
x = (v0
cos 8)t y = (v0 sen 8)t - !gt2
as¡ se consideran la resistencia del aire, la velocidad del viento, etc., a, y a, vendrían a ser cantidades variables y
tendrían que resolverse las ecuaciones diferenciales del movimiento -ecuaciones (9-3.1), (9-3.2), (9-3.3) - para ob-
tener las ecuaciones adecuadas del movimiento del proyectil.
Si, como se observa en la figura 9-6.2, el tiempo de vuelo es menor que el necesario para
alcanzar C, el proyectil se hallará por encima de su posición inicial y los valores del desplaza-
miento (según Y) serán positivos. Si el tietnpo de vuelo es mayor que el necesario para llegar
a C, el proyectil seguirá la trayectoria CD y los valores del desplazamiento (según Y) serán
entonces negativos. En el punto más alto de la trayectoria, B, el valor de Vy será cero.
PROBLEMAS ILUSTRATIVOS
• 9-6.1. En la figura 9-6.3, el elemento articulado AB tiene un pasador P cuya posición
está controlada por la barra horizontal ranurada. En el instante en que y = 5 cm, la barra se
mueve hacia arriba con una velocidad constante de 10 cm/seg. ¿Cuál es entonces la compo-
nente x de la velocidad y de la aceleración del pasador P?
y
1
Figura 9-6.3
Solución
El movimiento de Pes común al movimiento hacia arriba de la barra y a la trayectoria circu-
lar x2 + y2 = 100, donde y = 5 cm, x = 8.65 cm. Del movimiento de la barra, y = 10
cm/seg y Y"= O. En la trayectoria circular, la velocidad y la a~leración de P se obtiene por
dos derivaciones sucesivas respecto al tiempo de la distancia recorrida
xx + yy =O (a)
xx + x2 + yy + y2 = o (b)

25. 354 CINEMÁTICA DE LA PARTiCULA
En la ecuación (a), sustituimos los valores conocidos de x, y, y, para obtener
8.65 x+ 5(10) =O, de dondex = - 5.77 cm/seg Resp.
Con xconocida, la ecuación (b) nos da
8.65x + (5.77)2
+ 5(0) + (10)2
=o
de donde
x= - 15.41 cm/seg2 Resp.
1 9-6.2. Un proyectil es disparado desde lo alto de un farallón d~ 90 m de altura con una
velocidad de 424.2 m/seg que forma un ángulo de 45° con la horizontal. Calcule el alcance
sobre el plano horizontal que pasa por la base del farallón.
y
1 Vo ~~~2-=:e:.,
50 '
_L_T_~---x
Pane imaginaria
del vuelo 1
t =-0.3 seg¡ 1 y =-90 m
J~-t-------L_____e_X
Figura 9-6.4
Solución
La figura 9-6.4, representa las condiciones del problema. Las componentes iniciales de la ve-
locidad son v0x = v0y = 300 m/seg, dirigidas hacia la derecha y hacia arriba. Cuando escoge-
mos estas direcciones (y sentidos) como positivas para todas las componentes vectoriales, el
desplazamiento y hacia arriba es positivo y la aceleración g hacia abajo es negativa; además
la posición final del proyectil está abajo del origen y por tanto es negativa. Así tenemos
- 90 = 300/- 4.9t2
t = 61.5 seg, o bien, t = - 0.3 seg
Usando el valor positivo de t, obtenemos
x = 300(61.50) = 18 450 m
(a)
Resp.
El valor negativo de t, obtenido de la ecuación (a), es decir t = -0.3 seg, puede in-
terpretarse como el tiempo necesario para que el proyectil se aleje de la base del farallón en A
y suba al origen O. Se trata también del tiempo necesario para que el proyectil vaya deBa C.
Esta observación puede verificarse encontrando ~1 tiempo requerido para recorrer la distan-
cia :JB.
O = 300/ - 4.912, o bien, t = 61.2 seg
Si sumamos 0.3 sega este valor, el resultado es el tiempo total de vuelo de 61.5 seg, como an-
tes.
9-6 Componentes rectangulares del mov1m1ento curvilíneo 355
~ 9-6.3. Determine la posición en la que una bola arrojada hacia arriba y a la derecha,
chocará coh el plano inclinado que se muestra en la figura 9-6.5. La velocidad inicial de la
bola es de 30 m/ seg dirigida según()= tg - 1 <f> con respecto a la horizontal.
y
1
1
"oy= 24 m/seg1
1 1
IY
o 1
- - l k 2 l.L.L.:...- - - -- - ~ - - - - X
...-";4J4 ' - ,,
Figura 9-6.5
Solución
Debido a la pendiente del plano, las componentes del desplazamiento son x = 2y. Las com-
ponentes iniciales de la velocidad son v0x = 18 m/seg y v0y = 24 m/seg. Sus direcciones es-
tablecen el sentido positivo de todas las componentes vectoriales. Entonces las componentes
del desplazamiento son
X = 2y = 18!
y = 24t - 4.9! 2
(a)
(b)
Al multiplicar la ecuación (b) por -2 y sumarla a la ecuación (a) se elimina y, por lo que
resulta
O = - 30 t + 9.8 t 2, o bien, t = 3.1 seg
Sustituyendo este valor de t en la ecuación (a) se obtiene
x = 18(3.1) = 56 m
de donde la distancias (a lo largo del plano inclinado) es
S 56
2
s = 62.6 m Resp.
Si el plano inclinado tuviera una pendiente hacia abajo y a la derecha, la coordenada fi-
'nal de desplazamiento y estaría por debajo del origen y sería entonces negativa. Por lo tan-
to, si se pone un signo menos antes de y, en la ecuación (b), el tiempo de movimiento hacia
abajo del plano sería t = 6.84 seg. Los valores correspondientes de x y s serían x = 123 m y
s = 137.4 m.

26. 356 GINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
PROBLEMAS
9-6.4. Una pelota de·golf es lanzada desde
un punto elevado ("tee") hacia el "green"; la
distancia horizontal es de 108 m. Si la velocidad
inicial de la bola es de 30 m!seg a 53.1° respecto
de la horizontal, ¿cuál es la altura del punto de
partida en relación con el "green"?
9-6.5. Una pelota de golf es impulsada con
una velocidad inicial de 48.3 rn!seg hacia arriba a
30° respecto a la horizontal desde un punto de
partida a 19.3 m por encima del nivel del campo.
¿Qué distancia horizontal recorrerá la pelota an-
tes de caer?1
203m Resp.
9-6.6. Un proyectil se dispara con una velo-
cidad inicial de v0 m/seg hacia arriba formando
un ángulo (J con la horizontal. Determine la dis-
tancia horizontal recorrida antes de que el pro-
yectil llegue a su nivel original. También determi-
ne la máxima altura obtenida por el proyectil.
x =V0
2
sen2B; h = v0
2
sen
2
B
g 2g
Resp.
9-6.7. Como un ejemplo de licencia poética,
considere el siguiente pasaje de La Canción de
Hiawatha de Longfellow:
Rápido era Hiawatha:
¡corría con tal rapidez
que al disparar una flecha
ésta caía detrás de él!
Fuerte era Hiawatha:
disparaba diez flechas
con tal fuerza y rapidez
que la décima salía del arco
estando la primera sin caer.
Trad. de F.R.)
Supongamos que transcurre 1 seg entre el disparo
de cada flecha y que Hiawatha las arrojaba con el
máximo alcance cada vez, ¿a qué velocidad tenía
que correr?
9-6.8. Un acróbata debe saltar con su auto a
través del pozo lleno de agua que se ve en la figu-
ra P-9-6.8. Determine la mínima velocidad del
auto y el ángulo (J de la rampa.
Vo = 35.8 km/h; (J = 45° Resp.
3m
2
Figura P-9-6.8
9-6.9. Una pelota es arrojada de manera
que apenas pasa sobre una pared de 7.5 m que es-
tá situada 30 m más adelante. Si sale de la mano a
1.5 m por encima del suelo y con un ángulo de
60° respecto a la horizontal, ¿cuál es la velocidad
inicial de la pelota?
V0 = 22.6 m/seg Resp.
9-6.10. En la figura P-9-6.10, una pelota se
tira desde un plano inclinado y choca con éste a
una distancias = 76.4 m. Si la pelota sube a una
altura máxima h = 19.3 m arriba del punto de sa-
lida, calcule la velocidad inicial y la inclinación 8.
Figura P-9-6.10
9-6.11. Una partícula tiene una velocidad
inicial de 30 m/seg hacia arriba a la derecha, for-
mando 30° con la horizontal. Las componentes
de la aceleración son constantes a, = - 1.2
m/seg2
y a. = -6 m/seg2
• Calcule la distancia
9-6 Componentes rectangulares del movimiento curvilíneo 357
horizontal recorrida antes de que la partícula lle-
gue a 18 m por debajo de su elevación original.
x = 134.4 m Resp.
9-6.12. Una partícula se mueve a lo largo de
la trayectoria y = 3.33r -4 + 30, empezando
con una velocidad inicial v0 = (I.ii - 4.8J)
m/seg. Si v, es constante, determinar v, y a, cuan-
do x = 4.8· m.
9-6.13. Si la velocidad de una partícula está
definida por v = (0.6t + 0.3)1 + 0.9J m/seg y su
vector de posición cuando t = 1 seg es r =
1.21 + O.9J metros, determine la trayectoria de la
partícula en términos de las coordenadas x y y.
9x = 3.33y + 3y + 5.4 Resp.
9-6.14. La trayectoria de una sonda espacial
forma un ángulo de 60° con la horizontal mien-
tras se mueve a 16 000 km/h. Su curso es corregi-
do por medio de motores de empuje cuando la
trayectoria forma un ángulo de 30° con la hori-
zontal. Suponiendo que la aceleración gravita-
dona es constante a 9.14 m/seg2
durante este
vuelo sin potencia, ¿qué intervalo de tiempo de-
be haber transcurrido antes de accionar los moto-
res de empuje? ¿Cuál es el aumento en altura du-
rante e~te intervalo?
282 seg; 725 km Resp.
9-6.15. Un cohete se suelta de un avión jet
de guerra que vuela horizontalmente a 1 210
km/hora y a una altura de 2 440 m por encima de
su objetivo. El empuje del cohete le da una acele-
ración horizontal constante de 0.6 g. Determinar
el ángulo entre la horizontal y la línea visual del
objetivo.
9-6.16. Si la velocidad inicial de un objeto es
de 12 m/seg, determinar la distancia horizontal
que puede cubrir sin elevarse más de 3 m.
14.6 m Resp.
9-6.17. La varilla telescópica mostrada en la
figura P-9-6.17 hace mover el pasador P a lo lar-
go de la trayectoria fija 22.5y = r, donde X, y
están dados en cm. En cualquier momento t, la
coordenada x de P está dada por x = 2.5 t2
-
12.5t. Determinar las componentes y de la veloci-
dad y de la aceleración de P cuando x = 15 cm.
v, = 23.32 cm/seg; a, = 33.9 cm/seg2 Resp.
y
30cm
Figura P-9-6.17
1.44y=
0.64¿
9-6.18. Una partícula se mueve en el plano
XY, de manera que su coordenada x está defini-
da por x = 12.5t3 - 262.5!, donde x está dada en
cm y t en seg. Cuando t = 2 seg la aceleración to-
tal es 187.5 cm/seg2
• Si la componente y de la
aceleración es constante y la partícula parte del
reposo en el origen cuando t = O, determinar su
velocidad total cuando t = 4 seg.
9-6.19. Una partícula está limitada a mover-
se hacia arriba y a la derecha a lo largo de la tra-
yectoria 2y2
= 0.4x3
+ 162.5, donde x y y están
consideradas en cm. La coordenada x de
partícula en cualquier momento es x = 2.5t2 -
2.5! + 10. Determinar las componentes y de la
velocidad y de la aceleración cuando x = 15 cm.
vv = 18.4 cm/seg; aY = 18.37 cm/seg2
Resp.
9-6.20. La posición del pasador P en la ra-
nura circular que se ve en la figura P-9-6.20 está
controlada por la guía inclinada que se mueve ha-
cia la derecha con una velocidad constante de 10
m/seg en cada intervalo de movimiento. Calcular
la velocidad y la aceleración de P en la posición
dada.
y
Figura P-9-6.20

27. 358 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
Sugerencia: Trazando la posición de la guía un
corto tiempo t después de la posición dada, obte-
ner las coordenadas absolutas del movimiento (a
lo largo de la guía) en términos del tiempo. El
movimiento absoluto de P en la ranura circular es
igual a la suma geométrica del movimiento de la
guía más el de P a lo largo de la misma.
i = 6.4 cm/ seg; y = - 4.8 cm/ seg
x = - 3.07 cm/seg2
; y= - 4.1 cm/ seg2 Resp.
9-6.21. Resolver el problema 9-6.20 si, en la
posición dada, la guía se mueve hacia la izquierda
con una velocidad de 12.5 cm/seg y una acelera-
ción de 10 cm/ seg2
•
r = -11.2 cm/ seg2
; y = - 1.6 cm/seg2
Resp.
9-7 COMPONENTES NORMAL Y TANGENCIAL DE LA ACELERACIÓN
Muchas veces, las componentes más útiles de la aceleración son aquellas que son tangente y
normal a la trayectoria, pues, como veremos, estas componentes separan y denotan respecti-
vamente la rapidez de cambio en la magnitud y dirección de la velocidad. Son particularmen-
te útiles cuando necesitamos relacionar directamente la velocidad y la aceleración con la tra-
yectoria. El siguiente análisis se refiere al movimiento en el plano, pero también se puede
aplicar al movimiento espacial tridimensional.
En la sección 9-2 hemos denotado ya la velocidad en términos de su dirección y magni-
tud por medio de la expresión v = ve1• Como la aceleración es la derivada de la velocidad res-
pecto al tiempo, obtenemos
(a)
dv d2s
Aquí, dt = dt2
= at representa el cambio en magnitud de la velocidad tangencialrnente
dirigida a la trayectoria como indica el'
El cambio direccional de v está expresado por dd~t , que interpretarnos ahora. A diferen-
cia de los vectores unitarios asociados con los ejes de referencia fijos, e1 es un vector unitario
cuya dirección varía con la trayectoria. Así, en la figura 9-7.1, los vectores unitarios tangen-
tes en dos posiciones A y B, separados por un intervalo de tiempo tJ..t, tienen la misma magni-
p
Trayectoria
(a)
l'lgura 9-1.1 Cambio de ~~en el tiempo.
(b)
9-7 Componentes normal y tangenc1al de la acelerac16n 359
tud de una unidad pero son respectivamente perpendiculares a las normales a la trayectoria
en A yB. Las direcciones de estas normales difieren en un ángulo de !J.(} radianes. El radio de curva-
tura en A se designa por p y el radio de curvatura en B tiende a este valor conforme
o
Figura 9-7.2 Cambio en e1cuando Al- O.
t
6.8 - O. Cuando trazamos los vectores unitarios tangentes desde un origen común, como en
la parte (b), forman un triángulo isósceles cuyo ángulo en el vértice es 6.8 y cuya base !le1 de-
nota su cambio de dirección.
Consideremos ahora el significado geométrico de permitir que el intervalo de tiempo
entre las posiciones A y B tienda a cero como límite. En la figura 9-7.1(a), B se aproxima a A
con una distancia diferencial d'i; el ángulo 6.8 se transforma en d8, el radio de curvatura en B
también es p. En La figura 9-7.I(b), a medida que !J.(} - O, los ángulos de la base tienden a 90° Y
por lo tanto, en el límite, la dirección de !le, es normal a la trayectoria en A. Como resultado de !lt
- O, la figura 9-7.1 se transforma en la figura 9-7.2. Nótese que en el tiempo dt, el vector unita"
rio tangente e, gira un ángulo d() y su extremo se mueve la distancia lde,l = (1) d() = d() en la di-
rección perpendicular a e1
, esto es, hacia el centro de curvatura O en la dirección definida por el
vector unitario normal e". Así, obtenemos
det ao A 1 ds A v A
-=-e =--e =-e
dt dt n p dt n P n
(b)
Al sustituir este valor en la ecuación (a) se obtiene "
(9-7.1)

28. 360 CIN EMÁTICA DE LA PARTICULA
donde las magnitudes de las componentes de la aceleración son: a1 = ~~ ·y an y sus
p
direcciones son tales que a1 positiva es tangente a la trayectoria en dirección del aumento de
la velocidad, mientras que a" siempre está dirigida hacia el centro de la curvatura.
Notemos que para obtener medidas a lo largo de la trayectoria existen las relaciones
entres, v y a1 semejantes a las estudiadas previamente para el movimiento rectilíneo (sección
9-3). Obsérvese que la componente tangencial de la aceleración a1 = dv/dt representa sola-
mente el cambio (en magnitud) de la velocidad y será cero si la rapidez es constante. Por otro
2
lado, la componente normal de la aceleración, a" = E_ , es causada por el cambio de direc-
P
ción y será cero sólo si v = O, o bien, si p es infinito como en el punto de inflexión de la tra-
yectoria, o si la trayectoria es recta.
Otras expresiones alternas para la magnitud de a" son
(9-7.2)
donde w = dO/dt representa la velocidad angular del radio de curvatura. Una de las apli-
caciones más útiles de la ecuación (9-7.2) ocurre en el movimiento a lo largo de una trayec-
toria circular; por ejemplo, la rotación de un cuerpo rigido alrededor de un eje fijo. Aquí p
es el radio constante de la trayectoria circular descrita por una partícula del cuerpo en rota-
ción. Para otras trayectorias curvas, p y su velocidad angular w son generalmente difíciles de
determinar antes de calcular la componente normal de la aceleración.
La correlación entre la aceleración total a de una partícula y sus componentes rectangu-
lares (o sus componentes normal y tangencial) se ven en la figura 9-7.3. Cada conjunto de
componentes puede derivarse de las otras, proyectando un conjunto sobre el otro. Al hacer
esto se obtiene
o sea,
an = ~x sen() + ay cos B}
a1 = a., cos B - a11
sen ()
a., :::;: ansen() + a1 cos B}
a11
= an cos B - a1 senO
(9-7.3)
(9-7.4)
Una vez entendidas estas correlaciones entre las componentes de la aceleración, no tenemos
que molestarnos por recordarlas puesto que se obtienen fácilmente de un diagrama apro-
piado para la situación dada.
El análisis anterior sobre las componentes tangencial y normal de la aceleración también
es válido para el movimiento espacial tridimensional, pero encuentra un uso limitado debi-
do a la dificultad para especificar las direcciones de e1 y e". La dirección de la tangente a la
trayectoria espacial se puede visualizar fácilmente, pero hay un número infinito de perpendi-
culares a dicha tangente. La dirección de la normalprincipal, a lo largo de la cual está dirigi-
do e"' es la que pasa por el centro de curvatura. Entonces e, y e" describen un plano que
coincide con el del alargamiento y el cambio de orientación simultáneos del vector velocidad.
Este plano se conoce como plano osculador y su perpendicular es la dirección binormal. El
vector unitario binormal eb, junto con e, y e". forman un sistema de vectores mutuamente
y
1
1
1
1
1
Trayectoria1
1
1
1
9-7 Componentes normal y tangenc1al de la aceleración
-t---------------x
Figura 9-7.3 Relaciones entre las componentes rectangulares y las componentes nor-
mal y tangencial de la aceleración.
361
perpendiculares, según la mano derecha, definido por e1 X e" = eb, cuyas direcciones cam-
bian continuamente en el espacio con el movimiento de la partícula a lo largo de la tra-
yectoria.
PROBLEMAS ILUSTRATIVOS
• 9-7.1.' Una partícula se mueve en el plano XY con a. = -1.8 m/seg2 y ay = -9
m/seg2. Si la velocidad inicial es de 30 m/seg, dirigida con una pendiente de 4 : 3 como se ve
en la figura 9-7.4, calcular el radio de curvatura de la trayectoria 2 seg después.
Solución
En lugar de determinar el radio de curvatura aplicando la conocida fórmula del cálculo a la
ecuación de la trayectoria, un procedimiento más sencillo consiste en calcular el radio de cur-
vatura a partir de la ecuación (9-7.2) después de haber determinado la velocidad v y la acele-
ración normal a".
Las componentes de la velocidad (2 seg después) son
[v =v0 + at] v., = 30 (~) - 1.8(2) = 14.4 m/seg
v11
·= 30 (!) - 9(2) = 6 rn!seg
Al combinar estas componentes se obtienen la velocidad resultante v y la inclinación Ode la
tangente a la trayectoria.
v = y(14.4)2 +.. (6)2 = 15.6 m/ seg
V 6
tg () =_!. =-; () =22.6°
v., 14.4,

29. 362 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA (j)
Figura 9-7.4
La componente normal de la aceleración se calcula proyectando las componentes rec-
tangulares de la aceleración sobre la normal a la trayectoria. Como se ve en la figura, tales
proyecciones están dirigidas en forma opuesta, de tal manera que a" es igual a su diferencia.
[an = a11
cos () - a,senO] an = 9. cos 22.6o - 1.8 sen 22.6°
=7.6 m/seg2
Finalmente, aplicando la ecuación (9-7.2), obtenemos
p = 32.4 m Resp.
._ 9-7.2. El movimiento de una partícula está definido por el vector de posición r =
1.5ti + 0.9 t2j + 0.1 t 3í( donde r está dada en metros y t, en segundos. En el instante en que t
= 2 seg, encontrar las componentes tangencial y normal de la aceleración y el principal radio
de curvatura.
Solución
La velocidad y la aceleración, en cualquier instante, están determinadas por derivaciones su-
cesivas del vector de posición y son
de manera que cuando t = 2 seg,
V = 1.5l + 1.8tj + 0.3t2k
a = 1.8j + 0.6tk
v = 1.5l + 3.5j + 1.2k, v = -/I6.65 = 4.08 m/seg
a = 1.8j + 1.2k, a = ../4.68 = 2.16 m/seg2
Como la velocidad es tangente a la trayectoria, el vector unitario tangente, cuando t = 2
seg, es
A V 1 (1 5~ 3 6~ 1 2kA)e1 = - =-- . 1 + . J + .
V 4.08
9-7 Componentes normal y tangenc1al de la acelerac1ón 363
de donde la componente tangencial de la aceleración en ese mismo instante es
a1 = a· e1 = (1.8} + 1.2k).
4.~8 (1.5l + 3.6j + 1.2k)
21 ·6+ 4·8 1.94 mlseg2
4.08
Resp.
Aplicando el concepto de que a1 y a" son componentes perpendiculares de a, la magni-
tud de la componente normal de la aceleración se determina a partir de
an2 = a2 - a1
2 = 4.68 - (1.94)2 = 0.9164; a. = 0.957 m/seg2 Resp.
Finalmente, el radio de curvatura principal se calcula a partir de la relación
_ v2 _16.55 _
17 4P- - - . m
an 0.957
Resp.
Un método general para determinar p en cualquier sistema de coordenadas consiste en
tomar el producto vectorial de la velocidad v y la·aceleración a. Así,
donde v x a1 = O, pues v y a1 son tangentes colineales a la trayectoria. Entonces la magnitud
de v x a. es igual a la de v x a, o sea
de donde
o v2 v3
jv x a¡ = jv x anl = van sen 90 =van =v- =-
v3
p=--
lv xa¡
p p
(9-7.5)
Para ilustrar este procedimiento general, verifiquemos el valor de p que obtuvimos pre-
viamente. Notando que t = 2 seg, v = 1.5i + 3.6j + 1.2k y a = 1.8j + 1.2k, obtenemos
de donde
1.5 3.6 1.2
V X a= 0 1.8 1.2 = f(4.32 - 2.16) + j(- 1.8) + k(2.7)
i j k
jv x a¡ = ._/(2.16)2 + (1.8)2 + (2.7)2 = 3.89 m2/seg3
Al aplicar la ecuación (9-7.5), obtenemos
P =(4.08)3 = 17.4 m
3.89
Comprob.
Obsérvese también que este método general determina la magnitud de a" como sigue:
3.89 = 4.08a" a" = O957 m/seg2 Comprob.
Como un comentario final, siempre que se necesite el vector unitario normal para espe-
cificar la dirección de la aceleración normal, puede emplearse el siguiente procedimiento.