Sistemas de ecuaciones lineales

1. Sistemas de EcuacionesSistemas de Ecuaciones
Lineales.Lineales.
Selene Juárez

2. Sistema de Ecuaciones.Sistema de Ecuaciones.
 LaLa agrupación de dos o más ecuacionesagrupación de dos o más ecuaciones forma unforma un
sistema de ecuaciones.sistema de ecuaciones.
 La parte importante de un sistema de ecuaciones esLa parte importante de un sistema de ecuaciones es
aprender a construirlos, y saber resolverlos.aprender a construirlos, y saber resolverlos.
 Debemos encontrarDebemos encontrar valores x, yvalores x, y para los cualespara los cuales
ambas ecuaciones sean verdaderas de maneraambas ecuaciones sean verdaderas de manera
simultánea.simultánea.
 Estos valores son llamadosEstos valores son llamados solucionessoluciones al sistema.al sistema.

3. Cuando una situación debe serCuando una situación debe ser
descrita matemáticamente, no esdescrita matemáticamente, no es
raro que surja un conjunto deraro que surja un conjunto de
ecuaciones.ecuaciones.

4. Ejemplo.Ejemplo.
Establecer un plan de producción para 2Establecer un plan de producción para 2
modelos de un producto nuevo.modelos de un producto nuevo.
Modelo A
4 Piezas del tipo I
9 Piezas del tipo II
Modelo B
5 Piezas del tipo I
14 Piezas del tipo II

5. De sus proveedores la fabricaDe sus proveedores la fabrica
obtiene:obtiene:
335 piezas del tipo I
850 piezas del tipo II

6. De cada modelo, ¿Cuántos debeDe cada modelo, ¿Cuántos debe
producir cada día de modo queproducir cada día de modo que
todas las piezas del tipo I ytodas las piezas del tipo I y
piezas del tipo II sean utilizadas?piezas del tipo II sean utilizadas?

7. Solución.Solución. Es convenienteEs conveniente
construir una tabla que resuma laconstruir una tabla que resuma la
información importante.información importante.
Modelo
A
Modelo
B
Total
Disponible
Piezas del tipo
I 4 5 335
Piezas del tipo
II 9 14 850
Nuestra tabla muestra el número de piezas tipo I y tipo II
requeridas para cada Modelo, así como el número
total disponible.

8. Formando el sistema deFormando el sistema de
ecuaciones tenemos:ecuaciones tenemos:
850149
33554
=+
=+
yx
yx

9. Métodos Algebraicos para ResolverMétodos Algebraicos para Resolver
un Sistema de Ecuacionesun Sistema de Ecuaciones
Lineales.Lineales.
1.1. Método de Suma y Resta.Método de Suma y Resta.
2.2. Método de Sustitución.Método de Sustitución.
3.3. Método de Igualación.Método de Igualación.
4.4. Método de Determinantes.Método de Determinantes.
5.5. Método Grafico.Método Grafico.

10. 1.1. Método de ReducciónMétodo de Reducción
( Suma y Resta).( Suma y Resta).
850149
33554
=+
=+
yx
yx
Paso 1.
 Encontrar un sistema equivalente en el que los coeficientes
de los términos en x en cada ecuación sean iguales excepto
por el signo.
(-4)850149
(9)33554
=+
=+
yx
yx

11. Paso 2Paso 2 .. Los miembros izquierdo yLos miembros izquierdo y
derecho de la ecuación son iguales, dederecho de la ecuación son iguales, de
modo que cada miembro puede ser sumadomodo que cada miembro puede ser sumado
al correspondiente de la ecuación.al correspondiente de la ecuación.
(-4)850149
(9)33554
=+
=+
yx
yx
34005636
30155436
−=−−
=+
yx
yx
38511 −=− y35
11
385
=
−
−
=y

12. Paso 3Paso 3 .. Reemplazar el valor de y=35, enReemplazar el valor de y=35, en
cualquier ecuación del sistema para hallar elcualquier ecuación del sistema para hallar el
valor de x.valor de x.
850149
33554
=+
=+
yx
yx
404/160
3351754
335)35(54
==
=+
=+
x
x
x
35
11
385
=
−
−
=y
O Bien
409/360
8504909
850)35(419
==
=+
=+
x
x
x
Por tanto, el sistema original es equivalente a
x= 40 pzas
y=35 pzas

13. Paso 4Paso 4 .. Verificar nuestra respuestaVerificar nuestra respuesta
sustituyendosustituyendo x = 40x = 40 yy y = 35 en lasy = 35 en las
ecuaciones originalesecuaciones originales..
850149
33554
=+
=+
yx
yx
850)35(14)40(9
335)35(5)40(4
=+
=+
850490360
335751160
=+
=+

14. 2. Método de Sustitución.2. Método de Sustitución.
 Este método consiste en despejar unaEste método consiste en despejar una
variable de una ecuación y sustituirla en lavariable de una ecuación y sustituirla en la
otra ecuación, se resuelve ésta y seotra ecuación, se resuelve ésta y se
obtiene un valor de una de las variables.obtiene un valor de una de las variables.
 Para encontrar el valor de la otra variable,Para encontrar el valor de la otra variable,
se sustituye el valor encontrado ense sustituye el valor encontrado en
cualquiera de las dos ecuaciones.cualquiera de las dos ecuaciones.

15. Resolver el siguiente sistema deResolver el siguiente sistema de
ecuaciones lineales por el Métodoecuaciones lineales por el Método
de Sustitución.de Sustitución.
850149
33554
=+
=+
yx
yx
4
5335 y
x
−
=
a) Despejamos “x” de la Ecuación 1.
b) Sustituimos “x” en la Ecuación 2.
35
75.2
25.96
85075.275.753
85014)25.1175.753(
85014)
4
5335
(9
==
=+
=+−
=+
−
y
y
yy
y
y

16. Resolver el siguiente sistema deResolver el siguiente sistema de
ecuaciones lineales por el Métodoecuaciones lineales por el Método
de Sustitución.de Sustitución.
850149
33554
=+
=+
yx
yx
c) Sustituimos el valor de “y” en cualquier ecuación para determinar el valor
De “x””.
40
4
160
x
175-3354x
3355(35)4x
#1.
==
=
=+
Ecuación
40
9
360
x
490-8509x
85014(35)9x
#2.
==
=
=+
Ecuación

17. d)d).. Verificar nuestra respuesta sustituyendoVerificar nuestra respuesta sustituyendo
x = 40x = 40 yy y = 35 en las ecuacionesy = 35 en las ecuaciones
originalesoriginales..
850149
33554
=+
=+
yx
yx
850)35(14)40(9
335)35(5)40(4
=+
=+
850490360
335751160
=+
=+

18. 3. Método de Igualación.3. Método de Igualación.
 Este método consiste en despejar la mismaEste método consiste en despejar la misma
variable de cada ecuación e igualarlas,variable de cada ecuación e igualarlas,
obteniendo de esta manera una ecuación deobteniendo de esta manera una ecuación de
primer grado con una incógnita.primer grado con una incógnita.
 Se resuelve esta ecuación y se obtiene el valorSe resuelve esta ecuación y se obtiene el valor
de una de las variables.de una de las variables.
 Para obtener el valor de la otra variable, sePara obtener el valor de la otra variable, se
sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones elsustituye en cualquiera de las dos ecuaciones el
valor encontrado y se realiza la comprobación.valor encontrado y se realiza la comprobación.

19. Resolver el siguiente sistema deResolver el siguiente sistema de
ecuaciones lineales por elecuaciones lineales por el MétodoMétodo
de Igualación.de Igualación.
850149
33554
=+
=+
yx
yx
4
5335 y
x
−
=
a) Despejamos “x” de la Ecuación 1 y 2.
b) Igualar las ecuaciones del inciso a)
9
14850 y
x
−
=
9
14850
4
5335 yy −
=
−

20. Resolver el siguiente sistema deResolver el siguiente sistema de
ecuaciones lineales por elecuaciones lineales por el MétodoMétodo
de Igualación.de Igualación.
c) Agrupando términos semejantes para
determinar el valor de “y”. 9
14850
4
5335 yy −
=
−
35
36
11
36
385
36
385
36
11
4
335
9
850
9
14
4
5
=÷=
=
−=+
−
y
y
yy

21. Resolver el siguiente sistema deResolver el siguiente sistema de
ecuaciones lineales por el Métodoecuaciones lineales por el Método
de Igualación.de Igualación.
850149
33554
=+
=+
yx
yx
d) Sustituimos el valor de “y” en cualquier ecuación para determinar el valor
De “x””.
40
4
160
x
175-3354x
3355(35)4x
#1.
==
=
=+
Ecuación
40
9
360
x
490-8509x
85014(35)9x
#2.
==
=
=+
Ecuación

22. 4.Método de Determinantes4.Método de Determinantes
(Regla de Cramer).(Regla de Cramer).
850149
33554
=+
=+
yx
yx
40
11
440
4556
42504690
)9*5()14*4(
)850*5()14*335(
149
54
14850
5335
==
−
−
=
−
−
==x
35
11
385
4556
30153400
)9*5()14*4(
)335*9()850*4(
149
54
8509
3354
==
−
−
=
−
−
==y
Coef. De yCoef. 2o.
Miembro
Coef. De x
Coef. 2o.
Miembro

23. 5. METODO GRAFICO5. METODO GRAFICO
850149
33554
=+
=+
yx
yx
PROCEDIMIENTO:
1) Despeja y de cada ecuacion para formar funciones lineales:
5
4335 x
y
−
=
14
9850 x
y
−
=

24. 5. Metodo Grafico5. Metodo Grafico
 2. Igualar ambas2. Igualar ambas
ecuaciones paraecuaciones para
encontrar x, de talencontrar x, de tal
manera que se hagamanera que se haga
una correctauna correcta
tabulacion.tabulacion.
14
9850 x
y
−
=
5
4335 x
y
−
=
40
70
11
7
44
7
44
70
11
5
335
14
850
14
9
5
4
14
9
14
850
5
4
5
335
14
9850
5
4335
+=
−
−
=
−=−
−=+−
−=−
−
=
−
x
x
xx
xx
xx

25. 5. M. Grafico. Tabulacion5. M. Grafico. Tabulacion
x y= f (x) =(335-4x)/5 y= f (x)=(850-9x)/14
0 67 60.71
10 59 54.29
20 51 47.86
30 43 41.43
40 35 35
50 27 28.57
60 19 22.14
70 11 15.71

26. 5. Metodo Grafico5. Metodo Grafico
METODO GRAFICO
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 10 20 30 40 50 60 70 80
VALORES DEX
VALORESDEY
SOLUCION:
x=40 ; y = 35

27. Por su atención,Por su atención,
Gracias!Gracias!

28. Ejercicio de tareaEjercicio de tarea
 La compañia controles universales fabricaLa compañia controles universales fabrica
unidades de control. Sus nuevos modelos son elunidades de control. Sus nuevos modelos son el
Argon I y el Argon II. Para fabricar cada unidadArgon I y el Argon II. Para fabricar cada unidad
del Argon I se usan 6 medidores y 3del Argon I se usan 6 medidores y 3
controladores. Para fabricar cada unidad delcontroladores. Para fabricar cada unidad del
Argon II se usan 10 medidores y 8Argon II se usan 10 medidores y 8
controladores.controladores.
La compañia recibe un total de 700 medidores yLa compañia recibe un total de 700 medidores y
500 controladores diarios de sus proveedores.500 controladores diarios de sus proveedores.
¿¿Cuantas unidades de cada modelo se puedenCuantas unidades de cada modelo se pueden
producir diariamente?producir diariamente?
Suponga que todas las partes son utilizadas.Suponga que todas las partes son utilizadas.