Este documento describe los métodos para resolver ecuaciones diferenciales homogéneas. Explica que una ecuación es homogénea si sus coeficientes tienen el mismo grado. Luego, detalla tres formas de cambio de variables que pueden usarse para resolver este tipo de ecuaciones: y=ux, x=uy, y u=x+y. Finalmente, ilustra un ejemplo completo de resolución paso a paso usando el cambio de variable y=ux.

1. ECUACIONES DIFERENCIALES METODOS PARA LA SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES ECUACIONES HOMOGENEAS MANUEL ANTONIO LOPEZMARIN 10310220 F:102 CENTRO DE ENSEÑANZATECNICA INDUSTRIAL

2. homogeneas Una función F(X,Y) eshomogenea de grado (n) en susargumentossi se cumpleque: F(tx,ty)=𝑡𝑛f(x,y) Unaecuaciondiferencial en la forma:

3. homogeneas Forma basica m(x,y)dx+n(x,y)dy=0

4. Unaecuacioneshomogenasi: Los coeficientesde M y N tienen el mismogrado: Ejemplo: 𝑥−𝑦𝑑𝑥+𝑥 𝑑𝑦=0 M𝑥−𝑦=1𝑒𝑟 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 N(x)=1𝑒𝑟 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜

5. Maneras de obtener el grado inspeccion=𝑡𝑛𝑥, 𝑡𝑛𝑦=𝑡𝑛(𝑥,𝑦) Sumando los exponentes de cadatermino

6. Cambio o situacion de variable Existen 3 formas de cambio o situacion de variable: 𝑦=𝑢𝑥 𝑑𝑦=𝑢𝑑𝑥+𝑥𝑑𝑢 𝑥=𝑢𝑦 𝑑𝑦=𝑢𝑑𝑦+𝑦𝑑𝑢 𝑢=𝑥+𝑦->𝑦=𝑢−𝑥 𝑑𝑦=𝑑𝑢−𝑑𝑥

7. Ejemplo: 𝑦1=𝑥3+𝑦3𝑥𝑦2← seve a simple vista sus coeficientes son de 3er grado, esto es por que : 𝑥3+𝑦3𝑥𝑦2 3ergrado 3ergrado La suma de los exponentes de x & y es de 3er grado

8. ejemplo 𝑦1=𝑥3+𝑦3𝑥𝑦2 acomodamos en la forma general 𝑚(𝑥𝑦2)𝑑𝑥=𝑛𝑥3+𝑦3𝑑𝑦 El siguientepasoesseleccionar el cambio o situacion de variable quenosayude a resolver nuestrahomogeneaparaestecaso: 𝑦=𝑢𝑥 𝑑𝑥=𝑢𝑑𝑥+𝑥𝑑𝑢

9. ejemplo Ponemos los valors de cambio o situacion de variable de estamanera: 𝑥𝑢2𝑥2𝑢𝑑𝑥+𝑥𝑑𝑢=𝑥3+𝑢3𝑥3𝑑𝑦 Acomodamos la exprecion: 𝑥3𝑢2𝑢𝑑𝑥+𝑥𝑑𝑢=𝑥31+𝑢3𝑑𝑥 𝑥3𝑢2𝑢𝑑𝑥+𝑥𝑑𝑢=𝑥31+𝑢3𝑑𝑥 𝑥3 𝑦=𝑢𝑥 𝑑𝑥=𝑢𝑑𝑥+𝑥𝑑𝑢

10. ejemplo 𝑢2𝑢𝑑𝑥+𝑥𝑑𝑢=1+𝑢3𝑑𝑥 Realizamos la multiplicacion: 𝑢3𝑑𝑥+𝑢2𝑥𝑑𝑢=𝑢3𝑑𝑥+𝑑𝑥 Acomodamos: 𝑢2𝑥𝑑𝑢=𝑢3𝑑𝑥+𝑑𝑥−𝑢3𝑑𝑥 Se eliminanterminos y queda de estamaneraparaintegrar: 𝑢2𝑥𝑑𝑢=𝑑𝑥

11. ejemplo Y terminamosacomodandoterminos y realizando la integral: 𝑢2𝑑𝑢= 𝑢2𝑑𝑢=𝑑𝑥𝑥 realizamos las integrales: 𝑢33=ln𝑥

12. ejemplo Por ultimo sustituimos a u porsu valor despejado del cambio o situacion de variable: 𝑢33=ln𝑥 de esta forma 𝑦3𝑥33=lnxrealizamos la operacioncorrespondiente: 𝑦3=3𝑥3ln𝑥+𝑐estoes lo queresulta 𝑦=𝑢𝑥 𝑑𝑥=𝑢𝑑𝑥+𝑥𝑑𝑢 U=𝑦𝑥