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  1. 1. “UNIVERSIDADNACIONAL HERMILIO VALDIZÁN “ FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN. DOCENTE: Dr.Fermín Pozo Ortega ALUMNO: Jorge Huahuatico Huacho ESPECIALIDAD: Matemática y física TEMA: CÁLCULO INTEGRAL – LA INTEGRAL INDEFINIDA ASIGNATURA: Soporte informático
  2. 2. HISTORIA DEL CÁLCULO INTEGRAL El calculo integral es en gran medida, fundamento de variadas disciplinas. Ha propiciado el avance en numerosos campos de estudio y desarrollado nuevas perspectivas ante problemas, investigaciones y descubrimientos. Su invención se podría atribuir a Newton y Leibniz, sin embargo es necesario mencionar su preexistencia parcial y su evolución a través del tiempo. El papiro de Moscu, documento egipcio de suma importancia, muestra, a través de 25 problemas matemáticos, sus estudios con respecto al calculo de volumen y superficies. En dos de estos problemas, se introduce la formula para hallar el volumen de un tronco piramidal. Eudoxo de Cnido (390 AC-355AC) matemático turco, conocido por diversos planteamientos astronómicos, propuso el MÉTODO EXHAUSTIVO (AGOTAMIENTO O EXHAUSCION) que consistía en encontrar áreas y volúmenes partiendo la totalidad del espacio de estudio en formas infinitas de volúmenes o áreas ya conocidas. Arquimedes uso este método para realizar el calculo de áreas en parábolas así como el área de un circulo de manera aproximada. Paralelamente, en oriente, se desarrollaban algunos procedimientos de asombrosa semejanza. Liu Hui, matemático de origen chino, realizo el calculo del numero π (pi) a través de polígonos regulares en el área de un circulo, calculo de volúmenes en sólidos, mediciones y variados procedimientos matemáticos de gran trascendencia. Zu Chongzhi profundizo en el trabajo de Liu con el fin de hallar el área de una esfera. Es necesario destacar las contribuciones de algunos pensadores y matemáticos, como Platon,Tales de Mileto, Pitagoras y Zenon. Posteriores a estos, como Cavalieri, Galileo y Kepler, quienes ofrecieron su pensamiento para las generaciones futuras, tales como Fermat y Barrow, quienes retomando los estudios de sus antecesores, ampliaron el conocimiento y estructuraron las bases del calculo. (Sandino
  3. 3. 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒙 + 𝑪 Función integrada Diferencial Constante de integración Símbolo de la integral Integrando LA INTEGRAL Es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitesimalmente pequeños: una suma continua. La integral es la operación inversa a la derivada.
  4. 4. INTEGRAL INDEFINIDA ¿qué es la antiderivada de una función ? Decimos que una función 𝐹(𝑥) es una ANTIDERIVADA de otra función 𝑓(𝑥) continua en un intervalo 𝐼,si se cumple: 𝐹´ 𝑥 = 𝑓 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐼 Ejemplo: La antiderivada de 𝑓 𝑥 = 4𝑥3 es 𝐹 𝑥 = 𝑥4 , porque 𝐹´ 𝑥 = 4𝑥3
  5. 5. LA ANTIDERIVADA GENERAL Si 𝐹 𝑥 es una ANTIDERIVADA de 𝑓(𝑥) sobre el intervalo 𝐼, es decir: Si 𝐹´ 𝑥 = 𝑓 𝑥 sobre 𝐼, entonces la función 𝐺 𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶 es la ANTIDERIVADA GENERAL de 𝑓(𝑥) LA INTEGRAL INDEFINIDA Se llama INTEGRAL INDEFINIDA de una función 𝑓(𝑥), a la antiderivada general de la función. Es decir, si 𝑓 𝑥 = 𝐹´ 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐼, entonces: 𝐺 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶, ∀𝑥 ∈ 𝐼
  6. 6. PROPIEDADES ELEMENTALES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA 𝑐𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑐 =constante 𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑎𝑓 𝑥 ± 𝑏𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± 𝑏 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 REGLA DE LA CADENA La regla de la cadena, es: 𝑓 𝑢 𝑥 𝑢´ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑢 𝑥 + 𝐶
  7. 7. TABLA DE INTEGRALES (formas básicas)  𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢  𝑢𝑛 𝑑𝑢 = 𝑢𝑛+1 𝑛+1 + 𝐶, 𝑛 ≠ −1  𝑑𝑢 𝑢 = ln 𝑢 + 𝐶  𝑒𝑢𝑑𝑢 = 𝑒𝑢 + 𝐶  𝑏𝑢𝑑𝑢 = 𝑏𝑢 𝑙𝑛𝑏 + 𝐶  sin 𝑢 𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝐶  cos 𝑢 𝑑𝑢 = sen 𝑢 + 𝐶  𝑠𝑒𝑐2 𝑢 𝑑𝑢 = tan 𝑢 + 𝐶  𝑐𝑠𝑐2 𝑢 𝑑𝑢 = −cot 𝑢 + 𝐶  sec 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑢 = sec 𝑢 + 𝐶  csc 𝑢 cot 𝑢 𝑑𝑢 = − csc 𝑢 + 𝐶  tan 𝑢 𝑑𝑢 = ln | sec 𝑢| + 𝐶  cot 𝑢 𝑑𝑢 = ln | se𝑛 𝑢| + 𝐶  sec 𝑢 𝑑𝑢 = ln | sec 𝑢 + tan 𝑢 | + 𝐶  csc 𝑢 𝑑𝑢 = ln | csc 𝑢 − cot 𝑢 | + 𝐶
  8. 8. EJEMPLOS: 𝑥3 𝑑𝑥 = 𝑥3+1 3 + 1 + 𝐶 = 𝑥4 4 + 𝐶 5 𝑥8 𝑑𝑥 = 5 𝑥−8𝑑𝑥 + 𝐶 = 5 𝑥−8+1 −8 + 1 + 𝐶 = − 5 7𝑥7 + 𝐶 sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶 𝑠𝑒𝑐2 𝑥𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶
  9. 9. (𝒙𝟐 − 𝟓)𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑥4 − 10𝑥2 + 25 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥4 𝑥 𝑑𝑥 − 10 𝑥2 𝑥 𝑑𝑥 + 25 1 𝑥 = 𝑥 7 2𝑑𝑥 − 10 𝑥 3 2𝑑𝑥 + 25 𝑥− 1 2 = 2 9 𝑥 9 2 − 4𝑥 5 2 + 50𝑥 1 2 + 𝐶
  10. 10. GRACIA

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