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Mecánica de Máquinas y
Estructuras

TEMA 6. CINÉTICA DE CUERPOS RÍGIDOS

Objetivo

Ser capaces de calcular los
esfuerzos necesarios para
conseguir el movimiento
deseado en los elementos de
una máquina.
q

Ser capaces de calcular las solicitaciones en los componentes en movimiento
de máquinas.
q

Mecánica de Máquinas y Estructuras Tema 6. Cinética de Cuerpos Rígidos 3/XX

Tema 6. Cinética de cuerpos rígidos
Tema 6 Cinética de cuerpos rígidos

6. Movimiento plano de cuerpos rígidos
6.1 Movimiento plano de cuerpos rígidos
• Cantidad de movimiento angular
• Principio de d’Alembert
• Movimiento plano restringido
M i i t l t i id
6.2 Movimiento 3D de cuerpos rígidos
• Cantidad de movimiento angular 3D
Cantidad de movimiento angular 3D
• Movimiento general 3D. Ecuaciones de Euler.
Principio de d’Alembert
• Movimiento 3D restringido
M i i t 3D t i id



M i i t l t i id
M i i t 3D t i id



El cuerpo rígido: caso particular de Sistema de Partículas

 
 F  m·aG
 

 MG  HG

Estas ecuaciones seguirán siendo válidas, si bien la segunda ecuación se
puede escribir de forma más sencilla, viendo cuánto vale la cantidad de
movimiento angular de un sólido rígido con movimiento plano.
i i t l d ólid í id i i t l


Cantidad de movimiento angular HG
z

Z ri mi
y  n
    
HG    ri  mi ·v i 
G
 HG   r  v ·dm
i 1 V
x

Y

X

         
HG   r  v ·dm   r    r ·dm   · r  ·dm  ·  r  ·dm  HG  IG·
2 2

V V V V




 
HG  IG·

G G

Diferenciando llegamos a la ecuación de equilibrio dinámico de momentos:
Diferenciando llegamos a la ecuación de equilibrio dinámico de momentos:
  
   
HG  IG·  
HG  IG· 
 HG  IG·



El cuerpo rígido: ecuaciones de equilibrio dinámico

 
 F  m·aG Relación entre esfuerzos
  y movimiento del SR
 MG  IG ·




Problema dinámico    
 F  m·aG   F  m·aG  0
   
G  MG  IG ·   MG  IG ·  0

Fi

Si introducimos sobre el SR unos esfuerzos exteriores
ficticios de inercia (fuerza y par de inercia): G
 
Fi  m·aG Mi
 
Mi  IG · Problema estático
equivalente


Ejemplo

Se quiere hacer girar a velocidad angular constante  (antihorario) la barra
homogénea, de longitud L y peso P de la figura. Para el instante mostrado en la
figura, determinar el par M que tendría que aportar el motor eléctrico cuyo eje de
figura determinar el par M que tendría que aportar el motor eléctrico cuyo eje de
salida viene acoplado a la barra en A.

 
G G
 F  m·aG
M 40o M 40o  
Ax  MG  IG ·
A P P

Ay



Ejemplo

   Ax  m·aGx
 F  m·aG  
 Ay  P  m·aGy
G  
M 40o  MG  IG · 
Ax P L L
Ax · ·sin 40o  Ay · ·cos 40o  M  IG ·
2 2

Ay   cte    0 Cinemática
     
2 2 L

2

aG    AG   ·AG   · · cos 40 i  sin 40 j
o o



Ejemplo

P L
Ax  m·aGx   · 2 · ·cos 40o
g 2
P L P L
Ay  P  m·aGy   · 2 · ·sin 40o  Ay  P  · 2 · ·sin 40o
sin sin
g 2 g 2
L L
Ax · ·sin 40o  Ay · ·cos 40o  M  IG ·  0 
2 2
P L L  P L L L
M   · 2 · ·cos 40o · ·sin 40o   P  · 2· ·sin 40o · ·cos 40o  P· ·cos 40o
g 2 2  g 2 2 2



Ejemplo


Resolución alternativa. D’Alembert
Resolución alternativa D’Alembert


   
 
M G 2 L
40o Fi  m·aG  m. · · cos 40 i  sin 40 j
o o

2
P  
A Mi  IG ·  0



Ejemplo

Fi

G G
F  0
M 40o M 40o 
Ax  MA  0
A P P

Ay L
M  P· ·cos 40o
2



Sistemas de cuerpos rígidos
 
 F  m·aG
 
 MG  IG ·
 
 F  m·aG
 
 MG  IG ·
 
 F  m·aG
 
 MG  IG ·

Todo lo visto es aplicable a sistemas compuestos por varios SR en
movimiento (máquinas). Para ello es necesario trabajar con el DSL de cada
SR, y aplicar para cada uno de ellos las ecuaciones de equilibrio dinámico.
SR li d d ll l i d ilib i di á i


Movimiento plano restringido. Rotación centroidal

Ejemplo: 
Es el movimiento que se da cuando  F  0
q
y F
  
Entonces: 0  m·aG  aG  0
G

El SR realiza un movimiento de rotación pura
alrededor de su cdg, con aceleración angular:
alrededor de su cdg, con aceleración angular:
x
F

 
MG  IG ·   
M G

IG



Movimiento plano restringido. Traslación pura

Ejemplo: 
Es el movimiento que se da cuando  MG  0
q
y F2
a 
G Entonces: 0  IG ·    0

El SR realiza un movimiento de traslación
pura alrededor de su cdg, con aceleración
x
F1 lineal igual para todos sus puntos:


   
F  m·aG  aG  a 
F
m



Movimiento plano restringido. Traslación pura

Ejemplo: 
Es el movimiento que se da cuando  MG  0
q
y F2
a 
G Entonces: 0  IG ·    0

El SR realiza un movimiento de traslación
x
F1 lineal igual para todos sus puntos:


   
F  m·aG  aG  a 
F
m
El pistón en el motor de combustión realiza
movimiento de traslación pura.
movimiento de traslación pura


Movimiento plano restringido. Rotación no centroidal

Ejemplo:
Es el movimiento que se da cuando el SR gira en
F2 torno a un punto O diferente a su cdg.
y
    
G Entonces: 
 Fj  m·aG  m·   OG   ·OG
2

O
 El momento de los esfuerzos externos sobre O:
El momento de los esfuerzos externos sobre O:
F1   
    
 
x 
 MO   OPj  Fj   OG  GPj  Fj  
 
   
  
 
 OG   Fj   GPj  Fj  OG   Fj   MG

    
 
MO  OG  m·   OG   ·OG  IG · 
2 
 
   

  ·m·OG 2  IG ·  IG  m·OG 2 ·    MO  IO ·



Ejemplo:
Se pueden usar de forma alternativa las
F2 ecuaciones:
y

G    
  F  m·aG
   F  m·aG

O      
 
 MG  IG · 
 MO  IO ·
F1
x

Cuidado, esto sólo se puede realizar cuando O
es un punto fijo del SR!!
t fij d l SR!!




Ejemplo:
Se pueden usar de forma alternativa las
F2 ecuaciones:
y

G    
  F  m·aG
   F  m·aG

O      
 
 MG  IG · 
 MO  IO ·
F1
x

Cuidado, esto sólo se puede realizar cuando O
es un punto fijo del SR!!
t fij d l SR!!

El cigüeñal en el motor de combustión realiza
movimiento de rotación no centroidal.
movimiento de rotación no centroidal


Movimiento plano restringido. Rodadura

Se produce rodadura pura cuando la velocidad relativa entre la rueda y el
suelo en el punto de contacto es nula en cada instante:

    
rO  R· ·i  v O  ·R·i  aO   ·R·i
y
P

x
O O


P





    
rO  R· ·i  v O  ·R·i  aO   ·R·i
        
 
y
v I  v O    OI  ·R·i  ·k  R· j  ·R·i  ·R·i  0

        
O
x  
aI  aO    OI   ·OI   ·R·i   ·k  R· j   · R· j 
2 2
 
   
  ·R·i   ·R·i   ·R· j   ·R· j
2 2

I




vG  ·r La fuerza de rozamiento es desconocida en principio; es

aG   ·r usual suponer que no hay deslizamiento y entonces:

 F  m·a
x Gx  m· ·r  N
 

F   F  m·a
y Gy 0   
 F
G  M  I ·
G G   R


Si se cumple que FR  ·N , entonces la suposición es
Si se cumple que                  , entonces la suposición es
correcta y el problema acaba.
FR
N En caso contrario,  se produce deslizamiento.
En caso contrario, se produce deslizamiento.




En caso de haber concluido que existe rodadura con deslizamiento:
vG  ·r La fuerza de rozamiento es conocida en dicho caso:
La fuerza de rozamiento es conocida en dicho caso:

aG   ·r  N
 Fx  m·aG x 
 FR  k ·N

 Fy  m·aG y  0   a
  Gx
F  MG  IG ·  
 

G

FR
N


M i i t l t i id
M i i t 3D t i id



El cuerpo rígido: caso particular de Sistema de Partículas

 
 F  m·aG
 

 MG  HG

Estas ecuaciones seguirán siendo válidas. Veremos cómo calcular para un
SR el momento angular necesario para la segunda ecuación.



z
 n
    
Z ri mi HG    ri  mi ·v ii   HG   r  v ·dm
y i 1 V
G
   
x r  x·i  y· j  z·k 

   
  x ·i  y · j  z ·k 

Y

X
     
v    r   z·y  y ·z  i   x·z  z·x  j   y ·x  x·y  k
   
  2
  
2 2

r  v  x · y  z  y ·x·y  z ·x·z ·i   x ·x·y  y x  z  z ·y ·z · j 
2
 


  x ·x·z  y ·y ·z  z x 2  y 2 ·k
  


    
 
HG   r  v ·dm  x · y  z ·dm  y ·  x·y ·dm  z ·  x·z ·dm ·i 
2 2

V  V V V 
 
 
  x ·  x·y ·dm  y · x  z ·dm  z ·  y·z ·dm · j 
2 2

 V V V 
 
 
  x ·  x·z ·dm  y ·  y ·z ·dm  z · x  y ·dm ·k
2 2

 V V V 

 x ·IGx  y ·IGxy  z ·IGxz ·i 
 

  x ·IGxy  y ·IGy  z ·IGyz · j 
 y y y


  x ·IGxz  y ·IGyz  z ·IGz ·k
 




Matricialmente, podemos expresar el momento angular como:
 
HG  x ·IGx  y ·IGxy  z ·IGxz ·i 
 

 x ·IGxy  y ·IGy  z ·IGyz · j 
 G G G 

 x ·IGxz  y ·IGyz  z ·IGz ·k
 

 IGx IGxy IGxz  x 
    
HG   IGxy IGy IGyz ·y   IG ·

 IGxz IGyz IGz  z 
 
Matriz o Tensor de Inercia
Matriz o Tensor de Inercia



Movimiento general 3D
 
Ecuaciones de equilibrio dinámico:  Fi  m·aG 
 Sistema de 6 ecuaciones
  
 diferenciales
 MGi  HG 
El cálculo de la derivada temporal del momento angular es
compleja, ya que al moverse el SR con respecto a los ejes
compleja, ya que al moverse el SR con respecto a los ejes
cambia la matriz [IG]

Z Z

Y Y
X X



Para solucionar este problema, se suele expresar el
momento angular en un sistema de referencia móvil, donde
no cambia [I
no cambia [IG]:
y
z

z

x
Z y Z

x

Y Y
X X





En ese caso, si es la velocidad angular del SR y se consideran ejes
solidarios con el SR:

     
 i  H j  H k  H
HG  HGx  
Gy Gz G



Movimiento general 3D. Ecuaciones de Euler

Si además utilizamos ejes principales de inercia:

IGx 0 0  x 
 ·   I · ·i  I · ·  I · ·k

HG   0
 IGy 0   y  Gx x Gy y j Gz z

0
 0 IGz  z 
 


     
HG  IGx · x ·i  IGy · y · j  IGz · z ·k    HG
       
  
  HG  x ·i  y · j  z ·k  IGx ·x ·i  IGy ·y · j  IGz ·z ·k  
  
    IGy  IGz ·y ·z ·i     IGz  IGx ·x ·z · j     IGx  IGy ·x ·y ·k
     



Movimiento general 3D. Ecuaciones de Euler

Con todo ello, las ecuaciones de movimiento quedan en dicho caso:

Ecuaciones de Euler

F  m·aGx  M  IGx · x   IGy  IGz ·y ·z 
x

Gx

 
F y  m·aGy  , M
Gy  IGy · y   IGz  IGx ·x ·z 
 
F z  m·aGz 
 M
Gz  IGz · z   IGx  IGy ·x ·y 


Sólo válidas si se utilizan ejes móviles solidarios con el SR, y que
sean principales de inercia



Movimiento general 3D. Principio de d’Alembert

Si introducimos sobre el SR unos esfuerzos exteriores ficticios de inercia (fuerza y
par de inercia):
 
Fi  m·aG 

   Problema estático equivalente

Mi  HG  
Fi 
F  0

G
 MP  0

Mi



Movimiento 3D restringido. Punto fijo

En el caso en que el SR tiene movimiento alrededor de un punto fijo O:

 
 Fi  m·aG 
 Cuidado!! si O no es fijo, no es aplicable. Debemos considerar en
  

 MO  HO  
ese caso la ecuación de momentos con respecto a su cdg

 
HO  IO ·



Movimiento 3D restringido. Eje fijo

Consideramos un SR con movimiento alrededor de un eje fijo. Tomamos ejes
móviles solidarios con el SR, con eje Z coincidente con dicho eje fijo. Y consideramos
un punto O sobre dicho eje:
 
 Fi  m·aG 
   
 IOx IOxyy IOxz   0  IOxz ·z 
   
  
 HO  IO ·   IOxy IOy IOyz · 0   IOyz ·z 
 MO  HO      
IOz  z   IOz ·z  
 IOxz IOyz 
     

 
HO  IOxz · z ·i  IOyz · z · j  IOz · z ·k  z ·k  HO 
    
  
IOxz · z ·i  IOyz · z · j  IOz · z ·k  IOxz ·z · j  IOyz ·z ·i
2 2





Consideramos un SR con movimiento alrededor de un eje fijo. Tomamos ejes
móviles solidarios con el SR, con eje Z coincidente con dicho eje fijo. Y consideramos
un punto O sobre dicho eje:
      

 Fi  m·aG 


 
HO  IOxz · z ·i  IOyz · z · j  IOz · z ·k  z ·k  HO 
       


MO  HO     
IOxz · z ·i  IOyz · z · j  IOz · z ·k  IOxz ·z · j  IOyz ·z ·i
2 2

F x  m·aGx 

M Gx  IOxz · z  IOyz ·z 2 

 2
F y  m·aGy  , M Gy  IOyz · z  IOxz ·z 
 
F z  m·aGz 
 M Gz  IOz · z 

Si el SR es simétrico con respecto del plano XY, entonces los productos de inercia
son nulos, y obtenemos las ecuaciones de movimiento plano



Si el SR es simétrico con respecto del plano XY, entonces los productos de inercia

F x  m·aGx 

M
Gx 0 

 
F y  m·aGy  , M
Gy 0 
 
F z 0 
 M
Gz  IOz · z 




Ejemplo

Para la posición indicada en la figura, calcular los pares que tendrían que aportar
los motores eléctricos que hacen mover el brazo del robot con velocidades y
aceleraciones angulares determinadas.
aceleraciones angulares determinadas
L1 L2 Mz
z
Rz
m2∙g
Z
y My Ry
R
1 x 2
Mmotor2
Y Rx
X



Ejemplo

Para la posición indicada en la figura, calcular los pares que tendrían que aportar
los motores eléctricos que hacen mover el brazo del robot con velocidades y
aceleraciones angulares determinadas.
aceleraciones angulares determinadas
L1 L2
z z 
2

y
Z Z 2
y

2 2
1 x 1 x
Y Y
X X
  
1  1·cos  2·k  1·sin 2· j
cos sin


Ejemplo

   
SR1  1  1·cos  2·k  1·sin 2· j

 dSR1
 SR1  
dt
   
 1·cos 2  1·2·sin 2 ·k  1·sin 2  1·2 ·cos  2 · j  ejes  SR1 
        
 
 1·k  1·2· j  1·k  2·i  1·k  1·k  1·2 · j  1·2 · j  1·k
(la dirección de la vel. angular no cambia)
(l di ió d l l l bi )

   
SR 2  2 ·i  1·cos  2·k  1·sin 2 · j
        
 SR 2   2 ·i  1·k  ejes 2 2 ·i   2 ·i  1·k  1·2 ·cos  2 · j  1·2 ·sin 2·k 
  
  2 ·i  1·k  1·2 · j



Ejemplo

   
 
     
 
 
aA  aO   SR1  OA  SR1  SR1  OA  1·k  L1· j  1·k  1·k  L1· j 
 
 1·L1·i  1 ·L1· j
2

      
aG  aA   SR 2  AG  SR 2  SR 2  AG 
     L      L 
  2
   
 1·L1·i  12·L1· j   2 ·i  1·k  1·2· j  2 · j  2·i  1·k  2·i  1·k  2 · j 
2
  L  L     L  L 
2 2
 
 1·L1·i  12·L1· j   2· 2 ·k  1· 2 ·i  2 ·i  1·k   2 · 2 ·k  1· 2 ·i  
 2 2 
  L2  L2  2 L2
 2 L2

 1·L1·i  1 ·L1· j   2· ·k  1· ·i  2 · · j  1 · · j
2

2 2 2 2
 L2    2  L2  2 L2 
  L 
 1· L1  ·i   1 · L1    2 · · j    2· 2 ·k
 2   2 2  2



Ejemplo

IGx 0 0   2 
 ·  ·sin   I · ·i  I · ·sin ·  I · ·cos  ·k

HG   0
 IGy 0   1 sin 2  Gx 2 Gy 1 sin 2 j Gz 1 cos 2

0
 0 IGz  1·cos  2 
 


     
HG  IGx · 2 ·i  IGy ·1·sin 2  1·2 ·cos  2 · j  IGz ·1·cos  2  1·2·sin 2 ·k  ejes  HG 
    
 IGx · 2 ·i  IGy ·1·2 · j  IGz ·1·k  ejes  HG 
      
   
 IGx · 2 ·i  IGy ·1·2 · j  IGz ·1·k  2 ·i  1·k  IGx ·2 ·i  IGz ·1·k 
    
 IGx · 2 ·i  IGy ·1·2 · j  IGz ·1·k  IGz ·1·2 · j  IGx ·1·2 · j 
  
  IGx · 2 ·i  1·2 · IGx  IGy  IGz · j   IGz ·1 ·k



Ejemplo

   
HG   IGx · 2 ·i  1·2· IGx  IGy  IGz · j   IGz ·1 ·k
Mz 

Rz
m2∙g L 
 MGx  Mmotor2  Rz · 2  IGx · 2 
2
My Ry
R 

 MGy  M y  1·2 · IGx  IGy  IGz  

Mmotor2 L2 
Rx  MGz  Mz  Rx · 2  IGz ·1 




Ejemplo

  L2    2  L2  2 L2 
  L 
aG  1· L1  ·i   1 · L1    2 · · j    2· 2 ·k
 2   2 2  2
Mz

Rz  L  
m2∙g  Fx  Rx  m2 ·1· L1  2 
 2 

My Ry
R  2 L2  
2 L2  
 Fy  Ry  m2· 1 · L1  2   2 · 2 
 
 
Mmotor2 
L2
Rx  Fz  Rz  m2·g  m2· 2· 2 





Ejemplo

 L 
R z  m 2 · g   2 · 2 
 2 

Mz  L L
Mmotor2  m2 · g   2· 2 · 2  IGx · 2
 2 2
Rz
m2∙g

My Ry
R

Mmotor2
Rx


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