Este documento presenta información sobre la noción de función inversa. Se introducen conceptos clave como la simetría entre las gráficas de una función y su función inversa con respecto a la línea y=x, y la relación entre el dominio y contradominio. El documento incluye hojas de trabajo que guían a los estudiantes en el uso de tablas, expresiones algebraicas y gráficas para estudiar funciones y sus funciones inversas, aprovechando los recursos de la calculadora.

1. Bloque 7
Noción de función inversa

2. Desarrollo del pensamiento algebraico
Bloque 7
Noción de función inversa
En este bloque se aborda el estudio de la función inversa de una
función con base en el apoyo visual que brinda el ambiente gráfico de la
calculadora. Este es el primer acercamiento a la lectura y construcción de
gráficas que se hace en este libro, se acude a los conocimientos y habilidades
previamente desarrollados para realizar conexiones entre las representaciones
algebraica, tabular y gráfica de una función.
A lo largo de las hojas de trabajo se identifican propiedades
importantes de la funciones inversas, por ejemplo, la simetría entre sus
gráficas respecto a la función y =x y la relación entre su dominio y
contradominio.
En las actividades que aquí se incluyen se aprovechan los recursos que
ofrece la calculadora algebraica para la estudiar las distintas representaciones
de una función. Mediante este acercamiento didáctico se pretende propiciar el
desarrollo de habilidades cognitivas como la exploración, la experimentación y
la formulación de conjeturas a través de la visualización, lo cual permite
establecer una mediación entre el cuerpo de conocimientos y el estudiante.
Las hojas de trabajo abordan aspectos que están directamente
relacionados con la educación básica, entre los que cabe destacar el uso de
tablas, ecuaciones y gráficas en el plano cartesiano, el paso de una a otra de
estas formas de representación provee recursos valiosos para la comunicación
de ideas matemáticas y la resolución de problemas; lo anterior se orienta al
fortalecimiento de las competencias para el uso de tecnología con fines
educativos por parte de los futuros profesores.
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

3. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 62
TABLAS, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS
1. En la hoja de trabajo 42 del bloque
Valor de Valor de
5 encontraste un programa que
entrada salida
permite obtener los valores de 10.4 4.9
salida que se muestran en la tabla
de la derecha. Anótala abajo. 16 10.5
19 13.5
23.5 18
________________________
37 31.5
En lo que sigue iniciarás el estudio de la construcción de gráficas en el plano cartesiano,
estas gráficas te permitirán representar la relación entre los valores de entrada y salida
con los que hasta ahora has trabajado.
2. Localiza en la calculadora el editor para introducir la expresión algebraica con la que
construirás la gráfica. De ahora en adelante llamaremos funciones a esas expresiones
algebraicas, también toma en cuenta que siempre deberás utilizar la letra x al introducir
La expresión 𝑦 = 𝑥 − 5 representa la 3. Despliega la gráfica de la función 𝑦 = 𝑥 − 5 en tu
esas expresiones en la calculadora.
relación entre los valores de entrada y los calculadora y asegúrate de que sea como la
valores de salida, estos últimos dependen siguiente.
del valor de x.
La escala en los ejes cartesianos es 1.
4. En la hoja de trabajo 42 del bloque 5 también encontraste la expresión algebraica que te
permite invertir lo que hace la expresión del inciso (1). Anótala a continuación
____________________ Su tabla de valores es la siguiente.
Valor de entrada 4.9 10.5 13.5 18 31.5
Valor de salida 10.4 16 19 23.5 37
5. Sin borrar la gráfica que hiciste en el inciso (3), construye en la calculadora la gráfica de la
función del inciso (4) y dibújala en el plano cartesiano del inciso (3). Observa las dos
gráficas en la misma pantalla y responde.
a. ¿Qué semejanzas encuentras entre la función 𝑦 = 𝑥 − 5 y la que la invierte?
¿Qué diferencias encuentras entre las gráficas de la función 𝑦 = 𝑥 − 5 la que la
_______________________________________________________
b.
invierte? _______________________________________________________
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

4. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 63
Gráficas de una función lineal y su inversa (1)
1. Construye la siguiente gráfica en la calculadora y anota la función que usaste.
y=____________________
2. Usa la información que te proporcionan la gráfica y la función del inciso anterior para
completar la tabla siguiente. Puedes usar la herramienta Trace (Traza) de la
calculadora para recorrer la gráfica y desplegar las coordenadas de los puntos por los
que pasa el cursor al recorrerla.
x -8 -5 -4 -2 -1 0 1 3
y
1. Reproduce la siguiente gráfica en la calculadora y escribe la función que usaste.
y=____________________
2. Usa la información que te proporcionan la gráfica y la función del inciso anterior para
completar la siguiente tabla.
x -4 -1 0 2 3 4 5 7
y
3. ¿Qué relaciones encuentras entre las gráficas, la expresión algebraica y las tablas de
las dos funciones? _______________________________________________
_____________________________________________________________
4. Sin borrar en la calculadora las dos gráficas anteriores, construye la gráfica de la
función y=x. Dibújala en el plano cartesiano de abajo.
¿Qué relación observas entre la gráfica de
y=x con las otras dos?
__________________________
__________________________
__________________________
La función y =x-4 es la función inversa de y =x+4. La gráfica de y=x es el eje de
reflexión de las gráficas de una función y su función inversa.
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

5. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 64
Gráficas de una función lineal y su inversa (2)
1. Usa la siguiente gráfica para completar la tabla que está a continuación. La escala en
los ejes X y Y es 1.
X -2 -1.5 -1 0 0.5 1 2 2.5
Y
2. Reproduce en la calculadora la gráfica anterior y anota el programa que usaste.
y=
3. Sin borrar lo que construiste en la calculadora, construye la gráfica de la función
inversa de la función del inciso anterior y reprodúcela en el plano del inciso 1.
¿Qué relaciones observas entre las gráficas? ______________________________
________________________________________________________________
4. Escribe a continuación la función que encontraste para responder el inciso (3).
y=
5. Usa la función del inciso anterior para completar la siguiente tabla.
x -4 -3 -2 0 1 2 4 5
y
6. ¿Qué relación observas entre los valores de las tablas de los incisos (1) y (5)? ______
_______________________________________________________________
5. Sin borrar en la calculadora las gráficas anteriores, construye la gráfica de la función
y =x, y dibújala en el plano del inciso (1). ¿La gráfica de y =x es el eje de reflexión de
las otras dos? _________ Describe lo que observas en las gráficas _____________
_______________________________________________________________
6. ¿Cuál es la función inversa de y =-4x? ________________ Construye las gráficas de
ambas funciones en la calculadora.
7. ¿La gráfica de y =x es el eje de reflexión de las gráficas del inciso anterior? _______
Justifica tu respuesta. ______________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

6. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 65
Gráficas de una función lineal y su inversa (3)
1. Completa la siguiente tabla usando la función y =2x+3.
x 6 5.2 4.5 3.1 2.6 1 0 -1.5 -2.2 -3.4 -5.8 -6
y
2. Construye en la calculadora la gráfica de la función anterior y reprodúcela en el
siguiente plano.
3. Con los valores de la tabla del inciso (1) construye a continuación la tabla de la función
inversa de y =2x+3.
x
y
4. Construye la función inversa de y =2x+3 y anótala a continuación. Verifica tu respuesta
comprobando en la calculadora si la función que encontraste produce los valores de la
tabla del inciso anterior.
y=
5. Construye en la calculadora la gráfica de la función inversa y reprodúcela en el plano
del inciso (2). Observa las relaciones entre las gráficas. ¿La gráfica de la función y=x
es eje de reflexión de las dos graficas construidas? _________ Justifica tu
respuesta. ________________________________________________________
6. Un estudiante dice que la función inversa de y =2x+3 es y =x÷2 -3. ¿Estás de acuerdo
con él? ____________ Justifica tu respuesta _____________________________
________________________________________________________________
7. Uno de sus compañeros dice que la función inversa de y =2x+3 es y =x -3÷2. ¿Estás de
acuerdo con él? ____________ Justifica tu respuesta ______________________
8. ¿Cuál es la función inversa de 𝑦 =
𝑥−1
________________________________________________________________
3
? __________________ Explica cómo la
encontraste. ______________________________________________________
Comprueba, construyendo las gráficas en la calculadora, que encontraste la función
inversa. ¿Qué tuviste que observar en las gráficas para comprobar tu respuesta?
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

7. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 66
Gráficas de una función cuadrática y su inversa (1)
1. Encuentra la función que produce los valores de salida que se muestran en la tabla de la
izquierda. Después completa la tabla de la derecha con los valores que corresponden a
la función inversa.
x Y
x y
3.5 12.25
3 9
2.5 6.25
2 4
1 1
0 0
2. Escribe a continuación cada una de las funciones que encontraste en el inciso (1).
y= _________________ y=__________________
3. Construye en la calculadora la gráfica de cada una de esas dos funciones y
reprodúcelas en el siguiente plano.
4. ¿Qué diferencias observas entre la gráfica de la función inicial y la de su función
inversa? _______________________________________________________
_____________________________________________________________
5. ¿A qué crees que se deban esas diferencias? ____________________________
6. Construye en la calculadora la gráfica de 𝑦 = 𝑥 y reprodúcela en el plano de arriba.. ¿La
_____________________________________________________________
función y = x es el eje de simetría de las gráficas que construiste? ______
7. Nota que en la función y = x 2 el valor de y es el mismo para ciertos valores de x. Por
ejemplo, para x=1 y x = -1, para x=2 y x=-2, etc. Por esto diremos que este tipo de fuciones
para determinados valores de x. Construye la gráfica de la función inversa de y = x 2 e
no es “uno a uno”; cuando una función no es “uno a uno” su función inversa sólo está definida
indica para qué valores de x está definida _________________________________
________________________________________________________________
8. ¿Cuál es la función inversa de y=2x2? _________________________________
Comprueba tu respuesta construyendo en la calculadora las gráficas necesarias.
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

8. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 67
Gráficas de una función cuadrática y su inversa (2)
1. La siguiente gráfica corresponde a una función cuadrática, construye en la calculadora
la gráfica de su función inversa y reprodúcela en el mismo plano. La escala en ambos
ejes cartesianos es 1.
2. ¿Cómo puedes comprobar que la gráfica que construiste corresponde a la de la función
inversa? ______________________________________________
___________________________________________________________
3. Anota las funciones que usaste.
Función inicial Función inversa
y= _________________ y= _________________
4. Explica con detalle cómo encontraste la expresión algebraica de la función inversa.
____________________________________________________
__________________________________________________________
¿A qué crees que se deba que la calculadora sólo reproduce una de las ramas de la
parábola cuando construyes la gráfica de la función inversa de y=x2+1? Discute tu
respuesta con tus compañeros y profesor.
5. Construye la gráfica de la función inversa de la función cuya gráfica es la siguiente y
reprodúcela en el mismo plano. La escala en los ejes cartesianos es 1.
6. Anota las ecuaciones que usaste.
Función inicial Función inversa
y= _________________ y= _________________
7. Explica cómo encontraste la expresión algebraica de la función inversa.
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

9. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 68
Inversa de funciones lineales y cuadráticas
1. Encuentra la función inversa de las funciones que corresponden a las siguientes
gráficas. Construye en el mismo plano sus gráficas y anota su ecuación. La escala en
los ejes cartesianos es 1.
2. Comprueba gráficamente que la función que encontraste es la inversa.
a)
Función inicial
y= _________________
Función inversa
y= _________________
b)
Función inicial
y= _________________
Función inversa
y= _________________
c)
Función inicial
y= _________________
Función inversa
y= _________________
3. Encuentra la función inversa de las siguientes funciones y describa el
procedimiento que empleaste en cada caso.
a) y=3x2-4 b) 𝑦 = √2𝑥 + 1 + 3
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

10. Desarrollo del pensamiento algebraico
Actividades que se sugieren para el futuro docente
1. Indaga en fuentes matemáticas acerca de la inversa de una función de manera
que puedas responder las siguientes preguntas:
a) ¿Para qué tipo de funciones existe su función inversa?
b) ¿Qué utilidad tiene saber encontrar la función inversa de una función dada?
c) ¿Cómo se determina la función inversa de una función lineal?
d) ¿Cómo se determina la función inversa de una función cuadrática?
2. Compara en equipo los resultados de tu indagación con la experiencia que
adquiriste al completar las hojas de trabajo de este bloque y redacta un breve
ensayo para presentarlo ante tu grupo.
3. Redacta en equipo un breve ensayo acerca de la pertinencia del uso de la
calculadora en este bloque de actividades. Presenten su ensayo a su grupo y
discútanlo con sus otros compañeros y su profesor.
4. Haz una lista de los contenidos matemáticos que se abordan las hojas de trabajo
de este bloque. Relaciona los contenidos de la lista que elaboraste con los que se
proponen en los programas de educación básica.
5. Haz lo que se indica a continuación:
a) Selecciona algunas hojas de trabajo de este bloque para utilizarlas en una
clase con alumnos de educación básica, haz las adecuaciones que
consideres necesarias.
b) Presenta las hojas de trabajo que seleccionaste a tus compañeros y toma
nota de las observaciones que hagan a tu trabajo.
c) Realiza una práctica con un grupo de educación básica y elabora un
registro de lo sucedido, de manera especial, sobre el tipo de aprendizajes
que observaste que lograron.
d) Comparte con los compañeros de grupo tu experiencia en la práctica
realizada.
6. Indaga en fuentes bibliográficas acerca de la función “raíz cuadrada”. Selecciona
actividades que incluyan el uso de diferentes representaciones (tablas,
expresiones algebraicas y gráficas) y organiza una sesión de trabajo con tus
compañeros con los materiales que seleccionaste.
7. Realiza en equipo una indagación en las fuentes que consideres pertinentes para
responder la siguiente pregunta: ¿Por qué la calculadora muestra solamente una
rama de la parábola cuando construyes la gráfica de la función inversa de y=x2?
Discutan sus conclusiones con su grupo y su profesor.
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz