1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
CICLO 2014 – III
ALGEBRA
Semana Nº 12
“RELACIONES BINARIAS”
Relación binaria: par ordenado, producto
cartesiano de IR en IR. Dominio, rango de
relaciones. Representación gráfica.
Clases de relaciones: reflexiva, simétrica,
transitiva, de equivalencia y de orden.
n A B n A · n B
3. Si A es un conjunto finito; el producto
cartesiano A x A se puede representar como:
A2 (Se lee “A dos”)
PAR ORDENADO Y PRODUCTO CARTESIANO
4. El producto cartesiano A x B es un conjunto
vacío; si al menos uno de los conjuntos A o
B es conjunto vacío; es decir:
Ax= ; xB=
1. Par ordenado de números reales
Dos números reales x e y, donde “x” es
identificado como primer componente e “y”
como segundo componente, se llamará par
ordenado de números reales y se simbolizará
por (x; y)
5. El producto cartesiano A x B es un conjunto
infinito; si al menos uno de los conjuntos A o B
es un conjunto infinito.
x; y y; x
ii) x; y z; w x z y w
i)
Ejercicios Explicativos
1. Graficar los siguientes pares de puntos:
a)
b)
2. Producto Cartesiano
Sea R el conjunto de números reales, el
producto cartesiano que se denota por R2 se
define como sigue:
c)
RxR R2 x; y / x R yR
Y
X
eje de
abcisas
P x; y / x
2
y 2 , siendo x , y Z
2 x 1 ; y 1 2;1
xR /1 x 8
B = x R / 3 x 5
C = x R / 2 x 7
D = x R / 2 x 6
Plano
Cartesiano
Graficar los siguientes productos cartesianos
a) A x B
c) (A - B) x C
3. Sean:
E = {1; 2; 3},
PROPIEDADES:
1. Si A y B son conjuntos diferentes:
A B B A
F=
2. Siendo A y B dos conjuntos finitos; tales que
el cardinal de A (número de elementos de A)
es n(A) y el cardinal de B es n(B) se tiene que:
Centro Preuniversitario de la UNS
2
A=
P(x;y)
x
P x; y / x
2. Sean:
Eje de ordenadas
y
P x; y / x y 0, siendo x, y¥
S-12
A = {1; 2} ,
CExE ( A x B) ,
Calcular: F G
1
b) C x D
d) (A - C) x (A - D)
G=
B = {2; 3}
CE A x CE B)
Ingreso Directo
2. Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.- Lic.Rodolfo Carrillo- Lic Juan Miranda
Dom (R) = {x A/(x; y) R}
DEFINICIÓN
Dado un conjunto A no vacío, una RELACIÓN R
es aquella correspondencia definida como
Ran (R) = {y A/ (x; y) R}
R : A A , tal que:
R= x;y A A P(x, y)
Además: Dom (R) A Ran (R) A
Ejemplo
Para las relaciones del ejemplo 01
R1 = {(0; 1), (0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 2), (2; 3)}
Donde:
P(x, y)
es la REGLA DE CORRESPONDENCIA
de la relación
Recuerde que: A A = A2, entonces:
R es una relación R A2
Dom (R 2 ) = {0, 1, 2}; Ran (R 2 ) = {1, 2, 3}
RELACIONES DE R EN R
Es matemática, las relaciones de mayor
importancia son aquellas que se definen en el
conjunto de los números reales (R); es decir,
aquellas relaciones de la forma:
Una relación definida así se denomina RELACIÓN
BINARIA o sencillamente R definida en A.
Ejemplo
Sea el conjunto: A = {0; 1} donde n = 2; con el
cual A A = {(0; 0), (0; 1), (1, 0), (1,1)} resulta con
n2 = 4 elementos
R:¡ ¡
Donde un elemento (x; y) pertenece a R, si
satisface la regla de correspondencia, es decir:
(x; y) R 4x2 + 9y2 = 36
Entonces, el dominio y rango de R serán:
Dom (R) = {x R / 4x2 + 9y2 = 36 y R}
Ran (R) = {y R / 4x2 + 9y2 = 36 x R}
Recordando la propiedad de los números reales:
a R; a2 0; de la regla de correspondencia,
se obtiene que:
*
2
En total: 2 n 2 4 = 16 relaciones distintas entre sí
9y2 = 36 – 4x2; como 9y2 0 36 – 4x2 0
x2 9 –3 x 3 x [–3; 3]
Luego: Dom (R) = [–3; 3]
DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN
Dada la relación: R : A A, donde A es un
conjunto no vacío, el dominio de R (Dom(R)) se
*
4x2 = 36 – 9y2, también como: 4x2 0
36 – 9y2 0 y2 4 –2 y 2
conjunto de las primeras
los pares ordenados que
y [–2; 2]
( Ran( R ) )
Luego: Ran (R) = [–2; 2]
como el conjunto de las segundas componentes;
es decir:
Centro Preuniversitario de la UNS
R ¡ ¡
R = {(x; y) R2 / 4x2 + 9y2 = 36}
R1 = [(0; 0)]
R2 = {(0; 1)}
R3 = {(1; 0)}
R4 = {(1; 1)}
R5 = {(0; 0); (0; 1)}
R6 = {(0; 0); (1; 0)}
R7 = {(0; 0); (1; 1)}
R8 = {(0; 1); (1; 0)}
R9 = {(0; 1); (1; 1)}
R10 = {(1; 0); (1; 1)}
R11 = {(0; 0); (0; 1); (1, 0)}
R12 = {(0; 0); (0; 1); (1; 1)}
R13 = {(0; 0); (1; 0); (1, 1)}
R14 = {(0; 1); (1; 0); (1, 1)}
R15 =
R16 = {(0; 0); (0; 1); (1, 0); (1; 1)}
conforman la relación y el rango de R.
ó
Ejemplo 03
En R, se define la relación R así:
Las relaciones definidas en A son:
define como el
componentes de
Álgebra.
2
S-12
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Ejemplo 04
Hallar el dominio y rango de la relación:
R = {)x; y) R2 / x2 + y2 + 4x – 6y = 3}
R
2
Como y R, entonces de dicha regla, al
tomarla como una ecuación cuadrática en “y”
así:
y2 – 6y + (x2 + 4x – 3) = 0
6
Ran (R)
A
Y además: Dom (R) = {2; 3; 4} = Ran (R)
(–6)2 – 4(1) (x2 + 4x – 3) 0
36 – 4(x2 + 4x – 3) 0
x2 + 4x – 12 0
(x + 6) (x – 2) 0
–6 x 2
TIPOS DE RELACIONES
Consideramos una relación R en A, es decir: R:
AA donde A es un conjunto no vacío, se tiene:
1. Relación Reflexiva
La relación R se denomina REFLEXIVA, si en
ésta todo elemento de A está relacionado
consigo mismo, así:
De forma análoga, como x R, entonces la
ecuación cuadrática en “x”:
x2 + 4x + (y2 – 6y – 3) = 0, obtenida de la regla
de correspondencia, debe tener raíces reales,
para lo cual
R es REFLEXIVA a A : (a; a) R
Ejemplo 01
Sea el conjunto A = {1; 2; 3; 4} en el cual se
define la relación
0 42 – 4(1) (y2 – 6y – 3) 0 16 – 4(y2
– 6y – 3) 0 y2 – 6y – 7 0 (y – 7) (y +
1) 0 –1 y 7
R = {(1; 1), (1; 2), (2; 2), (2; 3), (3; 3), (3; 4),
(3; 4), (4; 4), (4; 1)}
Se observa que:
Luego: Ran (R) = [–1; 7]
Para 1 A : (1; 1) R
Para 2 A : (2; 2) R
Para 3 A : (3; 3) R
Para 4 A : (4; 4) R
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA
RELACIÓN
Una representación gráfica adecuada para una
relación permite visualizar algunas de sus
propiedades o características e incluso, para
ciertas relaciones, se puede determinar a partir de
dicha gráfica el dominio y el rango. Las
representaciones gráficas descritas anteriormente
las usaremos nuevamente.
Ejemplo 05
En el conjunto: A = {2; 3; 4; 5; 6} se define la
relación:
R = {(x; y) A2 / xy < 10}
Por lo tanto es REFLEXIVA
*
Ejemplo 02
La relación R1 = {(x; y) N2/x es un divisor de
y} es REFLEXIVA, pues todo número natural
es divisor de si mismo y en consecuencia: a
N: (a; a) R1
*
3
La relación: R2 = {(x; y) R2 / x < y} no es
REFLEXIVA, porque a R, el par (a; a) no
satisface la regla de correspondencia de R2,
ósea es falso que: a < a
*
Mediante
el
DIAGRAMA
SAGITAL,
relacionaremos un elemento del conjunto de
partida con otro conjunto de llegada de tal modo
que su producto sea menor que 10, así:
Centro Preuniversitario de la UNS
5
De donde:
R = {(2; 2), (2; 3), (2, 4), (3; 2), (3, 3); (4, 2)}
Luego: Dom (R) = [–6, 2]
*
5
A
Se deben obtener raíces reales y para ello su
discriminante debe ser no negativo:
0
4
6
Dom (R)
3
4
Analizando la regla de correspondencia de la
relación: x2 + y2 + 4x – 6y = 3 se obtiene:
2
3
*
Álgebra.
La relación R3 = {(x; y) Z2 /x3 + y = x+ y3}
S-12
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4. Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.- Lic.Rodolfo Carrillo- Lic Juan Miranda
Es REFLEXIVA, en vista que: a Z, el par
(a; a) verifica la regla de correspondencia de
R3, así:
A3 +a = a + a3
Álgebra.
La relación R se denomina TRANSITIVA
cuando para todos los pares (a; b) (b, c)
R, el par (a; c) también pertenece a R, así:
R es TRANSITIVA {(a; b) (b; c) R: (a,
c) R}
Si definimos la relación IDÉNTICA I : A A,
como:
I = {(x; y) A2 / y = x, x A}
Ejemplo 01
En A = {1; 2; 3; 4} se define la relación:
R = {(1; 2) , (2; 3), (3; 4), (1; 3), (1; 4), (2; 4)}
Donde, tomando todos los pares posibles de
la forma (a; b) y (b; c) se observa que:
Para (1; 2) (2; 3) R : (1; 3) R
Para (1; 2) (2; 4) R : (1; 4) R
Para (2; 3) (3; 4) R : (2; 4) R
Para (1; 3) (3; 4) R : (1; 4) R
Entonces podemos establecer que una
relación R definida en A es REFLEXIVA
cuando la relación IDÉNTICA I en A es
subconjunto de R
R es REFLEXIVA I R
2. Relación Simétrica
La relación R se llama SIMÉTRICA cuando
para todos los pares (a, b) R, el par (b; a)
también es un elemento de R, es decir:
R es SIMÉTRICA { (a; b) R : (b, a) R}
Luego, R es una relación TRANSISTIVA
*
Ejemplo 01
Siendo: A = {1; 2; 3; 4, 5} se define la relación:
R = {(1; 3), (2; 4), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (4; 2), (3; 1)}
Donde se nota que:
Para (1; 3) R : (3; 1) R
Para (2; 4) R : (4; 2) R
Para (3; 5) R : (5; 3) R
Para (4; 4) R : (4; 4) R
Para (5; 3) R : (3; 5) R
Para (4; 2) R : (2; 4) R
Para (3; 1) R : (1; 3) R
*
Ejemplo 02
La relación
R1 = {(x; y) N2 / x es un divisor de y}
Es TRANSISTIVA, pues siendo a un divisor de
b y b un divisor de c, entonces a será un
divisor de c, es decir: (a; b) (b; c) R1 : (a,
c) R1
La relación:
S = {(x; y) Z2 / x + y es un número par}
Es TRANSITIVA, porque para los pares (a; b)
(b; c) s o también a + b es un número par
y b + c es un número par; teniendo en cuenta
que la suma de dos números pares es otro
número par, se tiene que (a + b) + (b + c) es
par a + c + 2b es par, de donde a + c es par
y por lo tanto: (a; c) S
Luego, la relación R es simétrica
*
Ejemplo 02
* La relación: R4 = {(x; y) R2 / x2 + y2 = 1}
Es SIMÉTRICA, pues para cualquiera (a; b)
R4 que satisface la regla de correspondencia:
a2 + b2 = 1, el par (b; a) también satisfacerla
dicha regla: b2 + a2 = 1, es decir (b; a) R4
* La relación: R1 = {(x; y) N2 / x es divisor de
y}
Es SIMÉTRICA, pues para cualquiera (a; b)
R1: a es un divisor de b, no necesariamente b
es un divisor de a, es decir no siempre (b; a)
R1
* La relación:
S = {(x; y) Z2/x + y es un número par} es
SIMÉTRICA porque siendo a + b un número
par, b + a también lo es, o sea
(a, b) S : (b , a) S
3. Relación Transitiva
Centro Preuniversitario de la UNS
La relación R2 = {(x; y) R2 / x < y}
Es TRANSISTIVA, porque si a < b b < c
entonces a < c, lo cual significa que:
(a; b) (b; c) R2 : (a ; c) R2
4. Relación de Equivalencia
La relación R se dice que es de
EQUIVALENCIA, si y solo si r es REFLEXIVA,
SIMÉTRICA y TRANSITIVA a la vez.
Ejemplo 01
Sea el conjunto:
A = {1; 2; 3; 4} en el cual se define la relación:
R = {(1; 1), (1; 2), (2; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4)}
R es reflexiva, pues siendo:
I = {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4)} : I R
R es SIMETRICA, porque (a; b) R: (b; a)
R
R es TRANSITIVA, debido a que:
4
S-12
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5. Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.- Lic.Rodolfo Carrillo- Lic Juan Miranda
Para (1; 1) (1; 2) R : (1; 2) R
Para (1; 2) (2; 1) R : (1; 1) R
Para (1; 2) (2; 2) R : (1; 2) R
Para (2; 1) (1; 1) R : (2; 1) R
Para (2; 1) (1; 2) R : (2; 2) R
Para (2; 2) (2; 1) R : (2; 1) R
03. Se da el conjunto
relaciones:
Álgebra.
A ;2;3;4
1
y las
M x; y A2 / x y
N x; y A / x y 4
2
La
suma de los elementos del dominio de
M N es:
Por lo tanto, R es de EQUIVALENCIA
a) 6
RELACIÓN INVERSA
Dado un conjunto no vacío A y la relación R : A
A talque: R = {(x; y) A2 / P(x; y) }
b) 10
c) 4
04. Si: M 2;4;6;8;10 y
Se define la relación INCERSA de A como:
R* = {(y; x) A2 / P(x; y) }
d) 5
N ;3;5;7;9
1
tal
R MxN
R a; b / b a 3
Donde: Dom(R*) = Ran(R) Ran(R*) = Dom(R)
e) 3
que
encontrar
la
suma de los elementos del rango de R.
Ejemplo 01
En A = {1; 2; 3; 4} se define la relación:
R = {(1; 2), (2; 3), (3; 4), (1; 3), (1; 4), (2; 4)}
Entonces:
R* = {(2; 1), (3; 2), (4; 3), (3; 1), (4; 1), (4; 2)}
Donde:
Dom(R*) = {2; 3; 4} = Ran(R)
Ran(R*) = {1; 2; 3} = Dom(R)
a) 21
05.
c) I y II
B 3x 1 Z / 11 2 x 3 16
a) 2
¿Cuántos elementos tiene el producto
b) 80
b) 19
c) 18
d) 15
e) 9
º
P a N / a 5 15
º
y
Q b N / b 2 8
a, b PxQ / a b es par
R
menor que 30
Calcular nR
A 2 x 1 N / 3 x 4
a) 90
Si:
06. Sean:
02. Sea:
cartesiano
e) 10
relación:
R x; y N 2 / y 6 x afirmamos:
nR 7
I.
DomR RanR
II.
I.
La suma de los elementos del DomR
es igual a 20.
Son verdaderos
a) Sólo I
b) Sólo II
d) Todas
e) I y III
d) 19
A a Z / 2 a 7
B b N / 3 b 10
R a; b AxB / 3 a b 7
a) 20
la
c) 15
hallar la suma de los elementos del rango de
R.
PRACTICA DE CLASE
01. Dada
b) 9
b) 10
c) 8
d) 7
e) 9
AxB ?
c) 60
d) 50
Centro Preuniversitario de la UNS
e) 70
5
S-12
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6. Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.- Lic.Rodolfo Carrillo- Lic Juan Miranda
07. Si:
I. R es reflexiva
II: R es simétrica
III. R es transitiva
Son verdaderas:
a) Sólo I
b) I y II
c) II y III
d) Todas
e) Ninguna
A a Z / 0 a 7
B b N / 2 b 6
R a; b AxB / 1 a b 5
23
06. Si R y S son dos relaciones en un mismo
conjunto A. De las proposiciones
I. R y S son reflexivas R S es reflexiva
II. R y S son reflexivas R S es reflexiva
III. R y S son reflexivas (R S) – (R S)
es reflexiva
Son verdaderas:
a) Todas
b) Sólo I
c) I y II
d) I y III
e) Ninguna
Halla el número de elementos de R.
a) 4
b) 7
c) 8
d) 5
e) 6
NIVEL BASICO
01. En el sistema de coordenadas rectangulares,
el punto que representa al par (–7; 3a+2b)
está sobre la bisectriz del segundo cuadrante
y el del par (2a – 3b; –17) está sobre la
bisectriz del tercer cuadrante. Según esto, ba
es iguala a:
a) 0,2
b) 0,4
c) 0,6
d) 0,8
e) 1,2
07. En A = {2x/x N 2 < x < 7}, en la cual se
define la relación R reflexiva y simétrica:
R = {(10;10), (12;12), (a; a), (b;b), (a; b), (c; d)}
Hallar: a + b + c + d
e indicar si R es
transitiva
a) 28; SI
b) 24; SI
c) 24; NO
d) 28; NO
e) 14; SI
02. Dados los conjuntos:
08. En A = {1; 2; 3; 4} se considera la relación:
R = {(x; y) A2 /x = y x + y = 3}
Se afirma que R es:
I. Reflexiva
II. Simétrica
III. Transitiva
IV. De equivalencia
Son verdaderas
a) I y II
b) II y III
c) Sólo I
d) Todas
e) Ninguna
| x | 1
A =
Z / 16 x 2 625
3
B = (2 y 3) Z / 2 3 y 2 5
Hallar: n(A (B A ))
c
a) 28
d) 70
b) 42
e) 112
c) 56
09. Siendo R una relación definida en A y R* su
relación inversa, decir si es verdadera (V) o
falsa (F) cada proposición:
I. R es simétrica R* es simétrica
II. R es reflexiva R R*
III. R es simétrica R o R* = I,
Donde: I es la relación IDÉNTICA definida
en A.
a) VVV
b) VFV
c) VVF
d) FVF
e) FVV
03. Dados los conjuntos:
A = {1; 2; 3; 4}; B = {1; 2; 5; 6} y C (a; b)
definida por “a” no es menor que “b”, donde
(a;b) A B
¿Cuántos
pares
ordenados
tiene
la
correspondencia C?
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
04. Calcular el área de la región determinada en
el plano cartesiano por A B si:
10. Indicar si es verdadera (V) o Falsa (F) cada
proposición:
I. R = {(x; y) R2 / x2 – 4y2 = 16} es
REFLEXIVA
II. S = {(x; y) Z2/x es múltiplo de y} es de
EQUIVALENCIA
III. T = {(x; y) A2/ x no es perpendicular con
y} donde A es el conjunto de rectas
coplanares, es TRANSITIVA
a) VVF
b) FVV
c) FFF
A = {( 2 x –1) R / 4 x 25}
B = {2/3(x – 1) R / 19 x –4x 0}
a) 62 2
b) 70 2
c) 75 2
2
2
d) 76
e) 82
05. Definimos la relación:
R = {(c; y) R2 / |x| 1 |y| 1}
Con respecto a las proposiciones
Centro Preuniversitario de la UNS
Álgebra.
6
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7. Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.- Lic.Rodolfo Carrillo- Lic Juan Miranda
d) VFF
e) VVV
a) R es reflexiva y S es simétrica
b) R es transitiva y T es reflexiva
c) S es transitiva y t es simétrica
d) S es reflexiva y t es transitiva
e) R es transitiva y S es simétrica
11. Sean las relaciones:
R1 = {(x; y) R2 / x < 2 –1 < y < 2}
R2 = {(x; y) R2 / x Z }
R3 = {(x; y) R2 / – 2 y 1}
Con respecto a las proposiciones:
I. (–2; 1) R1 R2 – R3
II. (4; –1) R2 – R3
III. (1/2; 5/2) R1 R2 R3
Son verdaderas:
a) Sólo I
b) Sólo II
c) I y II
d) II y III
e) Todas
NIVEL INTERMEDIO
01. En A = {1, 2; 3; 4; 5} se define la relación
R = {(1; 2), (1; 4), (1; 5), (2; 3), (2; 5), (3; 3), (3;
4), (4; 2), (5; 2), (5; 3)}
Si:
M = {x A / (x; 3) R} ;
N = {y A / (2; y) R}
P = {y A / (3; y) R}
Calcular: n ((M N) x P)
a) 8
b)9
c) 10
d) 12
e) 15
12. Sea S = {2; 3; 4} un conjunto cuyo número de
elementos se expresa así: n(S) = 3
Si:
R1 = {(x; y) S2 / y x}
R2 = {(x; y) S2 / y = x2}
R3 = {(x; y) S2 / y – x = 1}
Hallar:
02. Con respecto a la relación R definida en Z:
R = {(a; b) / a – b = 3k / k Z}
Podemos decir que es:
a) Reflexiva b) Transitiva c) Simétrica
d) De Equivalencia
e) Ninguna
n(R1 )
n(R 2 ) n(R 3 )
a) 1
d) 4/3
b) 1/2
e) 3
c) 2
03. Dada la relación: R = {(x; y) IN2 / y = 6 - x}
Afirmamos:
I. n(R) = 7
II. Dom(R) = Ran(R)
III. La suma de tos elementos del Dom (R) es
igual a 20.
Son verdaderas:
13. En Z se define las siguientes relaciones:
R1 = {(x; y) / 3x + y = 7}
R2 = {(x; y) / 5x - 4y = 12}
y S = {(x; y) / (x; z) R1 (z; y) R2}
Entonces, S por comprensión es:
a) S = {(x; y) / 8x – 3y = 19}
b) S = {(x; y) / 2x – 5y = 5}
c) S = {(x; y) / 15x + 4y = 23}
d) S = {(x; y) / 3x – 8y = 19}
e) S = {(x; y) / 4x – 15y = 23}
14. Se definen en Z las siguientes relaciones:
a R b a es divisor de b
aSba+b=4
a T b a – b es múltiplo de 3
a U b a2 + b2 = 25
Entonces podemos afirmar que:
a) R y S son reflexivas
b) R y S son simétricas
c) T y R son reflexivas y simétricas
d) S, T y U son simétricas
e) T y U son de equivalencia
a) Sólo I
b) Sólo 11
c) l y II
d) I y 111
e) Todas
04. Reconocer la gráfica de la relación definida en
R dada por la ecuación: |x – y| = 4
a)
1
ab
b)
y
y
x
x
c)
d)
y
15. Dadas las relaciones:
R ={(a; b) R2 / a – b 0}
S = {(a; b) R2 / 0 a – b 1}:
T = (a ; b) R 2 /
Álgebra.
y
x
x
0
e)
Entonces:
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8. Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.- Lic.Rodolfo Carrillo- Lic Juan Miranda
Álgebra.
d) (4, 2) R
e) (4; –2) R
y
x
10. En A = {1; 2; 3;4; 5} se define la relación:
R = {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (5; 1), (2; 4), (5; 4),
(5; 2), (4; 3), (3; 5)}
Si:
M = {x A / (x; 2) R}
N = {y A / (3; y) R}
P = {x A / (x; 5) R}
a) {2; 5}
b) {3; 5}
c) {3}
d) {5}
e) {1; 2; 4; 5}
05. De las proposiciones:
I. La gráfica cartesiana de
R = {(x; y) R2 / |xy| = 2}
Es simétrica respecto a sus asíntotas
II. La gráfica cartesiana de:
S = {(x; y) R2 / |y + 1| = |x – 1|}
Es simétrica respecto al origen de
coordenadas
III. La gráfica cartesiana de
T = {(x; y) R2 / |x + y| = 2}
Es simétrica respecto a la recta y = x
IV. La gráfica cartesiana de
U = {(x; y) R2 / xy = 0}
Está formada por todos los puntos del
plano
Son falsas:
a) Todas
b) Solo I
c) Sólo IV
d) II y IV
e) Sólo III
11. Si: R1 = {(x; y) R2 / y – x = 6};
R2 = {(x; y) R2 / y + x = 8}
Calcular el producto de los componentes de
los elementos de R1 R2
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
12. Dados los conjuntos:
A = {x R / x2 = 8 – 2x}
B = {x R /x3 = 2x2 + 3x}
El número de posibles correspondencias de A
en B es:
a) 6
b) 8
c) 32
d) 64
e) 128
06. Calcular el área de la región determinada por
la relación:
R = {(x; y) R2 / |x – 1| + |y – 5| 1 y 5 +
|x – 1|}
a) 0,5 2
b) 1 2
c) 1,5 2
d)
2
2
e) 2 2
13. En A = {a; b; c; d} se definen las siguientes
relaciones:
R = {(a; a), (a; b), (b; b), (b; c), (c; c), (a; c), (d; d)}
S = {(a; a), (a; b), (b; a), (b; c), (c; b), (c; c), (d; d)}
T = {(a; a), (a; b), (b; b), (c; c), (c; d), (d; d)}
U = {(a; a), (a; b), (b; a), (b; b), (c; c), (c; d), (d; c),
(d; d)}
De las cuales m son reflexivas, n son
simétricas y p son transitivas. Los valores de
m, n y p, en ese orden, son:
a) 2; 3; 2
b) 2; 2; 3
c) 3; 2; 3
d) 2; 3; 3
e) 3; 2; 1
2
07. Se define las siguientes relaciones en el
conjunto: A = {x N/ 1 x 3}
I. R1 = {(1; 2), (2; 2), (3; 3)}
II. R2 = {(1; 1), (2; 1), (3; 1), (3; 2)}
III. R3 = {(1; 3), (2; 3), (3; 3)}
IV. R4 = {(2; 1), (2; 2), (2; 3)}
¿Cuántas son funciones definidas en A?
a) Ninguna
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
14. En Z se define la relación:
R = {(x; y)/ –1 2x + 1 < y < 5}
Si “a” es la suma de los elementos de Dom (R)
y “b” es la suma de los elementos de Dom(R*)
Calcular (a+ b)
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
08. Si: A = {-1; 0; 1} y R = {(x; y) A2 / y2 = x2},
Hallar n(R)
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
09. Dada la relación: R = {(x; y) Z N/ y2 = x}, la
proposición verdadera es:
a) D R = N
b) R R = {0, 1, 4, 9,16, ...}
c) R no es función
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