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Fase de-berry
- 1. Introduccion Fase de Berry Ejemplos La fase de Berry Jose Miguel Mendez Reyes1 Jesus A. Maytorena Cordova2 1 Facultad de Qumica UNAM 2 Centro de Nanociencias y Nanotecnologa UNAM V Taller de Fsica de Nanoestructuras Centro de Nanociencias y Nanotecnologa UNAM, Ensenada Baja California 5 de septiembre de 2014 Jose Miguel Mendez Reyes Fase de Berry
- 2. Introduccion Fase de Berry Ejemplos Indice 1 Introduccion Importancia de la Fase de Berry Observacion de la Fase de Berry 2 Fase de Berry Teorema adiabatico Fase geometrica de Berry Curvatura de Berry 3 Ejemplos Espn 1/2 en un campo magnetico Efecto Aharonov - Bohm Efecto Hall de espn Jose Miguel Mendez Reyes Fase de Berry
- 3. Introduccion Fase de Berry Ejemplos Importancia de la Fase de Berry Observacion de la Fase de Berry Importancia de la Fase de Berry Presencia en toda la fsica cuantica Fsica de partculas, teora cuantica de campos, estado solido, materia condensada, fsica atomica y molecular, sistemas opticos(
- 4. bras), qumica cuantica, etc.1 Relacionada con propiedades de transporte Efecto Hall cuantico, corriente de espn, aislantes topologicos, estructura de bandas, etc. Hay muchas situaciones en las cuales el estado de un sistema cuantico depende no solamente de la situacion local y de los parametros fsicos, sino tambien de la historia previa. Es como si tales sistemas tuvieran memoria.2 1Holstein. B. R. Am. J. Phys. 57, 1079 (1989) 2Berry. M. V. Proc. R. Soc. Lon. A 322 45-57 (1984) Jose Miguel Mendez Reyes Fase de Berry
- 5. Introduccion Fase de Berry Ejemplos Importancia de la Fase de Berry Observacion de la Fase de Berry Observacion de la Fase de Berry Ampliamente anticipado y predicho en qumica cuantica(super
- 6. cies de energa potencial).3 Experimentos en fsica moderna (1986-2010).4 Rotacion en la polarizacion de la luz en
- 7. bra optical helicoidal. Rotacion en el espn de neutrones dentro de campos magneticos helicoidales. 1HNMR (Resonancia magnetica de proton). Polarizacion de ferroelectricos. Velocidades anomalas en dinamica de electrones. Cuantizacion de la conductancia Hall en potenciales periodicos. xy = e2 ~ R BZ d2b (22) kx ky ! xy = ne2 ~ 3Mead. C., Truhlar. D. J. Chem. Phys. 70, 2284-2296 (1979) 4Garg. A. Am. J. Phys. 78 7 661-670 (2010) Jose Miguel Mendez Reyes Fase de Berry
- 8. Introduccion Fase de Berry Ejemplos Teorema adiabatico Fase geometrica de Berry Curvatura de Berry Teorema adiabatico Considerar un sistema con dependencia temporal a traves de una serie de parametros denotados por R = (R1; R2; R3; :::). H = H(R);R = R(t) (1) La evolucion del sistema es adiabatica, es decir R(t) vara muy lentamente (cambio lento pero no peque~no). H(R)jn(R)i = n(R)jn(R)i (2) Cuando el cambio es adiabatico, H(R(0)) y su eigenfuncion jn(R(0))i evolucionan lentamente a H(R(T)) y jn(R(T))i respectivamente. Por tanto se puede expresar a la funcion de onda total como: j n(R)i = jn(R)iexp i ~ Z T 0 n(R(t0))d(t0) ei n(R) (3) Jose Miguel Mendez Reyes Fase de Berry
- 9. Introduccion Fase de Berry Ejemplos Teorema adiabatico Fase geometrica de Berry Curvatura de Berry Fase geometrica de Berry Aplicando la ecuacion de Schrodinger dependiente del tiempo y considerando la evaluacion de n(R) a lo largo de C en el espacio R cuando R(T) = R(0) se llega a: n(R) = i Z C hn(R)jrRjn(R)i dR (4) Donde ihn(R)jrRjn(R)i = An(R) y se denota como Vector potencial de Berry (conexion de Berry). Dicha fase ya se conoca con anterioridad y se supona que era posible eliminarla mediante una transformacion de norma: jn(R)i ! jn0(R)i = jn(R)iei(R) (5) Por tanto se encuentra que: An(R) ! An0(R) = An(R) r(R) (6) Jose Miguel Mendez Reyes Fase de Berry
- 10. Introduccion Fase de Berry Ejemplos Teorema adiabatico Fase geometrica de Berry Curvatura de Berry Fase geometrica de Berry ) n0(R) = n(R) [(T) (0)] (7) Escogiendo adecuadamente a , se pensaba que n(R) se poda cancelar. En 1984 M. V. Berry noto que si la ecuacion (4) se integraba sobre una curva cerrada, (T) (0) = 2N donde N es un entero (se obliga a que sea monoevaluada). n(C) = I C An(R) dR (8) ) n(C) no puede eliminarse. Aplicando el teorema de Stokes: n(C) = ZZ S n(R) dS (9) Jose Miguel Mendez Reyes Fase de Berry
- 11. Introduccion Fase de Berry Ejemplos Teorema adiabatico Fase geometrica de Berry Curvatura de Berry Curvatura de Berry Donde: n(R) = rR An(R) (10) Queda de
- 12. nido como el campo o curvatura de Berry, analogo al campo magnetico, pero cuyas unidades son [R2] (campo electrico E = ^r r 2 ). Sustituyendo An(R) = ih n(R)jrRj n(R)i se obtiene: n(R) = Im X m6=n hnjrRH(R)jmi hmjrRH(R)jni (En Em)2 (11) n(R) es singular en los puntos de degeneracion en el sistema, analogo a una fuente de monopolo magnetico. Jose Miguel Mendez Reyes Fase de Berry
- 13. Introduccion Fase de Berry Ejemplos Espn 1/2 en un campo magnetico Efecto Aharonov - Bohm Efecto Hall de espn Espn 1/2 en un campo magnetico Sistema sencillo con dos estados posibles (#), truncando el hamiltoniano a una matriz de 2 2 H = 1 2 R = 1 2 Z XiY X+iY Z (12) Cuyas eigenenergas estan dadas por E# = 12 jRj Aplicando la ecuacion (11) en (12) se obtiene y por tanto # = # = 1 2 R R3 (13) Posteriormente con la ecuacion (9) se obtiene = 1 2 ) # = + 1 2 (14) Donde es el angulo solido y depende de la direccion de integracion. Jose Miguel Mendez Reyes Fase de Berry
- 14. Introduccion Fase de Berry Ejemplos Espn 1/2 en un campo magnetico Efecto Aharonov - Bohm Efecto Hall de espn Espn 1/2 en un campo magnetico en R=0 equivale al monopolo magnetico en el punto de degeneracion, encontrando el ujo de campo sobre una super
- 15. cie cerrada: Q = 1 2 I dS = 1 2 I ( R 2R3 ) dS = 1 (15) Donde Q es el equivalente a una carga monopolar magnetica. Conclusion: Este ejemplo permite interpretar la fase, la conexion y la curvatura de Berry mediante una analoga fsico-matematica con los campos y ujos en electromagnetismo. Jose Miguel Mendez Reyes Fase de Berry
- 16. Introduccion Fase de Berry Ejemplos Espn 1/2 en un campo magnetico Efecto Aharonov - Bohm Efecto Hall de espn Efecto Aharonov - Bohm Figura : Efecto Aharonov - Bohm Jose Miguel Mendez Reyes Fase de Berry
- 17. Introduccion Fase de Berry Ejemplos Espn 1/2 en un campo magnetico Efecto Aharonov - Bohm Efecto Hall de espn Efecto Aharonov - Bohm Suponer un electron en una caja de paredes in
- 18. nitas en el origen con una ecuacion de Schrodinger independiente del tiempo asociada: p2 2m n(r ) = En (r ) (16) + V(r ) Ahora se hace una variacion adiabatica (campo magnetico apagado ) una de las trayectorias se ve alterada) H(R) = 1 2m p e c 2 A(r) + V(r R) = H p A c ; r R (17) Aplicando la ecuacion (4), se obtiene la correspondiente conexion de Berry ih n(R)jrRj n(R)i = e ~c An(R) (18) Jose Miguel Mendez Reyes Fase de Berry
- 19. Introduccion Fase de Berry Ejemplos Espn 1/2 en un campo magnetico Efecto Aharonov - Bohm Efecto Hall de espn Efecto Aharonov - Bohm a aAharonov. Y., Bohm. D. Phys. Rev. 115, 485 (1959) Por lo tanto, se obtiene la fase de Berry n(C) = e ~c I C An(R) dR = e ~c (19) Conclusion: Se obtiene la fase de Berry como un equivalente a un ujo, se evidenca la importancia del concepto geometrico en sistemas fsicos. Jose Miguel Mendez Reyes Fase de Berry
- 20. Introduccion Fase de Berry Ejemplos Espn 1/2 en un campo magnetico Efecto Aharonov - Bohm Efecto Hall de espn Efecto Hall de espn Sistema en 2D con acoplamiento espn-orbita (hamiltoniano Rashba-Dresselhaus 5) H0 = ~2 2m k2 + HR + HD (20) cuyos eigenestados se de
- 21. nen como: jki = 1 p 2 ei +i jki; = (21) Para este caso R = R(kx ; ky ), Evaluando la fase de Berry, ecuacion (8) se obtiene la siguiente expreison: = i I hkjrkjki = 2
- 22. 2 j2
- 23. 2j (22) 5Rashba. E. Phys. Rev. Lett 91, 126405 (2003) Jose Miguel Mendez Reyes Fase de Berry
- 24. Introduccion Fase de Berry Ejemplos Espn 1/2 en un campo magnetico Efecto Aharonov - Bohm Efecto Hall de espn Efecto Hall de espn Analogamente, en teora de perturbaciones estudiando el fenomeno de conductividad en un gas bidimensional de un sistema (#): s xy = e 2 2
- 25. 2 j2
- 26. 2j (23) Dado que j z y = E, puede relacionarse entonces el efecto Hall de espn de la forma: sH = j z y E = e 82 (24) Conclusion: Presencia evidente de la fase geometrica en un fenomeno fsico medible y observable. Jose Miguel Mendez Reyes Fase de Berry
- 27. Introduccion Fase de Berry Ejemplos Espn 1/2 en un campo magnetico Efecto Aharonov - Bohm Efecto Hall de espn Gracias por su atencion Jose Miguel Mendez Reyes Fase de Berry