Analisis Numerico: Eliminacion de Gauss, Sistema de ecuaciones lineales, Gauss - Jordan y Gauss - Seidel

1. Republica bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño
Análisis Numérico
Sede Barcelona
Asignación N°2
Profesor: Bachiller:
Pedro Beltrán Julio Morales
Barcelona, Marzo del 2019.-

2. Introducción
Las matemáticas en la actualidad siguen siendo una materia importante
para dar solución a los problemas que se nos presentan día a día, por ello
es necesario, entenderla y aplicarla para desarrollar diferentes procesos
mentales además de habilidades matemáticas que todos los seres
humanos debemos de usar, es por ello que en la asignatura de
matemáticas IV, la propuesta del análisis sobre el método de eliminación
Gaussiana y el método de Gauss – Jordan para resolver ecuaciones
lineales en el presente ensayo, es para desarrollar las competencias
necesarias para el logro del objetivo.

3. Desarrollo
Sistema de Ecuaciones Lineales
Un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal
de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones
lineales, es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de
primer grado, definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un claro
ejemplo de sistemas de ecuaciones lineales seria el siguiente:
3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥33= 1
2𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 = −2
−𝑥1 +
1
2
𝑥2 − 𝑥3 = 0

4. El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables
𝑥1, 𝑥2 𝑦 𝑥3 que satisfacen a las 3 ecuaciones.
El asunto de lo sistemas lineales de ecuaciones es uno de los mas antiguos
de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en
procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción
y mas generalmente en programación lineal así como en la aproximación de
problemas no lineal de análisis numérico.
Un sistema con n incógnitas se puede representar en el n-espacio
correspondiente.
En lo sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistemas será el
plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será
representada por una recta. La solución será el punto o línea donde se
intersequen todas las rectas que representan a las ecuaciones.

5. Si no existe ningún punto en el que intersequen al mimo tiempo todas las líneas, el
sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución.
En el caso de un sistema de 3 incógnitas, el universo será el espacio
tridimensional, siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los
planos intersecan en un único punto, las coordenadas de estas serán la solución al
sistema. Si, por el contrario, la intersección de todos ellos es una recta o incluso un
plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los
puntos que forman dicha línea o superficie.
Para sistemas de 4 o mas incógnitas, la representación grafica no existe, por lo
que dichos problemas no se enfocan desde esta óptica.
Podemos averiguar si un sistema es o no es compatible mediante el teorema de
Rouche – Frobenius que establece que un sistema de ecuaciones lineales es
compatible solo si el rango de su matriz ampliada coincide con el de su matriz de
coeficientes.

6. Supongamos que el sistema es compatible. Si el valor común de los rangos de las
matrices coinciden con el numero de las variables, el sistema es compatible
determinado; en caso de lo contrario, es compatible indeterminad.
De un sistema que se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna
solución. Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:
𝑥 + 2𝑦 = 4
2𝑥 + 4𝑦 = 1236
Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la
misma pendiente, al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no
existe ningún valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.
Matemáticamente un sistema de estos es incompatible cuando el rango de la
matriz del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condición
necesaria para que esto suceda es que el determinante de la matriz sea cero:
Sistema incompatible det A = 0

7. Eliminación de Gauss
La eliminación de Gauss implica una combinación de ecuaciones para
eliminar las incógnitas. Aunque este es uno de los métodos mas antiguos
para resolver ecuaciones lineales simultaneas, continua siendo uno de los
algoritmos de mayor importancia, y es la base para resolver ecuaciones
lineales en muchos paquetes de software populares.
Este método consiste en operar sobre la matriz ampliada del sistema hasta
hallar la forma escalonada (una matriz triangular superior). Así, se obtiene
un sistema fácil de resolver por sustitución hacia atrás.
Si finalizamos las operaciones al hallar la forma escalonada reducida (forma
lo mas parecida a la matriz identidad), entonces el método se denomina
eliminación de Gauss – Jordan.

8. En los ejemplos veremos que una vez determinado el proceso, resolver el
sistema es directo. Además de esto, veremos que:
• Si se obtiene la matriz identidad, el sistema es compatible determinado
(como el sistema 1).
• Si se obtiene alguna fila de ceros con termino independiente distinto de 0,
el sistema es incompatible (como el sistema 2).
• Si se obtiene alguna fila de ceros y no estamos en el caso anterior, el
sistema es incompatible indeterminado (como en el sistema 3).
Forma escalonada y Escalonada Reducida
Dos formas especiales de matrices son la escalonada y escalonada
reducida. Una matriz puede tener las siguientes propiedades:
1. Todas las filas 0 están en la parte inferior de la matriz.
2. El primer elemento diferente de cero de cada fila, este es llamado
“Pivote”; esta a la derecha del pivote de la fila anterior (esto supone que
todos los elementos debajo de un pivote son 0.)

9. Si una matriz A cumple con esas propiedades, se dice Escalonada.
Además, cumpliendo estas otras condiciones que detallaremos a
continuación, decimos que la matriz se encuentra en la forma Escalona
reducida por filas, o simplemente en forma Escalona reducida.
1. Todos los elementos delanteros (“Pivotes”) son iguales a 1.
2. Todos los elementos por encima de los pivotes son nulos.
Cuando una matriz representa a un sistema de ecuaciones, situaciones
como la de tener una columna de ceros parece imposible ya que
correspondería a una variable que nunca habría aparecido. Sin embargo,
esta situación puede presentarse (imaginemos la ecuación de un plano en
el espacio en la que no aparece alguna de las componentes, por ejemplo:
𝑦 + 𝑧 = 5).

10. Así seria la matriz:
1 4 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 -1
También es una matriz escalona
Una vez que la matriz del sistema se ha transformado hasta obtener una matriz
escalona reducida es muy fácil discutirlo (es decir, determinar cuantas soluciones
tiene) :
1. Cuando aparece un pivote en la columna de los términos independientes el
sistema es incompatible (no tiene ninguna solución).
2. En otro caso el sistema es compatible. Si además el numero de pivotes
coincide con el numero de incógnitas el sistema es compatible determinado
(tiene una única solución). Cuando el numero de pivote es menor que el
numero de incógnitas el sistema es indeterminado (tiene infinita soluciones que
dependen de tantos parámetros como indique la diferencia entre el numero de
incógnitas y el numero de pivotes).

11. Ejemplo de eliminación de Gauss
Emplee la eliminación de Gauss para resolver:
3𝑥1 − 0.1𝑥2 − 0.2𝑥3 = 7.85 (Ec.1)
0.1𝑥1 + 7𝑥2 − 0.3𝑥3 = −19.3 (Ec.2)
0.3𝑥1 − 0.2𝑥2 + 10𝑥3 = 71.4 (Ec.3)
Efectué los cálculos con 6 cifras significativas
Solución: la primera parte del procedimiento es la eliminación hacia adelante. Se
multiplica la ecuación (Ec.1) por (0.1)/3 y se resta el resultado de la ecuación
(Ec.2) para obtener:
7.00333𝑥2 − 0.293333𝑥3 = −19.5617
Después, se multiplica la ecuación (Ec.1) por (0.3)/3 y se resta de la ecuación
(Ec.3) para eliminar 𝑥1. Luego de efectuar estas operaciones, el sistema de
ecuaciones es:

12. 3𝑥1 − 0.1𝑥2 − 0. 2𝑥3 = 7.85 (Ec.4)
7.00333𝑥2 − 0.293333𝑥3 = −19.5617 (Ec.5)
−0.190000𝑥2 + 10.0200𝑥3 = 70.6050 (Ec.6)
Para completar la eliminación hacia adelante, 𝑥2 debe eliminarse de la
ecuación (Ec.6). Para llevarse acabo esto, se multiplica la ecuación (Ec.5)
por −0.190000/7.00333 y se resta el resultado de la ecuación (Ec.6). Esto
elimina 𝑥2 de la tercera ecuación y reduce el sistema a una forma triangular
superior:
3𝑥1 − 0.1𝑥2 − 0.2𝑥3 = 7.85 (Ec.7)
7.00333𝑥2 − 0.293333𝑥3 = −19.5617 (Ec.8)
10.0200𝑥3 = 70.0843 (Ec.9)
Ahora se pueden resolver estas ecuaciones por sustitución atrás. En primer
lugar, la ecuación (Ec.9) se despeja 𝑥3.

13. 𝑥3 =
70.0843
10.0200
= 7.00003 (Ec.10)
Este resultado se sustituye en la ecuación (Ec.8)
7.00333𝑥2 − 0.293333 7.00003 = −19.5617
De la que se despeja
𝑥2 =
−19.5617+0.293333(7.00003)
7.00333
= −2.50000 (Ec.11)
Por ultimo, las ecuaciones (Ec.10) y (Ec.11) se sustituyen en la (Ec.4):
3𝑥1 − 0.1 −2.50000 − 0.2 7.00003 = 7.85

14. De la que se despeja 𝑥1:
𝑥1 =
7.85 + 0.1 −2.50000 + 0.2(7.00003)
3
= 3.00000
Aunque hay un pequeño error de redondeo en la ecuación (Ec.10), los
resultados son muy cercanos a la solución exacta, 𝑥1 = 3; 𝑥2 = −2.5 𝑦 𝑥3 =
7. Esto se verifica al sustituir los resultados en el sistema de ecuaciones
original:
3 3 − 0.1 −2.5 − 0.2 7.00003 = 7.84999 ≅ 7.85
0.1 3 + 7 −2.5 − 0.3 7.00003 = 19.3
0.3 3 − 0.2 −2.5 + 10 7.00003 = 71.4003 ≅ 71.4

15. Gauss – Jordan
El método de Gauss – Jordan es una variación de la eliminación de Gauss.
La principal diferencia consiste en que cuando una incognita se elimina en
el método de Gauss – Jordan, esta es eliminada de todas las otras
ecuaciones, no solo de las subsecuentes. Ademas, todos los renglones se
normalizan al dividirlos entre su elemento pivote. De esta forma, el paso de
la eliminación genera una matriz identidad en vez de una triangular. En
consecuencia, no es necesario usar la sustitución hacia atrás para obtener
la solución. El método se ilustra mejor con un ejemplo.
Ejemplo de Gauss – Jordan
Con la técnica de Gauss – Jordan resuelva el ejemplo anterior de la
eliminación de Gauss:
3𝑥1 − 0.1𝑥2 − 0.2𝑥3 = 7.85
0.1𝑥1 + 7𝑥2 − 0.3𝑥3 = −19.3
0.3𝑥1 − 0.2𝑥2 + 10𝑥3 = 71.4

16. Solución: Primero, exprese los coeficientes y el lado derecho como una
matriz aumentada:
3 -0.1 -0.2 7.85
0.1 7 -0.3 -19.3
0.3 -0.2 10 71.4
Luego normalice el primer renglón, dividiéndolo entre el elemento pivote, 3,
para obtener:
1 -0.0.333333 -0.066667 2.61667
0.1 7 -0.3 -19.3
0.3 -0.2 10 71.4

17. El termino 𝑥1 se elimina del segundo renglón restando 0.1 veces el primer
renglón del segundo. En forma similar, restando 0.3 veces el primer renglón
del tercero, se elimina el termino 𝑥1 del tercer renglón:
1 -0.0333333 -0.061667 2.61667
0 1 -0.0418848 -2.79320
0 -0.190000 10.0200 70.6150
En seguida, se normaliza el segundo renglón dividiéndolo entre 7.00333:
1 -0.0333333 -0.066667 2.61667
0 1 -0.0418848 -2.79320
0 -0.190000 10.0200 70.6150

18. Al reducir los términos 𝑥2 de las ecuaciones primera y tercera se obtiene:
1 0 -0.0680629 2.52356
0 1 - 0.0418848 -2.79320
0 0 10.01200 70.0843
El tercer renglón se normaliza después al dividirlo entre 10.0120:
1 0 -0.0680629 2.52356
0 1 -0.418848 -2.79320
0 0 1 7.00003
Por ultimo, los términos 𝑥3 se pueden eliminar de la primera y segunda
ecuación para obtener:

19. 1 0 0 3.00000
0 1 0 -2.50001
0 0 1 7.00003
De esta forma, la matriz de coeficientes se ha transformado en la matriz
identidad, y la solución se obtiene en el vector del lado derecho. Si se
observa muy bien no se requiere la sustitución hacia atrás para llegar a la
solución.
Aunque la técnica de Gauss – Jordan y la eliminación de Gauss podrían
parecerse casi idénticas, la primera requiere mas trabajo, se determina que
el numero de flops que se involucra en la técnica de Gauss – Jordan simple
es:
𝑛3 + 𝑛2 − 𝑛 conforme n aumenta 𝑛3 + 𝑂(𝑛2)

20. Así, la técnica de Gauss – Jordan involucra aproximadamente 50 por ciento
mas operaciones que la eliminación de Gauss. Por tanto, la eliminación de
Gauss es el método de eliminación mas sencilla que se prefiere para
obtener las soluciones de ecuaciones algebraicas lineales. Sin embargo,
una de las razones principales por las que se ha introducido la técnica de
Gauss – Jordan, es que aun se utiliza tanto en la ingeniería como en ciertos
algoritmos numéricos.

21. Gauss – Seidel
El método de Gauss – Seidel es el método iterativo mas comúnmente
usado. Suponga que se da un sistema n de ecuaciones:
𝐴 𝑋 = {𝐵}
Suponga que se limita a un conjunto de ecuaciones de 3 x 3. Si los
elementos de la diagonal no son todos cero, la primera ecuación se puede
resolver para 𝑥1, la segunda para 𝑥2 y la tercera para 𝑥3, para obtener:
𝑥1 =
𝑏1−𝑎12 𝑥2−𝑎13 𝑥3
𝑎11
(Ec.a)

22. 𝑥2 =
𝑏2−𝑎21 𝑥1−𝑎23 𝑥3
𝑎22
(Ec.b)
𝑥3 =
𝑏3−𝑎31 𝑥1−𝑎32 𝑥2
𝑎33
(Ec.c)
Ahora, se puede empezar el proceso de solución al escoger valores
iniciales para las x. una forma simple para obtener los valores iniciales es
suponer que todos son cero. Estos ceros se sustituyen en la ecuación
(Ec.a), la cual se utiliza para calcular un nuevo valor 𝑥1 = 𝑏1
𝑎11 . Después,
se sustituye este nuevo valor de 𝑥1 junto con el valor previo cero de 𝑥3 en
la ecuación (Ec.b) y se calcula un nuevo valor de 𝑥2. Este proceso se repite
con la ecuación (Ec.c) para calcular un nuevo valor de 𝑥3. Después se
regresa a la primera ecuación y se repite todo el procedimiento hasta que la
solución converja lo suficientemente cerca de los valores verdaderos. La
convergencia se verifica con el criterio:
│ ∈ 𝑎,𝑖 │ = │
𝑥 𝑖
𝑗
−𝑥 𝑖
𝑗−1
𝑥 𝑖
𝑗 │100% <∈ 𝑠

23. Para todas las i, donde j y j-1 son las iteraciones actuales y previas,
respectivamente.
Ejemplo de Gauss – Seidel
Use el método de Gauss – Seidel para obtener la solución del sistema
usado en la eliminación de Gauss.
3𝑥1 − 0.1𝑥2 − 0.2𝑥3 = 7.85
0.1𝑥1 + 7𝑥2 − 0.3𝑥3 = −19.3
0.3𝑥1 − 0.2𝑥2 + 10𝑥3 = 71.4
Recuerde que la verdadera solución es 𝑥1 = 3, 𝑥2 = −2.5 𝑦 𝑥3 = 7.

24. Solución: primero, despeje la incógnita sobre la diagonal para cada una de
las ecuaciones.
𝑥1 =
7.85+0.1𝑥20.2𝑥3
3
(Ec.I)
𝑥2 =
−19.3−0.1𝑥1+0.3𝑥3
7
(Ec.II)
𝑥3 =
71.4−0.3𝑥1+0.2𝑥2
10
(EC.III)
Suponiendo que 𝑥1 y 𝑥2 son cero, se utiliza la ecuación (Ec.I) para calcular
𝑥1 =
7.85+0+0
3
= 2.616667
Este valor, junto con el valor de 𝑥3 = 0, se sustituye en la ecuación (Ec.II)
para calcular

25. 𝑥2 =
−19.3−0.1 2.616667 +0
7
= −2.794524
La primera iteración termina al sustituir los valores calculados para 𝑥1 𝑦 𝑥2
en la ecuación (Ec.III) para dar
𝑥3 =
71.4 − 0.3 2.616667 + 0.2(−2.794524)
10
= 7.005610
En la segunda iteración, se repite el mismo proceso para calcular
𝑥1 =
7.85+0.1 −2.794524 +0.2(7.005610)
3
= 2.990557 │ ∈ 𝑡 │ = 0.31%
𝑥2 =
−19.3−0.1 2.990557 +0.3(7.005610)
7
= −2.499625 │ ∈ 𝑡 │ = 0.015%

26. 𝑥3 =
71.4−0.3 2.990557 +0.2(−2.499625)
10
= 7.000291 │ ∈ 𝑡 │ = 0.0042%
El método es, por lo tanto, convergente hacia la verdadera solución. Es
posible aplicar iteraciones adicionales para mejorar los resultados. Sin
embargo, en un problema real, no se podría saber a priori el resultado
correcto. En consecuencia, la ecuación del criterio nos da un medio para
estimar el error. Por ejemplo para 𝑥1,
│ ∈ 𝑎,𝑖 │ = │
2.990557 − 2.616667
2.990557
│100% = 12.5%
Para 𝑥2 𝑦 𝑥3, los errores estimados son │ ∈ 𝑎,2 │ = 11.8% y │ ∈ 𝑎,3 │ =
0.076%. Observe que, como cuando se determinaron las raíces de una sola
ecuación, las formulaciones como la ecuación del criterio usualmente
ofrecen una valoración conservativa de la convergencia. Asi, cuando estas
se satisfacen, aseguran que el resultado se conozca con, al menos, la
tolerancia especificada por ∈ 𝑠.

27. Conforme un nuevo valor de x se calcula con el método de Gauss – Seidel,
este se usa inmediatamente en la siguiente ecuación para determinar el
otro valor de x. de esta forma, si la solución es convergente, se empleara la
mejor aproximación disponible. Un método alternativo, llamado iteración de
jacobi, emplea una táctica algo diferente. Mas que usar inmediatamente el
ultimo valor disponible de x, esta técnica usa la ecuación para calcular un
conjunto de nuevas x con base en un conjunto de x anteriores. De esta
forma, conforme se generen nuevos valores, no se usan en forma inmediata
sino que se retienen para la siguiente iteración.
Al inicio se vio como esta desventaja se puede evitar si la matriz de
coeficientes es bandeada. Para sistemas que no tienen la forma de banda,
generalmente no existe una forma simple para evitar los grandes
requerimientos de memoria cuando se utilizan los métodos de eliminación.
Como todas las computadoras tienen una cantidad de memoria finita, esta
ineficiencia llega a poner una limitación al tamaño de los sistemas, para los
cuales los métodos de eliminación son practicos.

28. Aunque un algoritmo general como la del criterio es propenso a la misma
restricción, la estructura de las ecuaciones de Gauss – Seidel permite que
se desarrollen programas concisos para sistemas específicos. Como solo
se necesita incluir coeficientes que no sean cero en la ecuación, es posible
lograr grandes ahorros de la memoria de la computadora. Aunque esto
implica mas inversión en el desarrollo de software, las ventajas a largo
plazo son sustanciales cuando se tienen grandes sistemas, en los cuales se
ejecutan muchas simulaciones. Tanto sistemas de variables localizadas
como distribuidas pueden dar como resultado matrices grandes y muy
esparcidas donde el método de Gauss – Seidel tiene utilidad.

29. Conclusión
Los métodos iterativos calculan la solución de un sistema de ecuaciones
mediante el uso de aproximaciones sucesivas, asignando inicialmente un
valor inicial, el error de truncamiento es el que lo caracteriza.
Cuando tenemos un sistema de ecuaciones de la forma Ax=b, entonces
podemos descomponer la matriz A en una matriz triangular inferior L y en
una matriz triangular superior U, equivalentes a A y aplicar métodos como
Crout, Doolittle, y Cholesky.

30. Bibliografía
Steven C. Chapra (2007) Métodos Numéricos para Ingenieros Quinta
Edición. México, McGraw – Hill Interamericana.