Libro ca lculoestructuras_i

Cálculo de Estructuras Índice
III
CÁLCULO DE ESTRUCTURAS
ESTRUCTURAS ARTICULADAS, RETICULADAS, ARCOS, CABLES,
CÁLCULO MATRICIAL, CÁLCULO DINÁMICO, CÁLCULO PLÁSTICO
TOMO I
CARLOS JURADO CABAÑES
Doctor Ingeniero de Caminos Canales y Puertos
Profesor Titular Universidad Politécnica de Madrid
Coordinador y Responsable de la asignatura de Cálculo de Estructuras
en la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Civil

IV
Foto de la cubierta Langkawy Skay Bridge, Malasia (cortesía IABSE)
Primera edición enero 2012
© Carlos Jurado Cabañes
Reservados los derechos para todos los países. Ninguna parte de la publicación puede ser reproducida por
ningún medio sin previa autorización del autor.
ISBN TOMO I: 978-84-615-6880-2
ISBN OBRA COMPLETA: 978-84-615-6437-8
Depósito Legal: M-5022-2012

V
CÁLCULO DE ESTRUCTURAS
TOMO I
CAPÍTULO 1: CONCEPTOS FUNDAMENTALES
CAPÍTULO 2: ACCIONES SOBRE LAS ESTRUCTURAS
CAPÍTULO 3: TEOREMAS ENERGÉTICOS
CAPÍTULO 4: ESTRUCTURAS ARTICULADAS ISOSTÁTICAS PLANAS
CAPÍTULO 5: ESTRUCTURAS ARTICULADAS HIPERESTÁTICAS PLANAS
CAPÍTULO 6: ESTRUCTURAS ARTICULADAS ESPACIALES
CAPÍTULO 7: INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS RETICULADAS
CAPÍTULO 8: ESTRUCTURAS RETICULADAS INTRASLACIONALES
TOMO II
CAPÍTULO 9: ESTRUCTURAS RETICULADAS TRASLACIONALES
CAPÍTULO 10. ARCOS
CAPÍTULO 11. CABLES Y TIRANTES, ESTRUCTURAS RETICULADAS CON BARRAS
ELONGABLES
CAPÍTULO 12. LÍNEAS DE INFLUENCIA
CAPÍTULO 13. CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
CAPÍTULO 14. CÁLCULO DINÁMICO DE ESTRUCTURAS
CAPÍTULO 15. CÁLCULO PLÁSTICO DE ESTRUCTURAS
APÉNDICE: MÉTODO DE CROSS
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

VI
A mi esposa e hijos

VII
INDICE
PRÓLOGO DEL AUTOR
CAPÍTULO 1: CONCEPTOS FUNDAMENTALES
1.1. Definición de estructura
1.2. Formas y elementos estructurales
1.3. Tipos de apoyo de una estructura
1.4. Estructuras estáticamente determinadas e indeterminadas
1.5. Grado de indeterminación cinemática
1.6. Modelización estructural
1.7. Métodos de cálculo de estructuras
1.8. Clasificación de las estructuras
CAPÍTULO 2: ACCIONES SOBRE LAS ESTRUCTURAS
2.1. Introducción
2.2. Criterios de comprobación de una estructura
2.2.1. Estados Límite de Servicio (E.L.S.)
2.2.2. Estados Límite Últimos (E.L.U.)
2.2.3. Comprobación de la estructura
2.3. Clasificación de las acciones sobre una estructura
2.4. El Código Técnico de la Edificación (CTE)
2.4.1. Verificaciones basadas en coeficientes parciales
2.4.2. Capacidad portante. Verificaciones
2.4.3. Combinación de acciones
2.4.4. Valor de cálculo de la resistencia
2.4.5. Aptitud al servicio
2.4.6. Efectos del tiempo
2.4.7. Acciones permanentes
2.4.8. Acciones variables
2.4.9. Acciones térmicas
2.4.10. Nieve
2.4.11. Acciones accidentales
2.4.12. Otras acciones accidentales

VIII
CAPÍTULO 3: TEOREMAS ENERGÉTICOS
3.1. Introducción
3.2. Ley de Hooke
3.3. Principio de superposición de efectos
3.4. Trabajo de las fuerzas externas
3.5. Energía de deformación de un cuerpo elástico
3.6. Trabajo y trabajo complementario
3.7. Energía de deformación y energía de deformación complementaria
3.7.1. Caso particular de tensión o deformación inicial impuesta
3.7.2. Sistemas conservativos
3.8. Variaciones del trabajo y de la energía de deformación
3.9. Energía de deformación de una viga
3.9.1. Tracción y compresión
3.9.2. Flexión
3.9.3. Cortante
3.9.4. Torsión
3.9.5. Caso general
3.10. Cálculo de los alargamientos en las barras
3.10.1. Barras rectas
3.10.2. Barras curvas
3.11. Principio de los trabajos virtuales
3.12. Principio de los trabajos complementarios virtuales
3.13. Teorema de la fuerza unidad
3.14. Primer teorema de Castigliano
3.15. Segundo teorema de Castigliano
3.16. Teorema del trabajo mínimo o de Menabrea
3.17. Teorema de la Reciprocidad o de Betti-Maxwell
3.18. Cálculo de sistemas estructurales mediante teoremas energéticos
3.18.1. Desplazamientos en arcos
3.18.2. Cálculo de una reacción isostática
3.18.3. Deformaciones en pórticos
3.18.4. Deformaciones en estructuras articuladas
3.18.5. Aplicación del Teorema de Castigliano al cálculo de desplazamientos
3.18.6. Aplicación del Teorema de Menabrea

IX
CAPÍTULO 4: ESTRUCTURAS ARTICULADAS ISOSTÁTICAS PLANAS
4.1. Conceptos fundamentales
4.2. Idealización de las estructuras articuladas
4.3. Clasificación de las estructuras articuladas según su tipología
4.4. Actuación de las cargas exteriores. Barras curvas
4.5. Isostatismo e hiperestatismo. Planteamiento del método de equilibrio
4.6. Clasificación de las estructuras articuladas según su grado de
hiperestaticidad
4.6.1. Celosías isostáticas
4.6.2. Celosías hiperestáticas
4.6.3. Mecanismos
4.6.4. Estructuras articuladas críticas
4.7. Celosías isostáticas con cargas en los nudos
4.8. Métodos de cálculo de estructuras articuladas simples con cargas en los
nudos
4.8.1. Método de los nudos
4.8.2. Método de Cremona o Maxwell
4.8.3. Método de las secciones
4.9. Estructuras articuladas asimilables a vigas. Cálculo simplificado de
esfuerzos
4.10. Cálculo de estructuras articuladas compuestas
4.11. Cálculo de estructuras articuladas complejas
4.11.1. Método de Henneberg
4.11.2. Método iterativo
4.12. Cinemática de las estructuras articuladas
4.12.1. Cálculo de los alargamientos de las barras
4.12.2. Teorema de Castigliano
4.12.3. Método de Maxwell – Mohr
4.12.4. Método gráfico de Williot
4.13. Tratamiento de los alargamientos impuestos de las barras
4.14. Celosías isostáticas con cargas en las barras. Cálculo de esfuerzos
4.14.1. Celosías en las que las cargas fuera de los nudos están aplicadas
perpendicularmente al eje de las barras y/o barras horizontales de
peso no despreciable
4.14.2. Celosías en las que las cargas fuera de los nudos no están
aplicadas perpendicularmente al eje de las barras y/o barras
inclinadas de peso no despreciable

X
4.15. Dimensionamiento de las barras de una celosía a tracción y compresión.
Método de los coeficientes w
4.15.1. Análisis de la estabilidad
4.15.2. Carga crítica de pandeo de la barra biarticulada
4.15.3. Otros tipos de enlaces
4.15.4. Tensiones críticas y curvas de diseño
4.15.5. Pandeo inelástico
4.15.6. Método de los coeficientes w
CAPÍTULO 5: ESTRUCTURAS ARTICULADAS HIPERESTÁTICAS PLANAS
5.1. Conceptos fundamentales
5.2. Estructuras articuladas hiperestáticas con cargas en los nudos y barras
rectas
5.3. Deformaciones impuestas en estructuras articuladas hiperestáticas
5.4. Estructuras articuladas hiperestáticas con barras rectas cargadas
5.5. Estructuras articuladas hiperestáticas con barras curvas cargadas
5.6. Método general de cálculo de estructuras articuladas hiperestáticas
5.7. Cinemática de las estructuras articuladas hiperestáticas. Cálculo de
movimientos
5.8. Generalización del concepto de barra. Subestructuras
5.9. Cálculo aproximado de estructuras articuladas
5.9.1. Estructuras articuladas de cordones paralelos
5.9.2. Estructuras articuladas de cordones no paralelos
CAPÍTULO 6: ESTRUCTURAS ARTICULADAS ESPACIALES
6.1 Consideraciones generales de fuerzas concurrentes en el espacio
6.2 Clasificación de las estructuras articuladas espaciales según su tipología
6.3 Grado de hiperestaticidad de una estructura articulada espacial
6.4 Clasificación de las estructuras articuladas espaciales según su grado de
hiperestaticidad
6.4.1. Celosías isostáticas
6.4.2. Celosías hiperestáticas
6.4.3. Mecanismos
6.4.4. Formas críticas
6.5 Cálculo de estructuras articuladas espaciales

XI
6.5.1. Método de los nudos
6.5.2. Método de las secciones
6.5.3. Método de Henneberg
6.6 Cálculo de estructuras articuladas por ordenador
CAPÍTULO 7: INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS RETICULADAS
7.1 Conceptos fundamentales
7.2 Hipótesis de partida
7.3 Ecuaciones básicas a introducir en el cálculo de una estructura
7.4 Métodos generales de cálculo de estructuras
7.4.1. Método de la elongabilidad o de las fuerzas
7.4.2. Método de la rigidez o de los movimientos
7.5. Características elastomecánicas de las barras rectas
7.5.1. Concepto de rigidez de una barra
7.5.2. Concepto de flexibilidad de una barra
7.5.3. Rigidez a axil o elongabilidad
7.5.4. Rigidez al giro y coeficiente de transmisión de una barra
7.5.5. Rigidez a la traslación transversal. Asentamientos diferenciales
7.5.6. Flexibilidades elementales de una barra
7.5.7. Relaciones entre las rigideces y flexibilidades al giro
7.6. Cálculo de movimientos
7.6.1. Teorema de la fuerza unidad
7.6.2. Fórmulas de Navier-Bresse
7.7. Características elastomécanicas de las barras curvas
7.8. Momentos de empotramiento rígido
7.9. Momentos de empotramiento rígido debidos a asentamientos diferenciales
7.10. Ecuación constitutiva de la barra biempotrada
7.11. Ecuación constitutiva de la barra empotrada-articulada
7.12. Simetrías y antimetrías
7.12.1. Estructuras simétricas
7.12.2. Estructuras antimétricas
7.12.3. Movimientos de apoyo en estructuras simétricas con simetría axial
(acciones cinemáticas)
7.12.4. Simetría y antimetría puntual

XII
7.12.5. Movimientos de apoyos en estructuras simétricas con simetría
puntual (acciones cinemáticas)
7.12.6. Estructuras simétricas con cargas arbitrarias
7.13. Estructuras antifuniculares
7.14. Nudos de dimensión finita
CAPÍTULO 8: ESTRUCTURAS RETICULADAS INTRASLACIONALES
8.1. Conceptos y definiciones
8.2. Planteamiento general del cálculo en movimientos
8.3. Obtención de esfuerzos cortantes y axiles
8.4. Estructuras de un solo nudo con grado de libertad activo
8.5. Estructuras simétricas y antimétricas
8.5.1. Estructuras simétricas
8.5.2. Estructuras antimétricas
8.5.3. Estructuras simétricas con cargas cualesquiera
8.6. Cálculo de movimientos en estructuras intraslacionales
8.7. Acciones climáticas y defectos de montaje
8.8. Cálculo de vigas contínuas
CAPÍTULO 9: ESTRUCTURAS RETICULADAS TRASLACIONALES
9.1. Traslacionalidad. Grado de traslacionalidad
9.2. Estados paramétricos
9.3. Ecuaciones de equilibrio
9.4. Proceso operativo de cálculo de una estructura traslacional por el método
indirecto
9.4.1. Ejemplo de cálculo de una estructura reticulada traslacional por
métodos indirectos
9.5. Método matricial directo de cálculo de estructuras reticuladas traslacionales
9.6. Estructuras traslacionales bajo acciones cinemáticas
9.7. Estructuras reticuladas no sustentadas en equilibrio
9.8. Influencia de los conceptos de nudo y barra en el grado de traslacionalidad
de una estructura
9.9. Cálculo de movimientos en estructuras reticuladas isostáticas. Ampliación de
los teoremas de Mohr a pórticos

XIII
9.10. Cálculo de estructuras reticuladas hiperestáticas por el método de
compatibilidad
9.11. Cálculo de estructuras reticuladas por ordenador
CAPÍTULO 10: ARCOS
10.1. Introducción
10.2. Energía de deformación de un arco
10.3. Arcos isostáticos
10.3.1. Arcos triarticulados
10.4. Arcos hiperestáticos
10.4.1. Arcos biarticulados
10.4.2. Arcos biarticulados atirantados
10.4.3. Arcos articulados-empotrados
10.4.4. Arcos biempotrados
10.5. Arcos simétricos y antimétricos
10.6. Arcos antifuniculares
10.7. Centro elástico de un arco
10.8. Cálculo numérico de arcos
CAPÍTULO 11: CABLES Y TIRANTES, ESTRUCTURAS RETICULADAS CON
BARRAS ELONGABLES
11.1. Cables. Ecuaciones generales
11.2. Curva funicular parabólica
11.3. Curva funicular catenaria
11.4. Estructuras constituidas por cables. Puentes colgantes y atirantados
11.4.1. Puentes colgantes
11.4.2. Puentes atirantados
11.5. Entramados con barras elongables
11.6. Estructuras con bielas o tirantes. Métodos de cálculo de los movimientos y
de las fuerzas
11.6.1. Los tirantes no pertenecen a la sustentación de la estructura
11.6.2. Los tirantes pertenecen a la sustentación de la estructura
11.7. Subestructuras

XIV
CAPÍTULO 12: LÍNEAS DE INFLUENCIA
12.1. Concepto de línea de Influencia. Definiciones
12.2. Cálculo de líneas de influencia por la aplicación directa de una carga unitaria
12.3. Cálculo de líneas de influencia por el teorema de los trabajos virtuales.
12.3.1. Línea de influencia de momentos flectores
12.3.2. Línea de influencia de esfuerzos cortantes
12.3.3. Línea de influencia de esfuerzos axiles
12.3.4. Línea de influencia de la reacción de un apoyo
12.3.5. Cálculo de líneas de influencia en estructuras articuladas isostáticas
12.4. Cálculo de líneas de influencia por el teorema de la reciprocidad o de Betti-
Maxwell
12.5. Aplicación del Teorema de Reciprocidad al cálculo de estructuras articuladas
12.5.1. Cálculo de esfuerzos en estructuras articuladas isostáticas
12.5.2. Cálculo de esfuerzos en estructuras articuladas hiperestáticas
12.5.3. Cálculo de reacciones en estructuras articuladas hiperestáticas
12.5.4. Cálculo de movimientos en celosías por el Teorema de Reciprocidad
12.6. Aplicación del Teorema de Reciprocidad al cálculo de estructuras reticuladas
12.6.1. Líneas de influencia de esfuerzos en vigas isostáticas
12.6.2. Líneas de influencia de esfuerzos en vigas hiperestáticas
12.6.3. Líneas de influencia de reacciones en vigas hiperestáticas
12.6.4. Líneas de influencia en estructuras reticuladas
12.6.5. Líneas de influencia de esfuerzos axiles en pórticos
12.7. Trenes de carga y sobrecarga repartida
12.8. Líneas de influencia en estructuras de edificación
CAPÍTULO 13: CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
13.1 Introducción. Conceptos fundamentales
13.2 Métodos numéricos de cálculo de estructuras
13.3. Introducción al cálculo matricial de estructuras
13.3.1. Modelización geométrica de una estructura
13.3.2. Hipótesis básicas del cálculo matricial
13.3.3. Principio de superposición
13.3.4. Ecuaciones básicas a utilizar en el cálculo matricial de estructuras

XV
13.3.5. Grado de indeterminación de una estructura
13.4. Métodos de cálculo matricial de estructuras
13.4.1. Método de equilibrio, de los movimientos o de la rigidez
13.4.2. Método de la compatibilidad, de las fuerzas o de la flexibilidad
13.4.3. Ventajas e inconvenientes de ambos métodos
13.5. Convenio de signos y notaciones
13.5.1. Vectores de carga y movimientos
13.5.2. Ejes locales y ejes globales
13.5.3. Matrices de transformación
13.6. Método de equilibrio
13.6.1. Matrices de rigidez de una barra en coordenadas locales
13.6.2. Matrices de rigidez de una barra en coordenadas globales
13.6.3. Matrices de rigidez y flexibilidad de una estructura
13.6.4. Cálculo de la matriz de rigidez de una estructura articulada plana
13.6.5. Cálculo de la matriz de rigidez de una estructura reticulada plana
13.6.6. Métodos numéricos para la resolución de la ecuación matricial de la
estructura
13.7. Formación de la matriz de rigidez de una estructura
13.7.1. Propiedades de la matriz de rigidez K´
0
13.8. Esfuerzos térmicos y defectos de montaje
13.8.1. Esfuerzos térmicos
13.8.2. Defectos de montaje
13.9. Modificación de la matriz de rigidez por las condiciones de contorno
13.9.1. Condiciones cinemáticas completas
13.9.2. Condiciones estáticas completas
13.9.3. Condiciones mixtas
13.9.4. Apoyos no concordantes
13.10. Nudos con conexiones semirrígidas
13.11. Piezas formadas por elementos unidos en serie o en paralelo
13.12. Ejemplo de cálculo matricial de estructuras
13.12.1. Matriz de rigidez de los elementos
13.12.2. Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura
13.12.3. Sistema de ecuaciones lineales de una estructura
13.12.4. Fuerzas en los elementos
13.13. Aplicación de ordenadores al cálculo matricial de estructuras. Programas
comerciales

XVI
CAPÍTULO 14: CÁLCULO DINÁMICO DE ESTRUCTURAS
14.1 Introducción. Conceptos fundamentales
14.2 Formulación de las ecuaciones del movimiento
14.2.1. Principio de D´Alembert
14.2.2. Principio de los Trabajos Virtuales
14.2.3. Principio de Hamilton
14.3. Grados de libertad dinámicos
14.4. Amortiguamiento
14.5. Sistemas con un solo grado de libertad
14.5.1. Vibraciones libres
14.5.2. Vibraciones forzadas
14.5.3. Excitación arbitraria
14.6 Sistemas con varios grados de libertad
14.6.1. Modelos de elementos finitos
14.7. Cálculo sísmico de estructuras
14.7.1. Sistemas con un grado de libertad
14.7.2. Sistemas con muchos grados de libertad
14.8. Aplicación de ordenadores al cálculo dinámico/sísmico de estructuras.
Programas comerciales.
CAPÍTULO 15: CÁLCULO PLÁSTICO DE ESTRUCTURAS
15.1. Introducción
15.2 Diferencias entre el cálculo elástico y el cálculo plástico
15.3 Referencias normativas
15.4 Hipótesis iniciales del cálculo plástico
15.5 Comportamiento elastoplástico de la rebanada
15.5.1 Comportamiento elastoplástico de la rebanada a tracción o
compresión simple
15.5.2 Comportamiento elastoplástico de la rebanada a flexión pura
15.5.3 Comportamiento elastoplástico de la rebanada a flexión simple
15.5.4 Comportamiento elastoplástico de la rebanada a flexión compuesta
15.5.5 Comportamiento elastoplástico de la rebanada a compresión
compuesta
15.6 Concepto de rótula plástica
15.7 Momento plástico. Factor de forma

XVII
15.8 Agotamiento de la estructura por formación de rótulas plásticas
15.9 Unicidad de la solución. Teoremas de máximo y mínimo
15.9.1 Unicidad de la solución
15.9.2 Teorema de mínimo o teorema estático
15.9.3 Teorema de máximo o teorema cinemático
15.10 Métodos de cálculo plástico
15.10.1. Método iterativo de generación de rótulas plásticas
15.10.2 Método estático
15.10.3. Método de los trabajos virtuales
15.11 Cálculo plástico de vigas
15.11.1 Viga empotrada-apoyada con carga puntual
15.11.2 Viga empotrada-apoyada con carga uniforme
15.11.3 Viga biempotrada con carga puntual
15.11.4 Viga biempotrada con carga uniforme
15.11.5 Vigas continuas
15.12 Cálculo plástico de pórticos
15.12.1 Consideraciones iniciales
15.12.2 Métodos de cálculo
15.12.3 Ejemplos prácticos
APÉNDICE
MÉTODO DE CROSS.
A.1 Introducción
A.2. Momentos de empotramiento
A.3 Momentos repartidos
A.4 Momentos transmitidos
A.5. Rigideces y coeficientes de transmisión
A.5.1. Barra recta de sección constante biempotrada
A.5.2. Barra recta de sección constante empotrada-articulada
A.5.3. Barra recta de sección constante en voladizo
A.5.4. Simplificaciones en el caso de piezas rectas con sección y módulo de
elasticidad constantes
A.6. Relaciones entre rigideces y coeficientes de transmisión
A.7 Método de Cross
A.8. Estructuras intraslacionales

XVIII
A.9. Simplificaciones en el método de Cross
A.10. Estructuras traslacionales
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Cálculo de Estructuras Prólogo
1
PRÓLOGO DEL AUTOR
El nuevo título de Graduado en Ingeniería Civil ofrecido por la Escuela Técnica
Superior de Ingeniería Civil de Madrid, ha incluido, dentro de las tres intensificaciones
que se imparten en ella: 1) Construcciones Civiles y Transportes y Servicios Urbanos;
2) Construcciones Civiles e Hidrología; 3) Hidrología y Transportes y Servicios
Urbanos, como asignatura obligatoria el Cálculo de Estructuras, cubriendo de esta
manera una laguna de conocimientos muy importante que existía en los antiguos
títulos de Ayudante de Obras Públicas e Ingeniero Técnico de Obras Públicas,
correspondientes a los planes de estudio anteriores.
El contenido de esta materia es muy extenso y queda encorsetado dentro de los 6
créditos europeos (ECTS) asignados a la misma. No obstante su inclusión como
asignatura obligatoria supone una mejora muy importante en la formación de los
futuros graduados en Ingeniería Civil.
Por otro lado, la consolidación de los conocimientos teóricos del Cálculo de
Estructuras, solo puede realizarse a través de la práctica de la profesión, en la que el
futuro Graduado en Ingeniería Civil podrá refrendar los conocimientos teóricos
adquiridos y formar su propio concepto de la magnitud que deben tener las estructuras
de edificación e ingeniería civil, que lógicamente habrá de acometer en la práctica de
la profesión.
Además, la lógica evolución de las herramientas de cálculo, con la introducción de los
ordenadores, ha modificado el contenido clásico de la materia de Cálculo de
Estructuras, sin que ello quiera decir que deban abandonarse los conocimientos
teóricos profundos de la misma.
Existe una tendencia en algunos ingenieros a considerar una dependencia total de los
programas de cálculo de estructuras para todo, que les conduce a una falsa sensación
de seguridad. El ordenador es una herramienta muy potente, que en modo alguno
puede sustituir a los conocimientos teóricos, que deben situarse en primer lugar. Es un
error atribuir a la herramienta que constituye el ordenador, las capacidades del
conocimiento teórico del cálculo de estructuras.
El autor de este libro, ha pretendido poner en manos de la comunidad científica,
estudiantes y profesionales, un texto que pueda servir de estudio a los primeros y de
consulta a los segundos. Por este motivo el libro, aun recogiendo el contenido de la
materia incluida en el título de Graduado en Ingeniería Civil, excede los límites del
mismo, sirviendo a los futuros graduados en Ingeniería Civil y de otros títulos de Grado
similares, como ampliación de conocimientos.
En el texto se incluyen capítulos clásicos de Cálculo de Estructuras, impartidos por
excelentes profesores como D. Florencio del Pozo Frutos en la Escuela de Ingenieros
de Caminos, Canales y Puertos, a cuyas lecciones magistrales, el autor tuvo el honor y
el privilegio de asistir. Entre estas materias se encuentran:

2
1) Las estructuras articuladas
2) Las estructuras reticuladas
3) El cálculo matricial
Se ha obviado el cálculo de placas por métodos de rotura, impartido en el clásico
curso de Cálculo de Estructuras de la Escuela de Ingenieros de Caminos, Canales y
Puertos, que el autor tuvo que aprender y que no ha sido utilizado por él en los más
de 35 años de experiencia profesional, en el campo del cálculo de estructuras de
edificación y de ingeniería civil, en los numerosos proyectos que ha realizado
directamente o dirigido, algunos de gran relevancia.
El libro comienza introduciendo los conceptos fundamentales del cálculo de
estructuras, así como de su modelización y de los métodos de cálculo que se
desarrollarán posteriormente.
Se ha incluido un capítulo que normalmente no se recoge en los textos de cálculo de
estructuras, dirigido a la determinación de las acciones sobre las mismas, que es una
de las primeras fases del cálculo, definidas en la normativa vigente y que en el caso
español lo constituyen el Código Técnico de la Edificación (CTE), la Instrucción de las
acciones a considerar en puentes de carretera (IAP) y de ferrocarril (IAPF). El capítulo
se refiere a la normativa actual y solo tiene el carácter de introductorio, a sabiendas
de que las nuevas ediciones de la normativa, modificarán ligeramente su contenido.
Dado que en el futuro título de Graduado en Ingeniería Civil, se incluye la asignatura
de Puentes, donde tienen mejor cabida las Instrucciones IAP e IAPF, el libro solo
recoge un resumen del CTE.
Se ha incluido también un capítulo correspondiente a arcos, que supone una materia
clásica dentro del cálculo de estructuras, cuyo conocimiento se considera
indispensable para los nuevos graduados, aunque es una tipología algo
especializada.
La utilización cada vez mayor de las estructuras constituidas por cables: puentes
colgantes, puentes atirantados, cubiertas colgadas, etc. ha animado al autor a incluir
un capítulo dedicado a los cables y tirantes y a su elemento antagónico por la forma
de trabajo, como son las bielas.
La experiencia del autor durante 14 años en el proyecto de estructuras de Centrales
Nucleares, ya desde mediados de la década de los 70, en las que el cálculo dinámico-
sísmico resulta obligado y la cada vez mayor atención a las estructuras resistentes a
los terremotos (sismo de Lorca de 2011), ha incitado al autor a incluir un tema
dedicado al Cálculo dinámico de estructuras, cubriendo por otro lado el capítulo
correspondiente al mismo, ofrecido en el Título de Graduado de Ingeniería Civil de la
Escuela Técnica Superior de Ingeniería Civil de Madrid.
La aparición de nuevas técnicas de cálculo de estructuras metálicas, más allá del
cálculo elástico clásico, recogidas en la actual normativa española (Código Técnico de
la Edificación) y en el europeo (EC3), hace obligada la introducción de un capítulo
dedicado al Cálculo plástico de estructuras.

3
Por último, aun cuando los actuales programas de ordenador hacen innecesaria la
utilización de Métodos de relajación como Cross y Kani, que el autor tuvo que
aprender en su época de estudiante y utilizar profesionalmente en los primeros años
de práctica de la profesión, hasta la aparición y popularización de los programas de
cálculo matricial de estructuras, el valor formativo e intuitivo de dichos métodos de
cálculo, le ha animado a incluir un Apéndice dedicado al método de Cross, que servirá
de consolidación de conocimientos y permitirá resolver algunos tipos de estructuras
reticuladas de forma manual, de innegable interés didáctico.
En resumen, el libro contiene los siguientes capítulos:
Capítulo 1: Conceptos fundamentales
Se incluyen en este capítulo de introducción las formas y elementos estructurales más
significativos, con los que el futuro graduado se encontrará en la práctica de la profesión.
Así mismo se definen los conceptos de grado de indeterminación estática y cinemática.
Se finaliza el capítulo con una introducción a los dos métodos de cálculo de estructuras: el
de equilibrio y el de compatibilidad.
Capítulo 2: Acciones sobre las estructuras
Se introduce al lector en este capítulo en la Normativa existente en España y
homologable con la de la Unión Europea, sobre las acciones a considerar en el cálculo de
estructuras. La Normativa española recoge como documentos básicos para la definición
de las acciones sobre las estructuras:
• CTE – Código Técnico de la Edificación
• IAP-11 – Instrucción sobre las acciones a considerar en el Proyecto de puentes
de carretera
• IAPF-07 – Instrucción sobre las acciones a considerar en el Proyecto de
Puentes de ferrocarril
• NCSE-02 – Norma de construcción sismorresistente. Parte general y edificación
• NCSP-07 – Norma de Construcción sismorresistente. Parte Puentes
• Eurocódigo 1. – Bases del Proyecto y acciones en estructuras. Parte 1: Bases
de Proyecto.
El contenido de todos estos documentos es muy extenso para incluirlo en un libro de
Cálculo de Estructuras y además se recoge en asignaturas específicas del nuevo título de
Graduado en Ingeniería Civil, por lo que el libro se concentra solo en el primero. Por otra
parte teniendo en cuenta que las Instrucciones IAP e IAPF deberán estudiarse en la
asignatura específica de Puentes, para el estudiante de una asignatura general de
Cálculo de Estructuras solo se considera obligatorio tener conocimientos del CTE,
dejando las Instrucciones IAP e IAPF para la asignatura específica de puentes.
Capítulo 3: Teoremas energéticos
El contenido de este capítulo recoge una gran cantidad de teoremas energéticos que
fundamentan los métodos de Cálculo de Estructuras que se desarrollan después. El

4
contenido del mismo excede el ámbito de conocimientos del futuro graduado en
Ingeniería Civil y en una primera lectura puede limitarse a los teoremas de
a) Fuerza unidad
b)Trabajos virtuales
c)Segundo teorema de Castigliano
d) Teorema de la reciprocidad o de Betti
Por ser estos los teoremas que se utilizan a lo largo del libro.
Capítulo 4: Estructuras articuladas isostáticas planas
En este capítulo se hace una introducción a las estructuras articuladas planas definiendo
los conceptos de:
a) Celosías isostáticas
b) Celosías hiperestáticas
c) Celosías críticas
d) Mecanismos
Desarrollando a continuación los métodos de cálculo para las estructuras articuladas
isostáticas. En un primer estudio del libro puede atenderse al Método de los nudos,
complementado con el método de las secciones. Son de interés los métodos
correspondientes a la Cinemática de las estructuras articuladas y al tratamiento de los
alargamientos impuestos a las barras.
Capítulo 5: Estructuras articuladas hiperestáticas planas
Se desarrollan en este capítulo los métodos de cálculo de las estructuras articuladas
hiperestáticas planas, debiendo hacer hincapié en la aplicación del segundo teorema de
Castigliano para el cálculo de los esfuerzos, movimientos y reacciones en estructuras
articuladas. Resultan de especial interés los apartados de barras curvas cargadas, el
método general de cálculo de celosías hiperestáticas, el de cinemática de las estructuras
y el de subestructuras.
Capítulo 6: Estructuras articuladas espaciales
Este capítulo se incluye para completar el campo de las estructuras articuladas, pero con
la aparición del ordenador y con la práctica imposibilidad de calcular una estructura
articulada espacial por poco compleja que sea, la lectura de este capítulo puede
realizarse de una manera más o menos rápida.

5
Capítulo 7: Introducción a las estructuras reticuladas
Este es un capítulo de especial relevancia en el que se introducen los dos métodos de
cálculo de estructuras:
a) El Método de las fuerzas
b) El Método de los movimientos
El capítulo tiene contenidos de especial interés en cuanto a la introducción y uso de las
flexibilidades y las rigideces de las barras para el cálculo de los desplazamientos
longitudinal y transversal, así como del giro de sus extremos. Se introducen los conceptos
de rigidez y flexibilidad elemental de una barra y sus relaciones entre una y otra. Se
determinan los movimientos en las estructuras reticuladas y se introducen las fórmulas de
Bresse. El capítulo finaliza con un tratamiento muy completo de las simetrías y
antimetrías.
Capítulo 8: Estructuras reticuladas intraslacionales
Una gran parte de las estructuras reticuladas lo constituyen las estructuras peraltadas, en
las que la deformación por axil se desprecia y entonces los únicos posibles movimientos
de los nudos son la traslación horizontal y el giro. Si además la estructura reticulada tiene
impedida la traslación horizontal, como sucede en la mayoría de las estructuras de
edificación, el problema se simplifica enormemente, pues los tres grados de libertad de
los nudos se reducen a uno solo, que es el giro. En este caso se plantea el método
general de cálculo en movimientos. Se introducen así mismo los casos debidos a
acortamientos y alargamientos por acciones climáticas, los descensos de apoyos y los
defectos de montaje. Finaliza el capítulo con el cálculo de vigas continuas por el método
de la flexibilidad, conduciendo al teorema de los tres momentos.
Capítulo 9: Estructuras reticuladas traslacionales
Existen un gran número de estructuras reticuladas, en las que los desplazamientos
laterales no están impedidos, por lo que aun despreciando la elongabilidad de las barras,
ahora los nudos del reticulado tienen dos grados de libertad, la traslación horizontal y el
giro. La resolución de este tipo de estructuras puede realizarse por métodos indirectos,
descomponiendo el estado real en suma de uno fundamental más los paramétricos, que
pueden resolverse por métodos matriciales o por aplicación del método de Cross, por lo
que se ha incluido este último en el Apéndice.
Se enuncia el método matricial directo, despreciando la elongabilidad de las barras, lo que
implica dos grados de libertad por nudo, dejando para el capítulo 13 el Cálculo matricial
de estructuras sin despreciar ninguna deformación y por tanto con tres grados de libertad.
Se estudian también en este capítulo, las estructuras reticuladas no sustentadas en
equilibrio.

6
Capítulo 10: Arcos
En este capítulo se aborda el tema de los arcos comenzando con una breve descripción
de los arcos isostáticos, para pasar inmediatamente al estudio de los arcos hiperestáticos:
a) Arcos biarticulados
b) Arcos biarticulados atirantados
c) Arcos articulados-empotrados
d) Arcos biempotrados
Se estudian las condiciones de simetría y antimetría en arcos y se describen los arcos
antifuniculares clásicos. Por último se introduce el concepto de centro elástico y el cálculo
numérico de arcos.
Capítulo 11: Cables y tirantes
Se dedica este capítulo al estudio de las estructuras constituidas por cables: parábola y
catenaria. Se comenta su aplicación en puentes colgantes y atirantados. Por último se
analizan las estructuras constituidas por bielas o tirantes.
Capítulo 12: Líneas de influencia
Uno de los aspectos de relevancia en las estructuras sometidas a cargas móviles como
puentes es el de las líneas de influencia. Se estudia en este capítulo el cálculo de las
líneas de influencia por aplicación directa del Método de la carga unitaria mediante la
utilización del Teorema de los trabajos virtuales, analizando los procedimientos para el
cálculo de líneas de influencia de esfuerzos y movimientos, tanto en estructuras
articuladas como reticuladas. Por último se estudia el cálculo de líneas de influencia por
aplicación del Teorema de reciprocidad.
Capítulo 13: Cálculo matricial de estructuras
Se atiende en este capítulo al tema importante del Cálculo matricial de estructuras que
siempre debería preceder a la utilización de programas de cálculo comerciales. Se
introducen los conceptos fundamentales y se desarrolla el método de la rigidez, de los
movimientos o de equilibrio. Se describe el proceso de formación de la matriz de rigidez,
considerando los casos de esfuerzos térmicos y defectos de montaje. Se consideran los
casos de modificación de la matriz de rigidez por las condiciones de contorno:
cinemáticas completas, estáticas completas y mixtas. Termina el capítulo con la
resolución numérica de ejemplos mediante Cálculo matricial.

7
Capítulo 14: Cálculo dinámico de estructuras
Se realiza en este capítulo la introducción a un tema cada vez de mayor relevancia, como
es el cálculo dinámico de estructuras, cuando las cargas actuantes son rápidamente
variables, como las producidas por máquinas vibratorias, terremotos, explosiones,
ferrocarriles de alta velocidad, etc. El tema es muy extenso y este capítulo solo supone
una introducción al tema, que puede desarrollarse en asignaturas de postgrado.
Capítulo 15: Cálculo plástico de estructuras
Este capítulo se dedica al análisis del Cálculo plástico de estructuras, describiendo el
comportamiento elastoplástico de la rebanada sometida a los diferentes tipos de
esfuerzos: tracción o compresión, flexión pura, flexión simple y flexión compuesta. Se
introducen los conceptos de rótula plástica, momento plástico y factor de forma. Se
definen los Teoremas de Máximo y Mínimo y se describen los métodos de cálculo
plástico:
a) Método de generación de rótulas plásticas
b) Método estático
c) Método de los Trabajos virtuales
Finalmente se desarrolla el cálculo de vigas y pórticos, realizando una serie de ejemplos.
Apéndice: Método de Cross
A pesar de que este método, con el desarrollo de los Métodos Matriciales y la aparición
del ordenador ha dejado de tener una aplicación práctica, su innegable valor didáctico y
su interés conceptual ha animado al autor a incluir este capítulo dedicado al Método de
Cross.
Finalmente quisiera agradecer la colaboración prestada en la edición de este libro, a mi
esposa Isabel del Prisco González por su apoyo incondicional y por la mecanografía del
texto, así como a mi hijo David Jurado del Prisco y a Andrea Pérez Patiño, durante la fase
final mecanográfica.
El texto ha sido revisado cuidadosamente para evitar posibles erratas, sin embargo toda
obra humana está sujeta a imperfecciones, por lo que el autor agradecería la recepción
de estas que pueda detectar el lector, en el correo electrónico carlos.jurado@upm.es.

8

Cálculo de Estructuras Capítulo 1 - Conceptos fundamentales
9
CAPÍTULO 1
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
___________________________________________________________
1.1. DEFINICIÓN DE ESTRUCTURA
Una estructura es un sistema de elementos resistentes: vigas, arcos, losas, etc.
conectados entre sí, de tal forma que es capaz de resistir su peso propio y las
acciones exteriores (cargas, desplazamientos impuestos, acciones térmicas,
reológicas, etc.), sin sufrir movimientos relativos ni de conjunto, a excepción de las
deformaciones elásticas de los elementos que la constituyen.
La función básica de una estructura es la de soportar cargas. Esto conduce a una gran
variedad de soluciones, dependiendo del propósito para el que la estructura va a ser
construida.
Por ejemplo, en el caso de un edificio de estructura metálica, los pilares soportan el
tejado y las losas de piso, las paredes externas resisten las cargas de viento. Las
losas de piso soportan las cargas de peso propio y sobrecarga y por intermedio de las
vigas metálicas las transmiten a los pilares. El tejado resiste las cargas de viento y
nieve que transmite a la estructura metálica. Las paredes del edificio trasladan las
cargas de viento igualmente a la estructura metálica. Finalmente son los pilares
metálicos los que transmiten a la cimentación (zapatas o losas de cimentación) la
totalidad de cargas y sobrecargas del edificio.
Otras tipologías de estructuras soportan cargas de otro tipo. Por ejemplo en el caso de
un puente, la estructura del mismo debe soportar las cargas de peso propio,
sobrecarga de vehículos, sobrecarga de personas, cargas térmicas y reológicas, etc.
En el caso de una presa su estructura debe soportar el empuje del agua embalsada,
los esfuerzos térmicos, de retracción, etc.
En el caso de una estructura offshore debe resistir además de su peso propio, la
sobrecarga del personal de trabajo, helicópteros y fundamentalmente ser capaz de
aguantar las acciones del oleaje y las corrientes marinas.
Un muelle costero debe soportar las importantes cargas de las grúas que descargan
mercancías de los buques de transporte, la presión de las tierras de relleno del muelle,
el empuje del agua, la acción del oleaje y los impactos de los barcos.
Un tanque de petróleo o de gas debe resistir la presión interna del material
almacenado y al mismo tiempo poseer la suficiente resistencia y estabilidad para
soportar el viento, la nieve y las variaciones térmicas.
Una torre de televisión debe ser capaz de soportar su peso propio y sobrecarga de
uso, además del viento, la nieve y las variaciones térmicas.
Otros tipos de estructuras como: coches, barcos, aviones, cápsulas espaciales, trenes,
etc. soportan igualmente un sistema más o menos complejo de cargas, pero están

10
fuera del alcance de la ingeniería civil, situándose en otras áreas de la ingeniería:
mecánica, naval, aeronáutica, etc.
En cualquier caso, toda estructura desde la más simple a la más compleja, debe
resistir siempre su carga de peso propio.
1.2. FORMAS Y ELEMENTOS ESTRUCTURALES
La decisión de la forma de una estructura depende en gran medida del ingeniero
estructural y de la persona u organismo que le encarga el trabajo, así como del
propósito para el que se va a construir la estructura, también de los materiales
elegidos para su construcción y de las consideraciones estéticas que deban aplicarse.
Normalmente para resolver un problema puede elegirse más de una forma estructural
y será la experiencia, o las soluciones utilizadas en el pasado, lo que conducirá a
elegir la mejor solución estructural. Por otro lado, nuevos materiales y nuevos
procedimientos constructivos, pueden conducir a soluciones innovadoras que
supongan ahorros económicos o mejoras estéticas.
Se denomina elemento estructural a cada una de las partes de una estructura que es
capaz de resistir las cargas directamente aplicadas sobre él y trasladarlas al resto de
la misma.
Las estructuras por requerimientos de su análisis o su construcción, se subdividen en
una serie de elementos estructurales: vigas, arcos, losas, láminas, etc. Por ejemplo
una viga puede formar parte de la estructura de un edificio o constituir por sí sola una
estructura para cruzar, por ejemplo un vano encima de un arroyo. Las vigas y los
pilares son los elementos estructurales más comunes que pueden resistir cargas,
desarrollando esfuerzos axiles, esfuerzos cortantes, momentos flectores y momentos
torsores, como ya se ha visto en otras asignaturas: Mecánica estructural y Resistencia
de Materiales.
FIGURA 1.1. VIGA DE ALMA LLENA
Cuando la luz a cubrir no es muy grande el elemento estructural usual es la viga
de alma llena.

11
A medida que aumenta el vano a salvar, la utilización de vigas de alma llena resulta
antieconómica y hay que acudir a vigas en celosía, como el caso de la viga Warren en
la construcción de puentes metálicos.
FIGURA 1.2. VIGA EN CELOSÍA TIPO WARREN
En este tipo de estructuras los nudos funcionan como articulaciones y por eso a las
estructuras construidas con este tipo de elementos se les denomina estructuras
articuladas.
Otro tipo de elementos estructurales utilizados en la construcción de edificios son los
pórticos.
Un pórtico es una estructura constituida por vigas y pilares que resisten las cargas
merced a las uniones rígidas de sus elementos. Una estructura construida por vigas y
pilares en los que las uniones de sus elementos son nudos rígidos, se le denomina
estructura reticulada.
FIGURA 1.3. ESTRUCTURA RETICULADA
La utilización de vigas en celosía para soportar el tablero de un puente resulta
imposible para vanos muy grandes. En este caso pueden utilizarse arcos. En la figura
siguiente puede observarse un puente en el que el tablero está soportado por
péndolas verticales apoyadas en el arco que trabajan a compresión.

12
FIGURA 1.4. PUENTE ARCO DE TABLERO SUPERIOR
Puede también disponerse el tablero de forma que esté suspendido del arco mediante
tirantes o péndolas verticales trabajando a tracción.
FIGURA 1.5. PUENTE ARCO DE TABLERO INFERIOR
En el caso excepcional de puentes con un vano muy grande, pueden utilizarse cables
para soportar el tablero del puente, como en el caso de los puentes colgantes, en
donde los cables pasan por unos elementos verticales llamados pilas o torres.
FIGURA 1.6. PUENTE COLGANTE
Los elementos estructurales que constituyen una estructura, pueden ser de diferentes
tipos.
Atendiendo a su geometría pueden distinguirse entre:
• Elementos estructurales lineales
• Elementos estructurales superficiales
• Elementos estructurales tridimensionales

13
Son elementos estructurales lineales aquellos elementos que pueden esquematizarse
como una línea recta o curva. Ejemplos de este tipo de elementos son: la viga, el pilar,
el arco, el cable, el tirante, etc. En este tipo de elementos una dimensión es muy
grande frente a las otras dos.
VIGA PILAR ARCO
FIGURA 1.7. ELEMENTOS ESTRUCTURALES UNIDIMENSIONALES
Son elementos estructurales superficiales aquellos que pueden esquematizarse como
una superficie plana o curva. Son ejemplos de este tipo de elementos: la losa o placa,
el muro, la lámina, etc.
LOSA MURO LÁMINA
FIGURA 1.8. ELEMENTOS ESTRUCTURALES BIDIMENSIONALES
En este tipo de elementos dos dimensiones son muy grandes frente a la tercera.
Son elementos estructurales tridimensionales aquellos elementos que pueden
esquematizarse como volúmenes. Como ejemplos de este tipo de elementos tenemos:
un macizo de cimentación.
FIGURA 1.9. MACIZO DE CIMENTACIÓN (ELEMENTO ESTRUCTURAL TRIDIMENSIONAL)

14
En este tipo de elementos las tres dimensiones son del mismo orden de magnitud.
La combinación de elementos estructurales lineales por intermedio de nudos
articulados o rígidos conduce a las siguientes formas estructurales.
• Estructuras articuladas
• Estructuras reticuladas
En las estructuras articuladas la unión de todos los elementos lineales que las
constituyen (barras) se realiza por medio de articulaciones. Según que todos los
elementos lineales estén o no en un plano se hablará de estructuras articuladas planas
o estructuras articuladas espaciales.
ESTRUCTURA ARTICULADA PLANA ESTRUCTURA ARTICULADA ESPACIAL
FIGURA 1.10. ESTRUCTURAS ARTICULADAS
También reciben el nombre de celosías planas o espaciales.
En las estructuras reticuladas, la unión de todos los elementos lineales que la
constituyen (vigas y pilares), se realiza por medio de nudos rígidos. Según que todas
las cargas y los elementos lineales estén o no en un plano, se distingue entre
estructuras reticuladas planas y estructuras reticuladas espaciales.
ESTRUCTURA RETICULADA PLANA ESTRUCTURA RETICULADA ESPACIAL
FIGURA 1.11. ESTRUCTURAS RETICULADAS
También reciben el nombre de pórticos planos o espaciales.
Una forma estructural constituida por barras rectas es el emparrillado. El emparrillado
está constituido por una serie de barras rectas, normalmente constituyendo una parrilla
ortogonal y situada en un plano horizontal, sometido a cargas perpendiculares al

15
plano, momentos flectores y momentos torsores. Las deformaciones de los elementos
del emparrillado están constituidas por traslaciones perpendiculares a este y por dos
giros ortogonales de ejes contenidos en el plano.
FIGURA 1.12.EMPARRILLADO
Otra forma estructural es la losa o placa que está constituida por un elemento
bidimensional, normalmente situado en un plano horizontal y sometido a cargas del
mismo tipo que en el caso del emparrillado.
FIGURA 1.13 LOSA O PLACA
Cuando este elemento superficial plano está situado en un plano vertical se llama
muro.
FIGURA 1.14 MURO
Como elementos superficiales espaciales tenemos la lámina, que dependiendo de su
forma reciben distintos nombres: bóveda, cúpula, etc.

16
LÁMINA BÓVEDA CÚPULA
FIGURA 1.15 ESTRUCTURAS LAMINARES
En este tipo de elementos los esfuerzos son del tipo: axiles, cortantes, flectores, no
existiendo normalmente momentos torsores.
Cuando en la lámina solo existen esfuerzos axiles y cortantes dentro del plano del
elemento no existiendo flexiones , la forma estructural se denomina membrana o
cáscara. Es el caso de un globo.
1.3. TIPOS DE APOYO DE UNA ESTRUCTURA
Las cargas aplicadas a una estructura se transfieren a su cimentación por medio de
sus apoyos.
En la práctica, los apoyos de una estructura pueden ser muy complejos, en cuyo caso
se idealizan en unas tipologías que se aproximen lo máximo posible a la realidad y
permitan el análisis de la misma.
Por ejemplo, un tipo de apoyo que permite la rotación pero impide las dos traslaciones
en el plano de la estructura es el apoyo fijo figura 1.16 a), que se idealiza como se
indica en la figura 1.16 b).
a) APOYO FIJO REAL b) APOYO FIJO IDEALIZADO
FIGURA 1.16 APOYO FIJO
Una viga que tenga en cada uno de sus extremos un apoyo fijo tiene sus movimientos
totalmente impedidos, pero puede ser ventajoso permitir el movimiento horizontal de
uno de ellos, para que los efectos de contracción y dilatación debidos a los cambios de
temperatura, no introduzcan esfuerzos adicionales en la estructura. Una forma de
idealizar un apoyo móvil en una estructura, es disponiendo un apoyo de neopreno que
permite en función del espesor del mismo el movimiento horizontal, así como el giro.

17
a) APOYO MÓVIL REAL b) APOYO MÓVIL IDEALIZADO
FIGURA 1.17 APOYO MÓVIL
En algunos casos interesa impedir en el extremo de una viga las dos traslaciones y el
giro, lo que supone un empotramiento. Por ejemplo en el caso de una estructura
metálica, la unión rígida de la viga al pilar puede realizarse mediante dos angulares,
como se indica en la figura nº 1.18, constituyendo un empotramiento.
a) EMPOTRAMIENTO DE VIGA EN PILAR b) EMPOTRAMIENTO IDEALIZADO
FIGURA 1.18 EMPOTRAMIENTO
Una viga con un apoyo móvil y otro fijo se denomina viga simplemente apoyada. Sin
embargo, puede haber apoyos móviles en puntos intermedios de la viga,
constituyendo en este caso una viga continua.
VIGA SIMPLEMENTE APOYADA VIGA CONTINUA
FIGURA 1.19 VIGAS APOYADAS
En las figuras siguientes se puede apreciar el caso de una viga en ménsula o voladizo
y el de una viga biempotrada.
VIGA EN MÉNSULA O VOLADIZO VIGA BIEMPOTRADA
FIGURA 1.20 VIGAS EMPOTRADAS

18
Cuando las cargas se aplican a la estructura, se generan reacciones en los apoyos y
en muchos análisis estructurales, el primer paso consiste en calcular esos valores.
1.4. ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS E INDETERMINADAS
Una estructura se dice que es isostática o estáticamente determinada si el número
de coacciones internas más coacciones externas es igual al número de grados de
libertad totales de la misma y si los enlaces internos y externos están
convenientemente situados para impedir los movimientos internos y externos de la
misma.
ESTRUCTURA ARTICULADA ESTRUCTURA RETICULADA
ISOSTÁTICA ISOSTÁTICA
FIGURA 1.21 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS
En este caso las ecuaciones de equilibrio de la estática son suficientes para
determinar los valores de las reacciones externas.
Por el contrario, si el número de coacciones internas más coacciones externas es
superior al número de grados de libertad totales, la estructura se dice que es
hiperestática o estáticamente indeterminada.
En este caso las ecuaciones de equilibrio no son suficientes para determinar los
valores de las reacciones y es necesario acudir a ecuaciones adicionales de
deformación, tantas como grado de hiperestaticidad tenga la estructura.
En el caso de que el número de coacciones externas más coacciones internas sea
menor que los grados de libertad totales, se dice que el sistema de cuerpos es un
mecanismo. En este caso existen movimientos no impedidos.
ESTRUCTURA ARTICULADA ESTRUCTURA RETICULADA
HIPERESTÁTICA HIPERESTÁTICA
FIGURA 1.22 ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

Cálculo de Estructuras Capítulo 3 – Teoremas Energéticos
88
Donde las cargas exteriores Pi y los esfuerzos σj suponen un sistema en equilibrio,
mientras que los movimientos virtuales dδi y las deformaciones virtuales dεj, son
arbitrarios y compatibles.
3.12. TEOREMA DE LOS TRABAJOS COMPLEMENTARIOS VIRTUALES
Al igual que en el caso de trabajo y la energía de deformación, para los trabajos
virtuales se define el Teorema de los trabajos virtuales complementarios, también
conocido como Teorema de las fuerzas virtuales.
De igual manera que en el teorema de los trabajos virtuales, ahora se definen fuerzas
virtuales dPi al conjunto de fuerzas infinitesimales imaginarias en equilibrio con los
esfuerzos dδi, que no modifican las condiciones de equilibrio y para las que no se
produce variación de los movimientos δi, de la estructura, es decir dδi = 0.
Se denomina trabajo complementario virtual sobre la estructura, para las fuerzas
virtuales supuestas, al trabajo complementario definido por la primera variación δ1
W*:
1
1
* *
n
i i
i
dW W dPδ δ
=
= = ∑
Las tensiones dσj que se producen en la estructura, para equilibrar a las fuerzas
virtuales dPi se conocen como tensiones virtuales y por definición no modifican las
deformaciones virtuales dεj, es decir, dεj = 0. Por lo tanto, el incremento de la energía
complementaria de deformación coincide con la primera variación:
1
1
* *
m
j j
j
dU U dδ ε σ
=
= = ∑
Y se define como energía complementaria de deformación virtual.
En el caso de que la estructura se trate de un sistema conservativo, se tiene que:
1 1
* * * *dW dU W Uδ δ= ⇒ =
Que representa la expresión matemática del Teorema de los trabajos
complementarios virtuales, cuyo enunciado es el siguiente:
La condición necesaria y suficiente para que en una estructura unos movimientos δi y
unas deformaciones εj, sean compatibles, es que para cualquier conjunto arbitrario de
fuerzas virtuales dPi en equilibrio con las correspondientes tensiones virtuales dσj, se
cumpla la igualdad entre el trabajo complementario y la energía complementaria de
deformación virtuales.

89
Por tanto la expresión matemática de la condición anterior, es que:
1 1
n m
i i j j
i j
dP dδ ε σ
= =
=∑ ∑
(3.45)
Donde los movimientos δi y las deformaciones εj deben ser compatibles, mientras que
las fuerzas virtuales dPi y las tensiones virtuales dσj, son arbitrarios y están en
equilibrio.
3.13. TEOREMA DE LA FUERZA UNIDAD
A partir del Principio de los trabajos virtuales y del Principio de los trabajos
complementarios virtuales se deducen un conjunto de Teoremas de gran aplicación en
los desarrollos teóricos de Cálculo de Estructuras, en los que están fundamentados la
mayoría de los métodos de análisis actuales:
• Teorema de la fuerza unidad
• Teoremas de Castigliano
• Teorema de la energía complementaria de deformación mínima.
• Teorema de la energía potencial total estacionaria.
Cada uno de los teoremas basados en el Principio de los trabajos virtuales tiene su
análogo basado en el Principio de los trabajos complementarios virtuales o Principio
de las fuerzas virtuales.
Se expresa a continuación el primero de ellos denominado teorema de la fuerza
unidad.
Consideremos un sistema estructural elástico y conservativo constituido por la
estructura articulada de la figura 3.24, sometida a la acción de unas fuerzas Pi en
equilibrio con unos esfuerzos Nj. Bajo este estado de cargas se producen unos
movimientos cuyas componentes eficaces con las fuerzas son δi. Estos movimientos
son compatibles con unas deformaciones (alargamientos en el caso de estructuras
articuladas) que denominaremos Δj, que al igual que los esfuerzos Nj están producidos
por las fuerzas Pi, así como por cualquier otro tipo de acción de carácter no estático
como incrementos de temperatura, defectos de montaje, etc.

109
3.18. CÁLCULO DE SISTEMAS ESTRUCTURALES MEDIANTE LOS TEOREMAS
ENERGÉTICOS
3.18.1. Desplazamientos en arcos
Sea el arco de tres articulaciones de la figura en la cual se ha producido un
desplazamiento horizontal δH del apoyo B del lado derecho y se desea conocer el
descenso δ*v en la articulación C.
FIGURA 3.35
Para ello se coloca una carga P (que puede ser unitaria o no) en el punto C y que
producirá trabajos a través del corrimiento desconocido δ*V.
Las reacciones debidas a P valen:
Pensando en los desplazamientos como virtuales y el sistema de cargas como real, se
puede aplicar el Principio de los Trabajos Virtuales, donde:
3.18.2. Cálculo de una reacción isostática
Sea la viga isostática de la figura en la que queremos determinar el valor de la
reacción RB para el sistema de cargas P en equilibrio con las reacciones en A, B y C.
Eliminando el apoyo B y explicitando la reacción RB como carga externa, el sistema se
convierte en un mecanismo de grado 1, al que se le puede dar un desplazamiento
virtual con valor en B igual a Δ. En este caso, también :
f
lP
f
lV
HPV
·4
·
·2
·
2
1
===
****
4
0··
0
HvHve
e
f
l
HPW
W
δδδδ =∴=−=
=
∑
∑
0=∑ eW

110
FIGURA 3.36
No dependiendo naturalmente del desplazamiento virtual Δ arbitrario dado al punto B.
3.18.3. Deformaciones en pórticos
a) Desplazamientos
Sea el pórtico de la figura sometido a un estado de cargas P que produce unas
solicitaciones M, N, Q y unas deformaciones de las que se desea conocer el
desplazamiento de un punto genérico i en la dirección s-s (δs).
FIGURA 3.37
Se aplica en i una carga virtual P* = 1 en la dirección s-s que produce solicitaciones
M*, N*, Q*.
PRPRPW BBe
6
7
0
3
2
··
2
· =⇒=Δ−Δ+
Δ
−=∑

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