Bernoulli

1. ECUACIÓN DE BERNOULLI
y
APLICACIONES
Prof. Aldo Tamburrino Tavantzis
SUMA DE BERNOULLI
B=h+
v2
2g
+
p
γ
Daniel Bernoulli (1700 – 1782)
1

2. B=
v2
2g
+
p
+h
γ
COTA PIEZOMÉTRICA:
ˆ
p p
= +h
γ γ
ALTURA DE
VELOCIDAD
ALTURA DE
PRESIÓN
COTA
COTA PIEZOMÉTRICA
EL BERNOULLI Y LA COTA PIEZOMÉTRICA TIENEN
DIMENSIONES DE LONGITUD
SUMA DE BERNOULLI
B=h+
v2
2g
+
p
γ
B
2
v1
2g
2
v1
2g
p
γ
D1
p
γ
v1
v2
2
2g
p
γ
v2
h
D2
h
h
NIVEL DE REFERENCIA
2

3. ECUACIÓN (o PRINCIPIO) DE BERNOULLI
La ecuación de Bernoulli
(2)
(1)
v2
p2
h1 +
2
v1 p1
v2 p
+
= h2 + 2 + 2
2g γ
2g γ
junto a la
continuidad
ecuación
de
v1 A 1 = v 2 A 2
p1
v1
h2
h1
NIVEL DE REFERENCIA
son fundamentales
para la
resolución de los problemas de
la Dinámica de los Fluidos
APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
Principio de Torricelli:
“La velocidad con la que sale un
líquido por el orificio de un recipiente
es igual a la que adquiriría un cuerpo
que se dejara caer libremente desde
la superficie libre del líquido hasta el
nivel del orificio”.
3

4. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
Apliquemos la ecuación de Bernoulli entre los puntos (1) y (2)
considerando que el nivel del líquido (H) permanece constante.
(1)
B1 = B2
•
h1 +
2
1
v
p
v2 p
+ 1 = h2 + 2 + 2
2g γ
2g γ
En el punto (1): h1 = H, p1 = patm (o p1 = 0 si trabajamos con
presiones relativas). Como el nivel se mantiene constante: v1 = 0.
H
•
(2)
En el punto (2): h2 = h, p2 = patm (o p2 = 0 si trabajamos con con
presiones relativas).
p atm
v2 p
= h + 2 + atm
γ
γ
2g
H+0+
h
De donde despejamos la velocidad de salida:
v 2 = 2g(H − h )
NIVEL DE REFERENCIA
APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
FLUJO EN UNA TUBERÍA CON CAMBIOS DE SECCIÓN
p1
D1
V1
(1)
p3
p2
D2
V2
(2)
D3
V3
(3)
Continuidad: El caudal es el mismo en las secciones (1), (2) y (3)
Conservación de la energía: El Bernoulli es el mismo en las secciones (1), (2) y (3)
4

5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
FLUJO EN UNA TUBERÍA CON CAMBIOS DE SECCIÓN
p1
Continuidad:
Q1 = Q2 = Q3 = Q
v1 =
Q
,
A1
v2 =
D1
Q
A2
p3
p2
D2
V1
(1)
V2
D3
V3
(2)
(3)
Q
v3 =
A3
Como D2 < D1 < D3 , se tiene que A2 < A1 < A3 , resultando que V2 > V1 > V3
APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
FLUJO EN UNA TUBERÍA CON CAMBIOS DE SECCIÓN
p1
Conservación de la energía:
B1 = B2 = B3 = B
v2 p
B1 = h 1 + 1 + 1
2g γ
B2 = h 2 +
v2 p2
2
+
2g γ
B3 = h 3 +
D1
V1
(1)
p3
p2
D2
V2
D3
V3
(2)
(3)
2
v3 p3
+
2g γ
Consideremos que la tubería es horizontal y que el nivel de referencia está
en el eje de la tubería. Esto significa que h1 = h2 = h3 = 0 y las ecuaciones
de Bernoulli se reducen a:
5

6. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
FLUJO EN UNA TUBERÍA CON CAMBIOS DE SECCIÓN
B1 =
v
p
+ 1
2g γ
v2 p
B2 = 2 + 2
2g γ
B3 =
p1
2
1
2
v3 p3
+
2g γ
D1
V1
(1)
p3
p2
D2
V2
D3
V3
(2)
(3)
Como B1 = B2 = B3 = B , tenemos que la presión en cada sección es igual a:

v2 
p1 = γ  B − 1  ,

2g 



v2 
p 2 = γ B − 2  ,

2g 



v2 
p 3 = γ B − 3 

2g 


O sea, en las secciones de menor diámetro, el área es menor, la velocidad
es mayor y la presión es menor.
APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
FLUJO EN UNA TUBERÍA CON CAMBIOS DE SECCIÓN
La presión es menor en
las secciones de mayor
velocidad
6

7. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
TUBO DE VENTURI
o VENTURÍMETRO:
Venturi tuvo la idea de medir las presiones en la
sección de mayor área y en la de menor área para
determinar el caudal que escurre por la tubería.
B1 = B 2
2
1
v
p
v2 p
+ 1 = 2 + 2
2g γ 2g γ
2
v 2 v 1 p1 p 2
2
−
=
−
2g 2g γ
γ
GIOVANNI BATISTA VENTURI
(1746 – 1822)
APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
VENTURÍMETRO:
Además v1 =
Reemplazando en la
ecuación anterior:
Q2
A
2
2
−
Q
,
A1
Q
A2
p p 
= 2g  1 − 2 
 γ
γ 
A


Q2
2
1
 A2 − A2
Q2  1 2 2 2
 A A
 1 2
Q=
v2 =

p p 
 = 2g 1 − 2 
 γ

γ 



A1 A 2
2
A1 − A 2
2
2g
p1 − p 2
γ
7

8. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
VENTURÍMETRO:
En las aplicaciones prácticas se usa:
Q=C
p1 − p 2
γ
Donde C es una constante empírica que se calibra para cada venturímetro
APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
DIAFRAGMA o PLACA ORIFICIO:
El mismo principio que el usado en el venturímetro se utiliza en la placa
orificio o diafragma.
(1)
(2)
8

9. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
DIAFRAGMA o PLACA ORIFICIO:
Sea A el área de la tubería y A0 el
de la placa orificio.
p1
p2
En la sección (2) el área del chorro
es ccA0.
El problema es esencialmente el
mismo que el del venturímetro,
resultando, reemplazando A1 por A y
A2 por ccA0 en la expresión final:
Q=
Ac c A 0
A 2 − (c c A 0 )
2
p − p2
2g 1
γ
(1)
(2)
En aplicaciones prácticas se utiliza
Q = C´
p1 − p 2
γ
Donde C’ se calibra experimentalmente.
PUNTOS DE
ESTANCAMIENTO
Los puntos de estancamiento
son puntos del flujo en los que
la velocidad es nula.
Ellos surgen para compatibilizar
físicamente puntos en los que
las líneas de corriente tienen
radio de curvatura tendiendo a
cero.
9

10. PUNTOS DE ESTANCAMIENTO
LÍNEAS DE CORRIENTE
(0)
(PE)
PUNTO DE ESTANCAMIENTO (PE)
Se cumple: B0 = BPE
PUNTOS DE ESTANCAMIENTO
B0 = BPE
(0)
2
v 0 p 0 p PE
+
=
2g γ
γ
PRESIÓN ESTÁTICA
PRESIÓN DINÁMICA
(PE)
Podemos conocer la velocidad:
 p − p0
v 0 = 2g PE

γ





10

11. PUNTOS DE ESTANCAMIENTO
Podemos conocer la velocidad:
 p − p0
v 0 = 2g PE

γ





(0)
(PE)
⇓
Instrumento para medir la velocidad
de los fluidos: TUBO DE PITOT
TUBO DE PITOT
Inventado en 1732 por Henri de Pitot
(1695 – 1771) para determinar el
caudal del río Sena (Francia)
11

12. TUBO DE PITOT
El punto (2) es un punto de estancamiento
TUBO DE PITOT
B1 = B2
Como el punto (2) es un punto de estancamiento
2
v1 p1 p 2
+
=
γ
2g γ
 p − p1 
v1 = 2g 2
 γ 



v1
p1 y p2 las ligamos con las presión que hay dentro
del tubo. En el tubo la situación es hidrostática:
p 1 = p A + γL ,
p 2 = p B + γ (H + L )
Pero pA = pB = patm , de donde resulta que
p 2 − p1 = γH
⇒
v1 = 2gH
12