ECUACION DE BERNOULLI

1. BIENVENIDOS
SEMANA 11

2. ECUACION DE
BERNOULLI

3. Logro de Unidad: Al finalizar la
unidad, el estudiante elabora un
modelo hidráulico, aplicando las
ecuaciones fundamentales de la
dinámica de los fluidos, con criterios
teóricos y técnicos de ingeniería.

4. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA – ECUACIÓN DE
BERNOULLI
Figura 1. Elemento de fluido en
una tubería

5. Considere un elemento de fluido como el que ilustramos en
la figura 1, dentro de una tubería en un sistema de flujo. Se
localiza a cierta elevación z, tiene velocidad v y presión p.
1. Energía potencial
Donde w es el peso del elemento
2. Energía cinética
3. Energía de flujo
WzEP
gWvEC 2/2

/WpEF 

6. Figura 2. Energía de flujo

7. Figura 3. Elementos de fluido
utilizados en la ecuación de Bernoulli

8. La cantidad total de energía de estas tres formas que
posee el elemento de fluido es la suma E,
E = EF + EP + EC
E = w p/ + wz + wv2/2g
Cada uno de estos términos se expresa en unidades de
energía como el Newton-metro (N-m) en el SI, y el libra-
pie (lb-pie) en el Sistema Tradicional de Estados Unidos.

9. La ecuación de Bernoulli
Cada término de la ecuación de Bernoulli es una forma
de la energía que posee el fluido por unidad de peso
del fluido que se mueve en el sistema.

10. p/ es la carga de presión
z es la carga de elevación
v²/2g es la carga de velocidad
A la suma de estos tres términos se le
denomina carga total.

11. Figura 4. Carga de
presión, carga de
elevación, carga de
velocidad y carga
total

12. La ecuación de Bernoulli toma en cuenta los
cambios en la carga de elevación, carga de
presión y carga de velocidad entre dos
puntos en un sistema de flujo de fluido. Se
supone que no hay pérdidas o adiciones de
energía entre los dos puntos, por lo que la
carga total permanece constante.

13. RESTRICCIONES DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI
1. Es válida sólo para fluidos incomprensibles, porque se supone que el
preso específico del fluido es el mismo en las dos secciones de interés.
2. No puede haber dispositivos mecánicos que agreguen o retiren
energía del sistema entre las dos secciones de interés, debido a que la
ecuación establece que la energía en el fluido es constante.
3. No puede haber transferencia de calor hacia el fluido o fuera de
éste.
4. No puede haber pérdida de energía debido a la fricción.

14. Procedimiento para aplicar la ecuación de Bernoulli
1. Decidir cuáles son los términos conocidos y cuáles deben
calcularse.
2. Determinar cuáles son las dos secciones del sistema que se
usarán para escribir la ecuación de Bernoulli. Una de ellas se elige
porque se concentran varios datos conocidos. En la otra, por lo
general, algo habrá que calcularse.
3. Escribir la ecuación de Bernoulli para las dos secciones elegidas
en el sistema. Es importante que la ecuación se escriba en la
dirección del flujo. Es decir, el flujo debe proceder de la sección que
este en el lado izquierdo de la ecuación y dirigirse hacia la sección
derecha.

15. 4. Es necesario ser explícito en la denominación de los subíndices
de los términos de la carga de presión, carga de elevación y varga
de velocidad en la ecuación de Bernoulli. En un dibujo del sistema
hay que señalar la posición de los puntos de referencia.
5. Simplificar la ecuación, si es posible, con la cancelación de los
términos que valgan cero o de los que aparezcan como iguales en
ambos lados de la ecuación.
6. Despejar de la ecuación, en forma algebraica, el término que se
busca.
7. Sustituir cantidades conocidas y calcular el resultado, con
unidades consistentes en todos los cálculos.

16. MAGNITUD SISTEMA
INTERNACIONAL
SISTEMA
INGLES
Presión kPa lb/pie2
Elevación m pie
Velocidad de
flujo
m/s pie/s
Peso específico kN/m3 lb/pie3
Aceleración
gravedad
9,8 m/s2 32,2 pie/s2
UNIDADES DE LAS VARIABLES

17. Problema Modelo 9. En la figura 5 ilustramos un flujo
de agua a 10ºC que va de la sección 1 a la 2. En la
sección 1, que tiene 25 mm de diámetro, la presión
manométrica es de 345 kPa, y la velocidad del flujo es
de 3 m/s. la sección 2, mide 50 mm de diámetro, y se
encuentra a 2 m por arriba de la sección 1. Si
suponemos que no hay pérdida de energía en el
sistema, calcule la presión p2.

18. Figura 5. Carga de
presión, carga de
elevación, carga de
velocidad y carga
total

19. Antes de mirar el panel siguiente, liste los
conceptos conocidos a partir del enunciado
del problema.
D1 = 25 mm; v1 = 3 m/s;
z2 – z1 = 2 m
D2 = 50 mm; p1 = 345 kPa
(manométrica)

20. Tanques, depósitos y toberas
expuestos a la atmósfera
La figura 6 muestra un sistema de fluido donde un sifón
saca líquido desde un tanque o depósito y lo expulsa a
través de una tobera al final de la tubería.
Cuando el fluido en un punto de referencia está expuesto
a la atmósfera, la presión es igual a cero y el término de
la carga de presión se cancela en la ecuación de
Bernoulli.

21. Figura 6. Sifón del problema modelo 10

22. A la carga de velocidad en la superficie de un tanque o
depósito se le considera igual a cero, y se cancela en la
ecuación de Bernoulli.
Cuando los dos puntos de referencia para la ecuación de
Bernoulli están dentro de una tubería del mismo tamaño,
los términos de carga de velocidad en ambos lados de la
ecuación son iguales y se cancelan.
Cuando los dos puntos de referencia para la ecuación de
Bernoulli están a la misma elevación, los términos de
carga de elevación z1 y z2 son iguales y se cancelan.

23. Problema Modelo 10. En la figura 6 mostramos un
sifón utilizado para conducir agua desde una
alberca. La tubería que conforma al sifón tiene un
diámetro interior de 40 mm y termina en una tobera
de 25 mm de diámetro. Si suponemos que en el
sistema no hay pérdida de energía, calcule el flujo
volumétrico a través del sifón, y la presión en los
puntos B-E.

24. El primer paso para resolver este problema es
calcular el flujo volumétrico Q, por medio de la
ecuación de Bernoulli. A y F son los puntos más
convenientes en la realización de este cálculo.
¿Qué es lo que se conoce en el punto A?
El punto A es la superficie libre del agua en la
alberca. Por tanto, pA = 0 Pa. Asimismo, debido a
que la superficie del área de la alberca es muy
grande, la velocidad del agua en la superficie es
casi igual a cero. Por ello, supondremos que vA =
0.

25. ¿Qué se conoce en el punto F?
El punto F es la corriente libre del agua que sale
de la tobera. Como la corriente está expuesta a
la presión atmosférica, la presión pF = 0 Pa.
También sabemos que el punto F está 3 m por
abajo del punto A.

26. Ahora, escriba la ecuación de Bernoulli para los puntos A y
F.
De haber obtenido
Si se toma en cuenta la información de los dos paneles
anteriores ¿cómo se simplifica esta ecuación?
𝑝 𝐴
𝛾
+ 𝑧 𝐴 +
𝑣 𝐴
2
2𝑔
=
𝑝 𝐹
𝛾
+ 𝑧 𝐹 +
𝑣 𝐹
2
2𝑔

27. Como pA = 0, pF = 0 Pa y vA es aproximadamente
igual a cero, pueden cancelarse en la ecuación.
Esto hace que quede así:

28. 𝑧𝐴 = 𝑧 𝐹 +
𝑣 𝐹
2
2𝑔
El objetivo es calcular el flujo volumétrico, que depende
de la velocidad. Ahora, despeje para vF.
Debe quedar
𝑣 𝐹 = 𝑧𝐴 − 𝑧𝐹 2𝑔

29. ¿Qué representa zA – zF?
En la figura 7 observamos que zA – zF = 3.0 m., note que la diferencia
es positiva porque zA es mayor que zF. Ahora calculamos el valor de
vF.
El resultado es 𝑣 𝐹 = (3.0 𝑚)(2)(9.81 𝑚/𝑠2)
= 58.9
𝑚
𝑠
= 7.67 𝑚/𝑠
Ahora ¿cómo se calcula Q?
Por medio de la ecuación de continuidad A1 v1 = A2 v2 obtenemos el
flujo volumétrico.

30. El resultado es Q = AF vF
V = 7,67 m/s A =  (25 mm) 2 / 4 = 491 mm2
Hemos terminado la primera parte del problema. Ahora, emplee
la ecuación de Bernoulli para determinar pB. ¿Cuáles son los
dos puntos que debemos utilizar?
𝑄 = 491 𝑚𝑚2
7.67 𝑚
𝑠
1 𝑚2
106 𝑚𝑚2
= 3.77 × 10−3
𝑚3
/𝑠

31. Los puntos A y B son los mejores. Como vimos en los paneles
anteriores, el uso del punto A permite que la ecuación se simplifique
mucho, y debemos elegir el punto B porque se busca pB
Escriba la ecuación de Bernoulli para los puntos A y B, simplifique
como antes y resuelva para pB.
Aquí presentamos un procedimiento de solución posible:
𝑝 𝐴
𝛾
+ 𝑧 𝐴 +
𝑣 𝐴
2
2𝑔
=
𝑝 𝐵
𝛾
+ 𝑧 𝐵 +
𝑣 𝐵
2
2𝑔

32. Como pA = 0 Pa y vA = 0, tenemos
¿Qué valor tiene zA – zB?
Representa cero. Debido a que los dos puntos están en el mismo
nivel, sus evaluaciones son las mismas. ¿Puede encontrar vB?
𝑧 𝐴 =
𝑝 𝐵
𝛾
+ 𝑧 𝐵 +
𝑣 𝐵
2
2𝑔

33. Se calcula vB por medio de la ecuación de continuidad:
Q = AB vB vB = Q/AB
Se calcula el área de una tubería de 40 mm de diámetro.
Termine el cálculo de vB.
El resultado es el siguiente:
vB = Q/AB
Q = 3.77 x 10 m/s
AB = 1.257 x 10–3m2
𝑣 𝐵 =
3.77 × 10−3
𝑚3
𝑠
×
1
1.257 × 10−3 𝑚2
= 3.00 𝑚/𝑠

34. Ahora tenemos todos los datos necesarios para calcular pB con la
ecuación
La presión en el punto B es:
𝑝 𝐵 = 𝛾[ 𝑧 𝐴 − 𝑧 𝐵 − 𝑣 𝐵
2
/2𝑔]
𝑣 𝐵
2
2𝑔
=
(3.00)2
𝑚2
× 10−3
𝑚3
𝑠2
×
𝑠2
2 9.81 𝑚
= 0.459 𝑚

35. 𝑝 𝐵 = (9.81 𝑘𝑁/𝑚3)(0
− 0.459 𝑚)
𝑝 𝐵 = −4.50 𝑘𝑁/𝑚2
𝑝 𝐵 = −4.50 𝑘𝑃𝑎

36. En los tres paneles siguientes presentamos las soluciones para las
presiones pC, pD y pE. Son procedimientos muy parecidos al que
manejamos para pB. Antes de ver el panel siguiente, concluya la
solución para pC.
La respuesta es pC = 16.27 kPa. Utilizamos la ecuación de Bernoulli.
Debido a que pA = 0 y vA = 0, la presión en el punto C es
𝑝 𝐴
𝛾
+ 𝑧𝐴 +
𝑣 𝐴
2
2𝑔
=
𝑝 𝐶
𝛾
+ 𝑧 𝐶 +
𝑣 𝐶
2
2𝑔
𝑝 𝐶 = 𝛾[ 𝑧 𝐴 − 𝑧 𝐶 − 𝑣 𝐶
2
/2𝑔]

38. 𝑝 𝐶 = −16.27 𝑘𝑁/𝑚2
𝑝 𝐶 = −16.27 𝐾𝑃𝑎
Antes de pasar al panel siguiente, termine el cálculo para pD.
La respuesta es pD = 34.50 kPa. La misma que pB, porque la
elevación y la velocidad en los puntos B y D son iguales. La
solución con la ayuda de la ecuación de Bernoulli lo probará.
Ahora, calcule pE.

39. La presión en el punto E es de 24.93 kPa. Manejamos la
ecuación de Bernoulli:
𝑝 𝐴
𝛾
+ 𝑧 𝐴 +
𝑣 𝐴
2
2𝑔
=
𝑝 𝐸
𝛾
+ 𝑧 𝐸 +
𝑣 𝐸
2
2𝑔
Como pA = 0 y vA, tenemos:
g
v
z
p
z E
E
A
A
.2
2



41. 𝑝 𝐸 = (9.81 𝑘𝑁/𝑚3
)(3.0 𝑚
− 0.459 𝑚)
𝑝 𝐸 = 24.93 𝑘𝑁/𝑚2
𝑝 𝐸 = 24.93 𝑘𝑃𝑎

42. Medidor Venturi

43. Un tubo de Venturi es un dispositivo inicialmente
diseñado para medir la velocidad de un fluido
aprovechando el efecto Venturi. Sin embargo, algunos se
utilizan para acelerar la velocidad de un fluido obligándole
a atravesar un tubo estrecho en forma de cono. La
aplicación clásica de medida de velocidad de un fluido
consiste en un tubo formado por dos secciones cónicas
unidas por un tubo estrecho en el que el fluido se
desplaza consecuentemente a mayor velocidad. La
presión en el tubo Venturi puede medirse por un tubo
vertical en forma de U conectando la región ancha y la
canalización estrecha. La diferencia de alturas del líquido
en el tubo en U permite medir la presión en ambos puntos
y consecuentemente la velocidad.

44. Figura 8. Sistema de medidor
Venturi.

45. Figura 9. Ejemplo
de medidor Venturi.

46. ¡MUCHAS GRACIAS POR
SU ATENCION!