Monografia dirigida a las Matemáticas

1. “Integrales Racionales”
(Nombre)
Universidad Privada de Tacna
Diciembre 12 del 2018
Nota:
Matemática, Profesor (Nombre), Facultad de Ciencias Empresariales, Escuela Profesional de
Ingeniería Comercial

2. 2
INTRODUCIÓN
La integración racional es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas,
especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es
una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. El cálculo integral, encuadrado en el
cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti-
derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente
para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Fue usado por primera
vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac
Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental
del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

3. 3
ÍNDICE
MARCO TEORICO................................................................................................................... 4
HISTORIA DEL CALCULO INTEGRAL......................................................................... 4
INTEGRALES .................................................................................................................... 4
INTEGRALES RACIONALES .......................................................................................... 5
Fracciones propias.............................................................................................................. 6
Fracciones impropias con raíces simples ........................................................................... 6
IMPORTANTE .................................................................................................................. 7
CASO 1.............................................................................................................................. 7
CASO 2.............................................................................................................................. 7
CASO 3.............................................................................................................................. 8
RACIONALES BASICAS................................................................................................. 8
CONCLUSIÓN ........................................................................................................................ 12
REFERENCIAS BIBLIOGRAFÍAS........................................................................................ 13
ANEXO .................................................................................................................................... 14

4. 4
MARCO TEORICO
HISTORIA DEL CALCULO INTEGRAL
El origen del cálculo integral se remonta a la época de Arquímedes (287-212 a.C.), matemático
griego de la antigüedad, que obtuvo resultados tan importantes como el valor del área encerrada
por un segmento parabólico. La derivada apareció veinte siglos después para resolver otros
problemas que en principio no tenían nada en común con el cálculo integral.
El descubrimiento más importante del cálculo infinitesimal (creado por Barrow, Newton y
Leibniz) es la íntima relación entre la derivada y la integral definida, a pesar de haber seguido
caminos diferentes durante veinte siglos. Una vez conocida la conexión entre derivada e integral
(teorema de Barrow), el cálculo de integrales definidas se hace tan sencillo como el de las
derivadas. (Espinosa Herrero, 2016)
INTEGRALES
(Rabuffetti Hebe, 2004) Proceso que permite restituir una función que ha sido previamente
derivada. Es decir, la operación opuesta de la derivada así como la suma es a la resta.
Por conveniencia se introduce una notación para la antiderivada de una función
Si F!(x) = f(x), se representa
∫ 𝒇𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭𝒙 + 𝒄
A este grafo ∫ se le llama símbolo de la integral y a la notación ∫ 𝑓𝑥 𝑑𝑥 se le llama integral
indefinida de f(x) con respecto a x. La función f(x) se denomina integrando, el proceso recibe el
nombre de integración. Al número C se le llama conste de integración esta surge por la

5. 5
imposibilidad de la constante derivada. Así como dx denota diferenciación son respecto a la
variable x, lo cual indica la variable derivada.
∫ 𝒇𝒙 𝒅𝒙
Esto se lee integral de fx del diferencial de x.
INTEGRALES RACIONALES
(Larson - Hostetler, 2001) En las integrales racionales suponemos que el grado del numerador
es menor que del denominador, si no fuera así se dividiría.
Son integrales del tipo: ∫
𝑷(𝒙)
𝑸(𝒙)
𝒅𝒙 con P(x) y Q(x) funciones polinómicas. Suelen ser largas
de cálculo, por lo que se convierten en un peñazo, pero a cambio son muy mecánicas y si te
aprendes la técnica, son todas iguales y siempre salen.
 Antes de hacer nada, debemos tener en cuenta dos cosas:
Si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, debemos hacer la división
de los polinomios, calculando el cociente y el resto. Hecho esto, y aplicando la regla de la división
(dividendo=cociente · divisor + resto), hacemos la siguiente descomposición:
∫
𝑷(𝒙)
𝑸(𝒙)
𝒅𝒙 = ∫ 𝑪( 𝒙) 𝒅𝒙 +∫
𝑹(𝒙)
𝑸(𝒙)
𝒅𝒙
Observa que la primera integral, la sabemos hacer sin problemas pues es la integral de un
polinomio, y la segunda, es la integral de una función racional en la que el grado del numerador
es menor que el del denominador.

6. 6
 Si en el numerador aparece la derivada del denominador, la integral será logaritmo
neperiano del denominador, pues podría resolverse mediante un cambio de variable
llamando "t" al denominador.
Fracciones propias
Si el grado de P(x) es mayor que el grado de Q(x), se debe dividir P(x) entre Q(x), [recordando
la división de polinomios explicada en octavo grado de educación básica], para obtener un cociente
de integración inmediata y un resto que será una función racional de numerador con grado menor
que el denominador, para así reducirla a una fracción impropia.
Fracciones impropias con raíces simples
 Si el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x), se tiene el caso de una fracción
impropia y se procede así:
Se descompone el denominador en un producto de factores así:
Q(x) = (x – a)(x – b)...(x– l)
 Se escribe entonces 𝒇( 𝒙) =
𝑷(𝒙)
𝑸(𝒙)
=
𝑨
𝒙−𝒂
+
𝑩
𝒙−𝒃
+ ⋯ +
𝑳
𝒙−𝟏
y se obtendrá entonces la
siguiente expresión:
𝑷( 𝒙) = 𝑨( 𝒙 − 𝒃)( 𝒙 − 𝒄)… ( 𝒙 − 𝟏) + 𝑩( 𝒙 − 𝒂)( 𝒙 − 𝒄)… ( 𝒙 − 𝟏) + ⋯ + 𝑳( 𝒙 − 𝒂)( 𝒙 − 𝒃) …
 Los coeficientes A, B,…,L, se determinan haciendo sucesivamente x = a, x = b, etc. Por
ejemplo
P(a) = (a-b)(a-c)…(a-1). Entonces, por despeje simple, se tiene que
𝑨 =
𝑷(𝒂)
( 𝒂 − 𝒃)( 𝒂 − 𝒄)… (𝒂 − 𝟏)

7. 7
 Obtenidos los coeficientes, se integra la expresión.
IMPORTANTE
(Wilmer Sanz, 2016) Una vez que el grado del numerador es menor que el del denominador y
la integral no se puede resolver por cambio de variable, tenemos que recurrir a descomponer en
raíces el denominador y en descomponer la función en suma de fracciones simples. Según como
sean las raíces del polinomio del denominador distinguimos estos tres casos:
CASO 1
 El denominador solo tiene raíces reales simples.
La fracción puede escribirse así:
Los coeficientes A, B y C son números que que se obtienen efectuando la suma e identificando
coeficientes o dando valores a x.
CASO 2
 El denominador solo tiene raíces reales y alguna de ellas múltiple.
La fracción puede escribirse así:

8. 8
CASO 3
 En el denominador aparece alguna raíz compleja.
La fracción puede escribirse así:
RACIONALES BASICAS
(Wilmer Sanz, 2016) Debemos aprender algunas elementales para empezar:
I) Del tipo ∫
𝑨
𝒂𝒙+𝒃
𝒅𝒙 estas integrales son inmediatas del tipo 𝐥𝐧 𝒖 →
𝒖′
𝒖
Ejemplo: ∫
𝟐
𝒙−𝟑
𝒅𝒙 = 𝟐 ∫
𝟐
𝒙−𝟑
𝒅𝒙 = 𝟐 𝒍𝒏| 𝒙 − 𝟑| + 𝒄
Ejemplo: ∫
𝟓
𝒙−𝟏
𝒅𝒙 = 𝟓 ∫
𝟏
𝟐𝒙−𝟏
𝒅𝒙 = 𝟓 .
𝟏
𝟐
∫
𝟐
𝟐𝒙+𝟏
𝒅𝒙 =
𝟓
𝟐
𝒍𝒏| 𝟐𝒙 + 𝟏| + 𝑪
II) Del tipo ∫
𝑨
(𝒙+𝒃) 𝒏
𝒅𝒙 con n ≠ 1 Son inmediatas del tipo ∫ 𝒙 𝒏
𝒅𝒙 =
𝒙 𝒏+𝟏
𝒏+𝟏
Ejemplo:
∫
𝟑
(𝟑+𝟏) 𝟐 𝒅𝒙 = 𝟑∫(𝒙 + 𝟓)−𝟐
𝒅𝒙 = 𝟑
(𝒙+𝟓)−𝟐+𝟏
−𝟐+𝟏
= 𝟑𝟑
(𝒙+𝟓)−𝟏
−𝟏
= −𝟑
𝟏
𝒙+𝟓
+ 𝑪
Ejemplo:
∫
𝟕
(𝒙 + 𝟐) 𝟑
𝒅𝒙 = 𝟕 ∫(𝒙 + 𝟓)−𝟑
𝒅𝒙 = 𝟕
(𝒙 + 𝟐)−𝟐
−𝟐
= −
𝟕
𝟐
𝟏
(𝒙 − 𝟐) 𝟐
= −
𝟕
𝟐(𝒙 − 𝟐) 𝟐
+ 𝑪
Si fuera un poquito más complicada ∫
𝑨
(𝒙+𝒃) 𝒏
𝒅𝒙 con n ≠ 1, siempre podríamos hacer un
cambio de variable sencillo ax+b=t y seria como las anteriores.

9. 9
Ejemplo
III) Del Tipo ∫
𝑨
𝒂𝒙 𝟐+𝒃𝒙+𝒄
𝒅𝒙 donde 𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 no tiene raíces Reales.
Éstas son más complicadas y son del tipo Arctag →
𝒖′
𝟏+𝒖 𝟐
(OJO: Si tuviera raíces reales no sería de este tipo Arcotangente, se haría de otra forma
porque se podría factorizar el denominador) Debemos arreglar la integral para que
quede de la forma: →
𝒖′
𝒖 𝟐+𝟏
. Esto se consigue haciendo un cuadrado perfecto en el
denominador (un producto notable + 1). Puede ser sencillo:
Ejemplo
Si no es tan evidente, un buen método puede ser el que vamos a ver con el siguiente ejemplo:
(Multiplicamos numerdor y denominador por 4ª)
= 𝟐 ∫
𝟏𝟐
𝟑𝟔𝒙 𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟐𝟒
𝒅𝒙

10. 10
Como (𝟔𝒙 + 𝟏) 𝟐
= 𝟑𝟔𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏 podemos escribir:
= 𝟐 ∫
𝟏
𝟑𝟔𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟏 + 𝟐𝟒
𝒅𝒙 = 𝟐𝟒 ∫
𝟏
(𝟔𝒙 + 𝟏) 𝟐
+ 𝟐𝟑
= 𝟐𝟒 ∫
𝟏/𝟐𝟑
(𝟔𝒙 + 𝟏) 𝟐
𝟐𝟑
+ 𝟏
𝒅𝒙 =
𝟐𝟒
𝟐𝟑
∫
𝟏
(𝟔𝒙 + 𝟏) 𝟐
√𝟐𝟑
+ 𝟏
𝒅𝒙
=
𝟐𝟒
𝟐𝟑
.
√𝟐𝟑
𝟔
= 𝟐 ∫
𝟔/√ 𝟐𝟑
(
𝟔𝒙+𝟏
√𝟐𝟑
) 𝟐+𝟏
𝒅𝒙 =
𝟒√ 𝟐𝟑
𝟐𝟑
𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒈 (
𝟔𝒙+𝟏
√ 𝟐𝟑
) + 𝑪
IV) Del Tipo ∫
𝑨𝒙+𝑩
𝒂𝒙 𝟐+𝒃𝒙+𝒄
𝒅𝒙donde 𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 no tienen raíces reales.
Son las más complicadas de todas y se hacen separándolas en dos integrales, una del tipo
logaritmo neperiano
𝒖′
𝒖 𝟐+𝟏
Para obtener el logaritmo neperiano debemos conseguir que arriba
aparezca la derivada del de abajo. Una vez conseguido esto lo que quede será una del tipo
arcotangente.
Ejemplo
∫
𝟑𝒙+𝟐
𝟐𝒙 𝟐+𝟑𝒙+𝟓
𝒅𝒙 Debemos conseguir que arriba quede (4x+3), que es la derivada del
denominador.

11. 11
Las dos integrales que me han quedado son de los tipos anteriores y por tanto se pueden hacer
siempre.
El resultado final será:

12. 12
CONCLUSIÓN
 Los Integrales en general son aplicados para todo el ámbito laboral, tanto en la vida
cotidiana, por ello es que su punto de apoyo son las integraciones racionales o
integración de funciones racionales.
 Al momento de integrar funciones racionales y se observe que el grado del polinomio
p(x) es mayor o igual al grado del polinomio q(x) se está en presencia de una función
racional impropia.
 Cuando se factoriza el polinomio q(x) y se obtiene, como resultado de la factorización,
factores lineales y ninguno de estos factores lineales se repite.

13. 13
REFERENCIAS BIBLIOGRAFÍAS
Espinosa Herrero, E. (2016). Calculo Integral.
Larson - Hostetler. (2001). Cálculo con Geometría Analítica, tercera edición.
Rabuffetti Hebe, T. (2004). Introducción al Análisis Matemático, décima edición.
Wilmer Sanz. (2016). Integrales Metodos y aplicaciones. Reino Unido a España: CreateSpace
Independent Publishing Platform.

14. 14
ANEXO
a) El costo total (en miles de soles) de pedido y almacenaje de “x” automóviles es:
x
xxc
921600
7204)( 
Determina el tamaño de pedido que minimiza el costo total
𝑪( 𝒙) = 𝟒𝒙 + 𝟕𝟐𝟎 +
𝟗𝟐 𝟏𝟔𝟎𝟎
𝒙
𝑪′( 𝒙) = 𝟒 −
𝟗𝟐 𝟏𝟔𝟎
𝒙 𝟐
, 𝑺𝒊 𝑪′( 𝒙) = 𝟎
𝑪′( 𝒙) =
𝟒𝟗𝟐 𝟏𝟔𝟎
𝒙 𝟐
= 𝟎
𝒙 𝟐
= 𝟗𝟐 𝟏𝟔𝟎
𝒙 = ± 𝟒𝟖𝟎
𝒙 = 𝟒𝟖𝟎

15. 15
b) Supóngase que el costo de un artículo depende de la cantidad “x” producida de acuerdo con
la función, Q(X)=x2+2x+2: así, el costo por producir 300 artículos es de 90 602 dólares.
Calcular el costo margina por producir las siguientes unidades y determinar si es
conveniente producirla.
c) Supóngase que la relación entre el precio unitario p, en dólares y la cantidad demandada x
del sistema de sonido de Acrosonic está dada mediante la ecuación:
200000;40002,0  xxp , sabiendo que la función de ingreso está dado por:
R(x)=I(x)=px=xf(x)
i. ¿Cuál es la función de ingreso?
ii. ¿Cuál es la función de ingreso marginal?
𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝑴𝒂𝒓𝒈𝒊𝒏𝒂𝒍 𝑸′( 𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟐
𝑺𝒊 𝒙 = 𝟑𝟎𝟎 → 𝑸′( 𝟑𝟎𝟎)
= 𝟐( 𝟑𝟎𝟎) + 𝟐
𝑸′( 𝟑𝟎𝟎) = 𝟔𝟎𝟐
𝑺𝒊 𝒙 = 𝟑𝟎𝟏 → 𝑸′( 𝟑𝟎𝟏) = 𝟐( 𝟑𝟎𝟏) + 𝟐
𝑸′( 𝟑𝟎𝟏) = 𝟔𝟎𝟒
𝑹′( 𝒙) = 𝒙. 𝒑 = 𝒙. (−𝟎, 𝟎𝟐𝒙 + 𝟒𝟎𝟎)
𝑹´( 𝒙) = −𝟎, 𝟎𝟐𝒙 𝟐
+ 𝟒𝟎𝟎𝒙
𝑹′( 𝒙) = −𝟎, 𝟎𝟒𝒙 + 𝟒𝟎𝟎

16. 16
iii. Calcular R’(2000) e interprete los resultados.
d) Un fabricante estima que, al producir “x” unidades de un bien de consumo, el costo total
será de C(x)=1/8x2+3x+98(miles de nuevos soles), y que se venden todas las unidades; si el
precio que pone es de p(x)=1/3(75-x)(miles de nuevos soles) por unidad.
i. Hallar y costo y el ingreso marginal.
Costo Marginal: C’(x) ; C’(x)=
𝒙
𝟒
+ 𝟑
𝑹( 𝒙) = 𝒙 (
𝟕𝟓−𝒙
𝟑
) = 𝟐𝟓𝒙 −
𝒙 𝟐
𝟑
Ingreso Marginal: 𝑹′( 𝒙) = 𝟐𝟓 −
𝟐𝒙
𝟑
ii. Usar el costo marginal para estimar el costo de producir la novena unidad.
. El costo de producir la novena unidad es la variación del costo cuando “x” aumenta de 8 a 9
y se estima mediante el costo marginal 𝐶′(8)
𝑪′( 𝟖) =
𝟖
𝟒
+ 𝟑 = 𝟓 , El costo de producir la novena unidad es de 5000 soles.
iii. ¿Cuál es el costo real de producir la novena unidad?
El costo real es ∆𝑪 = 𝑪( 𝟗) − 𝑪( 𝟖) =
𝟏
𝟖
( 𝟗) 𝟐
+ 𝟑( 𝟗) + 𝟗𝟖 − (
𝟖 𝟐
𝟖
+ 𝟑( 𝟖)+ 𝟗𝟖)
∆𝑪 = 𝟓 𝟏𝟐𝟓 Miles de soles
𝑹′( 𝟐𝟎𝟎𝟎) = −𝟎, 𝟎𝟒( 𝟐𝟎𝟎𝟎)+ 𝟒𝟎𝟎
𝑹′( 𝟐𝟎𝟎𝟎) = 𝟑𝟐𝟎

17. 17
iv. Usar el ingreso marginal para estimar el ingreso al producir la novena unidad.
Se estima mediante el ingreso marginal 𝑹′( 𝟖) = 𝟐𝟓 −
𝟐
𝟑
( 𝟖) =
𝟓𝟗
𝟑
= 𝟏𝟗, 𝟔𝟕
𝑹′( 𝟖) = 𝟏𝟗, 𝟔𝟕 Miles de soles
v. ¿cuál es el ingreso real al producir la novena unidad?
∆𝑹 = 𝑹( 𝟗)− 𝑹( 𝟖) = 𝟐𝟓( 𝟗)−
𝟗 𝟐
𝟑
− (𝟐𝟓( 𝟖)−
𝟖 𝟐
𝟑
) = 𝟏𝟗, 𝟑𝟑 Miles de soles
e) El ingreso total mensual de un pequeño industrial está representado por I(x)=3 200x-0.6x2
soles, cuando se produce y vende “x” unidades mensuales. Actualmente e industrial produce
100 unidades al mes y planea incrementar la producción mensual en 1 unidad.
i. Utilicemos la función de ingreso marginal para estimar el ingreso que generará la
producción y venta de la unidad 101.
ii. Utilicemos la función ingreso para calcular exactamente el ingreso que genera la
producción y venta de la unidad 101.
𝑰𝒏𝒈𝒓𝒆𝒔𝒐 𝑴𝒂𝒓𝒈𝒊𝒏𝒂𝒍: 𝑰′( 𝒙) = 𝟑𝟐𝟎𝟎 − 𝟏, 𝟐𝒙
𝑰′( 𝟏𝟎𝟏) = 𝟑𝟐𝟎𝟎 − 𝟏, 𝟐( 𝟏𝟎𝟏) = 𝟑𝟎𝟕𝟖, 𝟖
∆𝑰
∆𝒙
=
𝑰( 𝟏𝟎𝟏)− 𝑰(𝟏𝟎𝟎)
𝟏𝟎𝟏 − 𝟏𝟎𝟎
∆𝑰
∆𝒙
=
𝟑𝟏𝟕𝟎𝟕𝟗, 𝟒 − 𝟑𝟏𝟒𝟎𝟎𝟎
𝟏
∆𝑰
∆𝒙
= 𝟑𝟎𝟕𝟗, 𝟒

18. 18
f) En cierta empresa un estudio de eficiencia para el turno de la mañana, determina que un
trabajador promedio, que llega a las 7:00 a.m. ha producido ttttQ 246)( 23
 .
i. Calcular la tasa de producción del trabajador a las 12:00.
ii. ¿A qué razón está cambiando la tasa de producción del trabajador con respecto
a las 12:00?
g) La función del costo de una fábrica es:
244
2)(
32
xx
xxC  en dólares, donde el nivel
de producción está dada en miles de artículos semanales. Si cada artículo producido se
puede vender en$19 cada uno. Determinar:
i. El ingreso.
𝒕 = 𝟓
𝑸( 𝟓) = −𝟓 𝟑
+ 𝟔( 𝟓) 𝟐
+ 𝟐𝟒(𝟓)
𝑸( 𝟓) = 𝟏𝟒𝟓
𝑸′( 𝒕) = −𝟑𝒕 𝟐
+ 𝟏𝟐𝒕+ 𝟐𝟒 , 𝒕 = 𝟓
𝑸′( 𝟓) = −𝟑(𝟓) 𝟐
+ 𝟏𝟐( 𝟓) + 𝟐𝟒
𝑸′( 𝟓) = 𝟗
𝑰( 𝑿) = 𝑿. 𝑷
𝑰( 𝒙) = 𝟏𝟗. 𝑿

19. 19
ii. Volumen de producción para obtener una utilidad máxima y el valor de la
utilidad.
𝑼𝒕𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅: 𝑼(𝒙)
𝑼( 𝒙) = 𝑰( 𝒙) − 𝑪(𝒙)
𝑼( 𝒙) = 𝟏𝟗𝒙 − (𝟐 + 𝒙 −
𝒙 𝟐
𝟒
+
𝒙 𝟑
𝟐𝟒
)
𝑼( 𝒙) = 𝟏𝟖𝒙 − 𝟐 +
𝒙 𝟐
𝟒
−
𝒙 𝟑
𝟐𝟒
𝑼( 𝒙) = 𝟏𝟖 +
𝒙
𝟐
−
𝒙 𝟐
𝟖
𝑼( 𝒙) = − (
𝒙 𝟐
− 𝟒𝒙 − 𝟏𝟒𝟒
𝟖
) , 𝑼′( 𝒙) = 𝟎
𝒙 =
𝟒 ± √ 𝟏𝟔 + 𝟒(𝟏𝟒𝟒)
𝟐
=
𝟒 ± 𝟒√ 𝟐𝟕
𝟐
𝒙 = 𝟐 ± 𝟐√𝟑𝟕
𝒙 = 𝟐 + 𝟐√𝟑𝟕 = 𝟏𝟒, 𝟏𝟔 ≈ 𝟏𝟒
𝒙 = 𝟐 − 𝟐√𝟑𝟕 = −𝟏𝟎, 𝟏𝟔
La producción es de 14000 artículos y la utilidad es U(14)=?
𝑼( 𝟏𝟒) = 𝟏𝟖( 𝟏𝟒)− 𝟐 +
𝟏𝟖 𝟐
𝟒
−
𝟏𝟖 𝟑
𝟐𝟒
→ 𝑼( 𝟏𝟒) = 𝟖𝟖

20. 20
h) Sea la función de costo C(x)=0.001x3-0.3x2+40x+1000. Determine el costo marginal
como una función de “x”. Evalúe el costo marginal cuando la producción está dada por:
i. X=20
ii. 100
iii. x=150
𝑪′( 𝟐𝟎) = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑(𝟐𝟎) 𝟐
− 𝟎, 𝟔( 𝟐𝟎)+ 𝟒𝟎
𝑪′( 𝟐𝟎) = 𝟐𝟗, 𝟐
𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝑴𝒂𝒓𝒈𝒊𝒏𝒂𝒍 𝑪′( 𝒙) → 𝑪′( 𝒙) = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝒙 𝟐
− 𝟎, 𝟔𝒙 + 𝟒𝟎
𝑪′( 𝟏𝟎𝟎) = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑(𝟏𝟎𝟎) 𝟐
− 𝟎, 𝟔( 𝟏𝟎𝟎)+ 𝟒𝟎
𝑪′( 𝟏𝟎𝟎) = 𝟏𝟎
𝑪′( 𝟏𝟓𝟎) = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑(𝟏𝟓𝟎) 𝟐
− 𝟎, 𝟔( 𝟏𝟓𝟎)+ 𝟒𝟎
𝑪′( 𝟏𝟓𝟎) = 𝟏𝟕, 𝟓