ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS.

1. Ecuaciones diferenciales homogeneas
Ecuaciones Diferenciales Homogenea.
Una función f: D ᴄ R² →R se dice homogenea de grado n si: f (tx,ty) = tⁿ f (x,y)'Para todo t ˃
0 Y todo (x,t) ϵ D, Una ecuación diferencial ordinaria lineal y homogenea es una ecuación
diferencial lineal que puede ser expresada como un conjunto de sumandos cada uno de los
cuales es lineal en la incognita o una de las derivadas
Propiedades basicas de las Ecuaciones diferenciales homogeneas.
si una ecuación diferencial lineal es homogenea entonces el conjunto de soluciones formara un
espacio vectorial de dimención n (siendo n el orden de la ecuación diferencial). En particular
una ecuación diferencial homogenea del tipo (*) admitirá soluciones de la fórmula “(x)=Ϲ y
(x)+ Ϲ n y n ”
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales homogeneas
Frecuentemente la resolución de una ecuación diferencial ordinaria puede ser planteada
resolviendo primeramente la versión homogenea de dicha ecuación diferencial , consiste en
una ecuación en que se han eliminado los sumando necesarios hasta obtener una ecuación
homogenea .En casos de mayor interes prácticos el espacio de soluciones de una ecuación
difderencial forma un espacio a fin que puede construirse a partir del espacio vectorial
asociado al conjunto de soluciones de la versión homogenea.
Pasos para resolver una ecuación diferencial homogenea
(x²+y²)dx + xydy = 0 la ecuación diferencial es homogenea pues M (x,y)= x²+y² y N (x,y)=xy
son homogeneas de grado dos .
M(tx,ty) =(tx)²+(ty)²= t²(x²+y²)=t²M(x,y)
N ( tx,ty)=(tx)(ty)= t²(xy) = t² N(x,y)
Paso 1: haciendo la sustitución ( x²+(ux)²)dx+x(uy) (xdu+udx)= O
'x²(1+2u²)dx +uxᵌdu= O
De donde 1/x dx+(u/1+2u²)du = 0
Paso 2 : Iintegrando y resolviendo a las variables x Y y obtenemos
'ln│x│+⅓ ln │1+2(x/y)²│= c →x
⁴
+ 2x²y²= c
Fuente: Adriana Briceno ( 2015)