ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS

1. Ecuaciones diferenciales homogéneas Para que esta ecuación pueda ser homogénea toda la ecuación tiene que tener un mismo grado, ya sea de grado 0, 1, 2, 3…… y para poder saber eso hay dos métodos: Suma de los exponentes. Y por inspección. Ya después de haber obtenido el grado si es homogénea se le aplica un cambio de variable con respecto a X o Y y se convierte en una E.D. de variables separables.

2. 1 Suma de los exponentes: h(x; y) = x3 + 2xy2 (esta función es de grado 3) h(x; y) = x3 + 2xy2 + y4 ( no es homogénea) h(x; y) = xy + 1 (no es homogénea) h(x; y) = 5x -3y / x + 2y (esta función es de grado 0) h(x; y) = x2 +xy + 3y2 (esta es de segundo grado) h(x; y)= xy + yx = (y2 + x2) (es de segundo grado)

3. 2 Método por inspección: M (tx , ty) n t f (x,y) N (tx , ty) Ejemplo 1 f ( x , y) = x3 y – x2 y2 x + 8 y f ( tx , ty ) = tx3 ty – t2 x2 t2y2 tx + 8ty = t4x3y – t4 x2 y2 tx + 8ty = t4 (x3 y - x2 y2) t ( x + 8y) =t3 (x3 y - x2 y2) (Es de grado 3) x + 8 y La respuesta si es del mismo grado tiene que ser igual a la función original y con un exponente tres como en este caso.

4. Elementos para resolver E.D y su forma. Forma ordinaria: M (x, y) dx + N ( x , y ) dy = 0 Ha esta forma se tiene que llegar para poder resolver la ecuación pero antes hacer el cambio de variable Elementos claves: Y= ux dy = u dx + x du X = uy dx = u dy + y du U = x + y y = u – x dy = du dx Estos elemento son indispensables para realizar el cambio de variable.

5. Ejemplo 1 resolver: (y + x cos y/x) dx – x dy= 0 (ux + x cos ux/x) dx – x ( u dx + x du )= 0 Cambio de varia; x(u + cos u) dx –x u dx + x2du= 0 Dividir entre X x (u + cos u) dx –udx – xdu=0 Multiplicando udx + cosudx – udx – xdu =0 Sumando términos semejant; cosudx – xdu =0 Despejando ∫ dx/x - ∫du/cos u = 0 Haci quedan las integrales Ln (x) - ∫ sec u du Aplicando identidad = ln( x ) – ln ( sec y/x + tang y/x) = c