El documento trata sobre dinámica rotacional. Explica conceptos como energía cinética de rotación, momento de inercia y cómo calcular el momento de inercia para diferentes objetos como placas rectangulares. También cubre temas como el radio de giro, movimiento de rotación y traslación combinados, y rodamiento sin deslizamiento. Finalmente, presenta algunos problemas de aplicación.

1. 27/06/2011 Mag. Ing. Javier Hernández Muñante UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL FÍSICA II – 2011 I II CICLO “A” DINÁMICA ROTACIONAL

2. DINÁMICA ROTACIONAL El objetivo del presente capítulo es analizar el comportamiento de los cuerpos rígidos cuando giran o rotan, al rededor de un determinado eje, el cual puede ser fijo o móvil. 27/06/2011 Mag. Ing. Javier Hernández Muñante

3. ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN 27/06/2011 Mag. Ing. Javier Hernández Muñante Para un cuerpo rígido formado por una colección de partículas que gira alrededor del eje z fijo con velocidad angular ω, cada partícula del cuerpo rígido tiene energía cinética de traslación. Si la partícula de masa mi, se mueve con velocidad vi, su energía cinética es:

4. MOMENTO INERCIAL 27/06/2011 Mag. Ing. Javier Hernández Muñante A la cantidad entre paréntesis en la ecuación anterior se la define como el momento de inercia, I del cuerpo rígido: El momento de inercia I es una cantidad que depende del eje de rotación, el tamaño y la forma del objeto. De la definición momento de inercia, sus unidades de medida en el SI son kg·m2.

5. ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN La energía cinética de rotación no es un nueva forma de energía, sino que es el equivalente rotacional de la energía cinética de traslación. se dedujo a partir de esa forma de energía. La analogía entre ambas energías ½ mv2y ½ I ω2es directa, las cantidades I y ω del movimiento de rotación son análogas a m y v del movimiento lineal, por lo tanto I es el equivalente rotacional de m (algo así como la masa de rotación), y siempre se considera como una cantidad conocida, igual que m, por lo que generalmente se da como un dato. 27/06/2011 Mag. Ing. Javier Hernández Muñante

6. 27/06/2011 Mag. Ing. Javier Hernández Muñante Momento de inercia de una placa rectangular Vamos a calcular el momento de inercia de una placa rectangular delgada de masa M de lados a y b respecto del eje que pasa por la placa.

7. Teorema de Steiner 27/06/2011 Mag. Ing. Javier Hernández Muñante El teorema de Steiner es una fórmula que nos permite calcular el momento de inercia de un sólido rígido respecto de un eje de rotación que pasa por un punto O, cuando conocemos el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas.

8. 27/06/2011 Mag. Ing. Javier Hernández Muñante LA INERCIA DE ROTACIÓN DE VARIOS SÓLIDOS EN TORNO A EJES ELEGIDOS

9. 27/06/2011 Mag. Ing. Javier Hernández Muñante Ejemplo Sea una varilla de masa M y longitud L, que tiene dos esferas de masa m y radio r simétricamente dispuestas a una distancia d del eje de rotación que es perpendicular a la varilla y pasa por el punto medio de la misma.

10. 27/06/2011 Mag. Ing. Javier Hernández Muñante Radio de giro El radio de giro describe la forma en la cual el área transversal se distribuye alrededor de su eje centroidal. Al fabricarse una pieza, el fabricante debe especificar el radio de giro de la misma. Radio de giro de área El radio de giro de un área con respecto a un eje particular es igual a la raíz cuadrada del cociente del segundo momento de inercia dividido por el área. Es la distancia a la cual el área completa debe asumirse que se concentra para que el producto del área y el cuadrado de esta distancia sea igual al momento de inercia del actual área alrededor del eje dado: Donde r es el radio de giro, I es el segundo momento de inercia y A es el área de la sección transversal

11. 27/06/2011 Mag. Ing. Javier Hernández Muñante En ingeniería, el segundo momento de inercia, también conocido como segundo momento de área y como momento de inercia de área, es una propiedad geométrica de los elementos estructurales que se utiliza para predecir su resistencia a las deformaciones por flexión. Se deduce con el uso de la regla de los ejes paralelos. El segundo momento de inercia no es lo mismo que el momento de inercia, el cual se usa para el cálculo de la aceleración angular. Radio de giro de masa El radio de giro de una masa es similar excepto que se usara el momento de inercia de la masa. El valor numérico es dado por la siguiente formula: Donde k es el radio de giro, I es el momento de inercia y m es la masa del objeto.

12. 27/06/2011 Mag. Ing. Javier Hernández Muñante (1) (2) K = KT + Krot = Movimiento de rotación y traslación combinados-Consideramos un movimiento compuesto por una traslación y una rotación en la que: 1) el eje de rotación pasa por el centro de masa (CM), y 2) el eje tiene siempre la misma dirección en el espacio (el eje se mueve paralelamente, como el eje de una rueda) . Con estas consideraciones sigue siendo válida la ecuación: En estas condiciones, la energía cinética de un cuerpo arbitrario de masa M, puede expresarse como la suma de dos términos independientes de traslación y rotación

13. 27/06/2011 Mag. Ing. Javier Hernández Muñante vCM = = = Rw aCM = = = Ra 2. Rodamiento sin deslizamiento (rodamiento puro)- El objeto rueda por una superficie de modo tal que no existe movimiento relativo entre el objeto y la superficie en el punto instantáneo de contacto (centro instantáneo de rotación). Si un cilindro de radio R gira un ángulo θ, su centro de masa se mueve una distancia s = R θ , por tanto vCM = Rω aCM = Rα Estos resultados se aplican sólo al caso de rodamiento sin deslizamiento.

14. 27/06/2011 Mag. Ing. Javier Hernández Muñante K = KT + Krot = (5) La fricción entre la superficie y el objeto es la que permite el rodar sin deslizar. En este caso, la fuerza de fricción (estática) no realiza trabajo y por lo tanto no disipa energía (se llaman fuerzas de potencia nula). Sigue siendo válida la expresión para la energía cinética (aunque ahora ω y vCM no son independientes), y B es el centro instantáneo de rotación (hay sólo rotación pura, y además: IB = ICM + MR2).

15. 27/06/2011 Mag. Ing. Javier Hernández Muñante 0,9 m B 0,6 m A 37º PROBLEMAS 1.- Si el coeficiente de fricción cinético bajo cada uno de los bloques es de 0,25 hallar: La aceleración de los bloques A y B. La tensión de las cuerdas. Reacción total de las fuerzas en el cilindro. WA=300 Kgf WB=300 Kgf WC=150 Kgf Radio de giro = 0,6 m

16. 27/06/2011 Mag. Ing. Javier Hernández Muñante 60º 2.- Si la rueda pesa 150 kgf y tiene un radio de giro de 0,4 m si el esquema presenta el momento inicial cuando su velocidad es de 1 m/s hacia abajo y el resorte no esta estirado, determinar el estiramiento total del resorte si K = 150 Kgf/m.

17. 27/06/2011 Mag. Ing. Javier Hernández Muñante 0,2 m C 3.- En la posición representada el bloque A desciende con velocidad de 1,5 m/s, se considera que el cilindro B es macizo y homogéneo y se mueve sobre cojinetes sin rozamiento, el resorte está in deformado y tiene un K = 70 Kgf / m ¿ Cuál será la velocidad final del cuerpo A después de descender 1m? WA= 80 Kgf; WB= 80 Kgf WC= 160 Kgf; μK=0,2