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Ecuacion de bernoulli

ECUACION DE BERNOULLI

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BIENVENIDOS
SEMANA 11
ECUACION DE
BERNOULLI
Logro de Unidad: Al finalizar la
unidad, el estudiante elabora un
modelo hidráulico, aplicando las
ecuaciones fundamentales de la
dinámica de los fluidos, con criterios
teóricos y técnicos de ingeniería.
CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA – ECUACIÓN DE
BERNOULLI
Figura 1. Elemento de fluido en
una tubería
Considere un elemento de fluido como el que ilustramos en
la figura 1, dentro de una tubería en un sistema de flujo. Se
localiza a cierta elevación z, tiene velocidad v y presión p.
1. Energía potencial
Donde w es el peso del elemento
2. Energía cinética
3. Energía de flujo
WzEP
gWvEC 2/2

/WpEF 
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Ecuacion de bernoulli

  • 3. Logro de Unidad: Al finalizar la unidad, el estudiante elabora un modelo hidráulico, aplicando las ecuaciones fundamentales de la dinámica de los fluidos, con criterios teóricos y técnicos de ingeniería.
  • 4. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA – ECUACIÓN DE BERNOULLI Figura 1. Elemento de fluido en una tubería
  • 5. Considere un elemento de fluido como el que ilustramos en la figura 1, dentro de una tubería en un sistema de flujo. Se localiza a cierta elevación z, tiene velocidad v y presión p. 1. Energía potencial Donde w es el peso del elemento 2. Energía cinética 3. Energía de flujo WzEP gWvEC 2/2  /WpEF 
  • 7. Figura 3. Elementos de fluido utilizados en la ecuación de Bernoulli
  • 8. La cantidad total de energía de estas tres formas que posee el elemento de fluido es la suma E, E = EF + EP + EC E = w p/ + wz + wv2/2g Cada uno de estos términos se expresa en unidades de energía como el Newton-metro (N-m) en el SI, y el libra- pie (lb-pie) en el Sistema Tradicional de Estados Unidos.
  • 9. La ecuación de Bernoulli Cada término de la ecuación de Bernoulli es una forma de la energía que posee el fluido por unidad de peso del fluido que se mueve en el sistema.
  • 10. p/ es la carga de presión z es la carga de elevación v²/2g es la carga de velocidad A la suma de estos tres términos se le denomina carga total.
  • 11. Figura 4. Carga de presión, carga de elevación, carga de velocidad y carga total
  • 12. La ecuación de Bernoulli toma en cuenta los cambios en la carga de elevación, carga de presión y carga de velocidad entre dos puntos en un sistema de flujo de fluido. Se supone que no hay pérdidas o adiciones de energía entre los dos puntos, por lo que la carga total permanece constante.
  • 13. RESTRICCIONES DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI 1. Es válida sólo para fluidos incomprensibles, porque se supone que el preso específico del fluido es el mismo en las dos secciones de interés. 2. No puede haber dispositivos mecánicos que agreguen o retiren energía del sistema entre las dos secciones de interés, debido a que la ecuación establece que la energía en el fluido es constante. 3. No puede haber transferencia de calor hacia el fluido o fuera de éste. 4. No puede haber pérdida de energía debido a la fricción.
  • 14. Procedimiento para aplicar la ecuación de Bernoulli 1. Decidir cuáles son los términos conocidos y cuáles deben calcularse. 2. Determinar cuáles son las dos secciones del sistema que se usarán para escribir la ecuación de Bernoulli. Una de ellas se elige porque se concentran varios datos conocidos. En la otra, por lo general, algo habrá que calcularse. 3. Escribir la ecuación de Bernoulli para las dos secciones elegidas en el sistema. Es importante que la ecuación se escriba en la dirección del flujo. Es decir, el flujo debe proceder de la sección que este en el lado izquierdo de la ecuación y dirigirse hacia la sección derecha.
  • 15. 4. Es necesario ser explícito en la denominación de los subíndices de los términos de la carga de presión, carga de elevación y varga de velocidad en la ecuación de Bernoulli. En un dibujo del sistema hay que señalar la posición de los puntos de referencia. 5. Simplificar la ecuación, si es posible, con la cancelación de los términos que valgan cero o de los que aparezcan como iguales en ambos lados de la ecuación. 6. Despejar de la ecuación, en forma algebraica, el término que se busca. 7. Sustituir cantidades conocidas y calcular el resultado, con unidades consistentes en todos los cálculos.
  • 16. MAGNITUD SISTEMA INTERNACIONAL SISTEMA INGLES Presión kPa lb/pie2 Elevación m pie Velocidad de flujo m/s pie/s Peso específico kN/m3 lb/pie3 Aceleración gravedad 9,8 m/s2 32,2 pie/s2 UNIDADES DE LAS VARIABLES
  • 17. Problema Modelo 9. En la figura 5 ilustramos un flujo de agua a 10ºC que va de la sección 1 a la 2. En la sección 1, que tiene 25 mm de diámetro, la presión manométrica es de 345 kPa, y la velocidad del flujo es de 3 m/s. la sección 2, mide 50 mm de diámetro, y se encuentra a 2 m por arriba de la sección 1. Si suponemos que no hay pérdida de energía en el sistema, calcule la presión p2.
  • 18. Figura 5. Carga de presión, carga de elevación, carga de velocidad y carga total
  • 19. Antes de mirar el panel siguiente, liste los conceptos conocidos a partir del enunciado del problema. D1 = 25 mm; v1 = 3 m/s; z2 – z1 = 2 m D2 = 50 mm; p1 = 345 kPa (manométrica)
  • 20. Tanques, depósitos y toberas expuestos a la atmósfera La figura 6 muestra un sistema de fluido donde un sifón saca líquido desde un tanque o depósito y lo expulsa a través de una tobera al final de la tubería. Cuando el fluido en un punto de referencia está expuesto a la atmósfera, la presión es igual a cero y el término de la carga de presión se cancela en la ecuación de Bernoulli.
  • 21. Figura 6. Sifón del problema modelo 10
  • 22. A la carga de velocidad en la superficie de un tanque o depósito se le considera igual a cero, y se cancela en la ecuación de Bernoulli. Cuando los dos puntos de referencia para la ecuación de Bernoulli están dentro de una tubería del mismo tamaño, los términos de carga de velocidad en ambos lados de la ecuación son iguales y se cancelan. Cuando los dos puntos de referencia para la ecuación de Bernoulli están a la misma elevación, los términos de carga de elevación z1 y z2 son iguales y se cancelan.
  • 23. Problema Modelo 10. En la figura 6 mostramos un sifón utilizado para conducir agua desde una alberca. La tubería que conforma al sifón tiene un diámetro interior de 40 mm y termina en una tobera de 25 mm de diámetro. Si suponemos que en el sistema no hay pérdida de energía, calcule el flujo volumétrico a través del sifón, y la presión en los puntos B-E.
  • 24. El primer paso para resolver este problema es calcular el flujo volumétrico Q, por medio de la ecuación de Bernoulli. A y F son los puntos más convenientes en la realización de este cálculo. ¿Qué es lo que se conoce en el punto A? El punto A es la superficie libre del agua en la alberca. Por tanto, pA = 0 Pa. Asimismo, debido a que la superficie del área de la alberca es muy grande, la velocidad del agua en la superficie es casi igual a cero. Por ello, supondremos que vA = 0.
  • 25. ¿Qué se conoce en el punto F? El punto F es la corriente libre del agua que sale de la tobera. Como la corriente está expuesta a la presión atmosférica, la presión pF = 0 Pa. También sabemos que el punto F está 3 m por abajo del punto A.
  • 26. Ahora, escriba la ecuación de Bernoulli para los puntos A y F. De haber obtenido Si se toma en cuenta la información de los dos paneles anteriores ¿cómo se simplifica esta ecuación? 𝑝 𝐴 𝛾 + 𝑧 𝐴 + 𝑣 𝐴 2 2𝑔 = 𝑝 𝐹 𝛾 + 𝑧 𝐹 + 𝑣 𝐹 2 2𝑔
  • 27. Como pA = 0, pF = 0 Pa y vA es aproximadamente igual a cero, pueden cancelarse en la ecuación. Esto hace que quede así:
  • 28. 𝑧𝐴 = 𝑧 𝐹 + 𝑣 𝐹 2 2𝑔 El objetivo es calcular el flujo volumétrico, que depende de la velocidad. Ahora, despeje para vF. Debe quedar 𝑣 𝐹 = 𝑧𝐴 − 𝑧𝐹 2𝑔
  • 29. ¿Qué representa zA – zF? En la figura 7 observamos que zA – zF = 3.0 m., note que la diferencia es positiva porque zA es mayor que zF. Ahora calculamos el valor de vF. El resultado es 𝑣 𝐹 = (3.0 𝑚)(2)(9.81 𝑚/𝑠2) = 58.9 𝑚 𝑠 = 7.67 𝑚/𝑠 Ahora ¿cómo se calcula Q? Por medio de la ecuación de continuidad A1 v1 = A2 v2 obtenemos el flujo volumétrico.
  • 30. El resultado es Q = AF vF V = 7,67 m/s A =  (25 mm) 2 / 4 = 491 mm2 Hemos terminado la primera parte del problema. Ahora, emplee la ecuación de Bernoulli para determinar pB. ¿Cuáles son los dos puntos que debemos utilizar? 𝑄 = 491 𝑚𝑚2 7.67 𝑚 𝑠 1 𝑚2 106 𝑚𝑚2 = 3.77 × 10−3 𝑚3 /𝑠
  • 31. Los puntos A y B son los mejores. Como vimos en los paneles anteriores, el uso del punto A permite que la ecuación se simplifique mucho, y debemos elegir el punto B porque se busca pB Escriba la ecuación de Bernoulli para los puntos A y B, simplifique como antes y resuelva para pB. Aquí presentamos un procedimiento de solución posible: 𝑝 𝐴 𝛾 + 𝑧 𝐴 + 𝑣 𝐴 2 2𝑔 = 𝑝 𝐵 𝛾 + 𝑧 𝐵 + 𝑣 𝐵 2 2𝑔
  • 32. Como pA = 0 Pa y vA = 0, tenemos ¿Qué valor tiene zA – zB? Representa cero. Debido a que los dos puntos están en el mismo nivel, sus evaluaciones son las mismas. ¿Puede encontrar vB? 𝑧 𝐴 = 𝑝 𝐵 𝛾 + 𝑧 𝐵 + 𝑣 𝐵 2 2𝑔
  • 33. Se calcula vB por medio de la ecuación de continuidad: Q = AB vB vB = Q/AB Se calcula el área de una tubería de 40 mm de diámetro. Termine el cálculo de vB. El resultado es el siguiente: vB = Q/AB Q = 3.77 x 10 m/s AB = 1.257 x 10–3m2 𝑣 𝐵 = 3.77 × 10−3 𝑚3 𝑠 × 1 1.257 × 10−3 𝑚2 = 3.00 𝑚/𝑠
  • 34. Ahora tenemos todos los datos necesarios para calcular pB con la ecuación La presión en el punto B es: 𝑝 𝐵 = 𝛾[ 𝑧 𝐴 − 𝑧 𝐵 − 𝑣 𝐵 2 /2𝑔] 𝑣 𝐵 2 2𝑔 = (3.00)2 𝑚2 × 10−3 𝑚3 𝑠2 × 𝑠2 2 9.81 𝑚 = 0.459 𝑚
  • 35. 𝑝 𝐵 = (9.81 𝑘𝑁/𝑚3)(0 − 0.459 𝑚) 𝑝 𝐵 = −4.50 𝑘𝑁/𝑚2 𝑝 𝐵 = −4.50 𝑘𝑃𝑎
  • 36. En los tres paneles siguientes presentamos las soluciones para las presiones pC, pD y pE. Son procedimientos muy parecidos al que manejamos para pB. Antes de ver el panel siguiente, concluya la solución para pC. La respuesta es pC = 16.27 kPa. Utilizamos la ecuación de Bernoulli. Debido a que pA = 0 y vA = 0, la presión en el punto C es 𝑝 𝐴 𝛾 + 𝑧𝐴 + 𝑣 𝐴 2 2𝑔 = 𝑝 𝐶 𝛾 + 𝑧 𝐶 + 𝑣 𝐶 2 2𝑔 𝑝 𝐶 = 𝛾[ 𝑧 𝐴 − 𝑧 𝐶 − 𝑣 𝐶 2 /2𝑔]
  • 38. 𝑝 𝐶 = −16.27 𝑘𝑁/𝑚2 𝑝 𝐶 = −16.27 𝐾𝑃𝑎 Antes de pasar al panel siguiente, termine el cálculo para pD. La respuesta es pD = 34.50 kPa. La misma que pB, porque la elevación y la velocidad en los puntos B y D son iguales. La solución con la ayuda de la ecuación de Bernoulli lo probará. Ahora, calcule pE.
  • 39. La presión en el punto E es de 24.93 kPa. Manejamos la ecuación de Bernoulli: 𝑝 𝐴 𝛾 + 𝑧 𝐴 + 𝑣 𝐴 2 2𝑔 = 𝑝 𝐸 𝛾 + 𝑧 𝐸 + 𝑣 𝐸 2 2𝑔 Como pA = 0 y vA, tenemos: g v z p z E E A A .2 2  
  • 41. 𝑝 𝐸 = (9.81 𝑘𝑁/𝑚3 )(3.0 𝑚 − 0.459 𝑚) 𝑝 𝐸 = 24.93 𝑘𝑁/𝑚2 𝑝 𝐸 = 24.93 𝑘𝑃𝑎
  • 43. Un tubo de Venturi es un dispositivo inicialmente diseñado para medir la velocidad de un fluido aprovechando el efecto Venturi. Sin embargo, algunos se utilizan para acelerar la velocidad de un fluido obligándole a atravesar un tubo estrecho en forma de cono. La aplicación clásica de medida de velocidad de un fluido consiste en un tubo formado por dos secciones cónicas unidas por un tubo estrecho en el que el fluido se desplaza consecuentemente a mayor velocidad. La presión en el tubo Venturi puede medirse por un tubo vertical en forma de U conectando la región ancha y la canalización estrecha. La diferencia de alturas del líquido en el tubo en U permite medir la presión en ambos puntos y consecuentemente la velocidad.
  • 44. Figura 8. Sistema de medidor Venturi.
  • 45. Figura 9. Ejemplo de medidor Venturi.