Este documento describe diferentes tipos de códigos correctores de errores como códigos BCH, Reed-Solomon y convolucionales. Los códigos BCH pueden corregir múltiples errores y tienen parámetros como longitud de bloque, tamaño de mensaje y distancia mínima. Los códigos Reed-Solomon son una clase de códigos BCH capaces de corregir grandes ráfagas de errores. Los códigos convolucionales generan bits de redundancia de forma continua y permiten la corrección continua de errores representados como una tupla.

1. Códigos BCH, Reed
Solomon y
Convolucionales
GRUPO 2

2. Los códigos BCH fueron construidos por A.
Hocquenghem, R. C. Bose y A. K. Ray
Chaudhuri en los años 1959 y 1960, estos
codigos cíclicos tienen la particularidad de
corregir múltiples errores.
Longitud de
Bloque 𝑛 = 2 𝑚
− 1, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑚 ≥ 3
Tamaño del
mensaje
𝑘 ≥ 𝑛 − 𝑚𝑡
Distancia
mínima
𝑑 𝑚𝑖𝑛 ≥ 2𝑡 + 1
Bits de paridad 𝑛 − 𝑘
Errores a
corregir
𝑡

3. Las formulas descritas anteriormente se
aplican para un par de enteros positivos (n,k).
Característ
icas
• Corrige combinaciones de
menos de t o menos errores.
• Permite gran flexibilidad en
la elección de los siguientes
parámetros.
• Longitud de bloque y tasa
del código.

4. El código BCH definido sobre el cuerpo 𝐺𝐹 𝑞 de longitud 𝑛 y
distancia mínima de diseño 𝛿 es el mayor código cíclico entre
cuyos ceros hay 𝛿 − 1 potencias consecutivas de la forma:
Con 𝛼 una n-esima raíz primitiva en 𝐺𝐹(𝑞 𝑚
) de la unidad
(siendo m el orden multiplicativo de q modulo n). El polinomio
generador de este código es:
O lo que es lo mismo, el polinomio Mónico de menor grado que
admite como raíces a las n-esimas raíces primitivas
anteriormente descritas.

5. Los códigos Reed-Solomon son una clase dentro de los
códigos BCH no binarios capaces de corregir grandes
ráfagas de errores y símbolos borrados, convenientes para
construir otros códigos.
(código RS). Un código Reed-Solomon (RS) sobre el cuerpo
𝐹𝑞 es un código BCH de longitud 𝑞 − 1.
Por tanto la longitud de un código RS es el numero de
elementos no nulos del cuerpo de base, naturalmente q ≠
2 es de decir los códigos RS no son binarios.
Para su construcción se toma la raíz primitiva (𝑞 − 1)-
enésima de la unidad es cualquier elemento primitivo, 𝛼,
del cuerpo 𝐹𝑞. El polinomio mínimo de 𝛼 𝑖 sobre 𝐹𝑞 𝑥 𝑒𝑠 𝑥 −
𝛼 𝑖 . Así el polinomio generador de un código RS de
distancia (de diseño) 2𝑡 + 1 es:

6. Donde normalmente se elige 𝑏 =
0 𝑜 𝑏 = 1
Característ
icas
• La data es procesada en trozos de m bits,
llamados símbolos.
• Códigos RS (n,k), Longitud de símbolo de m
bits por símbolo.
• Longitud de bloque de 𝑛 = 2 𝑚
− 1
símbolos= 𝑚(2 𝑚 − 1) bits.
• Longitud de data de k símbolos.
• Tamaño del código de chequeo 𝑛 − 𝑘 = 2𝑡
símbolos = 𝑚(2𝑡) bits.
• Distancia mínima 𝑑 𝑚𝑖𝑛 = 2𝑡 + 1 simbolos.

7. Normas
Sea t = 1 y m = 2.
Denotemos los símbolos 0,1,2,3 que se pueden escribir en
forma binaria como
0=00, 1=01, 2=10 y 3=11.
El código tiene los siguientes parámetros:
𝑛 = 22 − 1 = 3 𝑠𝑖𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜𝑠 = 6 𝑏𝑖𝑡𝑠.
𝑛 − 𝑘 = 2 𝑠𝑖𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜𝑠 = 4 𝑏𝑖𝑡𝑠.
Ejemp
lo
Este código puede corregir una ráfaga de errores que se
expande en un símbolo de 2 bits.

8. Son códigos lineales con memoria, pero aun así en su
linealidad su estructura matemática es distinta a los códigos
bloque algebraicos no es tan simple. La generación de
redundancia se realiza de manera mas general la secuencia de
código es la respuesta de un sistema lineal e invariante en el
tiempo a la secuencia completa de símbolos del mensaje.
Códigos Convoluciones
Un codificador convolucional 𝐶 𝑛, 𝑘 , con alfabeto de
codificación 𝐹𝑞, es una maquina de estados finita con entradas
𝑢 ∈ 𝐹𝑞
𝑘 y salidas 𝑥 ∈ 𝐹𝑞
𝑛, en la que cada instante de tiempo 𝑡 =
0,1, … , 𝑡 ∈ 𝑍+ .

9. • Generan bit redundantes continuamente.
• Chequeo y corrección de errores realizados
continuamente.
• Código representado como (𝑛, 𝑘, 𝐾).
• El proceso de entrada procesa k bits en un
determinado tiempo.
• La salida produce n bits por cada k bits de
entrada.
• 𝑘 = 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛.
• k y n generalmente muy pequeños.
• La salida de n bits del código (𝑛, 𝑘, 𝐾) depende de:
• Bloque en curso de k bits de entrada.
• Los 𝑘 − 1 bloques previos de 𝑘 bits de entrada.
• La tasa de un código convolucional es
𝑘
𝑛
.
Característ
icas

10. Codificació
n:
Existen varias maneras de representar gráficamente un
codificador convencional:
-Árbol de código.
-Enramado (trellis).
-Diagrama de Estado.
Descodificaci
ón: • Compara la secuencia recibida con todas
las posibles secuencias transmitidas.
• El algoritmo elige el camino a traves del
diagrama de enramado cuya posible
secuencia transmitida difiere en el menor
número de sitios.
• Una vez una camino válido es
seleccionado como el camino correcto, el
decodificador puede recuperar la data de
entrada de los bits del código de salida.
Código de
Viterbi