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CÁTERDRA DE ANÁLISIS
MATEMÁTICO
GUÍA DE TRABAJOS PRÁCTICOS

U.Na.M.-F.C.F - Cátedra de Análisis Matemático - Guía de trabajos prácticos.
2
Consideraciones iniciales
El aprendizaje consta fundamentalmente de tres aspectos a saber a) el objetivo: lo que la
institución educativa pretende que logre el alumno, b) la estrategia: el conjunto de pasos,
instrumentados por la cátedra, que permiten al alumno llegar a ese objetivo, a partir de un estado
inicial de desconocimiento o de relativo conocimiento del tema, c) la evaluación: la que cierra
el ciclo, informando el resultado del aprendizaje (primera característica: INFORMAR) y
proporcionando al nivel superior inmediato (segunda característica: PROMOCIONAR ) al
alumno que logre el objetivo. Queremos destacar que el carácter importante de la evaluación es
la información. La cátedra consideró necesario dar a conocer a los alumnos los tres elementos
claves del aprendizaje. Para cada practico se dará a conocer los objetivos que se pretende logre
el alumno. El objetivo general queda definido por los intereses de la institución y los objetivos
específicos son aquellos señalados para lograr el objetivo general. La diferencia entre el primero
y los segundos está dada en que el general no indica una conducta observable y por lo tanto
imposible de evaluar, los específicos sí. Poseen en común que todo objetivo está conformado
por una conducta y un contenido.

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Trabajo práctico n°1: Funciones
La geometría es una ciencia del conocimiento del ser, pero no de lo que está sujeto a la
generación y a la muerte. La geometría es una ciencia de lo que siempre es.
Platón (La República)
Objetivo general:
 Conocer el concepto de función, sus aplicaciones y los problemas que planea.
Objetivos específicos:
 Obtener la gráfica de una función.
 Presentar situaciones de la vida diaria que puedan interpretar ese funcionamiento.
 Discutir representaciones graficas de funciones.
 Ejemplificar funciones.
 Relacionar los conocimientos sobre: polinomios, expresiones racionales y trigonometría
con el estudio de las funciones.
 Definir función exponencial y su inversa.
Es frecuente hallar personas que expresen que la matemática es sinónimo de cálculo. Es decir
un instrumento útil para resolver problemas cotidianos. Sin embargo, en sus orígenes 4000 a.C.
consistía en ideas y técnicas para explicar y conocer el mundo (del gr.: matema=explicar y
tica=técnica).
Nosotros vamos a explicar algunos problemas concretos.
1) Para distintos fenómenos encontramos magnitudes relacionadas entre sí, tal que los
valores de una variable modifican los de otra. Ejemplo: la luz que un foco emite depende
de la potencia de este, el volumen de un cubo depende de la longitud de su arista, etc.
Si el precio de 1 kg de semillas p, el precio y de x kg del mismo producto es:
Observemos que los valores de x e y no son arbitrarios. Es decir el valor de una variable
depende del valor de la otra.
2) ¿Podés explicar, cómo es la relación entre las variables?
3) ¿Podríamos haber examinado la situación de manera diferente?
4) ¿Te animarías a dar un ejemplo?

4
5) En lugar de la pregunta “¿cuál es el precio de x kg del producto?”, que consideramos
inicialmente, ¿qué preguntaríamos?
6) Teniendo en cuenta lo visto, señala las partes que constituyen una función.
7) ¿Podes definir función?
Esperamos que hayas logrado definirla.
8) ¿Para qué servirán las funciones?
Funciones polinómicas
Es frecuente en nuestra asignatura trabajar con funciones en el conjunto de los números reales
R. Comenzamos por la más sencilla la función del tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 + 𝑏 donde 𝑎 y 𝑏 son
números fijos (constantes). Estas son las llamadas funciones lineales.
1) ¿Podés dar un ejemplo concreto y la correspondiente expresión analítica? Analiza lo
que escribiste.
2) ¿En el nivel medio, se estudian polinomios? ¿Qué significa ese término?
¿Has operado con polinomios?
¿Los has factoreado?
¿Hallaste sus raíces, etc.?
Podrías indicar:
3) ¿Qué relación hay entre las funciones polinómicas de grado n y las funciones lineales?
4) Las funciones polinómicas establecen una relación entre cada número real x y
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥𝑛
+𝑎𝑛−1 𝑥𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 donde 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 , … . 𝑎1, 𝑎0 ∈ 𝑅
¿Qué valores puede tomar 𝑎0?
¿Qué valores puede tomar 𝑎𝑛 ?
¿Qué valores puede tomar n?
5) Realizar una tabla de valores para las siguientes funciones, luego representarlas en un
mismo gráfico cartesiano:
a) 𝑦 = 𝑥2
b) 𝑦 = 3𝑥2
c) 𝑦 = −3𝑥2
d) 𝑦 = 3𝑥2
− 2
En otro gráfico:
e) 𝑦 = 𝑥2
f) 𝑦 = 𝑥3
g) 𝑦 = 𝑥4
h) 𝑦 = 𝑥5

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6) Observando los gráficos realizados y las partes que componen una función analítica
(coeficientes, signos, exponentes, términos independientes, etc.) ¿qué comentarios
podrías mencionar al respecto?
Funciones racionales
En el nivel medio estudiaste relaciones entre magnitudes inversamente proporcionales.
Esas relaciones pueden expresar fenómenos físicos como la ley de Boyle-Mariotte que expresa:
“Para una masa de gas que supuestamente mantiene constante la temperatura (T), los cambios
de volumen que experimenta esa masa serán inversamente proporcionales a las presiones que
soporta”: 𝑉 = 𝑘 𝑝−1
.
Esta función es un caso particular de las funciones racionales, las que pueden expresarse
mediante fórmulas que involucran solo a las cuatro operaciones elementales.
Las funciones racionales tienen la forma 𝑓(𝑥) =
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
7) ¿Habrá alguna restricción para los polinomios 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥)?
8) ¿La representación gráfica de las funciones racionales muestra alguna “patología”
interesante de analizar?
9) Dada la 𝑓(𝑥) = 𝑥−1
, construye una tabla de valores, ubica los puntos en un gráfico
cartesiano y luego dibuja la gráfica que corresponde a la 𝑓(𝑥).
10) Determina el dominio y representa gráficamente las funciones racionales definidas por:
a) 𝐹(𝑥) = −𝑥−1
b) 𝐺(𝑥) =
𝑥−1
𝑥+1
c) 𝐻(𝑥) = −𝑥−2
d) 𝐼(𝑥) =
2
𝑥2−2𝑥+1
Función exponencial
Al ingeniero forestal le interesa el crecimiento vegetal de las masas boscosas como
biólogo y como economista. Buchanan en 1.958 pudo expresar matemáticamente la velocidad
de crecimiento de tejidos meristemáticos. El consideró que el número de células en el momento
inicial del estudio era 𝐶0. Al transcurrir una semana el número había aumentado un 15%, es
decir el número de células:
𝐶1 = 𝐶0 + ⋯
Las observaciones continuaron y resultó que en la segunda semana se produjo un aumento del
15% respecto 𝐶1.

6
11) Expresa 𝐶1 y 𝐶2 en función de 𝐶0. Seguramente te será útil aplicar lo que conoces de
factoreo.
12) Si el crecimiento continúa en un 15% semanal respecto al valor 𝐶0 con que se inicia la
semana, ¿cuál será el valor de 𝐶3?
13) ¿Y 𝐶𝑛?
Pero el crecimiento no se realiza a saltos. Tiene continuidad en el tiempo. Por la
comodidad fuimos tomando valores naturales de semanas. Por supuesto el crecimiento se
realiza hasta un tiempo determinado al cabo del cual se detiene. Al ingeniero forestal le interesa
seguir ese crecimiento para elegir mejor el momento para realizar intervenciones forestales. De
ahí radica el interés de estudiar estas funciones cuya expresión más general es 𝑦 = 𝑎𝑥
. 𝑥0 ,
esta función se denomina exponencial de base 𝑎.
14) ¿Cuál es el dominio y codominio de 𝐹(𝑥)?
15) ¿ 𝑎 puede ser negativa?
16) ¿ 𝐹(𝑥) es biyectiva?
17) Representa en un mismo gráfico las siguientes funciones exponenciales:
a) 𝑦 = 3𝑥
b) 𝑦 = (
1
3
)
𝑥
c) 𝑦 = 2 . 3𝑥
− 1
d) 𝑦 = 2 . 3𝑥
+ 1
e) 𝑦 = −2 . 3𝑥
+ 1
Función logarítmica
Toda función biyectiva tiene una función inversa. La inversa de la función exponencial es la
función logarítmica: 𝐹(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥
18) Representar en un mismo gráfico las siguientes funciones:
a) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2𝑥
b) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1
3
𝑥
c) 𝑦 = 2. 𝑙𝑜𝑔2𝑥
19) ¿Cuál es el dominio y codominio de cada 𝐹(𝑥)?

7
20) ¿ 𝑎 puede ser negativa?
Funciones trigonométricas
El hombre procura siempre comprender los fenómenos naturales y sociales que observa
con el objeto de aprovecharlos para su propio beneficio. En este proceso de aprendizaje busca
regularidades, leyes, repeticiones o periodicidades, intenta predecir acerca de velocidades,
presiones, temperaturas, energías, composiciones químicas, alturas, diámetros, volúmenes de
masas boscosas, etc.
Descubrió gran cantidad de procesos que se repetían cíclicamente: los latidos del corazón,
la respiración, el día, etc. Cuando alguno de estos procesos podía ser cuantificado y
representado por medio de una función que vinculara dos variables numéricas, el resultado era
una función cuyo comportamiento se repetía periódicamente.
La figura abajo indica un esquema de un electrocardiograma, en ella se ve con claridad
una parte de la curva -un ciclo- que se repite regularmente. Esta función nos indica el voltaje
del músculo cardíaco y como variable independiente el tiempo.
La pregunta que nos hacemos entonces es ¿cómo formular esta repetición de ciclos? Es
decir, ¿cuál es la expresión analítica de este fenómeno biológico-eléctrico?.
Llamamos 𝑓(𝑥) a la función, 𝑥 a la variable independiente, 𝑝 a la longitud de los ciclos,
es decir a las porciones de la curva que se repiten. Observemos abajo que la función toma el
mismo valor de la variable independiente que difiere en 𝑝, 2𝑝, 3𝑝, … , 𝑘𝑝 .
Expresémoslo simbólicamente: existe un número positivo 𝑝 tal que, cualquiera sea

8
𝑥: 𝑓(𝑥 + 𝑝) = 𝑓(𝑥)∃ 𝑝 ∈ 𝑁 ∀
⁄ 𝑥: 𝑓(𝑥 + 𝑝) = 𝑓(𝑥)
Una función con esta propiedad recibe el nombre de periódica y se llama período al
número 𝑝.
Las funciones periódicas son entonces el medio para estudiar gran cantidad de fenómenos
naturales.
La variedad de funciones periódicas es enorme y dentro de las más sencillas están las tan
conocidas FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
21) Representar en un mismo gráfico las siguientes funciones:
a) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
b) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 3𝑥
c) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +
𝜋
4
)
d) 𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛 𝑥
22) Luego de representarlas, indica tus conclusiones.

9
Trabajo práctico nº 2: Límites
La matemática es llave y puerta de la ciencia.
Roger Bacon.
Objetivo general:
 Conocer el concepto de límite de una función y sus propiedades.
Objetivos específicos:
 Descubrir la noción de límite.
 Elaborar el concepto de límite y expresarlo en el lenguaje coloquial.
 Interpretar geométricamente el concepto de límite.
 Aplicar el concepto de límite a la resolución de problemas.
 Utilizar propiedades de límites.
 Calcular límites de distintas funciones.
 Definir el concepto de límite.
Con los ejemplos que siguen, las tablas que van a realizar, las comparaciones de
resultados, los cálculos, y la interpretación de nuestros comentarios vamos a descubrir una
noción y elaborar un concepto, que es la piedra fundamental de todo el análisis matemático.
Ejemplo N°1: Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2
+ 1, consideraremos la abscisa 𝑥 = 2 ∈
𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥) . Comenzaremos por estudiar la función para valores próximos a 𝑥 = 2
“acercándonos por la derecha”, es decir valores mayores que 2 , (∀ 𝑥 > 2), luego haremos lo
mismo para valores menores que 2, es decir “acercándonos por la izquierda” , (∀ 𝑥 < 2).
1) Construir una tabla de valores del tipo 𝑓(𝑥) = 𝑥2
+ 1 𝑣𝑠 𝑥, y ubicar los puntos
correspondientes en un gráfico cartesiano.
2) Observa la tabla y el gráfico, ¿qué comentario te merece?
3) Realiza un análisis similar para otro valor de 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥).
Ejemplo N°2: Sea 𝑔(𝑥) =
𝑥2−1
5𝑥−5
nos interesa estudiar que pasa al acercarnos a 𝑥 = 1,
por la derecha y por la izquierda.
4) Construir una tabla 𝑔(𝑥) 𝑣𝑠 𝑥 y graficarla en un diagrama cartesiano.
5) ¿Qué conclusiones sacas?
6) Estamos elaborando una noción, cuando vos lo consideres oportuno hay que ponerle
un nombre:
Lo importante es adquirir esa noción.

10
7) Si tenés clara la noción, independientemente del nombre que le pongas, es importante
que puedas ver los elementos que componen esta noción, es decir: ¿de qué depende el
límite?
Ejemplo N°3: Sea ℎ(𝑥) = {
𝑥2
∀ 𝑥 ≠ 2
1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 2
8) Grafica ℎ(𝑥).
9) ℎ(2) =…………; lim
𝑥→𝑎
ℎ(𝑥)
10) ¿Qué conclusiones sacas?
11) ¿El límite siempre es mayor que cero? ¿podrías dar un ejemplo?
Te dan los siguientes gráficos:
Para decir que el límite de la función 𝒇(𝒙) es L cuando x tiende a “𝒂” , se puede
expresar de las siguientes formas:
𝐿 = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝐿 = lim𝑎 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥) → 𝐿

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𝑓(2) =………; lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) =…… 𝜑(3) =………; lim
𝑥→3
𝜑(𝑥) =…….…
12) Escribe tus conclusiones.
Definiciones
El mundo inexistente de la matemática está constituido sobre definiciones elegidas
arbitrariamente.
Definición 1: Intervalo
[𝑎; 𝑏] = {𝑥 𝑥
⁄ ∈ 𝑅 ^ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
(𝑎; 𝑏) = {𝑥 𝑥
⁄ ∈ 𝑅 ^ 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}
Definición 2: Se llama entorno de un punto, a todo intervalo que tiene ese punto, como punto
medio.
Definición 3: Se llama entorno reducido de un punto “𝑎” cuando se excluye el punto “𝑎” del
entorno (𝐸𝑎
´
).
Definición 4: un punto 𝑥0 se dice de acumulación de un conjunto lineal 𝐶, cuando todo entorno
reducido de 𝑥0 tiene infinitos puntos de 𝐶. El punto 𝑥0 puede o no pertenecer al conjunto.
.
13) ¿Puede ser cualquiera el punto en que se considera el límite?
14) De acuerdo a las consideraciones hechas ¿Qué es el límite de una función en un punto?
15) Expresa simbólicamente lo que hiciste coloquialmente.
16) Realiza un análisis de la definición en el lenguaje simbólico y gráfico.
Propiedades más importantes de los límites
De acuerdo con el gráfico:
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑓(𝑥) = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝜑(𝑥) 𝑒𝑛 𝐸𝑎
´
, sabemos también que lim
𝑥→𝑎
𝜑(𝑥) = 1

12
17) ¿Qué podes decir del lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)?
18) Podes enunciar la propiedad:
19) ¿Para qué servirá esta propiedad?
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿1 ^ lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿2
20) ¿Puede ocurrir que una función tenga diferentes límites en un punto? Justifica la
respuesta:
21) Deduce la propiedad.

13
𝑔(𝑥) < 𝑓(𝑥) < 𝜑(𝑥) 𝑒𝑛 𝐸𝑎
´
, lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
𝜑(𝑥) = 1
22) ¿Qué podrías decir del lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)?
23) ¿Podrías deducir la propiedad?
24) ¿Para qué servirá esta propiedad?
Límite de operaciones con funciones
Siendo el lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿1 , lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿2 , lim
𝑥→𝑎
ℎ(𝑥) = 𝐿3
a) lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥)] = 𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3
b) lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)] = 𝐿1. 𝐿2
c) lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
𝐿1
𝐿2
𝑐𝑜𝑛 𝐿2 ≠ 0
d) lim
𝑥→𝑎
[𝑘. 𝑓(𝑥)] = 𝑘. 𝐿1 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝑅
e) lim
𝑥→𝑎
[log𝑏 𝑓(𝑥)] = log𝑏 𝐿1 ↔ 𝐿1 > 0
f) lim
𝑥→𝑎
[𝑏𝑓(𝑥)
] = 𝑏𝐿1
g) lim
𝑥→𝑎
[𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)
] = 𝐿2
𝐿1
25) Resolver los siguientes límites:

14
a) lim
𝑥→2
[(𝑥 + 1)(2𝑥 − 1)]
b) lim
𝑥→0
[(2𝑥 + 3)(𝑥 − 2) − 2𝑥+2]
c) lim
𝑥→1
2𝑥4+2𝑥3−3𝑥2−3𝑥+2
𝑥2−2𝑥+1
(𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑅𝑢𝑓𝑓𝑖𝑛𝑖)
d) lim
𝑥→3
𝑓(𝑥) =…………….. ; 𝑐𝑜𝑛 𝑓(𝑥) = {
𝑥2−9
𝑥−3
∀ 𝑥 ≠ 3
10 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 3
Realizar el gráfico correspondiente.
e) lim
𝑥→0
(
sin 7𝑥
14𝑥
)
𝑥2+2
Límite finito de una función cuando 𝑥 → ∞
Consideremos la función 𝑓(𝑥) =
4𝑥2
𝑥2+1
26) Indica el Dominio 𝑓(𝑥)
27) Construye dos tablas de valores, una con 𝑥 ≥ 0 y la otra con 𝑥 < 0.
28) Dibuja la gráfica de 𝑓(𝑥) en un diagrama cartesiano.
29) Observa las tablas y gráfico, ¿qué comentarios te merecen?
30) Lo que has expresado coloquialmente, ¿podrías hacerlo en el lenguaje simbólico y
gráfico?
lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 ↔
lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 ↔
Propiedad (no la demostraremos, pero debe ser conocida)
lim
𝑥→∓∞
𝑓(𝑥) = 0, 𝑐𝑜𝑛 𝑓(𝑥) =
𝑘
𝑥𝑝
, 𝑐𝑜𝑛 𝑝 ∈ 𝑁
31) Indica ejemplos.
Límites infinitos
Límite infinito en un punto.

15
Dada la función 𝑔(𝑥) =
2
(𝑥−1)2
Nos interesa estudiar que ocurre con 𝑔(𝑥) al acercarnos al punto 𝑥 = 1, por la derecha
y por la izquierda.
32) Construye la tabla de 𝑔(𝑥) y el correspondiente gráfico.
33) ¿Qué conclusiones sacas? (Expresar en lenguaje coloquial)
34) Expresar el ítem anterior en el lenguaje simbólico.

16
Límite infinito en el infinito
Los siguientes gráficos son los diferentes casos de:
lim
𝑥→∓∞
𝑓(𝑥) = ∓∞
35) Completar las correspondientes expresiones simbólicas para cada uno de los cuatro
casos.
{
lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = ∞
lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = ∞
{
… … … …
… … … . .
{
… … … …
… … … . . {
… … … …
… … … . .

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Indeterminación de límites
1° Caso:
0
0
a) lim
𝑥→1
𝑥2−1
𝑥3−𝑥2−4𝑥+4
b) lim
𝑥→2
𝑥3+𝑥2−6𝑥
3𝑥2−4𝑥−4
c) lim
𝑥→2
√𝑥+2−2
√𝑥+14−4
d) lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 𝑥
√𝑥2
3
e) lim
𝑥→1
√𝑥2−1
𝑥−1
36) Luego de resolver los límites anteriores, expresar las conclusiones.
2° Caso:
∞
∞
a) lim
𝑥→∞
3𝑥7+8𝑥3−2
2𝑥2−3𝑥+1
b) lim
𝑥→∞
6−2𝑥2+3𝑥
5𝑥2−9𝑥+8
;
c) lim
𝑥→∞
8𝑥3−9𝑥2+3𝑥−1
1+𝑥+𝑥2+𝑥3+𝑥4.3
d) lim
𝑥→∞
3𝑥2−𝑥+2.√9𝑥4+2
𝑥2+2𝑥+3.√8𝑥6−2𝑥
37) Luego de resolver los límites anteriores, expresar las conclusiones
3° Caso: (∞ − ∞)
a) lim
𝑥→2
(
8
𝑥2−4
−
2
𝑥−2
)
b) lim
𝑥→∞
(√𝑥2 + 10𝑥 + 1 − √𝑥2 + 4𝑥 + 3) ;
c) lim
𝑥→
𝜋
2
(𝑡𝑔 𝑥 − sec 𝑥)
38) Luego de resolver los límites anteriores, expresar las conclusiones

18
4° Caso: 1∞
Para tu información existe un límite muy particular que se puede escribir de dos maneras:
lim
𝑥→0
(1 + 𝑥)
1
𝑥 = 𝑒 o también lim
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥
= 𝑒
39) Resolver los siguientes límites.
a) lim
𝑥→∞
(
2𝑥2+5𝑥−1
2𝑥2+3𝑥−2
)
3𝑥
b) lim
𝑥→∞
(1 − 5𝑥)
2
𝑥
40) Luego de resolver los límites anteriores, expresar las conclusiones.

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Trabajo práctico nº 3: Aplicaciones de los límites
Lo importante es no dejar de hacerse preguntas.
Albert Einstein
Objetivo general
 Utilizar los conceptos incorporados de límites y explorar sus diversas aplicaciones.
Objetivos específicos
 Adquirir la noción de asíntota.
 Definir asíntota de una función.
 Hallar asíntotas.
 Adquirir la noción de continuidad.
 Reconocer discontinuidades en funciones.
 Estudiar propiedades y teoremas de funciones.
Asíntotas
Dada la función 𝑓(𝑥) =
𝑥+2
𝑥−2
1) Indica el Dominio 𝑓(𝑥).
2) Dibuja la gráfica de 𝑓(𝑥).
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) =. . . ; lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) =. . . ; lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) =. . . ; lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) =. . .
3) Enuncia tus conclusiones.
Ejercitación
4) Hallar el dominio y las asíntotas de las siguientes funciones:
a) 𝑓(𝑥) =
2𝑥2−𝑥
𝑥2−1
b) ℎ(𝑥) =
(𝑥−1)2
𝑥2+4
c) 𝑖(𝑥) =
2𝑥−1
√𝑥2−4
d) 𝑗(𝑥) = √9𝑥2 + 3𝑥 − 2
5) Hallar el dominio, raíces, ordenada al origen y analiza la existencia de asíntotas
horizontales, verticales y oblicuas. Graficar las funciones con la información obtenida.
a) 𝑓(𝑥) =
𝑘
𝑥+1
+ 2

20
b) 𝑔(𝑥) =
𝑥+10
𝑥2−5𝑥+6
c) ℎ(𝑥) =
𝑥2−1
𝑥+2
d) 𝑖(𝑥) =
𝑥3
𝑥2−4
e) 𝑗(𝑥) =
2𝑥4−𝑥3
𝑥3+0.5𝑥
Continuidad
6) Dados los siguientes gráficos analiza si son continuos para el punto 𝑥 = 𝑎 y enuncia
tus conclusiones:
7) Una función es continua en 𝑥 = 𝑎 si se cumplen las siguientes condiciones.
8) Definir continuidad en el lenguaje matemático simbólico.
𝑓(𝑥) 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑎 ↔.
9) Indica cuando una 𝑓(𝑥) es continua en un intervalo.
10) Ejercicios.
Analiza en las siguientes funciones la existencia de discontinuidades. Señala los puntos
en cada una.
𝑓1(𝑥)
𝑓2(𝑥)
𝑓3(𝑥)
𝑓3(𝑎)
𝑓2(𝑎)

21
a) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
b) 𝑦 = − 4 𝑥
⁄
c) 𝑦 =
4
𝑥2−4
d) 𝑦 = √
1+𝑠𝑒𝑛 𝑥
1−𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 (0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋)
e) 𝑦 = 𝑥2
− 2𝑥 − 3
11) Indica ejemplos gráficos de funciones continuas en un intervalo donde tome valores de
distinto signo en los extremos de dicho intervalo.
12) Observe los gráficos y anote dichas observaciones.
13) Estas observaciones se corresponden con una verdad demostrable, o sea un teorema:
el Teorema de Bolzano.
¿Enunciarías al Teorema de Bolzano en el lenguaje coloquial?
¿Y en simbólico?
Consideremos la función 𝑦 = 𝑥2
− 2𝑥 + 3
14) Determina el dominio y grafícala.
15) Considera el intervalo [1; 4] 𝑓(1) =……… ; 𝑓(4) =………
16) ¿Qué ocurrirá si se me ocurre tomar algún número comprendido entre 𝑥 = 1 𝑦 𝑥 = 4?
17) Estas observaciones convergen en otra verdad demostrable: el Teorema de Cauchy.
Indica el teorema en el lenguaje coloquial y simbólico.

22
Trabajo práctico nº 4: Derivadas
No hay rama de la matemática, por lo abstracta que sea, que no pueda aplicarse algún día a
los fenómenos del mundo real.
Lobachevski
Objetivo general
 Conocer el concepto y la definición de derivada de una función.
 Enumerar los hechos históricos que dieron origen a los conceptos actuales del
análisis matemático.
 Descubrir la necesidad de un nuevo concepto que permita trabajar con
cocientes de incrementos en situaciones puntuales.
 Operar con incrementos de funciones (∆𝑦) y de la variable independiente
(∆𝑥).
 Definir recta tangente a una curva en un punto.
 Hallar el significado geométrico de un cociente de incrementos.
 Obtener límites en cocientes incrementales.
 Definir derivada.
 Construir una tabla de derivadas de funciones.
 Operar con derivadas.
 Reconocer aplicaciones de la derivada en problemas de economía y física.
El análisis matemático posee dos grandes ramas: el cálculo diferencial y el cálculo
integral.
El cálculo diferencial es el que estamos desarrollando y trata acerca de pequeñas
modificaciones en los valores que se asignan a una variable o función, tan pequeña como
nosotros queramos. En particular en esta unidad estudiaremos la forma y la rapidez con que se
producen esas modificaciones.
La física estudia, con la mecánica, el movimiento de los cuerpos sea prescindiendo de las
fuerzas que lo producen (cinemática) o considerando tales fuerzas (dinámica); y en los casos
puntuales que actúan fuerzas variables y se necesita considerar una velocidad o aceleración
puntual se necesitara conceptualizar y definir velocidad y aceleración instantánea a través del
análisis matemático.
El operar con derivadas permite hallar el o los valores óptimos de una variable (es decir
maximizar o minimizar). Esto es muy frecuente en la economía.
En este práctico, análogamente al TP N°1 vamos a enfatizar sobre problemas de
aplicación de propiedades matemáticas antes que demostrar las mismas.

23
Entre los orígenes de trabajos con elementos no finitos está Arquímedes (siglo III a.C.),
cuya preocupación era la cuadratura del círculo y el estudio de la mecánica. Pero en la
civilización oriental está el chino Mo Ty (siglo IV a.C.) que manejó ideas análogas a las de
Newton y Leibnitz (siglo XVII d.C.). Estos últimos, el primero en Inglaterra y el otro en
Alemania, trabajaron con el análisis matemático para resolver problemas de física el primero y
geometría el segundo.
Entonces tenemos dos problemas, aparentemente sin relación entre sí. Ambos dieron
origen a la formalización en el análisis matemático e iniciaron el camino del cálculo diferencial.
Uno el de la velocidad instantánea de un objeto en movimiento y el otro el de la recta tangente
a una curva.
Seguramente el recorrer alguno de esos caminos nos permitirá arribar a un concepto que
estamos buscando.
Consideremos el problema de la velocidad en el instante que pasa frente al mojón del km
50, un automóvil que recorre un tramo de ruta recto. Observemos la definición de velocidad: es
el espacio recorrido en cada unidad de tiempo. Es decir es un concepto que resulta definido por
una operación matemática, la división. Y está asociado al cociente. También habrá que
considerar las restricciones de esa operación, el divisor debe ser distinto de cero. Pero ocurre
que la velocidad instantánea significa considerar el espacio recorrido en un tiempo
“prácticamente” cero. Deberemos analizar ese “prácticamente”. Como velocidad resulta de
espacio sobre tiempo, midamos el espacio recorrido, entre dos posiciones, por el móvil, y el
tiempo empleado en ese recorrido. Consideremos entonces además del mojón del km 50 el
mojón del km 60, y supongamos que el tiempo empleado ha sido de
1
4
de hora, la velocidad
resultará de dividir (60-50) km por
1
4
h, luego 𝑣 =
40 𝐾𝑚
ℎ𝑜𝑟𝑎
; podríamos realizar la primera
pregunta:
1) ¿Esta es la velocidad en el km 50 o en el mojón del km 60 o en ninguno de los dos, o
en ambos? ¿Usted sabe mecánica?
¡¡NO SIGIGA LEYENDO SI NO CONTESTÓ LA PREGUNTA A TRABAJAR!!
Nosotros, como estudiantes de ciencias sabemos que, en física, y particularmente en
mecánica, para estudiar la velocidad en un instante debemos antes que nada caracterizar el
movimiento. Supongamos que es un movimiento variado luego no sabemos como es la
velocidad en cada instante y de lo anterior solo hemos calculado la velocidad promedio en el
tramo señalado. Pero volvamos a nuestro problema, la velocidad en el km 50. Luego nos
preguntamos nuevamente:
2) ¿Cómo calculamos la velocidad en el km 50?

24
Teniendo en cuenta la definición de velocidad y el problema planteado deberíamos
considerar un intervalo de tiempo más pequeño, por ejemplo, 15 minutos fue antes, podríamos
considerar 1 minuto, o 1 segundo, pero en cualquiera de esos casos obtendríamos velocidades
promedio. Claro que mucho más cerca que antes de lo que buscamos. Es decir que a medida
que efectuamos el cociente
𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑡
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡
con tiempos más y más pequeños, el valor
obtenido va aproximándose al buscado: la velocidad instantánea en el km 50. En términos de
la variable t supongamos que se produce en el instante 𝑡0.
Podemos pensar que para cada instante t existe un valor de espacio recorrido e que será
función de 𝑡: 𝑒(𝑡). Luego en un intervalo de tiempo t el espacio recorrido será 𝑒(𝑡0 + ∆𝑡) −
𝑒(𝑡0) y el cociente correspondiente será:
3) Señale el cociente de incrementos en lenguaje simbólico:
Dejemos ahora la física y volvamos a la geometría.
4) Dada una recta y una curva pertenecientes al mismo plano, indica cuando esa recta es
tangente a esa curva.
Quizás la definición coincida con alguna de las siguientes:
Seguramente habrás intentado una definición, quizás coincida con alguna de las
enunciadas arriba o no. Sería interesante que observes esas figuras, releas tu propia definición
y luego:
5) Compara tu definición con las figuras y esperamos que emitas un juicio crítico
El nivel crítico es el más alto de la inteligencia, así como la memoria es el escalón más
bajo. Entre ambos en orden ascendente se encuentran: la interpretación, la aplicación, el
análisis, la síntesis y finalmente la crítica. Creemos que podés criticar y por eso nos animamos
a realizar el ítem anterior.
Hemos hecho un poco de historia, también hemos hablado de las seis operaciones
mentales y ahora vamos a hacer, bueno ya estamos haciendo epistemología.
6) ¿Sabes qué es la epistemología?

25
Dejemos un momento la definición de tangente y volvamos a la función de espacio 𝑒(𝑡).
Consideremos la siguiente representación gráfica:
7) ¿Qué significado geométrico tiene el cociente que escribiste más arriba? (Ver el punto
2 de este tema)
8) ¿Qué ocurriría si tomamos incrementos de tiempo ∆t cada vez más y más pequeños?
Representar gráficamente.
9) ¿Qué definición darías de recta tangente a una curva?
10) ¿Crees que el problema físico está relacionado con el problema geométrico? ¿Por qué?
11) ¿Es importante la epistemología para el aprendizaje? ¿Por qué?
Necesitamos reforzar lo que hemos visto, entonces, un ejemplo:
Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥2
12) 𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥) =………………………………………
Al incremento de la variable 𝑥 lo llamamos ∆𝑥.
Al incremento de la variable 𝑦 lo llamamos ∆𝑦. Siendo 𝑦 = 𝑓(𝑥)
13) Realiza la gráfica de 𝑓(𝑥).
14) Determina la pendiente de la recta tangente a la gráfica en 𝑥0 = 1.
15) Realiza el cálculo del ítem anterior para un valor genérico de 𝑥0.

26
Observemos que si bien supusimos que 𝑥0 + ∆𝑥 era mayor que 𝑥, es decir que ∆𝑥 > 0,
lo anterior también es válido para valores negativos de ∆𝑥.
Viendo la gráfica a continuación ¿Cómo se aproximarían las rectas secantes a la tangente
en P si ∆𝑥 fuera negativo?
Lo importante es que cuando ∆𝑥 tienda a cero, el cociente incremental tienda a un valor
determinado: su límite, independientemente de acercarse a cero por valores positivos o
negativos. Recordemos la definición de límite “sin interesarnos lo que ocurre precisamente en
el punto”.
16) Dadas las siguientes funciones calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica
de la función en el punto de abscisa 𝑥0.
a) 𝑦 =
1
𝑥
b) 𝑦 = (𝑥)
1
2
c) 𝑦 = 𝑥3
17) Calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏
en un punto cualquiera. Interpretar geométricamente el resultado obtenido.
18) Interpretar físicamente el ejercicio anterior. ¿Qué indica una recta horizontal? ¿Y una
recta de pendiente positiva? ¿Y una de pendiente negativa?
19) Consideremos ahora el caso del movimiento general rectilíneo variado, en él la
velocidad no es constante, la representación gráfica de la función que describe el
movimiento será una curva.

27
¿Cómo será la velocidad instantánea en los tiempos 𝑡1 y 𝑡6 observados en el gráfico?
Hemos estado trabajando con una noción asociada a la pendiente de una recta tangente a
una curva. Entonces consideramos oportuno indicar el término de esta noción, por eso que
sabemos de: 1° CONCEPTO, 2° TÉRMINO, 3° SIMBOLO. El término o nombre es derivada.
Observa que los resultados que obtuviste en el ítem donde te pedíamos calcular la
pendiente de las rectas tangentes, son en realidad derivadas de una función.
20) ¿Podrías definir derivada de una función?
Cuando se considera un punto determinado 𝑥0 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥) entonces se llama derivada de
una función en un punto.
21) Cuando calculas la derivada de una función en un punto, obtienes un número. ¿Por
qué?
22) ¿De qué depende ese número?
23) ¿Cuál es el significado geométrico de la derivada de una función en un punto igual a
cero? ¿Y cuándo vale uno? ¿y menos uno?
En los ejemplos anteriores hemos podido calcular las derivadas sin dificultades. Quizás,
este nos induce a pensar que la derivada siempre existe, o que el límite siempre existe, para
todos los valores de 𝑥.
Consideremos el concepto de derivada de una función en un punto y analicemos los
siguientes ejemplos:
24) Consideremos la función 𝑓(𝑥) = |𝑥| cuyo nombre es: función valor absoluto.
a) Determinar el 𝐷𝑜𝑚 𝑑𝑒 𝑓(𝑥)
b) Graficar 𝑓(𝑥).
c) ∀ 𝑥 > 0, 𝑓´(𝑥) =…………………………….

28
d) ∀ 𝑥 < 0, 𝑓´(𝑥) =…………………………….
e) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0, 𝑓´(𝑥) =………………………...
25) ¿Se podría hacer una interpretación física de este hecho, pensando a la gráfica de
𝑓(𝑥) = |𝑥| como la del espacio que recorre un móvil en función del tiempo?
26) Sea 𝑓(𝑥) = (𝑥)
1
2
a) Determinar el 𝐷𝑜𝑚 𝑑𝑒 𝑓(𝑥)
b) Graficar 𝑓(𝑥).
c) ∀ 𝑥 > 0, 𝑓´(𝑥) =…………………………….
d) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0, 𝑓´(𝑥) =………………………...
Seguramente el análisis de varios ejemplos te permitirá contestar la siguiente pregunta:
27) ¿Existe siempre la derivada de una función? ¿Por qué?
28) Calcula las derivadas de las siguientes funciones, por el método que creas conveniente:
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2
− 3𝑥
b) 𝑔(𝑥) =
1
𝑥−2
c) ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
d) 𝑦 = 3
Para el ítem c) tener en cuenta que: 𝑠𝑒𝑛 𝑝 − 𝑠𝑒𝑛 𝑞 = 2𝑐𝑜𝑠
𝑝+𝑞
2
. 𝑠𝑒𝑛
𝑝−𝑞
2
29) Analizar la derivabilidad de las siguientes funciones:
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + |𝑥|
b) 𝑔(𝑥) = {
1 − 𝑥 𝑠í 𝑥 < 0
𝑥2
𝑠í 𝑥 ≥ 0
c) Representar gráficamente las funciones e interpretar geométricamente los
resultados obtenidos.
30) ¿La recíproca de la propiedad anterior es válida?
Sugerencia: Realiza una BUSQUEDA utilizando funciones en forma analítica o gráfica,
observa puntos particulares e incluso busca contraejemplos, luego CONJETURA, si te animas
DEMOSTRA lo que te llevará a generalizar y finalmente COMUNICA. Son las cuatro etapas
de la resolución de un problema.
PROPIEDAD: “Si una función tiene derivada en un punto, es continua en él”

29
En física se estudia el concepto de velocidad mecánica, pero para los forestales el
concepto de velocidad tiene implicancias mucho más redituables. Como la velocidad
económica o la velocidad de crecimiento (celular o de tejido) por ello conviene estar precavido
y estudiar velocidad pensando en esas posibles aplicaciones. Habíamos visto la función 𝑒 =
𝑒(𝑡) considerando el espacio como función o variable dependiente y el tiempo como variable
independiente, cuando estudiábamos un movimiento. También observamos que la velocidad
estaba asociada a la pendiente de la recta tangente a la curva en cada punto (que coincide con
la pendiente de la curva en cada uno de esos puntos) y particularmente en matemática le
asignamos un nombre que representa o constituye un concepto: derivada. Luego 𝑓(𝑥)´
en un
punto 𝑥0 o sea en 𝑓(𝑥0)´
mide la rapidez con que varía 𝑓(𝑥) en relación con x para 𝑥 = 𝑥0.
Por ejemplo, al ingeniero forestal le interesa el crecimiento de las masas boscosas y para
ello estudia las curvas que representan una variable geométrica característica del árbol en
función del tiempo: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑣𝑠 𝑡. Se observan puntos característicos que permitirían análisis y
tomas de decisiones, así como cálculos, diseños, etc.
A los matemáticos les interesa estudiar algunas funciones como: 𝐴 = 𝑓(𝑟) = 𝜋𝑟2
,
entonces 𝑓(𝑟)´
=………………….., es la rapidez con la que varía el área con respecto a 𝑟
para cada valor de r. Supongamos que el radio esté aumentando y con él, el área. Entonces
consideremos para 𝑟 = 2.
31) ¿Cuál será la velocidad de crecimiento del área?
32) ¿Qué ocurrirá con la longitud de una circunferencia y su velocidad de crecimiento,
𝐶 = 𝑔(𝑟) = 2𝜋𝑟 ?
Supuestamente considerado el volumen de un árbol como 𝑉 = 𝜋ℎ𝑟2
, ℎ: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 y
𝑟: 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜, asemejándolo a un cilindro.
33) ¿Cómo será la velocidad de crecimiento del volumen en función del crecimiento del
radio? ¿Y del diámetro?
34) ¿Y en función a la altura, 𝑉ℎ
´
?

30
Las funciones compuestas (función de función)
Consideremos el siguiente problema:
El ingreso de un líquido a un tanque cilíndrico de radio 𝑟 a razón de a litros por minuto.
Interesa conocer la velocidad de crecimiento del nivel del líquido. Se puede observar en este
problema existen distintas variables: tiempo, volumen, nivel o altura, radio del cilindro, etc. y
distintas relaciones entre las variables.
Por un lado, tenemos el volumen de líquido, que para un nivel ℎ será: 𝑉 = 𝜋𝑟2
ℎ (1), y
también tenemos una función del nivel del líquido respecto al tiempo ℎ = ℎ(𝑡) (2). Como dato
del problema tenemos: 𝑎.
35) Conceptualmente y simbólicamente ¿qué nos pide el problema?
36) Si ya sabes que pide, ¿cómo podes buscarlo?
La comprensión de este ejercicio se puede lograr más fácilmente aplicando lo aprendido
en composición de funciones.
Recuerde que dadas, 𝑓: 𝐴 → 𝐵 ^ 𝑔: 𝐵 → 𝐶 𝑠𝑒𝑟á 𝑓 ° 𝑔: 𝐴 → 𝐶 / 𝑔 ° 𝑓(𝑥) = 𝑔[𝑓(𝑥)]
NOTA: Una interpretación mejor del concepto de función que puede ayudar a comprender esta
idea consiste en pensar a las funciones como máquinas con una entrada, por donde entran los
elementos 𝑥 del dominio, que son procesados por la máquina F y una salida por donde salen
los 𝐹(𝑥). Supongamos ahora tener dos de esas máquinas correspondientes a dos funciones 𝐹
y 𝐺, esta 𝐺 admite los elementos que salen de la máquina 𝐹. Si aplicamos entonces a un
elemento 𝑥 sucesivamente las máquinas 𝐹 y 𝐺 emergerá por la salida de 𝐺 transformado en
𝐺[𝐹(𝑥)].
Componer las funciones F y G significa entonces aplicarlas sucesivamente.
Derivada de una función compuesta
¿Cómo calculamos la velocidad con que crece el nivel del agua?, que era nuestro
problema. Tenemos que calcular la derivada de una función compuesta en términos de las
derivadas de las funciones que la componen.
Teorema: Sean 𝑓: 𝐴 → 𝐵, 𝑔: 𝐵 → 𝐶 funciones derivables en 𝐴 y 𝐵 respectivamente,
entonces 𝑔 ° 𝑓 es derivable en 𝐴 y se cumple (𝑔 ° 𝑓)´(𝑥) = 𝑔´(𝑥). 𝑓´(𝑥) (1)

31
La misma regla se aplica si se trata de la derivada de una función de función, de función:
ℎ{𝑔[𝑓(𝑥)]}, en este caso la derivada con respecto a x es:
ℎ{𝑔[𝑓(𝑥)]}´
= ℎ´{𝑔[𝑓(𝑥)]}. 𝑔´[𝑓(𝑥)]. 𝑓´(𝑥) (2)
Las fórmulas (1) y (2) suelen llamarse: “regla de la derivación en cadena”.
Dadas 𝑓(𝑥) = 𝑦 = 𝑥2
+ 1 y 𝑔(𝑦) = 𝑠𝑒𝑛 𝑦
Entonces 𝑔 ° 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥2
+ 1)
37) Derivar las funciones:
𝑓´(𝑥) =………………………………. ;
𝑔´(𝑦) =…………………………………….
38) Luego 𝑔´[𝑓(𝑥)] =
39) Finalmente (𝑔 ° 𝑓)´(𝑥)
Existen reglas prácticas o algoritmos para la derivación de función de función.
Volvamos a nuestro problema inicial del tanque de agua:
Llamemos ℎ a la altura del agua, en el tiempo 𝑡 .
Nosotros queremos calcular
𝑑ℎ
𝑑𝑡
. como dato tenemos
𝑑𝑉
𝑑𝑡
, para poder aplicar lo visto en
las fórmulas (1) y (2) y poder calcular
𝑑ℎ
𝑑𝑡
primero debemos detectar las derivadas necesarias,
o sea:
40)
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=……………………………..
41) Y para poder emplear esa fórmula tendremos que determinar la función.
42) Ejercitación:
Hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones:
a) 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + cos 2𝑥 + 2
b) ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2
3𝑥 (𝑥3
− 1)
c) 𝑖(𝑥) = 𝑡𝑔3
2𝑥
d) 𝑔(𝑥) = 𝑡𝑔2(1 − 𝑥2)
1
2
e) ℎ(𝑥) = 𝑥2𝑥4+4
f) 𝑟(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
𝑒𝑥−𝑒−𝑥
𝑒𝑥+𝑒−𝑥

32
g) 𝑓(𝑥) =
1−(𝑥)
1
2
1+(𝑥)
1
2
h) 𝑖(𝑥) = [𝑐𝑜𝑠(3𝑥2
+ 2) − 𝑥]2
i) 𝑔(𝑥) = (√𝑥2 − 𝑒3𝑥
4
)
3
Derivadas sucesivas
La derivada de la derivada de la ………….
El siguiente es un relato entre el presidente y su ministro de economía (en el año que a
usted le parezca).
P: Sr. ministro ¿Se podría afirmar que los precios son bajos?
M: No, señor presidente. Por el contrario, los precios están muy altos y constituye un
hecho innegable que no podemos dejar de reconocer.
P: Pero esos precios, ¿al menos son estables?
M: De ninguna manera. A la carestía que sufre el trabajador debe sumársele el flagelo
de la inflación: los precios están en ascenso.
P: En cuanto al índice de inflación ¿qué me puede decir?
M: Es lamentable, pero debemos reconocerlo, la inflación, también está en aumento: el
índice de este mes es mayor que el del mes anterior y esta tendencia parece no revertirse, pese
a las medidas adoptadas, por efecto arrastre de medidas anteriores.
P: Pero, entonces, y con todo respeto ¿Podría explicarme porque está tan contento?
M: Porque el ritmo con el que aumenta la inflación ha disminuido.
A esta cátedra le hubiese gustado decir que este diálogo era imaginario, sin embargo se
acerca a nuestra realidad lo suficiente para constituirse en un ejemplo didáctico. Y pone en
evidencia que tanto la economía como otras ciencias recurren no sólo al análisis de los valores
que adopta una determinada magnitud, sino también a su ritmo de variación con el tiempo, e
incluso al ritmo de variación de dicho ritmo, y así sucesivamente.
Si 𝑓(𝑥) es una función derivable, su derivada 𝑓(𝑥)´
es una función definida en un
subconjunto del dominio de 𝑓(𝑥), y como tal puede ser a su vez derivada. La derivada de la
función derivada en un punto 𝑥 será:
𝑓(𝑥)´´
= lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥)´
− 𝑓(𝑥)´
∆𝑥
Supuesto que ese límite existe.

33
43) Consideremos la 𝑓(𝑥) = 𝑥2
+ 𝑠𝑒𝑛 𝑥
a) 𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥) =……………………………………..
b) 𝑓(𝑥)´
=…………………………………………..
c) 𝑓(𝑥)´´
=…………………………………………..
d) 𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥)´
=…………………………………….
e) 𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥)´´
=……………………………………
Esta nueva función se llama derivada segunda de 𝑓(𝑥), simbólicamente𝑓(𝑥)´´
,
𝑑2
𝑑𝑥2
que
se lee “derivada segunda de 𝑓(𝑥) respecto de 𝑥 dos veces”.
Hemos estado mencionando la función precio vs tiempo, la inflación es la primera
derivada de los precios con respecto al tiempo. Usualmente se manejan segunda y tercera
derivadas, pero no existen todavía nombres para cada una. Es importante distinguir cuando se
menciona estabilidad si se refiere a la de precios o a la de inflación.
Para el caso de cinemática, en física, es frecuente referirse a la posición como función del
tiempo. La primera derivada: velocidad, la segunda derivada: aceleración, y la tercera derivada:
pique. Se utilizan así tres órdenes de derivación:
Posición 𝑒 = 𝑒(𝑡)
Velocidad 𝑣 = 𝑒(𝑡)´
Aceleración 𝑎 = 𝑒(𝑡)´´
Pique 𝑗 = 𝑒(𝑡)´´´
Si consideramos un móvil para coordenadas 𝑒 y 𝑡 determinadas y para ese par la
velocidad está aumentando, su aceleración será positiva y diremos que el móvil está acelerando.
Si la velocidad en cambio está disminuyendo, la aceleración será negativa y diremos que el
móvil está desacelerando. Si durante cierto intervalo de tiempo 𝑎 = 0, eso significa que la
velocidad fue constante y el movimiento se denomina uniforme.
Otro ejemplo que considerar es el caso de aceleración cero en un instante, y aceleración
negativa antes de ese instante y positiva después. En este caso tenemos una transición entre
estar frenando y acelerar.
44) Hallar la derivada primera, segunda y tercera de: 𝑦 = 2𝑥3
− 𝑥2
+ 3𝑥 − 8
45) Ídem ítem anterior para: 𝑓(𝑥) = ln(𝑥 − 1) + 𝑠𝑒𝑛 2𝑥

34
Diferencial de una función
Dada la 𝑦 = 𝑓(𝑥) se considera 𝑥0 + ∆𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 y se elige ∆𝑥, P es el punto de la curva
que tiene como abscisa a 𝑥0, por P trazamos la tangente.
En el triángulo
∆
𝑃𝑇𝐵
se verifica que:
46) 𝑡𝑔 𝛼 =………………………………
47) ¿Qué indica geométricamente la 𝑡𝑔 𝛼 ?
Reemplazando 𝑃𝐵
̅̅̅̅ = ∆𝑥 resulta
𝑓(𝑥0)´
=………………………………… ; 𝑇𝐵
̅̅̅̅ =…………………………………. (1)
El segundo miembro de la expresión (1) se denomina diferencial de la función en 𝑥0; luego
𝑇𝐵
̅̅̅̅ = 𝑑𝑓(𝑥0) o bien 𝑇𝐵
̅̅̅̅ = 𝑑𝑦.
48) ¿Qué interpretación geométrica tiene la diferencial en un punto?
49) El incremento de la función 𝑦 =………………………
En este caso 𝑑𝑦 y, dados los siguientes gráficos:

35
50) ¿Qué relación existe entre ∆𝑦 y 𝑑𝑦?
(I)
(II)
51) ¿Qué ocurre con la diferencia entre ∆𝑦 y 𝑑𝑦 cuando ∆𝑦 → 0?
52) Indique simbólicamente el punto anterior.
Esto permite para los cálculos aproximados reemplazar ∆𝑦 por 𝑑𝑦.
53) Ejemplo: 𝑓(𝑥) = 𝑥2
cuyo
𝐷𝑜𝑚:…………………………
∆𝑦 =…………….……………
Observamos que la diferencial que resulta al sustituir ∆𝑦 por la diferencial 𝑑𝑦 es muy pequeña
comparándola con el valor de ∆𝑦, se la puede despreciar y por ello en muchos casos se adopta
𝑑𝑦 en vez de ∆𝑦 y dado que en general es mas fácil calcular la diferencial.
Sí 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 → 𝑑(𝑠𝑒𝑛 𝑥) =
Sí 𝑓(𝑥) = 𝑥3
→ 𝑑(𝑥3) =
En particular sí 𝑓(𝑥) = 𝑥 → 𝑑(𝑥) =

36
54) ¿Qué nos permite expresar esta relación?
Simbólicamente:
𝑑[𝑓(𝑥)] =…………………… → 𝑓´(𝑥) =………………………………. (1)
o bien
𝑑𝑦 =………………………… → 𝑦´
=..………………………………… (2)
55) ¿Qué nos permitió escribir coloquialmente las expresiones (1) y (2)?

37
Trabajo práctico nº 5: Estudio de funciones
El estudio profundo de la naturaleza es la fuente más fértil de descubrimientos matemáticos.
Fourier
Objetivo general
 Analizar distintas aplicaciones de la derivada.
 Calcular los máximos y mínimos de una función dada
 Determinar crecimiento, decrecimiento y concavidad de una función
 Resolver problemas de optimización que requieran la aplicación de derivadas
 Obtener la gráfica de una función.
Un fabricante de envases de plástico quiere saber cuáles deben ser las dimensiones
óptimas que debe tener un envase cilíndrico con capacidad para 500 𝑐𝑚3
de modo que la
cantidad de plástico insumida en su fabricación sea la mínima posible. Es evidente que fijado
el espesor del plástico la cantidad necesaria del mismo para fabricar un envase es proporcional
al área total del envase:
𝐴 = 2𝜋𝑟2
+ 2𝜋𝑟ℎ
𝑟 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑦 ℎ = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
Podemos expresar 𝐴 en función de una sola variable. Según el enunciado del problema el
volumen es un dato, luego:
𝜋𝑟2
ℎ = 500 𝑐𝑚3
, luego
ℎ =
Resulta entonces el área 𝐴 en función del radio 𝑟 del cilindro.
1) ℎ =
Reemplazando esta expresión de h en función de r en la fórmula de área total resulta:
2) 𝐴 =
3) ¿Cómo sería la expresión simbólica de la función área?
El problema se reduce ahora en determinar para que valores de 𝑟 , 𝐴 toma el mínimo valor.
En este problema estamos averiguando el valor de la variable independiente que minimiza
la función, existen otros problemas donde se pretende maximizar la función. Todos estos se
denominan problemas de optimización. Para realizar estos estudios se han desarrollado
numerosas técnicas matemáticas, nosotros aplicaremos los recursos del cálculo diferencial.

38
Si nosotros conociéramos la gráfica de la función 𝐴 , tendríamos resuelto el problema.
Pero hemos visto que no es fácil trazar con precisión un gráfico. Es decir, todavía nos
preguntamos: ¿Cómo trazar con precisión la gráfica de una función dada?
Retomemos nuestro problema inicial, pero en forma más general:
Dada una función 𝑓(𝑥) definida en un dominio (𝑎, 𝑏), queremos hallar un valor de 𝑥
para el que 𝑓(𝑥) es máxima.
Supongamos por un momento, que conocemos la gráfica de que 𝑓(𝑥).
4) ¿Para qué valores de abscisas 𝑓(𝑥) es máxima o mínima?
5) ¿Cómo es la derivada de la función en esos puntos?
6) ¿En qué otros puntos ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓´(𝑥) = 0?
7) ¿Qué diferencia observas entre el máximo y el mínimo de los items anteriores?
8) ¿Te animarías a elaborar las definiciones de máximos y mínimos relativos y absolutos?
9) ¿Los máximos y mínimos absolutos son también máximos y mínimos relativos?
A estos puntos se los denominan puntos críticos, (algunos autores los denominan puntos
notables).
Ahora que formalizamos estos conceptos, podemos enunciar el siguiente teorema:
“Sea f una función derivable en un (𝑎, 𝑏), si en 𝑥0 ∈ 𝐷𝑜𝑚 la función tiene un punto
crítico”

39
10) 𝑓´(𝑥1) =………………………………………………………
11) ¿Es válido el teorema recíproco? Para responder analiza la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3
Necesitaremos entonces más elementos para hallar los extremos de una función.
Sigamos pensando en lenguaje gráfico.
12) Si para un punto con valor de abscisa 𝑥1 hubiese un máximo, la función pasaría de:
13) Si hubiese un mínimo, la función pasaría de:
14) Si no hubiese un extremo:
15) ¿Qué ocurre con la derivada cuando la función crece o decrece? Analizar los gráficos
a continuación.

40
Esta propiedad la enuncia el teorema 2
Sea 𝑓 derivable en (𝑎, 𝑏). Sea 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏). Entonces
16) 𝑓´(𝑥0) > 0 → 𝑓(𝑥0)𝑒𝑠……………………………………………
17) 𝑓´(𝑥0) < 0 → 𝑓(𝑥0)𝑒𝑠……………………………………………
Consideremos el siguiente ejemplo, 𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 𝑥 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥)
18) 𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥):……………………………………………………
19) 𝑓´(𝑥) =……………………………………………………

41
20) 𝑓´(𝑥) = 0 para los valores
𝑥1 =………………………… y 𝑥2 =…………………………………..
Estos son, pues, puntos “sospechosos” de ser extremos, pero no podemos asegurarlo. Por
ello se debe aplicar el teorema 2
𝑓´(𝑥) = 3𝑥2
− 1 > 0 ↔……………………………………………..
𝑓´(𝑥) = 3𝑥2
− 1 < 0 ↔……………………………………………..
21) Traslada lo mencionado simbólicamente al lenguaje coloquial.
En 𝑥1 =………………………..……………. la función tiene
En 𝑥2 =…………………………………….. la función tiene
Volviendo a nuestro problema inicial: su traducción matemática consiste en encontrar los
extremos de la 𝑓(𝑥):
𝐴(𝑟) = 2𝜋𝑟2
+
2𝑉
𝑟
Como 𝑟 es el radio del cilindro, esta función está solo definida para 𝑟 > 0. Derivándola
obtenemos
𝐴´(𝑟) =………………………………………………………………………………
22) Te proponemos ahora que busques los extremos de la función:
𝑓(𝑥) = 𝑥4
− 4𝑥3
a) Determinar el o los valores “sospechosos”.
b) Realizar el análisis correspondiente (en lenguaje analítico y gráfico).
c) Enunciar tus conclusiones.
Los problemas de optimización resueltos se referían a funciones derivables ¿Qué pasa si
la función a estudiar no es derivable en algún o algunos de sus puntos de su dominio? Es
evidente que no podemos aplicar las propiedades vistas.
Ejemplo: Sea la función definida para cada 𝑥 ∈ [−1,2] 𝑝𝑜𝑟 𝑓(𝑥) = |𝑥|
a) Realizar la gráfica de 𝑓(𝑥).
b) ∀ 𝑥 > 0 → 𝑓´(𝑥) =……………………………….
c) ∀ 𝑥 < 0 → 𝑓´(𝑥) =……………………………….

42
d) 𝑓´(0) =…………………………………………….
Aparentemente esta función no tiene puntos sospechosos. Sin embargo, como es obvio a
partir de su gráfica la función tiene un mínimo en 𝑥 = 0. Esta función tiene además dos
máximos relativos, para 𝑥 = −1 y 𝑥 = 2. Además, para 𝑥 = 2 alcanza su máximo absoluto.
23) ¿Cuál sería su máximo absoluto si el dominio hubiese sido ℝ?
Resumen
Dada una función 𝑓, para determinar los puntos en que 𝑓 tiene máximos o mínimos
debemos examinar:
a) Los puntos en los cuales la derivada se anula.
b) Los puntos en que 𝑓´
(𝑥) no está definida.
c) Los extremos 𝑎, 𝑏 del intervalo de definición.
Para la determinación respecto a si es un máximo o un mínimo se analiza la segunda
derivada.
Analizaremos gráficamente dos funciones 𝑓 y 𝑔. Para ello encolumnamos la función
primitiva y sus dos primeras derivadas. Tendremos en cuenta el significado geométrico de la
derivada: pendiente de la recta tangente a la curva.
Analizando la gráfica (1) vemos que la primera derivada de 𝑓 debe ser negativa entre 𝑎 y
𝑐, nula en 𝑐 y positiva entre 𝑐 y 𝑏. Esto nos muestra que la gráfica de la función primera
derivada debe tener una forma parecida a la gráfica (2), es decir sería una función creciente en
𝑎, 𝑏. Pero si la función 𝑓´
(𝑥) es creciente, es razonable suponer que su derivada, que es la
derivada segunda de 𝑓, sea positiva en el intervalo, como muestra en (3).
Analizando de manera similar la figura (4) obtenemos los gráficos (5) y (6).

43

44
Resumiendo
Sí en 𝑐 hay un mínimo → 𝑓´(𝑐) = 0, 𝑓´´(𝑐) … 0
Sí en 𝑐 hay un máximo → 𝑓´(𝑐) = 0, 𝑓´´(𝑥) … 0
24) Verificar esta propiedad tomando las funciones:
𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 𝑥 , 𝑔(𝑥) = 𝑥4
− 4𝑥3
25) Se desea limitar un terreno rectangular con plantación de pinos y se utiliza para ello
un muro ya existente y se cierra los otros tres lados con un rollo de alambre tejido de
1600 𝑚 de longitud. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del rectángulo para que el
área encerrada sea la mayor posible?
Se observa que en el punto P señalado en cada una de las curvas no hay concavidad ni
convexidad. Estos puntos P se denominan puntos de inflexión.
26) Dado el siguiente gráfico trazar la tangente geométrica en cada punto de inflexión.

45
27) Enuncia tus colusiones al respecto del tema.
28) ¿Cómo debe ser la derivada segunda para los puntos que se encuentran a ambos lados
de un punto de inflexión?
29) Si en el punto de la curva que corresponde a 𝑥0 hay un punto de inflexión:
𝑓´´(𝑥0) =………………………………………….
30) Justifica tu respuesta.
31) ¿Qué ocurriría con 𝑓´´´
(𝑥0) si en 𝑥0 hay un punto de inflexión?
32) ¿Cómo podríamos graficar 𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 𝑥 teniendo en cuenta la información
recibida hasta ahora? Calcule, derive, grafique y concluya.
33) Realiza el estudio de las siguientes funciones teniendo en cuenta su dominio, raíces,
ordena al origen, asíntotas, máximos, mínimos y putos de inflexión. Para culminar ten
en cuenta la información obtenida y grafica cada una de ellas.
a) 𝑓(𝑥) =
𝑥2+3
𝑥2−9
b) 𝑔(𝑥) =
𝑥2+2𝑥
𝑥−2
c) ℎ(𝑥) =
2𝑥−1
√𝑥2−4
d) 𝑖(𝑥) =
2𝑥+1
𝑥−3
e) 𝑓(𝑥) =
𝑥2+1
𝑥
f) ℎ(𝑥) = 𝑥3
+ 𝑥2
− 𝑥 + 1
g) 𝑓(𝑥) =
𝑘
𝑥+1
+ 2
h) 𝑔(𝑥) =
𝑥+10
𝑥2−5𝑥+6
i) ℎ(𝑥) =
𝑥2−1
𝑥+2
j) 𝑖(𝑥) = 𝑥3
(𝑥2
− 4
⁄ )
k) 𝑗(𝑥) =
2𝑥4−𝑥3
𝑥3+0,5𝑥

46
Trabajo práctico nº6: Introducción al concepto de Integrales
Las personas son como fracciones cuyos numeradores corresponden a lo que ellas son,
en tanto que los denominadores son lo que creen ser. Cuanto más grande es el denominador,
más pequeña es la fracción.
Tolsto
Objetivo general
 Introducir al concepto intuitivo de antiderivada a través de un abordaje geométrico y
formalizar la definición de integral.
 Reconocer el papel de inversas entre las operaciones de derivación e integración.
 Entender el concepto y el significado del proceso de cálculo de diferenciales.
 Introducir estrategias elementales de cálculo de primitivas inmediatas o reducibles a
ellas.
 Relacionar las propiedades de la derivación con las de integración, aprovechando éstas
para el cálculo de primitivas.
El cálculo diferencial desarrolla métodos y aplicaciones que involucran a la derivada de
una función conocida. Un proceso natural en el desarrollo histórico de las matemáticas, es dar
una continuidad a los conocimientos que ya se disponen. Así, parece razonable estudiar un
proceso recíproco al de la derivación.
Hallar una función de la que es conocida su derivada es lo que se conoce habitualmente
por Integración. Sin embargo, este proceso adquiere una relevancia sustancial, cuando
mediante la Regla de Barrow, es posible relacionar el cálculo de antiderivadas con el de áreas
de regiones planas y sólidos de revolución.
En esta unidad se busca profundizar en el proceso recíproco al de la derivación, o cálculo
de la integral indefinida.
El cálculo de áreas de paralelogramos, rectángulos y otras figuras regulares se puede
realizar por fórmulas según se ha visto en la escuela media. Pero, ¿Cómo podemos calcular
áreas de figuras no regulares?, por ejemplo esta figura plana limitada por una curva:

47
Con los métodos elementales no podemos resolver este problema, ya que solo nos
permiten calcular áreas de regiones limitadas por segmentos rectos.
Arquímedes, en el siglo III a.C., realizó el cálculo del área del círculo. Para ello dividió
la figura en franjas, mediante rectas paralelas, aproximadamente en los extremos de estas
granjas los trozos de curva mediante segmentos, como vemos en la siguiente figura:
1) ¿Encentras una relación entre la suma de las áreas de los rectángulos y el área del
círculo?
Observa el siguiente gráfico:

48
2) ¿Qué ocurrirá si tomamos las rectas paralelas más próximas entre sí? Sugerencia:
graficar.
3) ¿Podríamos utilizar la palabra “límite” para este análisis?
Vamos a formalizar este planteo:
Comencemos a considerar una función 𝑓, definida y continúa en un intervalo cerrado
[𝑎, 𝑏] y con valores reales∀ 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑥) ≥ 0 por el momento, es decir que la gráfica de
f se encuentra por encima del eje de las abscisas.
Por ejemplo:
Queremos calcular el área encerrada, debajo de la curva, entre los segmentos de las rectas
verticales 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏 y el segmento del eje de abscisas comprendido entre 𝑎 y 𝑏, es decir
el área sombreada.
Comenzaremos, como Arquímedes, partiendo el [𝑎, 𝑏] en n subintervalos más pequeños
de amplitudes: ∆𝑥1, ∆𝑥2,……………… ∆𝑥𝑛 . Trazamos la perpendicular al eje x por los
extremos de los subintervalos. El área que se quiere determinar es igual a la suma de las áreas
de las 𝑛 bandas que quedan determinadas. Gráficamente es:

49
Pero el problema subsiste porque cada una de ellas está limitada superiormente por un
arco de curva. Para resolverlo en cada uno de los subintervalos consideramos un punto interior,
sean 𝑥1,𝑥2,……… 𝑥𝑛, respectivamente. Para cada uno de ellos la función atribuye un valor.
Trazamos las perpendiculares al eje 𝑥 por 𝑥1,𝑥2,……… 𝑥𝑛 y nos queda gráficamente:
Por cada uno de los puntos en que estas perpendiculares cortan a la curva trazamos una
paralela al eje 𝑥 . Quedan así 𝑛 rectángulos. El área de cada uno de esos rectángulos
es 𝑓(𝑥1). ∆𝑥1, 𝑓(𝑥2). ∆𝑥2………………. 𝑓(𝑥𝑛). ∆𝑥𝑛, La suma de todas esas áreas se puede
expresar como ∑ 𝑓(𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=1 . ∆𝑥𝑖
Hacemos el mismo análisis para el círculo. Cuando la amplitud de todos los ∆𝑥𝑖 se hace
más pequeña y en consecuencia el número de n de los mismos se hace mayor, la suma de las
áreas de los rectángulos se aproxima cada vez más al área que interesa. Coloquialmente se

50
define el área 𝐴 limitada por la curva, el eje 𝑥 y las rectas 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏 como el límite de
la suma de las áreas de estos rectángulos cuando la amplitud ∆𝑥𝑖 de todos los subintervalos
tiende a cero y en consecuencia el número 𝑛 de los mismos tiende a infinito.
4) ¿Cómo se escribiría simbólicamente?
Ese número “𝐴”que mide el área buscada se llama integral definida de 𝑓 entre 𝑎 y 𝑏 y
se indica simbólicamente como:
𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
donde 𝑎 y 𝑏 reciben el nombre de límites o extremos de la integral.
Calculemos un área. Supongamos que queremos hallar el área de la figura sombreada:
5) Utilizando el método de la secundaria
Se puede observar que podemos llegar al mismo resultado utilizando el camino de Arquímedes.
Vamos a dividir el intervalo [0;1] en cuatro subintervalos que servirán de base de los
rectángulos cuyas áreas calcularemos.

51
6) ¿Cuál es la función que permite hallar la altura de cada rectángulo?
Vamos a disponer el cálculo en una tabla
Rectángulo Altura Área
I 𝑓(1 4
⁄ ) = 1 2
⁄ 1 4
⁄ . 1 2
⁄ = 1 8
⁄
II 𝑓(1 2
⁄ ) =…………
III
IV
De acuerdo con lo visto la suma de las áreas de los rectángulos es aproximadamente el
área buscada.
7) 𝐴 =…………
8) Compara los resultados que obtuviste en los ítems anteriores, reflexiona y concluye.
9) Si no te has convencido de que el área hallada en 7 es bastante próxima a la del ítem 5,
dividí el intervalo [0,1] en más subintervalos y observa que ocurre.
𝑓(𝑥)

52
Trataremos ahora de hallar una fórmula que nos permita hallar el resultado aproximando
cualquiera sea el número de subintervalos en que dividas [0,1]. Para ello, dividamos el intervalo
[0,1] en 𝑛 subintervalos.
Nota: recuerda que cuando generalizamos un concepto trabajamos con letras en lugar de
números.
10) Divide en el gráfico el [0,1] en 𝑛 subintervalos.
11) ¿Qué longitud tendrá cada uno de los subintervalos?
Completa esta tabla similar a la anterior
Rectángulo Altura Área
1 𝑓(1 𝑛
⁄ ) = 2. 1 𝑛
⁄ 1 𝑛
⁄ . 2. 1 𝑛
⁄
2 𝑓(1 2
⁄ ) =…………
3
𝑛
La suma de las 𝑛 áreas obtenidas es:
12) 𝐴 =……………………………………………….
y sacando factor común:
Recordando que la expresión que nos permite hallar la suma de 𝑛 números naturales es
𝑛(𝑛+1)
2
, nos queda:
Con esta fórmula que acabas de obtener podrás calcular el área en forma aproximada para
cualquier 𝑛 que se te ocurra.
13) Verifica para 𝑛 = 4
¿Te coincide con el resultado calculado en el ítem 7?
Y finalmente, como hemos visto, para hallar el área en forma exacta bastará pensar en un
número infinito de subintervalos o sea:
𝐴 = lim
𝑛→∞
. … … … … … … … … . . =. … … … … … … … ….
Esto que has realizado fue solo un camino, luego volverás a encontrar el mismo resultado
por otro método. El camino que acabas de utilizar muestra como fueron los comienzos del
cálculo.

53
Ahora bien, cuando formalizamos el planteo hecho por Arquímedes, sobre el cálculo del
área de una figura limitada por curvas; y lo trasladamos a un sistema de ejes a través de una
curva gráfica de la función continua 𝑓(𝑥) concluímos que el área buscada está dada por la
integral definida cuya expresión simbólica ya la hemos visto.
Pero ¿No sería interesante saber qué función es 𝑓(𝑥)?
Para ello, no tenemos otro camino que realizar una demostración rigurosa. Claro,
seguramente estarás pensando...UNA DEMOSTRACIÓN. Pero para llegar a alguna conclusión
debemos utilizar los instrumentos que nos da el análisis matemático. Lo demostraremos
considerando una función 𝑓(𝑥) creciente, pero el razonamiento es válido para cualquiera sea
la función, aunque sea decreciente.
14) ¿Por qué se escribe 𝐴(𝑥)? Ver el gráfico.
Si se incrementa 𝑥 en ∆𝑥, el incremento ∆𝐴(𝑥) que es la parte reticulada de la figura,
está comprendido entre las áreas de los rectángulos:
15) Completa la línea punteada:
De base …………..……… y de altura …………
Otro de base………………. y de altura…………
Es decir
………………………………….< 𝐴(𝑥) <………………………………….

54
Pero 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) = 𝑓(𝑥) + ∆𝑓(𝑥)
Reemplazando en la desigualdad:
16)
Si divido por ∆𝑥 cada miembro
17)
Si tomo límite con ∆𝑥 → 0
18)
Como 𝑓(𝑥) es continuo, su incremento ∆𝑓(𝑥) tiende a cero cuando ∆𝑥 → 0, es decir:
19)
lim
∆𝑥→0
∆𝑓(𝑥) = . … … … … … … … … … … ….

55
Por lo tanto, nos queda:
20)
… … … < lim
∆𝑥→0
∆𝐴(𝑥)
∆𝑥
<. … … … … . . → lim
∆𝑥→0
∆𝐴(𝑥)
∆𝑥
=. … . … … . (𝐼)
Por otra parte, hemos visto que la expresión:
lim
∆𝑥→0
∆𝐴(𝑥)
∆𝑥
=. … .. … … … . (𝐼𝐼)
de (I) y (II)
21)
Donde 𝐴(𝑥) recibe el nombre de primitiva de 𝑓(𝑥).
“La operación de integrar consiste, pues, en dada una función 𝑓, hallar otra función 𝐴 de
la cual se puede afirmar que 𝐴´(𝑥) = 𝑓(𝑥).”
En la derivación se conoce una función y se debe hallar la derivada, en la integración se
conoce la derivada y se debe hallar la función, por ello se llama función primitiva o antiderivada
o integral indefinida.
INTEGRACIÓN
𝑶𝒑𝒆𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑰𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔𝒂
⇔ DERIVACIÓN
Cuando se pretende hallar la primitiva de una función se utiliza el símbolo
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, 𝑓(𝑥) se llama función integrando.

56
22) ¿Por qué no se colocan los extremos 𝑎 y 𝑏
23) Si 𝐴(𝑥)es una función primitiva de 𝑓(𝑥)¿Será 𝐴(𝑥) + 𝐶, siendo 𝐶 una constante,
una primitiva? Justificar analíticamente la respuesta.
24) De lo analizado en el ítem anterior enuncia algunas conclusiones.
25) Serias capaz de calcular entonces ∫ 2𝑥 𝑑𝑥 =
Averigüemos si realmente has entendido:
26) ¿Qué diferencia hay entre las siguientes expresiones:
𝑎) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑦 𝑏) ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
La expresión 𝑎 recibe el nombre de integral indefinida, porque el resultado no es único,
no define una sola función si no infinitas funciones cada una depende del valor numérico que
se da a la constante.
La expresión 𝑏 recibe el nombre de integral definida y una de sus aplicaciones es el
cálculo de áreas, como hemos planteado, y permite la resolución de otros problemas.

57
Trabajo práctico nº 7: Integrales indefinidas
La ciencia se compone de errores, que, a su vez, son los pasos hacia la verdad.”
Julio Verne
Objetivo general
 Conocer y aplicar las integrales indefinidas a distintas funciones
 Operar con funciones utilizando la antiderivada o integral indefinida
 Aplicar las integrales inmediatas
 Deducir y aplicar distintos métodos de integración
El cálculo de integrales definidas se reduce, según vimos a calcular las correspondientes
integrales indefinidas.
1) De acuerdo a lo visto en el trabajo práctico anterior ¿En qué consiste resolver una
integral indefinida?
El resultado de algunas integrales se obtiene en forma inmediata, si más que recordar las
reglas de derivación, por eso se llaman INTEGRALES INMEDIATAS.
Ejemplo:
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶 𝑝𝑢𝑒𝑠 𝐷(−𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶) = −(−𝑠𝑒𝑛 𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
2) ∫ 12 𝑥5
𝑑𝑥 =
¿Por qué?
Nota: para resolver algunas integrales hay que tener en cuenta las derivadas de función
de función, o sea funciones compuestas.
a) ∫
1
2
𝑥−4
𝑑𝑥
b) ∫
𝑑𝑥
𝑥
c) ∫ √𝑥
3
𝑑𝑥
d) ∫ 𝑐𝑜𝑠 5𝑥 𝑑𝑥
e) ∫
𝑑𝑥
√2𝑥+1
3

58
f) ∫
𝑥 𝑑𝑥
(−2𝑥2+1)3
g) ∫
𝑑𝑥
(3−5𝑥2)
1
2
h) ∫
1
9+𝑥2 𝑑𝑥
Esta forma de proceder tiene evidentemente alcances muy limitados: lo que necesitamos
es algún “método” para calcular integrales más complejas. En si, el método no existe, pero si
es posible encontrar algunas reglas de integración, que nos permitirán descomponer las
integrales en inmediatas, es decir en integrales de fácil resolución. Con el objeto de ir facilitando
el cálculo de integrales, enunciaremos algunas propiedades de las integrales indefinidas:
a) ∫[𝑓(𝑥) ∓ 𝑔(𝑥) ∓ ℎ(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∓ ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ∓ ∫ ℎ(𝑥)𝑑𝑥
b) ∫ 𝐾𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐾 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ; 𝐾 ∈ 𝑅
c) 𝑑 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ; 𝑑: 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
d) 𝐷 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) ; 𝐷: 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎
3) Resolver las siguientes integrales utilizando las reglas de integración.
Nota: las mismas no se encuentran desarrolladas en el presente texto ya que ello excede
los objetivos de mismo. Se puede consultar la bibliografía recomendada para este trabajo
Integrales por descomposición
a) ∫
√𝑥
3
− √𝑎
3
√𝑥2
3 𝑑𝑥
b) ∫
4𝑥5+2𝑥3+𝑥−1
𝑥2 𝑑𝑥
c) ∫(𝑥 + 3)2
𝑑𝑥
d) ∫ (
1
𝑠𝑒𝑛2𝑥
+ 𝑐𝑜𝑠 𝑥) 𝑑𝑥
Integrales por sustitución
a) ∫
𝑥 𝑑𝑥
√𝑥2−3
4
b) ∫ 𝑠𝑒𝑛5
𝑥 . 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 𝑑𝑥

59
c) ∫ 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 . 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 𝑑𝑥
d) ∫ 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥, 𝑒)
e) ∫ 𝑠𝑒𝑐2(𝑥2
− 1) 𝑑𝑥
f) ∫
𝑥−
1
2
√𝑥2−𝑥
𝑑𝑥
g) ∫
𝑑𝑥
√1−3𝑥2
h) ∫
√𝑥
3
− √𝑎
3
√𝑥2
3 𝑑𝑥
Integrales por partes
a) ∫ 𝑥 . 𝑒𝑥
𝑑𝑥
b) ∫ 𝑥 . 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
Integrales por descomposición en fracciones simples
a) ∫
5−𝑥
𝑥2−5𝑥+6
𝑑𝑥
b) ∫
𝑥2−𝑥+4
(𝑥−2)(𝑥−1)2 𝑑𝑥

60
Trabajo práctico nº 8: Integrales definidas
Un matemático que no es también algo de poeta nunca será un matemático completo”
Karl Weierstrass
Objetivo general
 Conocer y aplicar las integrales definidas.
 Aplicar el cálculo integral definido para el cálculo de áreas encerradas por curvas.
 Realizar cálculos de áreas utilizando las propiedades de las integrales definidas.
Cuando nos iniciamos en el estudio de las integrales hemos visto que las integrales
indefinidas surgieron ante la necesidad de resolución de problemas de cálculo de áreas de
figuras planas no regulares.
También mencionamos que su aplicación permite la resolución de otros problemas como
son: volumen de un cuerpo (para el cálculo de los pies cúbicos de un rollo), área lateral de un
cuerpo (para el laminado), etc.
Revisemos algunos conceptos como ser el cálculo del área limitada por la curva, el eje de
abscisas y los segmentos 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏. Gráficamente resultaría:
Vimos también que para el cálculo de 𝐴 utilizamos la expresión:

61
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
lim
∆𝑥𝑖→0
𝑓(𝑥𝑖). ∆𝑥𝑖
Donde 𝑎: 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟, 𝑏: 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟, [𝑎, 𝑏] 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑓(𝑥)𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜
Consideremos el cálculo de área encerrada entre el eje 𝑥, la curva 𝑥2
y las rectas 𝑥 = 0 y
𝑥 = 2
Gráficamente:
Según lo visto el cálculo de 𝐴, lo obtenemos a través de la expresión
∫ 𝑥2
𝑑𝑥 =
2
0
Pero la resolución de esta integral definida mediante la definición es bastante engorrosa,
por ello vamos a aplicar un teorema de Isaac Barrow que permite obtener el resultado de la
integral definida.

62
El teorema dice así:
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑏
𝑎
Entonces, veremos otra demostración.
En el trabajo práctico Nº 4, se demostró que la función integrando es una función derivada
y que lo que se calcula al resolver una integral indefinida son primitivas, para ello planteamos
el problema de la siguiente manera:
Si se tiene una curva grafica de la función continua 𝑓(𝑥), se determina un punto fijo 𝑎 el
área limitada por la curva, la recta fija 𝑥 = 𝑎, el eje de abscisas y una recta variable 𝑥 =
𝑥0 perpendicular a dicho eje, dicha área es una función derivable 𝑥 que se designa 𝐴(𝑥).
Gráficamente:
Y analíticamente ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑥
𝑎
(I)
Se reduce al cálculo de una integral indefinida. Hemos visto que existen infinitas
primitivas, es decir: 𝐴(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶
Ahora bien, si 𝑥 = 𝑎, 𝐴(𝑎) = 0
1) ¿Por qué?
De donde resulta 0 = 𝐹(𝑎) + 𝐶 → −𝐹(𝑎) = 𝐶
Luego ∀ 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] 𝑒𝑠 𝐴(𝑥) = 𝐹(𝑥) − 𝐹(𝑎)
Pero para 𝑥 = 𝑏, 𝐴(𝑥) es la integral buscada. Reemplazando en (I)

63
𝐴(𝑏) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑏
𝑎
Que es lo que queríamos demostrar.
La expresión 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)se indica abreviadamente como 𝐹(𝑥)|𝑏
𝑎
, de donde surge la
fórmula de Barrow como:
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) |
𝑏
𝑎
= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑏
𝑎
La fórmula de Barrow nos muestra que, para calcular una integral definida es suficiente
encontrar una integral indefinida cualquiera 𝐹 de 𝑓 en [𝑎, 𝑏], es decir una función 𝐹
continua en [𝑎, 𝑏] y que verifique: 𝐹´(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∀ 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏].
Calculemos la integral de la página anterior.
∫ 𝑥2
𝑑𝑥 =
𝑥3
3
2
0
|
2
0
= 𝐹(2) − 𝐹(0) =
8
3
2) ¿Por qué al encontrar la primitiva no se coloca 𝐶?…..
3) Calcula el área comprendida entre la curva 𝑦 = 𝑥3
, el eje 𝑥 y las rectas 𝑥 = 1 y
𝑥 = 3. Grafica la situación.
Algunas propiedades de las integrales definidas
∫ 𝐾𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐾 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
∫ [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑎) − 𝐹(𝑎) = 0
𝑎
𝑎
Calculemos ahora el área comprendida por 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 entre 0 y 2𝜋.

64
4) ¿Cómo resultará la integral en 𝜋 𝑦 2𝜋? Justifica.
Para calcular el área (II) cambiaremos el signo de ese resultado pues las áreas siempre
son positivas.
El área buscada será entonces:
𝐼 − 𝐼𝐼 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 =
2𝜋
𝜋
𝜋
0
5) ¿De qué otras maneras se podrá realizar el cálculo de esta área? Ayúdate con la
simetría.
Luego de este análisis podemos concluir en dos propiedades:
a) El área total es la suma de las áreas parciales. O sea: si 𝑐 es un punto interior de
[𝑎, 𝑏], es 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 →
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑐
𝑐
𝑎
𝑏
𝑎
b) 𝑃𝑜𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒:
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
6) ¿Cuánto vale el área encerrada por la curva de 𝑦 = 2𝑥 − 1 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 0 𝑦 2? Justificar.

65
Para la resolución de los siguientes ejercicios es conveniente hacer la gráfica de la función,
para ello determinar los puntos en que corta la curva al eje 𝑥 y a veces, en cuales alcanza un
máximo y un mínimo.
7) Calcular el área limitada por:
a) La hipérbola 𝑦 =
1
𝑥
y las rectas 𝑥 = 1 y 𝑥 = 3
b) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 . 𝑐𝑜𝑠 𝑥 y el eje 𝑥 en [0;
𝜋
2
]
c) La curva 𝑦 = 𝑥
3
2 y la recta 𝑥 = 4
d) La curva 𝑓(𝑥) = 3𝑥2
− 2𝑥 el eje 𝑥 y las rectas 𝑥 = −1 y 𝑥 = 1
e) La curva 𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 𝑥 el eje 𝑥 y las rectas 𝑥 = −2 y 𝑥 =
1
2
Área de una zona comprendida entre dos curvas
¿Cómo calcular el área sombreada que se observa en la figura?
8) ¿Qué área obtengo con ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥?
𝑏
𝑎
Rayar horizontalmente.
9) Con ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
, indicar el área rayando verticalmente.

66
10) Luego, el área buscada está dada por:
11) Calcular el área encerrada entre 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 y 𝑔(𝑥) = 𝑥2
a) Realizar el gráfico.
b) Puntos de intersección de entre las funciones.
c) Calcular el área buscada.
Hemos supuesto implícitamente que ambas funciones son positivas en el intervalo
considerado. Veamos que esa hipótesis no es necesaria.
12) ¿Cómo calcularías el área encerrada entre 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) en el [𝑎; 𝑏] ?

67
13) Graficar por separado cada grupo de funciones y calcular el área comprendida entre las
mismas en cada caso:
a) { 𝑦=5𝑥2
𝑦=𝑥2+1
b) {
𝑦2
= 4𝑥
𝑥2
= 4𝑦
c) {
𝑦 = 𝑥3
𝑦 = 2𝑥
d) {
𝑦 = −𝑥2
+ 15
𝑦 = −2𝑥 + 12
e) Verifica si el área bajo la curva 𝑦 = −
1
2
𝑥2
+ 4 en el intervalo
[0,4] es igual al ítem “b”, manifiesta tus conclusiones.
f) {
𝑦 = √9 − 𝑥2
𝑦 = −𝑥 + 3
Y si quisieras calcular el área total de la circunferencia, ¿cómo
propondrías que se realizara el cálculo?
14) Calcular el área encerrada entre la gráfica de la función 𝑦 = ln 𝑥 y el eje
de las abscisas, desde el extremo inferior igual a cero hasta el extremo
superior con valor uno.

68
Si se te presentan inconvenientes para
realizar los cálculos, consulta el tema de
integrales impropias.

69
Trabajo práctico n°9: Aplicaciones de las integrales definidas
Defiende tu derecho a pensar, incluso pensar de manera errónea es mejor que no pensar.
Hipatia de Alegandría
Objetivo general
 Aplicar las integrales indefinidas para situaciones particulares de longitud, área y
volumen
 Realizar cálculos del arco de una curva de una función
 Realizar cálculos del área de una superficie de revolución de una función
 Realizar cálculos del volumen de un sólido de revolución de una función
Aplicaciones de las integrales definidas
Calculo de la longitud de un arco de curva
Primero veremos dos definiciones:
- “Una poligonal está inscripta en un arco de curva cuando todos sus vértices pertenecen
al mismo.”
- “La longitud de un arco de curva es el límite de la longitud de una poligonal inscripta
en él cuando la longitud de cada lado tiende a cero y en consecuencia el número de lados tiende
a infinito.”
Gráficamente

70
Vamos a encontrar la integral que calcula la longitud del arco que es gráfico de la función
derivable 𝑓(𝑥) con derivada continua en [𝑎; 𝑏].
Por los vértices de la poligonal trazamos perpendiculares al eje 𝑥 , el intervalo
[𝑎; 𝑏] queda así dividido en n subintervalos de amplitud ∆𝑥1, ∆𝑥2, ∆𝑥3, … , ∆𝑥𝑛 .
Consideramos uno cualquiera de los lados, por ejemplo el 𝐶𝐷
̅̅̅̅ cuya longitud llamaremos 𝑙𝑖.
Dicho lado es hipotenusa del triángulo:
1)
……… cuyos catetos son……………………
2) Por corolario del Teorema de Pitágoras,
𝑙𝑖 =…………………………………………………… (I)
Existe un teorema cuya denominación es Teorema del Valor Medio, y su enunciado es:
“El incremento de la función derivable en un intervalo es igual al producto de la derivada de
la función en un punto interior del intervalo por el incremento de la variable independiente.”
Simbólicamente:
∆𝑦𝑖 = 𝑓´(𝑥𝑖). ∆𝑥𝑖siendo xi el punto interior.
3) (∆𝑦𝑖)2
=……………………………………………… (II)

71
Reemplazando la expresión (II) en (I) nos queda:
4) 𝑙𝑖 =………………………
5) Sacamos (∆𝑥𝑖)2
factor común entonces:
𝑙𝑖 =………………………
6) Aplicando la propiedad distributiva:
𝑙𝑖 =………………………
La longitud de la poligonal será obviamente la suma de la longitud de cada uno de sus 𝑛
lados.
7) 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 =……………………………
Hemos dicho que la longitud de un arco de curva es el límite a que tiende esa longitud
(poligonal) cuando la longitud de cada uno de sus lados, y en consecuencia la amplitud de cada
∆𝑥𝑖 → 0 luego:
8) 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑜 =…………………
Recordando que:
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim
∆𝑥𝑖→0
∑ 𝑓(𝑥𝑖). ∆𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑏
𝑎
Nos queda que:
9) 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑜 =…………………
Ejemplo nº 1:
10) Calcular la longitud del arco de la figura (astroide) cuya expresión analítica es:
𝑥
2
3 + 𝑦
2
3 = 2
2
3 en [0; 2]
a) Representar en coordenadas cartesianas.
b) Expresa 𝑦 en función de 𝑥.
c) Llevas la expresión del ítem anterior a la forma: [1 + (𝑓´(𝑥))2]
d) Calcular la longitud en [0; 2].

72
e) Calcular la longitud en [−2; 2].

73
Cálculo de volúmenes de cuerpos de revolución
El área de curva de la figura es parte de la gráfica de la función continua 𝑓(𝑥). La
proyección del arco sobre el eje x es el intervalo [𝑎; 𝑏]. Se quiere obtener el volumen del cuerpo
engendrado por la zona rayada limitada por la curva, el eje 𝑥 y las rectas 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏,
cuando gira alrededor del eje 𝑥.
Dividimos [𝑎; 𝑏] en 𝑛 subintervalos trazamos perpendiculares al eje 𝑥, de manera que la
superficie sombreada queda dividida en 𝑛 bandas. El volumen del cuerpo total es igual a la
suma de los volúmenes de los cuerpos engendrados por cada banda.
11) Grafica la situación planteada siguiendo las indicaciones dadas a continuación:
a) Considera una cualquiera de las bandas llama a la amplitud ∆𝑥𝑖 y por 𝑥𝑖 interior a
su base traza una perpendicular al eje 𝑥.
b) La perpendicular trazada corta a la curva en un punto. Pone nombre a ese punto y
traza por él una paralela al eje x. ¿Qué figura regular obtienes?
¿Cuáles son los elementos de esa figura?
¿Qué engendra dicha figura al girar alrededor del eje 𝑥? (dibujar en el mismo gráfico).
c) El volumen de un cilindro es igual a 𝜋 por el cuadrado del radio de la base, por la
altura:

74
𝑉𝑖 =…………………
12) Si se repite la operación de los 𝑛 intervalos, se tienen n cilindros, la suma de los
volúmenes de esos 𝑛 cilindros es:
𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑛 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜𝑠 = ………………
13) Sacando factor común:
14) Esta suma de los volúmenes se aproxima al volumen del cuerpo de revolución, tanto
más cuanto más pequeñas sean las amplitudes ∆𝑥𝑖 de los subintervalos y 𝑛 → ∞, en
consecuencia:
15) 𝑉 =…………………
Y por definición de integral:
𝑉 =…………………
16) Calcular el volumen del cuerpo engendrado por la figura que se indica en cada caso al
girar alrededor del eje 𝑥. Realizar gráficos:
a) 𝑦 =
1
2
𝑥 + 2, 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥 𝑦 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝑥 = 2, 𝑥 = 5
b) 𝑦 = 3𝑥2
, 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥, 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝑥 = 3 𝑦 𝑥 = −2
c) 𝑦 = −𝑥3
, 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥, 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑥 = −3

75
Cálculo de área de superficies de revolución
Te proponemos ahora que, siguiendo la misma lógica que los apartados anteriores,
intentes llegar a la expresión que permite obtener el área de la superficie de un cuerpo
engendrado por revolución. Deberías llegar a lo siguiente:
𝐴 = 2𝜋 ∫ 𝑓(𝑥). √1 + [𝑓´(𝑥)]2
𝑏
𝑎
𝑑𝑥
17) Calcular las áreas laterales de los cuerpos el ítem anterior.

76
Trabajo práctico nº 10: Ecuaciones diferenciales
No podemos enseñar a nada a nadie. Tan sólo podemos ayudar a que descubran por sí
mismos.
Galileo Galilei
Objetivo general
 Conocer y aplicar las ecuaciones diferenciales para resolución de problemas
 Resolver ecuaciones diferenciales por distintos métodos
 Resolver problemas de ecuaciones diferenciales
Este es un tema de gran aplicación en ingeniería, porque permite describir gran cantidad
de fenómenos. Es un capítulo integrador de los anteriores. Son prerrequisitos necesarios
conocer derivadas e integrales.
La historia de las Ecuaciones Diferenciales (ED) comenzó en el siglo XVII cuando
Newton, Leibnitz y los Bernoulli resolvieron algunas ecuaciones diferenciales sencillas que se
presentaron en problemas de geometría y mecánica.
Estos primeros descubrimientos, iniciados alrededor de 1690 hicieron creer que las
soluciones de todas las Ecuaciones Diferenciales originadas en problemas geométricos y físicos
podrían expresarse por medio de las funciones elementales del cálculo.
Por ello, gran parte de los primeros esfuerzos fueron orientados al desarrollo de técnicas
ingeniosas para resolver dichas ecuaciones por medio de recursos sencillos (sumas, restas, etc).
Pronto se vio que relativamente pocas de estas podrían resolverse con recursos elementales,
entonces los matemáticos fueron dándose cuenta de que era en vano empeñarse en intentar
descubrir métodos para resolver todas las ED. En lugar de ello, encontraron más provechoso
averiguar si una ED dada tenía o no solución, y cuando la tenía, intentar la deducción de
propiedades de la solución a partir de la misma ED.
La experiencia ha puesto de manifiesto que es difícil obtener resultados de tipo general
relativos a las soluciones de las ED, salvo para unos pocos tipos de ecuaciones. Entre éstos cabe
citar las de primer orden de variables separables y las lineales de primer orden. Son los dos
tipos de ED a estudiar en este curso.
¿Qué es una ecuación diferencial?
Las ED surgen de la interpretación matemática de los fenómenos físicos, químicos, de
ingeniería, etc. dado que en muchas investigaciones es más fácil hallar relaciones entre las

77
variaciones que sufren las variables que entre las mismas variables. Por ejemplo, desde el punto
de vista forestal, en los fenómenos biológicos, las ED permiten formular planteos matemáticos
que primero idealizan y luego clarifican los problemas que se desean resolver. Analicemos
ejemplos que nos permitan llegar al concepto de ED.
Ejemplo nº 1: Buchanan (1958), expone un tratamiento clásico para la formulación del
crecimiento vegetal. Para estudios experimentales de cultivos de meristemas se considera como
básico que el tiempo de generación o tiempo que media entre dos mitosis sucesivas, es constante
para condiciones experimentales constantes (T, humedad, luz, composición de los medios
nutritivos). Si estas condiciones se cumplen en todo momento, el crecimiento en un tiempo t
será proporcional a la talla inicial. Matemáticamente se expresa así:
𝑑𝑥/𝑑𝑡 = 𝑘 𝑥
Donde dx: aumento de la talla; dt: en todo momento; =: será; k: proporcional; x: talla
inicial (sin subíndice 0, porque es la inicial en todo momento); dx/dt: velocidad de crecimiento.
Este criterio es aplicable a cualquier medida de crecimiento: el crecimiento del tamaño
de una célula en un tiempo t será proporcional al tamaño inicial de esa célula, el crecimiento
del número de células de un meristema en un tiempo t será proporcional al número inicial de
células para ese mismo tejido, etc. Integrando la ecuación diferencial anterior tenemos:
∫
𝑑𝑥
𝑥
= ∫ 𝑘 𝑑𝑡
𝑡
0
𝑥
𝑥0
Integrando en ambos miembros:
𝑙𝑛 𝑥 – 𝑙𝑛 𝑥0 = 𝑘 𝑡;
𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑙𝑛 (
𝑥
𝑥0
) = 𝑘. 𝑡
𝑥 = 𝑥0 . 𝑒𝑘𝑡
¿Qué es la solución de la ED?
Consideremos ahora un problema geométrico: encontrar una familia de curvas planas que
en cada punto, admitan una recta tangente cuya pendiente es el doble del valor de la abscisa.
1) ¿Cuál será la expresión asociada a la situación planteada?
2) ¿Cuál es la solución del problema?

78
3) Discutir la solución obtenida. Expresar sus conclusiones sobre el tema.
4) ¿Podría graficar la solución?
Habíamos dicho que estos problemas son frecuentes en ingeniería. En ellos observamos
la relación existente entre las variaciones de las variables, expresiones que nos permiten obtener
valores particulares de las variables.
5) Algebraicamente ¿Qué forma tienen esas relaciones?
6) ¿Qué características tienen esas expresiones? (elementos que intervienen, soluciones,
etc.)
Las expresiones de este tipo reciben el nombre de Ecuaciones Diferenciales.
7) Indica el concepto de Ecuación Diferencial
La incógnita de una ED es una función, puede llegarse a esa solución mediante una
integración. Al integrar una vez aparece una constante. En el ejemplo de la familia de curvas,
la expresión 𝑦 = 𝑥² + 𝐶 es solución de la ED planteada y gráficamente corresponde a una
familia de parábolas, la misma es una función tal que sus valores y los de sus derivadas
satisfacen a la ED y recibe el nombre de Solución General de la ED.
A cada valor de la constante 𝐶 corresponde una curva diferente llamada Solución
Particular de la ecuación. La forma por la cual, la constante 𝐶, ingresa a la ecuación, sumando,
factor, etc. dependerá de la naturaleza de la ecuación.
8) Indique una solución particular de la ED de la familia de curvas.
Luego para la obtención de la solución particular se considera primero la solución general.
Muchas veces, en problemas de aplicación, es necesario elegir una curva particular. Ello
surge de informaciones adicionales llamadas condiciones adicionales o iniciales y el problema
de determinar una tal solución es un problema de valores iniciales.
Por ejemplo, si en el ejemplo del crecimiento celular queremos hallar una talla o un
número de células para un tiempo 𝑡 = 20´´, estamos en presencia de un problema de valores
iniciales.
Definición 1: El orden de una ED es el mayor orden de derivación que aparece en la
ecuación.

79
Definición 2: El grado de una ED es el mayor exponente con que aparece la derivada
que da el orden, una vez que la ecuación ha sido racionalizada y se han eliminado
denominadores respecto de todas las derivadas.
Ejemplo nº 2:
𝑦´´ =
𝑦
(𝑥 + 2𝑦´´)2
𝑦´´(𝑥 + 2𝑦´´)2
= 𝑦
𝑦´´𝑥² + 4𝑥(𝑦´´)² + 4(𝑦´´)³ = 𝑦 ; 𝐸𝐷 𝑑𝑒 3° 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜
“Si la ED es de orden n, se precisan n integraciones y en la solución general aparecen n
constantes arbitrarias.”
Ejemplo nº 3:
Para la ecuación de 2° orden 𝑦´´ = 2𝑥³ la solución general puede obtenerse mediante dos
integraciones sucesivas, por lo cual aparecen en ella dos constantes arbitrarias:
Indique las expresiones de 𝑦´ 𝑒 𝑦
Nota: Si una ecuación diferencial contiene una sola variable independiente recibe el
nombre de ordinaria. Si además contiene algunas derivadas parciales se denomina ED entre
derivadas parciales.
9) Dar el orden y el grado de cada una de las siguientes ED:
a) (𝑦´´)4
+ 𝑦´𝑥 + 𝑦5
= cos 𝑥
b) (𝑥² + 𝑦) 𝑑𝑦 – 3𝑥 𝑑𝑥 = 0
c) [𝑆´(𝑡)]⁴ – [𝑆(𝑡)]³ + 𝑆(𝑡) = 1
d) 𝑓𝐼𝑉
(𝑥) + 1/(𝑥² + 1) – 𝑥 𝑓(𝑥) = 0

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