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Ecuaciones homogéneas

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Ecuaciones homogéneas

  1. 1. ECUACIONES DIFERENCIALES ECUACIONES HOMOGÉNEAS Integrantes Jonathan Cortez Ronald Sisalima Johana Rojas Univicmidad Técnica Particular dc Loja
  2. 2. d)’ a1 (x) d-x + ao(x)y = .906) Ecuación homogénea Zy" + 3y' — Sy = O Ecuación no homogénea x3y"’ + 6y’ + 10y = ex
  3. 3. Suposiciones importantes al empezar definiciones y teoremas acerca de las ecuaciones lineales. En algún intervalo l. Las funciones de coeficientes a¿(x), i=O,1,2,. ... ,nyg(x) son continuas. an (x) at 0 para toda x en el intervalo.
  4. 4. OPERADORES DIFERENCIALES - En cálculo, Ia Diferenciación se denota con la letra D mayúscula. dy _ dx _ Dy EI símbolo D se llama operador diferencial porque transforma una función diferencial en otra función. - Por ejemplo D(cos 4x) = —4sen4x y D(5X3 — 6X2) = 15X2 — 12X Expresiones polinomiales en las que interviene D. D2 + 3D - 4 y 5x3D3 — 6x20? + 4x0 + 9
  5. 5. Definición de un operador diferencial de Iz-ésinzo orden u operador polinomíal. L = a, ¡(x)D" + a, ¡_¡(x)D"’1 + + a1 (x)D + a0(x). (1) L es un operador lineal, es decir L operando es una combinación lineal de dos funciones diferenciales, es lo mismo que la combinación lineal de L operando en cada una de las funciones. Esto significa que. L{°< f(x) + 3906)} = aL(f(x)) + 814906))
  6. 6. ECUACIONES DIFERENCIALES - Cualquier ecuación diferencial puede expresarse en términos de la notación D. y"+5y’+6y=5x-3 En términos de notación D (D2+SD + 6)y = 5x - 3
  7. 7. PRINCIPIO DE SLJPERPOCISKBN La suma o superposición de dos o más soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea es también una solución. Demostración. Se demuestra el caso k = 2, Sea L el operador diferencial que se definió en (1) y sean yl (x) y yz (x) soluciones de la ecuación homogénea L(y) = 0. Si se define y = C1y1 (x) + Czyz (x), entonces por la Iinealidad de L se tiene. L(y) = L{c1y1(x) + c2y2(x)} = c1 L(y1) + c2 L(y2) = c1 - O + c2 - 0 = 0
  8. 8. EJEMPLO 4 SUPERPOSICIÓN, ED HOMOGÉNEA 2 - yl = x y yz = x2 lnx soluciones de la ecuación homogénea 3 III x y — 2xy' + 4y = 0 en un intervalo de (0, oo). - Por el principio de superposición nos da. y = clxz + czxz lnx

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