Este documento describe las relaciones binarias y algunas de sus propiedades. Define relación binaria, dominio, rango y representación gráfica. Explica las clases de relaciones reflexivas, simétricas, transitivas, de equivalencia y de orden. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar estos conceptos.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
CICLO 2014 – III
ALGEBRA
Semana Nº 12
“RELACIONES BINARIAS”
Relación binaria: par ordenado, producto
cartesiano de IR en IR. Dominio, rango de
relaciones. Representación gráfica.
Clases de relaciones: reflexiva, simétrica,
transitiva, de equivalencia y de orden.
n  A  B   n  A · n  B 
3. Si A es un conjunto finito; el producto
cartesiano A x A se puede representar como:
A2 (Se lee “A dos”)
PAR ORDENADO Y PRODUCTO CARTESIANO
4. El producto cartesiano A x B es un conjunto
vacío; si al menos uno de los conjuntos A o
B es conjunto vacío; es decir:
Ax= ; xB=
1. Par ordenado de números reales
Dos números reales x e y, donde “x” es
identificado como primer componente e “y”
como segundo componente, se llamará par
ordenado de números reales y se simbolizará
por (x; y)
5. El producto cartesiano A x B es un conjunto
infinito; si al menos uno de los conjuntos A o B
es un conjunto infinito.
 x; y    y; x 
ii)  x; y    z; w  x  z  y  w
i)
Ejercicios Explicativos
1. Graficar los siguientes pares de puntos:
a)
b)
2. Producto Cartesiano
Sea R el conjunto de números reales, el
producto cartesiano que se denota por R2 se
define como sigue:
c)
RxR  R2  x; y  / x  R  yR
Y
X
eje de
abcisas
P  x; y  /  x
2
 y 2 , siendo x , y  Z 


 2 x  1 ; y  1   2;1
xR /1  x  8
B =  x  R / 3  x  5
C =  x  R / 2  x  7
D =  x  R / 2  x  6
Plano
Cartesiano
Graficar los siguientes productos cartesianos
a) A x B
c) (A - B) x C
3. Sean:
E = {1; 2; 3},
PROPIEDADES:
1. Si A y B son conjuntos diferentes:
A B  B A
F=
2. Siendo A y B dos conjuntos finitos; tales que
el cardinal de A (número de elementos de A)
es n(A) y el cardinal de B es n(B) se tiene que:
Centro Preuniversitario de la UNS
2
A=
P(x;y)
x
 P  x; y  / x
2. Sean:
Eje de ordenadas
y
P  x; y  / x  y  0, siendo x, y¥ 
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A = {1; 2} ,
CExE ( A x B) ,
Calcular: F  G
1
b) C x D
d) (A - C) x (A - D)
G=
B = {2; 3}
CE A x CE B)
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2. Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.- Lic.Rodolfo Carrillo- Lic Juan Miranda
Dom (R) = {x  A/(x; y)  R}
DEFINICIÓN
Dado un conjunto A no vacío, una RELACIÓN R
es aquella correspondencia definida como
Ran (R) = {y  A/ (x; y)  R}
R : A  A , tal que:
R=  x;y   A  A P(x, y) 
Además: Dom (R)  A  Ran (R)  A
Ejemplo
Para las relaciones del ejemplo 01
R1 = {(0; 1), (0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 2), (2; 3)}
Donde:
P(x, y)
es la REGLA DE CORRESPONDENCIA
de la relación
Recuerde que: A  A = A2, entonces:
R es una relación  R  A2
Dom (R 2 ) = {0, 1, 2}; Ran (R 2 ) = {1, 2, 3}
RELACIONES DE R EN R
Es matemática, las relaciones de mayor
importancia son aquellas que se definen en el
conjunto de los números reales (R); es decir,
aquellas relaciones de la forma:
Una relación definida así se denomina RELACIÓN
BINARIA o sencillamente R definida en A.
Ejemplo
Sea el conjunto: A = {0; 1} donde n = 2; con el
cual A  A = {(0; 0), (0; 1), (1, 0), (1,1)} resulta con
n2 = 4 elementos
R:¡ ¡
Donde un elemento (x; y) pertenece a R, si
satisface la regla de correspondencia, es decir:
(x; y)  R  4x2 + 9y2 = 36
Entonces, el dominio y rango de R serán:
Dom (R) = {x  R / 4x2 + 9y2 = 36  y  R}
Ran (R) = {y  R / 4x2 + 9y2 = 36  x  R}
Recordando la propiedad de los números reales:
 a  R; a2  0; de la regla de correspondencia,
se obtiene que:
*
2
En total: 2 n  2 4 = 16 relaciones distintas entre sí
9y2 = 36 – 4x2; como 9y2  0  36 – 4x2  0
 x2  9  –3  x  3  x  [–3; 3]
Luego: Dom (R) = [–3; 3]
DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN
Dada la relación: R : A  A, donde A es un
conjunto no vacío, el dominio de R (Dom(R)) se
*
4x2 = 36 – 9y2, también como: 4x2  0
 36 – 9y2  0  y2  4  –2  y  2
conjunto de las primeras
los pares ordenados que
 y  [–2; 2]
( Ran( R ) )
Luego: Ran (R) = [–2; 2]
como el conjunto de las segundas componentes;
es decir:
Centro Preuniversitario de la UNS
R  ¡ ¡
R = {(x; y)  R2 / 4x2 + 9y2 = 36}
R1 = [(0; 0)]
R2 = {(0; 1)}
R3 = {(1; 0)}
R4 = {(1; 1)}
R5 = {(0; 0); (0; 1)}
R6 = {(0; 0); (1; 0)}
R7 = {(0; 0); (1; 1)}
R8 = {(0; 1); (1; 0)}
R9 = {(0; 1); (1; 1)}
R10 = {(1; 0); (1; 1)}
R11 = {(0; 0); (0; 1); (1, 0)}
R12 = {(0; 0); (0; 1); (1; 1)}
R13 = {(0; 0); (1; 0); (1, 1)}
R14 = {(0; 1); (1; 0); (1, 1)}
R15 = 
R16 = {(0; 0); (0; 1); (1, 0); (1; 1)}
conforman la relación y el rango de R.
ó
Ejemplo 03
En R, se define la relación R así:
Las relaciones definidas en A son:
define como el
componentes de
Álgebra.
2
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Ejemplo 04
Hallar el dominio y rango de la relación:
R = {)x; y)  R2 / x2 + y2 + 4x – 6y = 3}
R
2
Como y  R, entonces de dicha regla, al
tomarla como una ecuación cuadrática en “y”
así:
y2 – 6y + (x2 + 4x – 3) = 0





6
Ran (R)
A
Y además: Dom (R) = {2; 3; 4} = Ran (R)
(–6)2 – 4(1) (x2 + 4x – 3)  0
36 – 4(x2 + 4x – 3)  0
x2 + 4x – 12  0
(x + 6) (x – 2)  0
–6  x  2
TIPOS DE RELACIONES
Consideramos una relación R en A, es decir: R:
AA donde A es un conjunto no vacío, se tiene:
1. Relación Reflexiva
La relación R se denomina REFLEXIVA, si en
ésta todo elemento de A está relacionado
consigo mismo, así:
De forma análoga, como x  R, entonces la
ecuación cuadrática en “x”:
x2 + 4x + (y2 – 6y – 3) = 0, obtenida de la regla
de correspondencia, debe tener raíces reales,
para lo cual
R es REFLEXIVA   a  A : (a; a)  R
Ejemplo 01
Sea el conjunto A = {1; 2; 3; 4} en el cual se
define la relación
  0  42 – 4(1) (y2 – 6y – 3)  0  16 – 4(y2
– 6y – 3)  0  y2 – 6y – 7  0  (y – 7) (y +
1)  0  –1  y  7
R = {(1; 1), (1; 2), (2; 2), (2; 3), (3; 3), (3; 4),
(3; 4), (4; 4), (4; 1)}
Se observa que:
Luego: Ran (R) = [–1; 7]
Para 1  A : (1; 1)  R
Para 2  A : (2; 2)  R
Para 3  A : (3; 3)  R
Para 4  A : (4; 4)  R
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA
RELACIÓN
Una representación gráfica adecuada para una
relación permite visualizar algunas de sus
propiedades o características e incluso, para
ciertas relaciones, se puede determinar a partir de
dicha gráfica el dominio y el rango. Las
representaciones gráficas descritas anteriormente
las usaremos nuevamente.
Ejemplo 05
En el conjunto: A = {2; 3; 4; 5; 6} se define la
relación:
R = {(x; y)  A2 / xy < 10}
Por lo tanto es REFLEXIVA
*
Ejemplo 02
La relación R1 = {(x; y)  N2/x es un divisor de
y} es REFLEXIVA, pues todo número natural
es divisor de si mismo y en consecuencia:  a
 N: (a; a)  R1
*
3
La relación: R2 = {(x; y)  R2 / x < y} no es
REFLEXIVA, porque a  R, el par (a; a) no
satisface la regla de correspondencia de R2,
ósea es falso que: a < a
*
Mediante
el
DIAGRAMA
SAGITAL,
relacionaremos un elemento del conjunto de
partida con otro conjunto de llegada de tal modo
que su producto sea menor que 10, así:
Centro Preuniversitario de la UNS
5
De donde:
R = {(2; 2), (2; 3), (2, 4), (3; 2), (3, 3); (4, 2)}
Luego: Dom (R) = [–6, 2]
*
5
A
Se deben obtener raíces reales y para ello su
discriminante debe ser no negativo:
0
4
6
Dom (R)
3
4
Analizando la regla de correspondencia de la
relación: x2 + y2 + 4x – 6y = 3 se obtiene:
2
3
*
Álgebra.
La relación R3 = {(x; y)  Z2 /x3 + y = x+ y3}
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4. Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.- Lic.Rodolfo Carrillo- Lic Juan Miranda
Es REFLEXIVA, en vista que:  a  Z, el par
(a; a) verifica la regla de correspondencia de
R3, así:
A3 +a = a + a3
Álgebra.
La relación R se denomina TRANSITIVA
cuando para todos los pares (a; b)  (b, c) 
R, el par (a; c) también pertenece a R, así:
R es TRANSITIVA  {(a; b)  (b; c)  R: (a,
c)  R}
Si definimos la relación IDÉNTICA I : A  A,
como:
I = {(x; y)  A2 / y = x,  x  A}
Ejemplo 01
En A = {1; 2; 3; 4} se define la relación:
R = {(1; 2) , (2; 3), (3; 4), (1; 3), (1; 4), (2; 4)}
Donde, tomando todos los pares posibles de
la forma (a; b) y (b; c) se observa que:
Para (1; 2)  (2; 3)  R : (1; 3)  R
Para (1; 2)  (2; 4)  R : (1; 4)  R
Para (2; 3)  (3; 4)  R : (2; 4)  R
Para (1; 3)  (3; 4)  R : (1; 4)  R
Entonces podemos establecer que una
relación R definida en A es REFLEXIVA
cuando la relación IDÉNTICA I en A es
subconjunto de R
R es REFLEXIVA  I  R
2. Relación Simétrica
La relación R se llama SIMÉTRICA cuando
para todos los pares (a, b)  R, el par (b; a)
también es un elemento de R, es decir:
R es SIMÉTRICA  { (a; b)  R : (b, a)  R}
Luego, R es una relación TRANSISTIVA
*
Ejemplo 01
Siendo: A = {1; 2; 3; 4, 5} se define la relación:
R = {(1; 3), (2; 4), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (4; 2), (3; 1)}
Donde se nota que:
Para (1; 3)  R : (3; 1)  R
Para (2; 4)  R : (4; 2)  R
Para (3; 5)  R : (5; 3)  R
Para (4; 4)  R : (4; 4)  R
Para (5; 3)  R : (3; 5)  R
Para (4; 2)  R : (2; 4)  R
Para (3; 1)  R : (1; 3)  R
*
Ejemplo 02
La relación
R1 = {(x; y)  N2 / x es un divisor de y}
Es TRANSISTIVA, pues siendo a un divisor de
b y b un divisor de c, entonces a será un
divisor de c, es decir:  (a; b)  (b; c)  R1 : (a,
c)  R1
La relación:
S = {(x; y)  Z2 / x + y es un número par}
Es TRANSITIVA, porque para los pares (a; b)
 (b; c)  s o también a + b es un número par
y b + c es un número par; teniendo en cuenta
que la suma de dos números pares es otro
número par, se tiene que (a + b) + (b + c) es
par  a + c + 2b es par, de donde a + c es par
y por lo tanto: (a; c)  S
Luego, la relación R es simétrica
*
Ejemplo 02
* La relación: R4 = {(x; y)  R2 / x2 + y2 = 1}
Es SIMÉTRICA, pues para cualquiera (a; b) 
R4 que satisface la regla de correspondencia:
a2 + b2 = 1, el par (b; a) también satisfacerla
dicha regla: b2 + a2 = 1, es decir (b; a)  R4
* La relación: R1 = {(x; y)  N2 / x es divisor de
y}
Es SIMÉTRICA, pues para cualquiera (a; b) 
R1: a es un divisor de b, no necesariamente b
es un divisor de a, es decir no siempre (b; a) 
R1
* La relación:
S = {(x; y)  Z2/x + y es un número par} es
SIMÉTRICA porque siendo a + b un número
par, b + a también lo es, o sea
(a, b)  S : (b , a)  S
3. Relación Transitiva
Centro Preuniversitario de la UNS
La relación R2 = {(x; y)  R2 / x < y}
Es TRANSISTIVA, porque si a < b  b < c
entonces a < c, lo cual significa que:
(a; b)  (b; c)  R2 : (a ; c)  R2
4. Relación de Equivalencia
La relación R se dice que es de
EQUIVALENCIA, si y solo si r es REFLEXIVA,
SIMÉTRICA y TRANSITIVA a la vez.
Ejemplo 01
Sea el conjunto:
A = {1; 2; 3; 4} en el cual se define la relación:
R = {(1; 1), (1; 2), (2; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4)}
R es reflexiva, pues siendo:
I = {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4)} : I  R
R es SIMETRICA, porque (a; b)  R: (b; a) 
R
R es TRANSITIVA, debido a que:
4
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5. Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.- Lic.Rodolfo Carrillo- Lic Juan Miranda
Para (1; 1)  (1; 2)  R : (1; 2)  R
Para (1; 2)  (2; 1)  R : (1; 1)  R
Para (1; 2)  (2; 2)  R : (1; 2)  R
Para (2; 1)  (1; 1)  R : (2; 1)  R
Para (2; 1)  (1; 2)  R : (2; 2)  R
Para (2; 2)  (2; 1)  R : (2; 1)  R
03. Se da el conjunto
relaciones:


Álgebra.
A   ;2;3;4
1
y las

M  x; y   A2 / x  y

N  x; y   A / x  y  4
2
La
suma de los elementos del dominio de
M  N es:
Por lo tanto, R es de EQUIVALENCIA
a) 6
RELACIÓN INVERSA
Dado un conjunto no vacío A y la relación R : A 
A talque: R = {(x; y)  A2 / P(x; y) }
b) 10
c) 4
04. Si: M  2;4;6;8;10 y
Se define la relación INCERSA de A como:
R* = {(y; x)  A2 / P(x; y) }
d) 5
N   ;3;5;7;9
1
tal
R  MxN
R  a; b / b  a  3
Donde: Dom(R*) = Ran(R)  Ran(R*) = Dom(R)
e) 3
que
encontrar
la
suma de los elementos del rango de R.
Ejemplo 01
En A = {1; 2; 3; 4} se define la relación:
R = {(1; 2), (2; 3), (3; 4), (1; 3), (1; 4), (2; 4)}
Entonces:
R* = {(2; 1), (3; 2), (4; 3), (3; 1), (4; 1), (4; 2)}
Donde:
Dom(R*) = {2; 3; 4} = Ran(R)
Ran(R*) = {1; 2; 3} = Dom(R)
a) 21
05.


c) I y II
B  3x  1 Z / 11  2 x  3  16
a) 2
¿Cuántos elementos tiene el producto
b) 80
b) 19
c) 18
d) 15
e) 9
º


P  a  N / a  5  15


º


y
Q  b  N / b  2  8


a, b   PxQ / a  b es par 
R

 menor que 30

Calcular nR 
A  2 x  1  N /  3  x  4
a) 90
Si:
06. Sean:
02. Sea:
cartesiano
e) 10
relación:
R  x; y   N 2 / y  6  x afirmamos:
nR   7
I.
DomR  RanR
II.
I.
La suma de los elementos del DomR 
es igual a 20.
Son verdaderos
a) Sólo I
b) Sólo II
d) Todas
e) I y III
d) 19
A  a  Z / 2  a  7
B  b  N / 3  b  10
R  a; b  AxB / 3  a  b  7
a) 20
la
c) 15
hallar la suma de los elementos del rango de
R.
PRACTICA DE CLASE
01. Dada
b) 9
b) 10
c) 8
d) 7
e) 9
AxB ?
c) 60
d) 50
Centro Preuniversitario de la UNS
e) 70
5
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6. Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.- Lic.Rodolfo Carrillo- Lic Juan Miranda
07. Si:
I. R es reflexiva
II: R es simétrica
III. R es transitiva
Son verdaderas:
a) Sólo I
b) I y II
c) II y III
d) Todas
e) Ninguna
A  a  Z / 0  a  7
B  b  N / 2  b  6
R  a; b   AxB / 1  a  b  5
23
06. Si R y S son dos relaciones en un mismo
conjunto A. De las proposiciones
I. R y S son reflexivas  R  S es reflexiva
II. R y S son reflexivas  R  S es reflexiva
III. R y S son reflexivas  (R  S) – (R  S)
es reflexiva
Son verdaderas:
a) Todas
b) Sólo I
c) I y II
d) I y III
e) Ninguna
Halla el número de elementos de R.
a) 4
b) 7
c) 8
d) 5
e) 6
NIVEL BASICO
01. En el sistema de coordenadas rectangulares,
el punto que representa al par (–7; 3a+2b)
está sobre la bisectriz del segundo cuadrante
y el del par (2a – 3b; –17) está sobre la
bisectriz del tercer cuadrante. Según esto, ba
es iguala a:
a) 0,2
b) 0,4
c) 0,6
d) 0,8
e) 1,2
07. En A = {2x/x  N  2 < x < 7}, en la cual se
define la relación R reflexiva y simétrica:
R = {(10;10), (12;12), (a; a), (b;b), (a; b), (c; d)}
Hallar: a + b + c + d
e indicar si R es
transitiva
a) 28; SI
b) 24; SI
c) 24; NO
d) 28; NO
e) 14; SI
02. Dados los conjuntos:
08. En A = {1; 2; 3; 4} se considera la relación:
R = {(x; y)  A2 /x = y  x + y = 3}
Se afirma que R es:
I. Reflexiva
II. Simétrica
III. Transitiva
IV. De equivalencia
Son verdaderas
a) I y II
b) II y III
c) Sólo I
d) Todas
e) Ninguna


| x | 1 

A = 

  Z / 16  x 2  625 
 3 





B = (2 y  3)  Z / 2  3 y  2  5

Hallar: n(A  (B  A ))
c
a) 28
d) 70
b) 42
e) 112
c) 56
09. Siendo R una relación definida en A y R* su
relación inversa, decir si es verdadera (V) o
falsa (F) cada proposición:
I. R es simétrica  R* es simétrica
II. R es reflexiva  R  R*  
III. R es simétrica  R o R* = I,
Donde: I es la relación IDÉNTICA definida
en A.
a) VVV
b) VFV
c) VVF
d) FVF
e) FVV
03. Dados los conjuntos:
A = {1; 2; 3; 4}; B = {1; 2; 5; 6} y C (a; b)
definida por “a” no es menor que “b”, donde
(a;b)  A  B
¿Cuántos
pares
ordenados
tiene
la
correspondencia C?
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
04. Calcular el área de la región determinada en
el plano cartesiano por A  B si:
10. Indicar si es verdadera (V) o Falsa (F) cada
proposición:
I. R = {(x; y)  R2 / x2 – 4y2 = 16} es
REFLEXIVA
II. S = {(x; y)  Z2/x es múltiplo de y} es de
EQUIVALENCIA
III. T = {(x; y)  A2/ x no es perpendicular con
y} donde A es el conjunto de rectas
coplanares, es TRANSITIVA
a) VVF
b) FVV
c) FFF
A = {( 2 x –1)  R / 4  x  25}
B = {2/3(x – 1)  R / 19  x  –4x  0}
a) 62 2
b) 70 2
c) 75 2
2
2
d) 76 
e) 82 
05. Definimos la relación:
R = {(c; y)  R2 / |x|  1  |y|  1}
Con respecto a las proposiciones
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Álgebra.
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7. Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.- Lic.Rodolfo Carrillo- Lic Juan Miranda
d) VFF
e) VVV
a) R es reflexiva y S es simétrica
b) R es transitiva y T es reflexiva
c) S es transitiva y t es simétrica
d) S es reflexiva y t es transitiva
e) R es transitiva y S es simétrica
11. Sean las relaciones:
R1 = {(x; y)  R2 / x < 2  –1 < y < 2}
R2 = {(x; y)  R2 / x  Z }
R3 = {(x; y)  R2 / – 2  y  1}
Con respecto a las proposiciones:
I. (–2; 1)  R1  R2 – R3
II. (4; –1)  R2 – R3
III. (1/2; 5/2)  R1  R2  R3
Son verdaderas:
a) Sólo I
b) Sólo II
c) I y II
d) II y III
e) Todas
NIVEL INTERMEDIO
01. En A = {1, 2; 3; 4; 5} se define la relación
R = {(1; 2), (1; 4), (1; 5), (2; 3), (2; 5), (3; 3), (3;
4), (4; 2), (5; 2), (5; 3)}
Si:
M = {x  A / (x; 3)  R} ;
N = {y  A / (2; y)  R}
P = {y  A / (3; y)  R}
Calcular: n ((M  N) x P)
a) 8
b)9
c) 10
d) 12
e) 15
12. Sea S = {2; 3; 4} un conjunto cuyo número de
elementos se expresa así: n(S) = 3
Si:
R1 = {(x; y)  S2 / y  x}

R2 = {(x; y)  S2 / y = x2}
R3 = {(x; y)  S2 / y – x = 1}
Hallar:
02. Con respecto a la relación R definida en Z:
R = {(a; b) / a – b = 3k / k  Z}
Podemos decir que es:
a) Reflexiva b) Transitiva c) Simétrica
d) De Equivalencia
e) Ninguna
n(R1 )
n(R 2 )  n(R 3 )
a) 1
d) 4/3
b) 1/2
e) 3
c) 2
03. Dada la relación: R = {(x; y)  IN2 / y = 6 - x}
Afirmamos:
I. n(R) = 7
II. Dom(R) = Ran(R)
III. La suma de tos elementos del Dom (R) es
igual a 20.
Son verdaderas:
13. En Z se define las siguientes relaciones:
R1 = {(x; y) / 3x + y = 7}
R2 = {(x; y) / 5x - 4y = 12}
y S = {(x; y) /  (x; z)  R1  (z; y)  R2}
Entonces, S por comprensión es:
a) S = {(x; y) / 8x – 3y = 19}
b) S = {(x; y) / 2x – 5y = 5}
c) S = {(x; y) / 15x + 4y = 23}
d) S = {(x; y) / 3x – 8y = 19}
e) S = {(x; y) / 4x – 15y = 23}
14. Se definen en Z las siguientes relaciones:
a R b  a es divisor de b
aSba+b=4
a T b  a – b es múltiplo de 3
a U b  a2 + b2 = 25
Entonces podemos afirmar que:
a) R y S son reflexivas
b) R y S son simétricas
c) T y R son reflexivas y simétricas
d) S, T y U son simétricas
e) T y U son de equivalencia
a) Sólo I
b) Sólo 11
c) l y II
d) I y 111
e) Todas
04. Reconocer la gráfica de la relación definida en
R dada por la ecuación: |x – y| = 4
a)

1

ab
b)
y
y
x
x
c)
d)
y
15. Dadas las relaciones:
R ={(a; b)  R2 / a – b  0}
S = {(a; b)  R2 / 0  a – b  1}:
T = (a ; b)  R 2 /
Álgebra.
y
x
x

 0

e)
Entonces:
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Álgebra.
d) (4, 2)  R
e) (4; –2)  R
y
x
10. En A = {1; 2; 3;4; 5} se define la relación:
R = {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (5; 1), (2; 4), (5; 4),
(5; 2), (4; 3), (3; 5)}
Si:
M = {x  A / (x; 2)  R}
N = {y  A / (3; y)  R}
P = {x  A / (x; 5)  R}
a) {2; 5}
b) {3; 5}
c) {3}
d) {5}
e) {1; 2; 4; 5}
05. De las proposiciones:
I. La gráfica cartesiana de
R = {(x; y)  R2 / |xy| = 2}
Es simétrica respecto a sus asíntotas
II. La gráfica cartesiana de:
S = {(x; y)  R2 / |y + 1| = |x – 1|}
Es simétrica respecto al origen de
coordenadas
III. La gráfica cartesiana de
T = {(x; y)  R2 / |x + y| = 2}
Es simétrica respecto a la recta y = x
IV. La gráfica cartesiana de
U = {(x; y)  R2 / xy = 0}
Está formada por todos los puntos del
plano
Son falsas:
a) Todas
b) Solo I
c) Sólo IV
d) II y IV
e) Sólo III
11. Si: R1 = {(x; y)  R2 / y – x = 6};
R2 = {(x; y)  R2 / y + x = 8}
Calcular el producto de los componentes de
los elementos de R1  R2
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
12. Dados los conjuntos:
A = {x  R / x2 = 8 – 2x}
B = {x  R /x3 = 2x2 + 3x}
El número de posibles correspondencias de A
en B es:
a) 6
b) 8
c) 32
d) 64
e) 128
06. Calcular el área de la región determinada por
la relación:
R = {(x; y)  R2 / |x – 1| + |y – 5|  1  y  5 +
|x – 1|}
a) 0,5 2
b) 1 2
c) 1,5 2
d)
2 
2
e) 2 2 
13. En A = {a; b; c; d} se definen las siguientes
relaciones:
R = {(a; a), (a; b), (b; b), (b; c), (c; c), (a; c), (d; d)}
S = {(a; a), (a; b), (b; a), (b; c), (c; b), (c; c), (d; d)}
T = {(a; a), (a; b), (b; b), (c; c), (c; d), (d; d)}
U = {(a; a), (a; b), (b; a), (b; b), (c; c), (c; d), (d; c),
(d; d)}
De las cuales m son reflexivas, n son
simétricas y p son transitivas. Los valores de
m, n y p, en ese orden, son:
a) 2; 3; 2
b) 2; 2; 3
c) 3; 2; 3
d) 2; 3; 3
e) 3; 2; 1
2
07. Se define las siguientes relaciones en el
conjunto: A = {x  N/ 1  x  3}
I. R1 = {(1; 2), (2; 2), (3; 3)}
II. R2 = {(1; 1), (2; 1), (3; 1), (3; 2)}
III. R3 = {(1; 3), (2; 3), (3; 3)}
IV. R4 = {(2; 1), (2; 2), (2; 3)}
¿Cuántas son funciones definidas en A?
a) Ninguna
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
14. En Z se define la relación:
R = {(x; y)/ –1  2x + 1 < y < 5}
Si “a” es la suma de los elementos de Dom (R)
y “b” es la suma de los elementos de Dom(R*)
Calcular (a+ b)
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
08. Si: A = {-1; 0; 1} y R = {(x; y)  A2 / y2 = x2},
Hallar n(R)
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
09. Dada la relación: R = {(x; y)  Z  N/ y2 = x}, la
proposición verdadera es:
a) D R = N
b) R R = {0, 1, 4, 9,16, ...}
c) R no es función
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