1. Matrices, vectores
y sistemas
de ecuaciones
lineales
Antonio Montes Lozano
1,5 créditos
P00/75004/00191
⎛ a 11 a 21 … a 1n ⎞
⎜ ⎟
A = ⎜ a 21 a 22 … a 2n ⎟
⎜ ⎟
⎝ am 1 am 2 … am n ⎠

3. © FUOC • P00/75004/00191 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
Índice
Introducción............................................................................................... 5
Objetivos ...................................................................................................... 6
1. Preliminares .......................................................................................... 7
2. Matrices .................................................................................................. 8
2.1. Producto de matrices ......................................................................... 9
2.2. Suma de matrices............................................................................... 10
2.3. Matrices cuadradas ............................................................................ 12
2.4. La transpuesta de una matriz ............................................................ 14
3. Espacios vectoriales ............................................................................. 16
3.1. Dependencia e independencia lineal ................................................ 17
3.2. Bases ................................................................................................... 19
3.3. Subespacios vectoriales y rango......................................................... 24
4. El método de Gauss .............................................................................. 26
5. Rango y teorema de Rouché-Fröbenius .......................................... 34
6. Sistemas homogéneos.......................................................................... 38
7. Determinantes y regla de Cramer.................................................... 41
7.1. Determinantes de segundo orden ..................................................... 41
7.2. Determinantes de tercer orden .......................................................... 43
7.3. Determinantes de orden n................................................................. 44
7.3.1. Propiedades de los determinantes.......................................... 45
7.3.2. Regla de Cramer para los sistemas n × n ................................ 49
8. Matriz inversa ....................................................................................... 55
Resumen....................................................................................................... 59
Ejercicios de autoevaluación .................................................................. 61
Solucionario................................................................................................ 64
Glosario ........................................................................................................ 76
Bibliografía................................................................................................. 77

5. © FUOC • P00/75004/00191 5 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
Introducción
Muchos problemas técnicos y científicos requieren la resolución de sistemas
de ecuaciones lineales . Es un tema fundamental para todas las disciplinas que
utilizan las matemáticas de una manera u otra. En muchos problemas existe
una dependencia entre las diferentes magnitudes o variables que intervienen
y a menudo la planteamos en forma de ecuación lineal. Otras veces representa
una buena aproximación al problema objeto de estudio.
En este módulo estudiaremos de forma sistemática los sistemas de ecuaciones
lineales. Pero para profundizar en su conocimiento, abordaremos previamente
el estudio de las matrices y los vectores como tablas de números. Este estudio
nos conducirá a introducir la estructura de espacio vectorial, que tiene valor
por sí misma y se aplica a muchos campos como, por ejemplo, los gráficos 3D.
Estudiaremos a continuación el método de Gauss para resolver efectivamente
Evariste Galois
los sistemas. (1811-1832)…
… empezó a interesarse por las
matemáticas a los 15 años, y
Provistos con las consecuencias de la noción de independencia lineal de vec- tres años después ya publicó
tores, podremos abordar la definición y el cálculo del rango, que nos permite un trabajo importante. Com-
prometido en contra de las in-
discutir los sistemas con ayuda del teorema de Rouché-Fröbenius . Finalmen- justicias políticas, los sucesos
de las revoluciones de 1830 lo
te, introduciremos el concepto de determinante , que permitirá dar fórmulas condujeron, indirectamente, a
cerradas para las soluciones de los sistemas y ayudar en la discusión de siste- una muerte prematura a los 21
años. A pesar de todo, dejó
mas con parámetros. una producción matemática
trascendental en el campo de
la teoría de las ecuaciones.

6. © FUOC • P00/75004/00191 6 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
Objetivos
Se pretende que, estudiando los conceptos de este módulo y con los ejemplos
y actividades que se incluyen, se alcancen los objetivos siguientes:
1. Dominar el álgebra de matrices.
2. Entender los conceptos de espacio vectorial, independencia lineal y base,
así como aprender a expresar un vector en una base.
3. Saber resolver sistemas por el método de Gauss.
4. Aprender a determinar el rango de una matriz.
5. Conocer las propiedades de los determinantes y la regla de Cramer.
6. Dominar el teorema de Rouché-Fröbenius y saber discutir un sistema con
parámetros.
7. Saber plantear problemas lineales.

7. © FUOC • P00/75004/00191 7 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
1. Preliminares
Empecemos por recordar algunas nociones básicas.
Consideremos los sistemas lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas siguientes:
2x + 3y = 7 ⎫ 2x +3y = 4 ⎫ 2x + 3y = 6 ⎫
⎬ ⎬ ⎬
2x – 3y = 1 ⎭ 2x + 3y = 6 ⎭ 4x + 6y = 12 ⎭
Realizando las gráficas de cada uno de los sistemas de ecuaciones se obtiene:
a) Rectas secantes b) Rectas paralelas c) Rectas coincidentes
El primer sistema representa dos rectas que se cortan en el punto (2, 1) y tiene una
solución única. El segundo caso representa dos rectas paralelas y no tiene solu-
ción. El tercero corresponde a dos rectas coincidentes y tiene infinitas soluciones.
Tratándose de sistemas de dos ecuaciones y dos incógnitas no hay más casos.
En realidad, éstos son los casos emblemáticos para sistemas con más ecuacio-
nes e incógnitas.
Denominamos sistema compatible al sistema que admite soluciones,
es decir, si existen valores de x, y que satisfacen el sistema. En caso con-
trario recibe el nombre de incompatible . Decimos que un sistema es
compatible determinado si admite una única solución. En caso con-
trario recibe el nombre de compatible indeterminado .
En estos términos, los tres casos del ejemplo quedan clasificados de la forma
siguiente: el primero es compatible y determinado; el segundo es incompati-
ble y el tercero, compatible e indeterminado.
Ahora estudiaremos los sistemas de ecuaciones lineales en general y determi-
naremos cuántas soluciones tienen y cómo calcularlas. Pero antes conviene
introducir la notación matricial, que será muy útil.

8. © FUOC • P00/75004/00191 8 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
2. Matrices
Introducimos ahora las definiciones y notaciones que utilizaremos.
La noción de matriz…
Un sistema de m ecuaciones lineales y n incógnitas x1 , x 2 , ..., x n o variables con- … fue introducida en 1857
por los matemáticos británicos
siste en un conjunto de m ecuaciones de la forma siguiente: W. Hamilton y A. Cayley. El pri-
mero que utilizó la palabra
matriz fue J. J Sylvester para
a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 n x n = b 1 ⎫ indicar una ordenación deter-
⎪ minada de números.
a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2 n x n = b 2 ⎪
⎬, (1)
⎪
⎪
a m1 x 1 + a m2 x 2 + … + a mn x n = b m ⎭
donde las aij y las b i son escalares conocidos, y el rango de variación de los índices
es 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. El coeficiente aij es el factor que multiplica x j en la i-ésima
ecuación, y el coeficiente b i es el término independiente de la i-ésima ecuación.
Arthur Cayley
Una matriz m × n es una tabla de números aij donde se tiene 1 ≤ i ≤ m, (1821 - 1895)
1 ≤ j ≤ n, que dispondremos en m filas y n columnas: Matemático inglés que desta-
có por sus contribuciones a la
teoría de matrices, determi-
⎛ a a … a 1n ⎞ nantes, geometría n-dimensio-
⎜ 11 21 ⎟ nal y, en colaboración con su
A = ⎜ a 21 a 22 … a 2n ⎟ (2) gran amigo Sylvester, por sus
⎜ ⎟ contribuciones a la llamada
⎝ a m1 a m 2 … a mn ⎠ teoría de los invariantes y las
álgebras de dimensión finita.
De este modo, los coeficientesa ij del sistema de ecuaciones (1) forman una ma-
Advertencia
triz m × n, que denotamos como A y que llamamos matriz del sistema .
Para no confundirnos denota-
mos las matrices con negrita,
Pongamos A = ( a ij)1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n para indicar que A es la matriz m × n que tiene con el objetivo de distinguirlas
de los números o elementos.
por elementos los a ij . Cuando sean claros los rangos de variación de i y de j
escribimos simplemente A = (a ij).
Designemos por L(m, n ) el conjunto de las matrices m × n, (m filas y n colum-
nas).
Podemos agrupar también las x j en forma de matriz de una sola columna y n
filas, que llamamos vector columna y que denotamos como x. Los términos
independientes bj también pueden ser agrupados en forma de vector columna
de m filas y los llamamos b. De este modo, tenemos:
⎛ x 1⎞ ⎛ b 1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
x b
x = ⎜ 2⎟ b = ⎜ 2⎟ .
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
...
...
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ x n⎠ ⎝ b m⎠

9. © FUOC • P00/75004/00191 9 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
2.1. Producto de matrices
Definimos el producto de C, de m filas y k columnas, por una matriz D, de k
filas y n columnas, como la matriz E de m filas y n columnas siguiente:
⎛ e 11 … e 1n ⎞ ⎛ c 11 … c 1k ⎞ ⎛ d 11 … d 1n ⎞
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟,
...
...
...
...
...
...
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝e m 1 … e mn⎠ ⎝c m 1 … c m k⎠ ⎝ dk 1 … d k n⎠
donde el elemento eij de la i-ésima fila y j-ésima columna del producto E se ob-
tiene multiplicando los elementos de la i-ésima fila de C por los elementos de
la j-ésima columna de D y sumando:
En el producto
de matrices...
k
e ij = c i1 d 1 j + c i2 d 2j + … + c i kd k j = ∑ c il d lj . ... observamos que el número de
l=1 columnas de la matriz de la iz-
quierda y el de las filas de la ma-
triz de la derecha es el mismo ( k).
De forma abreviada escribimos:
E=C ·D
o bien omitiendo el punto, simplemente E = CD.
La operación de multiplicar matrices es una aplicación:
·: L (m , ) × L (k , ) → L ( m , ).
k n n
y, por lo tanto, para poder multiplicar dos matrices es necesario que la matriz
de la izquierda tenga el mismo número de columnas que el número de filas de
la matriz de la derecha.
Con estas notaciones, el sistema (1) se escribe de la forma:
A · x = b. (3)
Ejemplo 1
¿Cuándo es factible la multiplicación de dos matrices? Por ejemplo, hagamos la multiplica-
ción matricial indicada:
⎛2 –1⎞
⎛3 –1 0 4⎞ ⎜ ⎟
⎜1 3 2⎟
–
⎜ 0 3 1⎟
⎟ ⋅⎜
⎜4 .
– 0⎟
⎝2 5 –1 0⎠ ⎜ ⎟
⎝1 3⎠
Para poder multiplicar A y B es necesario que el número de columnas de A sea igual al de las
filas de B. En el ejemplo dado el número de columnas de A y de filas de B es el mismo, 4, y
el producto es posible. Cada elemento del producto tendrá 4 sumandos. El resultado es una
matriz de 3 filas (número de filas de A) y 2 columnas (número de columnas de B) que pre-
sentamos a continuación:
⎛ 7 7 ⎞
⎜–13 4 ⎟.
⎜ ⎟
⎝ 23 8⎠

10. © FUOC • P00/75004/00191 10 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
Además de la matriz del sistema (2), también utilizamos la matriz ampliada ,
obtenida a partir de la matriz del sistema añadiendo la columna de los térmi-
nos independientes:
⎛ ⎞
⎜ a 11 a 12 … a 1 n b 1 ⎟
⎜ a ⎟
⎜ 21 a 22 … a 2n b 2 ⎟ . (4)
⎜ ⎟
...
...
...
⎜ ⎟
⎜ a m 1 a m 2 … a mn b m⎟
⎝ ⎠
Ejemplo 2
Dado el sistema de ecuaciones siguiente:
2x + 3y – 6z = 7 ⎫
⎪
– 3 y + z = 1 ⎬,
⎪
– x + 4y – z = 4 ⎭
escribimos la matriz del sistema y la matriz ampliada. Escribimos el sistema de la forma que
expresa la ecuación (3).
Matriz del sistema:
⎛ 2 3 –6 ⎞
⎜ 0 –3 1 ⎟.
⎜ ⎟
⎝ –1 4 –1 ⎠
Matriz ampliada:
⎛2 3 –6 7⎞
⎜ ⎟
⎜0 –3 1 1⎟ .
⎝1
– 4 –1 4⎠
Sistema:
⎛ 2 3 –6 ⎞ ⎛ x⎞ ⎛ 7⎞
⎜ 0 –3 1⎟ ⋅ ⎜ y⎟ = ⎜ 1⎟ .
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝–1 4 –1 ⎠ ⎝ z⎠ ⎝ 4⎠
2.2. Suma de matrices
La suma de dos matrices m × n es igual a la matriz m × n que se obtiene suman-
do los elementos correspondientes:
⎛ c 11 c 12 … c 1n ⎞ ⎛ d 11 d 12 … d 1n ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ c 21 c 22 … c 2n ⎟ ⎜ d 21 d 22 … d 2n ⎟
⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ =
...
...
...
...
...
...
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝c m 1 c m2 … cmn ⎠ ⎝ d m1 d m2 … d m n⎠
⎛ c 11 + d 11 c12 + d 12 … c 1n + d 1n ⎞
⎜ ⎟
c + d 21 c22 + d 22 … c 2n + d 2n ⎟
= ⎜ 21 = E,
⎜ ⎟
...
...
...
⎜ ⎟
⎝ c m1 + d m1 c m 2 + d m2 … c mn + d mn⎠

11. © FUOC • P00/75004/00191 11 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
o, en términos de los elementos:
e ij = cij + d ij .
Ejemplo 3
Hagamos esta suma:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ 3 – 1 0 4 ⎟ ⎜ 8 1 0 4 –4 ⎟
⎜ –1 0 3 1 ⎟ + ⎜ 3 2 1 –3 ⎟ .
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 2 5 – 1 0 ⎠ ⎝ 5 –5 8 2 ⎠
Solución:
⎛ 1194 0⎞
⎜ ⎟
⎜ 2 2 4 –2 ⎟ .
⎜ ⎟
⎝ 7 0 7 2⎠
Es fácil comprobar que la suma de matrices es asociativa y que la matriz 0, que
tiene todos sus elementos iguales a 0, es el elemento neutro de la suma.
También podemos asociar a cada matriz A su opuesta, −A, que tiene por ele-
mentos los opuestos de los de A. La suma de A y de −A da la matriz 0. Final-
mente, la suma es conmutativa.
Resumiendo, la suma de matrices tiene las propiedades siguientes. Para
todo A, B, C:
1) (A + B) + C = A + ( B + C) asociativa
2) A + 0 = 0 + A = A elemento neutro (5)
3) A + (−A) = 0 elemento opuesto
4) A + B = B + A conmutativa
Las propiedades que acabamos de mencionar permiten definir la estructura de
grupo.
Todo conjunto en el que hay definida una operación que tiene las pro-
William Rowman
piedades (1), (2) y (3) recibe el nombre de grupo. Si, además, tiene la Hamilton (1805-1865)
propiedad conmutativa (4), decimos que es un grupo conmutativo.
Matemático nacido en Dublín,
fue un niño precoz que a los
cinco años, además de inglés,
leía latín, griego y hebreo; a los
Así, (L(m,n),+) es un grupo conmutativo. diez, francés, italiano, árabe y
sánscrito, y a los catorce persa.
Abandonó el estudio de las len-
guas para consagrarse a las ma-
Propiedades inmediatas temáticas. Son importantes sus
trabajos sobre números irracio-
nales (Algebra as the Science of
1) Dado un conjunto dotado con una operación interna (que denota- Pure Time , 1933-1835).
remos por “+”), si existe un elemento neutro 0 tal que para todo a se ve-
rifica que a + 0 = 0 + a = a, entonces este elemento es único.

12. © FUOC • P00/75004/00191 12 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
2) Si en un conjunto como el anterior, además, la operación es asocia-
tiva y cada elemento a tiene un opuesto a’ tal que a + a’ = a’ + a = 0,
entonces este elemento es único.
3) En un grupo el elemento neutro es único, y el elemento inverso (el
opuesto en notación “+”) asociado a cada elemento del grupo también
es único.
4) En un grupo, −(−a) = a.
5) En un grupo siempre se puede simplificar. Es decir,
a+ c=b+c⇒ a = b.
Demostración
1) Supongamos que existe otro neutro 0’ con las mismas propiedades. Por el he-
cho de que el 0 es el elemento neutro, se tendrá 0 + 0’ = 0. Por el hecho de que 0´
también es neutro, se tendrá 0 + 0’ = 0’. Por lo tanto, 0 = 0’, y el neutro es único.
2) Supongamos que a tuviese otro opuesto a’’. Siendo la operación asociativa,
tendríamos:
a ′ = 0 + a ′ = ( a″ + a ) + a ′ = a ″ + ( a + a ′ ) = a ″ + 0 = a ″.
3) Resulta como corolario de los anteriores.
4) De a + (−a) = 0 se deduce que a es opuesto de (−a), y por la unicidad del
opuesto en un grupo, igual a −(−a).
5) Para probarlo sólo tenemos que añadir −c por la derecha a cada lado de la
ecuación y utilizar la propiedad asociativa.
2.3. Matrices cuadradas
Cuando las matrices tienen el mismo número n de filas y de columnas habla-
mos de matrices cuadradas. Si consideramos el conjunto de las matrices cua-
dradas, L(n, n), siempre las podemos sumar de dos en dos y multiplicar de dos
en dos. En este caso, además de la matriz 0 (el elemento neutro de la suma),
debemos introducir la matriz identidad I que está formada por unos en la dia-
gonal principal y ceros en todo el resto:
⎛0 0 … 0⎞
⎜ ⎟
0 0 … 0⎟
O = ⎜
⎜ ⎟
...
...
...
⎜ ⎟
⎝0 0 … 0⎠

13. © FUOC • P00/75004/00191 13 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
⎛1 0 … 0⎞
⎜ ⎟
0 1 … 0⎟
I = ⎜
⎜ ⎟.
...
...
...
⎜ ⎟
⎝0 0 … 1⎠
Sean A, B, C matrices cuadradas cualesquiera de L(n,n). Además de las
propiedades por la suma (5), el producto de matrices cuadradas cumpli-
rá también las siguientes propiedades:
1) (A · B)· C = A · (B · C) asociativa
2) A · I = I · A = A elemento neutro (6)
3) A · (B + C) = A · B + A · C
(A + B) · C = A · C + B · C distributiva
Conviene destacar que la multiplicación de matrices no es conmutativa, es decir:
En general: A · B ≠ B · A.
Ejemplo 4
1 3⎞ 1 1⎞
A = ⎛ B=⎛ .
⎝–2 1⎠ ⎝3 2⎠
Comprobemos en este ejemplo que A · B ≠ B · A:
10 7⎞ –1 4⎞
AB = ⎛ BA = ⎛ .
⎝ 1 0⎠ ⎝ –1 11 ⎠
Un conjunto A dotado con dos operaciones: una suma, con las propie-
dades de grupo conmutativo, y un producto con las propiedades (5) y
(6), es un anillo con unidad. Si, además, el producto es conmutativo,
diremos que A es un anillo conmutativo con unidad .
Propiedades inmediatas
En un anillo conmutativo se cumplen las relaciones que presentamos a
continuación:
1) a ⋅ 0 = 0 .
2) a ⋅ ( –b ) = –( a ⋅ b ) = ( –a ) ⋅ b .
3) ( –a ) ⋅ ( –b ) = a ⋅ b.

14. © FUOC • P00/75004/00191 14 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
Demostración
1) Utilizando las propiedades distributiva y elemento neutro de la suma, resulta:
a ⋅ 0= a ⋅ (0 + 0)= a ⋅ 0 + a ⋅ 0 .
Y, simplificando, resulta a · 0 = 0.
2) Utilizando la propiedad anterior, el opuesto de la suma y la propiedad dis-
tributiva, resulta:
–( a ⋅ b ) = – ( a ⋅ b ) + 0 = – ( a ⋅ b ) + a ⋅ 0 = – ( a ⋅ b ) + a ⋅ ( b + ( –b ) )=
= ( – ( a ⋅ b ) + a ⋅ b ) + a ⋅ ( –b ) = 0 + a ⋅ ( –b )= a ⋅ ( –b ).
3) Resulta de la anterior y de –(–a) = a.
2.4. La transpuesta de una matriz
Dada una matriz, en ocasiones interesa intercambiar sus filas y sus columnas. La
matriz resultante se llama matriz transpuesta, y la denotaremos como At.
Así pues, si A = (a ij ) y At = (a tij ) tendremos a tij = a ji.
Ejemplo 5
Escribamos una matriz 3 × 4 y su transpuesta.
⎛ 3 –1 0 4⎞
A = ⎜ –1 0 3 1⎟
⎜ ⎟
⎝ 2 5 –1 0⎠
⎛ 3 –1 2⎞
⎜ ⎟
–1 0 5⎟
A = ⎜
t
.
⎜ 0 3 – 1⎟
⎜ ⎟
⎝ 4 1 0⎠
Es muy sencillo demostrar que:
(A + B)t = At + B t
(A ⋅ B)t = Bt ⋅ At
Diremos que una matriz cuadrada que sea igual a su transpuesta es simétrica .
Las matrices que son simétricas lo son respecto a la diagonal principal, y no
cambian al intercambiar filas por columnas.
Ejemplo 6
La matriz siguiente:
⎛ ⎞
⎜ 1 2 3 ⎟
A = ⎜ 2 –5 6 ⎟
⎜ ⎟
⎝ 3 6 7 ⎠
es simétrica: A = At, es decir: aij = a ji ∀i, j.

15. © FUOC • P00/75004/00191 15 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
También tienen interés las matrices con la propiedad de que su transpuesta es
igual a su opuesta. En este caso diremos que la matriz es antisimétrica . Las ma-
trices antisimétricas tienen necesariamente ceros en la diagonal principal.
Actividades
1. Sean las matrices siguientes:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
A = ⎜ 2 5⎟ B = ⎜ 3 –1 ⎟
⎝ –1 3 ⎠ ⎝ 4 8 ⎠
Comprobad que A · B ≠ B · A.
2 . El producto de una matriz por sí misma se denota en forma de potencia. De este modo,
pondremos A · A · A = A 3 , etc.
⎛ ⎞
Dada la matriz A = ⎜ 7 –2 ⎟ calculad:
⎝ –1 2 ⎠
a) 2 A3 – 5 A 2 + 4 A + 3 I .
t
b) A ⋅ A .
3 . Demostrad que (A · B)t = B t · A t.
4. Si A es una matriz 4 × 6:
a) ¿Es posible calcular A t · A y A · A t ?
b) Si es posible hacerlo, ¿cuántas filas y cuántas columnas tiene At · A?
c ) Ídem con A · A t .
d) ¿Tienen alguna otra característica especial las matrices anteriores?
5 . Dada la matriz:
⎛ ⎞
A= ⎜ a b ⎟
⎝ c d⎠
probad que si δ = ad – bc ≠ 0, entonces la matriz
1 ⎛ ⎞
At = - ⋅ ⎜ d –b ⎟
-
δ ⎝ –c a ⎠
es inversa de A, es decir A · At = A t · A = I.
6 . Sean:
⎛ x⎞ ⎛ a a a ⎞
⎜ ⎟ ⎜ 11 12 1 ⎟
x = ⎜ y ⎟ A = ⎜ a 12 a 22 a 2 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 1 ⎠ ⎝ a1 a2 a ⎠
Probad que:
x t ⋅ A ⋅ x = a 11 x 2 + 2 a 12 x y + a 22 y2 + 2 a 1 x + 2 a 2 y + a .
¿Qué tipo de matriz es A?
7. Dadas tres matrices cuadradas n × n A, B, C, probad la propiedad asociativa de la multipli-
cación, es decir, (A · B) · C = A · (B · C).

16. © FUOC • P00/75004/00191 16 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
3. Espacios vectoriales
Las matrices admiten también otra operación, que es la multiplicación de un
número o escalar. Estre producto se hace multiplicando cada elemento de la
matriz por el número en cuestión.
Para representar
La multiplicación por escalares también tiene propiedades características
los escalares...
y fáciles de demostrar. Para todo A, B, λ, µ se verifican las propiedades que
... utilizamos las letras griegas λ
presentamos a continuación: (lambda) y µ (mu).
1) λ · (µA) = (λµ) · A asociativa
2) 1 · A = A elemento neutro (7)
3) (λ + µ) · A = ( λA) + (µA)
λ · (A+B) = (λA) + (λB) distributiva
Un conjunto dado de una operación interna (que llamaremos suma) con es-
tructura de grupo conmutativo (5) y una multiplicación por escalares (elemen-
tos de un cuerpo) con las propiedades (7) decimos que tiene estructura de
espacio vectorial (sobre el cuerpo de los escalares).
El conjunto de matrices de L(m,n) con la suma y la multiplicación por
escalares forman un espacio vectorial.
Nos interesa destacar esta estructura de espacio vectorial que tienen las matri-
ces y que también tienen otros muchos conjuntos matemáticos, como por
ejemplo los polinomios.
La estructura de espacio vectorial de las matrices nos permitirá profundizar en
el tratamiento de los sistemas de ecuaciones.
Propiedades inmediatas
En un espacio vectorial se verifican las relaciones siguientes:
1) 0 ⋅ a = 0 .
2) λ ⋅ 0 = 0
3) ( –1 ) ⋅ a = –a

17. © FUOC • P00/75004/00191 17 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
Demostración
1) En efecto, 0 · a = (0 + 0) · a = 0 · a + 0 · a. Por lo tanto, añadiendo –0 · a a
los dos miembros y usando la asociatividad, resulta: 0 · a = 0.
2) La demostración es análoga a la anterior.
3) Utilizando las propiedades de espacio vectorial y la propiedad (1) resulta:
−a = −a + 0 · a = −a + (1 + (−1)) · a = −a + (1 · a + (−1) + (−1) · a) =
= (−a + a) + (−1) · a = 0 + (−1) · a = ( −1) · a
Ahora estudiaremos de forma detallada las características de los espacios vec-
toriales.
Para fijar ideas y por tratarse del espacio vectorial más natural, consideraremos el
conjunto de vectores-columna (o matrices de n filas y una sola columna).
Llamamos E n o espacio vectorial de n dimensiones sobre los números
reales al conjunto de vectores-columna de n componentes reales:
⎛ v1 ⎞
⎜ ⎟
v
v = ⎜ 2⎟ .
⎜ ⎟
..
.
⎜ ⎟
⎝ vn ⎠
La suma y la multiplicación por escalares en E n están definidas, siguiendo el
apartado anterior, así:
⎛ v 1⎞ ⎛ w 1 ⎞ ⎛ v 1 + w 1⎞
⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
..
..
..
v +w = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
.
.
.
⎜ ⎟
⎝ v n⎠ ⎝ w n ⎠ ⎝ v n + w n⎠
⎛ v 1⎞ ⎛ λ v1⎞
λv = λ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
..
..
.
.
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ v n⎠ ⎝ λ vn⎠
y cumplen las propiedades (5) y (7), que lo configuran como espacio vectorial.
3.1. Dependencia e independencia lineal
Dado un conjunto de vectores {v1 ,v2 ..., v k} de En, decimos que son li-
nealmente independientes si y sólo si la igualdad:
λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + … + λ kv k = 0 (9)

18. © FUOC • P00/75004/00191 18 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
se verifica únicamente para
λ1 = λ2 = … = λk = 0.
En el caso contrario decimos que son linealmente dependientes.
Por ejemplo, los vectores siguientes:
⎛ 1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞
⎜ 0⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 0⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
u1 = ⎜ 0⎟ , u 2 = ⎜ 0⎟ , …, u n = ⎜ 0⎟ (10)
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
...
...
...
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ 1⎠
son linealmente independientes, ya que de la ecuación:
⎛ λ 1⎞
⎜ ⎟
λ
λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + … + λn u n = ⎜ 2⎟ = 0
⎜ ⎟
...
⎜ ⎟
⎝ λ n⎠
se deriva: λ 1 = λ 2 = ... = λ n = 0 .
Además, los vectores de (10) verifican la propiedad de que todo vector de En
puede descomponerse de la forma:
⎛v 1⎞
v = ⎜ ⎟ = v 1 u 1 + … + vn un (11)
...
⎜ ⎟
⎝v n⎠
que se expresa diciendo que v es combinación lineal de los vectores u1 , ..., un.
Ejemplo 7
Los vectores siguientes:
⎛ 1⎞ ⎛ –2⎞ ⎛ –5⎞
v1 = ⎜ –2⎟ v2 = ⎜ 3⎟ v3 = ⎜ 7 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 5⎠ ⎝ –1⎠ ⎝ 2⎠
son linealmente dependientes, ya que podemos comprobar que:
v 1 + 3 v 2 – v3 = 0 ,
es decir, hay una combinación lineal de ellos igual a 0 donde no todos los escalares son 0.
Observamos que cualquier conjunto de vectores que contiene el vector 0 es li-
nealmente dependiente, ya que λ · 0 = 0 para cualquier λ ≠ 0, y por lo tanto en
la combinación lineal habrá un escalar diferente de 0.
La definición de independencia lineal que hemos visto no tiene en cuenta el
orden en el que se dan los vectores (por la propiedad conmutativa de la suma
de vectores).

19. © FUOC • P00/75004/00191 19 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
Es obvio también que cualquier subconjunto de un conjunto de vecto-
res linealmente independientes es linealmente independiente.
Supongamos que tenemos un conjunto de vectores v1 , ..., v k linealmente de-
pendiente, es decir, tal que hay constantes reales λi no todas nulas para las que
se verifica (9). Si, por ejemplo, se cumple λ i ≠ 0, entonces se puede aislar vi de
la forma siguiente:
λ1 λi 1 λk
v i = – --v 1 – … – --–- i – 1 – … – --v k .
--
- ---
-- -v
- --
-
λi λi λi
Decimos que vi es combinación lineal de los restantes vectores del conjunto
v1, ..., vk .
Recíprocamente, si v es combinación lineal de v1 , ..., vk , entonces los vectores
v, v1 , ..., v k son linealmente dependientes.
3.2. Bases
Decimos que un conjunto de vectores {e 1 , ..., e k} es una base de En si:
1) {e1 , ..., ek} son linealmente independientes,
2) todo vector de E n puede expresarse como combinación lineal de
{e 1 , ..., e k}.
Los vectores (10) son una base de E n, ya que verifican las dos condiciones an-
teriores, como ya hemos visto. Este conjunto de vectores recibe el nombre de
base canónica de En.
Proposición 1
La expresión de un vector en una base es única
Demostración
En efecto, sea {e1 , ..., ek } una base del espacio. Por la segunda condición de la
definición de base, cualquier vector v de En puede ser expresado en esta base,
es decir, existen v1 , ..., vk escalares tales que:
v = v 1e 1 + … + v k e k.

20. © FUOC • P00/75004/00191 20 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
Si hubiese otra expresión de v en la base dada, por ejemplo la siguiente:
v = v′ 1 e 1 + … + v′ k e k
restando las dos ecuaciones obtendríamos:
0 = ( v1 – v′1 )e 1 + … + ( v k – v ′ k) e k
Como los ei son linealmente independientes (por la primera condición de la
definición de base), esta ecuación implica:
v1 − v’ 1 = v 2 − v’ 2 = ... = vk − v’k = 0 es decir, v1 = v’1 , ..., v k = v’k
y por lo tanto las dos expresiones de v son idénticas. Es decir, la expresión es
única, que es lo que queríamos demostrar.
Los coeficientes vi que multiplican los vectores ei de la base se llaman
componentes del vector v en la base {e1, ..., ek}.
Ahora analizaremos cómo son las bases de En.
Proposición 2
Sean v 1 , ..., v n los componentes del vector v en la base canónica (10)
{u 1 , ..., un }:
v = v 1u 1 + … + v nu n.
Entonces, si v 1 ≠ 0, los vectores {v, u2 , ..., un } forman una nueva base de E n.
Demostración
Debemos ver que { u2 , ..., un } cumplen las dos condiciones necesarias para
v,
ser una base:
1) Probamos que son linealmente independientes:
De la ecuación:
λ 1 v + λ 2 u2 + … + λn u n = 0 (12)
se deriva:
λ 1 ( v 1 u 1 + … + v n u n) + λ 2 u 2 + … + λ n un = 0 ,

21. © FUOC • P00/75004/00191 21 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
que implica:
λ 1 v 1 u 1 + ( λ 1 v2 + λ 2 )u 2 + … + ( λ 1 v n + λ n ) un = 0 ,
y por la independencia lineal de los vectores de la base canónica, resulta:
λ 1 v 1 = 0, λ 1 v 2 + λ 2 = 0, …, λ1v n + λn = 0 ,
Como por hipótesis se cumple v1 ≠ 0, la primera de las ecuaciones anteriores
implica λ1 = 0 y, sustituyendo esta solución en las otras, se obtiene: λ 2 = ... = λ n = 0.
Por lo tanto, queda probado que (12) implica que λ i = 0 para todo i = 1, ..., n
y los vectores son linealmente independientes.
2) Debemos ver que todo vector w de E n se puede expresar como combinación
lineal de {v, u2 , ..., un }.
A partir de la expresión (11) de v en la base canónica, teniendo en cuenta que
v1 ≠ 0, obtenemos:
1 v2 v
u1 = --v 1 – --u 2 – … – -n n .
--
- --
- --
--u (13)
v1 v1 v1
Sea ahora w un vector cualquiera, que expresado en la base canónica es:
w = w 1 u 1 + … + wn u n .
Empleando (13) obtenemos:
1 v vn
w = w 1 ⎛ --v – -2 2 – … – --un⎞ + w2 u2 + … + w n u n =
--
- --
--u --
-
⎝v1 v1 v1 ⎠
w1 w 1 v2 w 1v n
= -- + ⎛ w 2 – ---- ⎞ u2 + … + ⎛ wn – ---- ⎞ u n
--
--v ----
---- ----
----
v1 ⎝ v1 ⎠ ⎝ v1 ⎠
que prueba que cualquier vector de E n se puede escribir como combinación li-
neal de los vectores {v, u 2, ..., un }
Teorema 1: teorema de Steinitz
Si {e1 , ..., e k} son k vectores de E n linealmente independientes (con k ≤ n),
entonces podemos sustituir k vectores convenientemente elegidos de la
base canónica (10) {u1 ,.., un } para formar una nueva base de En.

22. © FUOC • P00/75004/00191 22 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
Demostración:
Sean {e1 , ... e k} linealmente independientes. Por lo tanto, e 1 ≠ 0. Ponemos:
e 1 = a 11 u1 + … + a 1n un .
Algún componente a 1j será diferente de 0, ya que, si no, e 1 sería 0. Para fijar
ideas suponemos que es a 11 ≠ 0 .
Para la proposición 2 podemos formar la nueva base [e1 , u2 , ..., un ]. Si k > 1,
expresamos e2 en la nueva base:
e 2 = a 21 e 1 + a 22 u 2 + … + a 2n un .
Necesariamente, alguno de los a 22 , a 23 , ..., a2n debe ser diferente de cero, ya que
si no, la expresión anterior implicaría que {e 1 , e 2 } son linealmente depen-
dientes, contra la hipótesis. Supongamos también, para fijar ideas, que sea
a 2 2 ≠ 0. Aplicando nuevamente la proposición 2 pasaremos a la nueva base
{e 1,e 2,u 3 ..., u n }.
Continuando por el mismo procedimiento llegaremos a sustituir k vectores
convenientemente elegidos de la base canónica por los vectores {e 1 , ..., ek }, tal
como queríamos.
De aquí se deducen inmediatamente los teoremas siguientes.
Teorema 2
Todo conjunto {v 1 , ..., vk } de vectores de E n linealmente independientes
consta de k ≤ n vectores, y es una base si y sólo si k = n.
Teorema 3
El número de vectores de todas las bases de En es n, y decimos que n es
la dimensión de En .
Así, pues, el teorema 2 nos dice que no podemos tener una cantidad de vec-
tores mayor que la dimensión del espacio y que sean linealmente indepen-
dientes.
Ejemplo 8
Dados los dos vectores:
⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞
e 1 = ⎜ 3⎟ e 2 = ⎜ –1⎟ .
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ –2⎠ ⎝ 1⎠

23. © FUOC • P00/75004/00191 23 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
a) Comprobemos que son linealmente independientes.
b) Formemos una base de E 3 completando {e1 , e2} con vectores de la base canónica.
Solución
a) La ecuación λ 1 e 1 + λ 2 e2 = 0 lleva al sistema 3 λ 1 – λ 2 = 0, –2λ 1 + λ 2 = 0, que implica
λ 1 = λ 2 = 0. Por lo tanto, son linealmente independientes.
b) Siguiendo la construcción del teorema de Steinitz y la proposición 2, empezamos por sus-
tituir e 1 por un vector conveniente de la base canónica. Como el primer componente de e1
en la base {u 1,u2,u 3} es 0, no podemos sustituir u 1 por e1. En cambio, e 1 sí que puede sustituir
u 2, ya que el segundo componente es diferente de 0. De este modo, tenemos la nueva base
{u 1,e1,u 3}.
Tenemos:
⎛ 0⎞
e 1 = ⎜ 3⎟ = 3 u 2 – 2 u 3 ,
⎜ ⎟
⎝ –2⎠
de donde resulta:
1 2
u2 = - e 1 + - u3 .
-
- -
3 3
Ahora tenemos que expresar e2 en la nueva base. Tendremos:
⎛ 0⎞
e 2 = ⎜ –1⎟ = – u 2 + u 3 = – ⎛ 1 1 + 2 u 3 ⎞ + u 3 = – 1 e 1 + 1 3 .
-
-
-e -
- -
- -
-
-u
⎜ ⎟ ⎝3 3 ⎠ 3 3
⎝ 1⎠
Como el componte según u 3 es diferente de 0, resulta que e2 puede sustituir a u3 . De este
modo, finalmente tenemos la base {u 1,e1,e 2}
Todavía podemos expresar u 2 y u 3 en la nueva base:
u 3 = e1 + 3 e2
1 2
u2 = - 1 + - (e 1 + 3 e 2 ) = e 1 + 2 e 2 .
-
-e -
3 3
Ejemplo 9
Escribamos la base canónica para el espacio vectorial de las matrices n × m. ¿Qué dimensión
tiene?
La base canónica estará formada por cada una de las matrices que tienen un 1 en una posi-
ción diferente y todo el resto 0.
⎛1 0 … 0⎞ ⎛0 1 … 0⎞ ⎛0 0 … 1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜0 0 … 0⎟ ⎜0 0 … 0⎟ ⎜0 0 … 0⎟
⎟, …,
⎜ ⎜ ⎟, ⎜ ⎟
...
...
...
...
...
...
...
...
...
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝0 0 … 0⎠ ⎝0 0 … 0⎠ ⎝0 0 … 0⎠
⎛0 0 … 0⎞ ⎛0 0 … 0⎞ ⎛0 0 … 0⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜1 0 … 0⎟ ⎜0 1 … 0⎟ ⎜0 0 … 1⎟
…,
⎜ ⎟, ⎜ ⎟, ⎜ ⎟
...
...
...
...
...
...
...
...
...
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝0 0 … 0⎠ ⎝0 0 … 0⎠ ⎝0 0 … 0⎠
...
...
...
⎛0 0 … 0⎞ ⎛0 0 … 0⎞ ⎛0 0 … 0⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜0 0 … 0⎟ ⎜0 0 … 0⎟ ⎜0 0 … 0⎟
, , …,
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
...
...
...
...
...
...
...
...
...
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝1 0 … 0⎠ ⎝0 1 … 0⎠ ⎝0 0 … 1⎠

24. © FUOC • P00/75004/00191 24 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
Es inmediato comprobar que las matrices anteriores son linealmente independientes y que
toda matriz puede expresarse como combinación lineal de éstas. En consecuencia, forman
una base y la dimensión del espacio vectorial de las matrices n × m es n · m.
3.3. Subespacios vectoriales y rango
Consideremos un conjunto F de vectores de E n´ tales que si contiene los vecto-
res v y w también contiene su suma v + w, y con cada vector v contiene tam-
bién el producto para cualquier número λ, es decir, λv.
En un conjunto así, cada vector v contiene su opuesto −v = (−1)v. Por lo tanto,
con cada par de vectores v y w contiene su diferencia v − w y de este modo
contiene el cero. Esto hace que sea un subgrupo del grupo aditivo de los vec-
tores de En . Como además también contiene el producto de cada vector por
cualquier escalar, y las propiedades (5) y (7) continúan siendo válidas, el con-
junto F en cuestión tiene estructura de espacio vectorial, y decimos que es un
subespacio vectorial de En.
Decimos que un conjunto de vectores F ⊂ En es un subespacio vectorial
de En si, y sólo si:
1) Para cada dos vectores v y w que contiene, contiene también su
suma v + w.
2) Para cada vector v que contiene, contiene también su producto por
cualquier escalar λ, es decir, contiene λv.
Ejemplo 10
El conjunto de múltiplos de un vector v cualquiera es un subespacio vectorial, es decir, tene-
mos que:
F 1 = { λv λ ∈ R } .
En particular, siv es el vector 0 , el subespacio se reduce al vector 0, que por sí solo constituye
un subespacio vectorial trivial, que decimos que es de dimensión 0.
Si v ≠ 0 , entonces, el subespacio F1 tiene dimensión 1, ya que v es una base de F1 .
De forma análoga podemos definir los generadores de F.
Dados k vectores {v1 , ..., v k }, el conjunto siguiente:
F = { λ 1 v 1 + … + λk v k λ 1 ∈ R , …, λ k ∈ R }
es un subespacio vectorial de E n ’, que llamamos subespacio vecto-
rial generado por los vectores {v 1 , ..., v k }. Decimos que los vectores
{v 1 , ..., v k } son un conjunto de generadores de F.

25. © FUOC • P00/75004/00191 25 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
Por el teorema 2, en En no puede haber más de n vectores linealmente inde-
pendientes. Por lo tanto, F no puede contener tampoco más de n vectores li-
nealmente independientes.
De este modo, la dimensión de un subespacio vectorial F de En es menor o
El rango...
igual que n, y es igual al número de vectores que contiene cualquier base de F.
... lo representamos con la letra
(Todas tienen el mismo número, según el análogo del teorema 3 para los sub- griega ρ (ro), correspondiente
espacios). a nuestra r.
En el próximo apartado de este
Llamaremos rango de un conjunto de k vectores {v1 , ..., v k } de E n a la mismo módulo didáctico
aprenderemos a determinar el rango de
un conjunto de vectores. Lo haremos por
dimensión del subespacio que generan. el método de Gausss.
En particular se tiene que el rango es menor o igual que k.
Actividades
8. Consideremos los vectores e1 = (2, 0, –3) y e2 = (–1, 3, 5):
a) Probad que son linealmente independientes.
b) ¿Es posible completar con u 3 para formar una base de E 3 ? ¿Por qué?
c) Expresad un vector cualquiera v = (v 1 , v2 , v3 ) en la nueva base.
d) Expresad u1 y u 2 en la nueva base.
9. Consideremos los mismos vectores { e1 ,e 2} de la actividad 8:
a) Encontrad una nueva base del subespacio generado por { e 1 ,e2 } que esté formada
′
por e 1 y otro vector e 2 tal que su primer componente expresado en la base canónica
sea 0. ¿Es posible? ¿Por qué?
b) Expresad e 2 en la nueva base.
10. Decid si son subespacios vectoriales los subconjuntos de R 3 siguientes:
a) { ( x, y, z) ∈ R 3 : – 3 x + 2 y + z = 0 } .
b) { ( x, y, z) ∈ R 3 : 5 x + 2 y – 7 z = 3 } .
c) { ( x , y, z) ∈ R 3 : x ≥ 0 } .
11. Sea F(R,R) el conjunto de funciones reales de variable real. Decid si son subespacios
vectoriales los subconjuntos de F(R,R) siguientes:
a) { f ∈ F ( R , R ) : f ( 1 ) = k } .
b) { f ∈ F ( R, R ) : f ( 0 ) = 2 f ( 1) } .
c) { f ∈ F ( R , R ) : f ( –x ) = f 2 ( x ) }.

26. © FUOC • P00/75004/00191 26 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
4. El método de Gauss
Comencemos ahora el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Dado un
sistema de ecuaciones lineales (1), lo que nos interesa es saber si tiene solucio-
nes y cuáles son.
Por ello podemos transformarlo en otro equivalente, en el sentido de que, te-
niendo las mismas soluciones, sea más fácil de resolver. Hay sistemas que tie-
nen una solución inmediata.
Por ejemplo, el sistema:
Karl F. Gauss
3x + 2y + z = 1 ⎫ (1777-1855)...
⎪
y – 2z = 2 ⎬ ... llamado Princeps Mathemati-
⎪
2z = –1 ⎭ corum (príncipe de los matemá-
ticos), ha sido, tal vez, el mayor
matemático de la historia. Fue
también, como E. Galois, un
niño precoz: a los 3 años descu-
es inmediato de resolver por sustitución hacia atrás: aislamos la z en la tercera brió un error de cálculo en la
paga de los obreros que tenía su
ecuación, después la sustituimos en la segunda para aislar la y, y, finalmente, padre (no sabemos si a favor de
sustituimos la y y la z en la primera y aislamos la x. De este modo, tenemos: los obreros o de su padre).
1 ⎫
z = –-
-
-
2 ⎪
⎪
1 ⎪
y = 2 + 2z = 2 + 2 ⎛ –-⎞ = 1
-⎠
- ⎬.
⎝ 2
⎪
⎪
1 1⎛ 1⎞ 1 ⎪
x = - ( 1 – 2y – z ) = - ⎝ 1 – 2 + -⎠ = –-
-
- -
- -
- -
-
3 3 2 6 ⎭
Decimos que un sistema como el del ejemplo está en forma triangular, ya que
la matriz del sistema tiene ceros en la parte inferior izquierda de la diagonal
principal.
El método de Gauss consiste en ir transformando el sistema de partida
en otro equivalente, de tal modo que nos acerquemos, paso a paso, a un
sistema como el del ejemplo, con ceros en la parte inferior izquierda. Ya
discutiremos cuál es la forma final más simple que podemos obtener.
En el objetivo de reducir el sistema a otro con las mismas soluciones pero más
sencillo, el método de Gauss utiliza tres tipos de transformaciones que presen-
tamos a continuación.

27. © FUOC • P00/75004/00191 27 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
Transformaciones empleadas por el método de Gauss:
a) Transformación 1: permutar dos filas entre sí.
b) Transformación 2: añadir a una fila una paralela previamente multi-
plicada por un número.
c) Transformación 3: multiplicar (o dividir) una fila por un número di-
ferente de cero.
Obviamente la primera y la tercera transformación no modifican las soluciones.
Para probar que la segunda no modifica las soluciones del sistema, debemos
probar que toda solución de (1) es solución del sistema transformado siguiente:
a 11 x 1 + … + a 1n x n = b 1 ⎫
⎪
...
...
...
⎪
a i1 x 1 + … + a in x n = b i ⎪
⎪
...
...
...
⎪
⎪
a j – 1, 1 x 1 + … + a j – 1 , n x n = b j – 1 ⎬ (14)
⎪
( a j1 + λ a i1 )x 1 + … + ( a jn + λ a in )x n = b j + λ b i ⎪
⎪
a j + 1, 1 x 1 + … + a j + 1, n x n = b j + 1 ⎪
⎪
...
...
...
⎪
a m 1 x 1 + … + a mnx n = b m ⎭
y recíprocamente.
Pero esto es obvio: toda solución de (1) verifica (14), ya que la única ecuación
diferente, la j-ésima, es una combinación lineal de la i-ésima y j-ésima ecua-
ciones de (1), y recíprocamente, toda solución de (14) lo es de (1), ya que la
ecuación diferente, la j-ésima ecuación de (1), es igual a la j-ésima ecuación de
(14) menos λ por la ecuación i-ésima.
El método de Gauss empieza eligiendo como primera ecuación una de las
ecuaciones del sistema por la que el coeficiente de la x 1 sea diferente de cero
(transformación 1, si es necesario). El coeficiente de la x1 de la primera ecua-
ción mencionado será el primer pivote elegido. A partir de aquí dejamos fijada
la primera ecuación:
a ′11 x 1 + a′ 12 x 2 + … + a ′1n x n = b ′1 . ⎫
⎬
...
...
...
...
⎭
A continuación reducimos a cero los restantes coeficientes de x 1 en las otras
ecuaciones (transformación 2 para cada ecuación), utilizando el pivote elegi-
do. Para ello restamos a cada una de las demás ecuaciones la primera ecuación
multiplicada por el coeficiente de x 1 en la misma ecuación y dividida por el

28. © FUOC • P00/75004/00191 28 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
pivote. De este modo sustituimos la fila i por la fila i menos la fila 1 multipli-
a i1
cada por ---. La nueva fila i será:
--
--
a 11
a i1 a i1 a i1
0 + ⎛ a i2 – ---a 12⎞ x 2 + ⎛ a i3 – --- 13⎞ x 3 + … + ⎛ a in – ---a 1 n⎞ x n =
--
-- -- a
-- --
-- ⎠
⎝ a 11 ⎠ ⎝ a 11 ⎠ ⎝ a 11
a i1
= b i – ---b 1 .
--
--
a 11
De este modo la ecuación resultante tendrá coeficiente de la x1 igual a cero.
Esto lo hacemos para las filas que van de la 2 hasta n.
A continuación seleccionamos, entre las ecuaciones transformadas, una que
tenga el coeficiente de la x 2 diferente de cero y la ponemos como segunda
ecuación. Si todas tuviesen coeficiente de la x2 nulo pasaríamos a la x 3 , etc. To-
mando como pivote el primer coeficiente no nulo de la que hemos elegido
como segunda ecuación, repetimos el proceso con el resto de las ecuaciones y
así sucesivamente.
Procediendo así, acabaremos reduciendo el sistema completamente a una for-
ma que tiene ceros en la parte inferior izquierda de forma escalonada.
Pongamos un ejemplo de ello.
Ejemplo 11
Resolvamos el sistema siguiente:
2x + 3 y + z = 6 ⎫
⎪
x – 2y – 5 z = 5 ⎬ .
⎪
3x + 5y + 3z = 8 ⎭
Fijamos la primera ecuación, ya que el coeficiente de la x es 2 y es diferente de cero.
Éste será el primer pivote. Para eliminar la x en la segunda ecuación multiplicamos la
primera por –1/2 y la sumamos a la segunda. Para eliminarla de la tercera, multiplica-
mos la primera por –3/2 y la sumamos a la tercera. con estas operaciones, el sistema
queda reducido a:
2x + 3y + z = 6 ⎫
⎪
–7 ⁄ 2 y − 1 1 ⁄ 2 z = 2 ⎬.
⎪
1 ⁄ 2 y + 3 ⁄ 2 z = –1 ⎭
A continuación tomamos como pivote el coeficiente de la y en la segunda ecuación, es decir,
–7/2. Por lo tanto, dejamos fijada también esta ecuación y eliminamos la y de la tercera. Para
hacer esto, debemos multiplicar la segunda ecuación por 1/7 y sumarla a la tercera. El sistema
será ahora:
2x + 3y + z = 6 ⎫
⎪
–7 ⁄ 2 y − 1 1 ⁄ 2z = 2 ⎬.
⎪
5 ⁄ 7z = – ⁄7 ⎭
5
Cuando hayamos llegado a este punto, el sistema habrá quedado triangular. Podemos aislar
la z de la última ecuación y tendremos:
z = –1.

29. © FUOC • P00/75004/00191 29 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
Sustituyéndola en la segunda, podemos aislar la y:
y = –- ⎛ 2 + 11 ⎞ = –2 ⎛2 – 11 ⎞ = 1 .
2
- --
--
--z -
-
- --
--
--
7⎝ 2 ⎠ 7⎝ 2 ⎠
Finalmente, sustituyendo z e y en la primera obtendremos:
1 1
x = - ( 6 – 3 y – z ) = - ( 6 – 3 + 1 ) = 2.
- -
2 2
Una forma más clara de seguir el procedimiento es utilizar la notación matricial. La matriz
ampliada del sistema dado es:
⎛2 3 1 6⎞
⎜ ⎟
⎜1 –2 –5 5⎟ .
⎜ ⎟
⎝3 5 3 8⎠
En el primer paso hemos elegido como pivote el coeficiente a 11 = 2, y lo que hemos hecho
ha sido multiplicar la primera fila por –1/2 y sumar el resultado a la segunda, y multiplicar la
primera fila por –3/2 y sumar el resultado a la tercera. El resultado es ahora:
⎛ 2 3 1 6⎞
⎜ ⎟
⎜0 –7 ⁄ 2 –11 ⁄ 2 2 ⎟ .
⎝0 1 ⁄2 3 ⁄ 2 –1⎠
En el segundo paso, el pivote elegido es a 22 = –7/2. Repetimos la operación multiplicando la
segunda fila por 1/7 y sumando el resultado a la tercera. Con esto obtenemos la matriz trian-
gular:
⎛2 3 1 6 ⎞
⎜ ⎟
⎜0 –7 ⁄ 2 –11 ⁄ 2 2 ⎟. (15)
⎝0 0 5 ⁄ 7 –5 ⁄ 7⎠
No todos los sistemas tendrán siempre una única solución, como sucedía en
el ejemplo anterior. Veamos un caso de ello en el ejemplo siguiente:
Ejemplo 12
Resolvamos el sistema siguiente:
x + y –z = 0 ⎫
⎪
– 2x + 3z = 5 ⎬.
⎪
x + 5 y + z = 1 0⎭
La matriz del sistema es:
⎛ 1 1 –1 0 ⎞
⎜ ⎟.
⎜ –2 0 3 5 ⎟
⎝ 1 5 1 10⎠
Aplicándole el método de Gauss (segunda transformación tres veces) obtenemos la matriz si-
guiente:
⎛1 1 –1 0 ⎞ ⎛1 1 – 1 0⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜0 2 1 5 ⎟→⎜ 0 2 1 5⎟ .
⎝0 4 2 10 ⎠ ⎝ 0 0 0 0⎠
La matriz final tiene una fila menos que incógnitas, y ahora resulta que tenemos un grado
de libertad para elegir la z, que puede tomar cualquier valor; esto se debe a que la tercera ecua-
ción, que es la que queda con esta variable, es 0 · z = 0, que se cumple para cualquier valor
real de z. Ponemos, entonces, z = t .

30. © FUOC • P00/75004/00191 30 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
Sustituyendo esta expresión en y, y las dos en x, obtenemos que la solución general del siste-
ma depende de un parámetro arbitrario t, y es la siguiente:
z = t ⎫
⎪
y = 1 ⁄ 2 ⋅ (5 – z ) = 1 ⁄ 2 ⋅ ( 5 – t ) ⎬.
⎪
x = z – y = t – 1 ⁄ 2 ⋅ ( 5 – t ) = 1 ⁄ 2 ⋅ ( 3t – 5 ) ⎭
En la eliminación podemos encontrarnos en la situación de tener que permu-
tar filas (primera transformación), ya que el elemento diagonal que en princi-
pio tomaríamos como pivote se ha anulado.
No hay ningún inconveniente en permutar filas para obtener un pivote diferen-
te de cero y poder continuar así el proceso de eliminación en forma triangular,
pero también puede ocurrir que todos los elementos de la columna sean cero.
Ejemplo 13
Ponemos un ejemplo con cinco variables x1 , x2 , x3 , x4 , x5.
Resolvemos el sistema que tiene la matriz ampliada siguiente:
⎛ 1 –1 2 0 2 3⎞
⎜ ⎟
⎜ 1 –1 2 0 3 5⎟
⎜ 1 0 2 3 6 1 ⎟.
⎜ ⎟
⎜–1 2 –2 4 4 –6⎟
⎜ ⎟
⎜ 2 –2 4 0 5 8⎟
⎝ 1 –1 2 0 1 1⎠
Tomamos como pivote el elemento de la primera fila y primera columna a11 , y reducimos a
cero los restantes de la primera columna. El resultado es:
⎛ 1 –1 2 0 2 3⎞
⎜ ⎟
⎜ 0 0 0 0 1 2⎟
⎜ 0 1 0 3 4 –2⎟ .
⎜ ⎟
⎜ 0 1 0 4 6 –3⎟
⎜ ⎟
⎜ 0 0 0 0 1 2⎟
⎝ ⎠
0 0 0 0 –1 –2
Ahora tomamos como pivote el elemento de la segunda columna y tercera fila, y permuta-
mos así la segunda fila y la tercera:
⎛ 1 –1 2 0 2 3⎞
⎜
⎜ 0 1 0 3 4 –2⎟
⎟
⎜ 0 0 0 0 1 2⎟ .
⎜ ⎟
⎜ 0 0 0 1 2 –3⎟
⎜ ⎟
⎜ 0 0 0 0 1 2⎟
⎝ 0 0 0 0 1 –2⎠
De nuevo reducimos a cero los elementos restantes de la segunda columna:
⎛ 1 –1 2 0 2 3⎞
⎜
⎜ 0 1 0 3 4 –2⎟
⎟
⎜ 0 0 0 0 1 2⎟
⎜ ⎟.
⎜ 0 0 0 1 2 –1⎟
⎜ ⎟
⎜ 0 0 0 0 1 2⎟
⎝ 0 0 0 0 –1 –2⎠
En este ejemplo ha resultado, además, que se han anulado también los restantes elementos
de la tercera columna.

31. © FUOC • P00/75004/00191 31 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
Tomamos como pivote el elemento de la cuarta fila y cuarta columna. Así, permutamos las
filas tercera y cuarta:
⎛ 1 –1 2 0 2 3⎞
⎜ ⎟
⎜ 0 1 0 3 4 –2⎟
⎜ 0 0 0 1 2 –1⎟ .
⎜ ⎟
⎜ 0 0 0 0 1 2⎟
⎜ ⎟
⎜ 0 0 0 0 1 2⎟
⎝ ⎠
0 0 0 0 – 1 –2
Finalmente, tomamos como pivote el elemento de la cuarta fila y quinta columna y el siste-
ma queda reducido completamente:
⎛ 1 –1 2 0 2 3⎞
⎜ ⎟
⎜ 0 1 0 3 4 –2⎟
⎜ 0 0 0 1 2 –1⎟ .
⎜ ⎟ (16)
⎜ 0 0 0 0 1 2⎟
⎜ ⎟
⎜ 0 0 0 0 0 0⎟
⎝ ⎠
0 0 0 0 0 0
Podemos ahora expresar la solución general de esta forma:
x5 = 2
x 4 = – 1 – 2 x 5 = –5
x3 = t
x2 = – 2 – 3 x4 – 4 x5 = 5
x 1 = 3 + x 2 – 2 x3 – 2 x 5 = 4 – 2 t
que, como vemos, depende de un parámetro arbitrario t (si bien en este ejemplo algunas in-
cógnitas tienen valor fijo, independientemente de t).
En este ejemplo hemos visto que, al reducir a cero los elementos de una co-
lumna (la segunda), se nos han reducido “por azar” los elementos de la si-
guiente. Cuando esto sucede podemos hacer también una permutación de
columnas, con el objetivo de continuar colocando el nuevo pivote en la dia-
gonal principal de la matriz, siempre que permutemos también el orden de las
variables correspondientes. Cuando reducimos con este criterio hablamos de
pivotamiento total. Esto no aporta nada esencial a la solución del sistema,
aparte del motivo estético que supone que los pivotes estén en la diagonal
principal. Por esta razón generalmente no lo haremos.
Pero si queremos, podemos hacerlo. De este modo, partiendo del sistema en la
forma (16), podríamos permutar las columnas tercera y cuarta y obtendríamos:
⎛ x1 x2 x4 x3 x5 ⎞
⎜ ⎟
⎜ 1 –1 0 2 2 3⎟
⎜ –2⎟
⎜ 0 1 3 0 4 ⎟
⎜ 0 0 1 0 2 –1⎟ .
⎜ ⎟
⎜ 0 0 0 0 1 2⎟
⎜ ⎟
⎜ 0 0 0 0 0 0⎟
⎝ 0 0 0 0 0 0⎠
Hemos tenido suerte, porque la tercera columna ha quedado automáticamen-
te reducida sin necesidad de hacer nada más. Nuevamente debemos permutar

32. © FUOC • P00/75004/00191 32 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
la columna cuarta y la quinta para llevar el pivote de la quinta columna a la
diagonal principal. El resultado es:
⎛ x1 x2 x4 x5 x3 ⎞
⎜ ⎟
⎜ 1 –1 0 2 2 3⎟
⎜ –2⎟
⎜ 0 1 3 4 0 ⎟
⎜ 0 0 1 2 0 –1⎟ .
⎜ ⎟
⎜ 0 0 0 1 0 2⎟
⎜ ⎟
⎜ 0 0 0 0 0 0⎟
⎝ 0 0 0 0 0 0⎠
La cuarta columna también ha quedado automáticamente reducida. Además, el
sistema está ya totalmente reducido. Las filas (o ecuaciones independientes) tie-
nen el pivote en la diagonal principal y las ecuaciones que no eran independien-
tes se han reducido a cero y podemos eliminarlas.
De donde obtenemos la solución:
x3 = t
x5 = 2
x 4 = – 1 – 2x 5 = –5
x 2 = – 2 – 3x 4 – 4x 5 = 5
x 1 = 3 + x 2 – 2x 3 = 4 – 2t
que, como vemos, coincide exactamente con la solución dada con pivota-
miento parcial.
Las soluciones del sistema pueden ponerse también en forma de vectores co-
lumna:
⎛ x 1⎞ ⎛4⎞
⎜ ⎟ ⎛ –2 ⎞
⎜ x 2⎟ ⎜5⎟ ⎜0⎟
⎜ x ⎟ = ⎜ 0 ⎟ + t⎜ 1 ⎟ .
x = ⎜ 3⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ x 4⎟ ⎜ –5 ⎟ ⎜0⎟
⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝0⎠
⎝ x 5⎠
Veamos ahora otro ejemplo.
Ejemplo 14
Resolvamos el sistema que tiene por matriz ampliada:
⎛7 –3 –1 0⎞
⎜ ⎟
⎜4 2 8 5⎟ .
⎝3 –5 –9 7⎠
Procedemos a reducir la primera columna tomando como pivote el coeficiente a 11 = 7. El re-
sultado es:
⎛ 7 –3 –1 0⎞
⎜ ⎟
⎜ 0 26 ⁄ 7 60 ⁄ 7 5⎟ .
⎝0 –26 ⁄ 7 –6 0 ⁄ 7 7⎠