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Travesía
matemática
TOPICOS DE MATEMATICA:
para pensar UN POCO
Dados de colores
Estadísticas
Matemática e imaginación
Efecto domino
Laberinto fractal

2. -
Dados de colores
Pierre Berloquin nació en Francia en 1939. Es ingeniero,
consultor, e inventor de juegos, además de haber escrito
una gran cantidad de libros de problemas matemáticos y
pasatiempos, entre los que se encuentra el problema de
los dados de colores. Dos amigos, Aldo y Beto, van a
jugar un juego con dos dados que no son
convencionales.
En lugar de números, sus caras llevan colores: cada cara
puede ser roja o azul. El juego es así.
Se arrojan los dados.
Aldo gana si en los dos dados salen caras del mismo
color. Es decir, si salen ambas rojas o ambas azules.
Beto gana si salen caras de distinto color: una roja y una
azul.
Uno de los dados tiene cinco caras rojas y una azul.
¿Cuántas caras rojas y cuántas azules debería tener el
otro dado para que el juego sea parejo? (Es decir, para
que Aldo y Beto tengan la misma probabilidad de ganar).
Como cada dado tiene 6 caras, al arrojar dos dados los
resultados posibles son 6*6 = 36 (hay 6 resultados del
segundo dado para cada uno de los seis resultados del
primero). Es decir que el juego será parejo si en 18 de
esos 36 resultados los dados salieran del mismo color y
en los otros 18 los dados salieran de distinto color.
¿Cómo habría entonces que pintar el segundo dado?

3. Pero esto nos enfrentaría al mismo
desequilibrio, sólo que favoreciendo a
Beto: habría 25 resultados a su favor
cuando el primer dado salga rojo y el
segundo azul (y uno más en la viceversa).
Un problema parecido aparece aun si el
segundo dado tuviera "sólo" cuatro caras
de algún color, ya que o Aldo o Beto se
vería favorecido con (al menos) veinte
resultados a su favor: las combinaciones de
las cinco caras rojas del primer dado con las
cuatro caras iguales del segundo dado.
Por eso, como dijeron muchos de ustedes,
y de forma un tanto anti-intuitiva, la
solución pasaba por que el segundo dado
tuviera tres caras rojas y tres azules. Una
consecuencia un tanto paradójica es que el
primer dado se vuelve innecesario para el
juego: bastaría con que Aldo y Beto
eligieran un color cada uno y arrojasen sólo
el segundo dado.
Fíjese también que el mismo problema
puede plantearse extendiéndolo a dados
de 12 caras (o cualquier otra cantidad, así
sean dados reales o imaginarios). Si uno de
los dados tiene 9 caras rojas y 3 caras
azules, ¿cómo habría que pintar el segundo
dado para que el juego sea parejo?
Para terminar, démosle al problema una vuelta de tuerca más.
El planteo es el mismo: se arroja dos dados (normales, de seis caras), Aldo
gana si salen del mismo color, y Beto si salen de colores distintos.
La diferencia es que ahora hay tres colores disponibles: rojo, azul y verde.
Si cada dado debe contar con al menos una cara de cada color, ¿cómo hay
que pintar los dados para que el juego sea equiprobable para Aldo y Beto?
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4. Estadísticas
En las épocas electorales, en la que cunden las encuestas, es bueno
recordar una frase (atribuida -entre otros a Benjamín Disraeli) según la
cual hay tres clases de mentiras: las mentiras, las grandes mentiras, y
las estadísticas.
Los datos de las estadísticas pueden ser reales, pero muchas veces
es posible manipular la forma de obtenerlos, o el punto de vista desde
que se los presenta, para provocar sorpresa u orientar en el público
receptor una reacción específica.
Los siguientes situaciones están planteadas en el libro "Paradojas
¡Ajá!" de Martin Gardner. ¿Cómo las entiende Ud.?
1) Las estadísticas muestran que casi todos los accidentes
automovilísticos se producen entre vehículos que circulan a velocidad
moderada, y muy pocos ocurren a velocidades mayores a los 150
Km/h. ¿Significa eso que es más seguro viajar a más de 150 km/h?
2) Si las estadísticas muestran que el número de personas que
mueren de tuberculosis en Arizona es mayor al de cualquier otro
estado de EEUU, ¿significa eso que el clima de Arizona favorece
contraer tuberculosis?
3) Una investigación muestra que los niños con pies grandes deletrean
mejor que los niños con pies pequeños. ¿Significa eso que el tamaño
del pie es una medida de la capacidad para deletrear?
Soluciones:
Antes de leerlas, los invitamos a elaborar las suyas
propias.
1)No. Casi todo el mundo circula a velocidad moderada, y como es natural, la mayoría
de los accidentes se producen a estas velocidades. (Las correlaciones estadísticas no
implican una relación de causa-efecto.)
2)Todo lo contrario. El clima de Arizona es tan beneficioso para la gente que padece
de tuberculosis que muchos de ellos se mudan allí. Esto es lo que hace que aumentar
la tasa de fallecimientos por este mal
3)No. El estudio se hizo sobre escolares, niños que están en pleno crecimiento. Lo
que la investigación demostró es que los niños mayores -y que por lo tanto tienen
los pies más grandes- saben deletrear mejor.

5. MATEMATICA E IMAGINACION
1.Dos anillos anudados no se pueden separar sin romper alguno de ellos. Esto, que
resulta tan evidente, no era tan sencillo de demostrar hasta la aparición de la topología.
Consígase ahora un par de sogas y "anúdese" con un/a amigo/a como en la figura, de
manera que no pueda escaparse de la soga ninguna de las manos. Sin embargo, esta
atadura de pareja no es equivalente a la de las dos anillas y es posible separarse sin
cortar ninguna de las sogas. ¿Cómo lograrlo?
Las siguientes instrucciones para desanudarse sin cortar las sogas son:
No se quede con leerlas: intente reproducirlas por sí mismo/a.
Lleve el punto rojo hacia donde indica la flecha.
Páselo por dentro de la "pulsera" de soga.
Páselo por encima de la mano.
Sáquelo de la "pulsera".
Listo: ya están desanudados.
Hace la prueba para comprobarlo!!!!!!

6. Efecto dominó
Para conmemorar los 20 años de la caída del muro
de Berlín, el gobierno alemán organizó una
exhibición en la que hacían una fila de unos mil
enormes bloques generando un efecto dominó: Lech
Walesa empujó el primer bloque de la fila, éste cayó
empujando la siguiente, que cayó empujando el
siguiente, y así fueron cayendo todos los bloques,
uno a uno.
La caída de los bloques, que habían sido pintados
por artistas de todo el mundo, simbolizaba la caída
del muro que hasta 1989 separaba Berlín en una
zona Occidental y otra Oriental. Pero también
transmitía la idea de que aquella caída del muro
fuese el primer bloque que generara una reacción
en cadena de la caída de otros muros que pueda
seguir habiendo en el mundo.
Las exhibiciones de efecto dominó son muy usuales
en algunos países, que incluyen concursos en los
que una y otra vez se bate el récord de cantidad de
piezas de dominó usadas y que ya se cuentan por
millones.
El efecto dominó parece pensado como la
representación visual del principio de inducción
completa, una forma de razonamiento sumamente
útil y poderosa de la matemática.
¿En qué consiste el principio de inducción
completa? Imagine que tiene que transmitir un
mensaje a un gran grupo de personas que se
encuentra formando una larga fila, que se extiende
hasta el infinito, y para lograrlo piensa en el efecto
dominó.
Para estar seguro/a de que cada una de las personas
de la fila se enterará del mensaje que usted quiere
transmitir tienen que suceder dos cosas:
Usted tiene que transmitirle el mensaje a la primera
persona de la fila, y
Tiene que estar seguro de que quien conozca el
mensaje se lo pase al siguiente de la fila.
El principio de inducción completa es la traducción a
la matemática de estas dos pautas. En matemática,
muchas veces se tiene que demostrar que una
fórmula “funciona” para todos los números
naturales (es decir 1, 2, 3, ...). La forma de lograrlo,
apelando al principio de inducción completa, es la
siguiente:
Asegúrese de que la fórmula “funciona” para el
primer valor de la lista, el 1.
Compruebe que si la fórmula “funciona” para algún
valor, entonces también “funcionará” para el
siguiente.
Si usted puede cerciorarse de estas dos cosas, ¡listo!
Por el primer punto, la fórmula funciona para el 1.
Por el segundo punto, como la fórmula funciona
para el 1, entonces funcionará para el 2.
Por el segundo punto nuevamente, como la fórmula
funciona para el 2, entonces funcionará para el 3.
Y así siguiendo.
Con esto usted se asegura de que el mensaje llega a
todos los que están en la fila, pero pensemos ahora
un problema relacionado.
Las mismas personas se encuentran en la misma
fila, y ya conocen la "lógica inductiva" del ejemplo
anterior.
En cierto momento, a una de ellas (que está en el
lugar N de la fila) se le presenta un problema que
necesita resolver. ¿Qué hace? Le pregunta al que
está antes que él en la fila (es decir, en el lugar N-1),
que le dice “Yo te lo arreglo, pero ¿me esperas un
momento?”, con lo que nuestro amigo (el del lugar
N) se queda tranquilo y esperando.
Resulta que esta otra persona (N-1) tampoco sabe
bien cómo resolverlo, pero como se encuentra en la
misma situación en la que el otro (N) estaba al
comienzo, apela al mismo truco: le pregunta al que
está antes que él en la fila (N-2), que le dice lo
mismo: “Yo te lo arreglo, pero ¿me esperas un
momento?”.

7. Uno ya se imagina cómo sigue la cosa. Cada uno
desconoce cómo resolver el problema que le
presentan, pero le pregunta al anterior, que le
asegura que le va a arreglar el problema (siempre
que se le tenga algo de paciencia). Esta cadena "en
reversa" continúa hasta el primero de la fila (el del
lugar 1), que sí sabe la respuesta al problema que le
plantean. Toda la cadena se reconstruye entonces
hacia el otro lado, hasta el que preguntó primero
(N) que logra así resolver su problema original.
Como vemos, este mecanismo es la otra cara de la
moneda del método de inducción completa, ya que
se basa en un replanteo de las mismas dos reglas:
Cada uno de los que está en la fila piensa “si el que
está antes que yo supiera resolver el problema, me
lo diría y entonces yo también sabría resolverlo”.
Y, además, el primero sabe la respuesta.
Este es un caso particular de lo que en matemática
se llama recursión: la descomposición de un
problema en otro/s más simple/s (aunque no es
necesario que el nuevo problema sea similar al
original).
La inducción completa y la recursión están
presentadas aquí muy de manera muy simplificada,
pero mostrando cómo en una y otra subyace una
idea muy fuerte y muy usada en la resolución de
problemas: aprovechar problemas más pequeños (o
distintos) para resolver problemas más grandes.
Cuando un problema es muy grande, puede ser útil
analizar casos similares pero más pequeños, o
variantes del problema original. Las conclusiones
que uno obtiene en ese análisis podrá
eventualmente extrapolarlas y vincularlas después
nuevamente a ese problema original.
En la inducción, y muchas veces en la recursión, el
vínculo entre los casos pequeños y los grandes está
claramente organizado mediante un
encadenamiento "paso a paso" a través de los
números naturales.