Este documento presenta el análisis estructural de un elemento de marco utilizando el teorema de Castigliano. Se divide la demostración de la relación de rigidez en dos partes: la contribución de la flexión y la contribución de la carga axial. Para cada parte se plantea la energía de deformación, se deriva para obtener ecuaciones de interpolación en términos de los desplazamientos de los extremos, y se aplica el teorema de Castigliano para obtener la relación de rigidez. La matriz de rigidez

1. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN
Análisis Estructural
“Cuestionario # 4”
Profesor:
Dr. Mauricio Gamboa
Alumno:

2. Cuestionario 4
1. ¿Cuál es el teorema en el que se basa la relación de rigidez del elemento de
marco por métodos energéticos?
El teorema en el que se basa la relación de rigidez del elemento de marco por métodos
energéticos es el teorema de Castigliano el cual expresa que la derivada parcial de la
energía de deformación con respecto a un desplazamiento es igual a la fuerza que origina
ese desplazamiento. Matemáticamente expresado tenemos:
∂U
∂∆
= F
2. ¿Cuál es la tarea más importante al aplicar el teorema de Castigliano para obtener
la relación de rigidez en coordenadas locales del elemento de marco?
La tarea más importante al aplicar el teorema de Castigliano para obtener la relación de
rigidez en coordenadas locales del elemento de marco es el planteamiento de la energía
de deformación U como en función del desplazamiento Δ.
3. ¿Cómo se divide la demostración de la relación de rigidez del elemento de marco
y por qué?
La demostración de la relación de rigidez del elemento de marco se divide en dos partes,
la primera es la matriz de rigidez del elemento en flexión y la segunda, la aportación de
los desplazamientos axiales a la matriz de rigidez del elemento. Esto se da ya que
partimos de un elemento de marco, con seis grados de libertad o desplazamientos de
extremos.
4. ¿Cuál es la fórmula de la energía de deformación que se usa para obtener la
aportación de la flexión a la matriz de rigidez del elemento de marco?
𝑈𝑓 = ∫
𝑀2
2𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝐿
0
Donde:
 M= momento flexionante.
 E = módulo de elasticidad.
 I = inercia.
5. ¿Cuál es la conocida relación fuerza desplazamiento de la que se parte para la
obtención de la aportación de la flexión a la relación de rigidez del elemento de
marco?
𝑀
𝐸𝐼
=
𝑑2
𝑦(𝑥)
𝑑𝑥2
𝑦(𝑥) → 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎
La cual es la definición de curvatura, la cual esta relacionada con una ecuación llamada
Y(x) (plano XY).
𝑀
𝐸𝐼
=
𝑑2
𝑧(𝑥)
𝑑𝑥2
𝑧(𝑥) → 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎
La cual es la definición de curvatura, la cual está relacionada con una ecuación llamada
Y(x) (plano XZ).

3. 6. ¿Cuántos desplazamientos del elemento de marco aportan rigidez por flexión?
Son 4 desplazamientos que aportan rigidez por flexión y son: ∆zi, Өyi, ∆zj, Өyj,
7. ¿Cuáles son las dos ecuaciones que se presumen lineal y cúbica para relacionar
los desplazamientos de extremo con la energía de deformación del elemento de
marco por flexión?
La ecuación que se presume lineal es M = A x + B y la que se presume cúbica es:
𝑦( 𝑥) =
𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑
𝐸𝐼
8. ¿Qué se obtiene de la primera, segunda, tercera y cuarta derivadas de la
ecuación de la elástica respectivamente?
Si derivamos la ecuación cúbica de la elástica, obtenemos una ecuación cuadrática que
representa la pendiente, θ z(x) en cualquier punto del elemento:
𝑑𝑦(𝑥)
𝑑𝑥
= 𝜃𝑧( 𝑥) =
3𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥 + 𝑐
𝐸𝐼
Si derivamos nuevamente la elástica se obtiene la ecuación de la curvatura en función de
los desplazamientos de extremo:
𝑑2 𝑦(𝑥)
𝑑𝑥2 =
𝑀𝑧(𝑥)
𝐸𝐼
=
⌊
𝑁1" 𝑁2" 𝑁3"𝑁4"⌋ {
∆𝑦1
𝜃𝑧1
∆𝑦1
𝜃𝑧1
}𝑐𝑜𝑛
𝑁1" =
12𝑥
𝐿3 −
6
𝐿2
𝑁2" =
6𝑥
𝐿2 −
4
𝐿
𝑁3" =
12𝑥
𝐿3 +
6
𝐿2
𝑁4" =
6𝑥
𝐿2 −
2
𝐿
Si derivamos de nuevo la elástica, se obtiene la ecuación del cortante (constante) en
función de los desplazamientos de extremo:
Si derivamos una vez más, se obtendrá la ecuación de la carga (nula) en función de los
desplazamientos de extremo, la ausencia de carga en el elemento es correcta, ya que se
partió de un conjunto de desplazamientos y fuerzas nodales:

4. 9. ¿Qué representan las ecuaciones de interpolación que se obtienen a partir de la
ecuación de la elástica en función de los desplazamientos de extremo y qué
representan sus derivadas?
Los polinomios cúbicos N1
, N2
, N3
y N4
son conocidas como funciones de interpolación y
cada uno de ellos está relacionado con un desplazamiento de extremo (Δyi
, θ zi
, Δyj
y θ zj
,
respectivamente). Estos polinomios representan la aportación de cada desplazamiento de
extremo a la elástica. Si derivamos estos polinomios, sus derivadas representarán la
aportación de cada desplazamiento de extremo a la pendiente.
10. Explicita la relación de rigidez obtenida de aplicar el Teorema de Castigliano a la
energía de deformación por flexión en función de los desplazamientos de extremo y
explica el porqué de las diferencias que se obtienen entre las aportaciones de la
flexión a las matrices de rigidez del elemento de marco en los planos XY y XZ.
Para el plano XY
Para el plano XZ

5. Como se puede apreciar hay cierta diferencia entre ambos planos de estudio. Esto se
debe a que al trabajar en el plano XZ tanto para los productos fuerza-rotación y momento-
desplazamiento debido al plano cambia su signo respecto al plano XY.
11. ¿Cuál es la fórmula de la energía de deformación que se usa para obtener la
aportación de la carga axial a la matriz de rigidez del elemento de marco?
12. ¿Cuáles son las dos relaciones de las que se parte para la obtención de la
aportación de la carga axial a la relación de rigidez del elemento de marco?
Donde:
ε = desplazamiento unitario.
u(x) = desplazamiento en x.
σ = esfuerzo axial en x.
E = módulo de elasticidad.
13. ¿Cuántos desplazamientos del elemento de marco aportan rigidez axial?
Son dos desplazamientos, uno en el nodo inicial (Δxi) y uno en el nodo final (Δxj).
14. ¿Cuál es la ecuación que se presumen lineal para relacionar los
desplazamientos de extremo con la energía de deformación axial del elemento de
marco?
Fzi
Myi
Fzj
Myj
Δzi
Ѳyi
Δzj
Ѳyj

6. 15. ¿Qué se obtiene de la primera derivada de la ecuación de la deformación axial?
De la primera derivada de la ecuación de la deformación axial se obtiene la deformación
unitaria axial.
16. ¿Qué representan las ecuaciones de interpolación que se obtienen a partir de la
ecuación de la deformación axial en función de los desplazamientos de extremo y
qué representa su derivada?
Las ecuaciones de interpolación que se obtienen de la ecuación de la deformación axial
representan la aportación de cada desplazamiento de extremo al desplazamiento axial
total. Su derivada representa la aportación de cada desplazamiento de extremo al
desplazamiento axial unitario.
17. Explicita la relación de rigidez obtenida de aplicar el Teorema de Castigliano a la
energía de deformación axial en función de los desplazamientos de extremo y
explica por qué no hay diferencias entre las aportaciones de la carga axial a las
matrices de rigidez del elemento de marco en los planos XY y XZ.
Esta relación se obtiene tanto para el plano XY como para el plano XZ ya que la dirección
del eje x, la cual es longitudinal al elemento, será igual para ambos planos.
18. Explicita la relación de rigidez del elemento de marco en coordenadas locales
obtenida de superponer la aportación de la flexión y de la carga axial (para los
planos XY y XZ).
Para el plano XY

7. Para el plano XZ
19. Explica las cuatro características de la matriz de rigidez del elemento de marco
en coordenadas locales.
-Equilibrio: uno, dos o varios desplazamientos general fuerzas en equilibrio, en particular o
en general sumándose.
-Movimiento de cuerpo rígido: movimiento del elemento sin deformarse. Como no hay
deformación no se generan fuerzas
- Singularidad: la matriz de rigidez del elemento de marco es una matriz singular, es decir,
no tiene inversa. El sistema de ecuaciones no tiene solución porque es la misma
ecuación.
-Simetría: ya que los coeficientes por arriba y debajo de la diagonal son iguales.
Fxi
Fzi
Myi
Fxj
Fzj
Myj
Δxi
Δzi
Ѳyi
Δxj
Δzj
Ѳyj