Texto guía de ingenieria antisísmica felipe ramiro saavedra

Texto Guía
de
Ingeniería Antisísmica
Facultad:
Ciencias y Tecnología
Carrera:
Ingeniería Civil
Autores:
Ivan Richard Goytia Torrez
Rolando Villanueva Inca
Tutor:
Ingeniero Felipe Ramiro Saavedra A.

Agradecimientos
A Dios.
A nuestras familias por su cariño y respaldo
incondicional.
Al ingeniero Ramiro Saavedra por su apoyo
durante la elaboración y culminación del
proyecto.

FICHA TECNICA
TÍTULO FECHA
“Modernización de la Enseñanza
Aprendizaje en la Asignatura de
Ingeniería Antisísmica”
Agosto, 2001
AUTORES CARRERA
Ivan Richard Goytia Torrez
Rolando Villanueva Inca
Ingeniería Civil
COMPENDIO
Se cubren los conceptos generales de sismología, dinámica estructural y diseño. Se
desarrollan métodos de cálculo sobre algunos casos prácticos. Se desarrolla el cálculo
dinámico lineal y el análisis modal para estudiar su aplicación dentro del contexto de
la Norma sísmica, haciendo hincapié en su aplicación práctica. Plasmando la
información necesaria para diseño de estructuras sismorresistentes, que engloba los
aspectos más prácticos y didácticos. Se tiene también una serie de ejercicios al final de
cada capítulo los cuales ayudan una mejor comprensión de cada unidad.

CONTENIDO
Capítulo 1 CARACTERÍSTICAS DE LOS SISMOS 1
1.1 Conceptos Básicos de Sismología 1
1.2 Causas de los Sismos 2
1.2.1 Tectónica de Placas 2
1.2.2 Sismos de Origen Tectónico 5
1.3 Fallas Geológicas 6
1.3.1 Definición 6
1.3.2 Tipos de Falla 7
1.4 Ondas Sísmicas 8
1.4.1 Ondas de Cuerpo 8
1.4.2 Ondas Superficiales 9
1.5 Instrumentos de Medición y Registros Sísmicos 10
1.5.1 Sismómetro 11
1.5.2 Acelerómetro 11
1.6 Medidas de los Sismos 12
1.6.1 Magnitud 12
1.6.2 Intensidad 12
1.6.3 Relación entre Escala de Intensidad y Medida 12
Capítulo 2 SISMICIDAD Y AMENAZA REGIONAL 14
2.1 Actividad Sísmica de una Región 14
2.1.1 Geología Regional 14
2.1.2 Mapas de Eventos Sísmicos 14
2.1.3 Estudios de Liberación de Energía 15
2.1.4 Estudios de Probabilidad Sísmica 16
2.2 Efectos de los Sismos 16
2.3 Respuesta del Sitio a Sismos 16
2.4 Historia de los Sismos 17
2.5 Consecuencias de los Sismos 17
2.6 Estudios de Riesgo Sísmico Local y Nacional 19
2.7 Sismo de Diseño 23
Capítulo 3 CONCEPTOS GENERALES EN EL ANÁLISIS DINÁMICO 24
3.1 Estructura Simple 24
3.2 Grados de Libertad 24
3.3 Sistema Linealmente Elástico 25
3.4 Amortiguamiento 26
3.4.1 Mecanismos de Disipación 26
3.4.2 Fuerza de Amortiguamiento 26

3.5 Ecuación de Movimiento 26
3.5.1 Segunda ley de Newton 27
3.5.2 Equilibrio Dinámico 27
3.5.3 Componentes de Masa, Amortiguamiento y Rigidez 27
3.6 Ecuación de Movimiento: Excitación Sísmica 28
Capítulo 4 VIBRACIÓN LIBRE 30
4.1 Teoría General de Vibraciones 30
4.2 Definición 31
4.3 Vibración Libre no Amortiguada 31
4.4 Vibración Libre con Amortiguamiento Viscoso 33
4.4.1 Tipos de Movimiento 33
4.4.2 Sistema Subamortiguado 34
4.5 Ejemplos 36
Capítulo 5 VIBRACIÓN FORZADA CARGA ARMÓNICA 41
5.1 Justificación 41
5.2 Sistema no Amortiguado con Carga Armónica 41
5.2.1 Ecuación de Movimiento 41
5.2.2 Resonancia 43
5.3 Sistema Amortiguado con Carga Armónica 45
5.3.1 Ecuación de Movimiento 45
5.3.2 Resonancia 46
5.3.3 Deformación Máxima 47
5.3.4 Factores de Respuesta Dinámica 48
5.3.5 Frecuencia Resonante y Respuesta Resonante 49
5.4 Ejemplos 51
Capítulo 6 MOVIMIENTO FORZADO CARGA IMPULSIVA 56
6.1 Introducción 56
6.2 Carga Impulsiva Rectangular 56
6.3 Carga Impulsiva Triangular 58
6.4 Carga Impulsiva Tipo Sinoidal 59
6.5 Respuesta al Movimiento del Suelo. 61
6.6 Análisis Aproximado de Respuesta para Carga Impulsiva. 62
6.7 Ejemplos 64
Capítulo 7 RESPUESTA A CARGA DINÁMICA GENERAL 71
7.1 Integral de Duhamel. 71
7.2 Integral de Duhamel para un Sistema no Amortiguado. 72
7.3 Integral de Duhamel para un Sistema Amortiguado. 73
7.4 Evaluación Numérica de la Respuesta Dinámica 73
7.5 Ejemplos 76
Capítulo 8 RESPUESTA SÍSMICA A SISTEMAS LINEALES 82
8.1 Movimiento del Suelo. 82

8.2 Respuesta Dinámica de la Estructura 82
8.4 Espectro de Respuesta 83
8.4.1 Cantidades de Respuesta 83
8.4.2 Histograma de Respuesta 83
8.4.3 Concepto del Espectro de Respuesta 86
8.4.4 Espectro de Respuesta de Deformación 86
8.4.5 Espectro de Respuesta de Seudo Velocidad 86
8.4.6 Espectro de Respuesta de Seudo Aceleración 87
8.4.7 Espectro de Respuesta Combinado D-V-A 87
8.4.8 Construcción del Espectro de Respuesta 88
8.5 Características del Espectro de Respuesta 88
8.6 Espectro Elástico de Diseño 90
8.6.1 Construcción del Espectro de Diseño 92
Capítulo 9 RESPUESTA SÍSMICA A SISTEMAS NO LINEALES 94
9.1 Introduccion. 94
9.2 Relación Fuerza-Deformación 95
9.2.1 Idealización Elastoplástica 95
9.2.2 Sistema Lineal Correspondiente 96
9.3 Esfuerzo de Fluencia Normalizado, Factor de Reducción de Fluencia y Factor de Ductilidad. 97
9.4 Ecuación de Movimiento y Parámetros de Control 97
9.5 Efectos de Fluencia 99
9.6 Espectro de Respuesta para Deformación de Fluencia y Esfuerzo de Fluencia 103
9.6.1 Definiciones 103
9.6.2 Esfuerzo de Fluencia para una Ductilidad Especifica 103
9.6.3 Construcción del Espectro de Respuesta con Ductilidad Constante 103
9.7 Esfuerzo de Diseño y Deformación a partir del Espectro de Respuesta 105
9.8 Esfuerzo de Fluencia de Diseño 105
Capítulo 10 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD 107
10.3 Respuesta Dinámica: Análisis Modal 109
10.4 Método Matricial 109
10.4.1 Matriz Modal y Espectral 111
10.4.2 Ortogonalidad de los Modos 112
10.4.3 Normalización de los Modos 113
10.4.4 Factor de Participación 113
10.5 Método Numérico 114
10.6 Método Iterativo 115
10.7 Ejemplos 117
Capítulo 11 CRITERIOS DE ESTRUCTURACIÓN SISMO RESISTENTE EN EDIFICIOS135
11.2 Requisitos de Configuración 135
11.2.1 Configuración en Elevación 136
11.2.2 Configuración en Planta 137
11.2.3 Poco Peso 139
11.2.4 Hiperestaticidad 139

11.2.5 Columna Fuerte, Viga Débil 140
11.3 Sistemas Estructurales 140
11.3.1 Sistema de Muros Portantes 140
11.3.2 Sistemas de Estructuras de Edificación 141
11.3.3 Sistema de Pórtico Resistente a Momentos 141
11.3.4 Sistema Doble (Dual) 141
11.4 Selección del Método de Análisis 141
Capítulo 12 MÉTODO DE LA FUERZA HORIZONTAL EQUIVALENTE 143
12.1 Determinación de las Fuerzas Laterales 143
12.1.1 Factor de Zona Sísmica 143
12.1.2 Coeficiente de Respuesta del Terreno 144
12.1.3 Tipo de Perfil del Suelo 144
12.1.4 Tipo de Lugar de Origen del Sismo 144
12.1.5 Factor de Cercanía a la Fuente de Origen 144
12.1.6 Periodo Fundamental 144
12.1.7 Amortiguamiento y Ductilidad 146
12.1.8 Factor de Modificación de Respuesta 147
12.1.9 Factor de Importancia 147
12.1.10 Coeficiente de Respuesta Sísmica 147
12.1.11 Carga Muerta Sísmica 148
12.1.12 Procedimiento de la Fuerza Lateral Equivalente 148
12.2 Estructuras de Varios Niveles 149
12.2.1 Distribución Vertical de la Fuerza Sísmica 149
12.2.2 Volcamiento 150
12.2.3 Efecto P-Delta 151
12.2.4 Desplazamientos de Piso 152
12.2.5 Cargas en los Diafragmas 153
12.3 Fuerza Cortante Basal para el Diseño Simplificado 154
12.3.1 Fuerza Cortante Basal 154
12.3.2 Distribución Vertical 154
12.3.3 Calculo de los Desplazamientos de Piso 154
12.3.4 Determinación de la Carga Sobre los Diafragmas 155
12.4 Combinaciones de Carga 155
12.4.1 Combinaciones de Carga Utilizando el Diseño por Resistencia 155
12.4.2 Combinaciones de Carga Utilizando el Diseño de Esfuerzo Admisible 158
12.5 Torsión 159
12.5.1 Momento Torsor 159
12.5.2 Centro de Masas y Centro de Rigideces 160
12.5.3 Efectos de la Torsión 161
12.6 Tablas 162
12.7 Ejemplos 168
Capítulo 13 MÉTODO DINÁMICO SUPERPOSICIÓN MODAL 175
13.2 Ventajas del Análisis Modal 175
13.3 Procedimiento del Análisis Modal 175
13.4 Análisis Espectral 177
13.4.1 Numero de Modos 177
13.4.2 Combinación de Modos 178
13.4.3 Efectos de Dirección 178
13.4.4 Torsión 178
13.4.5 Sistemas Dobles 178
13.5 El Análisis por Historia del Tiempo (Cronológico) 178

13.6 Simulador Estructural. 179
13.6.1 Análisis de Eigenvectores 179
13.6.2 Análisis del Vector de Ritz 181
13.6.3 Resultados del Análisis Modal 181
13.6.4 Análisis del Espectro de Respuesta 182
13.6.5 Resultados del Análisis del Espectro de Respuesta 184
13.7 Ejemplos 186
Capítulo 14 DISEÑO SÍSMICO DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO 198
14.2 Cargas de Diseño 198
14.3 Pórticos Especiales Resistentes a Momentos 199
14.3.1 Diseño por el Método de la Resistencia 199
14.3.2 Resistencia y Ductilidad de Secciones a Flexión 204
14.3.3 Detalles Sismorresistentes para Vigas 208
14.3.4 Detalles Sismorresistentes para Columnas 210
14.3.5 Unión Viga-Columna 212
14.4 Muros de Corte 213
14.4.1 Resistencia al Corte 213
14.4.2 Muros de Corte para Cargas a Flexión y Axiales 213
14.5 Ejemplos 216
Referencias 229
Direcciones de Internet 231
Direcciones de Universidades en Internet
232
Apéndice 233

NOTACIÓN
Capítulo 3
c Coeficiente de amortiguamiento, [fuerza · tiempo
/longitud].
DOF Grado de libertad, definido como el número de enlaces de un nudo que se puede mover dentro
de una estructura espacial.
fD Fuerza de amortiguamiento.
fI Fuerza de inercia.
fS Fuerza elástica.
k Factor de rigidez, [fuerza
/longitud].
m Masa, [fuerza
/aceleración]
p(t) Fuerza externa.
peff(t) Fuerza sísmica efectiva.
u Desplazamiento.
ú Velocidad.
ü Aceleración.
u’(t) Desplazamiento total de la masa.
ug(t) Desplazamiento del suelo.
üg(t) Aceleración del suelo.
Capítulo 4
ccr Coeficiente de amortiguamiento critico.
fn Frecuencia cíclica natural, expresada en ciclos por segundo, [Hertz].
j Número de ciclos.
TD Período natural de vibración amortiguada, [seg.].
Tn Período natural de vibración.
u(0) Desplazamiento en tiempo cero.
ú(0) Velocidad en tiempo cero.
u0 Amplitud de movimiento.
δ Decremento logarítmico de desplazamiento.
ωD Frecuencia natural de vibración amortiguada, [rad
/seg].
ωn Frecuencia circular natural, [rad
/seg].
ξ Razón o relación de amortiguamiento.
φ Ángulo de fase
Capítulo 5
p0 Amplitud de fuerza.
Rd Factor de respuesta de deformación.
Rv Factor de respuesta de velocidad.
Ra Factor de respuesta de aceleración.
ust(t) Deformación estática en cada instante de tiempo.

(ust)0 Máximo valor de la deformación estática, deformación estática debido a la amplitud de fuerza.
uj Desplazamiento pico después de j ciclos de vibración del sistema.
ω Frecuencia de excitación, [rad
/seg].
Capítulo 6
I Magnitud del impulso
t1 Tiempo de duración de la fase de excitación, [seg]
Δú Variación de la velocidad
/seg].
Capítulo 7
I Magnitud del impulso
t1 Tiempo de duración de la fase de excitación, [seg]
Δú Variación de la velocidad
/seg].
Capítulo 8
A Aceleración espectral
D Deformación máxima, similar a u0
Mb Momento volcador
ug0 Desplazamiento pico del suelo durante un sismo
úg0 Velocidad pico del suelo durante un sismo
üg0 Aceleración pico del suelo durante un sismo
V Velocidad espectral o seudo velocidad pico
Vb Cortante basal
αA, αV,αD Factores de amplificación
Capítulo 9
ay Aceleración de la masa para producir la fuerza de fluencia fy.
Dy Deformación de fluencia, (uy), de un sistema elastoplástico distinto a um.
f0 Fuerza resistente del sistema lineal correspondiente, similar a fs0.
fS Fuerza elástica.
fy Fuerza de fluencia.
⎯fy Esfuerzo de fluencia normalizado.
Ry Factor de reducción de fluencia.
u0 Deformación pico del sistema lineal correspondiente.
um Desplazamiento máximo del sistema elastoplástico.
up Deformación permanente.
uy Deformación de fluencia
μ Factor de ductilidad.
Capítulo 10
[C] Matriz de amortiguamiento.
{FD} Vector de fuerzas de amortiguamiento.
{FI} Vector de fuerzas de inercia.
{FS} Vector de fuerzas elásticas.
[K] Matriz de rigidez.

[M] Matriz de masas.
MDF Sistema de varios grados de libertad.
ME
Masa efectiva.
Mi Masa correspondiente al nivel i.
P Factor de participación.
{U} Vector de desplazamiento.
{Ú} Vector de velocidad.
{Ü} Vector de aceleración.
V Cortante basal.
WE
Peso efectivo.
[Φ] Matriz modal.
[Ω2
] Matriz espectral.
φn Forma modal o eigenvector correspondiente al modo n.
Capítulo 12
Ca, Cv Coeficientes de respuesta del suelo.
Cs Coeficiente de respuesta sísmica.
fi Fuerza lateral en el nivel i.
Ft Fuerza en la parte superior de la estructura que considera el efecto de los modos altos.
Fx Fuerza lateral que actúa sobre un nudo en particular.
hn Altura en metros, medida desde la base, del piso más alto del edificio.
I Factor de importancia.
Mpi Momento primario del nivel en consideración.
Msi Momento secundario del nivel en consideración.
Na, Nv Factor de cercanía a la fuente de origen.
R Factor de modificación de respuesta.
ri Relación del esfuerzo cortante del elemento - piso.
SA, SB, SC,
SD, SE, y SF Tipos de perfil de suelo.
V Cortante basal.
V’ Cortante basal modal.
VE Cortante basal desarrollada en una estructura ideal completamente elástica.
VS Cortante basal de diseño.
W Carga muerta sísmica.
wi Carga muerta del nivel i.
Z Factor de zona sísmica.
δi Desplazamiento horizontal en el nivel i debido a la fuerza fi.
φi Componente de la forma modal en el nivel i para un modo dado.
θi Índice de estabilidad.
ρ Factor de confiabilidad o redundancia.
Capítulo 13
Sa Aceleración espectral
Sv Velocidad espectral
Capítulo 14
Ach Área transversal de un elemento estructural, medida de extremo a extremo del acero de refuerzo
transversal, [cm2
].
Ag Área total de la sección, [cm2
].
Aj Área efectiva de la sección transversal dentro de la unión, en un plano paralelo al plano de
refuerzo que genera cortante en la unión.

Ash Área total transversal del acero de refuerzo transversal (incluyendo horquillas) dentro del
espaciamiento, s, y perpendicular a la dimensión hc.
b Ancho efectivo del patín de compresión de un elemento estructural, [cm]
bw Ancho del alma o diámetro de la sección circular, [cm]
D Carga muerta.
d Peralte efectivo de la sección.
db Diámetro del refuerzo longitudinal.
E Carga sísmica.
f’c Resistencia especificada a la compresión del concreto, [kg/cm2
].
fy Resistencia especificada a la fluencia del acero de refuerzo, [kg/cm2
].
hc Dimensión transversal del núcleo de la columna medida centro a centro del refuerzo confinante.
hw Altura del muro considerado.
L Carga viva.
ld Longitud de desarrollo de una varilla recta.
ldh Longitud de desarrollo de un varilla con gancho estándar.
lo Longitud mínima, medida desde la cara de la unión a lo largo del eje del elemento estructural,
sobre la que debe proporcionarse refuerzo transversal, [cm].
lw Longitud de todo el muro considerado en dirección de la fuerza cortante.
Mpr Momento probable resistente del elemento, con o sin carga axial determinada usando las
propiedades de los elementos en las caras de las uniones, suponiendo una resistencia a la
tensión en el refuerzo longitudinal de al menos 1.25 fy, y un factor de reducción de resistencia φ
de 1.0
s Espaciamiento del refuerzo transversal medido a lo largo del eje longitudinal del elemento
estructural, [cm].
Vc Resistencia nominal al cortante, proporcionada por el concreto.
Ve Fuerza cortante de diseño.
Vn Resistencia nominal al cortante.
Vu Fuerza cortante factorizada en la sección.
W Carga de viento.
ρ Cuantía de refuerzo de tensión = As / bd.
φ Factor de reducción de resistencia.

Capítulo 1
CARACTERÍSTICAS DE LOS SISMOS
1.1 CONCEPTOS BÁSICOS DE SISMOLOGÍA
Las definiciones siguientes corresponden a algunos de los términos más utilizados en sismología:
Sismo, temblor o terremoto: Vibraciones de la corteza terrestre inducidas por el paso de las ondas sísmicas
provenientes de un lugar o zona donde han ocurrido movimientos súbitos de la corteza terrestre (disparo sísmico
o liberación de energía).
Sismología: Es la ciencia y estudio de los sismos, sus causas, efectos y fenómenos asociados.
Sismicidad: Es la frecuencia de ocurrencia de sismos por unidad de área en una región dada. A menudo esta
definición es empleada inadecuadamente, por lo que se define en forma más general como “la actividad sísmica
de una región dada”, esta última definición implica que la sismicidad se refiere a la cantidad de energía liberada
en un área en particular.
Amenaza Sísmica: Es el valor esperado de futuras acciones sísmicas en el sitio de interés y se cuantifica en
términos de una aceleración horizontal del terreno esperada, que tiene una probabilidad de excedencia dada en un
lapso de tiempo predeterminado.
Microzonificación sísmica: División de una región o de un área urbana en zonas más pequeñas, que presentan un
cierto grado de similitud en la forma como se ven afectadas por los movimientos sísmicos, dadas las
características de los estratos de suelo subyacente.
Fallas geológicas: Ruptura, o zona de ruptura, en la roca de la corteza terrestre cuyos lados han tenido
movimientos paralelos al plano de ruptura.
Ondas sísmicas: Son vibraciones que se propagan a través de la corteza terrestre causadas por la repentina
liberación de energía en el foco.
Acelerograma: Descripción en el tiempo de las aceleraciones a que estuvo sometido el terreno durante la
ocurrencia de un sismo real.
Sismograma: Es un registro del movimiento sísmico y mide la magnitud de los sismos.
Aceleración pico del suelo: Es la aceleración máxima de un punto en la superficie alcanzada durante un sismo,
expresada como fracción de la gravedad (g).

Características de los sismos 2
Licuación: Respuesta de los suelos sometidos a vibraciones, en la cual estos se comportan como un fluido denso
y no como una masa de suelo húmeda.
Epicentro: Punto que se encuentra en la superficie de la tierra inmediatamente por encima del foco.
Hipocentro: Foco sísmico o fuente, es el punto o grupo de puntos subterráneos desde donde se origina el sismo.
Distancia epicentral (D): Es la distancia horizontal desde un punto en la superficie al epicentro, ver la Figura
1.1.
Distancia focal (R): Es la distancia desde un punto en la superficie al foco, hipocentro o fuente, ver la Figura 1.1.
Profundidad focal (H): Es la distancia entre el foco y el epicentro.
Sismo de diseño: Es la caracterización de los movimientos sísmicos en un sitio dado que deben utilizarse en la
realización del diseño sismo resistente.
Sitio EpicentroD
R
H
Fuente
Hipocentro
Foco
Figura 1.1 Relación geométrica entre foco y sitio [ref. 8]
1.2 CAUSAS DE LOS SISMOS
Varios fenómenos son los causantes de que la tierra tiemble, dependiendo de éstos actualmente se reconocen tres
clases de sismos: los sismos de origen tectónico, los de origen volcánico y los artificialmente producidos por el
hombre. Siendo más devastadores los sismos de origen tectónico, y por ende los de mayor interés dentro la
ingeniería.
1.2.1 Tectónica de Placas
El origen de la mayoría de los sismos es explicado satisfactoriamente por la teoría de la tectónica de placas. La
idea básica es que la corteza terrestre, la litosfera, está compuesta por un mosaico de doce o más bloques grandes
y rígidos llamados placas, que se mueven uno respecto de otro. La corteza terrestre se encuentra dividida en seis
placas continentales (África, América, Antártida, Australia, Europa y la placa del Pacífico), y cerca de catorce
placas subcontinentales (placa de Nazca, del Caribe, etc.)1
como se puede apreciar en la Figura 1.2.
La validez de la teoría de la tectónica de placas recibió un fuerte apoyo de los datos sísmicos reunidos a través de
los años mediante la red sísmica mundial, que fue establecida hacia el final de la década de 1950. Los datos
demostraron que las zonas en donde ocurren la mayor parte de los terremotos del mundo son muy estrechas y
muy bien definidas, sugiriendo que la mayoría de los sismos registrados resultan de los movimientos de las placas
en las zonas donde chocan unas contra otras.
1
F. Achabal, pp 12 [ref. 1]

2
Una explicación plausible para la causa del movimiento de las placas se basa en el equilibrio térmico de los
materiales que componen la Tierra. Nuestro planeta se formó por la unión de meteoritos. El incremento en la
masa ha aumentado la radioactividad. Consecuentemente, el planeta se ha calentado y su núcleo crece a costa de
la fusión del manto. La parte superior del manto, que está en contacto con la corteza, se encuentra a una
temperatura relativamente baja, mientras que la parte inferior que está en contacto con el núcleo a una
temperatura mucho más alta. Es evidente que el material caliente (en las profundidades) posee una densidad
menor al material frío (cerca de la corteza), lo que hace que tienda a subir, mientras que el material de la
superficie una vez frío tiende a bajar por la acción de la gravedad. Este proceso cíclico se denomina convección.
Las corrientes convectivas generan esfuerzos de corte en la base de las placas, provocando su movimiento en
distintas direcciones.
Placa
Euro - asiática
Placa
Africana
Placa
Norteamericana
Placa
Sudamericana
Placa
de Nazca
Placa
del Caribe
Placa Antártica
Placa Antártica
Placa
de Cocos
Placa
Juan de la
fuca
Placa
del Pacífico
Placa Australiana
Placa
Euro - asiática
Placade
Filipinas
Lomooceánico
Lomo oceánico
Lomo oceánico
Zona de subducción
Fallas por desgarradura
Borde de placa probable
Lomo oceánico
Figura 1.2 Principales zonas tectónicas, lomos oceánicos y zonas de subducción [ref. 5]
Estas corrientes también hacen que la lava ascienda continuamente en los llamados lomos oceánicos. La roca
formada se mueve lentamente por ambos lados del lomo como nuevo piso o base oceánica, desplazando las
placas a velocidad constante. Estas zonas son denominadas zonas de expansión.
Las placas se mueven libremente con respecto a la Astenósfera subyacente, y también pueden moverse una con
respecto de la otra de tres formas: a) una placa se desliza pasando frente a la otra a lo largo de su margen, b) dos
placas se mueven alejándose mutuamente, c) dos placas se mueven de tal forma que una se desliza por debajo de
la otra.
El primero de estos movimientos tiene su expresión en la superficie de la tierra, como sucede en la falla de San
Andrés. El segundo tipo de movimiento da origen a los lomos oceánicos. El tercero tiene su acción en las
profundas trincheras oceánicas donde el borde de una placa se mueve por debajo de la otra, este proceso se
conoce como subducción. La Figura 1.3 ilustra los conceptos expuestos en los párrafos anteriores. [ref 3]
2
E. Rosenblueth, pp 15-16 [ref. 2]

Continente Litósfera Océano
Astenósfera
Manto
Astenósfera
Litósfera
Corteza
Lomo
oceánico
Corteza
Litósfera
Astenósfera
( a )
( b )
Figura 1.3 Movimiento de las placas, (a) zona de expansión, (b) subducción [ref. 3]
La formación de nuevo piso oceánico en los lomos de expansión implica la separación de los continentes
aumentando de esta manera el área del piso oceánico. Este aumento es equilibrado por la destrucción de la placa
por medio de la subducción cuando la corteza oceánica es transportada al manto, en donde se consume.
Teoría de placas

1.2.2 Sismos de origen tectónico
Se producen por el desplazamiento súbito de las placas tectónicas a lo largo de las fracturas llamadas fallas. Estos
movimientos bruscos liberan el esfuerzo al que están sometidas las rocas corticales. El esfuerzo se acumula
localmente por varias causas hasta que supera la resistencia de las rocas, que es cuando ocurre la ruptura y
deslizamiento a lo largo de las fracturas. El choque o disparo sísmico se traduce en una gran liberación de
energía, seguido algunas veces de un rebote elástico, hasta que las placas involucradas alcanzan nuevas
posiciones de equilibrio.
Muchos de los centros activos de terremotos actuales se localizan a lo largo de dos fajas situadas en la superficie
terrestre: la circumpacífica y la alpìna o alpinohimalaya. También ocurren numerosos choques más pequeños en
las zonas de fallas marinas asociadas con los lomos oceánicos. Bolivia se encuentra en el área de influencia de la
banda circumpacífica.
Figura 1.4 Localización del sismo de Loma Prieta [ref 4]
El sismo de Loma Prieta de Octubre de 1989 ocurrido en la falla de San Andrés es un ejemplo ilustrativo de esta
clase de sismo como se muestra en la Figura 1.4, y la dirección del movimiento de las placas es ilustrada en la
Figura 1.5.

De las dos clases de sismos no tectónicos, los del origen volcánico son raramente muy grandes o destructivos.
Ellos son de interés principalmente porque anuncian las erupciones volcánicas inminentes. Los temblores se
originan a causa de la subida del magma, llenando las cámaras internas del volcán.
Figura 1.5 Movimiento de la falla de San Andrés durante el sismo de Loma Prieta [ref 4]
El hombre puede inducir sismos mediante una variedad de actividades, tal como el relleno de nuevos depósitos,
la detonación subterránea de explosivos atómicos, o el bombeo profundo de fluidos en la tierra mediante pozos.
1.3 FALLAS GEOLÓGICAS3
1.3.1 Definición
Las fallas son fracturas en las cuales ha tenido lugar el
desplazamiento relativo de los dos lados de la ruptura. La
longitud de las fallas puede alcanzar desde varios metros
hasta cientos de kilómetros y extenderse desde la superficie a
varias decenas de kilómetros de profundidad.
La presencia de fallas en la superficie no necesariamente
implica que el área tiene actividad sísmica, así como la
inexistencia de las mismas no implica que el área sea
asísmica, ya que muchas veces las fracturas no alcanzan a
aflorar en la superficie.
Si bien la superficie en una falla puede ser irregular, esta
puede ser representada aproximadamente como un plano, el
cual está descrito por su rumbo y buzamiento. El rumbo es la
línea de intersección del plano de falla con un plano horizontal; el azimut del rumbo es utilizado para describir su
orientación respecto al Norte y el buzamiento es el ángulo de inclinación desde el plano horizontal hasta el plano
de falla.
3
D. Verástegui, 17-18 [ref. 6]

1.3.2 Tipos de falla
Según su movimiento, existen tres tipos de falla: normal, inversa y de desgarradura. Las fallas normales son
propias de las zonas en tracción; se produce un desplazamiento hacia abajo de la porción inferior. Las fallas
inversas corresponden a zonas de compresión, se produce un desplazamiento hacia arriba de la porción inferior.
Las fallas por desgarramiento implican grandes desplazamientos laterales entre dos placas en contacto, la falla de
San Andrés es un ejemplo ilustrativo de este tipo (Figura 1.7). Y la Figura 1.6 muestra claramente la naturaleza
del desplazamiento en cada caso.
Figura 1.6 Tipos de falla geológica según su desplazamiento [ref. 3]
Figura 1.7 Falla de San Andrés (falla por desgarramiento ) [ref. 3]

1.4 ONDAS SÍSMICAS
La repentina liberación de energía en el foco o hipocentro del sismo, cuando éste ocurre, se propaga en forma de
vibraciones elásticas u ondas elásticas de deformación. Se asume que las deformaciones generadas por el paso de
una onda son elásticas, de esta manera, las velocidades de propagación son determinadas sobre la base del
módulo elástico y la densidad de los materiales a través de los cuales viaja la onda. Las ondas sísmicas se
clasifican según su naturaleza en ondas de cuerpo y ondas de superficie.
1.4.1 Ondas de cuerpo
Figura 1.8 Deformaciones producidas por las ondas de cuerpo (a) onda P, (b) onda S [ref. 5]
Reciben el nombre de ondas de cuerpo porque pueden viajar a través del cuerpo del material. Un cuerpo elástico
puede estar sujeto a dos tipos de deformación: compresión - dilatación y cortante, por lo tanto las ondas que se
generan son de compresión o de corte, respectivamente.
Las ondas P, llamadas también primarias, longitudinales,
compresionales o dilatacionales; producen un movimiento
de partículas en la misma dirección de la propagación,
alternando compresión y dilatación del medio.
Las ondas S, llamadas también ondas secundarias,
transversales o de cortante; producen un movimiento de
partículas en sentido perpendicular a la dirección de
propagación, como se puede observar en la Figura 1.8.
Por lo general cuando ocurre un sismo, las ondas P se registran
primero, segundos más tarde llegan las ondas S, con su
movimiento de arriba hacia abajo y lado a lado, causando
graves daños en las estructuras, como se puede observar en la Figura 1.9. Las ondas P pueden propagarse a través
de medios sólidos y líquidos, en cambio las ondas S se propagan únicamente a través de medios sólidos debido a
que los líquidos no presentan rigidez al corte.

Figura 1.9 Tipos de Ondas (Ondas P y Ondas S) [ref. 3]
1.4.2 Ondas superficiales
Figura 1.10 Deformaciones producidas por las ondas superficiales: (a) onda Rayleigh, (b) onda Love [ref. 5]
Este grupo se denomina de esta manera debido a que su movimiento se restringe a las cercanías de la superficie
terrestre. Las ondas superficiales pueden subdividirse en
dos tipos: las ondas Love (ondas L) y las ondas Rayleigh
(ondas R).
El movimiento de las ondas L, es similar al de las
ondas S que no tienen componente vertical ya que
mueven la superficie del suelo de lado a lado sobre un
plano horizontal y en sentido perpendicular a la
dirección de propagación, como se puede observar en
la Figura 1.10.

El movimiento de las partículas en las ondas R es elíptico y tiene lugar en planos perpendiculares a la
superficie libre.
En general, las ondas Love son más veloces que las ondas Rayleigh, pero ambas se propagan a menor velocidad
que las ondas de cuerpo. El intervalo de llegada entre las diferentes ondas puede observarse en forma práctica en
algunos acelerogramas, este es el caso del acelerograma del terremoto de Kermadec representado en la Figura
1.11 donde se ha señalado el momento de la llegada de cada tipo de onda. Sin embargo, se tiene evidencia acerca
del efecto de la topografía y las condiciones del suelo sobre las ondas sísmicas, es decir que las ondas pueden
amplificarse o reducirse a medida que viajan hacia la superficie, dependiendo del medio de propagación.
Figura 1.11 Terremoto de Kermadec de 11 de Junio de 1957 [ref. 11]
1.5 INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN Y REGISTROS SÍSMICOS4
Las características de las ondas sísmicas y su propagación han podido estudiarse gracias a instrumentos que
registran las vibraciones sísmicas conocidos como sismógrafos. Dependiendo del tipo de instrumento utilizado se
puede obtener el desplazamiento, velocidad o aceleración del suelo; lo cual está determinado por el rango útil de
frecuencias a medir (ω), con respecto a la frecuencia natural del instrumento (ωn).
Figura 1.12 Sismógrafo [ref. 3]
4
M. Moreno, pp 6-11 [ref. 7]

Los sismógrafos registran el movimiento respecto al tiempo de un péndulo que oscila libremente dentro de un
marco sujeto al suelo; este movimiento es registrado por un estilete o pluma sobre un tambor rotatorio. En la
Figura 1.12 se muestra una fotografía de un sismógrafo. En los sismógrafos modernos, el movimiento del
péndulo se convierte en señales electrónicas que se registran en la memoria de una computadora.
1.5.1 Sismómetro
[ωn<ω] Registra amplitudes de onda: Sismograma.
Los sismogramas permiten a los sismólogos localizar el epicentro de un sismo y calcular su magnitud. Midiendo
la amplitud máxima del registro y calculando la diferencia entre los tiempos de llegada de las ondas S y P, con
ayuda de fórmulas sencillas, se obtiene la magnitud del sismo y con un mínimo de tres instrumentos colocados en
diferentes lugares, por triangulaciones, se puede localizar el epicentro.
Sin embargo, la interpretación exacta de un sismograma y la distinción de los distintos tipos de ondas que se
superponen en el registro es un problema bastante delicado. Existe una desventaja adicional: los valores de
desplazamiento o velocidad no se obtienen directamente del registro, sino que están en función de la
amplificación, voltaje y frecuencia natural del instrumento.
1.5.2 Acelerómetro
Comp(1):N-S
Comp(2):E-W
Comp(3):Vertical
t
t
t
a
a
a
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.6
0.4
0.2
0
-0.4
-0.6
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Figura 1.13 Acelerogramas correspondientes a las tres componentes de un sismo [ref. 7]
[ωn>ω] Registra aceleraciones: Acelerograma.
Los acelerómetros, también conocidos como sismógrafos de movimiento fuerte, se diseñan para registrar
directamente movimientos del suelo cercanos y producen un registro conocido como acelerograma. Los

instrumentos se orientan de tal forma que registren la aceleración del suelo en función del tiempo para tres
direcciones o componentes normales. En la Figura 1.13 se muestran los acelerogramas registrados en una
estación durante un sismo en Friuli (Italia), el 5 de mayo de 1976.
El análisis sísmico requiere de la digitalización numérica de los acelerogramas, es decir convertir el registro en
una serie de datos de aceleración - tiempo. Los acelerogramas dan una información directa del movimiento
sísmico, especialmente apta para estimar la respuesta de las estructuras y edificios. La aceleración como medida
instrumental de la intensidad se ha constituido así en el parámetro base para el análisis estructural sísmico.
1.6 MEDIDAS DE LOS SISMOS
Comúnmente existen dos sistemas para cuantificar el tamaño y la fuerza de un sismo, los cuales son la magnitud
y la intensidad. A pesar de ser parámetros ampliamente utilizados y conocidos, desde el punto de vista de la
ingeniería sísmica ninguno de ellos es completamente satisfactorio.
1.6.1 Magnitud
Es una medida cuantitativa de un sismo, independiente del lugar de observación y está relacionada con la
cantidad de energía liberada. Se calcula a partir de la amplitud registrada en sismogramas y se expresa en una
escala logarítmica en números arábigos y decimales. La escala de magnitudes que más se usa es la de Richter,
que tiene 10 grados de medida y se denota por M.
Es importante notar que en la escala de magnitudes no se menciona nada a cerca de la duración y frecuencia del
movimiento, parámetros que tienen gran influencia en los efectos destructivos de los sismos. Por esta razón aún
no se tiene una aplicación práctica en la ingeniería sísmica a los valores de magnitud y es un parámetro propio de
los sismólogos.
1.6.2 Intensidad
Es una medida subjetiva de los efectos de un sismo, se refiere al grado de destrucción causada por un sismo en un
sitio determinado, que generalmente es mayor en el área cercana al epicentro. La escala adoptada más
ampliamente es la de Mercalli Modificada y se denota por MM, que tiene doce grados identificados por los
números romanos del I al XII. En la Tabla 2.1 se da una descripción detallada de esta escala de intensidad.
1.6.3 Relación entre Escala de Intensidad y Medida
Para llevar a cabo un análisis realista del comportamiento de estructuras sometidas a temblores, el ingeniero debe
conocer suficientes características dinámicas del movimiento del suelo, que son obtenidas con la ayuda de
acelerómetros, y la falta de éstos como es el caso de Bolivia, supone la carencia de registros de aceleración,
fundamentales para el análisis estructural sísmico. Por esta razón y con el afán de deducir valores útiles para
diseño, aún a partir de intensidades referidas a escalas subjetivas, se han desarrollado diversos estudios que
correlacionan los valores de intensidad en diversas escalas, con las características dinámicas de los sismos como
la velocidad y aceleración del suelo, que tienen la ventaja de ser magnitudes instrumentales.
En la Tabla 1.1 se expone como Medida de Intensidad la Aceleración Máxima del suelo y como Escala de
Intensidad la Mercalli Modificada, las cuales han sido correlacionadas5
. Es necesario señalar que las
apreciaciones de las aceleraciones están basadas en la experiencia de quien propuso la correlación, basándose
principalmente en observaciones de eventos sísmicos pasados y ensayos de laboratorio que permitieron
correlacionar las roturas producidas en diferentes modelos a escala construidos sobre mesas vibrantes con las
aceleraciones en ellas aplicadas. De este modo se puede hacer una analogía entre los daños de los modelos
5
Tabla comparativa de escalas sísmicas y aceleraciones máximas según J.M. Mune, Extractada de A. Beles, pp. 65 [ref 14]

construidos a escala con el nivel del daño en las estructuras reales, especificados en grados de intensidad según
sea la escala utilizada y relacionarlos con la aceleración correspondiente que los provocó.
Medida de
Intensidad
Acel. Máx.
Suelo (% g)
Grado
Sísmico
Efectos sobre las personas, objetos y construcciones
0,001 g I
El sismo lo sienten unas pocas personas en circunstancias excepcionalmente
favorables.
0,002 g II
Lo sienten las personas en reposo, en los pisos superiores o favorablemente
situadas.
0,005 g III
Se siente en el interior de los edificios y especialmente en las plantas
superiores; los objetos colgantes se mecen; se puede estimar la duración.
0,015 g IV
Los carros estacionados se mecen; las ventanas, la vajilla y las puertas
vibran; en el rango más alto de IV los muros y marcos de madera crujen.
0,030 g V
Se siente en el exterior de los edificios; los objetos pequeños e inestables se
desplazan o se vuelcan; los relojes de péndulo se detienen.
0,061 g VI
Lo sienten todas las personas; muchos se asustan y corren al exterior; los
enyesados caen, las chimeneas sufren averías; los árboles y arbustos se
agitan.
0,132 g VII
Es difícil estar de pie;oleaje en los estanques; el agua se enturbia con fango;
averías ligeras y hasta moderadas en las estructuras normales; averías
importantes en los edificio mal construidos.
0,306 g VIII
Averías ligeras en las construcciones antisísmicas; averías considerables en
las construcciones normales; caen as chimeneas y estatuas; fallan columnas;
grietas en el terreno húmedo y en las pendientes muy empinadas.
0,637 g IX
Pánico general; averías de importancia en estructuras antisísmicas; caen las
estructuras mal ejecutadas; se rompen las tuberías subterráneas; aparecen
grietas en la superficie terrestre.
1,121 g X
La mayoría de las construcciones antisísmicas son destruidas; grandes
deslizamientos de tierra; los rieles se doblan ligeramente.
2,548 g XI
Las tuberías subterráneas se destruyen completamente; los rieles se doblan
mucho; aparecen fallas en la superficie de la tierra.
>3,567 g XII
Destrucción total; se desplazan grandes masas de rocas; objetos arrojados al
aire; se observan las ondas sísmicas en la superficie de la tierra.
Tabla 1.1 Escala de Intensidad Mercalli Modificada [ref. 8]

Capítulo 2
SISMICIDAD Y AMENAZA REGIONAL
2.1 ACTIVIDAD SÍSMICA DE UNA REGIÓN
Debido a que el riesgo sísmico de un proyecto depende de la actividad sísmica de la región, debe realizarse una
evaluación previa de ésta. Las fuentes de estos antecedentes pueden ser las autoridades locales, ingenieros,
sismólogos y otros. Sin embargo los datos disponibles en muchas regiones son escasos o bien no muy confiables,
por lo cual la literatura especializada recomienda realizar un estudio básico de la sismicidad del área de interés,
que comprende los siguientes puntos:
Geología regional.
Preparación de mapas de eventos sísmicos
Estudios de deformación – liberación de energía
Estudios de probabilidad sísmica
2.1.1 Geología Regional
El conocimiento, desde el punto de vista geológico, de la actividad sísmica de una región es útil al estimar las
probables magnitudes, localización y frecuencia de eventos sísmicos.
El aspecto de la geología sísmica regional incluye el estudio de las deformaciones tectónicas. Principalmente se
debe estudiar la ubicación y actividad de las fallas geológicas, ya que éstas proporcionan el foco de liberación de
energía en la mayoría de los sismos.
2.1.2 Mapas de Eventos Sísmicos
El tipo más práctico de mapa de eventos sísmicos para el diseño de una estructura particular es como el que se
muestra en la Figura 2.1. Este mapa indica las localizaciones en planta, el orden de profundidades, y las
magnitudes de todos los sismos registrados con M ≥ 5.0 dentro de un radio de 300 Km. con centro en el sitio
(Djakarta) desde 1900. Las magnitudes menores que 5.0 son generalmente de poca importancia en el diseño, en
virtud de que tales sismos causan daños estructurales ligeros. En consecuencia los eventos de M < 5.0 han sido
excluidos de la notación. Sin embargo, en áreas de baja sismicidad puede ser importante trazar eventos de M ≥
4.0, con objeto de subrayar la importancia del patrón de actividad sísmica, y en consecuencia ayudar a delinear
las zonas de mayor riesgo.

Sismicidad y amenaza regional 15
SUMATRA
JAVA
DJAKARTA
100 0 100km.
104ºE
4ºS
106ºE 108ºE 110ºE
6ºS
8ºS
CLAVE
MAGNITUD: ESCALA DE RICHTER
PROFUNDIDAD
FOCAL
0 - 70 km
71 - 150 km
más de 151 km
desconocida
5 - 5.9 6 - 6.9 7 -
Figura 2.1 Mapa de eventos sísmicos para Djakarta (1900-1972) [ref. 8]
2.1.3 Estudios de Liberación de Energía
La deformación liberada durante un sismo se considera proporcional a la raíz cuadrada de la energía liberada. La
relación entre energía (ergs), y magnitud M para sismos superficiales, ha sido proporcionada por Richter como:
M..E 51411log +=
La energía de deformación liberada, U, para una región puede sumarse y representarse por el número equivalente
de sismos de M=4.0 en esa región, N(U4). El número equivalente de sismos N(U4) dividido entre el área de la
región proporciona el cálculo de la deformación liberada en un período dado para esa región, que puede usarse
para efectuar comparaciones entre varias regiones o entre varios períodos.
Los sismos grandes representan los principales incrementos en las gráficas de liberación de energía de
deformación acumulada. En el estudio de las velocidades de liberación de energía de deformación relativa se
requiere amplia información sobre la actividad de bajas magnitudes. La suma de muchos sismos con baja energía
en una región puede ser comparable a la de pocos sismos grandes en otra región.
Una gráfica de liberación de deformación con relación al tiempo es una función a partir de la cual puede
obtenerse una envolvente que da una idea de la tendencia de la liberación de energía en esa región. Si un
aplanamiento de la curva tiende a ser asintótico a un valor de deformación constante en un tiempo significativo,
entonces las fallas en la región pueden tender a tener una configuración más estable. La causa de esta estabilidad
temporal puede ser un bloqueo mecánico de la liberación de energía, que solamente podría ser liberada por un
gran sismo futuro.

Este tipo de información es más de carácter cualitativo, por lo tanto las curvas de liberación de deformación no
pueden usarse por sí mismas para predicción sísmica, pero podrían usarse junto con gráficas de frecuencia –
magnitud y el conocimiento de los movimientos de fallas locales.
2.1.4 Estudios de Probabilidad Sísmica
Mediante un conjunto apropiado de datos, tal como los utilizados para preparar mapas de sismicidad, pueden
hacerse varios estudios de probabilidad usando métodos estadísticos estándar para estimar parámetros de diseño.
Uno de los más valiosos consiste en estimar el mayor sismo probable que podría ocurrir cerca del sitio durante la
vida de la estructura que está diseñándose, es decir períodos de retorno para la magnitud y aceleración de las
cargas sísmicas de diseño.
2.2 EFECTOS DE LOS SISMOS
Los sismos producen diversos efectos en regiones sísmicamente activas. Ellos pueden ocasionar la pérdida de
gran cantidad de vidas humanas, pueden ser los causantes del colapso de muchas estructuras tales como edificios,
puentes, presas, etc. Otro efecto destructivo de los
sismos es la generación de olas de gran tamaño,
comúnmente causada por temblores subterráneos
(maremotos). Estas olas son también llamadas
Tsunami, las cuales al llegar a la costa pueden
causar la destrucción de poblaciones enteras.
La licuefacción de suelos es otro peligro sísmico.
Cuando el suelo es sometido al choque de las
ondas sísmicas puede perder virtualmente toda su
capacidad portante, y se comporta, para tal efecto,
como arena movediza. Los edificios que
descansan sobre estos materiales han sido
literalmente tragados.
Licuefacción: El sismo de Niigata, Japón, 16 de Junio de 1964 (M=7.5):
Inclinación de edificios de departamentos.
2.3 RESPUESTA DEL SITIO A SISMOS
El movimiento del suelo en la base de la fundación de las estructuras durante un sismo causa daño estructural, las
fuerzas dinámicas actuantes en la estructura se deben a la inercia de los elementos en vibración. La magnitud de
la aceleración pico alcanzada por la vibración del suelo tiene efecto directo sobre las fuerzas dinámicas
observadas en la estructura, es así que la respuesta de la estructura excede al movimiento del suelo y la
amplificación dinámica depende de la duración y frecuencia de las vibraciones del suelo, de las propiedades del
suelo, de la distancia epicentral y de las características dinámicas de la estructura.
El contenido de agua del suelo es un factor importante en la respuesta del sitio, debido a que el sismo produce la
licuefacción de suelos no cohesivos saturados; cuando estos suelos están sometidos a vibraciones intensas
experimentan un incremento en la presión de poros debido a la redistribución de sus partículas, dando como
resultado una reducción en la resistencia al corte del suelo. Esto produce condición rápida en la arena con pérdida
de capacidad portante causando asentamiento y colapso de la estructura.
Existen una serie de métodos para prevenir la licuefacción como ser la instalación de drenajes para bajar el nivel
freático y remover el agua de los poros, sin embargo el asentamiento causado afectaría a estructuras adyacentes.

Se puede aplicar técnicas de vibroflotación para conseguir la preconsolidación del suelo, pero esto también
afectaría las estructuras adyacentes. A fin de incrementar la resistencia al corte del suelo se recomienda diversas
técnicas de mejoramiento del suelo. Alternativamente se puede remover y reemplazar el suelo deteriorado por
material seguro; o finalmente recurrir al empleo de pilotes de fundación, los cuales penetrarían hasta un estrato
firme y estable.
2.4 HISTORIA DE LOS SISMOS
Los registros históricos de sismos antes de mediados del siglo XVIII generalmente carecen de veracidad. Entre
los temblores antiguos que provienen de fuentes razonablemente confiables está el que ocurrió en la costa de
Grecia en el año 425 A.C., que causó el surgimiento de la isla de Euboea; otro en el año 17 D.C. que destruyó la
ciudad de Ephesus en Asia Menor; y una serie de sismos que destruyeron parcialmente Roma en el año 476 y
Constantinopla (ahora Estambul) en el año 557 y nuevamente en 936. En la Edad Media, los temblores severos
ocurrieron en Inglaterra en 1318, Naples en 1456, y Lisboa en 1531.
El sismo de 1556 en Shaanxi (Shensi) la Provincia de China, que mató alrededor de 800.000 personas fue uno de
los más grandes desastres naturales en la historia. En 1693, un sismo en Sicilia ocasionó la pérdida de 60,000
vidas humanas; y en el siglo XVIII la ciudad japonés de Edo (el sitio del moderno Tokio) se destruyó a causa de
un sismo, con la pérdida de alrededor de 200,000 vidas. En 1755 la ciudad de Lisboa fue devastada por un
temblor y murieron 60,000 personas. Quito, ahora la capital de Ecuador, fue sacudida por un sismo en 1797, y
más de 40,000 personas murieron.
En América del Norte, la serie de sismos que golpearon el Sudeste de Missouri en 1811-12 fueron probablemente
los más poderosos experimentados en la historia de los Estados Unidos. El sismo de EE.UU. más famoso, sin
embargo, fue el que sacudió la ciudad de San Francisco en 1906, ocasionando daño extensivo y tomando
alrededor de 700 vidas.
En septiembre de 1985 un terremoto azotó a la ciudad de México D.F. causando daño severo y destruyendo
muchos edificios de la ciudad, el sismo dejó al menos a 30.000 personas sin hogar y 7.000 muertos (Figura 2.2).
Figura 2.2 Sismo de 1985 en la ciudad de México [ref. 3]
2.5 CONSECUENCIAS DE LOS SISMOS
El desarrollo de este punto es ilustrado en la Tabla 2.1 a partir de los sismos más representativos ocurridos en el
tiempo:

Fecha Magnitud Ciudades o Región Consecuencias
1906, abril 18 8.3
Estados
Unidos:California
700 muertos, llamado "Temblor de San Francisco". Ocasionó grandes danos; se
observaron desplazamientos en el suelo. Después del temblor ocurrieron grandes
incendios. Este fue el primer terremoto estudiado con detalle.
1906, agosto 16 8.6
Chile
Valparaiso, Santiago
20.000 muertos
1908, diciembre 28 7.5 Italia: Regio 29.980 muertos
1920, diciembre 16 8.5
China
Kansu y Stransi
200.000 muertos
1923, septiembre 1 8.3
Tokio
Yokojawa
99.330 muertos, conocido como el terremoto de Kwanto. Tuvo desplazamientos de
hasta 4.5 m y le sucedieron grandes incendios.
1927, mayo 22 8.0
China
Nan Shan
200.000 muertos, grandes fallas, se sintió hasta Pekin.
1935, mayo 30 7.5
Paquistan
Quetta
30.000 muertos, la ciudad de Quetta fue totalmente destruida.
1939, junio 25 8.3 Chile 28.000 muertos
1939, diciembre 26 7.9
Turquia
Erzincan
30.000 muertos, se detectaron movimientos oscilatorios de 3.7 m de desplazamiento
con movimientos trepidatorios menores.
1960, febrero 29 5.8
Marruecos
Agadir
De 10.000 a 15.000 muertos, es uno de los temblores que más muertes ha ocasionado
a pesar de ser baja su magnitud.
1960, mayo 22 8.5
Chile
Concepcion Valparaiso
De 6.000 a 10.000 muertos, causó muchas víctimas y grandes daños en Concepción y
áreas circunvecinas, dejando cerca de 2.000.000 de damnificados y daños
cuantificados en mas de 300 millones de dólares. Produjo un maremoto que causo
daños en Hawai y Japón.
1964, marzo 28 9.2
Alaska
Anchorage
173 muertos, destrucción en Alaska. Se abrieron grietas en las carreteras y los
vehículos en movimiento fueron sacados de su curso. Se estimó en 129 500
kilómetros cuadrados el área de daños y produjo un maremoto registrado en las costas
de Hawai. Se quebrantó seriamente la economía de Alaska (Figura 2.3).
1970, mayo 31 7.7
Peru:
Huara,Chimbote,Yungay
De 50.000 a 70.000 víctimas, derrumbes e inundaciones. La peor catástrofe registrada
en Perú por un terremoto en este siglo.
1972, diciembre 23
5.6
6.2
Nicaragua
Managua
De 4.000 a 6.000 muertos, miles de heridos. La ciudad de Managua fue casi
totalmente destruida.
1976, febrero 4
6.2
7.5
Guatemala
Guatemala
3.000 muertos y se calculan 76.000 heridos.
1976, agosto 27
6.3
7.9
China
Noreste
655.237 muertos cerca de 800.000 heridos y danos en el área de Tanshan. Este
terremoto fue probablemente el más mortífero de los últimos 4 siglos y el 2º más
fuerte que registra la historia moderna.
1978, septiembre 16 7.7 Iran
De 11.000 a 15.000 muertos, muchos heridos y daños considerables en Bozonabad y
áreas circunvecinas.
1984, octubre 7.1
Estados Unidos
San francisco
El sismo azotó el área de la Bahía entera de San Francisco causando daños tremendos
en las edificaciones del distrito de Marina (Figura 2.4). el sismo causó el colapso de
la autopista de Oakland y parte del puente de la Bahía de San Francisco.
1994, enero 17 6.6 Estados Unidos
Aprox. 76 muertos, sentido en el sureste de Estados Unidos y noroeste de Mexico.
Grandes danos en obras civiles y particulares. La ciudades más dañadas fueron los
Angeles y Santa Mónica, California.
Tabla 2.1 Sismos más representativos de la historia [ref. 3]

Figura 2.3 Sismo de Alaska de 1964 [ref. 3]
Figura 2.4 Sismo de Loma Prieta en el sur de San Francisco [ref. 3]
2.6 ESTUDIOS DE RIESGO SÍSMICO LOCAL Y NACIONAL1
El observatorio San Calixto desde 1913 hasta la fecha viene monitoreando la actividad sísmica en el territorio
nacional. Las investigaciones realizadas señalan que Bolivia es una región sísmica de intensidad moderada;
siendo las zonas de actividad permanente el valle de Cochabamba y el norte de La Paz.
En Bolivia se tienen registros de eventos sísmicos desde el año 1871, lo cual evidencia la actividad sísmica en la
región. Según los registros actuales pocos sismos han sido de magnitud considerable, pero han ocurrido en gran
cantidad; según el observatorio San Calixto se aproximan a 1.000 sismos que cada año se pueden localizar en
Bolivia.
La actividad sísmica en Bolivia tiene su origen en la tectónica de placas, específicamente en la presión que ejerce
la placa de Nazca por debajo de la placa Sudamericana. Este movimiento se conoce como subducción y produce
sismos de foco profundo (351-700 km.) debajo del continente en el sector de Bolivia, y de foco intermedio (71-
350 km.) en la frontera con Perú y Chile. Sin embargo, por la presencia de innumerables fallas geológicas en
1
Resumen de estudios realizados por Salvador del Pozo [ref. 9], Ramón Cabré y Angel Vega [ref. 10]: F. Achabal, pp 26-28 [ref. 1]

Bolivia y particularmente en Cochabamba, este movimiento genera una actividad sismo – tectónica local o
secundaria de foco superficial (0-70 km.), por donde se disipa la energía acumulada. Este fenómeno puede tener
consecuencias distintas: si la liberación de energía es lenta, no ocasionará grandes sismos; si por el contrario la
disipación es violenta, puede dar lugar a un sismo de magnitud considerable, mas aún si se considera que la
actividad sísmica de tipo superficial es la más destructiva.
Las fallas más importantes en el sector de Cochabamba son: la falla del Tunari, al borde de la cordillera que
rodea la ciudad por el sector norte; la segunda en importancia es la falla de Sipe – Sipe, la cual tiene una
alineación que empieza en la costa chilena, atraviesa Oruro, pasa por Cochabamba y termina en Santa Rosa en el
Beni; otra falla activa es la falla cercana a la laguna de Colomi (Sillar); la falla en el sector de Aiquile, activa
cada cierto tiempo. Esta última localidad fue sometida a un sismo de magnitud 6.6 en la escala de Richter el 22
de Mayo de 1998, el cual dejó a muchas familias sin hogar.
El mapa de intensidades máximas (Figura 2.5), conocido como mapa de isositas, publicado por el Centro
Regional de Sismología para Sudamérica (CERESIS), marca cuatro zonas que definen bien la sismicidad en
Bolivia. El mapa de magnitudes máximas (Figura 2.6) publicado por el Observatorio San Calixto complementa la
información que se presenta en la Tabla 2.2, acerca de las zonas sísmicas en el territorio boliviano.
La intensidad máxima esperada en la ciudad de Cochabamba está entre VI y VII en la escala de Mercalli
Modificada. Si bien es un valor moderado, los efectos pueden ser mayores considerando las condiciones
geotécnicas locales. En general, se puede decir que la mayor parte del terreno es un relleno aluvional no
consolidado de baja calidad, lo cual tendría efectos impredecibles al ocurrir un sismo fuerte.
ZONA
SÍSMICA
LOCALIDAD ACTIVIDAD
INTENSIDAD
MM
0 Todo el sector adyacente al Brasil y al Paraguay. Casi inexistente <IV
1
Región sub-andina, sector N-O de La Paz y N-E de
Cochabamba.
Reducida V
2 Lago Titicaca y provincia Cercado de Cochabamba Moderada VI
3
Sector Comsata (La Paz), Chapare y Aiquile
(Cochabamba), Samaipata (Santa Cruz) y algunas
provincias de Potosí y Sucre.
Peligrosa VII
Tabla 2.2 Zonas sísmicas en Bolivia, Localización parcial [ref. 9]

BRASIL
PANDO
TRINIDAD
PERÚ
LA PAZ
COCHABAMBA
ORURO
SANTA CRUZ
SUCRE
Villa Tunari
Aiquile
POTOSÍ
TARIJA
PARAGUAY
ARGENTINA
CHILE
BOLIVIA
ZONASSÍSMICAS
< IV V VI VII VIII
ESCALA MERCALLI MODIFICADA
0 1 2 3 4
Fuente : CERESIS
Ing. S. del Pozo G.
68º 66º 64º 62º 60º
68º 66º 64º 62º 60º
10º
12º
14º
16º
18º
20º
22º
10º
12º
14º
16º
18º
20º
22º
Figura 2.5 Mapa de Intensidades máximas de Bolivia [ref. 10]

Figura 2.6 Mapa de magnitudes de Bolivia [ref. 10]
PANDO
TRINIDAD
SANTA CRUZ
ORURO
COCHABAMBA
LA PAZ
SUCRE
POTOSÍ
TARIJA
4
3
6
4
5
6
5
5
4
6
SISMICIDAD DEBOLIVIA
MAPA DEMAGNITUDESMÁXIMAS
ESCALA DERICHTER
Fuente: OBS. SAN CALIXTO
ANGELVEGA B.
70 65 60
70 65 60
10 10
15
20
15
20

2.7 SISMO DE DISEÑO
B
B`
A
A`
S DA=50 km
DB=30 km
XEA
EB
trazadelafalla
trazadelafalla
X
BE S EA
Hipocentro B
Hipocentro A
CORTE X - X
HB=15 km
HA=20 kmplano de falla
planodefalla
PLANTA
Figura 2.7 Ejemplo hipotético de la relación con dos sismos de diseño A y B, con epicentros EA y EB, respectivamente.
Las principales variables necesarias para definir el sismo de diseño son: magnitud, período de retorno, distancia
epicentral, profundidad focal, posiciones de la falla, tipos de falla, aceleración máxima del suelo, desplazamiento
máximo del suelo, período dominante de la vibración y longitud activa de la falla.
Los datos acerca de sismos sobre los aspectos descritos con anterioridad son variables, poco precisos y escasos,
esto significa que la interpretación de los datos se la puede realizar de forma subjetiva.
Con el propósito de ilustrar la definición de sismo de diseño para un sitio dado se hará referencia a la Figura 2.7.
Supóngase que los estudios de la historia de sismos de la región han sugerido el uso de dos sismos de diseño, A y
B, con las características indicadas en la Figura 2.7. Es bastante común considerar dos sismos de diseño diferentes
con magnitudes y período de retorno; normalmente, el sismo mayor, menos frecuente, debería considerarse la
peor condición de diseño para usarse como carga última, mientras el sismo menor, más frecuente debería ser
usado como el criterio para controlar daño no estructural. Sin embargo, en la situación ilustrada en la Figura 2.7,
los tipos de falla asociados podrían hacer inapropiada esta forma de usar los sismos de diseño.
Debido a que el plano inclinado para el sismo B aflora cerca del sitio, la intensidad del movimiento vibratorio en S
debido a este sismo puede ser tan intensa como en los sectores cercanos al epicentro EB. Si la traza de la falla BB’
no ha sido detectada, o no se toma en cuenta al diseñar, la intensidad del movimiento del suelo en el sitio se
subestimaría al suponer una atenuación normal desde un epicentro ubicado a 30 km.
De este modo resulta bastante incierta la definición adecuada de un sismo de diseño, aun antes de la
consideración de las condiciones del sitio, debido a las dificultades en definir el comportamiento ante sismos
pasados, y las dificultades para predecir eventos sísmicos futuros. Es así que se adopta una metodología para el
cálculo y diseño de estructuras, la cual se basa en estudios geológicos, probabilísticos y numéricos para llegar a
adoptar parámetros confiables que si bien no representan exactamente el evento sísmico, permiten una mejor
percepción del acontecimiento y sus consecuencias2
.
2
Para mejor comprensión referirse al capítulo 8 y posteriores

Capítulo 3
CONCEPTOS GENERALES
EN EL ANÁLISIS DINÁMICO
3.1 ESTRUCTURA SIMPLE
Una estructura simple es aquella que se puede idealizar como un sistema que está constituido por una masa
concentrada en la parte superior soportada por un elemento estructural de rigidez k en la dirección considerada.
Este concepto es ilustrado por la Figura 3.1 en la cual se muestra un ejemplo de estructura simple.
Figura 3.1 Torre de Telecomunicación, Frankfurt (estructura simple)
Es importante el entender la vibración de este tipo de estructuras, las cuales están sometidas a fuerzas laterales en
el tope o a movimientos horizontales del suelo debidos a sismos, para así facilitar la comprensión de la teoría
dinámica.
3.2 GRADOS DE LIBERTAD
El grado de libertad es definido como el número de desplazamientos independientes requerido para definir las
posiciones desplazadas de todas las masas relativas a sus posiciones originales.

Conceptos generales en el análisis dinámico 25
Por ejemplo si se considera despreciable la deformación axial de la columna en la estructura simple de la Figura
3.1 entonces el sistema es de un grado de libertad (el desplazamiento horizontal del tanque). Ahora considerar el
pórtico de la Figura 3.2 el cual está restringido a moverse sólo en la dirección de la excitación; para el análisis
estático de esta estructura el problema tiene que ser planteado con tres grados de libertad (3DOF: lateral y dos
rotaciones) al determinar la rigidez lateral del pórtico. Sin embargo la estructura tiene 1DOF (desplazamiento
lateral) para el análisis dinámico si ésta es idealizada con una masa concentrada en el nivel superior, a este tipo de
estructuras en adelante se las designará como estructuras de simple grado de libertad (SDF).
Figura 3.2 Sistema SDF: (a) fuerza aplicada p(t) (b) movimiento del suelo inducido por sismo [ref. 12]
masa
amortiguamiento
(a) (b)
p(t)
u
u'
ug
u
p(t)
Cada miembro del sistema (viga, columna, muro, etc.) contribuye con las propiedades de la estructura: inercia
(masa), elasticidad (rigidez o flexibilidad) y energía de disipación (amortiguamiento). Estas propiedades serán
consideradas por separado como componentes de masa, rigidez y amortiguamiento respectivamente.
3.3 SISTEMA LINEALMENTE ELÁSTICO
Figura 3.3 Sistema linealmente elástico [ref. 12]
(a) (b)
f
fuerza externa
fuerza resistente
u
s
fs
fs
Para comprender el concepto de estructura linealmente elástica es necesario entender la relación existente entre la
fuerza y el desplazamiento, para lo cual considerar el sistema mostrado en la Figura 3.3; el sistema está sujeto a
una fuerza estática fS, la cual es equilibrada por una fuerza inercial resistente al desplazamiento u que es igual y
opuesta a fS. Existe una relación entre la fuerza fS y el desplazamiento relativo u asociado con la deformación de
la estructura que es de carácter lineal para pequeñas deformaciones y no lineal para grandes deformaciones.
Para un sistema linealmente elástico la relación entre la fuerza lateral fS y la deformación resultante u es:
ukfS ⋅= (3.1)
Donde k es la rigidez lateral del sistema y su unidad es [fuerza/longitud].

3.4 AMORTIGUAMIENTO
El amortiguamiento es el proceso por el cual la vibración libre disminuye en amplitud; en este proceso la energía
del sistema en vibración es disipada por varios mecanismos los cuales pueden estar presentes simultáneamente.
3.4.1 Mecanismos de Disipación
En sistemas simples como el de la Figura 3.4, la mayor parte de la disipación de la energía proviene de efectos
térmicos causados por repetidos esfuerzos elásticos del material y de la fricción interna cuando el sólido es
deformado.
Figura 3.4 fuerza de amortiguamiento [ref. 12]
(a) (b)
fD fD
fD
fuerza externa
fuerza resistente
fD
u
En las estructuras actuales existen mecanismos adicionales que contribuyen a la disipación de la energía; algunos
de éstos son: las uniones de acero, el abrirse y cerrarse de las micro - fisuras del concreto, la fricción entre la
“estructura misma” y los elementos no estructurales como son los muros de partición.
3.4.2 Fuerza de Amortiguamiento
En las estructuras actuales el amortiguamiento es representado de forma idealizada; para efectos prácticos el
amortiguamiento actual en estructuras SDF puede ser idealizado satisfactoriamente por un amortiguamiento
lineal viscoso.
La Figura 3.4 muestra un sistema amortiguado sujeto a una fuerza fD aplicada en la dirección del desplazamiento,
la cual es equilibrada por la fuerza interna en el amortiguamiento que es igual y opuesta a la fuerza externa fD. La
fuerza de amortiguamiento fD está relacionada con la velocidad ú a través del coeficiente de amortiguamiento c
mediante:
ucfD &⋅= (3.2)
A diferencia de la rigidez, el coeficiente de amortiguamiento no puede ser calculado a partir de las dimensiones
de la estructura y del tamaño de los elementos estructurales, debido a que no es factible el identificar todos los
mecanismos disipadores de energía vibracional en las estructuras actuales.
3.5 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO1
La Figura 3.5 ilustra el modelo matemático de un sistema SDF sujeto a la acción de una fuerza dinámica p(t)
aplicada en la dirección del desplazamiento u(t) las cuales varían con el tiempo. La ecuación diferencial que
1
Anil K. Chopra, pp 14-16 [ref. 12]

gobierna el desplazamiento u(t) puede ser derivada utilizando dos métodos: la 2ª ley de Newton y el principio de
equilibrio dinámico.
Figura 3.5 Sistema SDF, ecuación de movimiento [ref. 12]
3.5.1 Segunda ley de Newton
(a) (b)
p(t)
u
p(t)
m m
fDfS
(c)
fS fD
p(t)fI
Todas las fuerzas que actúan en la masa son mostradas en la Figura 3.5(b). La fuerza externa es considerada
positiva en la dirección del eje de desplazamiento u(t), la velocidad ú(t) y la aceleración ü(t) son también
consideradas positivas en esa dirección. La fuerza elástica y de amortiguamiento actúan en dirección opuesta
debido a que son fuerzas internas que resisten la deformación y la velocidad respectivamente.
La fuerza resultante a lo largo del eje de desplazamiento es p(t) – fS – fD; aplicando la segunda ley de Newton se
tiene:
)(
)(
tDS
DSt
pffum
umffp
=++⋅
⋅=−−
&&
&&
(3.3)
Reemplazando las ecuaciones 3.1 y 3.2 en la ecuación 3.3 se tiene:
)(tpukucum =⋅+⋅+⋅ &&& (3.4)
La ecuación 3.4 es la que gobierna la deformación u(t) de la estructura idealizada en la Figura 3.5 considerando
que la elasticidad es lineal.
3.5.2 Equilibrio Dinámico
El principio de equilibrio dinámico de D’Alembert está basado en el sistema de equilibrio de fuerzas. Es
considerada una fuerza de inercia ficticia que es igual al producto de la masa por la aceleración y actúa en
dirección opuesta a la aceleración; este estado, incluida la fuerza de inercia, es un sistema equilibrado en todo
instante. Es así que el diagrama de cuerpo libre (DCL) de la masa en movimiento puede ser dibujado para poder
utilizar los principios de estática y desarrollar la ecuación de movimiento.
El DCL en el tiempo t es representado en la Figura 3.5(c) con la masa reemplazada por la fuerza de inercia que es
dibujada con trazo punteado para ser distinguida como fuerza ficticia de las fuerzas reales. Estableciendo la suma
de todas las fuerzas igual a cero se tiene como resultado la ecuación 3.3.
3.5.3 Componentes de masa, amortiguamiento y rigidez
La ecuación que gobierna el movimiento para el sistema SDF puede ser formulada desde un punto de vista
alternativo:

Bajo la acción de la fuerza externa p(t) el estado del sistema está descrito por u(t), ú(t) y la ü(t) como se muestra en
la Figura 3.6(a). Visualizar el sistema como la combinación de los tres componentes: (1) rigidez, (2)
amortiguamiento y (3) masa. La fuerza externa fS en el componente de rigidez está relacionada con el
desplazamiento por la ecuación 3.1 si el sistema es linealmente elástico. La fuerza fD está relacionada con la
velocidad por la ecuación 3.2; y la fuerza externa fI en el componente de masa está relacionada con la
aceleración por . La fuerza externa pumfI &&⋅= (t) aplicada al sistema completo puede por tanto ser visualizada
como una cantidad distribuida en los tres componentes de la estructura, y entonces:
fS + fD + fI = p(t)
La cual es similar a la ecuación 3.3.
Figura 3.6 (a) Sistema (b) componente de rigidez (c) componente de amortiguamiento (d) componente de masa [ref. 12]
3.6 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO: EXCITACIÓN SÍSMICA
(a) (b)
p(t)
(c)
fS fD fI
(d)
= + +
desplazamiento u
velocidad u
aceleración ü
· desplazamiento u velocidad u· aceleración ü
El problema que concierne al ingeniero estructurista es el comportamiento de la estructura que está sujeta a
movimiento sísmico en su base, es debido a ello que a continuación se explica la ecuación de movimiento que
gobierna este fenómeno.
Figura 3.7
(a) (b)
f f
f
u
u
u'
s D
I
g
En la Figura 3.7 el desplazamiento del suelo (ug), el desplazamiento total del la masa (u’) y el desplazamiento
relativo entre la masa y el suelo (u) están relacionadas por la expresión:
' )()()( tgtt uuu += (3.5)
Se obtiene la ecuación de equilibrio dinámico del diagrama de cuerpo libre de la Figura 3.7(b):

0=++ SDI fff (3.6)
La fuerza elástica y de amortiguamiento son producidas por el movimiento relativo, u, entre la masa y la base, es
así que para el sistema lineal continúan siendo válidas las ecuaciones 3.1 y 3.2; entre tanto la fuerza de inercia fI
es relacionada a la aceleración de la masa, ü’, por:
'umfI &&⋅= (3.7)
Sustituyendo las ecuaciones 3.1, 3.2 y 3.7 en la ecuación 3.6 se tiene:
)(tgumukucum &&&&& ⋅−=⋅+⋅+⋅ (3.8)
La ecuación 3.8 es la que gobierna el desplazamiento relativo ,u(t), del sistema lineal de la Figura 3.7 sujeto a la
aceleración del suelo, üg(t).
Comparando las ecuaciones 3.4 y 3.8 se observa que la ecuación de movimiento para el mismo sistema sujeto a
dos excitaciones por separado (üg y p(t)) es una y la misma. De este modo el desplazamiento relativo debido a la
aceleración del suelo, üg(t), será idéntico al desplazamiento de la estructura con base estacionaria sometida a la
acción de una fuerza externa igual a –m·üg. Por lo tanto el movimiento del suelo puede ser reemplazado por una
fuerza sísmica efectiva.
)()( tgteff ump &&⋅−= (3.9)
Es importante reconocer que esta fuerza actúa en sentido opuesto a la aceleración y sobre todo que es
proporcional a la masa de la estructura.

Capítulo 4
VIBRACIÓN LIBRE
4.1 TEORÍA GENERAL DE VIBRACIONES
El análisis de vibraciones es un tema muy amplio al cual se han dedicado estudios completos, esta introducción
expone de forma resumida algunos aspectos teóricos de las vibraciones de los sistemas elásticos, que ayudarán a
comprender los métodos de cálculo de la acción de los sismos sobre las estructuras basados en sus efectos
dinámicos.
El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos de los cuerpos y a las fuerzas asociadas con ellos.
Todos los cuerpos que poseen masa y elasticidad, son capaces de vibrar. Una vibración mecánica es el
movimiento de una partícula o cuerpo que oscila alrededor de una posición de equilibrio. La mayoría de las
máquinas y estructuras experimentan vibraciones hasta cierto grado por lo que su diseño requiere la
consideración de este efecto dinámico debido a que ocasiona un aumento en los esfuerzos y tensiones.
Una vibración se produce cuando el sistema en cuestión es desplazado desde una posición de equilibrio estable, el
sistema tiende a retornar a dicha posición, bajo la acción de fuerzas de restitución elásticas o gravitacionales,
moviéndose de un lado a otro hasta alcanzar su posición de equilibrio. El intervalo de tiempo necesario para que
el sistema efectúe un ciclo completo de movimiento se llama periodo de vibración, el número de ciclos por
unidad de tiempo define la frecuencia y el desplazamiento máximo del sistema desde su posición de equilibrio se
denomina amplitud de vibración.
Los sistemas oscilatorios pueden clasificarse como lineales o no lineales. Para los sistemas lineales rige el
principio de superposición y las técnicas matemáticas para su tratamiento están bien desarrolladas (Ley de
Hooke). Por el contrario las técnicas para el análisis de sistemas no lineales son más complicadas y no muy
conocidas.
Existen dos clases de vibraciones, las libres y las forzadas. Cualquier sistema elástico puede tener una vibración
libre a consecuencia de un impulso inicial, donde el movimiento es mantenido únicamente por las fuerzas de
restitución inherentes al mismo. El sistema bajo vibración libre vibrará en una o más de sus frecuencias naturales,
dependientes de la distribución de su masa y rigidez.
Cuando al sistema se le aplica fuerzas perturbadoras externas, el movimiento resultante es una vibración forzada.
Cuando la excitación es oscilatoria, ya sea periódica o no, como la de un sismo, el sistema es obligado a vibrar a
la frecuencia de excitación, si ésta coincide con una de las frecuencias naturales del sistema se produce
resonancia, en este estado tienen lugar oscilaciones peligrosamente grandes; así la falla por resonancia de
estructuras como puentes o edificios es una dramática posibilidad que debe tenerse muy en cuenta. Por este
motivo el cálculo de las frecuencias naturales de vibración es de gran importancia en el diseño sísmico de
estructuras.

Vibración libre 31
4.2 DEFINICIÓN
Una estructura está en vibración libre cuando es perturbada de su posición estática de equilibrio y comienza a
vibrar sin la excitación de fuerza externa alguna (p(t) = 0).
4.3 VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA
Tn = 2π/ωn
Amplitud u0
u(0)·
u
u(0)
a
b
c
d
e
t
u0
ba c d
u0
e
(a)
(b)
ωn
φ
Figura 4.1 Sistema SDF: vibración libre sin amortiguamiento [ref. 12]
La ecuación que representa el movimiento de un sistema lineal SDF sin amortiguamiento y que no está sometido
a la acción de una fuerza externa es:
ukum 0=⋅+⋅ && (4.1)
uu n 02
=⋅+ω&& (4.2)
donde ωn es la frecuencia natural en vibración libre del sistema y es igual a:
m
k
n =ω (4.3)
El desarrollo de la ecuación diferencial 4.1 se expone en el Apéndice A-1, y su solución es:
tsenBtAu nnt ωω ⋅+⋅= cos)( (4.4)
u)u & )0(0(Las constantes A y B se hallan a partir de las condiciones iniciales: y , el desplazamiento y la
velocidad iniciales respectivamente. Obteniéndose por lo tanto:
tsen
u
tuu n
n
nt ω
ω
ω
)0(
)0()( cos
&
+⋅= (4.5)

Vibración libre 32
Las Figuras 4.1(a) y 4.1(b) ilustran el movimiento de la masa durante un ciclo de vibración libre del sistema para la
ecuación 4.5. A partir de estas figuras se observa que el tiempo requerido de un sistema no amortiguado para
completar un ciclo de vibración libre es denominado periodo natural de vibración, Tn, y es:
n
nT
ω
π2
= (4.6)
La frecuencia cíclica natural de vibración, fn, es definida como el número de ciclos que se repiten en 1 [s] de
tiempo y su valor es:
n
n
T
f
1
= (4.7)
Las propiedades de vibración natural, ωn, Tn y fn, dependen de la masa y rigidez de la estructura, y el término
“natural” es utilizado para enfatizar el hecho de que éstas son propiedades naturales del sistema cuando éste esta
en estado de vibración libre.
El movimiento representado por la ecuación 4.5 puede también ser expresado en la forma:
( )φω −= tuu nt cos0)( (4.8)
u(0)
·
u0
u(0)
ωnt
ωnt
φ
ωn
ωn
u(0) cosωnt senωntωn
u(0)
·
u0 cos(ωnt-φ)
Imaginario
Real
Figura 4.2 Vibración libre, representación vectorial [ref. 13]
Donde u0 es la magnitud del desplazamiento máximo y es llamada amplitud de movimiento, la cual esta dada por:
2
)0(2
)0(0
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+=
n
u
uu
ω
&
(4.9)
Y el ángulo de fase φ esta dado por:
)0(
)0(
u
u
artg
nω
φ
&
= (4.10)

Vibración libre 33
En la Figura 4.2 esta representada vectorialmente la ecuación de movimiento, donde la respuesta esta dada por la
parte real o proyección horizontal de los dos vectores de rotación; y el ángulo de fase representa la distancia
angular de retraso en la respuesta del término del coseno.
4.4 VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO
La ecuación de movimiento para un sistema lineal amortiguado en vibración libre es:
0=⋅+⋅+⋅ ukucum &&& (4.11)
dividiendo la ecuación 4.11 por la masa se obtiene:
02 2
=++ uuu nn ωξω &&& (4.12)
donde:
crc
c
=ξ (4.13)
n
ncr
k
kmmc
ω
ω
2
22 === (4.14)
El coeficiente de amortiguamiento crítico, ccr, y la razón o relación de amortiguamiento crítico, ξ, son parámetros
que determinan el tipo de movimiento del sistema.
4.4.1 Tipos de Movimiento
u(t)/u(0)
1/Tn
1
-1
0
1 2 3
subamortiguado, ξ=0.1
criticamente amortiguado, ξ=1
sobreamortiguado, ξ=2
Figura 4.3 Vibración libre de un sistema críticamente amortiguado, sobreamortiguado y subamortiguado [ref. 12]
La Figura 4.3 ilustra el desarrollo de este punto; ésta es una gráfica del movimiento u(t) debido a un
desplazamiento inicial u(0) para tres valores distintos de ξ :
Si c=ccr ó ξ=1 El sistema retorna a su posición inicial de equilibrio sin oscilar, por tal razón es
llamado sistema críticamente amortiguado o sistema con amortiguamiento crítico.

Vibración libre 34
Si c>ccr ó ξ>1 El sistema no oscila pero retorna a su posición de equilibrio lentamente, por tal motivo
es denominado sistema sobreamortiguado.
Si c<ccr ó ξ<1 El sistema oscila alrededor de la posición de equilibrio con una amplitud que decrece
progresivamente, y es llamado sistema subamortiguado.
El coeficiente de amortiguamiento crítico, ccr, llamado así debido a que es un valor pequeño de c que inhibe
completamente la oscilación y representa la línea de división entre el movimiento oscilatorio y mono oscilatorio.
Las estructuras civiles (puentes, edificios, embalses, etc.) poseen una relación de amortiguamiento ξ<1 la cual las
cataloga como sistemas subamortiguados, es por esta razón que dichos sistemas se estudian con mayor
preferencia.
4.4.2 Sistema subamortiguado
Para un sistema subamortiguado (ξ<1) el desarrollo de la ecuación 4.12 se encuentra en el Apéndice A-2, y su
solución es:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
+= −
tsen
uu
tueu D
D
n
D
t
t
n
ω
ω
ξω
ωξω )0()0(
)0()( cos
&
(4.15)
Donde ωD es la frecuencia natural de vibración amortiguada y su valor es:
2
1 ξωω −= nD (4.16)
u(0)·
u
u(0)
t
Tn
TD
estructura no amortiguada
estructura
amortiguada
ρe
−ξωnt
−ξωnt
−ρe
Figura 4.4 Efecto del amortiguamiento en Vibración libre
Nótese que la ecuación 4.15 aplicada a un sistema no amortiguado (ξ=0) se reduce a la ecuación 4.5. La Figura
4.4 ilustra una comparación entre un sistema subamortiguado y uno sin amortiguamiento; se observa que la
amplitud del sistema no amortiguado es la misma en todos los ciclos de vibración, en cambio para el sistema
amortiguado la amplitud decrece y lo hace en forma exponencial.

Vibración libre 35
El valor del periodo natural de vibración amortiguado es:
D
DT
ω
π2
= (4.17)
y está relacionado con el periodo natural sin amortiguamiento de la siguiente forma:
2
1 ξ−
= n
D
T
T (4.18)
La relación entre dos desplazamientos pico en un intervalo de tiempo TD es constante, y el decremento
logarítmico está definido como el logaritmo natural de esta cantidad y está dado por:
πξ
ξ
πξ
ξωδ 2
1
2
ln
21
≈
−
===
+
Dn
i
i
T
u
u
(4.19)
y la relación entre dos desplazamientos cuales quiera es:
πξδ 2ln
1
1
1
≈=
+ju
u
j
(4.20)
El amortiguamiento tiene el efecto de reducir la frecuencia natural de ωn a ωD y aumentar el periodo natural de Tn
a TD; este efecto es despreciable para una relación de amortiguamiento ξ debajo del 20%, un rango en el cual
están incluidas la mayoría de las estructuras; y, valga la redundancia, para la mayoría de las estructuras ωD y TD
son aproximadamente iguales a ωn y Tn

Vibración libre 36
4.5 EJEMPLOS
Ejemplo 4.1 Determinación de las propiedades dinámicas
En la Figura 4.5 se muestra una cubierta metálica, considerar el entramado infinitamente rígido y con una carga
muerta total de 120 [kg
/m
2
]. Todas las columnas son perfiles metálicos W10x30, considerarlas axialmente
indeformables. Determinar las propiedades de la estructura considerando que no existe amortiguamiento.
1.2 m
4 m
20 m 20 m
20m
N
elevación
planta
Figura 4.5 Estructura para el ejemplo 4.1
Solución
El peso del sistema es:
[ ]Tw
w
96
4020120
=
××=
La rigidez total de las dos columnas del Este es:
[ ]cm
kg
E
E
E
9k
k
l
EI
k
2.5572
400
93.70752100000122
12
3
3
=
×××
=
∑=
La rigidez total de las columnas centrales es:
0=Ck

Vibración libre 37
La rigidez total de las dos columnas del Oeste es:
[ ]cm
kg
O
O
O
k
k
l
EI
k
07.1393
400
93.7075210000032
3
3
3
=
×××
=
∑=
La rigidez total en la dirección Este-Oeste es:
[ ]cm
kg
36.6965=
++=
k
kkkk OCE
La frecuencia circular natural es:
[ ]s
rad
n
n
n
n
w
gk
m
k
43.8
96000
98036.6965
=
×
=
⋅
=
=
ω
ω
ω
ω
La frecuencia cíclica natural es:
[ ]hertz34.1
2
1
=
==
n
n
n
n
f
T
f
π
ω
El periodo natural esta dado por:
[ ]s74.0
1
=
=
n
n
n
T
f
T

Vibración libre 38
Ejemplo 4.2 Sistema en vibración libre no amortiguado
Una plancha es soportada por barras de acero (Figura 4.6), su periodo natural en vibración lateral es 0.5 [s].
Cuando una placa de 22 [kg] es sujeta a su superficie el periodo natural en vibración lateral es prolongado a 0.75
[s]. ¿Cual es la rigidez lateral efectiva y cual es el peso de la plancha?
Figura 4.6 Gráfica para el ejemplo 4.2
Tn=0.5 s. Tn=0.75 s.
Solución
En la primera fase de vibración el periodo natural del sistema es:
m
k
m
kn
nT
π
π
ω
π
2
5.0
22
=
==
( )2
4π
k
m = (a)
En la segunda fase de vibración el periodo natural del sistema es:
p
n
mm
k
T
+
=
π2
gm
k
22
2
75.0
+
=
π
(b)
Reemplazando (a) en (b) y resolviendo para la rigidez k:
( ) 980
22
4 2
2
75.0
+
=
π
π
k
k
[ ]cm
kg
84.2=k
El peso de la plancha es:

Vibración libre 39
( )
[ ]kg2w
g
k
gmw
6.17
4 2
=
=⋅=
π
Ejemplo 4.3 Determinación de las características de amortiguamiento
Un tanque de agua elevado está sujeto a un cable en la parte superior, el cual le aplica una fuerza horizontal de 7
[T] y desplaza al tanque 5 [cm] de su posición de equilibrio, el cable es cortado repentinamente y el tanque entra
en vibración libre, al final de 4 ciclos el tiempo es de 2 [s] y la amplitud es de 2.5 [cm]. Calcular la relación de
amortiguamiento, el periodo natural de vibración no amortiguado, la rigidez efectiva, el peso efectivo, el
coeficiente de amortiguamiento y el número de ciclos requeridos para que la amplitud de desplazamiento
decrezca a 0.5 [cm].
Solución
La relación de amortiguamiento es:
πξδ 2ln
1
1
1
≈=
+ju
u
j
πξ2
5.2
5
ln
4
1
=
%75.2=ξ
El periodo natural de vibración no amortiguada es:
[ ]s5.04
2 ==DT
n
n
D T
T
T ≈
−
=
2
1 ξ
[ ]s5.0=nT
La rigidez efectiva es calculada a partir de:
ukfs ⋅=
57000 ×= k
[ ]cm
kg
1400=k
Para el peso efectivo se tiene:
[ ]s
rad57.12
5.0
22
===
ππ
ω
n
n
T
w
gk
n
m
k
n
⋅
=
=
ω
ω
Sustituyendo los valores de k y ωn en la última ecuación se obtiene el peso efectivo:
[ ]T68.8=w
El coeficiente de amortiguamiento se obtiene de:

Vibración libre 40
n
k
cr
c
c
c
ω
ξ
ξ
2
=
=
57.12
2
0275.0
k
c
=
[ ]cm
skg
c ⋅
= 13.6
El número de ciclos que se requiere para que la amplitud decrezca al valor de 0.5 [cm] se obtiene de:
0275.0*2
5.0
5
ln
1
2ln
1
1
1
π
πξ
=
=
+
j
u
u
j j
ciclos1333.13 ≈=j

Capítulo 5
VIBRACIÓN FORZADA
CARGA ARMÓNICA
5.1 JUSTIFICACIÓN
El estudio de la respuesta del sistema de un solo grado de libertad (SDF) a la acción de una carga armónica
establece bases para el entendimiento de la respuesta de estructuras más complejas a excitaciones externas.
5.2 SISTEMA NO AMORTIGUADO CON CARGA ARMÓNICA
5.2.1 Ecuación de Movimiento
Estableciendo p(t)=p0 · senωt en la ecuación 3.4 se obtiene la ecuación diferencial1
que gobierna el movimiento
forzado por carga armónica para un sistema no amortiguado:
tsenpukum ω0=⋅+⋅ && (5.1)
Donde p0 es la amplitud o valor máxima de la fuerza (Figura 5.1) y ω es la frecuencia de excitación. La solución
particular a la ecuación diferencial 5.1 es:
( )
tsen
k
p
u
n
tp ω
ωω 2
0
)(
1
1
−
⋅= (5.2)
La solución complementaria de la ecuación 5.1 es:
tsenBtAu nntc ωω ⋅+⋅= cos)( (5.3)
La solución total es la suma de ambas ecuaciones:
( )
tsen
k
p
tsenBtAu
n
nnt ω
ωω
ωω 2
0
)(
1
1
cos
−
⋅+⋅+⋅= (5.4)
1
La solución de esta ecuación se encuentra en el Apéndice A-3

Vibración forzada, carga armónica 42
Figura 5.1 Fuerza armónica
T = 2π/ω p0
p
t
Amplitud
Las constantes A y B son determinadas aplicando las condiciones iniciales u(0) y ú(0), es así que se tiene:
( ) ( ) 4444 34444 21444444444 3444444444 21
&
Permanente
1
1
oTransitoriEstado
1
cos 2
0
2
0)0(
)0()(
Estado
tsen
k
p
tsen
k
pu
tuu
n
n
n
n
n
nt ω
ωω
ω
ωω
ωω
ω
ω
−
⋅+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⋅−+= (5.5)
Esta ecuación contiene dos componentes de vibración distintas:
El término “senωt” para la oscilación en frecuencia de excitación; representa el estado permanente de
vibración debido a que siempre está presente porque la fuerza aplicada no depende de las condiciones
iniciales.
Los términos “sen ωnt” y “cos ωnt” para la oscilación en frecuencia natural del sistema; representan el
estado transitorio de vibración que depende de u(0) y ú(0), el cual existe a pesar de que estos valores sean
nulos. El término “estado transitorio de vibración” se debe a que el amortiguamiento, siempre presente en
sistemas reales, hace que la vibración libre decrezca en el tiempo.
2
1
0
-1
-2
0 0.5 1.0 1.5 2.0
u / (u )
t
Respuesta Total
Respuesta
del Estado Permanente
(t) st 0
Figura 5.2 Respuesta para un sistema no amortiguado sujeto a carga armónica: ω/ωn=0.2; u(0)=0 y ú(0)=ωnp0/k

La ecuación 5.5 para condiciones iniciales en reposo u(0)=ú(0)=0 es expresada de la siguiente forma:
( )
( )[ tsentsen
k
p
u nn
n
t ωωωω
ωω
−
−
= 2
0
)(
1
1
] (5.6)
5.2.2 Resonancia
Ignorando el efecto dinámico de la aceleración en la ecuación 5.1 se obtiene como resultado la deformación
estática en cada instante de tiempo:
tsen
k
p
u tst ω0
)( = (5.7)
El máximo valor de esta deformación es:
k
p
ust
0
0)( = (5.8)
Por lo tanto la respuesta dinámica del estado permanente, una oscilación sinoidal en frecuencia de excitación,
puede ser expresada como:
( )
tsenuu
n
stt ω
ωω ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
= 20)(
1
1
)( (5.9)
El factor entre corchetes de la ecuación 5.9 es graficado contra la relación de frecuencias en la Figura 5.3, de la
cual se observa que:
Para ω/ωn < 1 ó ω<ωn el factor es positivo indicando que u(t) y p(t) tienen el mismo signo, lo que significa que
el desplazamiento está en fase con la fuerza aplicada. (el sistema está desplazado en la misma dirección de la
fuerza)
Para ω/ωn > 1 ó ω>ωn el factor es negativo indicando que u(t) y p(t) tienen signos opuestos, lo que significa
que el sistema estará fuera de fase con la fuerza aplicada. (el sistema está desplazado en dirección opuesta a
la fuerza)
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
0 1 2 3
Relación de Frecuencias
ω/ω
1-(ω/ω )
1
2
n
n
Figura 5.3 Rd versus relación de frecuencias

La ecuación 5.9 puede ser reescrita en términos de la amplitud u0 y el ángulo de fase φ:
( ) ( )φωφω −⋅⋅=−⋅= tsenRutsenuu dstt 00)( )( (5.10)
De donde se tiene que:
( ) ⎩
⎨
⎧
>°
<°
−
==
180
0
u
u
R
n
n
nst
d
ωω
ωω
φ
ωω 2
0
0
1
1
)(
(5.11)
Donde el factor de deformación Rd es la relación de amplitud de deformación vibratoria u0 y la deformación
estática (ust)0 debido a la fuerza p0.
Consiguientemente se define la frecuencia resonante como aquella frecuencia de excitación para la cual Rd es
máximo. Para un sistema no amortiguado la frecuencia resonante es ωn siendo Rd infinito para esta frecuencia y la
deformación vibratoria crece indefinidamente, pero ésta se vuelve infinita sólo después de un tiempo infinito.
Para ω=ωn la ecuación 5.6 no es más válida; en este caso la función C·senωt, como elección de una solución
particular a la ecuación diferencial2
, falla debido a que ésta ya forma parte de la solución complementaria, por
tanto la solución particular ahora es:
nnntp tt
k
p
u ωωωω =⋅−= cos
2
0
)( (5.12)
Y la solución total es:
tt
k
p
tsenBtAu nnnnt ωωωω cos
2
cos 0
)( ⋅−⋅+⋅= (5.13)
Las constantes A y B son determinadas aplicando las condiciones iniciales en reposo u(0)=ú(0)=0 es así que se tiene
la ecuación de respuesta:
( tttsen
k
p
u nnnt ωωω cos
2
0
)( ⋅−= ) (5.14)
ó:
( )tsentt
u
u
nnn TTT
st
t πππ 222
2
1
0
)(
cos
)(
−⋅−= (5.15)
Figura 5.4 Respuesta para un sistema no amortiguado sujeto a carga armónica de ω=ωn
-20
0
10
-10
u/(u)
0
20
t
42 6 8
30
-30
Curva Envolvente
π
π
u
u
(t)st0
j
j+1
2
El desarrollo de esta expresión se encuentra en el Apéndice A-3.

En la Figura 5.4 está graficada la ecuación 5.15, de donde se observa que el tiempo requerido para completar un
ciclo de vibración es Tn. En cada ciclo el incremento de la amplitud3
está dado por:
[ ]
k
p
jj
u
uu st
jj
00
1 2)1(2
2
)(
πππ =−+=−+ (5.16)
La interpretación de este resultado académico para estructuras reales es que a medida que la deformación se
incrementa, el sistema en algún punto en el tiempo fallará si es frágil o cederá si es dúctil.
5.3 SISTEMA AMORTIGUADO CON CARGA ARMÓNICA
5.3.1 Ecuación de movimiento
2
1
0
-1
-2
0 0.5 1.0 1.5 2.0
u(t)/(ust)0
t
Respuesta
Respuesta Total
Figura 5.5 Respuesta para un sistema amortiguado sujeto a carga armónica
Incluyendo el amortiguamiento viscoso en la ecuación 5.1 la ecuación diferencial4
que gobierna este sistema es:
tsenpukucum ω0=⋅+⋅+⋅ &&& (5.17)
La solución particular de esta ecuación es:
tDtsenCu tp ωω cos)( ⋅+⋅= (5.18)
Donde:
( )
( )[ ] ( )[ ]
( )
( )[ ] ( )[ ]222
0
222
2
0
21
2
21
1
nn
n
nn
n
k
p
D
k
p
C
ωωξωω
ωωξ
ωωξωω
ωω
+−
−
=
+−
−
=
(5.19)
3
Anil K. Chopra, pp 66 [ref. 12]
4
La solución de esta ecuación se encuentra en el Apéndice A-4

La solución complementaria de la ecuación 5.17 es:
)cos()( tsenBtAeu DD
t
tc
n
ωωξω
⋅+⋅= −
(5.20)
Y la solución completa es:
444 3444 21444444 3444444 21
PermanenteEstado
tDtsenC
TemporalEstado
tsenBtAeu DD
t
t
n
ωωωωξω
cos)cos()( ⋅+⋅+⋅+⋅= −
(5.21)
Donde las constantes A y B pueden determinarse mediante procedimientos estándar en términos del
desplazamiento u(0) y la velocidad ú(0).
La Figura 5.5 muestra la ecuación 5.21 graficada para ω/ωn = 0.2 ξ = 0.05 u(0) = 0 y ú(0) =ωn p0 / k. La respuesta
total es representada por una línea de trazo continuo y la respuesta del estado permanente por una línea
discontinua, la diferencia entre ambas es la respuesta transitoria, la cual decae exponencialmente con el tiempo en
un valor que depende de ω/ωn y ξ ; quedando únicamente la respuesta forzada y es por esta razón que es llamada
respuesta del estado permanente.
5.3.2 Resonancia
Para ω=ωn las constantes C y D de la ecuación 5.19 son:
ξ2
)(
0 0stu
DC −==
Las constantes A y B se obtienen a partir de las condiciones iniciales en reposo u(0)=ú(0)=0 y para ω=ωn:
2
00
12
)(
2
)(
ξξ −
== stst u
B
u
A
Entonces la respuesta para un sistema amortiguado sujeto a carga armónica para ω=ωn es:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
+= −
ttsenteuu nDD
t
stt
n
ωω
ξ
ξ
ω
ξ
ξω
cos
1
cos
2
1
)(
2
0)( (5.22)
Esta ecuación de respuesta es graficada en la Figura 5.6, se observa que la magnitud de los desplazamientos es
menor que los presentados por la Figura 5.4, y que el límite de respuesta está dado por:
ξ2
)( 0
0
stu
u = (5.23)
Para amortiguamientos pequeños el término del seno en la ecuación 5.22 es pequeño y nD ωω ≈ , por lo que la
ecuación 5.22 toma la forma de:
( ) teuu n
envolvente
función
t
stt
n
ω
ξ
ξω
cos1
2
1
)( 0)( ⋅−≈ −
444 3444 21
(5.24)
La deformación varía con el tiempo como una función coseno, la amplitud se incrementa en función del tiempo
de acuerdo a la envolvente mostrada en la Figura 5.6 como una línea de trazo discontinuo. Es importante el notar

que la amplitud del estado permanente de deformación del sistema es influenciada fuertemente por el
amortiguamiento.
El desplazamiento pico uj después de j ciclos de vibración es determinado sustituyendo t=jTn en la ecuación 5.24,
estableciendo cosωnt=1 y utilizando la ecuación 5.23, de donde se tiene:
jj
e
u
u πξ2
0
1 −
−= (5.25)
Figura 5.6 Respuesta para un sistema amortiguado de ξ=0.05 sujeto a carga armónica ω=ωn
.3.3 Deformación Máxima
a deformación en el estado permanente del sistema debida a una carga armónica descrita en la ecuación 5.18 y
-20
0
10
-10
u(t)/(ust)0
0
20
t
42 6 8
Curva Envolvente
1/2ξ
1/2ξ
Amplitud
5
L
la 5.19 puede ser reescrita como:
( ) ( )φωφω −=−⋅= tsenR
k
p
tsenuu dt
0
0)( (5.26)
onde 22
0 DCu += y C
Dartg −=φD sustituyendo por C y D :
( )[ ] ( )[ ]2220
0
21
1
)(
nn
st
d
u
u
R
ωωξωω +−
== (5.27)
( )
( )2
1
2
n
n
artg
ωω
ωωξ
φ
−
= (5.28)
Rd es graficada en función de ω/ωn en la Figura 5.7(a) para algunos valores de ξ, notar que todas las curvas están
por debajo de la curva correspondiente a ξ =0. El amortiguamiento reduce Rd y por consiguiente la amplitud de
deformación también reduce. La magnitud de esta reducción depende de la frecuencia de excitación de la
siguiente manera:

Si ω/ωn << 1 (la fuerza está variando lentamente) Rd es sólo levemente más grande que 1 y es esencialmente
independiente del amortiguamiento.
k
p
uu st
0
00 )( =≅ (5.29)
Este resultado implica que la respuesta dinámica es esencialmente la misma que la deformación estática y es
controlada por la rigidez del sistema.
Si ω/ωn >> 1 (la fuerza está variando rápidamente) Rd tiende a cero y no es afectada por el amortiguamiento.
Para valores grandes de ω/ωn el término (ω/ωn)4
es dominante en la ecuación 5.27, la cual puede ser
aproximada por:
2
0
2
2
00 )(
ωω
ω
m
p
uu n
st =≅ (5.30)
Este resultado implica que la respuesta es controlada por la masa del sistema.
Si ω/ωn 1 (la frecuencia de excitación se acerca a la frecuencia natural del sistema) R≈ d es sensible al
amortiguamiento, implicando que la deformación dinámica puede ser más grande que la estática. Si ω=ωn la
amplitud máxima es la expresada por la ecuación 5.23:
n
st
c
pu
u
ωξ
00
0
2
)(
== (5.31)
Este resultado implica que la respuesta es controlada por el amortiguamiento de la estructura.
5.3.4 Factores de Respuesta Dinámica
En este punto se introducen factores de respuesta de deformación, velocidad y aceleración que definen la
amplitud de estas tres cantidades de respuesta. La ecuación 5.10 se puede escribir de la siguiente forma:
( φω −= tsenR
k
p
u dt
0
)( ) (5.32)
Derivando la ecuación 5.32 se obtiene la respuesta para la velocidad:
( φω −= tR
km
p
u vt cos0
)(& ) (5.33)
Donde el factor de respuesta para la velocidad esta relacionado con Rd mediante:
dv RR
nω
ω
= (5.34)
Derivando la ecuación 5.33 se obtiene la respuesta para la aceleración:
( φω −−= tsenR
m
p
u at
0
)(&& ) (5.35)
Donde el factor de respuesta para la aceleración esta relacionado con Rd mediante:
da RR
n
2
)(ω
ω
= (5.36)

En la Figura 5.7 están graficados los tres factores de respuesta dinámica en función de ω/ωn. Estas cantidades
están relacionadas de la siguiente forma:
dv
a
RR
R
n
n
ω
ω
ω
ω
== (5.37)
que hace posible el presentar estas tres gráficas en una sola utilizando un papel tetralogarítmico.
Figura 5.7 Factores de respuesta de desplazamiento, velocidad y aceleración para un sistema amortiguado sujeto a la acción de una
.3.5 Frecuencia Resonante y Respuesta Resonante
a frecuencia Resonante está definida como la frecuencia de excitación en la cual ocurre la amplitud máxima de
carga armónica.
5
4
3
2
1
0
5
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
0 1 2 3
Rd
Rv
Ra
Relación de Frecuencias ω/ωn
(a)
(b)
(c)
ξ=0.01
ξ=0.1
ξ=0.2
ξ=0.7
ξ=1
ξ=1
ξ=0.01
ξ=0.1
ξ=0.2
ξ=0.7
ξ=1
ξ=0.01
ξ=0.1
ξ=0.2
ξ=0.7
5
L
respuesta. La frecuencia resonante es determinada estableciendo la primera derivada igual a cero de Rd Rv y Ra
con respecto de ω/ωn para
2
1
<ξ :

2
21 ξωω −= nFrecuencia resonante para el desplazamiento:
Frecuencia resonante para la velocidad: nωω =
Frecuencia resonante para la aceleración:
2
21 ξ
ω
ω
−
= n
ara un sistema no amortiguado las tres frecuencias son iguales a ωn. Los tres factores de respuesta dinámica enP
sus respectivas frecuencias resonantes son:
22
12
1
2
1
12
1
ξξξξξ −
==
−
= avd RRR (5.38)

5.4 EJEMPLOS
jemplo 5.1 Determinación de las propiedades dinámicas (resonancia)E
a masa m, laL rigidez k y la frecue n Estas propiedades
olución
hertz] se tiene:
ncia natural ω de un sistema de 1DOF son desconocidas.
son determinadas mediante un ensayo de excitación armónica. Bajo una frecuencia de excitación de 4 [hertz] la
respuesta tiende a incrementarse sin límite. Luego se añade un peso adicional de 2.5 [kg] a la masa m y se repite
el ensayo, esta vez la resonancia sucede para f = 3 [hertz]. Determinar la masa y la rigidez del sistema.
S
ara f=4 [P
[ ]
T
f
s
rad
n 13.258
2
4
2
1
===
=
==
πωω
π
ω
π
ω
se tiene que la frecuencia natural es:
m
k
m
k
n
=
=
π
ω
8
mk 2
64π= (a)
Para f=3 [hertz] se tiene:
[ ]s
rad
n 85.186
2
3
===
=
πωω
π
ω
g
n
m
k
5.2+
=ω
gm
k
5.2
6
+
=π (b)
Reemplazando la ecuación (a) en (b) y resolviendo para m:
π
π
6
64
5.2
2
=
+ gm
m
[ ]g
kg
g
m 21.3=
eemplazando el valor de la masa en la ecuación (b) se obtiene el valor de la rigidez:R
g
k
21.3
*64 2
π=
[ ]cm
kg
k 07.2=

8 sen ωt
w=450 [T]
ξ=0.1 kT=11 [T/cm]
Ejemplo 5.2 Ecuación de movimiento sistema amortiguado sujeto a carga armónica
Determinar el desplazamiento del sistema de la Figura 5.8 para un
) Si
tiempo 1.2 [s] considerando el estado transitorio y el permanente
para condiciones iniciales en reposo.
a nωω =
b) La amplitud máxima para nωω ≠
Figura 5.8
olución
a ecuación de movimiento para el sistema amortiguado sujeto a carga armónica es:
S
L
( ) tDtsenCtsenBtAeu DD
t
t
n
ωωωωξω
coscos)( ⋅+⋅+⋅+⋅= −
(5.15)
La frecuencia natural, de amortiguamiento y las constantes de la ecuación 5.15 se obtienen de:
[ ]
[ ]
( )
( )[ ] ( )[ ]
( )
( )[ ] ( )[ ]
[ ]cm
k
p
D
k
p
C
g
nn
n
nn
n
s
rad
nD
s
rad
m
k
n
63.3
21
2
0
21
1
87.41.0189.41
89.4
450
*1100
222
0
222
2
0
22
−=
+−
−
=
=
+−
−
=
=−=−=
===
ωωξωω
ωωξ
ωωξωω
ωω
ξωω
ω
as constantes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales u(0)=0 y ú(0)=0:L
[ ]
[ ]cmB
cmA
36.0
63.3
=
=
or tanto la ecuación de movimiento es:P
( ) ttsenteu t
t 89.4cos63.387.436.087.4cos63.389.41.0
)( −+= ×−
El tiempo en el cual finaliza el estado transitorio es h lado igualando la respuesta total a la respuesta en el
De donde se tiene que:
al
estado permanente, lo que conduce a la siguiente ecuación:
( ) tDtsenCtDtsenCtsenBtAe DD
tn
ωωωωωωξω
coscoscos ⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅−
D
BA
A
arcsen
t
ω
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
22
(5.29)

Texto guía de ingenieria antisísmica felipe ramiro saavedra

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