1. Bloque 13
Semicírculo: Valores extremos

2. Desarrollo del pensamiento algebraico
Bloque 13
Semicírculo: Valores extremos
Presentación
Los propósitos centrales del bloque son:
(i) Identificar el dominio y contradominio de funciones de la forma
.
(ii) Analizar gráficas de funciones de la forma en inter-
valos en los que crece y decrece.
(iii) Identificar la relación entre la recta tangente en un punto de
una gráfica y su comportamiento de crecimiento y decrecimien-
to.
(iv) Identificar máximos y mínimos en una gráfica.
(v) Realizar traslaciones verticales y horizontales, reflexiones con
respecto al eje cartesiano horizontal y su relación con los coefi-
cientes de la regla de correspondencia de la función.
La actividades sugieren la identificación del dominio y contradominio de
funciones de la forma a partir de la visualización de sus gráficas
y su regla de correspondencia. Se introduce la notación para intervalos y las
nociones de intervalo abierto e intervalo cerrado.
Las hojas de trabajo incluyen tareas para identificar los valores extre-
mos en semicírculos a partir de la visualización de las gráficas desplegadas en
la calculadora, para esto se emplean recursos como la construcción de rectas
tangentes en un punto de las gráficas, dando lugar a la introducción de los
conceptos de crecimiento, valores máximo y mínimo y recta tangente en un
punto. Se incluye una actividad para utilizar la prueba de la recta horizontal
para identificar si la función corresponde a una relación uno a uno.
Las transformaciones del semicírculo en el plano se incluyen en las acti-
𝑎�(𝑏 2 − (𝑥 + 𝑐)2 + 𝑑 y observar sus efectos en las gráficas correspondientes.
vidades sugiriendo la variación de los parámetros de expresiones de la forma
El uso de la calculadora permite al usuario centrarse en tareas de explo-
ración, formulación y validación de conjeturas, permitiendo gradualmente des-
arrollar procesos más directos para la traducción entre la gráfica y la regla de
correspondencia de la función.
Representación Representación
Algebraica Gráfica
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

3. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 129
SEMICÍRCULO
gráfica de la función y =
1. Construye en la calculadora la
√6.25 − x 2 y reprodúcela en el
plano de la derecha.
2. Observa la gráfica que construiste en la calculadora y responde: lo que se pide en
cada caso.
a) ¿La gráfica crece o decrece indefinidamente? ____________________
Explica tu respuesta. _______________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
b) ¿Identificas puntos que consideras importantes en la gráfica? ________
¿Cuáles y por qué? _________________________________________
_______________________________________________________
c) ¿Cuál es el dominio de la función y = √6.25 − x 2 ? Exprésalo como intervalo.
_______________________________________________________
d) ¿Cuál es el contradominio de la función y = √6.25 − x 2? Exprésalo como intervalo.
_______________________________________________________
_______________________________________________
3. ¿A qué crees que se debe el comportamiento de la gráfica que construiste? Explica
con detalle. ______________________________
guiente plano aparecen las gráficas de 𝑦 = 1.5 y de 𝑦 = √6.25 − 𝑥 2 . Construye en
_______________________________________________________En el si-
tu calculadora la gráfica de 𝑦 = 1.5 .
4. ¿En cuántos puntos cruza la recta horizontal a la gráfica de 𝑦 = √6.25 − 𝑥 2 ?
________ ¿Cuáles son las coordenadas de esos puntos?
5. ¿La recta 𝑦 = 1.5 es la única que corta en dos puntos a la gráfica de 𝑦 =
____________________________________________________
√6.25 − 𝑥 2? _________________________________________.
La recta horizontal permite comprobar si una función es “uno a uno”, esto significa que a
cada valor del contradominio le corresponde sólo un valor del dominio. Una gráfica que sólo
crece o decrece es una función “uno a uno”. ¿La gráfica de esta hoja de trabajo corres-
ponde a una función “uno a uno”? ¿Por qué?
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

4. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 130
RECTAS TANGENTES
𝑦 = �12.25 − 𝑥 2
1. Construye en la calculadora la gráfica de la función:
2. ¿En qué intervalo la función es creciente? _______________________
3. ¿En cuál es decreciente? ___________________________________
4. ¿Tiene un valor máximo o mínimo? ____ ¿En qué punto? _____________
5. Construye en la calculadora rectas tangentes al semicírculo en los puntos que se
indican.
6. ¿Cuál es la ecuación de la recta tan-
gente en el punto (-2.1, -2.8)?
__________________________
7. ¿Es creciente o decreciente la recta?
_______________________
8. ¿Cuál es el signo de la pendiente de la
recta? ___________________
9. En el plano de la derecha se
muestra la recta tangente al se-
micírculo en el punto (3.1, -
1.62481). ¿Es creciente o decre-
ciente la recta?
______________________
10. ¿Cuál es el signo de su pendiente?
________________________
11. ¿Qué relación observas entre el comportamiento de la gráfica y la pen-
diente de la recta tangente? _______________________________
_______________________________________________________
12. Construye la recta tangente al semicírculo en el punto (0, 3.5). ¿Crece o decrece la
tangente? ____________ ¿Cuál es su pendiente? _________
13. ¿Cuál crees que será el valor de la pendiente de la recta tangente en un máximo o
mínimo de la gráfica de una función? __________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

5. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 131
SEMICÍRCULOS
1. Construye en la calculadora la
gráfica de la función
y dibújala en el plano cartesiano de
la derecha.
2. ¿Cuál es el dominio y contradominio de la función ? __________
_________________________________________________________
Justifica tu respuesta. ________________________________________
_________________________________________________________
3. Encuentra una función con la que puedas construir en la calculadora la gráfica que
complete un círculo al unirla con la gráfica del inciso (1). Anota la función que utilizaste
y dibuja su gráfica en el plano cartesiano del inciso anterior.
y=___________________
4. ¿Cuál es el dominio y contradominio de la función que encontraste en el inciso
(3)?______________________________________________________
Justifica tu respuesta. ________________________________________
_________________________________________________________
5. Anota las coordenadas de los puntos en los que el círculo cruza los ejes coordenados.
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
6. ¿Cuántas unidades mide el radio del círculo que se formó con las gráficas de las fun-
ciones de los incisos 1 y 2? ________________________________
7. Construye los siguientes círculos y anota las funciones que usaste. La escala en los ejes
cartesianos es 1.
y = __________ y = __________ y = __________
y = __________ y = __________
y = __________
8. ¿Cuántas unidades mide el radio de cada uno de los círculos que construiste?
_________________________________________________________
9. Encuentra qué relación existe entre la expresión que usaste para construir un círculo
con la medida de su radio, y explícala a continuación. __________________
_________________________________________________________
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

6. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 132
SEMIELIPSES
1. Construye en la calculadora una semi-
elipse usando la ecuación
y = −0.5 ( 9 − x 2 ) . Dibuja la gráfica
en el plano de la derecha.
2. Encuentra la función cuya gráfica te permita completar la elipse que se bosquejó en el
inciso (1). Anota la función que encontraste y dibuja la gráfica en el plano del inciso (1).
y=___________________
3. Anota las coordenadas de los puntos en los que la elipse cruza los ejes X y Y.
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
4. ¿Cuál es el dominio y contradominio de las funciones del inciso 1 y 2? ______
_________________________________________________________
Justifica tu respuesta. ________________________________________
_________________________________________________________
En la figura de la derecha se han resal-
tado los semiejes vertical y horizontal
de la elipse cuyas ecuaciones son las de
los incisos (1) y (2).
5. ¿Cuántas unidades mide el semieje horizontal? _________________________
6. ¿Cuántas el semieje vertical? ______________________________________
7. ¿Encuentra qué relación existe entre los términos constantes de las ecuaciones que se usa-
ron para construir esa elipse y la longitud de los semiejes.
8. Construye en la calculadora las elipses con las características que se indican, anota las ex-
presiones que utilizaste y dibújalas.
Semieje horizontal: 1 unidad Semieje horizontal: 4 unidades
Semieje vertical: 3 unidades Semieje vertical: 2 unidades
y = ______ y = ______ y = ______ y = ______
9. Encuentra la relación entre las expresiones y la medida de los semiejes, explícala a
continuación. _______________________________________________
_________________________________________________________
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

7. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 133
ELIPSES Y CÍRCULOS
1. Completa la siguiente tabla sin construir las gráficas de las funciones. Después verifica
tus respuestas construyendo las gráficas en la calculadora.
Expresión Gráfica que se obtiene Medida(s) del radio/semiejes
(semicírculo o semielipse)
y = 1.5 2.56 − x 2
y = 7.84 − x 2
2. Construye en la calculadora las elipses que pasen por los puntos que se resaltan en los
siguientes planos cartesianos y anota las ecuaciones que utilizaste. La escala en los
ejes cartesianos es 1.
y = ______ Y =______ y =______ y =______
3. Reproduce en la calculadora las siguientes figuras y anota las ecuaciones que utilizaste
en cada caso.
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

8. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 134
¡ARRIBA, ABAJO!
1. Reproduce las siguientes gráficas en la calculadora y anota las ecuaciones que utilizas-
te. La escala en los ejes cartesianos es 1.
a)
b)
2. ¿Cuántas unidades mide el radio del círculo que construiste? ____________
3. Escribe las coordenadas del punto en el que se encuentra el centro del círculo.
__________________________________________________________
4. ¿Cuántas unidades miden los semiejes de la elipse? ____________________
__________________________________________________________
5. Escribe las coordenadas del punto en el que coinciden los semiejes de la elipse.
_________________________________________________________
6. Sin construir la elipse, utiliza las siguientes ecuaciones para determinar las coordena-
das del punto en donde coinciden los semiejes de la elipse. Comprueba tus respuestas
en la calculadora.
Coordenadas
( , )
7. Construye en la calculadora un círculo que tenga su centro en (0,-1), dibújalo en el pla-
no cartesiano y anota las expresiones que usaste.
8. ¿Cuántos círculos puedes trazar que tengan como centro el punto (0,-1)? Justifica tu
respuesta y proporciona ejemplos. ______________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

9. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 135
TRASALACION HORIZONTALES
1. Usa las siguientes ecuaciones para construir en la calculadora las gráficas correspon-
dientes y dibújalas en el plano cartesiano de la derecha.
2. Construye en la calculadora un círculo que pase por los puntos que están marcados y
anota las ecuaciones que usaste. La escala en los ejes es 1.
3. Ahora construye una elipse que pase por los pintos marcados y anota las ecuaciones
que usaste. La escala en los ejes es 1.
4. Escribe las coordenadas del punto en el que se encuentra el centro del círculo que
construiste. __________________________________________________
5. Escribe las coordenadas del punto en el que se encuentra el centro de la elipse.
___________________________________________________________
6. Sin construir el círculo, utiliza las siguientes expresiones para determinar las coorde-
nadas del punto en donde se encuentra su centro. Comprueba en la calculadora.
Coordenadas
( , )
7. Explica la relación entre las coordenadas y las ecuaciones del inciso anterior.
________________________________________________________________
_____________________________________________________________
_________________________________________________________
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

10. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 136
¡PARECE QUE SE HUNDEN Y FLOTAN!
La escala en todos los planos cartesianos de esta hoja de trabajo es 1.
1. Construye la siguiente gráfica y 2. Agrega lo que sea necesario a las
anota las ecuaciones que utilizaste. ecuaciones del inciso anterior para
que la gráfica "flote", como se
muestra abajo.
3. Ahora encuentra las ecuaciones que "hunden" en el cuarto cuadrante a la gráfica del
inciso (1). Anótalas, construye la gráfica en la calculadora y dibuja la gráfica "hundida"
en el siguiente plano.
4. Escribe las coordenadas del centro del círculo que "flota". ___________________
5. Escribe las coordenadas del centro del círculo que "hundiste". ________________
6. ¿Cómo puedes determinar las coordenadas del centro de los círculos de los incisos (2)
y (3) a partir de sus expresiones? ____________________________________
_____________________________________________________________
7. Haz el siguiente dibujo en la calculadora y explica cómo lo lograste.
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
_____________________________
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

11. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 137
CARITA FELIZ
1. Reproduce en tu calcula-
dora el siguiente dibujo.
Anota abajo las ecuacio-
nes que utilizaste.
2. Modifica la carita feliz agregándole cejas, orejas, cuerpo, bigote, anteojos, poniéndola
triste, preocupada, alargando la carita, etc.
3. Anota las ecuaciones que utilizaste para modificarla y describe que modificación se
produce cuando cambias algo en la ecuación.
Expresión(es) Modificación
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

12. Desarrollo del pensamiento algebraico
Actividades que se sugieren para el futuro docente
1. A partir de la revisión de las hojas de trabajo de este bloque, elabora una descrip-
ción de la regla de correspondencia de la función cuya gráfica es un semicírculo,
sus características (forma, simetrías, dominio, contradominio, crecimiento, compor-
tamientos locales, globales, parámetros, etc.). Preséntala a tus compañeros y reali-
za los ajustes necesarios a tu descripción.
2. Investiga acerca de los siguientes contenidos matemáticos:
a. Funciones cuya relación entre sus valores es uno a uno (prueba de la recta
horizontal, tienen función inversa, etc.).
b. Valores extremos de una función. locales y globales.
c. Rectas tangentes en un punto de la gráfica de una función.
3. Presenta a tu grupo los resultados de tu indagación acerca de los términos ma-
temáticos del inciso (3).
4. ¿Encuentras alguna similitud entre la ecuación y el Teorema de Pitá-
goras? Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor.
5. Discute en equipo la pertinencia del uso de la calculadora para el estudio de las
gráficas de las actividades de este bloque.
6. Elabora un ensayo acerca de la contribución del estudio de este bloque en tu for-
mación como futuro docente. Compártelo con tus compañeros.
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz